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+% This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with        %
+% almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or    %
+% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included     %
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+% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK INTEGRALINVARIANTEN UND DIFFERENTIALGLEICHUNGEN ***
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+%%   pdflatex x2                                                         %%
+%%                                                                       %%
+%% The sequence latex - latex - latex is sufficient to get               %%
+%% all the internal references right.                                    %%
+%%                                                                       %%
+%% Both pdflatex (to generate pdf) and latex (to generate dvi, and       %%
+%% from this with appropriate tools other formats) work. The book        %%
+%% contains no illustrations.                                            %%
+%%                                                                       %%
+%% Things to Check:                                                      %%
+%%                                                                       %%
+%% gutcheck:                                                             %%
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+%% PDF pages: 90                                                         %%
+%% Images: 0                                                             %%
+%% 1 underfull hbox (unavoidable)                                        %%
+%%                                                                       %%
+%% Compile History:                                                      %%
+%%                                                                       %%
+%% 2008-Apr-19 rwst. Compiled with pdflatex:                             %%
+%%          pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6)               %%
+%%                                                                       %%
+%%         [pdfeTeX, Version 3.141592-1.30.5-2.2 (Web2C 7.5.5)           %%
+%%                                                                       %%
+%% 2007-May-02 rwst. Compiled with pdflatex:                             %%
+%%         [pdfeTeX, Version 3.141592-1.30.5-2.2 (Web2C 7.5.5)           %%
+%%                                                                       %%
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+\documentclass[12pt,reqno,letterpaper]{book}[2005/09/16]
+\usepackage{amsfonts}[2001/10/25]
+\usepackage{amsmath}[2000/07/18]
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+\usepackage[symbol,perpage]{footmisc}[2005/03/17]
+                                             %[**to get symbol footnotemarks]
+\usepackage{enumitem}[2005/05/12]            %[**to get itemize without bullets]
+\usepackage{ntheorem}[2005/07/07]            %[**to get numberless theorems]
+\usepackage{titlesec}[2005/01/22]            %[**for centered subsec. titles]
+
+%% thoughtbreak
+\def\fivestar{\bigskip \begin{center} \rule{.2\textwidth}{.2pt}
+\end{center} \bigskip}
+
+%% end notes marks
+\newcommand{\anm}[1]{{\upshape$\,{}^{#1}$)}{}}
+
+%% abbreviations for math symbols
+\def\Uf{U\!f}
+\def\Ubarf{\overline U\!f}
+\def\Xf{X\!f}
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+\def\theOmega{\varOmega}
+\def\theTheta{\varTheta}
+
+%% numberless theorems using ntheorem package
+\theoremseparator{:}
+\newtheorem{satz}{Satz}
+\theoremstyle{nonumberplain} \newtheorem{theorem}{Theorem}
+\theoremheaderfont{\normalfont\bfseries\itshape}
+
+%% be sloppy with line and page break
+\tolerance 1414
+\hbadness 1414
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+\widowpenalty=10000
+\vfuzz \hfuzz
+\raggedbottom
+
+% to let a few wide displays spill into both margins
+\makeatletter
+\newenvironment{widegather*}{%
+  \start@gather{\wideeqn\st@rredtrue}
+}{%
+  \endgather
+}\makeatother
+\def\wideeqn{\advance\displayindent-0.25in\advance\displaywidth0.5in}
+
+%% two-sided A4 PDF
+\pdfcatalog{/PageLayout/TwoPageRight }
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+\setlength{\pdfpageheight}{297truemm}% or \paperheight to get it from the documentclass
+
+%% titlesec: center subsections
+\titleformat{\subsection}[block]{\normalfont\filcenter}{}{1em}{}
+
+\begin{document}
+%----------------Titlepage--------------------
+\frontmatter
+\pagestyle{empty}
+{\small
+\begin{verbatim}
+The Project Gutenberg EBook of Über Integralinvarianten und
+Differentialgleichungen, by Sophus Lie
+
+This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with
+almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or
+re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included
+with this eBook or online at www.gutenberg.org
+
+
+Title: Über Integralinvarianten und Differentialgleichungen
+
+Author: Sophus Lie
+
+Release Date: April 24, 2008 [EBook #25157]
+
+Language: German
+
+Character set encoding: ISO-8859-1
+
+*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK INTEGRALINVARIANTEN UND DIFFERENTIALGLEICHUNGEN ***
+\end{verbatim}}
+\cleardoublepage
+
+\begin{center}
+\vspace{1cm}
+
+{\Huge Über Integralinvarianten}
+\bigskip
+
+{\LARGE und}
+\bigskip
+
+{\huge Differentialgleichungen}
+\bigskip
+
+von
+\bigskip
+
+{\Large\bf Sophus Lie}
+\bigskip\bigskip
+
+{\small Videnskabsselskabets Skrifter. 1. Mathematisk-naturv. Klasse
+1902.
+No.~1}
+\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip
+
+\makebox[16em]{\hrulefill}\\
+Udgivet for Fridtjof Nansens Fond\\
+\vskip-6pt\makebox[16em]{\hrulefill}\\
+\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip
+
+{\large\bf Christiania}\\
+\smallskip
+
+{\large In Kommission bei Jacob Dybwad}
+\smallskip
+
+A.~W. Brøggers Buchdruckerei\\
+\smallskip
+
+1902\\
+\end{center}
+%-----File: 008.png----------------------------
+\pagebreak
+
+\begin{center}
+Produced by K.F. Greiner, Ralf Stephan, Joshua Hutchinson
+and the Online Distributed Proofreading Team at
+http://www.pgdp.net (This file was produced from images
+generously made available by Cornell University Digital
+Collections)
+\end{center}
+
+\vfill
+
+\noindent\textbf{Anmerkungen zur Transkription}
+\medskip
+
+\noindent{\small Die inkonsistente Schreibweise mehrerer Wörter im Original
+wurde unverändert übernommen. Vom Verlag nachträglich angegebene
+»Berichtigungen« wurden in den Text eingearbeitet und mit einem Pluszeichen als Anmerkung
+markiert.
+
+}\vfill
+
+\begin{center}
+\ \\
+
+\vskip3in Fremlagt i Vid.\ Selsk.\ math.\ naturv.\ Kl.\ den 27de Septbr.
+1901.\\
+\end{center}
+%-----File: 009.png----------------------------
+\cleardoublepage
+\section*{Vorwort.}
+
+Die Gesellschaft der Wissenschaften hat uns mit dem Auftrag beehrt,
+Professor \so{Sophus Lies} hinterlassene Manuscripte durchzusehen, da
+sich darunter möglicherweise Abhandlungen befinden konnten, die sich zur
+Bearbeitung oder Veröffentlichung eigneten.
+
+Von den sehr zahlreichen hinterlassenen Manuscripten, deren Verzeichniss
+später veröffentlicht werden soll, sind nur wenige soweit ausgearbeitet,
+dass sie ohne weiteres gedruckt werden könnten.
+
+Dagegen finden sich zahlreiche Entwürfe mit skizzirten Arbeiten und
+hingeworfenen Ideen, die bei eingehenderer Bearbeitung wohl interessante
+Resultate liefern können.
+
+Wir publicieren hiermit die erste der nachgelassenen Abhandlungen:
+\emph{Über Integralinvarianten und Differentialgleichungen}. Diese
+bildet eine Fortsetzung zweier früherer Abhandlungen über
+Integralinvarianten, die in den Be\-rich\-ten der
+kgl.\ Säch.\ Gesellschaft der Wiss.\ zu Leipzig 1897 publicirt sind, und
+war von Lie ursprünglich, wie aus einer Aufschrift auf dem Manuscript
+hervorgeht, bestimmt, ebenda zu erscheinen.
+
+Die Abhandlung ist im Grossen und Ganzen ziemlich ins Reine
+geschrie\-ben und hier und da sind Correcturen übergeklebt. Daher dürfte
+sie von Lie bereits für den Druck bestimmt gewesen sein. Zwar fehlt der
+angekündigte zweite Theil (siehe S.~6, Note~7) und die Einleitung
+scheint noch nicht endgültig redigiert gewesen zu sein; aber die
+Abhandlung bildet trotzdem ein so abgeschlossenes Ganzes, dass wir kein
+Bedenken tragen sie zu veröffent\-lichen.
+
+Wir haben das Studium dieser Abhandlung durch Anmerkungen an
+solchen Stellen zu erleichtern gesucht, wo ein Citat oder eine
+Erläuterung
+wün\-schens\-werth scheinen konnte. Hier und da haben wir auch kleinere
+Schreib- oder Rechenfehler richtig gestellt, worauf wir stets in
+Anmerkungen
+aufmerksam machen.
+
+Wir sprechen hiermit Hr.~Professor H.~Goldschmidt in Christiania
+und Hr.~Professor Friedrich Engel in Leipzig unseren besten Dank für
+ihre Mithülfe beim Correcturenlesen aus. Dem Letztgenannten verdanken
+wir auch mehrere werthvolle Aufklärungen über gewisse Punkte in der
+Einleitung.
+
+\begin{center}
+\textbf{Alf Guldberg.}   \qquad\qquad\qquad  \textbf{Carl Størmer.}
+\end{center}
+
+%-----File: 010.png----------------------------
+%[Blank Page]
+%-----File: 011.png----------------------------
+\mainmatter
+\pagestyle{myheadings}
+\thispagestyle{empty}
+\markboth{\textsc{Sophus Lie.}\hfil\small\upshape M.N. Kl.}{\textsc{1902 No.1\hfil über
+integralinvarianten und differentialgl.\hfil}}
+
+\begin{center}
+\textbf{Über Integralinvarianten und
+Differentialgleichungen\footnote{Die
+Theorien dieser Abhandlung entwickelte ich im Sommersemester 1897 in
+meinen
+Seminar-Vorlesungen an der Universität Leipzig.$\quad$ S.~Lie.}.}\\
+
+von\\
+
+\textbf{Sophus Lie.}
+\end{center}
+
+In zwei Abhandlungen, die in den Leipziger Berichten\footnote{Leipziger
+Berichte Mai und Juli~1897.} erschienen sind, habe ich wichtige Beiträge
+zu der schon früher von mir gestreiften allgemeinen Theorie der
+Integralinvarianten geliefert. In der ersten Arbeit, die zunächst dem
+allgemeinen Begriffe der Integralinvarianten und dem Zusammenhang dieses
+Begriffes mit meiner Theorie der continuierlichen Gruppen und der
+Differentialinvarianten gewidmet war, sah ich mich dazu veranlasst, das
+Abhängigkeitsverhältniss zu betonen, in dem die Arbeiten anderer
+Mathematiker über diesen Gegenstand zu meinen älteren Arbeiten stehen.
+In der zweiten Abhandlung beschäftigte ich mich mit der
+\emph{Verwerthung bekannter Integralinvarianten für die Integration
+vorgelegter Differentialgleichungen} und insbesondere für die Reduction
+einer gegebenen continuirlichen Gruppe auf ihre Normalform.
+
+In dieser dritten Abhandlung beschäftige ich mich wiederum mit der
+Bedeutung der Integralinvarianten für die allgemeine Theorie der
+Differentialgleichungen, und zwar zerfällt diese Arbeit in mehrere
+Abschnitte\anm{1}, in denen ein lehrreiches \emph{Beispiel} von sehr
+allgemeinem Charakter im Einzelnen durchgeführt wird; gelegentlich gebe
+ich auch theoretische Entwicklungen, welche die \emph{allgemeine
+Theorie} der Integralinvarianten fördern sollen.
+%-----File: 012.png----------------------------
+
+Der Zweck dieser Untersuchungen ist eigentlich ein doppelter. Einerseits
+bietet die Theorie der Integralinvarianten an sich ein so grosses
+Interesse, dass eine ausführliche Darstellung dieser Lehre als
+zweckmässig, ja notwendig betrachtet werden muss. Anderseits ist wohl zu
+beachten, dass die Theorie der Integralinvarianten im höchsten Masse
+dazu geeignet ist, besonders lehrreiche Illustrationen zu meinen
+allgemeinen Integrationstheorien zu liefern. Seit dem Anfange der
+siebziger Jahren habe ich eine Reihe fundamentaler Integrationstheorien
+entwickelt, in denen ausgedehnte Categorien von Differentialgleichungen
+durch rationelle gruppentheoretische Methoden erledigt werden, die mit
+\emph{Lagrange's}, \emph{Abel's} und \emph{Galois'} Behandlung der
+algebraischen Gleichungen durchgreifende Analogien darbieten.
+\emph{Diese meine allgemeinen Untersuchungen, in denen viele specielle
+Resultate meiner Nachfolger anticipirt worden sind, haben noch nicht die
+allgemeine Beachtung gefunden, die sie entschieden verdienen.} Es beruht
+dies wahrscheinlicherweise in erster Linie darauf, dass meine Theorien
+fast immer in \emph{abstracter} Form entwickelt worden
+sind\footnote{Einige unter meinen Schülern finden es zweckmässig,
+diejenigen unter meinen Integrationstheorien, die von den
+Jahren~1870--1882 herrühren, einfach zu ignorieren. Es ist aber und
+bleibt ein geschichtliches Faktum, dass nicht allein die Begründung der
+Theorie der continuierlichen Gruppen, sondern auch die allgemeine
+Verwerthung dieser Theorie für Differentialgleichungen von mir
+herrührt.}. Darum versuche ich jetzt wie auch in früheren Publicationen,
+\emph{lehrreiche} und \emph{interessante Beispiele} zu meinen
+allgemeinen Theorien im Einzelnen durchzuführen.%Original: duchzuführen
+Schliesslich wird es mir
+wohl einmal gelingen, \emph{der mathematischen Welt klar zu machen, dass
+gerade die Differentialgleichungen dasjenige Gebiet liefern, innerhalb
+dessen die capitale Bedeutung meiner Gruppentheorie sich am stärksten
+geltend macht}. Es ist eben ein charakteristisches Merkmal der
+Gruppentheorie, dass sie einerseits schwierige Probleme erledigt, und
+dass sie anderseits \emph{genau feststellt, was unter gegebenen
+Voraussetzungen geleistet werden kann}.
+
+Vielleicht kann es nützlich sein, ehe ich den speciellen
+Gegenstand dieser Abhandlung in Angriff nehme, auf einige unter
+meinen allgemeinen Integrationstheorien hinzuweisen.
+
+Die Integration einer gewöhnlichen
+Differentialgleichung~$(n-q)^{\mathrm{ter}}$ Ordnung in den
+Veränderlichen~$x$ und~$y$ kann bekanntlich immer auf die Erledigung
+eines $q$-gliedrigen vollständigen Systems: \[ \tag{1} X_1f=0,\quad
+X_2f=0, \ldots X_qf=0 \] in $n$ unabhängigen Veränderlichen $x_1,\ x_2,
+\ldots x_n$ zurückgeführt werden,
+%-----File: 013.png----------------------------
+und dabei lässt sich immer erreichen, dass die Klammerausdrücke~$X_iX_kf
+- X_kX_if$ sämtlich identisch verschwinden.
+
+Man weiss andererseits, dass die Integration eines $q$-gliedrigen
+vollstän\-di\-gen Systems~(1) mit~$n$ unabhängigen Veränderlichen~$x_1,
+\ldots x_n$, sich auf die Erledigung einer gewöhnlichen
+Differentialgleichung~$(n-q)^{\mathrm{ter}}$ Ordnung zurückführen lässt;
+und dabei liegt es in der Natur der Sache, dass diese Hülfsgleichung
+$(n-q)^{\mathrm{ter}}$ Ordnung im Allgemeinen keine specielle
+Eigenschaften besitzt, aus denen sich eine Vereinfachung ihrer
+Integration herleiten liesse.
+
+Ganz anders kann die Sache stehen, wenn ein vollständiges System:
+\begin{flalign*}
+&\phantom{(x_1,\ x_2,\ldots x_n)}&
+& X_1f=0,\ X_2f=0,\ldots X_qf=0  &
+&         (x_1,\ x_2,\ldots x_n)
+\end{flalign*}
+zu Integration vorgelegt ist, und \emph{man von vorneherein
+gewisse specielle Eigenschaften dieses vollständigen Systems schon
+kennt}.
+
+Ganz besonders eingehend habe ich
+mich\footnote{Verh.\ d.\ Ges.\ d.\ Wiss.\ zu
+Christiania 1872 und 1874. Math.\ Ann.\ Bd.~IX. Verh.\ d.\ Ges.\ d.\ Wiss.\ zu
+Christiania 1882. Ein Resumé dieser Theorien
+findet sich in Math.\ Ann.\ Bd.~XXV.} in den Jahren~1872 und~1874
+mit der Annahme beschäftigt, dass \emph{gewisse infinitesimale
+Transformationen}: $Y_1f,\ Y_2f, \ldots Y_pf$, die das
+vollständige System invariant lassen, und anderseits
+\emph{gewisse Lösungen} des vollständigen Systems von
+vorneherein bekannt sind. In den oben citierten Arbeiten aus den
+Jahren~1874 und~1882 gab ich die definitive Erledigung des eben
+formulierten Problems, und \emph{zu dieser weittragenden Theorie
+konnten spätere Arbeiten anderer Mathematiker nach der Natur der
+Sache keine neuen und wesentlichen Beiträge
+hinzuführen}\footnote{Meine Nachfolger und Schüler haben einige
+neue \emph{Anwendungen} meiner Integrationstheorien geliefert.
+Es scheint aber ihrer Aufmerksamkeit entgangen zu sein, wie
+minimal die verbindende Brücke ist.}.
+
+Wir können ferner annehmen, dass~$r$ unabhängige infinitesimale
+Transformationen~$X_1f,\ X_2f,\ldots X_rf$ vorgelegt sind, die
+Relationen von der Form
+\begin{flalign*}
+&\phantom{(c_{iks} = \text{Const.})}       &
+& X_i X_kf - X_kX_if = \sum_s c_{iks}X_sf  &
+& (c_{iks} = \text{Const.})
+\end{flalign*}
+erfüllen, und dass man alle Lösungen des Gleichungs-Systems
+\[
+\tag{2} X_1f=0,\ldots X_rf=0
+\]
+anders ausgesprochen, alle Invarianten~$U(x_1,\, x_2,\ldots x_n)$
+der $r$-gliedrigen Grup\-pe $X_1f\ldots X_rf$ bestimmen will. Finden
+sich unter den Gleichungen (2) etwa~$q$ unabhängige, so bilden
+diese~$q$ Gleichungen
+%-----File: 014.png----------------------------
+\[
+X_1f=0,\ldots X_qf=0
+\]
+ein vollständiges System, dessen $n-q$ Lösungen gerade die gesuchten
+Invarianten liefern. Will man nun die Integration dieses vollständigen
+Systems in rationeller, das heisst, in einfachst möglicher Weise
+durchführen, so muss man in erster Linie untersuchen, ob infinitesimale
+Transformationen~$\Yf$ vorhanden sind, die mit allen~$r$
+Transformationen~$X_1f,\ldots X_rf$ vertauschbar sind. Giebt es keine
+derartige Transformationen~$\Yf$, so kann die Integration des
+vollständigen Systems~$X_1f= 0, \ldots X_qf= 0$ durch ausführbare
+Operationen geleistet werden. Sind dagegen infinitesimale
+Transformationen~$\Yf$ vorhanden, die mit allen~$X_kf$ vertauschbar
+sind, so bilden alle~$\Yf$ ihrerseits eine continuirliche endliche oder
+unendliche Gruppe, und es ist die \emph{Zusammensetzung dieser
+Gruppe~$\Yf$, die das vorliegende Integrationsproblem
+beherrscht}\anm{2}.
+
+Es kann vielleicht nützlich sein, dass wir in aller Kürze daran
+erinnern, wie wir dieses Problem auf das zuerst besprochene Problem
+zurückgeführt haben. Sind~$X_1f,\ldots X_rf$, $r$ unabhängige
+infinitesimale Transformationen der vorgelegten Gruppe, so können wir
+immer annehmen\label{anm3a}, dass wir eine kanonische Form dieser
+Gruppe
+\[
+X'_kf=\sum \xi_{ki} (x'_1, \ldots x'_n)\frac{\partial f}{\partial
+x'_i}
+\]
+und gleichzeitig die reciproke\label{anm3b} Gruppe
+\[
+Y'_kf = \sum_i \eta'_{ki} (x'_1, \ldots x'_n)\frac{\partial
+f}{\partial x'_i}
+\]
+der letzten Gruppe kennen.
+
+Unser Problem deckt sich sodann mit der Reduktion der vorgelegten
+Gruppe~$X_1f, \ldots X_rf$ auf ihre kanonische Form und findet
+daher seinen analytischen Ausdruck in den~$r$ Gleichungen
+\[
+X_kf = X'_kf
+\]
+oder eigentlich in den $r\cdot n$ Gleichungen, die hervorgehen, wenn
+für~$f$ nach und nach~$x'_1, x'_2, \ldots x'_n$ gesetzt wird.
+Hiermit erhalten wir ein System partieller Differentialgleichungen
+\begin{gather*}
+\varOmega_k (x_1, x_2, \ldots x_n, x'_1 \ldots x'_n,
+\frac{\partial x'_1}{\partial x_1},\ldots)=0
+\\
+k = 1, 2, 3,\ldots
+\end{gather*}
+%-----File: 015.png----------------------------
+deren allgemeinste Lösungen $y_1', y_2', \ldots y_n'$ aus einem
+speciellen Lösungs\-sys\-tem~$x_1',\ldots x_n'$ durch \emph{bekannte}
+Gleichungen
+\[
+y_i' = \varphi_i (x_1,\ldots x_n',b_1,\ldots)
+\]
+hervorgehen, die eine Gruppe und zwar gerade die kanonische reciproke
+Gruppe bilden. Nachdem wir aber unser Problem auf diese Gestalt gebracht
+haben, können wir es in bekannter Weise auf die Form einer linearen
+partiellen Differentialgleichung:~$Af = 0$ bringen, deren
+Charakteristiken von einer einfach transitiven Gruppe transformirt
+werden, die mit der Gruppe~$Y_k' f$ gleichzusammengesetzt
+ist.\label{anm3c}---
+
+Bestehen Gleichungen von der Form:
+\[
+X_{q+k}f = \varphi_{k1}(x) X_1 f + \dots + \varphi_{kq}X_q f
+\]
+\[
+(q+k=q+1,\ldots r)
+\]
+sowie die analogen Gleichungen
+\[
+X'_{q+k} f = \varphi'_{k1}(x') X'_1 f + \dots + \varphi'_{kq} X'_q f
+\]
+so kann man
+\[
+\varphi_{ki}(x)=\varphi'_{ki}(x')
+\]
+setzen und findet hiermit unter allen Umständen ohne Integration gewisse
+endliche Relationen zwischen den~$x$ und~$x'$.
+
+Reducirt sich insbesondere die reciproke Gruppe $Y_k'f$ auf die
+identische Transformation, so leistet das
+Gleichungssystem~$\varphi_{ki}(x)=\varphi'_{ki}(x')$ unmittelbar die
+Überführung der Gruppe~$X_1 f,\ldots X_r f$ auf ihre kanonische Form,
+gleichzeitig also die Erledigung des vorliegenden Problems\anm{3}.
+
+Wir denken uns wiederum, dass ein vollständiges System
+\[
+X_1 f=0,\ldots X_q f=0
+\]
+zur Integration vorgelegt ist und wollen dabei annehmen, dass alle
+Klammerausdrücke~$X_i X_k f-X_k X_i f$ identisch gleich Null sind. Wir
+setzen überdies voraus, dass ein System oder mehrere Systeme partieller
+Differentialgleichungen in den~$x$ vorgelegt sind, unter denen jedes
+einzelne System bei allen~$X_k f$ invariant bleibt. Man kann sich dann
+die Frage vorlegen, welcher Vorteil aus diesem Umstande für die
+Integration des vollständigen Systems~$X_1 f=0, \ldots X_q f=0$ gezogen
+werden kann. In unseren älteren Arbeiten ist dieses Problem jedenfalls
+implicite erledigt worden, bei dieser Gelegenheit werden wir uns darauf
+beschränken, einige allgemeine Bemerkungen über diese Fragestellung zu
+machen.
+%-----File: 016.png----------------------------
+
+Es ist unter allen Umständen möglich zu entscheiden, ob die
+vorgelegten~$X_xf$ die einzigen infinitesimalen Transformationen sind,
+welche sämtliche bekannte Systeme von Differentialgleichungen invariant
+lassen oder nicht\anm{4}.
+
+Giebt es keine weitere infinitesimale Transformationen, die unsere
+Forderungen erfüllen, so findet man \emph{alle Lösungen} des
+vollständigen Systems $X_1f=0,\ldots X_qf=0$ ohne Integration\anm{5}.
+Giebt es dagegen noch weitere infinitesimale Transformationen~$\Yf$, die
+alle vorgelegten Systeme partieller Differentialgleichungen invariant
+lassen, so kann man, selbst wenn die~$\Yf$ unbekannt sind, \emph{alle
+gemeinsamen Lösungen} der Gleichungen
+\[
+X_k f=0,\quad  \Yf = 0
+\]
+ohne Integration finden\anm{6}.
+
+Wir behalten uns vor, gelegentlich eine vollständige Erledigung
+des hier gestreiften Problems zu liefern.
+
+In dieser Abhandlung denken wir uns, dass man die Invarianten
+$u(x_1,\ldots x_n)$ einer vorgelegten $r$-gliedrigen Gruppe~$X_1f,\ldots
+X_rf$ finden will, und dass man zufälligerweise eine oder mehrere
+Integralinvarianten dieser~$r$-gliedrigen Gruppe von vorneherein kennt.
+Wir fragen, welchen Vortheil man aus diesem Umstande für die Integration
+des Gleichungssystems
+\[
+X_1f=0, \ldots X_rf=0
+\]
+ziehen kann. Im ersten Abschnitte dieser Arbeit geben wir die
+detaillirte Behandlung eines allerdings speciellen, immerhin aber
+recht umfangreichen und jedenfalls sehr instructiven speciellen
+Falles des soeben formulirten Problems, dessen allgemeine
+Erledigung im zweiten Abschnitte geliefert wird\anm{7}.
+
+Offenbar wäre es möglich, noch viel allgemeinere Probleme zu stellen,
+die in ganz ähnlicher Weise von meinen allgemeinen Principien beherrscht
+werden. Sucht man z.~B.\ die Invarianten~$u(x_1,\ldots x_n)$ einer
+vorgelegten endlichen continuirlichen Gruppe, so kann man annehmen, dass
+gewisse derartige Invarianten schon vorliegen, dass andererseits gewisse
+infinitesimale Transformationen~$\Yf$ bekannt sind, die unsere Gruppe in
+sich transformieren, und dass endlich gewisse Systeme von
+Differentialgleichungen und gewisse Integrale vorliegen, die bei der
+Gruppe~$X_1f,\ldots X_rf$ invariant sind. Meine allgemeinen Theorien
+gestatten in jedem einzelnen Falle genau festzustellen, welchen Vortheil
+man aus den vorliegenden Umständen für die Bestimmung aller
+Invarianten~$u(x_1, \ldots x_n)$ der vorgelegten Gruppe ziehen kann.
+%-----File: 017.png----------------------------
+
+In vielen früheren Abhandlungen beschäftigten wir uns mit dem folgenden
+Probleme:
+
+Eine continuierliche Gruppe liegt vor; man will die Bahncurven einer
+infinitesimalen Transformation dieser Gruppe (oder überhaupt die
+Invarianten einer Untergruppe) bestimmen. Wir haben eine allgemeine
+Erledigung dieses Problems geliefert. Es ist leicht, den Zusammenhang
+der oben besprochenen allgemeinen Fragestellungen mit diesen Problem zu
+erkennen. Sucht man nämlich z.~B.\ die Bahnkurven einer
+Transformation~$\Xf$ und kennt man eine zugehörige Integralinvariante,
+so weiss man, dass alle Transformationen~$\Yf$, die dieses Integral
+invariant lassen und mit~$\Xf$ vertauschbar sind, eine Gruppe erzeugen,
+und in dieser allerdings unbekannten Gruppe ist~$\Xf$ jedenfalls
+enthalten.
+\begin{center}
+\makebox[10em]{\hrulefill}\bigskip
+\end{center}
+
+%-----File: 018.png----------------------------
+\pagebreak
+\bigskip
+\thispagestyle{empty}
+\begin{center}
+{\Large\bf Kapitel 1}\linebreak
+\makebox[5em]{\hrulefill}\bigskip
+\end{center}
+{\bf\vskip-10pt\hskip0.5in Vertauschbare infinitesimale Transformationen
+mit einer\linebreak
+zweidimensionalen Integralinvariante.}
+\markboth{\textsc{Sophus Lie.}\hfil\small\upshape M.N. Kl.}{\textsc{1902 No.1\hfil über
+integralinvarianten und differentialgl.\hfil}}
+
+\bigskip
+
+In diesem Kapitel stellen wir ein allgemeines Integrationsproblem,
+bei dessen Behandlung eine Reihe wesentlich verschiedener Fälle
+eintreten können. Das betreffende Problem bezieht sich auf ein
+Integral
+\[
+\int \psi\ dx_1\, dx_2
+\]
+das über eine zweidimensionale Punkt-Mannigfaltigkeit erstreckt
+wird und daher von uns kurz weg als ein \emph{zweidimensionales
+Integral} bezeichnet wird.
+
+\emph{\textbf{Problem}: Im vierfachen Raume $x_1\ x_2\ x_3\ x_4$
+liegen zwei vertauschbare infinitesimale Transformationen}
+\[
+X_kf = \xi_{k1} \frac{\partial f}{\partial x_1} + \xi_{k2}
+\frac{\partial f}{\partial x_2} + \xi_{k3} \frac{\partial
+f}{\partial x_3} + \xi_{k4} \frac{\partial f}{\partial x_4} \quad
+(k=1,\, 2)
+\]
+\emph{mit verschiedenen Bahncurven vor. Man kennt von
+vorneherein eine zweidimensionale Integralinvariante erster
+Ordnung der beiden Transformationen~$X_1f$ und~$X_2f$ nämlich
+das Integral}
+\[
+\int \psi \bigl(x_1,\, x_2,\, x_3,\, x_4,\, \left.\frac{\partial
+x_3}{\partial x_1},\ \frac{\partial x_3}{\partial x_2},\
+\frac{\partial x_4}{\partial x_1},\ \frac{\partial x_4}{\partial
+x_2} \right) dx_1\, dx_2,
+\]
+\emph{dessen Argument $\psi$ in den fünf Grössen}
+\[
+  \frac{\partial x_3}{\partial x_1},\
+  \frac{\partial x_4}{\partial x_1},\
+  \frac{\partial x_3}{\partial x_2},\
+  \frac{\partial x_4}{\partial x_2},
+\
+  \frac{\partial x_3}{\partial x_1}
+  \frac{\partial x_4}{\partial x_2}
+- \frac{\partial x_3}{\partial x_2}
+  \frac{\partial x_4}{\partial x_1}
+\]
+\emph{linear ist. Es soll das Vorhandsein dieser
+Integralinvariante bei der Integration des vollständigen Systems}
+%-----File: 019.png----------------------------
+\[
+X_1f = 0, \quad  X_2f = 0
+\]
+\emph{so viel wie möglich verwerthet werden}.
+
+Da die Grösse
+\[
+\psi = A \frac{\partial x_3}{\partial x_1} + B \frac{\partial
+x_3}{\partial x_2} + C\frac{\partial x_4}{\partial x_1} +
+D\frac{\partial x_4}{\partial x_2} + E \left( \frac{\partial
+x_3}{\partial x_1} \frac{\partial x_4}{\partial x_2} -
+\frac{\partial x_3}{\partial x_2} \frac{\partial x_4}{\partial
+x_1}\right) + F
+\]
+sechs Coefficienten $A,\ B,\ldots F$ enthält, die ganz
+beliebige\anm{8} Funktionen von $x_1,\ x_2,\ x_3,\ x_4$ sein
+können, so umfasst die gestellte Aufgabe eine ausgedehnte
+Categorie von Problemen. Wir behaupten und werden zunächst
+beweisen, dass alle diese Probleme in dem Sinne eine natürliche
+Familie bilden, dass der \emph{Inbegriff} dieser Probleme bei
+jeder Coordinatentransformation des Raumes~$x_1 \ldots x_4$
+invariant bleibt.
+
+Führen wir in das Integral $\int \psi \ dx_1\, dx_2$ neue
+Veränderliche~$x'_1,\ldots x'_4$ vermöge der Substitution
+\begin{flalign*}
+& \phantom{(k=1,\ldots 4)} &
+& x'_k = F_k (x_1 \ldots x_4)
+& (k=1,\ldots 4) &
+\end{flalign*}
+ein, so wird die Beziehung zwischen dem transformierten Integral:
+\[
+{\textstyle{\int}}\, \psi'\ dx'_1\, dx'_2
+\]
+und dem ursprünglichen Integral durch die Gleichung
+\[
+\tag{1} \psi' = \psi : \sum \pm \left( \frac{\partial
+F_1}{\partial x_1} \right) \left(\frac{\partial F_2}{\partial x_2}
+\right)= \psi : \Delta
+\]
+festgestellt, und dabei ist\anm{9}\label{anm9a}
+\begin{gather*}
+\left( \frac{\partial F_i}{\partial x_1} \right) =
+ \frac{\partial F_i}{\partial x_1} +
+ \frac{\partial F_i}{\partial x_3} \cdot
+ \frac{\partial x_3}{\partial x_1} +
+ \frac{\partial F_i}{\partial x_4} \cdot
+ \frac{\partial x_4}{\partial x_1}\\
+\left( \frac{\partial F_i}{\partial x_2} \right) =
+\frac{\partial F_i}{\partial x_2} + \frac{\partial F_i}{\partial
+x_3} \cdot \frac{\partial x_3}{\partial x_2} + \frac{\partial
+F_i}{\partial x_4} \cdot \frac{\partial x_4}{\partial x_2}\\
+  (i= 1,\ 2)
+\end{gather*}
+
+Es bestehen die Gleichungen
+\[
+dx'_3 = \frac{\partial x'_3}{\partial x'_1}\, dx'_1 +
+\frac{\partial x'_3}{\partial x'_2}\, dx'_2 \quad ,\quad dx'_4 =
+\frac{\partial x'_4}{\partial x'_1}\, dx'_1 + \frac{\partial
+x'_4}{\partial x'_2}\, dx'_2
+\]
+sowie die æquivalenten:
+\[
+dF_3 = \frac{\partial x'_3}{\partial x'_1}\, dF_1 + \frac{\partial
+x'_3}{\partial x'_2}\, dF_2 \quad ,\quad dF_4 = \frac{\partial
+x'_4}{\partial x'_1}\, dF_1 + \frac{\partial x'_4}{\partial x'_2}\,
+dF_2,
+\]
+und aus ihnen erhalten wir in bekannter Weise die
+Relationen\anm{10}.
+%-----File: 020.png----------------------------
+\begin{align*}
+  \left( \frac{\partial  F_3}{\partial  x_1} \right)
+&=
+         \frac{\partial x'_3}{\partial x'_1}
+  \left( \frac{\partial  F_1}{\partial  x_1} \right)
++        \frac{\partial x'_3}{\partial x'_2}
+  \left( \frac{\partial  F_2}{\partial  x_1} \right),
+\\
+  \left( \frac{\partial  F_4}{\partial  x_1} \right)
+&=
+         \frac{\partial x'_4}{\partial x'_1}
+  \left( \frac{\partial  F_1}{\partial  x_1} \right)
++        \frac{\partial x'_4}{\partial x'_2}
+  \left( \frac{\partial  F_2}{\partial  x_1} \right)
+\\
+  \left( \frac{\partial  F_3}{\partial  x_2} \right)
+&=
+         \frac{\partial x'_3}{\partial x'_1}
+  \left( \frac{\partial  F_1}{\partial  x_2} \right)
++        \frac{\partial x'_3}{\partial x'_2}
+  \left( \frac{\partial  F_2}{\partial  x_2} \right),
+\\
+  \left( \frac{\partial  F_4}{\partial  x_2} \right)
+&=
+         \frac{\partial x'_4}{\partial x'_1}
+  \left( \frac{\partial  F_1}{\partial  x_2} \right)
++        \frac{\partial x'_4}{\partial x'_2}
+  \left( \frac{\partial  F_2}{\partial  x_2} \right),
+\end{align*}
+und durch Auflösung die bekannten Formeln\label{anm9b}
+\begin{align*}
+  \Delta \frac{\partial x'_3}{\partial x'_1}
+&=
+  \left( \frac{\partial  F_3}{\partial  x_1} \right)
+  \left( \frac{\partial  F_2}{\partial  x_2} \right)
+- \left( \frac{\partial  F_3}{\partial  x_2} \right)
+  \left( \frac{\partial  F_2}{\partial  x_1} \right),
+\\
+  \Delta \frac{\partial x'_3}{\partial x'_2}
+&= - \left( \frac{\partial  F_3}{\partial  x_1} \right)
+  \left( \frac{\partial  F_1}{\partial  x_2} \right)
++ \left( \frac{\partial  F_3}{\partial  x_2} \right)
+  \left( \frac{\partial  F_1}{\partial  x_1} \right),
+\\
+  \Delta \frac{\partial x'_4}{\partial x'_1}
+&=
+  \left( \frac{\partial  F_4}{\partial  x_1} \right)
+  \left( \frac{\partial  F_2}{\partial  x_2} \right)
+- \left( \frac{\partial  F_4}{\partial  x_2} \right)
+  \left( \frac{\partial  F_2}{\partial  x_1} \right),
+\\
+  \Delta \frac{\partial x'_4}{\partial x'_2}
+&= - \left( \frac{\partial  F_4}{\partial  x_1} \right)
+  \left( \frac{\partial  F_1}{\partial  x_2} \right)
++ \left( \frac{\partial  F_4}{\partial  x_2} \right)
+  \left( \frac{\partial  F_1}{\partial  x_1} \right).
+\end{align*}
+
+Hierzu fügen wir die Formel
+\[
+  \Delta\left( \frac{\partial x'_3}{\partial x'_1}
+               \frac{\partial x'_4}{\partial x'_2}
+             - \frac{\partial x'_4}{\partial x'_1}
+               \frac{\partial x'_3}{\partial x'_2} \right)
+=
+  \left( \frac{\partial  F_3}{\partial  x_1} \right)
+  \left( \frac{\partial  F_4}{\partial  x_2} \right)
+- \left( \frac{\partial  F_3}{\partial  x_2} \right)
+  \left( \frac{\partial  F_4}{\partial  x_1} \right)
+\]
+die aus dem Multiplicationssatze der Determinanten hervorgeht.
+
+In diesen fünf Formeln haben die rechten Seiten sowie~$\Delta$ die
+gemeinsame Form\anm{11}:
+\begin{gather*}
+  \left( \frac{\partial U}{\partial x_1} \right)
+  \left( \frac{\partial V}{\partial x_2} \right)
+- \left( \frac{\partial U}{\partial x_2} \right)
+  \left( \frac{\partial V}{\partial x_1} \right)
+=
+  \begin{vmatrix} U & V \\ x_1 & x_2 \end{vmatrix}
++
+  \begin{vmatrix} U & V \\ x_3 & x_2 \end{vmatrix}
+   \frac{\partial x_3}{\partial x_1}
++
+  \begin{vmatrix} U & V \\ x_4 & x_2 \end{vmatrix}
+  \frac{\partial x_4}{\partial x_1}
+\\
++ \begin{vmatrix} U & V \\ x_1 & x_3 \end{vmatrix}
+  \frac{\partial x_3}{\partial x_2}
++ \begin{vmatrix} U & V \\ x_1 & x_4 \end{vmatrix}
+  \frac{\partial x_4}{\partial x_2}
++
+  \begin{vmatrix} U & V \\ x_3 & x_4 \end{vmatrix}
+  \left( \frac{\partial x_3}{\partial x_1}
+         \frac{\partial x_4}{\partial x_2}
+       - \frac{\partial x_3}{\partial x_2}
+         \frac{\partial x_4}{\partial x_1} \right)
+\end{gather*}
+
+Es ergiebt sich also, dass zwischen den \emph{fünf} Grössen
+%-----File: 021.png----------------------------
+\[
+\tag{2}
+  \frac{\partial x_3}{\partial x_1},
+  \frac{\partial x_3}{\partial x_2},
+  \frac{\partial x_4}{\partial x_1},
+  \frac{\partial x_4}{\partial x_2},
+\
+  \frac{\partial x_3}{\partial x_1}
+  \frac{\partial x_4}{\partial x_2}
+- \frac{\partial x_3}{\partial x_2}
+  \frac{\partial x_4}{\partial x_1}
+\]
+und den fünf transformierten Grössen
+\[
+\tag{3}
+  \frac{\partial x'_3}{\partial x'_1},
+  \frac{\partial x'_3}{\partial x'_2},
+  \frac{\partial x'_4}{\partial x'_1},
+  \frac{\partial x'_4}{\partial x'_2},
+\
+  \frac{\partial x'_3}{\partial x'_1}
+  \frac{\partial x'_4}{\partial x'_2}
+- \frac{\partial x'_3}{\partial x'_2}
+  \frac{\partial x'_4}{\partial x'_1}
+\]
+eine projective Beziehung besteht, so zwar dass jede einzelne unter den
+fünf Grössen~(3) multiplicirt mit~$\Delta$ sich \emph{linear} durch die
+fünf Grössen~(2) multiplicirt mit Funktionen der~$x$ ausdrückt.
+
+Wir sahen aber schon, dass
+\[
+  \psi' = \psi: \Delta
+\]
+ist, und also können wir schliessen, dass, wenn $\psi$ die Form
+\[
+  \psi =
+  A \frac{\partial x_3}{\partial x_1}
++ B \frac{\partial x_3}{\partial x_2}
++ C \frac{\partial x_4}{\partial x_1}
++ D \frac{\partial x_4}{\partial x_2}
++ E \left(
+  \frac{\partial x_3}{\partial x_1}
+  \frac{\partial x_4}{\partial x_2}
+- \frac{\partial x_3}{\partial x_2}
+  \frac{\partial x_4}{\partial x_1} \right) + F
+\]
+besitzt, dann $\psi'$ die ähnliche Form
+\[
+  \psi' =
+  A' \frac{\partial x'_3}{\partial x'_1}
++ B' \frac{\partial x'_3}{\partial x'_2}
++ C' \frac{\partial x'_4}{\partial x'_1}
++ D' \frac{\partial x'_4}{\partial x'_2}
++ E' \left(
+  \frac{\partial x'_3}{\partial x'_1}
+  \frac{\partial x'_4}{\partial x'_2}
+- \frac{\partial x'_3}{\partial x'_2}
+  \frac{\partial x'_4}{\partial x'_1} \right) + F'
+\]
+annehmen muss.
+
+Es gilt also der
+
+\bigskip
+
+\begin{satz} %% Original had 'Sats'
+\label{satz1} Liegt in den Veränderlichen $x_1 \ldots x_4$
+ein Integral vor, das
+über zweidimensionale Mannigfaltigkeiten
+$x_3 = L(x_1, x_2)$,
+$x_4 = M(x_1, x_2)$
+erstreckt ist und die Form
+\[\wideeqn
+  \int \left\{
+  A \frac{\partial x_3}{\partial x_1}
++ B \frac{\partial x_3}{\partial x_2}
++ C \frac{\partial x_4}{\partial x_1}
++ D \frac{\partial x_4}{\partial x_2}
++ E \left(
+  \frac{\partial x_3}{\partial x_1}
+  \frac{\partial x_4}{\partial x_2}
+- \frac{\partial x_3}{\partial x_2}
+  \frac{\partial x_4}{\partial x_1} \right)
++ F \right\}dx_1\, dx_2
+\]
+besitzt, so erhält dieses Integral durch Einführung neuer
+Veränderlichen:
+\[
+  x'_k = F_k(x_1, x_2, x_3, x_4) \qquad (k = 1, 2, 3, 4)
+\]
+immer die analoge Form:
+\[\wideeqn
+  \int \left\{
+  A' \frac{\partial x'_3}{\partial x'_1}
++ B' \frac{\partial x'_3}{\partial x'_2}
++ C' \frac{\partial x'_4}{\partial x'_1}
++ D' \frac{\partial x'_4}{\partial x'_2}
++ E' \left(
+  \frac{\partial x'_3}{\partial x'_1}
+  \frac{\partial x'_4}{\partial x'_2}
+- \frac{\partial x'_3}{\partial x'_2}
+  \frac{\partial x'_4}{\partial x'_1} \right)
++ F' \right\} dx'_1\, dx'_2
+\]
+
+Die Coefficienten $A'$, $B'$, \ldots $F'$ sind Funktionen der~$x'$,
+deren Form einerseits von der Form der Funktionen $A(x_1\ldots x_4)$,
+$B$,\ldots $F$ anderseits von der Transformation $x'_k = F_s(x_1\ldots
+x_4)$ abhängt.
+\end{satz}
+
+\bigskip
+%-----File: 022.png----------------------------
+
+Wir halten es für richtig, auf den begrifflichen Inhalt des eben
+aufgestellten Satzes näher einzugehen.
+
+Im vierfachen Raume $x_1 \ldots x_4$ giebt es $\infty^7$
+\emph{Linienelemente}, $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$,\, $dx_1$ : $dx_2$ :
+$dx_3$ : $dx_4$, ferner $\infty^7$ Elemente $x_1$, $x_2$, $x_3$,
+$x_4$,\, $\frac{\partial x_4}{\partial x_1}$, $\frac{\partial
+x_4}{\partial x_2}$, $\frac{\partial x_4}{\partial x_3}$,
+\emph{dreidimensionaler} Mannigfaltigkeiten: $x_4 = \varphi(x_1, x_2,
+x_3)$ und endlich $\infty^8$ Elemente $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$,\,
+$\frac{\partial x_3}{\partial x_1}$, $\frac{\partial x_3}{\partial
+x_2}$, $\frac{\partial x_4}{\partial x_1}$, $\frac{\partial
+x_4}{\partial x_2}$, \emph{zweidimensionaler} Mannigfaltigkeiten $x_3 =
+M(x_1, x_2)$, $x_4 = N(x_1, x_2)$.
+
+Betrachten wir nun alle Elemente eindimensionaler, zweidimensionaler und
+dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten, die durch einen bestimmten Punkt
+$x_1, x_2, x_3, x_4$ hindurchgehen, so müssen wir sagen,
+\begin{itemize}[label=\ ]
+\item dass durch einen Punkt $x_1 \ldots x_4$ des vierfachen Raumes
+$\infty^3$ Linienelemente $dx_1$ : $dx_2$ : $dx_3$ : $dx_4$ gehen, die
+ihrerseits eine \emph{dreidimensionale
+ebene Mannigfaltigkeit}~$M_3$ bilden,
+\item dass die $\infty^4$ durch den gewählten Punkt gehenden Elemente
+$\frac{\partial x_3}{\partial x_1}$, $\frac{\partial x_3}{\partial
+x_2}$, $\frac{\partial x_4}{\partial x_1}$, $\frac{\partial
+x_4}{\partial x_2}$, zweidimensionaler Mannigfaltigkeiten $x_3 = M(x_1,
+x_2),$ $x_4 = N(x_1, x_2)$ im dreidimensionalen ebenen Raume~$M_3$ die
+Rolle der \emph{Geraden} spielen,
+\item dass endlich die $\infty^3$ durch den gewählten Punkt $x_k$
+gehenden Elemente $\frac{\partial x_4}{\partial x_1}$, $\frac{\partial
+x_4}{\partial x_2}$, $\frac{\partial x_4}{\partial x_3}$,
+dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten $x_4 - \varphi(x_1, x_2, x_3) = 0$
+im dreifachem Raume~$M_3$ die Rolle der \emph{Ebenen} spielen.
+\end{itemize}
+
+Im dreifachen Raume $M_3$ müssen wir daher die Grössen $dx_1$, $dx_2$,
+$dx_3$, $dx_4$ als \emph{homogene} Punktcoordinaten, ihre Verhältnisse
+dementsprechend als \emph{absolute} Punktcoordinaten auffassen. Wir
+müssen ferner die drei Ableitungen~$\frac{\partial x_4}{\partial x_1}$,
+$\frac{\partial x_4}{\partial x_2}$, $\frac{\partial x_4}{\partial
+x_3}$, als \emph{Ebenencoordinaten} und endlich \emph{die vier
+Ableitungen}~$\frac{\partial x_3}{\partial x_1}$, $\frac{\partial
+x_3}{\partial x_2}$, $\frac{\partial x_4}{\partial x_1}$,
+$\frac{\partial x_4}{\partial x_2}$ als \emph{Liniencoordinaten }des
+dreifachen Raumes~$M_3$ betrachten\anm{12}. Dabei können wir nach dem
+Vorgange von
+\emph{Plücker} die Determinante
+\[
+\frac{\partial x_3}{\partial x_1}\frac{\partial x_4}{\partial x_2}-
+ \frac{\partial x_3}{\partial x_2}\frac{\partial x_4}{\partial x_1}
+\]
+als \emph{fünfte} Liniencoordinate des Raumes~$M_3$ einführen.
+%-----File: 023.png----------------------------
+
+Bei dieser Auffassung sagt unser Satz~1, dass die fünf Liniencoordinaten
+des Raumes~$M_3$
+\[
+  \frac{\partial x_3}{\partial x_1},
+  \frac{\partial x_3}{\partial x_2},
+  \frac{\partial x_4}{\partial x_1},
+  \frac{\partial x_4}{\partial x_2},
+\
+  \frac{\partial x_3}{\partial x_1}
+  \frac{\partial x_4}{\partial x_2}
+- \frac{\partial x_3}{\partial x_2}
+  \frac{\partial x_4}{\partial x_1}
+\]
+bei jeder Punkttransformation des vierfachen Raumes $x_1 \ldots x_4$
+\emph{projektiv} transformirt werden. Und das liesse sich a priori ohne
+Rechnung aus der bekannten Thatsache herleiten, dass jede
+Punkttransformation des $n$-fachen Raumes im Infinitesimalen projectiv
+ist\anm{13}.
+
+Wenn wir auch befürchten müssen, dass die eben vorgetragenen
+Betrachtungen nur für Geometer, die mit den Elementen der Plückerschen
+Liniengeometrie vertraut sind, leicht verständlich sind, so haben wir
+sie
+doch nicht zurückhalten wollen. Es ist eben unsere Überzeugung,
+dass es richtig ist, die principiellen Fortschritte der Geometrie für
+die
+Analysis zu verwerthen. In der That gewinnt die ganze Theorie, die
+wir in dieser Abhandlung darstellen, an Durchsichtigkeit und
+Einfachkeit,
+wenn wir die Grundlagen der Plückerschen Liniengeometrie als bekannt
+voraussetzen.
+
+Indem wir nun das oben gestellte Problem in Angriff nehmen, finden
+wir es zweckmässig, zunächst \emph{die allgemeinste Transformation
+\begin{flalign*}
+&\phantom{(k=1, \ldots 4)}&
+  x_k' = F_k(x_1 \ldots x_4) &&&   (k=1, \ldots 4)
+\end{flalign*}
+zu suchen, die sowohl die Form der beiden infinitesimalen
+Transformationen~$X_1f$ und~$X_2f$, wie die Form der bekannten
+Integralinvariante $\int \psi\, dx_1\, dx_2$ bewahrt.} Die endlichen
+Transformationen der zweigliedrigen Gruppe~$X_1 f$, $X_2 f$ besitzen
+offenbar diese Eigenschaft; unter Umständen giebt es aber noch weitere
+Transformationen, die unsere Forderungen erfüllen. Es liegt in der Natur
+der Sache, dass der Inbegriff aller Transformationen $x'_k =
+F_k(x_1\ldots x_4)$, bei denen die Form von~$X_1f$, $X_2f$ und~$\int
+\psi\, dx_1\, dx_2$ bewahrt wird\anm{14}, eine Gruppe~$G$ bildet. Wir
+werden sehen, dass \emph{diese Gruppe~$G$ das ursprünglich gestellte
+Problem beherrscht} und dass z.~B.\ die Integration des vollständigen
+Systems~$X_1f=0$, $X_2f=0$ nur Differentiationsprocesse verlangt, wenn
+die Gruppe~$G$ keine anderen infinitesimalen Transformationen als~$X_1f$
+und~$X_2f$ enthält.
+
+Es wird sich zeigen, dass die Gruppe $G$ viele wesentlich verschiedene
+Formen haben kann. Während sie unter Umständen, ja im Allgemeinen nur
+die beiden infinitesimalen Transformationen~$X_1f$ und~$X_2f$ umfasst,
+kann sie in speciellen Fällen sogar eine \emph{unendliche} Gruppe
+darstellen. Die Gruppe~$G$ vertauscht eo ipso die~$\infty^2$
+charakteristischen Mannigfaltigkeiten~$u = a$, $v = b$ des vollständigen
+Systems~$X_1f=0$, $X_2f=0$ unter
+%-----File:024.png----------------------------
+einander.
+Dabei ist es, werden wir sehen, denkbar, dass~$G$ das zweidimensionale
+Gebiet~$u$, $v$ in \emph{allgemeinster} Weise transformiert und dass
+diese Gruppe dementsprechend mit der Gruppe \emph{aller}
+Punkttransformationen einer Ebene \emph{gleichzusammengesetzt} ist. In
+diesem speciellen Falle, der als ein Ausnahmefall aufgefasst werden
+muss, lässt sich aus dem Vorhandsein der bekannten
+Integralinvariante~$\int\psi\, dx_1\, dx_2$ gar kein Vortheil für die
+Integration des vollständigen Systems:~$X_1f=0$, $X_2f=0$ ziehen.
+
+Um in einfacher Weise die kanonischen Formen zu finden, auf welche~$G$
+in den verschiedenen Fällen gebracht werden kann, denken wir uns
+zunächst statt~$x_1\ldots x_4$ solche neue unabhängige Veränderliche
+\[
+  x, y, z, \mathfrak{z}
+\]
+eingeführt, dass $X_1f$ und $X_2f$ die kanonische Formen
+\[
+  X_1 f = z\frac{\partial f}{\partial z},  \quad
+  X_2 f = \mathfrak{z} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}},
+\]
+annehmen\anm{15}. Ist dann
+\[
+  \int \psi\, dx\, dy
+\]
+die entsprechende Form der bekannten Integralinvariante, so können wir
+setzen
+\[
+  \psi = \alpha p + \beta q + \gamma\mathfrak{p} + \delta\mathfrak{q}
++ \varepsilon(p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q) + \varphi,
+\]
+dabei vorausgesetzt, dass wir die abgekürzten Bezeichnungen
+\[
+  \frac{\partial z}{\partial x} = p, \quad
+  \frac{\partial z}{\partial y} = q, \quad
+  \frac{\partial \mathfrak{z}}{\partial x} = \mathfrak{p}, \quad
+  \frac{\partial \mathfrak{z}}{\partial y} = \mathfrak{q}
+\]
+einführen.  Und da $X_1f$ und $X_2f$ bei einmaliger Erweiterung die
+Gestalten
+\begin{align*}
+  X'_1 f
+&= z\frac{\partial f}{\partial z}
+ + p\frac{\partial f}{\partial p}
+ + q\frac{\partial f}{\partial q}
+\\
+  X'_2 f
+&= \mathfrak{z} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}
+ + \mathfrak{p} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{p}}
+ + \mathfrak{q} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{q}}
+\end{align*}
+erhalten, so zerlegen sich die Bedingungsgleichungen für die Invarianz
+unseres Integrals\anm{16}\label{anm16a}
+\[
+  0 = (\alpha_z z + \alpha)p + (\beta_z z + \beta)q
+    + z\gamma_z\mathfrak{p} + z\delta_z\mathfrak{q}
+    + (z\varepsilon_z + \varepsilon)(p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q)
+    + z\varphi_z
+\equiv X'_1 \psi
+\]
+%-----File: 025.png----------------------------
+\[
+0 = \mathfrak{z}\alpha_{\mathfrak{z}}p +
+    \mathfrak{z}\beta_{\mathfrak{z}}q +
+    (\mathfrak{z}\gamma_{\mathfrak{z}} + \gamma) \mathfrak{p} +
+    (\mathfrak{z}\delta_{\mathfrak{z}} + \delta) \mathfrak{q} +
+    (\mathfrak{z}\varepsilon_{\mathfrak{z}} + \varepsilon)
+(p\mathfrak{q} -\mathfrak{p}q) +
+    \mathfrak{z}\varphi_{\mathfrak{z}}  \equiv  X'_2 \psi
+\]
+in die zwölf Relationen
+\begin{gather*}
+0 = z\alpha_z + \alpha
+  = z\beta_z  + \beta
+  = z\gamma_z
+  = z\delta_z
+  = z\varepsilon_z  + \varepsilon
+  = z\varphi_z,
+\\
+0 = \mathfrak{z}\alpha_{\mathfrak{z}}
+  = \mathfrak{z}\beta_{\mathfrak{z}}
+  = \mathfrak{z}\gamma_{\mathfrak{z}} + \gamma
+  = \mathfrak{z}\delta_{\mathfrak{z}} + \delta
+  = \mathfrak{z}\varepsilon_{\mathfrak{z}} + \varepsilon
+  = \mathfrak{z}\varphi_{\mathfrak{z}},
+\end{gather*}
+die uns zeigen, dass die Coefficienten $\alpha, \beta, \ldots \varphi $
+die Form
+\begin{gather*}
+\alpha = \frac{A(x,y)}{z}, \quad
+\beta  = \frac{B(x,y)}{z}, \quad
+\gamma = \frac{\mathfrak{A}(x,y)}{\mathfrak{z}}, \quad
+\delta = \frac{\mathfrak{B}(x,y)}{\mathfrak{z}}
+\\
+\varepsilon = \frac{C(x,y)}{z\mathfrak{z}}, \quad
+\varphi = D(x,y)
+\end{gather*}
+besitzen. Das vorliegende Integral er\-hält daher in den kanonischen
+Ver\-än\-der\-lichen $x$, $y$, $z$, $\mathfrak{z}$, die Form:
+\[
+\tag{4}
+\int \left\{
+\frac{Ap+Bq}{z} +
+\frac{\mathfrak{Ap}+\mathfrak{Bq}}{\mathfrak{z}} +
+\frac{C(p\mathfrak{q}-\mathfrak{p}q)}{z\mathfrak{z}} + D
+\right\}dx\, dy
+\]
+und es sind die Coefficienten $A$, $B$, $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{B}$,
+$C$ und $D$ Funktionen und zwar willkürliche Funktionen von~$x$ und~$y$.
+
+Wir suchen jetzt die Gruppe $G$, deren Transformationen die Form
+der beiden infinitesimalen Transformationen~$X_1 f$, $X_2 f$ sowie die
+Form des
+vorliegenden Integrals~(4) bewahren, und zwar werden wir zunächst alle
+infinitesimale Transformationen
+\[
+\Uf = \xi \frac{\partial f}{\partial x} +
+     \eta \frac{\partial f}{\partial y} +
+     \zeta \frac{\partial f}{\partial z} +
+     \overline{\omega} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}
+\]
+bestimmen, die unsere Forderungen erfüllen.
+
+Das Verlangen, dass $X_1f$ und $X_2f$ bei der Transformation~$\Uf$ ihre
+Form bewahren sollen, findet nach meinen allgemeinen Theorien seinen
+analytischen Ausdruck darin, dass~$\Uf$ sowohl mit~$X_1f$ wie mit~$X_2f$
+\emph{vertauschbar}\anm{17} sein soll, was wieder heisst, dass die
+Relationen
+\[
+X_1 \Uf - U X_1 f=0, \qquad X_2 \Uf - U X_2 f=0
+\]
+bestehen, und dass $\Uf$ dementsprechend die Form\anm{18}
+\[
+\Uf = \xi(x,y)\frac{\partial f}{\partial x} +
+     \eta(x,y)\frac{\partial f}{\partial y} +
+     z\cdot\alpha(x,y)\frac{\partial f}{\partial z} +
+     \mathfrak{z}\cdot\beta(x,y)\frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}
+\]
+%-----File: 026.png----------------------------
+besitzt, wobei $\xi$,
+$\eta$, $\alpha$ und $\beta$  Funktionen von~$x$, $y$ bezeichnen,
+die durch die Bedingungsgleichung
+\[
+\tag{5} U' \psi + (\xi_x + \eta_y)\psi = 0
+\]
+näher bestimmt werden\anm{16}\label{anm16b}.
+
+Durch einmalige Erweiterung von $\Uf$ erhalten wir die Formel:
+\begin{gather*}
+U'f = \xi \frac{\partial f}{\partial x} +
+ \eta \frac{\partial f}{\partial y} +
+ z \alpha \frac{\partial f}{\partial z} +
+ \mathfrak{z}\beta \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}} +
+\\
++ (p \alpha + z\alpha_x - p \xi_x - q \eta_x)\frac{\partial f}{\partial
+p} +
+ (q\alpha + z\alpha_y - p \xi_y - q\eta_y)\frac{\partial f}{\partial q}
++
+\\
++ (\mathfrak{p}\beta + \mathfrak{z} \beta_x - \mathfrak{p} \xi_x -
+\mathfrak{q} \eta_x) \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{p}} +
+(\mathfrak{q} \beta + \mathfrak{z} \beta_y - \mathfrak{p} \xi_y -
+\mathfrak{q} \eta_y) \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{q}}
+\end{gather*}
+
+Die Bedingungsgleichung (5) erhält daher, wenn wir zur Abkürzung
+setzen:
+\[
+\xi (x, y) \frac{\partial f}{\partial x} + \eta (x, y)
+\frac{\partial f}{\partial y} = \Ubarf,
+\]
+die Gestalt:\anm{+61}
+\begin{gather*}
+\frac{[\overline{U}(A) - \alpha A]p + [ \overline{U}(B) - \alpha
+B]q}{z} +
+\frac{[\overline{U}(\mathfrak{A} - \beta \mathfrak{A}]\mathfrak{p} +
+[\overline{U} (\mathfrak{B}) - \beta
+\mathfrak{B}]\mathfrak{q}}{\mathfrak{z}}
+\\
++ \frac{[\overline{U} (C) - C ( \alpha + \beta)] (p\mathfrak{q} -
+\mathfrak{p}q)}{z \mathfrak{z}} + \overline{U}D +
+\\
++ \frac{A ( p\alpha + z \alpha_x - p \xi_x - q \eta_x) + B (q \alpha +
+z \alpha_y - p \xi_y - q \eta_y)}{z}
+\\
++ \frac{\mathfrak{A}(\mathfrak{p} \beta + \mathfrak{z} \beta_x -
+\mathfrak{p} \xi_x - \mathfrak{q} \eta_x) + \mathfrak{B} (\mathfrak{q}
+\beta + \mathfrak{z} \beta_y - \mathfrak{p} \xi_y - \mathfrak{q}
+\eta_y)}{\mathfrak{z}}
+\\
++ \frac{C [ ( p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q)( \alpha + \beta - \xi_x -
+\eta_y) + p\mathfrak{z}\beta_y - q\mathfrak{z}\beta_x -
+\mathfrak{p}z\alpha_y +
+\mathfrak{qz}\alpha_x]}{z
+ \mathfrak{z}}
+\\
++ (\xi_x + \eta_y) \left[ \frac{Ap + Bq}{z} +
+\frac{\mathfrak{A}\mathfrak{p} +
+\mathfrak{B}\mathfrak{q}}{\mathfrak{z}} +
+\frac{C(p\mathfrak{q}-\mathfrak{p}q)}{z\mathfrak{z}} + D \right] =
+0
+\end{gather*}
+und zerlegt sich daher in die sechs Gleichungen:
+%-----File: 027.png----------------------------
+\[\label{form1}
+\left.
+\begin{aligned}
+  -C\beta_y &=  A\eta_y - B\xi_y + \xi A_x + \eta A_y,  \\
+   C\beta_x &= -A\eta_x + B\xi_x + \xi B_x + \eta B_y,  \\
+   C\alpha_y &=-\mathfrak{B} \xi_y + \mathfrak{A} \eta_y
+              + \xi \mathfrak{A}_x + \eta \mathfrak{A}_y,  \\
+  -C\alpha_x &= \mathfrak{B} \xi_x - \mathfrak{A} \eta_x
+              + \xi \mathfrak{B}_x + \eta \mathfrak{B}_y,  \\
+  0 &= \xi C_x + \eta C_y  \\
+  0 &= D(\xi_x+\eta_y) + \xi D_x + \eta D_y + A\alpha_x + B\alpha_y
+     + \mathfrak{A}\beta_x + \mathfrak{B}\beta_y,
+\end{aligned}
+\right\}
+\tag{6}
+\]
+die in jedem einzelnen Falle die gesuchten infinitesimalen
+Transformationen~$\Uf$ vollständig bestimmen.
+
+Die Form dieser sechs Gleichungen zeigt, dass es einen wesentlichen
+Unterschied macht, ob~$C$ eine Constante ist oder nicht. Die fünfte
+Gleichung
+\[
+  \xi C_x + \eta C_y = 0
+\tag{7}
+\]
+sagt, dass $C$ unter allen Umständen bei den infinitesimalen
+Transformationen~$\Uf$ invariant bleibt. Ist daher~$C$ keine absolute
+Constante, sondern eine wirkliche Funktion von~$x$ und~$y$, so ist~$C$
+eine \emph{Invariante} nullter Ordnung gegenüber allen~$\Uf$, die somit
+in diesem Falle sicher eine \emph{intransitive} Gruppe erzeugen. Ist~$C$
+dagegen eine absolute Constante, so ist die Bedingung~(7) identisch
+erfüllt, und dann kann die Gruppe, wie wir später sehen werden, unter
+Umständen transitiv sein. \bigskip
+
+Ehe wir zur Discussion aller möglichen Fälle übergehen, untersuchen wir
+das Verhalten unseres Integrals bei Ausführung von Transformationen,
+welche die kanonische Form der beiden infinitesimalen Transformationen
+bewahren.
+
+Wenn wir in die beiden infinitesimalen Transformationen:
+\[
+  X_1 f = z\frac{\partial f}{\partial z}, \quad
+  X_2 f = \mathfrak{z}\frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}
+\]
+und die zugehörige Integralinvariante
+\[
+  \int \left( \frac{Ap + Bq}{z}
+            + \frac{   \mathfrak{Ap} + \mathfrak{Bq}  }{ \mathfrak{z}}
+            + \frac{ C(p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q) }{z\mathfrak{z}}
+            + D
+       \right) dx\, dy
+\]
+%-----File: 028.png----------------------------
+die neuen Veränderlichen
+\[
+\tag{8} x_1=X(x, y),\ y_1=Y(x,y),\ z_1=z\theOmega(x,y),\
+\mathfrak{z}_1=\mathfrak{z}V(x,y)
+\]
+einführen, so ist es unmittelbar klar, dass die beiden
+infinitesimalen Transformationen ihre Form bewahren\anm{19}.
+Hieraus lässt sich ohne Rechnung der Schluss ziehen, dass auch das
+obenstehende Integral seine allgemeine Form bewahrt, wenn auch
+seine Coefficienten~$A$, $B$, $C$, $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{B}$
+eine neue Gestalt erhalten.
+
+Schon früher (S.~\pageref{satz1}) haben wir ja gesehen, dass jedes über
+die
+Mannigfaltigkeit $z = Z(x,y)$, $\mathfrak{z} = \mathfrak{Z}(x,y)$
+erstreckte Integral $\int \psi \, dx\, dy$, dessen Argument~$\psi$
+in den Grössen $p$, $q$, $\mathfrak{p}$, $\mathfrak{q}$,
+$(p\mathfrak{q}-\mathfrak{p}q)$ linear ist, bei \emph{jeder}
+Punkttransformation
+\[
+x_1 = L(x,y,z,\mathfrak{z}),\ y_1 = M(\ldots),\ z_1 = N(\ldots),\
+\mathfrak{z}_1 = P(\ldots)
+\]
+des vierfachen Raumes $x$, $y$, $z$, $\mathfrak{z}$ seine
+allgemeine Form bewahrt. Dies bleibt eo ipso insbesondere auch
+dann wahr, wenn die Coefficienten $A$, $B$, $\mathfrak{A}$,
+$\mathfrak{B}$, $C$, $D$ der Grösse
+\[
+\psi = \frac{Ap + Bq}{z} + \frac{\mathfrak{Ap} +
+\mathfrak{Bq}}{\mathfrak{z}} + \frac{C(p\mathfrak{q} -
+\mathfrak{p}q)}{\mathfrak{z}z} + D
+\]
+nur von $x$ und $y$ abhängen, und andererseits die
+Variabeländerung die specielle Form~(8) besitzt. In diesem
+besonderen Falle lässt sich überdies mit Leichtigkeit erkennen,
+dass auch im transformierten Integral $\int \psi'\, dx_1\, dy_1$ die
+Coefficienten $A_1$, $B_1$, $\mathfrak{A}_1$, $\mathfrak{B}_1$,
+$C_1$ und $D_1$ der Grösse
+\[
+\psi' = \frac{A_1 p_1 + B_1 q_1}{z_1} + \frac{\mathfrak{Ap}_1 +
+\mathfrak{Bq}_1}{\mathfrak{z}_1} + \frac{C_1(p_1 \mathfrak{q}_1 -
+\mathfrak{p}_1 q_1)}{z_1\mathfrak{z}_1} + D_1
+\]
+nur von $x_1$ und $y_1$ abhängen. Dies folgt unmittelbar daraus,
+dass die Transformation
+\[
+x_1 = X(x,y),\ y_1 = Y(x,y),\ z_1 = z\cdot \theOmega(x,y),\
+\mathfrak{z}_1 = \mathfrak{z}V(x,y)
+\]
+eben weil sie sowohl
+\[
+X_1f = z\frac{\partial f}{\partial z},\ \mathrm{wie }\ X_2f =
+\mathfrak{z}\frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}
+\]
+%-----File: 029.png----------------------------
+invariant lässt, auch jedes bei $X_1 f$ und $X_2 f$ invariante Integral
+in ein
+Integral überführen muss, das ebenfalls bei diesen beiden
+Transformationen
+invariant bleibt. Das transformirte Integral:~$\int \psi'\, dx_1\,
+dy_1$, dessen Argument
+$\psi'$ jedenfalls in $p_1$, $q_1$, $\mathfrak{p}_1$, $\mathfrak{q}_1$
+und $p_1 \mathfrak{q}_1 - \mathfrak{p}_1 q_1$ linear ist, bleibt
+aber nur dann bei
+\[
+z_1 \frac{\partial f}{\partial z_1}\quad \mathrm{und}\quad
+\mathfrak{z}_1 \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}_1}
+\]
+invariant, wenn die transformirten Coefficienten $A_1$, $B_1$,
+$\mathfrak{A}_1$, $\mathfrak{B}_1$ und~$C_1$ nur von~$x_1$ und~$y_1$
+abhängen.
+
+Indem wir diese Thatsache analytisch bestätigen, werden wir mehrere
+weitergehende Resultate erhalten, die sich übrigens ebenfalls ohne
+Rechnung
+durch synthetische Betrachtungen herleiten liessen.
+
+\bigskip
+
+Wir tragen die Werthe $x_1=X(x,y),\ \ldots\ \mathfrak{z}_1 =
+\mathfrak{z}\cdot V(x,y)$ in die
+Gleichung
+\[
+dz_1 - p_1 dx_1 - q_1 dy_1 = 0
+\]
+ein und erhalten hierdurch eine in den Differentialen $dx$, $dy$
+lineäre Relation
+\begin{gather*}
+\theOmega (pdx + qdy) + z(\theOmega_x\, dx + \theOmega_y\, dy) =\\
+= p_1 (X_x\, dx + X_y\, dy) + q_1 (Y_x\, dx + Y_y\, dy),
+\end{gather*}
+die sich in die beiden Gleichungen
+\begin{align*}
+\theOmega p &= X_x p_1 + Y_x q_1 - z\theOmega_x,\\
+\theOmega q &= X_y p_1 + Y_y q_1 - z\theOmega_y
+\end{align*}
+zerlegt. Dividieren wir sodann links und rechts mit der Grösse
+\[
+z_1 = z\theOmega,
+\]
+so erhalten wir zunächst die Formeln:
+\begin{align*}
+\frac {p}{z} &= X_x\frac{p_1}{z_1} + Y_x\frac{q_1}{z_1} -
+\frac{\theOmega_x}{\theOmega},
+\\
+\frac {q}{z} &= X_y\frac{p_1}{z_1} + Y_y\frac{q_1}{z_1} -
+\frac{\theOmega_y}{\theOmega},
+\end{align*}
+%-----File: 030.png----------------------------
+sodann in entsprechender Weise die analogen Formeln:
+\begin{align*}
+  \mathfrak{\frac{p}{z}} &= X_x \mathfrak{\frac{p_1}{z_1}}
+                          + Y_x \mathfrak{\frac{q_1}{z_1}}
+                          - \frac{V_x}{V},
+\\
+  \mathfrak{\frac{q}{z}} &= X_y \mathfrak{\frac{p_1}{z_1}}
+                          + Y_y \mathfrak{\frac{q_1}{z_1}}
+                          - \frac{V_y}{V},
+\end{align*}
+und endlich die Gleichung\anm{20}:
+\begin{multline*}
+  \frac{p  \mathfrak{q  } - \mathfrak{p  }q  }{z  \mathfrak{z  }}
+= \frac{p_1\mathfrak{q_1} - \mathfrak{p_1}q_1}{z_1\mathfrak{z_1}}
+  (X_x Y_y - X_y Y_x)
+\\
+- \frac{p_1}{z_1}\left( X_x \frac{V_y}{V} - X_y \frac{V_x}{V} \right)
+- \frac{q_1}{z_1}\left( Y_x \frac{V_y}{V} - Y_y \frac{V_x}{V} \right)
+\\
++ \mathfrak{\frac{p_1}{z_1}}
+  \left( X_x \frac{\theOmega_y}{\theOmega}
+       - X_y \frac{\theOmega_x}{\theOmega} \right)
++
+  \mathfrak{\frac{q_1}{z_1}}
+  \left( Y_x \frac{\theOmega_y}{\theOmega}
+       - Y_y \frac{\theOmega_x}{\theOmega} \right)
++
+  \frac{\theOmega_x V_y - \theOmega_y V_x}{\theOmega V}.
+\end{multline*}
+
+Diese Werthe tragen wir in den Ausdruck
+\[
+  \psi =    \frac{Ap + Bq}{z}
++ \mathfrak{\frac{Ap + Bq}{z}}
++ \frac{C(p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q)}{z\mathfrak{z}} + D
+\]
+ein und erinnern uns dabei, dass
+\[
+  \psi = \psi' \Delta
+\]
+ist, wenn wir die Funktionaldeterminante von~$X$ und~$Y$ nach~$x$
+und~$y$
+mit~$\Delta$ bezeichnen. Alsdann erhalten wir die Formeln\anm{+62}
+\[\label{form5}
+\tag{9}
+\left.
+\begin{aligned}
+  C_1 &= C
+\\
+  \Delta\cdot A_1
+&= AX_x + BX_y
+ - C\left( X_x \frac{V_y}{V} - X_y \frac{V_x}{V} \right),
+\\
+  \Delta\cdot B_1
+&= AY_x + BY_y
+ - C\left( Y_x \frac{V_y}{V} - Y_y \frac{V_x}{V} \right),
+\\
+  \Delta\cdot \mathfrak{A}_1
+&= \mathfrak{A} X_x + \mathfrak{B} X_y
+ + C\left( X_x \frac{\theOmega_y}{\theOmega}
+         - X_y \frac{\theOmega_x}{\theOmega} \right),
+\\
+%-----File: 031.png----------------------------
+  \Delta\cdot \mathfrak{B}_1
+&= \mathfrak{A} Y_x + \mathfrak{B} Y_y
+ + C\left( Y_x \frac{\theOmega_y}{\theOmega}
+         - Y_y \frac{\theOmega_x}{\theOmega} \right),
+\\
+  \Delta\cdot D_1
+&= C\cdot \frac{\theOmega_x V_y - \theOmega_y V_x}{\theOmega V}
+ - A \frac{\theOmega_x}{\theOmega}
+ - B \frac{\theOmega_y}{\theOmega}
+ - \mathfrak{A} \frac{V_x}{V}
+ - \mathfrak{B} \dfrac{V_y}{V}
+ + D.
+\end{aligned}
+\right\}
+\]
+
+In diesen Untersuchungen spielt die Grösse:
+\[
+  \omega = CD + \mathfrak{A} B - A \mathfrak{B}
+\]
+eine hervortretende Rolle. Es lässt sich von vornherein erkennen, dass
+diese Grösse bei \emph{jeder} Punkttransformation des Raumes $x$, $y$,
+$z$, $\mathfrak{z}$ in dem Sinne als Invariante auftritt, dass das
+Verschwinden oder Nichtverschwinden dieser Grösse von
+Variabel-Aenderungen unberührt bleibt.
+
+Um dies in einfacher Weise einzusehen, deuten wir wie früher die
+Grössen
+\[
+  p, q, \mathfrak{p}, \mathfrak{q}, p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q
+\]
+als Liniencoordinaten des dreifachen ebenen Raumes $M_3$, der von allen
+Linienelementen~$dx: dy: dz: d\mathfrak{z}$; durch einen bestimmten
+Punkt gebildet wird. Die Gleichung:
+\[
+0 = \psi \equiv \frac{Ap + Bq}{z}
++ \mathfrak{\frac{Ap + Bq}{z}}
++ \frac{C(p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q)}{z\mathfrak{z}} + D
+\]
+definiert bei dieser Auffassung einen \emph{linearen Liniencomplex} des
+Raumes~$M_3$, dessen Coordinaten $dx: dy: dz: d\mathfrak{z}$ bei der
+Punkttransformation: $x_1 = X(x,y) \ldots \mathfrak{z}_1 = \mathfrak{z}
+V(x,y)$ linear und homogen, nämlich durch die Gleichungen:
+\begin{align*}
+  dx_1 &= X_x dx + X_y dy, \qquad  dy_1 = Y_x dx + Y_y dy,
+\\
+  dz_1 &= \theOmega dz + z(\theOmega_x dx + \theOmega_y dy),
+\\
+  d\mathfrak{z}_1 &= V d\mathfrak{z} + \mathfrak{z}(V_x dx + V_y dy),
+\end{align*}
+transformirt werden. Aus der Liniengeometrie ist es aber bekannt, dass
+bei dieser Transformation die Grösse
+\[
+  CD + \mathfrak{A} B - A \mathfrak{B} = \omega
+\]
+%-----File: 032.png----------------------------
+im Sinne der projectiven Geometrie oder sagen wir lieber im Sinne der
+\emph{Cayley}'schen Invariantentheorie sich als Invariante
+verhält\anm{21}.
+
+Analytisch ergiebt sich das hiermit gefundene Resultat unmittelbar, wenn
+wir die obenstehenden Werthe der Grössen $A_1$, $B_1$, $\mathfrak{A}_1$,
+$\mathfrak{B}_1$, $C_1$ und~$D_1$ \label{form4} in den
+Ausdruck: %% Das Original weist folgenden Druckfehler auf: $C_1D_1 +
+          %% \mathfrak{A}_1\mathfrak{B}_1 - A_1\mathfrak{B}_1$
+\[
+C_1D_1 + \mathfrak{A}_1B_1 - A_1\mathfrak{B}_1
+\]
+einführen. Hierbei erhalten wir nämlich die Formel:
+\[\label{anm27}
+\Delta(C_1D_1 + \mathfrak{A}_1B_1 - A_1\mathfrak{B}_1) = CD +
+\mathfrak{A}B - A\mathfrak{B}.
+\]
+
+Jetzt können wir noch weitere Schlüsse ziehen, die sich auf den
+speciellen Fall:
+\[
+C = 0
+\]
+beziehen. In diesem Falle erhalten die obenstehenden Ausdrücke der
+Grössen $A_1$, $B_1$, $\mathfrak{A}_1$, $\mathfrak{B}_1$, $D_1$ die
+einfache Form
+\begin{gather*}\label{form3}
+\Delta\cdot A_1 = AX_x + BX_y,\qquad
+\Delta\cdot B_1 = AY_x + BY_y\\
+\Delta\cdot \mathfrak{A}_1 = \mathfrak{A}X_x + \mathfrak{B}X_y,\qquad
+\Delta\cdot \mathfrak{B}_1 = \mathfrak{A}Y_x + \mathfrak{B}Y_y\\
+\Delta\cdot D_1 = - A\frac{\theOmega_x}{\theOmega} -
+B\frac{\theOmega_y}{\theOmega} - \mathfrak{A}\frac{V_x}{V} -
+\mathfrak{B}\frac{V_y}{V} + D.
+\end{gather*}
+
+Die letzte Formel zeigt, dass es, sobald $A$, $B$, $\mathfrak{A}$
+und~$\mathfrak{B}$ nicht sämmtlich gleich Null sind, immer möglich ist,
+die Grössen~$\theOmega$ und~$V$ derart zu wählen, dass~$D_1$
+verschwindet.
+
+Ist überdies
+\[
+A\mathfrak{B}-\mathfrak{A}B \neq 0,
+\]
+so kann $X$ und $Y$ so gewählt werden, dass~$A_1$ und~$\mathfrak{B}_1$
+gleich Null werden\anm{22}.
+\bigskip
+
+Wir wollen jetzt annehmen, dass der Coefficient $C$ constant ist.
+Multiplicieren wir die auf Seite~\pageref{form1} gefundene Formel
+\[
+0 = D(\xi_x + \eta_y) + D_x\xi + D_y\eta + A\alpha_x + B\alpha_y
++\mathfrak{A}\beta_x + \mathfrak{B}\beta_y
+\]
+%-----File: 033.png----------------------------
+mit $C$ und tragen sodann in ihr die auf derselben Seite gegebenen
+Werthe
+der Grössen~$C\alpha_x$, $C\alpha_y$, $C\beta_x$, $C\beta_y$ ein, so
+erhalten
+wir, indem wir zur Abkürzung:
+\[
+CD + \mathfrak{A}B - A\mathfrak{B} = \omega
+\]
+setzen, die Gleichung
+\[
+\omega(\xi_x + \eta_y) + \omega_x\xi + \omega_y\eta = 0
+\]
+die uns zeigt, dass $\omega$ \emph{einen gemeinsamen Multiplicator
+aller~$\Ubarf$ darstellt}\anm{23}.
+
+Differentiiren wir andererseits die erste Gleichung (6) nach $x$ und die
+zweite nach~$y$ und addieren die Resultate, so erhalten wir die
+Integrabilitätsbedingung
+\[
+0 = \xi(A_{xx} + B_{xy}) + \eta(A_{xy} + B_{yy}) + (\xi_x + \eta_y)(A_x
++ B_y)
+\]
+oder wenn wir
+\[
+A_x + B_y = \varrho
+\]
+setzen, die Gleichung
+\[
+\varrho(\xi_x + \eta_y) + \varrho_x\xi + \varrho_y\eta = 0
+\]
+die uns zeigt, dass \emph{auch die Grösse $\varrho = A_x + B_y$ einen
+gemeinsamen
+Multiplicator aller~$\Ubarf$ liefert}.
+
+Durch ganz analoge Behandlung der dritten und vierten Gleichung~(6)
+erkennen wir, dass die Grösse
+\[
+\sigma = \mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y
+\]
+die Gleichung
+\[
+\sigma(\xi_x + \eta_y) + \sigma_x\xi + \sigma_y\eta = 0
+\]
+erfüllt und also \emph{wiederum einen gemeinsamen Multiplicator
+aller~$\Ubarf$ darstellt}.
+
+Wir fassen die bisherigen Resultate in der folgenden Weise zusammen:
+
+\bigskip
+
+\begin{satz}\label{anm32a}
+Ist die Grösse $C$ eine Constante, so stellt eine jede unter
+den drei Grössen
+\begin{gather*}
+\omega = CD + \mathfrak{A}B - A\mathfrak{B},\\
+\varrho = A_x + B_y,\qquad \sigma = \mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y\\
+\end{gather*}
+einen gemeinsamen Multiplicator aller $\Ubarf$ dar.
+\end{satz}
+%-----File: 034.png----------------------------
+
+\bigskip
+
+Indem wir jetzt weiter gehen, wollen wir zuerst ausdrücklich
+voraussetzen,
+dass die Constante~$C$ von Null verschieden ist; sodann erledigen
+wir den Fall~$C = 0$, und schliesslich machen wir die Annahme, dass~$C$
+keine Constante, sondern eine wirkliche Funktion von~$x$ und~$y$
+darstellt.
+
+\begin{center}
+\makebox[10em]{\hrulefill}\bigskip
+\end{center}
+
+\subsection*{$\mathbf{C = Const. \neq 0.}$}
+\label{case1} Ist $C$ constant und von Null verschieden, so sind die
+Grössen~$\xi$ und~$\eta$ bestimmt durch die drei Gleichungen:
+\begin{equation}
+\tag{10}
+\left.
+\begin{aligned}
+  \omega(\xi_x + \eta_y) + \omega_x\xi + \omega_y\eta&=&0\\
+  \varrho(\xi_x + \eta_y) + \varrho_x\xi + \varrho_y\eta&=&0\\
+  \sigma(\xi_x + \eta_y) + \sigma_x\xi + \sigma_y\eta&=&0
+\end{aligned}
+\right\}
+\end{equation}
+die in den Grössen
+\[
+\xi_x + \eta_y, \quad\xi, \quad\eta
+\]
+linear und homogen sind. Ist daher die Determinante
+\[
+\begin{vmatrix}
+\omega & \omega_x &\omega_y\\
+\varrho & \varrho_x &\varrho_y\\
+\sigma & \sigma_x &\sigma_y
+\end{vmatrix}
+\equiv\theTheta
+\]
+nicht identisch Null, so sind $\xi$ und $\eta$ alle beide gleich Null,
+und dann
+zeigen die vier ersten Gleichungen (6), die jetzt die Form
+\[
+\beta_y = 0,\ \beta_x = 0,\ \alpha_x = 0,\ \alpha_y = 0
+\]
+annehmen, dass $\alpha$ und $\beta$ Constante sind und dass $\Uf$ daher
+die Form
+\[
+\mathrm{Const}\cdot z\frac{\partial f}{\partial z} +
+\mathrm{Const}\cdot\mathfrak{z}\frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}
+\]
+besitzt. In diesem Falle enthält die gesuchte Gruppe $G$ keine anderen
+unabhängigen infinitesimalen Transformationen als
+%-----File: 035.png----------------------------
+\[
+X_1f = z\frac{\partial f}{\partial z},\ X_2f
+= \mathfrak{z}\frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}.
+\]
+
+\bigskip
+
+\label{case2} Verschwindet dagegen die Determinante $\theTheta$
+identisch, während
+ihre zweireihigen Unterdeterminanten nicht sämtlich gleich Null
+sind, so reducieren sich die \emph{drei} Gleichungen~(10) auf
+zwei unabhängige, die alle beide die Form
+\begin{eqnarray*}
+M(\xi_x + \eta_y) + M_x\xi + M_y \eta &=& 0,\\
+N(\xi_x + \eta_y) + N_x\xi + N_y \eta &=& 0
+\end{eqnarray*}
+besitzen. Dann haben alle infinitesimalen Transformationen:
+\[
+\Ubarf = \xi \frac{\partial f}{\partial x} + \eta \frac{\partial
+f}{\partial y}
+\]
+zwei gemeinsame Multiplicatoren $M$ und $N$. Dementsprechend ist
+das Verhältniss~$M : N$ eine gemeinsame Lösung aller Gleichungen
+\[
+0 = \xi \frac{\partial f}{\partial x} + \eta \frac{\partial
+f}{\partial y} \equiv \Ubarf.
+\]
+
+Es ist nun immer möglich statt $x$ und $y$ zwei solche neue
+Veränderliche
+\[\label{form2}
+x_1 = \frac{M}{N},\ y_1 = Y(x,y)
+\]
+einzuführen, dass
+\[
+M=x,\ N=1
+\]
+wird\anm{24}. Die Definitionsgl.\anm{+63} der
+infinitesimalen Transformation
+\[
+\Ubarf = \xi \frac{\partial f}{\partial x} + \eta \frac{\partial
+f}{\partial y}
+\]
+erhalten hierbei die Form:
+\[
+\Ubarf = \mu (x)\frac{\partial f}{\partial y}
+\]
+und die Transformation
+%-----File: 036.png----------------------------
+\[
+  \Uf = \mu(x) \frac{\partial f}{\partial y}
+     + z\alpha(x,y) \frac{\partial f}{\partial z}
+     + \mathfrak{z}\beta(x,y) \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}
+\]
+wird bestimmt durch die Gleichungen:
+\begin{align*}
+  -C  \beta_y  &=  \mu(x) A_y  \\
+   C  \beta_x  &= -A \mu'(x) + \mu(x) B_y  \\
+   C \alpha_y &=  \mu(x) \mathfrak{A}_y  \\
+  -C \alpha_x &= -\mathfrak{A} \mu'(x) + \mu(x) \mathfrak{B}_y.
+\end{align*}
+
+Die zugehörigen Integrabilitätsbedingungen
+\[
+  A_{xy} + B_{yy} = 0,\qquad
+  \mathfrak{A}_{xy} + \mathfrak{B}_{yy} = 0
+\]
+werden in allgemeinster Weise befriedigt, wenn wir
+\[
+  A_x + B_y = X'(x),\qquad
+  \mathfrak{A}_{x} + \mathfrak{B}_y = X'_1(x)
+\]
+und
+\[
+            A = X(x) + \theOmega_y, \quad            B = -\theOmega_x,
+\quad
+  \mathfrak{A} = X_1(x) + V_y,   \quad  \mathfrak{B} = -V_x
+\]
+setzen. Die entsprechenden Werthe der Grössen $\alpha$ und~$\beta$ sind
+daher
+\[
+  \alpha = \frac{\mu(x)}{C} V_y + \frac{1}{C} \int X_1(x) d\mu, \qquad
+  \beta  = -\frac{\mu\theOmega_y}{C} - \frac{1}{C} \int X d\mu.
+\]
+
+Führen wir hier neue Veränderliche ein, nämlich
+\[
+  x_1 = x,  \qquad  y_1 = y,  \qquad
+  z_1 = ze^{-\frac{V}{C}},    \qquad
+  \mathfrak{z}_1 = \mathfrak{z} e^{\frac{\theOmega}{C'}},
+\]
+so sehen wir, dass wir in den früheren Formeln ohne Beschränkung
+\[
+  V=0,  \qquad  \theOmega=0
+\]
+setzen können.
+
+Hierbei enthält unsere Integralinvariante die Form
+\[
+\tag{11}
+  \int \left( \frac{X(x)p}{z}
+            + \frac{X_1(x)\mathfrak{p}}{\mathfrak{z}}
+            + \frac{C(p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q)}{z\mathfrak{z}}
+            + D \right) dx\, dy
+\]
+%-----File: 037.png----------------------------
+während
+\[
+\tag{12}
+  \Uf = \mu(x) \frac{\partial f}{\partial y}
+     + \frac{1}{C}\left( \int X_1 \,d\mu \right)
+       z \frac{\partial f}{\partial z}
+     - \frac{1}{C}\left( \int X \,d\mu \right)
+       \mathfrak{z} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}
+\]
+wird. Setzen wir $\mu=1$, so erkennen wir noch, dass $D$ eine Funktion
+von~$x$ allein sein muss\anm{25}. Sind andererseits im Integrale~(11)
+die Grössen~$X$, $X_1$ und~$D$ beliebige Funktionen von~$x$, die
+jedenfalls nicht mehr als eine homogene lineare Gleichung
+\[
+  kX' + k_1 X'_1 + k_0 D = 0
+\]
+mit konstanten Coefficienten erfüllen, so besitzt die Gruppe des
+Integrals~(11) die Form~(12)\anm{26}.
+
+\bigskip
+
+\label{case3} Jetzt nehmen wir an, dass nicht allein die Determinante
+\[
+\begin{vmatrix}
+  \omega  & \omega_x  & \omega_y   \\
+  \varrho & \varrho_x & \varrho_y  \\
+  \sigma  & \sigma_x  & \sigma_y
+\end{vmatrix}
+\]
+der Grössen
+$\omega = CD + \mathfrak{A}B - A\mathfrak{B}$,
+$\varrho = A_x + B_y$,
+$\sigma = \mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y$ sondern
+auch alle ihre zweireihigen Unterdeterminanten verschwinden, während
+die drei Grössen~$\omega$, $\varrho$ und $\sigma$ nicht sämmtlich
+gleich Null sind.
+
+In diesem Falle reduciren sich die drei Gleichungen
+\[
+\tag{10}
+\left.
+\begin{aligned}
+  \omega (\xi_x + \eta_y) + \omega_x \xi + \omega_y \eta &= 0  \\
+  \varrho(\xi_x + \eta_y) + \varrho_x\xi + \varrho_y\eta &= 0  \\
+  \sigma (\xi_x + \eta_y) + \sigma_x \xi + \sigma_y \eta &= 0
+\end{aligned}
+\right\}
+\]
+auf eine einzige Gleichung
+\[
+  N(\xi_x + \eta_y) + N_x\xi + N_y\eta = 0
+\]
+und dabei können wir ohne Beschränkung annehmen (das heisst, wir können
+durch eine passende Variabeländerung erreichen) dass~$N$ gleich Eins
+wird\anm{27}.
+
+Die Definitionsgleichung
+\[
+  \xi_x + \eta_y = 0
+\]
+%-----File: 038.png----------------------------
+zeigt, dass wir
+\[
+  \xi  = W_y,\quad
+  \eta =-W_x
+\]
+setzen können und dass die Funktion $W(x,y)$ ganz beliebig gewählt
+werden
+kann.
+
+Die Gleichungen (10) erhalten jetzt die Form
+\[
+  \omega_x W_y - \omega_y W_x=0,\quad
+  \varrho_x W_y-\varrho_y W_x=0,\quad
+  \sigma_x W_y - \sigma_y W_x=0
+\]
+und sie sollen bestehen, \emph{welche Funktion von~$x$, $y$ die
+Grösse~$W$ sein
+möge}. Also sind~$\omega$, $\varrho$ und~$\sigma$ drei Constanten, die
+aber nicht sämmtlich
+gleich Null sein können\anm{28}.
+
+Es ist also
+\begin{flalign*}
+&\phantom{(k_i=\text{Const.})}&
+& \omega=k_1,\quad \varrho=k_2,\quad
+  \sigma=k_3
+& (k_i=\text{Const.}) &
+\end{flalign*}
+oder
+\begin{gather*}
+  CD+\mathfrak{A}B-A\mathfrak{B}=k_1 \\
+  A_x + B_y = k_2 \\
+  \mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y=k_3
+\end{gather*}
+woraus
+\[
+  A = k_2 x + \varOmega_y, \quad
+  B = -\varOmega_x, \quad
+  \mathfrak{A} = k_3 x + V_y, \quad
+  \mathfrak{B} = -V_x ;
+\]
+und es ergiebt sich genau wie im vorigen Falle, dass wir ohne
+Beschrän\-kung $\varOmega=V=0$ setzen können, so dass unser Integral die
+Form:
+\[
+  \tag{13}
+  \int \left( \frac{k_2\: xp}{z} + \frac{k_3\:
+x\mathfrak{p}}{\mathfrak{z}}
+    + \frac{C(p\mathfrak{q}-\mathfrak{p}q)}{z\mathfrak{z}} + k_4
+\right) dx\:dy
+\]
+annimmt, wobei $k_4$ eine Constante bezeichnet. Ist andererseits~$C$ von
+Null verschieden, und sind die drei Constanten~$k_2$, $k_3$, $k_4$
+nicht sämmtlich
+gleich Null, so entspricht das obenstehende Integral immer den hier
+gemachten Voraussetzungen.
+
+Die zugehörigen infinitesimalen Transformationen~$\Uf$ sind bestimmt
+durch die Gleichungen~(6), die durch Substitution der Werthe
+\[
+  A=k_2\, x,\quad B=0,\quad \mathfrak{A}=k_3\, x, \quad
+  \mathfrak{B}=0,\quad \xi=W_y,\quad \eta=-W_x
+\]
+die Form
+%-----File: 039.png----------------------------
+\begin{align*}
+ -C\beta_y &= -k_2 x W_{xy} + k_2 W_y  \\
+  C\beta_x &=  k_2 x W_{xx}            \\
+ C\alpha_y &= -k_3 x W_{xy} + k_3 W_y  \\
+-C\alpha_x &=  k_3 x W_{xx}
+\end{align*}
+annehmen. Es ist daher
+\begin{align*}
+  C\beta &= k_2 x W_x-k_2 W+ \text{Const.}  \\
+-C\alpha &= k_3 x W_x-k_3 W+ \text{Const.}
+\end{align*}
+und
+\[
+\begin{split}
+\Uf = W_y \frac{\partial f}{\partial x} - W_x \frac{\partial
+f}{\partial y}
+&- (k_3 x W_x - k_3W + \textrm{Const.}) z \frac{\partial f}{\partial z}
+\\
+&+ (k_2 x W_x - k_2W + \textrm{Const.}) \mathfrak{z} \frac{\partial
+f}{\partial \mathfrak{z}}.
+\end{split}
+\tag{14}
+\]
+
+\bigskip
+
+Es erübrigt noch, den Fall
+\[\label{case4}
+\omega=0, \qquad \varrho \equiv A_x + B_y= 0, \qquad
+  \sigma \equiv \mathfrak{A}_x + \mathfrak{B} = 0
+\]
+zu erledigen. In diesem Fall ist
+\[
+A=\varOmega_x, \qquad B=-\varOmega_y, \qquad
+  \mathfrak{A}=V_x, \qquad  \mathfrak{B}=-V_y
+\]
+und wir erkennen wie früher, dass wir~$\varOmega$ und~$V$ ohne
+Beschränkung gleich
+Null und dementsprechend
+\[
+A=0, \qquad  B=0, \qquad  \mathfrak{A}=0, \qquad  \mathfrak{B}=0
+\]
+setzen können, und da $\omega=0$ ist, so folgt, dass auch
+\[
+D=0
+\]
+sein muss. Die kanonische Form unserer Integralinvariante wird also im
+vorliegenden Falle
+\[
+ \int \frac{p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q}{z\mathfrak{z}} dx \, dy.
+\]
+
+[Wenn wir alle diese Resultate zusammenfassen, können wir folglich
+das Theorem aussprechen\anm{+64}:] % original had a 29) marker here
+%-----File: 040.png----------------------------
+
+\begin{theorem} Bleibt das über zweidimensionale Mannigfaltigkeiten:\\
+$z=Z(x,y)$, $\mathfrak{z}=\mathfrak{Z}(x,y)$ erstreckte Integral
+\[
+  \int \Big(
+    \alpha p + \beta q + \gamma\mathfrak{p} + \delta\mathfrak{q} +
+    \varepsilon(p\mathfrak{q}-\mathfrak{p}q) + \varphi
+  \Big) dx\,dy
+\]
+invariant bei den beiden infinitesimalen Transformationen
+\[
+  X_1 f = z \frac{\partial f}{\partial z},\quad
+  X_2 f = \mathfrak{z} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}},
+\]
+und haben die Coefficienten $\alpha, \beta, \ldots \varphi$ in Folge
+dessen die Form
+\[\wideeqn
+  \alpha = \frac{A(x,y)}{z},\
+  \beta  = \frac{B(x,y)}{z},\
+  \gamma = \frac{\mathfrak{A}(x,y)}{\mathfrak{z}},\
+  \delta = \frac{\mathfrak{B}(x,y)}{\mathfrak{z}},\
+  \varepsilon = \frac{C(x,y)}{\mathfrak{z}z},\
+  \varphi= D(x,y);
+\]
+ist ferner
+\[
+  \Uf = \xi\frac{\partial f}{\partial x} +
+      \eta\frac{\partial f}{\partial y} +
+     \zeta\frac{\partial f}{\partial z} +
+ \vartheta\frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}
+\]
+die allgemeinste infinitesimale Transformation, die~$X_1 f$, $X_2 f$ und
+das obenstehende Integral invariant lässt, und ist endlich die
+Grösse~$C$ eine von Null verschiedene Constante, so sind~$\xi(x,y)$
+und~$\eta(x,y)$ Funktionen von~$x$ und~$y$, die durch die Gleichungen
+\begin{widegather*}
+  (CD+\mathfrak{A}B-A\mathfrak{B})(\xi_x + \eta_y) +
+    (CD+\mathfrak{A}B-A\mathfrak{B})_x \cdot \xi +
+    (CD+\mathfrak{A}B-A\mathfrak{B})_y \cdot \eta = 0 \\
+  (A_x + B_y)(\xi_x + \eta_y) + (A_x + B_y)_x \cdot \xi +
+    (A_x + B_y)_y \cdot \eta = 0 \\
+  (\mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y)(\xi_x + \eta_y) +
+    (\mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y)_x \cdot \xi +
+    (\mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y)_y \cdot \eta = 0
+\end{widegather*}
+bestimmt werden. Die Incremente $\zeta$ und $\vartheta$ besitzen die
+Form
+\[
+  \xi = z \cdot \alpha(x,y),\quad
+  \vartheta = \mathfrak{z} \cdot \beta(x,y)
+\]
+und dabei werden $\alpha$ und $\beta$ durch Quadratur der immer
+integrablen
+Gleichungen
+\begin{align*}
+  -C\beta_y &=
+    A\eta_y - B\xi_y + \xi A_x + \eta A_y, \\
+  C \beta_x &=
+   -A\eta_x + B\xi_x + \xi B_x + \eta B_y, \\
+  C \alpha_y &=
+   -\mathfrak{B}\xi_y + \mathfrak{A}\eta_y + \xi \mathfrak{A}_x + \eta
+\mathfrak{A}_y, \\
+  -C\alpha_x &=
+    \mathfrak{B}\xi_x - \mathfrak{A}\eta_x + \xi \mathfrak{B}_x + \eta
+\mathfrak{B}_y
+\end{align*}
+%-----File: 041.png----------------------------
+gefunden. Hier können vier wesentlich verschiedene Fälle eintreten. Ist
+die Determinante
+\[
+\begin{vmatrix}
+  \omega   &  \omega_x &  \omega_y  \\
+  \varrho  & \varrho_x & \varrho_y  \\
+  \sigma   &  \sigma_x &  \sigma_y
+\end{vmatrix} = \theTheta
+\]
+von Null verschieden\anm{29}\label{anm29}, so ist $\xi=\eta=0$,
+$\alpha=\text{Const.}$, $\beta=\text{Const.}$
+\[
+  \Uf = \text{ Const. } z \frac{\partial f}{\partial z}
+     + \text{ Const. } \mathfrak{z}
+       \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}.
+\]
+Durch ein passende Variabel-Änderung kann man immer erreichen, dass
+$A=0$, $\mathfrak{A}=0$ wird.
+
+Verschwindet die dreireihige Determinante $\theTheta$, während ihre
+zweireihigen
+Unterdeterminanten nicht sämmtlich gleich Null sind, so kann
+die Integralinvariante auf die kanonische Form\anm{+65}
+\[
+  \int\left( \frac{X(x)p}{z}
+           + \frac{X_1(x)\mathfrak{p}}{\mathfrak{z}}
+           + C\cdot\dfrac{p\mathfrak{q} -
+             \mathfrak{p}q}{z\mathfrak{z}}
+           + D(x) \right) dx\, dy
+\]
+gebracht werden, während\anm{+66}
+\[
+  \Uf = \mu(x) \frac{\partial f}{\partial x}
+     + \dfrac1C\left( \int X_1\, d\mu \right)
+     z \frac{\partial f}{\partial z}
+     -\dfrac1C\left( \int X \, d\mu \right)
+     \mathfrak{z} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}
+\]
+ist.
+
+Verschwinden auch die zweireihigen Unterdeterminanten, während~$\omega$,
+$\varrho$ und~$\sigma$ nicht sämmtlich gleich Null sind, [so kann die
+Integralinvariante auf die kanonische Form
+\[
+  \int\left( \frac{k_2\: xp}{z}
+           + \frac{k_3\: x\mathfrak{p}}{\mathfrak{z}}
+           + \frac{C(p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q)}{z\mathfrak{z}}
+           + k_4 \right) dx\, dy
+\]
+gebracht werden, wo $k_2$, $k_3$ und $k_4$ Constanten bezeichnen, die
+nicht sämmtlich gleich Null sind, und die zugehörige infinitesimale
+Transformation~$\Uf$ ist:
+\begin{gather*}
+  \Uf = W_y \frac{\partial f}{\partial x}
+     - W_x \frac{\partial f}{\partial y}
+     - ( k_3 xW_x - k_3 W + \text{const.})
+       z \frac{\partial f}{\partial z}
+\\
+     + ( k_2 xW_x - k_2 W + \text{const.})
+       \mathfrak{z} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}.
+\end{gather*}
+%-----File: 042.png----------------------------
+
+Wenn endlich alle drei Grössen $\omega$, $\varrho$ und $\sigma$ gleich
+Null sind, so
+kann die Integralinvariante auf die kanonische Form
+\[
+\int\frac{p\mathfrak{q}-\mathfrak{p}q}{z\mathfrak{z}}\,dx\,dy
+\]
+gebracht werden und die zugehörige infinitesimale Transformation hat
+die Form
+\[
+\Uf = \xi\frac{\partial f}{\partial x}
+   + \eta\frac{\partial f}{\partial y}
+   + z\alpha\frac{\partial f}{\partial z}
+   + \mathfrak{z}\beta\frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}
+\]
+wo $\xi$, $\eta$, $\alpha$ und $\beta$ ganz beliebige Funktionen von x
+und y sind]\anm{30}.
+\end{theorem}
+
+\begin{center}
+\makebox[10em]{\hrulefill}\bigskip
+\end{center}
+
+\subsection*{$\mathbf{C = 0.}$}
+Hiermit kennen wir alle Fälle, die eintreten können, wenn $C$ eine von
+Null verschiedene Constante darstellt. Jetzt setzen wir voraus, dass~$C
+= 0$
+ist und finden dabei zweckmässig zwischen zwei Unterfällen zu
+unterscheiden
+je nachdem die Grösse\label{case5}
+\[
+\omega = A\mathfrak{B} - \mathfrak{A}B
+\]
+von Null verschieden oder gleich Null ist. Seien zunächst:
+\[
+\mathbf{C = 0,\qquad A\mathfrak{B} - \mathfrak{A}B \neq 0 }
+\]
+
+Ist $C = 0$, so erhalten die Gleichungen (6) die einfache Form
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+&0 =   A\eta_y - B\xi_y + \xi A_x + \eta A_y, \\
+&0 = - A\eta_x + B\xi_x + \xi B_x + \eta B_y, \\
+&0 = - \mathfrak{B}\xi_y + \mathfrak{A}\eta_y + \xi\mathfrak{A}_x +
+\eta\mathfrak{A}_y, \\
+&0 =   \mathfrak{B}\xi_x + \mathfrak{A}\eta_x + \xi\mathfrak{B}_x +
+\eta\mathfrak{B}_y, \\
+&0 =   D(\xi_x + \eta_y ) + \xi D_x + \eta D_y + A\alpha_x + B\alpha_y
++ \mathfrak{A}\beta_x + \mathfrak{B}\beta_y
+\end{aligned}
+\right\}
+\tag{15}
+\]
+
+Da wir nun überdies angenommen haben, dass die Grösse $A\mathfrak{B} -
+\mathfrak{A}B$
+von Null verschieden ist, so können wir die erste und dritte Gleichung
+%-----File: 043.png----------------------------
+nach~$\xi_y$ und~$\eta_y$ auflösen, und ebenfalls aus der zweiten und
+vierten Gleichung
+die Grössen $\eta_x$ und $\xi_x$ bestimmen. Die Form dieser
+Auflösungen:\label{anm32b}
+\begin{align*}
+&0 = (A\mathfrak{B}   - \mathfrak{A}B)   \eta_y
+   + (\mathfrak{B}A_x - B\mathfrak{A}_x) \xi
+   + (\mathfrak{B}A_y - B\mathfrak{A}_y) \eta, \\
+&0 = (A\mathfrak{B}   - \mathfrak{A}B)   \xi_y
+   + (\mathfrak{A}A_x - A\mathfrak{A}_x) \xi
+   + (\mathfrak{A}A_y - A\mathfrak{A}_y) \eta, \\
+&0 = (A\mathfrak{B}   - \mathfrak{A}B)   \eta_x
+   + (B\mathfrak{B}_x - \mathfrak{B}B_x) \xi
+   + (B\mathfrak{B}_y - \mathfrak{B}B_y) \eta, \\
+&0 = (A\mathfrak{B}   - \mathfrak{A}B)   \xi_x
+   + (A\mathfrak{B}_x - \mathfrak{A}B_x) \xi
+   + (A\mathfrak{B}_y - \mathfrak{A}B_y) \eta
+\end{align*}
+zeigt, dass die durch Integration dieser Gleichungen hervorgehenden
+Ausdrücke
+für $\xi$ und $\eta$ höchstens zwei willkürliche Constante
+enthalten\anm{31}.
+Die verkürzten infinitesimalen Transformationen
+\[
+\Ubarf
+ = \xi\frac{\partial{f}}{\partial{x}}
+ + \eta\frac{\partial{f}}{\partial{y}}
+\]
+bilden daher immer eine \emph{endliche} Gruppe, die höchstens zwei
+Parameter
+enthält.
+
+Indem wir genau wie im vorigen Falle\anm{32} verfahren, erhalten wir die
+drei Gleichungen:
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+\omega(\xi_x + \eta_y)  + \omega_x\xi  + \omega_y\eta = 0& \\
+\varrho(\xi_x + \eta_y) + \varrho_x\xi + \varrho_y\eta = 0& \\
+\sigma(\xi_x + \eta_y)  + \sigma_x\xi  + \sigma_y\eta = 0& \\
+\end{aligned}
+\tag{16}
+\right\}
+\]
+in denen $\omega$, $\varrho$ und $\sigma$ die Werthe
+\[
+\begin{aligned}
+&\omega = A\mathfrak{B} - \mathfrak{A}B \\
+\varrho = A_x &+ B_y,\qquad
+\sigma = \mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y
+\end{aligned}
+\]
+haben. Dabei erinnern % Original: erinneren
+wir uns, dass wir ausdrücklich vorausgesetzt
+haben, dass die Grösse~$\omega$ von Null verschieden ist.
+
+Es ist immer möglich, (vgl.~S.~\pageref{form2}) statt $x$ und $y$
+solche Grössen
+\[
+x_1 = X(x,y), \qquad y_1 = Y(x,y)
+\]
+als unabhängige Veränderliche einzuführen, dass die erste Gleichung~(16)
+die Form
+\[
+\xi_x + \eta_y = 0
+\]
+%-----File: 044.png----------------------------
+annimmt, und dass $\omega$ den Werth
+\[
+\omega \equiv A\mathfrak{B} - \mathfrak{A}B = 1
+\]
+erhält\anm{33}. Alsdann haben alle verkürzten infinitesimalen
+Transformationen
+$\xi\frac{\partial{f}}{\partial{x}} +
+\eta\frac{\partial{f}}{\partial{y}}$ die Form:
+\[
+V_y\dfrac{\partial{f}}{\partial{x}} -
+V_x\dfrac{\partial{f}}{\partial{y}}.
+\]
+
+\bigskip
+
+Wir wollen zunächst annehmen, dass die Gruppe dieser verkürzten
+infinitesimalen Transformationen zwei Parameter enthält. Alsdann können
+wir immer die beiden betreffenden infinitesimalen Transformationen auf
+die Form
+\[
+\dfrac{\partial{f}}{\partial{y}},
+\qquad
+V_y\dfrac{\partial{f}}{\partial{x}} -
+V_x\dfrac{\partial{f}}{\partial{y}}
+\]
+bringen\anm{34}. Dabei können, wie wir wissen, zwei wesentlich
+verschiedene Fälle eintreten\anm{35}. Ist
+\[
+\left(
+\dfrac{\partial{f}}{\partial{y}},
+\quad
+V_y\dfrac{\partial{f}}{\partial{x}} -
+V_x\dfrac{\partial{f}}{\partial{y}}
+\right)
+= \dfrac{\partial{f}}{\partial{y}}
+\]
+oder
+\[
+V_{yy}\dfrac{\partial{f}}{\partial{x}} -
+V_{xy}\dfrac{\partial{f}}{\partial{y}}
+= \dfrac{\partial{f}}{\partial{y}}
+\]
+und
+\[
+V_{yy} = 0, \qquad V_{xy} = - 1,
+\]
+so kommt
+\[
+V_y = - x, \qquad V = -xy + X_1(x)
+\]
+oder
+\[
+V_y\dfrac{\partial{f}}{\partial{x}} -
+V_x\dfrac{\partial{f}}{\partial{y}}
+= - x\dfrac{\partial{f}}{\partial{x}}
++ (y - X'_1)\dfrac{\partial{f}}{\partial{y}}.
+\]
+
+Wir können überdies ohne Beschränkung $X'_1 = 0$ setzen\anm{36}, so dass
+unsere beiden verkürzten infinitesimalen Transformationen die Form
+\[
+\dfrac{\partial{f}}{\partial{y}}, \qquad
+x\dfrac{\partial{f}}{\partial{x}} - y\dfrac{\partial{f}}{\partial{y}}
+\]
+annehmen.
+
+Um nun die Form der Coefficienten $A$, $B$, $\mathfrak{A}$,
+$\mathfrak{B}$ zu finden, setzen wir in den Gleichungen~(15)
+zunächst~$\xi = 0$, $\eta = 1$ und erkennen so, dass jene vier
+Coefficienten sämmtlich von~$y$ frei sind. Sodann ertheilen wir in den
+Gleichungen~(15) den Grössen~$\xi$ und~$\eta$ die Werthe
+%-----File: 045.png----------------------------
+\[
+\xi=x, \qquad \eta = - y
+\]
+und erhalten so die Differentialgleichungen
+\begin{align*}
+0 = - A + x\dfrac{\partial{A}}{\partial{x}}, &&&
+0 = - \mathfrak{A} + x\dfrac{\partial{\mathfrak{A}}}{\partial{x}}, \\
+0 =   B + x\dfrac{\partial{B}}{\partial{x}}, &&&
+0 =   \mathfrak{B} + x\dfrac{\partial{\mathfrak{B}}}{\partial{x}},
+\end{align*}
+die uns zeigen, dass unsere Coefficienten die Form
+\[
+A = mx,\qquad
+\mathfrak{A} = \mu x, \qquad
+B = \frac{n}{x}, \qquad
+\mathfrak{B} =  \frac{\nu}{x}.
+\]
+besitzen. Und dabei ist die Constante
+\[
+A\mathfrak{B} - \mathfrak{A}B \equiv m\nu - \mu n = 1.
+\]
+
+Unsere Integralinvariante hat bei dieser Wahl der un\-ab\-hän\-gi\-gen
+Ver\-än\-der\-lichen
+die Form
+\[
+\int \left(
+   \frac{mxp + \dfrac{n}{x}q}{z}
++  \frac{\mu x\mathfrak{p} + \dfrac{\nu}{x}\mathfrak{q}}{\mathfrak{z}}
++ D \right)\;dx\;dy
+\]
+wo wir (vgl.~S.~\pageref{form3})
+\[
+m\nu - \mu n = 1\quad \text{ und } D = 0
+\]
+setzen können.
+
+Die zugehörigen infinitesimalen Transformationen $\Uf$ haben die Form:
+\[
+\Uf = \text{Const.}\left(
+  x\frac{\partial{f}}{\partial{x}}
+- y\frac{\partial{f}}{\partial{y}}
+\right)
++ \text{Const.}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}
++ \alpha z\frac{\partial{f}}{\partial{z}}
++ \beta\mathfrak{z}\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}}
+\tag{17}
+\]
+wo $\alpha$ und $\beta$ durch die Bedingungsgleichung:
+\[
+\xi D_x + \eta D_y + mx\alpha_x + \frac{n}{x}\alpha_y + \mu x\beta_x +
+\frac{\nu}{x}\beta_y = 0
+\]
+gebunden sind\anm{37}.
+
+Hiermit ist die Annahme, dass die beiden verkürzten infinitesimalen
+Transformationen
+%-----File: 046.png----------------------------
+\[
+\frac{\partial{f}}{\partial{y}} \text{ und }
+V_y\frac{\partial{f}}{\partial{x}} -
+V_x\frac{\partial{f}}{\partial{y}}
+\]
+nicht vertauschbar sind, erledigt.
+
+\bigskip
+
+\label{case6} Wir wollen daher jetzt voraussetzen, dass die beiden
+Transformationen
+vertauschbar sind, und dass dementsprechend
+\[
+V_{yy}\frac{\partial{f}}{\partial{x}} -
+V_{xy}\frac{\partial{f}}{\partial{y}} = 0
+\]
+oder
+\[
+V_{yy} = 0,\qquad
+V_{xy} = 0
+\]
+und
+\[
+V = ky + X_1(x)
+\]
+ist. Als dann wird
+\[
+V_y\frac{\partial{f}}{\partial{x}} -
+V_x\frac{\partial{f}}{\partial{y}} =
+  k\frac{\partial{f}}{\partial{x}} -
+  X_1'\frac{\partial{f}}{\partial{y}}.
+\]
+
+Hier können wiederum zwei wesentlich verschiedene Unterfälle eintreten,
+jenachdem~$k$ gleich Null oder von Null verschieden ist.
+
+Ist die Constante $k$ von Null verschieden, so können wir
+\[
+k = 1,\qquad X_1' = 0
+\]
+setzen, sodass unsere verkürzten infinitesimalen Transformationen die
+Form
+\[
+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}, \qquad
+\frac{\partial{f}}{\partial{x}}
+\]
+erhalten\anm{38}. Um jetzt die entsprechende Form der
+Integralinvariante zu finden,
+benutzen wir wiederum die Gleichungen~(15) in denen wir zunächst
+\[
+\xi = 0,\qquad \eta = 1
+\]
+und sodann
+\[
+\xi = 1,\qquad \eta = 0
+\]
+setzen können. Dabei ergiebt sich, dass die vier Coefficienten, $A$,
+$B$, $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{B}$
+sämmtlich von~$x$ und~$y$ frei sind.
+
+Unsere Integralinvariante erhält somit die Form
+\[
+\int \left(
+\frac{mp + nq}{z} +
+\frac{\mu\mathfrak{p}+ \nu\mathfrak{q}}{\mathfrak{z}} + D
+\right)\;dx\;dy
+\]
+%-----File: 047.png----------------------------
+und dabei sind $m$, $n$, $\mu$ und $\nu$ Constanten, während~$D$ eine
+Funktion von~$x$ und~$y$ darstellt, die gleich Null gesetzt werden kann,
+indem die Constanten~$m$, $n$, $\mu$, $\nu$, die ja die Bedingung
+\[
+m\nu - \mu n = 1
+\]
+erfüllen, nicht sämmtlich verschwinden dürfen\anm{39}.
+
+\bigskip
+
+\label{case7} Ist die früher besprochene Constante $k$ gleich Null, so
+können die
+beiden verkürzten infinitesimalen Transformationen die Form
+\[
+\frac{\partial{f}}{\partial{y}},\qquad
+x\frac{\partial{f}}{\partial{y}}
+\]
+erhalten\anm{40}. In den Gleichungen (15) müssen wir also zuerst:
+\[
+\xi = 0,\qquad \eta = 1
+\]
+und sodann
+\[
+\xi = 0,\qquad \eta = x
+\]
+setzen. Dabei ergiebt sich, dass
+\[
+A = 0,\qquad \mathfrak{A} = 0
+\]
+sind. Da wir aber ausdrücklich vorausgesetzt haben, dass die Grösse
+$A\mathfrak{B} - \mathfrak{A}B$ von Null verschieden sein soll, so sehen
+wir, das unsere letzte Hypothese zu Widerspruch führt.
+
+\bigskip
+
+\label{case8} Nachdem hiermit alle Fälle erledigt sind, bei denen die
+infinitesimalen
+Transformationen
+\[
+\Ubarf =
+\xi\frac{\partial{f}}{\partial{x}} +
+\eta\frac{\partial{f}}{\partial{y}}
+\]
+eine zweigliedrige Gruppe erzeugen, wollen wir annehmen dass nur
+eine~$\Ubarf$ vorhanden ist, die dann ohne Beschränkung auf die Form
+\[
+\Ubarf = \frac{\partial{f}}{\partial{y}}
+\]
+%-----File: 048.png----------------------------
+gebracht werden kann. Setzen wir aber in den Gleichungen~(15):
+\[
+\xi = 0,\qquad \eta = 1
+\]
+so erkennen wir, dass die vier Coefficienten, $A$, $B$, $\mathfrak{A}$,
+$\mathfrak{B}$ von~$y$ frei sind. Die zugehörige Integralinvariante hat
+somit die Form:
+\[
+\int\left(
+\frac{A(x)p + B(x)q}{z} +
+\frac{\mathfrak{A}(x)\mathfrak{p} +
+\mathfrak{B}(x)\mathfrak{q}}{\mathfrak{z}} +
+D\right) dx\, dy
+\]
+und dabei können wir durch Einführung zweckmässiger neuer Veränderlichen
+\[
+x_1 = \varphi(x),\qquad
+y_1 = \frac{1}{\varphi(x)}y +
+\psi(x)
+\]
+erreichen, dass $B$ und $\mathfrak{A}$ gleich Null werden\anm{41}; wir
+können überdies auch~$D = 0$ setzen. Unser Integral erhält also die
+einfache Form
+\[
+\int\left(
+\frac{A(x)p}{z} +
+\frac{\mathfrak{B}(x)\mathfrak{q}}{\mathfrak{z}}
+\right) dx\, dy
+\]
+
+\bigskip
+
+\label{case9} Hiermit\anm{42} ist unsere Discussion der Hypothese $C =
+0$, $A\mathfrak{B} - \mathfrak{A}B \neq 0$ zum Abschluss gebracht. Wir
+können daher jetzt die nächste Hypothese
+\[
+  \pmb{C} \pmb{=} \pmb{0},\qquad
+  \pmb{A}\pmb{\mathfrak{B}} \pmb{-} \pmb{\mathfrak{A}}\pmb{B} \pmb{=}
+\pmb{0}
+\]
+im Angriff nehmen.
+
+Bei passender Wahl der unabhängigen Veränderlichen können wir erreichen,
+dass~$A = 0$ wird und dass in Folge dessen auch~$\mathfrak{A}B$
+verschwindet\anm{43}. Es ist daher auch die eine unter den beiden
+Grössen~$\mathfrak{A}$ und~$B$ gleich Null. Setzen wir zunächst:
+\[
+C = 0,\qquad  A = 0,\qquad  \mathfrak{A} = 0
+\]
+so wird
+\[
+\begin{aligned}
+B\xi_y = 0,\qquad \mathfrak{B}\xi_y = 0\qquad& \\
+B\xi_x + \xi B_x + \eta B_y &= 0 \\
+\mathfrak{B}\xi_x + \xi \mathfrak{B}_x + \eta \mathfrak{B}_y &= 0 \\
+D(\xi_x + \eta_y) + \xi D_x + \eta D_y + B\alpha_y +
+\mathfrak{B}\beta_y &= 0.
+\end{aligned}
+\]
+%-----File: 049.png----------------------------
+
+Hier ist es nun zunächst denkbar, dass
+\[
+B = 0,\qquad  \mathfrak{B} = 0
+\]
+sind. In diesem Falle sind $\xi$, $\eta$ und $D$ nur durch eine einzige
+Bedingungsgleichung,
+nämlich % Original: nähmlich
+\[
+D(\xi_x + \eta_y) +
+\xi D_x + \eta D_y = 0
+\]
+gebunden. Dabei können wir durch passende Wahl der Veränderlichen
+erreichen, dass~$D = 1$ wird\anm{44}. Hierbei erhält unsere
+Integralinvariante
+die kanonische Form
+\[
+\int\;dx\;dy,
+\]
+während die Gruppe der $\Ubarf$ die bekannte Form
+\[
+\frac{\partial{V(x,y)}}{\partial{y}}\frac{\partial{f}}{\partial{x}} -
+\frac{\partial{V(x,y)}}{\partial{x}}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}
+\]
+annimmt. Die Grössen $\alpha$ und $\beta$ sind dabei ganz beliebige
+Funktionen
+von~$x$ und~$y$.
+
+\bigskip
+
+\label{case10} Es ist ferner denkbar, dass die beiden Grössen $B$
+und~$\mathfrak{B}$ sich nur um einen constanten Faktor unterscheiden,
+dass also
+\[
+\mathfrak{B} = kB, \qquad B \neq 0.
+\]
+Alsdann erfüllen $\xi$ und $\eta$ zwei und nur zwei
+Bedingungsgleichungen,
+nämlich:
+\[
+\xi_y = 0,\qquad B\xi_x + B_x\xi + B_y\eta = 0.
+\]
+Ist dabei $B_y$ verschieden von Null, so sehen wir, dass $\xi$ eine
+willkürliche % Original: wilkürliche
+Funktion von~$x$ sein kann und dass~$\eta$ vollständig
+bestimmt ist, wenn für~$\xi$ eine bestimmte Funktion von~$x$ genommen
+wird\anm{45}.
+
+\bigskip
+
+\label{case11} Ist andererseits $B_y = 0$, so wird
+\begin{gather*}
+\xi_y = 0, \qquad B\xi_x + B_x\xi = 0 \\
+D(\xi_x + \eta_y) + \xi D_x + \eta D_y + B\alpha_y + kB\beta_y = 0
+\end{gather*}
+%-----File: 050.png----------------------------
+und
+\[
+  B = B(x),\qquad
+  \xi = \frac{m}{B(x)}.
+\]
+
+In diesem Fall ist also die Form des Incrementes $\xi$ vollständig
+bestimmt.
+Es ist ferner möglich solche neue Veränderliche
+\[
+  x_1 = \varphi (x),\quad
+  y_1 = \psi (x,y),\quad
+  z_1 = z\varOmega(x,y),\quad
+  \mathfrak{z}_1 = \mathfrak{z}V(x,y)
+\]
+einzuführen, dass
+\[
+  B(x) = 1,\qquad
+  D(x,y) = 0
+\]
+wird\anm{46}. Unsere Integralinvariante erhält hierbei die Form
+\[
+\int \left(\frac{q}{z} + \frac{k\mathfrak{q}}{\mathfrak{z}}\right) dx\,
+dy
+\]
+und die zugehörigen infinitesimalen Transformationen $\Uf$ sind
+bestimmt\anm{47}
+durch die Gleichungen
+\[
+  \xi_y = 0,\quad
+  \xi_x = 0,\quad
+  \alpha_y+k\beta_y = 0
+\]
+die uns zeigen, dass $\xi$ gleich $1$ gesetzt werden kann,
+während~$\eta$ eine willkürliche Funktion von~$x$ und~$y$ darstellt und
+die Incremente~$\alpha$, $\beta$ durch die Gleichung
+\[
+\alpha + k\beta + \psi(x) = 0
+\]
+mit der willkürlichen Funktion $\psi(x)$ gebunden sind.
+
+\bigskip
+
+\label{case12} Es ist endlich denkbar, dass sowohl $B$ wie
+$\mathfrak{B}$ von Null verschieden sind, und dass dabei ihr Verhältniss
+eine Funktion von~$x$, $y$ darstellt. Alsdann erfüllen die Incremente
+der gesuchten infinitesimalen Transformationen~$\Uf$\anm{47} \emph{vier}
+Bedingungsgleichungen
+\begin{gather*}
+  \xi_y = 0,\qquad
+  D(\xi_x + \eta_y) + \xi D_x + \eta D_y + B\alpha_y +
+\mathfrak{B}\beta_y = 0\\
+  B\xi_x + \xi B_x + \eta B_y = 0,\qquad
+  \mathfrak{B}\xi_x + \xi\mathfrak{B}_x + \eta\mathfrak{B}_y = 0
+\end{gather*}
+aus denen durch Elimination die Gleichung
+\[
+\left(\frac{B}{\mathfrak{B}}\right)_{\!\!x}\xi +
+\left(\frac{B}{\mathfrak{B}}\right)_{\!\!y}\eta = 0
+\]
+%-----File: 051.png----------------------------
+hervorgeht. Im vorliegenden Fall ist somit das Verhältniss $B :
+\mathfrak{B}$ eine
+Invariante der verkürzten infinitesimalen Transformationen~$\Ubarf$.
+Wir finden
+\[
+(B\,\mathfrak{B}_y - \mathfrak{B}B_y)\,\xi_x + \xi\, (B_x\mathfrak{B}_y
+- \mathfrak{B}_xB_y) = 0.
+\]
+
+Ist daher
+\[
+B\,\mathfrak{B}_y - \mathfrak{B}B_y \neq 0
+\]
+so hat $\xi$ eine ganz bestimmte Form, und da $B_y$ und~$\mathfrak{B}_y$
+nicht alle beide verschwinden, so ist auch die Form von~$\eta$
+vollständig bestimmt\anm{48}. Unter den gemachten Voraussetzungen giebt
+es also nur eine infinitesimale Transformation~$\xi\frac{\partial
+f}{\partial x} + \eta\frac{\partial f}{\partial y}$.
+
+\bigskip
+
+\label{case13} Ist dagegen
+\[
+  B\,\mathfrak{B}_y - \mathfrak{B}B_y = 0,\qquad
+  B \neq 0,\qquad
+  \mathfrak{B} \neq 0
+\]
+und dementsprechend
+\[
+\mathfrak{B} = B\cdot\varphi(x)
+\]
+und
+\[
+\xi(B_x\mathfrak{B}_y - \mathfrak{B}_xB_y) = 0,
+\]
+so kann
+\[
+  B_y \neq 0 \text{ und also auch } \mathfrak{B}_y \neq 0
+\]
+sein, in Folge dessen
+\[
+B_x\mathfrak{B}_y - \mathfrak{B}_xB_y \neq 0
+\]
+und
+\[
+  \xi = 0,       \qquad
+  \eta B_y = 0,  \qquad
+  \eta = 0.
+\]
+
+In diesem Falle\anm{49} giebt es also gar keine infinitesimale
+Transformation
+$\xi\frac{\partial f}{\partial x} + \eta\frac{\partial f}{\partial y}$.
+
+\bigskip
+
+\label{case14} Unter den gemachten Voraussetzungen
+\[
+  B\,\mathfrak{B}_y - \mathfrak{B}B_y = 0,  \qquad
+  \mathfrak{B} = B\cdot \varphi (x) \neq 0
+\]
+können wir aber auch
+\[
+  B_y = 0,  \qquad
+  \mathfrak{B}_y = 0
+\]
+und             dementsprechend
+%-----File: 052.png----------------------------
+\[
+B_x\mathfrak{B}_y - B_y \mathfrak{B}_x = 0
+\]
+setzen. Alsdann wird
+\[
+B\xi_x + \xi B_x = 0,\qquad \mathfrak{B}\xi_x + \xi \mathfrak{B}_x = 0
+\]
+und da das Verhältniss $\mathfrak{B} : B$ keine Constante sein darf,
+folgt
+\[
+\xi = 0,
+\]
+während $\eta$ vollständig unbestimmt bleibt\anm{50}.
+
+\bigskip
+
+\label{case15} Wir wenden uns sodann zu der Hypothese
+\[
+C = 0,\qquad  A = 0,\qquad  B = 0,\qquad  \mathfrak{A} \neq 0.
+\]
+Alsdann kriegen wir zur Bestimmung der infinitesimalen
+Transformation~$\Uf$ die Gleichungen
+\[
+\begin{aligned}
+&0 = - \mathfrak{B}\xi_y + \mathfrak{A}\eta_y + \xi\mathfrak{A}_x +
+\eta\mathfrak{A}_y \\
+&0 =   \mathfrak{B}\xi_x - \mathfrak{A}\eta_x + \xi\mathfrak{B}_x +
+\eta\mathfrak{B}_y \\
+&0 =   D(\xi_x + \eta_y) + \xi D_x + \eta D_y + \mathfrak{A}\beta_x +
+\mathfrak{B}\beta_y
+\end{aligned}
+\]
+aus denen wie bekannt die Integrabilitätsbedingung
+\[
+(\mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y)(\xi_x + \eta_y) +
+(\mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y)_x\xi +
+(\mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y)_y\cdot\eta = 0
+\]
+hervorgeht.
+
+Ist hier
+\[
+\mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y = 0
+\]
+und dementsprechend
+\[
+\mathfrak{A} = \frac{\partial{W}}{\partial{y}}, \qquad
+\mathfrak{B} = - \frac{\partial{W}}{\partial{x}}
+\]
+so sind $\xi$ und $\eta$ durch die beiden Gleichungen
+\[
+\begin{aligned}
+&0 = W_{\!x}\,\xi_y + W_y\,\eta_y + \xi W_{xy} + \eta W_{yy}\\
+&0 = W_{\!x}\,\xi_x + W_y\,\eta_x + \xi W_{xx} + \eta W_{xy}
+\end{aligned}
+\]
+bestimmt und aus ihnen folgt durch Integration:
+%-----File: 053.png----------------------------
+\[
+W_{\!x}\,\xi + W_y\,\eta = \mathrm{Const.} = k.
+\]
+
+In dem vorliegenden Falle kann daher eines unter den beiden
+Incrementen~$\xi$ und~$\eta$ eine ganz beliebige Funktion von~$x$, $y$
+sein\anm{51}.
+
+\bigskip
+
+\label{case16} Ist dagegen die Grösse
+\[
+\varrho=\mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y
+\]
+von Null verschieden, so zeigt die Gleichung
+\[
+\varrho (\xi_x + \eta_y) + \varrho_x\xi + \varrho_y\eta = 0
+\]
+dass die infinitesimalen Transformationen $\xi\frac{\partial f}{\partial
+x} + \eta\frac{\partial f}{\partial y}$ den gemeinsamen Multiplicator
+$\varrho$ haben.
+
+Führen wir jetzt neue Veränderliche
+\[
+x_1=X(x,y),\qquad y_1=Y(x,y),\qquad z_1=z\varOmega(x,y),\qquad
+\mathfrak{z}_1=\mathfrak{z}V(x,y)
+\]
+ein, so sind die neuen Coefficienten $A_1$, $B_1$, $\mathfrak{A}_1$,
+$\mathfrak{B}_1$, $C_1$ und $D_1$ (vgl.\ Seite~\pageref{form4}) durch
+die Formeln:
+\begin{align*}
+  \Delta A_1 &=
+    AX_x + BX_y\\
+  \Delta B_1 &=
+    AY_x + BY_y\\
+  \Delta \mathfrak{A}_1 &=
+    \mathfrak{A}X_x + \mathfrak{B}X_y\\
+  \Delta \mathfrak{B}_1 &=
+    \mathfrak{A}Y_x + \mathfrak{B}Y_y\\
+  C_1 &=
+    C = 0\\
+  \Delta D_1 &=
+    - A\frac{\varOmega_x}{\varOmega} - B\frac{\varOmega_y}{\varOmega} -
+\mathfrak{A}\frac{V_x}{V} - \mathfrak{B}\frac{V_y}{V} + D
+\end{align*}
+bestimmt. Bei dieser Variabel-Aenderung bleibt daher die Form
+\[
+\int\left(\frac{\mathfrak{Ap + Bq}}{z\mathfrak{z}} + D\right)dx\, dy
+\]
+unserer Integralinvariante ungeändert, während allerdings die
+Coefficienten~$\mathfrak{A}$, $\mathfrak{B}$ und~$D$ im Allgemeinen ihre
+Form ändern. Bei passender Wahl von~$\varOmega$ und~$V$ erreichen wir,
+dass~$D_1$ gleich Null wird; und da die Funktionen~$X(x,y)$, $Y(x,y)$
+gar keiner Beschränkung unterworfen sind, können
+%-----File: 054.png----------------------------
+wir immer erreichen, dass\anm{52}
+\[
+\varrho = \mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y = 1
+\]
+wird. Die infinitesimale Transformation $\Ubarf$ erhält in folge dessen
+die
+Form:
+\[
+\Ubarf =
+\frac{\partial{\Phi}}{\partial{y}} \cdot
+\frac{\partial{f}}{\partial{x}} -
+\frac{\partial{\Phi}}{\partial{x}} \cdot
+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}.
+\]
+
+Wir können ferner
+\[
+\mathfrak{A} = \frac{\partial{\psi}}{\partial{y}},\qquad
+\mathfrak{B} = y - \frac{\partial{\psi}}{\partial{x}}
+\]
+setzen. Durch eine neue Aenderung der Veränderlichen
+\[
+x_2 = X_1(x,y),\qquad y_2 = Y_1(x,y),\qquad z_2 = z\varOmega,\qquad
+\mathfrak{z}_2=\mathfrak{z}V
+\]
+die so gewählt ist, dass
+\begin{gather*}
+0 = \mathfrak{A}\frac{\partial{X_1}}{\partial{x}} +
+    \mathfrak{B}\frac{\partial{X_1}}{\partial{y}},\qquad
+0 = \mathfrak{A}\frac{V_x}{V} +
+    \mathfrak{B}\frac{V_y}{V}
+\\
+1 = \frac{\partial{X_1}}{\partial{x}} \cdot
+\frac{\partial{Y_1}}{\partial{y}} -
+\frac{\partial{X_1}}{\partial{y}} \cdot
+\frac{\partial{Y_1}}{\partial{x}}
+\end{gather*}
+wird, erkennen wir ohne Schwierigkeit\anm{53}, dass wir $\psi = 0$ und
+\[
+\mathfrak{A} = 0,\qquad \mathfrak{B} = y,\qquad D=0
+\]
+ferner
+\[
+\Ubarf =
+\frac{\partial{\Phi}}{\partial{y}} \cdot
+\frac{\partial{f}}{\partial{x}} -
+\frac{\partial{\Phi}}{\partial{x}} \cdot \frac{\partial{f}}{\partial{y}}
+\]
+setzen können und dass
+\[
+\int \frac{y\mathfrak{q}}{\mathfrak{z}}\, dx\,dy
+\]
+die entsprechende kanonische Form unserer Integralinvariante ist.
+\nopagebreak
+\begin{center}
+\makebox[10em]{\hrulefill}\bigskip
+\end{center}
+
+%-----File: 055.png----------------------------
+\label{case17} Nachdem hiermit alle Fälle bestimmt sind, die eintreten
+können, wenn die Grösse~$C$ von~$x$ und~$y$ unabhängig ist, müssen wir
+jetzt die Annahme machen, dass~$C$ keine Constante ist:
+\begin{center}
+\emph{C ist keine Constante.}
+\end{center}
+In diesem Falle ist, wie wir wissen, $C$ eine Invariante aller
+\[
+\Ubarf = \xi\frac{\partial{f}}{\partial{x}} +
+\eta\frac{\partial{f}}{\partial{y}}.
+\]
+
+Die Transformationsformeln auf Seite~\pageref{form5} zeigen, dass wir in
+diesem Falle
+\[
+C = x,\qquad \xi = 0
+\]
+setzen können\anm{54}.
+
+Die Definitionsgleichungen der gesuchten infinitesimalen
+Transformationen~$\Ubarf$ erhalten in Folge dessen die Gestalt:
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+- x\beta_y  &= A\eta_y + \eta A_y \\
+  x\beta_x  &= - A\eta_x + \eta B_y \\
+  x\alpha_y &= \mathfrak{A}\eta_y + \eta \mathfrak{A}_y \\
+- x\alpha_x &= - \mathfrak{A}\eta_x + \eta \mathfrak{B}_y \\
+  0         &= D\eta_y + \eta D_y + A\alpha_x + B\alpha_y +
+\mathfrak{A}\beta_x + \mathfrak{B}\beta_y.
+\end{aligned}
+\right\}
+\tag{18}
+\]
+
+Die Integrabilitätsbedingungen der vier ersten Gleichungen liefern die
+Relationen
+\[
+\begin{aligned}
+\frac{\partial{}}{\partial{y}}\eta\,\biggl\{ xA_x + xB_y - A \biggr\} =
+0& \\
+\frac{\partial{}}{\partial{y}}\eta\,\biggl\{ x\mathfrak{A}_x +
+x\mathfrak{B}_y - \mathfrak{A} \biggr\} = 0&.
+\end{aligned}
+\]
+
+Eliminiren wir ferner die Ableitungen $\alpha_x$, $\alpha_y$,
+$\beta_x$, $\beta_y$ aus den fünf
+Definitionsgleichungen, so finden wir die Bedingung
+\[
+\frac{\partial{}}{\partial{y}}\eta\,(xD + B\mathfrak{A} -
+\mathfrak{B}A) = 0.
+\]
+%-----File: 056.png----------------------------
+
+Die drei neuen Gleichungen sind unmittelbar integrabel; sie zeigen
+dass %% Im Original $\mathfrak{B}\mathfrak{A}$ statt $\mathfrak{B}A$
+\[
+\leqno{(19)}\qquad
+\left\{
+\begin{aligned}
+&\eta(xA_x + xB_y - A) = X(x)\\
+&\eta(x\mathfrak{A}_x + x\mathfrak{B}_y - \mathfrak{A}) = X_1(x)\\
+&\eta(xD + B\mathfrak{A} - \mathfrak{B}A) = X_2(x).
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+
+Hier sind nun verschiedene Fälle denkbar, die durch das Verhalten
+der drei links stehenden Parenthesen charakterisirt werden.
+
+Verschwinden die drei links stehenden Parenthesen; ist also
+\[
+\leqno{(20)}\qquad
+\left\{
+\begin{aligned}
+&x(A_x + B_y) - A = 0 \\
+&x(\mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y) - \mathfrak{A} = 0 \\
+&xD + B\mathfrak{A} - \mathfrak{B}A = 0
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+so ist $\eta$ gar keiner Beschränkung unterworfen und die gesuchte
+infinitesimale
+Transformation~$\Ubarf$ hat daher die allgemeine Form
+\[
+\Ubarf = \eta(x,y)\frac{\partial{f}}{\partial{y}}.
+\]
+
+Die beiden ersten Gleichungen, die auf die Form
+\[
+\begin{aligned}
+&\frac{\partial{}}{\partial{x}}\left(\frac{A}{x}\right) +
+\frac{\partial{}}{\partial{y}}\left(\frac{B}{x}\right) = 0 \\
+&\frac{\partial{}}{\partial{x}}\left(\frac{\mathfrak{A}}{x}\right) +
+\frac{\partial{}}{\partial{y}}\left(\frac{\mathfrak{B}}{x}\right) = 0
+\end{aligned}
+\]
+gebracht werden können, zeigen dass die vier Grössen $A$, $B$,
+$\mathfrak{A}$ und~$\mathfrak{B}$
+die allgemeine Form
+\[
+\begin{aligned}
+&A =   x\frac{\partial{U}}{\partial{y}},  \qquad
+&B = - x\frac{\partial{U}}{\partial{x}} \\
+&\mathfrak{A} =   x\frac{\partial{V}}{\partial{y}},  \qquad
+&\mathfrak{B} = - x\frac{\partial{V}}{\partial{x}}
+\end{aligned}
+\]
+besitzen. Und wenn diese Werthe in die letzte Gleichung~(20) eingetragen
+werden, so ergiebt sich, da~$U$ und~$V$ durch die Relation
+%-----File: 057.png----------------------------
+\[
+xD - x^2\frac{\partial{U}}{\partial{x}}\frac{\partial{V}}{\partial{y}} +
+     x^2\frac{\partial{U}}{\partial{y}}\frac{\partial{V}}{\partial{x}}
+= 0
+\]
+verknüpft sind\anm{55}, dass der Coefficient $D$ die Form
+\[
+D = x( U_x V_y - U_y V_x )
+\]
+besitzt.
+
+Die zugehörige Integralinvariante hat somit die Gestalt
+\[
+\int\left(
+\frac{x(U_yp - U_xq)}{z} +
+\frac{x(V_y\mathfrak{p} - V_x\mathfrak{q})}{\mathfrak{z}} +
+\frac{x(p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q)}{z\mathfrak{z}} +
+x(U_xV_y - U_yV_x)
+\right) dx\, dy
+\]
+und erhält daher in den neuen Veränderlichen
+\[
+x_1 = x,\qquad y_1 = y,\qquad z_1 = ze^{-V},\qquad \mathfrak{z}_1 =
+\mathfrak{z}e^{U}
+\]
+die einfache Form
+\[
+\int\frac{x(p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q)}{z\mathfrak{z}}\, dx\, dy.
+\]
+
+Bei dieser Variabeländerung behält $\Ubarf$ ihre Form. Die Formeln~(18)
+zeigen überdies, dass~$\alpha$ und~$\beta$ constant sind, und also ist:
+\[
+\Uf = \eta(x,y)\frac{\partial{f}}{\partial{y}} +
+\text{Const. }z\frac{\partial{f}}{\partial{z}} +
+\text{Const. }\mathfrak{z}\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}}
+\]
+die zugehörige Form der infinitesimalen Transformation $\Uf$.
+
+Hiermit ist die Annahme, dass die drei Ausdrücke:
+\begin{gather*}
+\left(\frac{A}{x}\right)_{\!\!x} +
+\left(\frac{B}{x}\right)_{\!\!y},\qquad
+%\left(\frac{B}{x}\right)_{y\ ,}\qquad ]
+\left(\frac{\mathfrak{A}}{x}\right)_{\!\!x} +
+\left(\frac{\mathfrak{B}}{x}\right)_{\!\!y}\\
+xD + B\mathfrak{A} - \mathfrak{B}A
+\end{gather*}
+sämmtlich verschwinden, erledigt.
+
+\bigskip
+
+\label{case18} Sind diese drei Ausdrücke nicht sämmtlich gleich Null,
+so besteht
+zwischen je zwei unter diesen Grössen eine lineare homogene Relation,
+deren Coefficienten Funktionen von~$x$ allein sind.
+
+Es ist nun (Vergleiche die Transformationsformeln auf
+Seite~\pageref{form5})
+immer möglich, eben weil~$C$ von Null verschieden ist, solche neue
+Veränderliche
+%-----File: 058.png----------------------------
+\[
+x_1 = x,\qquad  y_1 = y,\qquad  z_1 = z\varOmega,\qquad  \mathfrak{z}_1
+= \mathfrak{z}V
+\]
+einzuführen, dass
+\[
+A_1 = 0 \text{ und } \mathfrak{A}_1 = 0
+\]
+wird. Wir können daher von vorneherein
+\[
+C = x,\qquad A = 0,\qquad \mathfrak{A} = 0
+\]
+setzen; und dabei bestehen zwischen je zwei unter den Grössen
+\[
+B_y,\qquad \mathfrak{B}_y,\qquad D
+\]
+lineare und homogene Relationen, deren Coefficienten Funktionen von~$x$
+sind.
+
+Wir wollen zunächst annehmen, dass $B_y$ und $\mathfrak{B}_y$ nicht
+beide gleich
+Null sind, dass z.~B.\ die Grösse~$B_y$ von Null
+verschieden ist. Alsdann
+führen wir die neuen Veränderlichen
+\[
+x_2 = x,\qquad  y_2 = B(x,y),\qquad  z_2 = z,\qquad  \mathfrak{z}_2 =
+\mathfrak{z}
+\]
+ein und finden sodann durch Benutzung der Transformationsformeln auf
+Seite~\pageref{form5} dass:
+\[
+\begin{aligned}
+B_yA_2 &= 0, &\qquad  B_yB_2 &= B\, B_y \\
+B_y\mathfrak{A}_2 &= 0, &  B_y\mathfrak{B}_2 &= \mathfrak{B}\, B_y
+\end{aligned}
+\]
+und also
+\[
+A_2 = 0,\qquad
+B_2 = y_2,\qquad \mathfrak{A}_2 = 0,\qquad
+\mathfrak{B}_2 = \mathfrak{B} =\varphi(x)y_2 + \psi(x).
+\]
+
+Wir können daher von vorneherein
+\[
+A = 0,\qquad
+B = y,\qquad
+\mathfrak{A} = 0,\qquad
+\mathfrak{B} = \varphi(x)y + \psi(x)
+\]
+und
+\[
+\xi=0,\qquad \eta = \mu(x)
+\]
+setzen. Dabei zeigt die Formel
+\[
+\eta D = \varphi_2(x)
+\]
+dass auch $D$ eine Funktion von $x$ sein muss.
+%-----File: 059.png----------------------------
+
+Hiermit erhält unsere Integralinvariante die kanonische Form
+\[
+\int\left(
+\frac{yq}{z} +
+\frac{\varphi (x)y + \psi(x)}{\mathfrak{z}}\mathfrak{q} +
+\frac{x(p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q)}{z\mathfrak{z}} +
+D(x)\right) dx\,dy
+\]
+und die zugehörigen infinitesimalen Transformationen~$\Uf$ besitzen die
+allgemeine
+Form:
+\[
+\Uf = \mu(x)\frac{\partial{f}}{\partial{y}} -
+\left(\int\frac{\mu(x)\varphi(x)dx}{x}\right)
+z\frac{\partial{f}}{\partial{z}} +
+\left(\int\frac{\mu(x)dx}{x}\right)
+\mathfrak{z}\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}}.
+\]
+
+\bigskip
+
+\label{case19} Endlich müssen wir annehmen, dass
+\[
+B_y = 0,\qquad \mathfrak{B}_y = 0,\qquad  xD \neq 0
+\]
+und (19):
+\[
+\eta D = \varphi(x).
+\]
+
+Hier führen wir neue Veränderlichen ein, nämlich
+\[
+x_1 = x,\qquad  y_1 = \int D(x,y)\,dy,\qquad  z_1 = z,\qquad
+\mathfrak{z}_1 = \mathfrak{z}
+\]
+und erkennen durch Benutzung der Transformationsformeln auf
+Seite~\pageref{form5} dass die Coefficienten~$A_1$, $B_1$,
+$\mathfrak{A}_1$, $\mathfrak{B}_1$, $C_1$, $D_1$ durch die folgenden
+Gleichungen bestimmt sind
+\begin{gather*}
+C_1 = C = x,\qquad  A_1 = 0,\qquad \mathfrak{A_1} = 0 \\
+D\cdot B_1 = B\cdot D, \qquad
+D\cdot \mathfrak{B}_1 = D\cdot \mathfrak{B}\\
+D\cdot D_1 = D.
+\end{gather*}
+
+Wir können daher von vorneherein
+\begin{gather*}
+C=x,\qquad A = 0,\qquad \mathfrak{A} = 0 \\
+B=X(x),\qquad \mathfrak{B} = X_1(x),\qquad D = 1
+\end{gather*}
+setzen; alsdann wird
+\[
+\xi =0,\qquad \eta = \mu(x),\qquad \alpha = \text{Const.},\qquad \beta
+= \text{Const}.
+\]
+%-----File: 060.png----------------------------
+
+Die kanonische Form unserer Integralinvariante wird also
+\[
+  \int \left( \frac{X(x) q}{z}
+            + \frac{X_1(x) \mathfrak{q}}{\mathfrak{z}}
+            + \frac{x(p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q)}{z\mathfrak{z}}
+            + 1 \right) dy\, dx
+\]
+und die zugehörigen infinitesimalen Transformationen haben die Gestalt
+\[
+  \Uf
+= \mu(x) \frac{\partial f}{\partial y}
++ \text{Const. } z \frac{\partial f}{\partial z}
++ \text{Const. } \mathfrak{z}\frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}.
+\]
+
+\fivestar
+
+Wir gehen jetzt der Reihe nach alle neunzehn Fälle durch und zeigen,
+wie in jedem
+einzelnen Fall das betreffende Integrationsproblem
+erledigt werden kann.
+
+Im nächsten Kapitel\anm{1} zeigen wir sodann, dass die von uns gegebenen
+Integrations-Methoden das Grösstmögliche leisten.
+
+In einem und nur in einem unter den neunzehn vorhandenen Fällen
+kann kein Vortheil aus der bekannten Integralinvariante gezogen werden.
+In den achtzehn übrigen Fällen gestattet das Vorhandensein der bekannten
+Integralinvariante immer das Integrationsgeschäft wesentlich zu
+vereinfachen.
+\bigskip
+
+
+\subsection*{\textbf{Fall I.} [Seite \pageref{case1}].}
+Im ersten Falle, dass heisst, wenn $C$ eine von Null verschiedene
+Constante ist und die Determinante
+\[
+\begin{vmatrix}
+  \,\omega  &  \omega_x &  \omega_y\,  \\
+  \varrho & \varrho_x & \varrho_y  \\
+  \sigma  &  \sigma_x &  \sigma_y  \\
+\end{vmatrix}
+\]
+nicht verschwindet, besteht die Gruppe $\Uf$ nur aus den beiden
+infinitesimalen
+Transformationen
+\[
+  X_1 f = z \frac{\partial f}{\partial z} \quad \text{und} \quad
+  X_2 f = \mathfrak{z} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}.
+\]
+
+Wir finden daher beide Lösungen des vollständigen Systems
+\[
+  X_1f = 0, \qquad  X_2 f = 0
+\]
+ohne Integration, ja sogar ohne Quadratur\anm{2}.
+%-----File: 061.png----------------------------
+\bigskip
+
+
+\subsection*{\textbf{Fall II.} [Seite \pageref{case2}].}
+Der zweite Fall ist dadurch charakterisirt, dass $C$ gleich einer nicht
+verschwindenden Constante ist, und dass die dreireihige
+Determinante~$\theTheta$, nicht aber ihre sämmtlichen zweireihigen
+Unterdeterminanten gleich Null sind. In diesem Falle hat die verkürzte
+Gruppe~$\Ubarf$ die Form\anm{56}
+\[
+  \Ubarf = \mu(x) \frac{\partial f}{\partial y}
+\]
+und ist somit \emph{intransitiv}. Wir finden daher die Invariante~$x$
+ohne Integration, ja ohne Quadratur. Setzt man sodann diese Invariante
+gleich einer willkürlichen Constante~$c$, so zerlegt die hervorgehende
+Gleichung
+\[
+  x = c = \text{ const.}
+\]
+den vierdimensionalen Raum $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$ in~$\infty^1$
+dreidimensionale Räume, deren jeder~$\infty^1$ charakteristische
+Mannigfaltigkeiten des vollständigen Systems: $X_1f=0$, $X_2f=0$
+enthält.
+
+Es bleibt jetzt nur noch übrig in jedem Raume $x=c$ die~$\infty^1$
+charakteristischen Mannigfaltigkeiten dieses Raumes zu finden. Zu diesem
+Zwecke beobachten wir, dass jede infinitesimale Transformation
+\[
+  \Uf
+= \mu(x) \frac{\partial f}{\partial y}
++
+  \frac{1}{C} \left( \int X_1 d\mu \right)
+  z \frac{\partial f}{\partial z}
+-
+  \frac{1}{C} \left( \int X d\mu \right)
+  \mathfrak{z} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}
+\]
+die $\infty^1$ charakteristischen Mannigfaltigkeiten eines solches
+Raumes~$x=c$ unter einander vertauscht. Und zwar sehen wir, dass
+alle~$\Uf$ die~$\infty^1$ charakteristischen Mannigfaltigkeiten eines
+Raumes~$x=c$ in genau derselben Weise transformiren, dabei
+vorausgesetzt, dass wir diese~$\infty^1$ Mannigfaltigkeiten als ein
+eindimensionales Gebiet auffassen. Hieraus folgt dass wir durch eine
+Quadratur einen Integrabilitätsfaktor desjenigen vollständigen Systems
+aufstellen können, das die~$\infty^1$ gesuchten charakteristischen
+Mannigfaltigkeiten definirt. Eine zweite Quadratur liefert diese
+Mannigfaltigkeiten selbst\anm{57}.
+
+Im vorliegenden Falle verlangt daher die Integration des vollständigen
+Systems $X_1f=0$, $X_2f=0$ nur Differentiations- und
+Eliminationsoperationen und sodann zwei successive Quadraturen. Wir
+bezeichnen diese Operationen mit
+\[
+  (0),\ 0,\ 0.
+\]
+%-----File: 062.png----------------------------
+
+
+\subsection*{\textbf{Fall III.} [Seite \pageref{case3}].}
+Der dritte Fall ist dadurch charakterisirt, dass der Coefficient $C$
+constant
+und von Null verschieden ist während die Determinante
+\[
+\begin{vmatrix}
+  \omega  &  \omega_x &  \omega_y  \\
+  \varrho & \varrho_x & \varrho_y  \\
+  \sigma  &  \sigma_x &  \sigma_y  \\
+\end{vmatrix}
+\]
+sowie alle ihre zweireihigen Unterdeterminanten nicht aber die Grössen
+$\omega$, $\varrho$, $\sigma$ sämmtlich gleich Null sind.
+
+Jetzt hat $\Uf$ die Form
+\[\wideeqn
+  \Uf
+= W_y \frac{\partial f}{\partial x}
+- W_x \frac{\partial f}{\partial y}
+-
+  (k_3 x W_x - k_3 W + \text{Const.})
+  z \frac{\partial f}{\partial z}
++
+  (k_2 x W_x - k_2 W + \text{Const.})
+  \mathfrak{z} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}.
+\]
+
+Das zweidimensionale Gebiet $x$, $y$ der $\infty^2$ gesuchten
+charakteristischen Mannigfaltigkeiten des vollständigen Systems wird
+daher durch eine Gruppe transformirt die mit der Gruppe der
+Hydrodynamik\anm{58} ähnlich ist. Jetzt gestattet daher die Auffindung
+einer ersten Lösung des vollständigen Systems~$X_1f=0$, $X_2f=0$ gar
+keine Vereinfachung, verlangt also eine Operation~2. Nachdem aber eine
+solche Lösung gefunden ist, die wir somit mit~$x$ bezeichnen können,
+leuchtet ein, dass die allgemeinste Transformation~$\Uf$, die~$x$
+invariant lässt, die Form
+\[
+  \mu(x) \frac{\partial f}{\partial y}
++    (~) \frac{\partial f}{\partial z}
++    (~) \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}
+\]
+besitzt. Wie im vorigen Falle genügen jetzt zwei successive Quadraturen
+zur Bestimmung der gesuchten charakteristischen Mannigfaltigkeiten des
+vollständigen Systems~$X_1f=0$, $X_2f=0$.
+
+Im dritten Falle verlangt also die Integration des vorgelegten
+vollständigen Systems die Operationen
+\[
+  2,\ 0,\ 0.
+\]
+
+
+\subsection*{\textbf{Fall IV.} [Seite \pageref{case4}].}
+Der vierte Fall ist dadurch charakterisirt, dass der Coefficient~$C$
+constant und von Null verschieden ist, während die drei
+Grössen~$\omega$, $\varrho$ und $\sigma$ sämmtlich gleich Null sind. Die
+infinitesimalen Transformationen~$\Uf$ haben die allgemeine Form:
+%-----File: 063.png----------------------------
+\[
+  \Uf
+=  \xi(x, y) \frac{\partial f}{\partial x}
++ \eta(x, y) \frac{\partial f}{\partial y}
++ z \alpha   \frac{\partial f}{\partial z}
++ \mathfrak{z} \beta \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}
+\]
+und dabei sind $\xi$ und $\eta$ ganz willkürliche Funktionen von~$x$
+und~$y$. Jetzt sind alle Lösungen des vollständigen Systems~$X_1f=0$,
+$X_2f=0$ unter einander gleichberechtigt und daher verlangt die
+Integration dieses vollständigen Systems die Operationen
+\[
+  2,\quad 1.
+\]
+
+\emph{Im vorliegenden Falle ziehen wir also gar keinen Vortheil aus der
+bekannten Integralinvariante.}
+
+Dies liegt aber nicht in einer Unvollkommenheit unserer Theorie, sondern
+es beruht auf dem Wesen der Sache. Es sind ja einerseits alle
+Lösungen unter einander gleichberechtigt, und es sind auch andererseits
+nachdem eine Lösung gefunden ist, alle übrigen Lösungen unter einander
+gleichberechtigt.
+
+
+\subsection*{\textbf{Fall V.} [Seite \pageref{case5}].}
+Der fünfte Fall ist dadurch charakterisirt, dass
+\[
+  C = 0
+\]
+ist und dass $\Uf$ die Form
+\[
+  \Uf
+= a \left( x \frac{\partial f}{\partial x}
+         - y \frac{\partial f}{\partial y} \right)
++ b \frac{\partial f}{\partial y}
++ \alpha z \frac{\partial f}{\partial z}
++ \beta\mathfrak{z} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}
+\]
+mit den beiden willkürlichen Constanten $a$ und $b$ besitzt. Jetzt
+werden die $\infty^2$ charakteristischen Mannigfaltigkeiten durch eine
+zweigliedrige, also \emph{integrable}\anm{59} Gruppe transformirt, deren
+Transformationen nicht vertauschbar sind. Man findet die beiden
+infinitesimalen Transformationen dieser letzten Gruppe durch zwei
+Quadraturen. Man bildet zu diesem Zwecke zunächst die
+Definitionsgleichungen der infinitesimalen Transformationen der ersten
+dirivirten Gruppe. In dieser Weise findet man zunächst durch eine
+Quadratur die invariante infinitesimale Transformation der oben
+besprochenen zweigliedrigen Gruppe, sodann durch eine neue Quadratur die
+fehlende infinitesimale Transformation dieser Gruppe. Hinterher bestimmt
+man eine erste Lösung des vollständigen Systems~$X_1f=0, X_2f=0$ durch
+eine dritte Quadratur und endlich die fehlende Lösung durch eine vierte
+Quadratur.
+
+In diesem Falle verlangt somit die Integration unseres vollständigen
+Systems \emph{vier successive} Quadraturen also die Operationen
+\[
+  0,\ 0,\ 0,\ 0.
+\]
+%-----File: 064.png----------------------------
+
+\subsection*{\textbf{Fall VI.} [Seite \pageref{case6}].}
+Der sechste Fall ist dadurch charakterisirt dass
+\[
+C = 0, \qquad A\mathfrak{B} - \mathfrak{A}B \neq 0
+\]
+ist und dass die infinitesimalen Transformationen $\Uf$ die
+kanonische Form
+\[
+\Uf = a\frac{\partial{f}}{\partial{x}} +
+     b\frac{\partial{f}}{\partial{y}} +
+     z\alpha\frac{\partial{f}}{\partial{z}} +
+     \mathfrak{z}\beta\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}}
+\]
+mit den willkürlichen Constanten $a$, $b$, besitzen.
+
+In diesem Falle wird das zweidimensionale Gebiet der $\infty^2$
+charakteristischen Mannigfaltigkeiten durch eine
+\emph{zweigliedrige} Gruppe mit \emph{vertauschbaren}
+Transformationen transformirt. Es verlangt daher nach meinen
+allgemeinen Theorien die Bestimmung dieser zweigliedrigen Gruppe
+die Erledigung einer \emph{Riccatischen} Differentialgleichung
+\emph{erster} Ordnung\anm{60}. Sodann finden wir die beiden
+Lösungen unseres vollständigen Systems durch zwei Quadraturen, die
+in dem Sinne von einander unabhängig sind, dass es gleichgültig
+ist in welcher Reihenfolge sie ausgeführt werden.
+
+Die im vorliegenden Falle erforderlichen Operationen bezeichnen
+wir durch die Symbole
+\[
+  R,\quad 0,\quad 0.
+\]
+
+
+\subsection*{\textbf{Fall VII.} [Seite \pageref{case7}].}
+Dieser Fall ist dadurch charakterisirt, dass
+\[
+C = 0,\qquad A\mathfrak{B} - \mathfrak{A}B \neq 0
+\]
+und dass $\Uf$ die Form
+\[
+\frac{\partial{f}}{\partial{y}} +
+z\alpha\frac{\partial{f}}{\partial{z}} +
+\mathfrak{z}\beta\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}}
+\]
+besitzt. Jetzt ist die Gruppe $\Uf$ intransitiv und wir finden daher
+eine Lösung des vollständigen Systems~$X_1 f = 0$, $X_2 f = 0$ ohne
+Integration, ja ohne Quadratur, dass heisst durch eine Operation~$(0)$.
+In jedem unter den hiermit gefundenen dreidimensionalen Räumen
+liegen~$\infty^1$ charakteristische Mannigfaltigkeiten, und das
+eindimensionale Gebiet dieser~$\infty^1$ Mannigfaltigkeiten wird von
+einer einzigen infinitesimalen Transformation transformirt. Diese
+infinitesimale Transformation wird daher durch eine Quadratur gefunden
+und eine neue Quadratur giebt sodann die fehlende
+%-----File: 065.png----------------------------
+Lösung unseres vollständigen Systems. Jetzt verlangt daher die
+Integration
+des vorgelegten vollständigen Systems die Operationen
+\[
+(0),\quad 0,\quad 0.
+\]
+
+Die beiden Quadraturen sind nicht von einander unabhängig.
+
+\bigskip
+
+\subsection*{\textbf{Fall VIII.}\label{anm42} [Seite \pageref{case8}, N. 42].}
+In diesem Falle ist
+\[
+C = 0, \qquad A\mathfrak{B} - \mathfrak{A}B \neq 0
+\]
+und
+\[
+\Uf = z\alpha\frac{\partial{f}}{\partial{z}} +
+\mathfrak{z}\beta\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}}.
+\]
+
+Es werden daher die Lösungen unseres vollständigen Systems ohne
+Integration und Quadratur, dass heisst durch die Operation~$(0)$
+gefunden. Dieser Fall tritt ein, wenn~$C = 0$, $A\mathfrak{B} -
+\mathfrak{A}B \neq 0$ sind während die Determinante
+\[
+\begin{vmatrix}
+\varrho_x & \varrho_y\\
+\sigma_x & \sigma_y
+\end{vmatrix}
+\]
+der beiden Grössen
+\[
+\varrho = A_x + B_y,\qquad \sigma = \mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y
+\]
+nicht identisch verschwindet.
+
+\bigskip
+
+\subsection*{\textbf{Fall IX.} [Seite \pageref{case9}].}
+In diesem Falle ist
+\[
+C = 0,\qquad A = 0,\qquad \mathfrak{A} = 0,\qquad B = 0,\qquad
+\mathfrak{B} = 0
+\]
+und
+\[
+D = 1.
+\]
+
+Die Gruppe $\Uf$ hat die Form
+\[
+\frac{\partial{V(x,y)}}{\partial{y}}
+\frac{\partial{f}}{\partial{x}} -
+\frac{\partial{V(x,y)}}{\partial{x}}
+\frac{\partial{f}}{\partial{y}} +
+z\alpha\frac{\partial{f}}{\partial{z}} +
+\mathfrak{z}\beta\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}}.
+\]
+
+Die Lösungen unseres vollständigen Systems sind daher unter einander
+gleichberechtigt und es verlangt daher die Bestimmung einer ersten
+Lösung~$x$ eine Operation~2. Nachdem eine solche Lösung gefunden ist,
+%-----File: 066.png----------------------------
+wird das eindimensionale Gebiet der~$\infty^1$ charakteristischen
+Mannigfaltigkeiten, die in einem Raum~$x = a$ enthalten sind, nur durch
+eine infinitesimale Transformation transformirt. Man findet daher wie im
+Falle~VII die fehlende Lösung des vollständigen Systems durch zwei
+successive Quadraturen. Das ganze Integrationsgeschäft verlangt also die
+Operationen
+\[
+2,\quad 0,\quad 0.
+\]
+
+\bigskip
+
+\subsection*{\textbf{Fall X.} [Seite \pageref{case10}].}
+In diesem Falle ist
+\[
+C = 0,\qquad A = \mathfrak{A} = 0,\qquad \mathfrak{B} = kB,\qquad B_y
+\neq 0,\qquad k = \text{Const}.
+\]
+
+Die infinitesimalen Transformationen $\Uf$ besitzen die Form
+\[
+\Uf = \xi(x)\frac{\partial{f}}{\partial{x}} -
+\frac{1}{B_y}(B\xi_x + B_x\xi)\frac{\partial{f}}{\partial{y}} +
+z\alpha\frac{\partial{f}}{\partial{z}} +
+\mathfrak{z}\beta\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}}
+\]
+und dabei ist $\xi(x)$ eine willkürliche Funktion von $x$. Die verkürzte
+Gruppe~$\Uf$ in den Veränderlichen~$x$ und~$y$ ist \emph{imprimitiv},
+indem die Curvenschar~$x=\text{const.}$ der~$xy$-Ebene invariant bleibt.
+Daher verlangt die Bestimmung der Lösung~$x$ nur die Integration einer
+gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung, also eine
+Operation~1. Ist~$x$ bestimmt, so wird die fehlende Lösung ohne
+Integration oder Quadratur gefunden, indem alle~$\Uf$, die~$x$ invariant
+lassen, die Form
+\[
+(~)\frac{\partial{f}}{\partial{z}} +
+(~)\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}}
+\]
+besitzen.
+
+Im vorliegenden Falle verlangt also das Integrationsgeschäft die
+Operationen
+\[
+1,\quad (0).
+\]
+
+\bigskip
+
+\subsection*{\textbf{Fall XI.} [Seite \pageref{case11}].}
+In diesem Falle ist
+\begin{gather*}
+C = 0,\qquad A = 0,\qquad \mathfrak{A} = 0
+\\
+B = 1,\qquad \mathfrak{B} = k = \text{Const.}
+\end{gather*}
+und die infinitesimalen Transformationen $\Uf$ besitzen die Form
+%-----File: 067.png----------------------------
+\[
+\Uf = \frac{\partial{f}}{\partial{x}} +
+\eta(x,y)\frac{\partial{f}}{\partial{y}} +
+z\alpha\frac{\partial{f}}{\partial{x}} +
+\mathfrak{z}\beta\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}}
+\]
+wobei $\eta$ eine ganz beliebige Funktion von $x$ und $y$ darstellt. Die
+verkürzten Transformationen~$\Ubarf$ transformiren das eindimensionale
+Gebiet~$x=\text{ Const.}$ durch eine Gruppe mit \emph{einem einzigen}
+Parameter. Daher findet man durch eine Quadratur den Multiplicator
+desjenigen vollständigen Systems, dessen einzige Lösung~$x$ ist und eine
+zweite Quadratur giebt~$x$ selbst. Um sodann die fehlende Lösung~$y$ zu
+finden integrirt man eine gewöhnliche Differentialgleichung erster
+Ordnung, die nicht vermieden werden kann. Die infinitesimalen
+Transformationen~$\Uf$, die~$x$ invariant lassen, transformieren ja~$y$
+in allgemeinster Weise.
+
+Im vorliegenden Falle verlangt also die Integration des vollständigen
+Systems~$X_1f = 0$, $X_2f = 0$ die Operationen
+\[
+0,\quad 0,\quad 1.
+\]
+
+\bigskip
+
+\subsection*{\textbf{Fall XII.}\label{anm48} [Seite \pageref{case12}].}
+In diesem Falle ist
+\begin{gather*}
+C = 0,\qquad  A = 0,\qquad  \mathfrak{A} = 0
+\\
+B = Y(y),\qquad  \mathfrak{B} = yY(y),\qquad  D = 0
+\end{gather*}
+und die infinitesimalen Transformationen $\Uf$ besitzen die Form
+\[
+\Uf = \frac{\partial{f}}{\partial{x}} +
+z\alpha\frac{\partial{f}}{\partial{z}} +
+\mathfrak{z}\beta\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}}.
+\]
+Man findet daher die Lösung $y$ ohne Integration bez. Quadratur durch
+eine Operation~(0). Sodann verlangt die Bestimmung von~$x$ zwei
+successive
+Quadraturen.
+
+In diesem Falle brauchen wir also die Operationen
+\[
+(0),\quad 0,\quad 0.
+\]
+
+\bigskip
+
+\subsection*{\textbf{Fall XIII.}\label{anm49} [Seite \pageref{case13}].}
+In diesem Falle ist
+\begin{gather*}
+C = A = \mathfrak{A} = 0
+\\
+B = y, \qquad \mathfrak{B} = xy, \qquad D = 0
+\end{gather*}
+%-----File: 068.png----------------------------
+und die infinitesimalen Transformationen $\Uf$ besitzen die Form
+\[
+z\alpha\frac{\partial{f}}{\partial{z}} +
+\mathfrak{z}\beta\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}}
+\]
+und also werden beide Lösungen ohne Integration oder Quadratur gefunden.
+
+Die Integration des vollständigen Systems: $X_1f = 0$, $X_2f = 0$
+verlangt
+also in diesem Falle nur die Operation
+\[
+(0).
+\]
+
+\bigskip
+
+\subsection*{\textbf{Fall XIV.}\label{anm50} [Seite \pageref{case14}].}
+Jetzt ist
+\begin{gather*}
+C = 0,\qquad     A = \mathfrak{A} = 0\\
+B = B(x),\qquad  \mathfrak{B} = xB(x)
+\end{gather*}
+und
+\[
+\Uf = \eta(x,y)\frac{\partial{f}}{\partial{y}} +
+(~)\frac{\partial{f}}{\partial{z}} +
+(~)\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}}
+\]
+wobei $\eta$ eine ganz willkürliche Funktion von $x$, $y$ bezeichnet.
+Die Gruppe~$\Uf$ ist somit intransitiv und dementsprechend findet man
+die Lösung~$x$ ohne Integration und Quadratur, also durch eine
+Operation~$(0)$. Sodann verlangt die Bestimmung der Lösung~$y$ eine
+Operation~1.
+
+Im vorliegenden Falle brauchen wir also zur Integration des
+vollständigen
+Systems:~$X_1f = 0$, $X_2f = 0$ die Operationen
+\[
+(0),\quad 1.
+\]
+
+\bigskip
+
+\subsection*{\textbf{Fall XV.}\label{anm51} [Seite \pageref{case15}].}
+In diesem Falle ist
+\[
+C = 0,\qquad A = 0,\qquad B = 0,\qquad \mathfrak{A} = 1,\qquad
+\mathfrak{B} = 0,\qquad D = 0
+\]
+und
+\[
+\Uf =
+\xi(x,y)\frac{\partial{f}}{\partial{x}} +
+\text{Const.}\frac{\partial{f}}{\partial{y}} +
+z\alpha\frac{\partial{f}}{\partial{z}} +
+\mathfrak{z}\beta\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}}
+\]
+wobei $\xi(x,y)$ eine willkürliche Funktion von $x$ und $y$ bezeichnet.
+Man findet daher die Lösung~$x$ durch zwei successive Quadraturen;
+sodann verlangt die Bestimmung von~$y$ eine Operation~1.
+%-----File: 069.png----------------------------
+
+Im vorliegenden Falle verlangt also die Integration des vollständigen
+Systems~$X_1f = 0$, $X_2f = 0$ die Operationen
+\[
+0,\quad 0,\quad 1.
+\]
+
+\bigskip
+
+\subsection*{\textbf{Fall XVI.} [Seite \pageref{case16}].}
+Jetzt ist
+\[
+C = 0,\qquad A = 0,\qquad B = 0,\qquad \mathfrak{A} = 0,\qquad
+\mathfrak{B} = y,\qquad D = 0
+\]
+und
+\[
+\Uf = \frac{\partial{\Phi}}{\partial{y}}
+\frac{\partial{f}}{\partial{x}} -
+\frac{\partial{\Phi}}{\partial{x}}
+\frac{\partial{f}}{\partial{y}} +
+z\alpha\frac{\partial{f}}{\partial{z}} +
+\mathfrak{z}\beta\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}}.
+\]
+
+Die Lösungen unseres vollständigen Systems sind jetzt gleichberechtigt
+und es verlangt daher die Bestimmung von~$x$ eine Operation~2; sodann
+geben zwei successive Quadraturen die fehlende Lösung~$y$.
+
+In diesem Falle brauchen wir daher zur Integration des vollständigen
+Systems~$X_1f = 0$, $X_2f = 0$ die Operationen
+\[
+2,\quad 0,\quad 0.
+\]
+
+\bigskip
+
+\subsection*{\textbf{Fall XVII.} [Seite \pageref{case17}].}
+Jetzt ist
+\[
+C = x,\qquad A = B = \mathfrak{A} =\mathfrak{B} = D = 0
+\]
+und $\Uf$ besitzt die Form
+\[
+\Uf = \eta(x,y)\frac{\partial{f}}{\partial{y}} +
+\text{Const. }z\frac{\partial{f}}{\partial{z}} +
+\text{Const. }
+\mathfrak{z}\beta\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}}
+\]
+mit der willkürlichen Funktion $\eta$ der beiden Argumente~$x$ und~$y$.
+Wir
+finden daher die Lösung~$x$ ohne Integration oder Quadratur durch eine
+Operation~$(0)$; sodann liefert eine Operation~1 die fehlende
+Lösung~$y$.
+
+Die Integration des vollständigen Systems $X_1f = 0$, $X_2f = 0$
+verlangt
+daher in diesem Falle die Operationen
+\[
+(0),\quad 1.
+\]
+
+\bigskip
+
+\subsection*{\textbf{Fall XVIII.} [Seite \pageref{case18}].}
+In diesem Falle ist
+\[
+C = x,\qquad A =0,\qquad \mathfrak{A} = 0,\qquad D = D(x)
+\]
+%-----File: 070.png----------------------------
+\[
+B = y,\qquad \mathfrak{B} = y\varphi(x) + \psi(x)
+\]
+und
+\[
+\Uf =
+\mu(x)\frac{\partial{f}}{\partial{y}} -
+\left(\int \frac{\mu(x)C(x)dx}{x}\right)
+z\frac{\partial{f}}{\partial{z}} +
+\left(\int \frac{\mu(x)dx}{x}\right)
+\mathfrak{z}\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}}.
+\]
+
+Man findet daher zunächst die Lösung $x$ durch eine Operation~$(0)$
+und sodann die Lösung~$y$ durch zwei successive Quadraturen. Im
+vorliegende
+Falle verlangt daher die Integration des vollständigen Systems die
+Operationen
+\[
+(0),\quad 0,\quad 0.
+\]
+
+\bigskip
+
+\subsection*{\textbf{Fall XIX.} [Seite \pageref{case19}].}
+Jetzt ist
+\begin{gather*}
+C = x,\qquad  A = 0,\qquad  \mathfrak{A} = 0,\qquad  D=1 \\
+B = X(x),\qquad  \mathfrak{B} = X_1(x)
+\end{gather*}
+und
+\[
+\Uf = \mu(x)\frac{\partial{f}}{\partial{y}} +
+\text{Const. }z\frac{\partial{f}}{\partial{z}} +
+\text{Const. }\mathfrak{z}\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}}.
+\]
+
+Man findet daher die Lösung $x$ durch die Operation $(0)$ und sodann
+die Lösung~$y$ durch zwei successive Quadraturen. Die Integration
+unseres
+vollständigen Systems verlangt daher auch in diesem Falle die
+Operationen
+\[
+(0),\quad 0,\quad 0.
+\]
+
+\bigskip
+\begin{center}
+\makebox[10em]{\hrulefill}\bigskip
+\end{center}
+%-----File: 071.png----------------------------
+
+\section*{Anmerkungen.}
+\markboth{\textsc{Sophus Lie.}\hfil\small\upshape M.N. Kl.}{\textsc{1902 No.1\hfil anmerkungen.\hfil}}
+\begin{itemize}
+\parindent1.5em
+\parskip0pt
+\item[1.]\label{app1} Nur der erste Abschnitt liegt im Manuscript vor.
+\hfill G.S.\qquad\
+
+\item[2.] Ueber infinitesimale Transformationen $\Yf$ die mit gegebenen
+infinitesimalen
+Transformationen \emph{vertauschbar} sind, sieh \so{Sophus Lie:}
+\emph{Theorie der Transformationsgruppen}, unter Mitwirkung von
+F.~Engel,
+Bd.~I p.~367. Die dadurch bestimmte Gruppe~G sieh l.~c.~p.~368 fg.
+
+Wenn es keine solche Transformationen $\Yf$ giebt, so ist die vorgelegte
+Gruppe $X_1f \ldots X_\nu f$ asystatisch \emph{Th.~d.~Tr.}\ Bd.~I p.~510
+Satz 2, und ihre Invarianten d.~h.\ die Lösungen des vollständigen
+Systems:
+\[
+X_1f = 0, \dots X_\nu f = 0
+\]
+können durch ausführbare Operationen gefunden werden (\emph{Th.~d.~Tr.}\
+Bd.~I p.~518 Satz~7). \hfill S.\qquad\
+
+\item[3.] Zu S.~\pageref{anm3a}. Diese Annahme schien uns nicht
+unmittelbar
+evident, und wir haben daher mit Herrn Professor F.~Engel über
+diesen Punkt correspondiert. In einem Brief von 14--5--02 hat
+Prof.~Engel uns Folgendes mitgetheilt:
+\begin{quote}
+\frqq Mir ist nun keine Stelle bekannt, wo Lie bewiesen oder auch nur
+behauptet hat, dass man auch zu jeder intransitiven Gruppe eine
+kanonische Form mit bekannten endlichen Transformationen finden
+könnte. Doch wird er es sich vielleicht so gedacht haben. Vgl.\
+\emph{Th.~d.~Tr.}
+Bd.~I p.~458 das klein Gedruckte: Ist die dort definirte
+Zahl $m = r$, so ist die kanonische Form ohne weiteres angebbar. Ist
+$m > r$, so kommt man zum Ziele, indem man gewisse transitive
+Gruppen bestimmt, die mit der gegebenen Gruppe meroëdrisch isomorph
+sind\flqq.
+\end{quote}
+
+Zu S.~\pageref{anm3b}. Der Begriff \frqq reciprok\flqq\ ist früher von
+Lie nur
+bei einfach transitiven Gruppen gebraucht; hier bedeutet offenbar
+die \frqq reciproke\flqq\ Gruppe die Gruppe~G von allen Transformationen
+die mit den~$X_1f$ vertauschbar sind, gleichgültig ob die Gruppe~$X_if$
+einfach transitiv ist oder nicht. \hfill G.S.\qquad\
+
+\medskip
+
+Zu S.~\pageref{anm3c}. Dieser Punkt schien uns unklar, da hier
+vorausgesetzt
+wird, dass~G endlich ist, denn nur in diesem Falle kann Lie
+von einer gleichzusammengesetzten einfach transitiven Gruppe reden,
+%-----File: 072.png----------------------------
+und in dem Fall, dass~G endlich ist, (und sich nicht nur auf
+die identische Transformation reducirt, ein Fall, der ja schon
+erörtert ist), ist die Gruppe~$X_if$ transitiv, ein Fall, der ja
+hier kein Interesse hat. Professor Engel, den wir darüber gefragt
+haben ist mit uns darin
+einig, \frqq dass diese Stelle entschieden nicht ganz in Ordnung
+ist\flqq.
+
+\bigskip
+
+\item[4.] Man vergleiche hier \emph{Mathematische Annalen}
+Bd.~25 p.~123, 22.\\
+\null\hfill G.\qquad\
+
+\item[5.] und 6.~Siehe \emph{Leipziger Berichte}, 1897
+p.~402--407. \hfill G.S.\qquad\
+
+\item[7.] Nur der erste Abschnitt liegt vor.
+
+Ueber die in der Einleitung besprochenen Theorien und Probleme
+siehe auch:
+
+\emph{Encyclopædie der Mathematischen Wissenschaften} Band II. A
+4 b \S\ 13--14 und \S\ 29--32. \hfill S.\qquad\
+
+\item[8.]\frqq \emph{Ganz beliebige Funktionen}\flqq, müssen in der
+Bedeutung verstanden werden, dass sie den allgemeinen Bedingungen
+genügen, unter welchen das Integral eine Existenz hat. Auf solche
+Fragen gehen wir aber hier nicht ein.
+
+Ueberall in dem Folgenden muss man ähnliche funktionentheoretische
+Voraussetzungen machen. \hfill S.\qquad\
+
+\item[9.] Im Manuscript war durch einen Schreibfehler überall
+$X_1$, $X_2$, $X_3$, $X_4$ statt $F_1$, $F_2$, $F_3$, $F_4$
+gesetzt. Etwas später waren diese ersten Buchstaben $X$ zu $F$
+corrigiert, und da es scheint, als ob Lie diese Correcturen nicht
+durchgeführt habe, haben wir es gethan.
+
+In dem Folgenden haben wir auch ($i = 3,4$) im Manuscript zu ($i =
+1,2$) corrigiert, da dieses offenbar das Richtige ist.
+
+In den Entwickelungen auf S.~\pageref{anm9a} und~\pageref{anm9b}
+bedeutet natürlich
+$\frac{\partial{F_i}}{\partial{x_1}}$ die partielle Ableitung von
+$F_i$ ($x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$) wenn $x_2$, $x_3$ $x_4$ als
+Constanten aufgefasst werden, dagegen
+$\left(\frac{\partial{F_i}}{\partial{x_1}}\right)$
+die partielle Ableitung von $F_i$, wenn man in $F_i$ zuerst die
+Ausdrücke der $x_3$ und $x_4$ als Funktionen von $x_1$ und $x_2$
+substituirt und dann die partielle Ableitung nach $x_1$, nimmt
+etc. \hfill G.S.\qquad\
+
+\item[10.] Man sieht es unmittelbar ein, wenn man die Ausdrücke
+der totalen Differentiale:
+\[
+\begin{aligned}
+&dx'_3 = dF_3 =
+\left(\dfrac{\partial{F_3}}{\partial{x_1}}\right)dx_1 +
+\left(\dfrac{\partial{F_3}}{\partial{x_2}}\right)dx_2\qquad& \\
+&dx'_i = dF_i =
+\left(\dfrac{\partial{F_i}}{\partial{x_1}}\right)dx_1 +
+\left(\dfrac{\partial{F_i}}{\partial{x_1}}\right)dx_2 &(i = 1,2)
+\end{aligned}
+\]
+in die Gleichung
+%-----File: 073.png----------------------------
+\[
+dx'_3 = \frac{\partial{x'_3}}{\partial{x'_3}}\cdot dx'_1 +
+\frac{\partial{x'_3}}{\partial{x'_2}}\cdot dx'_2
+\]
+substituirt und beziehungsweise die Koefficienten von~$dx_1$ und~$dx_2$
+auf beiden Seiten identificirt, u.~s.~w. \hfill S.\qquad\
+
+\item[11.] Hier bedeutet $\left|\begin{smallmatrix}
+U   & V \\
+x_i & x_k
+\end{smallmatrix}\right|
+$ die Funktionaldeterminante, $
+\frac{\partial{U}}{\partial{x_i}}
+\frac{\partial{V}}{\partial{x_k}} -
+\frac{\partial{U}}{\partial{x_i}}
+\frac{\partial{V}}{\partial{x_i}}$, von $U$ und $V$ nach $x_i$ und
+$x_k$. \hfill S.\qquad\
+
+\item[12.] Folgende Andeutungen können vielleicht von Nutzen sein:
+
+Wenn man $x_4$ als eine willkürliche Funktion $f$ von $x_1$, $x_2$
+und $x_3$ wählt, so ist das totale Differential:
+\[
+dx_4 = \frac{\partial{f}}{\partial{x_1}}\cdot dx_1 +
+\frac{\partial{f}}{\partial{x_2}}\cdot dx_2 +
+\frac{\partial{f}}{\partial{x_3}}\cdot dx_3
+\]
+für einen willkürlichen aber bestimmten Punkt $x_1$, $x_2$, $x_3$,
+$x_4$. Diese Gleichung ist linear und homogen in $dx_1$, $dx_2$,
+$dx_3$, $dx_4$ und stellt folglich im Raume~$M_3$ eine Ebene dar.
+Wenn man die Funktion~$f$ anders wählt, erhält man im Allg.\ eine
+andere Ebene. Die drei partiellen Ableitungen
+\[
+\frac{\partial{f}}{\partial{x_1}},\quad
+\frac{\partial{f}}{\partial{x_2}},\quad
+\frac{\partial{f}}{\partial{x_3}}
+\]
+können daher als Ebenenkoordinaten aufgefasst werden.
+
+Wenn man in analoger Weise $x_3$ und $x_4$ als willkürliche
+Funktionen~$f$ und~$\varphi$ von $x_1$ und $x_2$ auffasst, so ist
+\[
+\begin{aligned}
+dx_3 = \frac{\partial{f}}{\partial{x_1}}\cdot dx_1 +
+\frac{\partial{f}}{\partial{x_2}}\cdot dx_2,\\
+dx_4 = \frac{\partial{\varphi}}{\partial{x_1}}\cdot dx_1 +
+\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x_2}}\cdot dx_2.
+\end{aligned}
+\]
+
+Wenn man hier Alles im Raume $M_3$ auffasst, so stellt jede dieser
+Gleichungen eine Ebene und folglich beide zusammen eine Gerade
+dar. Wenn man~$f$ und~$\varphi$ anders wählt, bekommt man im
+Allg.\ eine andere Gerade.
+
+Da $dx_1$, $dx_2$, $dx_3$, $dx_4$ homogene Ebenenkoordinaten im~$M_3$
+sind, kann man folglich die partiellen Ableitungen
+\[
+\frac{\partial{f}}{\partial{x_1}},\quad
+\frac{\partial{f}}{\partial{x_2}},\quad
+\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x_1}},\quad
+\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x_2}}
+\]
+als Liniencoordinaten im $M_3$ auffassen.
+
+Wie man mit Plücker die fünfte Liniencoordinate
+\[
+\frac{\partial{f}}{\partial{x_1}}
+\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x_2}} -
+\frac{\partial{f}}{\partial{x_2}}
+\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x_1}}
+\]
+%-----File: 074.png----------------------------
+einführen kann, siehe z.~B.\ \so{Lie-Scheffers}: \emph{Geometrie der
+Be\-rüh\-rungs\-transformationen}
+I. Kap. 7, \S~3. \hfill     S.\qquad\
+
+\item[13.] Dass jede Punkttransformation im Infinitesimalen projektiv
+ist, folgt daraus, dass die Differentiale linear und homogen
+transformirt werden. Sieh z.~B.\ \so{Lie-Engel} \emph{Th.\ der Tr.~I},
+Kap.~28. Aber dann werden in~$M_3$ die absoluten Punktkoordinaten und
+folglich die fünf Liniencoordinaten projektiv transformirt. (Siehe
+z.~B.\ \so{Lie-Scheffers} \emph{Ge.\ der Berühr.tr.} % No space in original
+I, p.~285, Satz~5).
+\hfill S.\qquad\
+
+\item[14.] Im Manuscript war durch einen Schreibfehler $dx\, dy$ statt
+$dx_1\, dx_2$ geschrieben. Wir haben dieses korrigiert. \hfill
+G.~S.\qquad\
+
+\item[15.] Da $X_1 f$ und $X_2 f$ vertauschbare Transformationen mit
+verschiedenen Bahncurven sind, kann man solche neue Veränderliche $z_2$,
+$\mathfrak{z}_3$ einführen, dass $X_1 f$ und $X_2 f$ in die beiden
+Translationen
+\[
+  \frac{\partial f}{\partial z_2},\
+  \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}_2}
+\]
+übergehen (Sehe z.~B.\ \so{Lie-Scheffers} \emph{Diff.\ gl.\ mit
+bekannt.\ inf.\
+Tr.} p.~416).
+
+Wenn man dann die neuen Veränderlichen
+\begin{align*}
+            z  &= e^{z_2 }  \\
+  \mathfrak{z} &= e^{\mathfrak{z}_2}
+\end{align*}
+einführt, so werden die inf. Transformationen $X_1 f$ und $X_2 f$ auf
+die
+Formen
+\[
+            z  \frac{\partial f}{\partial           z },\
+  \mathfrak{z} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}
+\]
+gebracht. \hfill     G.~S.\qquad\
+
+\item[16.]  (Seite~\pageref{anm16a} und~\pageref{anm16b}).
+
+Wenn $X' f$ die erweiterte Transformation von
+\[
+  \Xf = \xi   \frac{\partial f}{\partial x}
+     + \eta  \frac{\partial f}{\partial y}
+     + \zeta \frac{\partial f}{\partial z}
+     + \tilde{\omega} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}
+\]
+ist, so ist die Bedingung dafür, dass das Integral
+\[
+  \int \psi\, dx\, dy
+\]
+durch die Transformation $\Xf$ invariant bleibt, wie bekannt:
+\[
+  X'\psi + (\xi_x + \eta_y)\psi = 0.
+\]
+(Siehe \emph{Leipz.\ Berichte} 1897, p.~347--350)
+
+Wenn folglich $\Xf = z\frac{\partial f}{\partial z}$, so ist
+$\xi = \eta = 0$ und unsere Bedingungsgleichung
+nimmt die Form:
+%-----File: 075.png----------------------------
+\[
+  X'\psi = 0
+\]
+an, u.~s.~w.
+
+In der Gleichung (Seite~14 unten) war im Manuscript $ \gamma_z
+\mathfrak{p} +  \delta_z \mathfrak{q}$ statt $z\gamma_z
+\mathfrak{p} + z\delta_z \mathfrak{q}$ geschrieben. Wir haben es
+corrigiert.  \hfill G.~S.\qquad\
+
+\item[17.]  Ueber vertauschbare Transformation etc.\ siehe
+\so{Lie-Engel} \emph{Th.\ d.\ Tr.}\ I, p.~259.  \hfill
+G.~S.\qquad\
+
+\item[18.]  Wenn die Relationen $(X_1U) = 0$ und $(X_2U) = 0$
+identisch bestehen sollen, so erhält man durch Ausrechnung
+\[
+   \xi_z =  \xi_{\mathfrak{z}}
+= \eta_z = \eta_{\mathfrak{z}} = \bar\omega_z =
+\zeta_{\mathfrak{z}} = z\zeta_z - \zeta = \mathfrak{z}
+\bar\omega_{\mathfrak{z}} -\omega = 0
+\]
+woraus
+\begin{align*}
+& \xi = \xi(x, y),  && \eta = \eta(x, y)
+\\
+& \zeta = z\cdot\alpha(x, y),  & & \bar\omega =
+\mathfrak{z}\cdot\beta(x, y)
+\end{align*}
+u.~s.~w. \hfill     G.~S.\qquad\
+
+\item[19.]  Man sieht leicht dass die allgemeinste Transformation
+bei welcher $z\frac{\partial f}{\partial z}$ und $\mathfrak{z}
+\frac{\partial f}{\partial\mathfrak{z}}$
+ihre Form bewahren, durch die Gleichungen~(8) gegeben ist. Sind
+nämlich $x_1$, $y_1$, $z_1$, $\mathfrak{z}_1$ neue Veränderliche
+so geht $z\frac{\partial f}{\partial z}$ und $\mathfrak{z}
+\frac{\partial f}{\partial\mathfrak{z}}$ über in
+\[
+  z\frac{\partial x_1}{\partial z} \cdot
+   \frac{\partial f}{\partial x_1}
++
+  z\frac{\partial y_1}{\partial z} \cdot
+   \frac{\partial f}{\partial y_1}
++
+  z\frac{\partial z_1}{\partial z} \cdot
+   \frac{\partial f}{\partial z_1}
++
+  z\frac{\partial \mathfrak{z}_1}{\partial z} \cdot
+   \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}_1}
+\]
+und
+\[
+  \mathfrak{z} \frac{\partial x_1}{\partial \mathfrak{z}} \cdot
+   \frac{\partial f}{\partial x_1}
++
+  \mathfrak{z} \frac{\partial y_1}{\partial \mathfrak{z}} \cdot
+   \frac{\partial f}{\partial y_1}
++
+  \mathfrak{z} \frac{\partial z_1}{\partial \mathfrak{z}} \cdot
+   \frac{\partial f}{\partial z_1}
++
+  \mathfrak{z} \frac{\partial \mathfrak{z}_1}{\partial \mathfrak{z}}
+\cdot
+   \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}_1}
+\]
+und wenn diese Transformationen die Formen $z_1\frac{\partial
+f}{\partial z_1}$ und $\mathfrak{z} \frac{\partial f}{\partial
+\mathfrak{z}_1}$ erhalten sollen, müssen
+\[
+  \frac{\partial x_1}{\partial z}
+= \frac{\partial y_1}{\partial z} = \frac{\partial
+\mathfrak{z}_1}{\partial z} = \frac{\partial x_1}{\partial
+\mathfrak{z}} = \frac{\partial y_1}{\partial \mathfrak{z}} =
+\frac{\partial \mathfrak{z}_1}{\partial \mathfrak{z}} = 0
+\]
+und
+\[
+  z \frac{\partial z_1}{\partial z} = z_1, \qquad
+  \mathfrak{z} \frac{\partial \mathfrak{z}_1}{\partial \mathfrak{z}}
+= \mathfrak{z}_1
+\]
+das heisst, $x_1$, $y_1$, $z_1$, $\mathfrak{z}_1$ sind durch
+Gleichungen von der Form~(8) bestimmt.  \hfill    S.\qquad\
+
+\item[20.]  Im Manuscript war das Glied
+\[
+  +\frac{\theOmega_x V_y - \theOmega_y V_x}{\theOmega V}
+\]
+durch einen Schreibfehler vergessen. Wir haben es ergänzt. \hfill
+G.~S.\qquad\
+
+%-----File: 076.png----------------------------
+\item[21.] Sieh z.~B.~\so{Lie-Scheffers}:  \emph{Geometrie der
+Berührungs\-trans\-for\-ma\-ti\-onen} I, p.~289. \hfill G.~S.\qquad\
+
+\item[22.] Im Manuscript war $A$ und $B$ statt $A_1$ und $B_1$
+geschrieben. Wir haben es corrigiert. \hfill G.~S.\qquad\
+
+\item[23.] $\Ubarf$ bedeutet hier die verkürzte inf. Transformation
+$\xi\frac{\partial{f}}{\partial{x}} +
+\eta\frac{\partial{f}}{\partial{y}} $.
+
+Ein \emph{Multiplicator} $M$ von $\Ubarf$ ist definirt
+durch
+\[
+\frac{\partial{(M\xi)}}{\partial{x}} +
+\frac{\partial{(M\eta)}}{\partial{y}} = 0
+\]
+
+Siehe z.~B.~\emph{Encyclopædie der math.} Wiss.~IIA 5, 12.
+\hfill S.\qquad\
+
+\item[24.] Im Manuscript hat Lie dieses zuerst etwas anders
+redigiert, aber später seine ursprüngliche Redaction durch die
+vorliegende ersetzt. Aber da diese ursprüngliche Redaction die
+Sache ausführlicher darstellt, denken wir, dass es von Nutzen sein
+kann, diese im Auszug zu reproducieren, um so mehr, als ähnliche
+Überlegungen in dem Folgenden sehr oft vorkommen.
+
+Wenn wir die neuen Veränderlichen
+\[
+x_1 = \frac{M(x,y)}{N(x,y)},\qquad y_1 = Y(x,y),\qquad z_1 =
+z,\qquad \mathfrak{z}_1 = \mathfrak{z}\tag{a}
+\]
+einführen, so geht $\Ubarf$ über in
+\[
+\overline{U}\left(\frac{M}{N}\right)\cdot
+\frac{\partial{f}}{\partial{x_1}} + \overline{U}(Y)
+\frac{\partial{f}}{\partial{y_1}}\cdot
+\]
+
+Aber infolge Satz 2 ist $\overline{U}\left(\frac{M}{N}\right) =
+0$, und wenn wir $Y$ durch die Gleichung
+\[
+\xi\frac{\partial{Y}}{\partial{x}} +
+\eta\frac{\partial{Y}}{\partial{y}} = \mu\left(\frac{M}{N}\right)
+= \mu(x_1)
+\]
+bestimmen, so wird unsere Transformation $\Ubarf$ die Form
+\[
+\mu(x_1)\cdot \frac{\partial{f}}{\partial{y_1}}
+\]
+erhalten.
+
+Durch die Variablenänderung (\emph{a}) gehen andererseits die
+inf. Transformationen $
+z\frac{\partial{f}}{\partial{z}}$ und $
+\mathfrak{z}\frac{\partial{f}}{\partial{z}}$ in $z_1
+\frac{\partial{f}}{\partial{z_1}}$ und $
+\mathfrak{z_1}\frac{\partial{f}}{\partial{z_1}}$ über, (d.~h.\ sie
+bleiben invariant) während das Integral die Form
+\[
+\int\left( \frac{A_1p_1 + B_1q_1}{z_1} +
+\frac{\mathfrak{A_1}\mathfrak{p_1} +
+\mathfrak{B_1}\mathfrak{q_1}}{\mathfrak{z_1}} +
+\frac{C(p\mathfrak{q_1} - q\mathfrak{p_1})}{z_1\mathfrak{z_1}} +
+D_1 \right)\;dx_1\;dy_1
+\]
+erhält, und dabei sind die Coefficienten $A_1$, $B_1,\dots D_1$
+Funktionen von $x_1$ und $y_1$, die allerdings im Allgem.\ eine
+andere Form als die alten Coefficienten $A$, $B,\dots D$ haben.
+
+%-----File: 077.png----------------------------
+Durch diese Betrachtungen erkennen wir, dass es im vorliegenden Falle
+möglich ist, die kanonischen Veränderlichen $x$, $y$, $z$,
+$\mathfrak{z}$ \emph{von vornherein} derart zu wählen, dass die Gruppe
+$\Uf$ die Form
+\[
+  \mu(x)  \frac{\partial f}{\partial y}
++ z\alpha \frac{\partial f}{\partial z}
++ \mathfrak{z}\beta \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}
+\]
+erhält. \hfill     S.\qquad\
+
+\item[25.]  Es ist nicht nöthig, die Annahme $\mu=1$ zu machen; man
+sieht es
+unmittelbar aus der letzte Gleichung~(6), die in unserem Fall die Form
+\[
+  \mu(x) D_y=0
+\]
+annimmt, dass $D$ eine Function von $x$ allein ist. \hfill  S.\qquad\
+
+\item[26.]  Man sieht es leicht, wenn man bemerkt, dass
+\[
+  A = X(x), \quad B = 0, \quad
+  \mathfrak{A} = X_1(x), \quad  \mathfrak{B} = 0, \quad
+  D = D(x)
+\]
+und folglich
+\[
+  \omega = C\cdot D(x), \qquad
+  \varrho = X'(x),  \qquad
+  \sigma = X'_1(x),
+\]
+was eingesetzt in die Gleichungen (10) und (6), die angegebenen
+Werthe von $\xi$, $\eta$, $\alpha$ und $\beta$ liefert. \hfill S.\qquad\
+
+\item[27.]  Wenn wir z.~B.\ die erste Gleichung~(10) betrachten, wo
+\[
+  N = \omega = CD + \mathfrak{A}B - A\mathfrak{B}
+\]
+ist, und wenn wir neue Veränderliche
+\[
+  x_1 = X(x,y),  \quad  y_1 = Y(x,y), \quad z_1 = z,  \quad
+  \mathfrak{z}_1 = \mathfrak{z}
+\]
+einführen und die Gleichung $\Delta N_1=N$ (Seite~\pageref{anm27}) ins
+Auge fassen,
+so sehen wir, dass
+\[
+  N_1 = 1
+\]
+wird, sobald $x_1$ und $y_1$ durch die Bedingung
+\[
+  \frac{\partial x_1}{\partial x} \cdot
+  \frac{\partial y_1}{\partial y}
+- \frac{\partial x_1}{\partial y} \cdot
+  \frac{\partial y_1}{\partial x}
+= CD + \mathfrak{A}B - A\mathfrak{B}
+\]
+bestimmt sind, was offenbar auf unendlich viele Weisen möglich ist.
+Folglich können wir von vornherein $N  =1$ annehmen. Vergleiche
+auch Note~24.  \hfill    S.\qquad\
+
+\item[28.]  Vielleicht ist folgende directe Überlegung vorzuziehen:
+
+Unsere Bedingung, dass alle Unterdeterminanten von
+\[
+\begin{vmatrix}
+  \omega  &  \omega_x &  \omega_y  \\
+  \varrho & \varrho_x & \varrho_y  \\
+  \sigma  &  \sigma_x &  \sigma_y
+\end{vmatrix}
+\]
+identisch verschwinden sollen, giebt
+%-----File: 078.png----------------------------
+\begin{align*}
+  \omega\varrho_x &= \varrho\omega_x,  &\quad
+  \omega\varrho_y &= \varrho\omega_y,
+\\
+  \omega\sigma_x &= \sigma\omega_x,  &\quad
+  \omega\sigma_y &= \sigma\omega_y,   \quad \text{etc.}
+\end{align*}
+
+Aber da $N=\omega=1$ ist, so wird
+\[
+  \varrho_x = \varrho_y = \sigma_x = \sigma_y = 0
+\]
+d.~h.\ $\varrho$ und $\sigma$ sind Constanten. \hfill
+S.\qquad\
+
+\item[29.]  (Zu Seite~\pageref{anm29}). Wir haben einige Worte
+eingeschaltet um
+den Übergang zum Folgenden zu vermitteln.
+
+Bei dieser Gelegenheit müssen wir auch die Bemerkung machen, dass
+im letzten Falle, wo
+\[
+  \omega = \varrho = \sigma = A = B = \mathfrak{A} = \mathfrak{B} = D =
+0
+\]
+ist, die Gleichungen (6) identisch befriedigt werden, und dass
+folglich
+\[
+  \Uf =  \xi \frac{\partial f}{\partial x}
+     + \eta \frac{\partial f}{\partial y}
+     + z\alpha \frac{\partial f}{\partial z}
+     + \mathfrak{z}\beta \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}
+\]
+wird, wo $\xi$, $\eta$, $\alpha$ und $\beta$ willkürliche
+Funktionen von $x$ und $y$ sind.
+
+\hfill      S.\qquad\
+
+\item[30.]  Im Manuscript war das Theorem nicht fertig
+geschrieben, und \so{Lie} hat einen Zwischenraum gelassen um es
+später zu vervollständigen. Wir haben es gethan, und das Zugefügte
+durch eckige Klammern angedeutet.
+
+\hfill    G.~S.\qquad\
+
+\item[31.]  Über Systeme partieller Differentialgleichungen, deren
+allgemeinste Lösungen nur von einer endlichen Anzahl willkürlicher
+Constanten abhängen, siehe \so{Lie-Engel} \emph{Th.\ d.\ Tr.}~I,
+Kap.~10.
+
+In der letzten Gleichung war im Manuscript $\mathfrak{A}B_x -
+A\mathfrak{B}_x$ und $\mathfrak{A}B_y - A\mathfrak{B}_y$ statt
+$A\mathfrak{B}_x - \mathfrak{A}B_x$ und $A\mathfrak{B}_y -
+\mathfrak{A}B_y$ geschrieben. Wir haben es richtig gestellt.
+\hfill      G.~S.\qquad\
+
+\item[32.] Genau wie im vorigen Falle (Seite~\pageref{anm32a}) kann man
+wohl nicht verfahren, weil $C=0$ ist und man folglich nicht mit $C$
+multipliciren kann; aber wenn man die erste und letzte der 4~Gleichungen
+(Seite~\pageref{anm32b}) addirt, erhält man unmittelbar die erste
+Gleichung~(16) u.~s.~w. \hfill G.~S.\qquad\
+
+\item[33.]  Vergl.\ Note~27. Bei der entsprechenden
+Variablenänderung bleiben die Bedingungen $C=0$ und
+$A\mathfrak{B} - \mathfrak{A}B\neq0$ invariant und wir können von
+vornherein die Annahme $\omega=1$, $\xi_x+\eta_y=0$ machen.
+\hfill   S.\qquad\
+
+\item[34.]  Die beiden inf.\ Transformationen der Gruppe seien
+\[
+  U_1 f = P_y \frac{\partial f}{\partial x}
+        - P_x \frac{\partial f}{\partial y}  \quad \text{und} \quad
+  U_2 f = V_y \frac{\partial f}{\partial x}
+        - V_x \frac{\partial f}{\partial y}.
+\]
+
+Nach S.~\so{Lie}:  \emph{Leipz.\ Berichte} 1895, p.~294 u.~f.\
+ist es nun möglich, neue Veränderliche
+%-----File: 079.png----------------------------
+\begin{align*}
+  x_1 &= X(x,y)\\
+  y_1 &= Y(x,y)
+\end{align*}
+einzuführen, die der Bedingung
+\[
+X_xY_y - X_yY_x = 1
+\]
+genügen und die infinitesimale Transformation $U_1f$ auf die Form einer
+%[_1 hard to read]
+Translation $\frac{\partial f}{\partial y_1}$ bringen. \hfill
+S.\qquad\
+
+\item[35.] Siehe z.~B. \emph{Th.~d.~Tr.} III, s. 713. \hfill
+S.\qquad\
+
+\item[36.] Es genügt z.~B., die neuen Veränderlichen
+\[
+x_1 = x,\quad y_1 = y - \frac{X_1}{x}
+\]
+einzuführen.      \hfill S.\qquad\
+
+\item[37.] Wie oben bemerkt, können wir hier $D = 0$ annehmen.
+\hfill S.\qquad\
+
+\item[38.] Es genügt, die neuen Veränderlichen
+\[
+x_1 = \frac{x}{k},\quad y_1 = y + \frac{X_1}{k}
+\]
+einzuführen.       \hfill            G.~S.\qquad\
+
+\item[39.] Vergleiche Seite \pageref{anm27}.          \hfill
+S.\qquad\
+
+\item[40.] Es genügt, die neuen Veränderlichen $x_1 = -X',\ y_1 =
+y$ einzuführen.
+
+\hfill  G.~S.\qquad\
+
+\item[41.] Hier ist, wie man leicht sieht, ein Fehler.  Wenn man
+nämlich die neuen Veränderlichen
+\[
+x_1 = \varphi (x),\quad y_1 = \frac{1}{\varphi (x)}\cdot y + \psi
+(x)
+\]
+einführt, so bleibt:
+\[
+  \Delta = \frac{\partial x_1}{\partial x}\cdot\frac{\partial
+y_1}{\partial y} -
+           \frac{\partial x_1}{\partial y}\cdot\frac{\partial
+y_1}{\partial x} =
+           \frac{\varphi'(x)}{\varphi (x)}
+\]
+und (Seite \pageref{form5})
+\[
+\Delta\mathfrak{A}_1 = \mathfrak{A}\cdot\varphi'(x)
+\]
+d.~h.
+\[
+\mathfrak{A}_1 = \mathfrak{A}\varphi (x)
+\]
+und $\mathfrak{A}_1$ kann folglich nicht Null werden.
+
+Man sieht aber leicht, dass die Transformation
+\begin{align*}
+  x_1 = y - \int\frac{\mathfrak{B}}{\mathfrak{A}}dx\\
+  y_1 = y - \int\frac{B}{A}dx
+\end{align*}
+unsere Forderung erfüllt.    \hfill  S.\qquad\
+
+%-----File: 080.png----------------------------
+
+\item[42.] Am Rande seines Manuscripts hat S.~Lie geschrieben:
+\[
+\text{!! (\emph{gar keine inf.~Trfn.}, $\xi = 0$, $\eta = 0$)}
+\]
+und wie es auch aus dem Falle VIII (Seite \pageref{anm42}) hervorgeht,
+ist hier
+der Fall angedeutet, wo die Gruppe nur die identische
+Transformation enthält, dass heisst, wo
+\[
+\xi = 0,\qquad \eta = 0
+\]
+sind. Die Gleichungen (15) geben alsdann:
+\[
+0 = A\alpha_x + B\alpha_y + \mathfrak{A}\beta_x +
+\mathfrak{B}\beta_y
+\]
+und wegen der Voraussetzung sind
+\[
+C = 0,\qquad A\mathfrak{B} - \mathfrak{A}B \neq 0.
+\]
+\hfill G.~S.\qquad\
+
+\item[43.] Es genügt, neue Veränderliche $x_1$ und $y_1$
+einzuführen, wo $x_1$ eine Lösung der Gleichung
+\[
+A\frac{\partial{x_1}}{\partial{x}} +
+B\frac{\partial{x_1}}{\partial{y}} = 0
+\]
+ist. Die Formeln auf der Seite~\pageref{form3} zeigen dann, dass $A_1 =
+0$ und
+dass folglich $\mathfrak{A_1}B_1 = 0$ wird. \hfill G.~S.\qquad\
+
+\item[44.] Es genügt die neuen Veränderlichen $x_1$, $y_1$, als
+Lösungen der Gleichung
+\[
+\frac{\partial{x_1}}{\partial{x}}
+\frac{\partial{y_1}}{\partial{y}} -
+\frac{\partial{x_1}}{\partial{y}}
+\frac{\partial{y_1}}{\partial{x}} = D
+\]
+zu nehmen (Vergl. Seite~\pageref{form3}). \hfill S.\qquad\
+
+\item[45.] Wie man leicht sieht, kann die Integralinvariante in
+diesem Falle auf die Form
+\[
+\int\left( \frac{Bq}{z} + \frac{kB\mathfrak{q}}{\mathfrak{z}}
+\right) \;dx\;dy
+\]
+gebracht werden. \hfill S.\qquad\
+
+\item[46.] Siehe die Transformationsformeln auf Seite~\pageref{form3}.
+\hfill
+S.\qquad\
+
+\item[47.] Im Manuscript war durch einen Schreibfehler $\Xf$ statt
+$\Uf$ geschrieben. Wir haben es corrigirt. \hfill S.\qquad\
+
+\item[48.] In den expliciten Ausdrücken von $\xi$ und $\eta$;
+tritt die Integrationsconstante nur als Faktor auf, und es giebt
+folglich nur \emph{eine} wesentliche infinitesimale
+Transformation $ \xi\frac{\partial{f}}{\partial{x}}
++ \eta\frac{\partial{f}}{\partial{y}}
+$.\bigskip
+
+Um die Voraussetzungen des Falles XII, Seite~\pageref{anm48}
+herzuleiten,
+genügt es, die neuen Veränderlichen
+%-----File: 081.png----------------------------
+\[
+x_1 = \int\frac{\partial{x}}{\xi},\qquad y_1 =
+\frac{\mathfrak{B}}{B}
+\]
+einzuführen. Setzen wir nämlich
+\[
+\xi\frac{\partial{f}}{\partial{x}} +
+\eta\frac{\partial{f}}{\partial{y}} = \Ubarf
+\]
+so ist
+\[
+\begin{aligned}
+&\overline{U}(x_1) = \xi\cdot\frac{1}{\xi} + 0 = 1 \\
+&\overline{U}(y_1) = - \frac{\mathfrak{B}^2}{B^2}\cdot
+\left(\left(\frac{B}{\mathfrak{B}}\right)_{\!\!x}\cdot \xi +
+\left(\frac{B}{\mathfrak{B}}\right)_{\!\!y}\cdot\eta\right) = 0
+\end{aligned}
+\]
+und $\Ubarf$ erhält in den neuen Veränderlichen $x_1$,
+$y_1$ die Form $\frac{\partial{f}}{\partial{x_1}}$.
+
+Die Transformationsformeln auf der Seite~\pageref{form3} geben
+andererseits:
+\[
+A_1 = 0,\qquad \mathfrak{A}_1 = 0,\qquad B_1 = \xi B,\qquad
+\mathfrak{B}_1 = \xi\mathfrak{B} = y_1B_1.
+\]
+Man sieht leicht, unter Anwendung der Formel $\xi B_x + B\xi_x +
+\eta B_y = 0$, dass
+\[
+\frac{\partial{B_1}}{\partial{x_1}} = 0
+\]
+so dass $B_1$ eine Funktion von $y_1$ allein ist. Endlich können
+wir neue Veränderliche $z_1$, und $\mathfrak{z}_1$, einführen
+derart, dass $D_1 = 0$ wird.
+
+Wir können also von vornherein die Voraussetzungen machen:
+\[
+\begin{aligned}
+C = 0,\qquad &A = 0,\qquad \mathfrak{A} = 0 \\
+B = Y(y),\qquad \mathfrak{B}& = y\cdot Y(y),\qquad D = 0
+\end{aligned}
+\]
+und $\Uf$ hat die Form
+\[
+\Uf = \frac{\partial{f}}{\partial{x}} +
+z\alpha\frac{\partial{f}}{\partial{z}} +
+\mathfrak{z}\beta\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}}
+\]
+w.~z.~b.~w. \hfill S.\qquad\
+
+\item[49.] Um die Voraussetzungen des Falles XIII,
+Seite~\pageref{anm49},
+herzuleiten, genügt es, die neuen Veränderlichen
+\[
+x_1 = \varphi(x),\qquad y_1 = \frac{B}{\varphi'(x)}
+\]
+einzuführen. Man erhält dann:
+\[
+\begin{aligned}
+\Delta = B_y,\qquad C_1 =&\ 0,\qquad A_1 = 0,\qquad B_1 =
+\frac{B}{\varphi'(x)} = y_1 \\
+\mathfrak{A}_1 = 0,\qquad \mathfrak{B}_1 &=
+\frac{\mathfrak{B}}{\varphi'(x)} = \frac{B\varphi(x)}{\varphi'(x)}
+= x_1y_1,\quad\text{etc.}
+\end{aligned}
+\]
+w.~z.~b.~w. \hfill S.\qquad\
+
+\item[50.] Um die Voraussetzungen des Falles XIV, Seite~\pageref{anm50},
+herzuleiten, genügt es, die neuen Veränderlichen
+%-----File: 082.png----------------------------
+\[
+x_1 = \varphi(x),\qquad y_1 = y
+\]
+zu setzen. Wir bekommen dann:
+\[
+C_1 = 0,\qquad A_1 = \mathfrak{A_1} = 0,\qquad B_1 =
+B_1(x_1),\qquad \mathfrak{B_1} = x_1B_1,\quad\text{etc.}
+\]
+
+\item[51.] Um die Voraussetzungen des Falles XV, Seite~\pageref{anm51}
+herzustellen, genügt es die neuen Veränderlichen
+\[
+x_1 = x,\qquad y_1 = W
+\]
+einzuführen. Man erhält alsdann:
+\[
+C_1 = A_1 = B_1 = \mathfrak{B_1} = 0
+\]
+und $\mathfrak{A_1} = 1$.
+
+Unsere infin. Transformation erhält dabei die Form:
+\[
+\xi(x,y) \frac{\partial{f}}{\partial{x_1}} + \text{Const. }
+\frac{\partial{f}}{\partial{y_1}} + \cdots
+\]
+Durch eine Variabelnänderung in den $z$ und $\mathfrak{z}$
+erreicht man ausserdem, dass $D = 0$ wird. \hfill S.\qquad\
+
+\item[52.] Anstatt $\mathfrak{A}_x$ und $\mathfrak{B}_y$ dürften
+eigentlich $(\mathfrak{A_1})_x$ und $(\mathfrak{B_1})_y$
+geschrieben werden etc. \hfill G.~S.\qquad\
+
+\item[53.] Ausser diesen drei Gleichungen muss, um die angedeutete
+Reduction zu erhalten noch eine vierte zugefügt werden, nämlich:
+\[
+\mathfrak{A} \frac{\partial{Y_1}}{\partial{x}} + \mathfrak{B}
+\frac{\partial{Y_1}}{\partial{y}} = Y_1.
+\]
+
+Wenn man $Y_1$ durch diese Gleichung bestimmt, findet man durch
+die erste und letzte Gleichung im Texte, dass
+\[
+\frac{\partial{X_1}}{\partial{x}} =
+\frac{\mathfrak{B}}{Y_1},\qquad \frac{\partial{X_1}}{\partial{y}}
+= - \frac{\mathfrak{A}}{Y_1}
+\]
+und man sieht durch Anwendung der Relation $\mathfrak{A}_x +
+\mathfrak{B}_y = 1$ dass dieses System vollständig integrabel ist.
+
+Dass $\Ubarf$ bei dieser Variabelnänderung seine Form
+behält, folgt aus den \emph{Leipz.\ Berichte} 1895, Seite 294,
+306. \hfill S.\qquad\
+
+\item[54.] Es genügt, die neuen Veränderlichen
+\[
+x_1 = C(x,y),\qquad y_1 = y,\qquad z_1 = z,\qquad \mathfrak{z_1} =
+\mathfrak{z}
+\]
+einzuführen. Dann wird nämlich
+
+\smallskip
+
+\hfill $C_1 = C = x_1\quad \text{etc.}$\hfill G.~S.\qquad\
+
+\item[55.] Im Manuscripte war die Gleichung nicht vollständig
+geschrieben. Wir haben es korrigirt. \hfill G.~S.\qquad\
+%-----File: 083.png----------------------------
+
+\item[56.]  Im Manuscripte war $X(x)$ statt $\mu(x)$ geschrieben.
+\hfill  S.\qquad\
+
+\item[57.]  Siehe \emph{Mathematische Annalen} B.~XI. \hfill
+G.\qquad\
+
+\item[58.]  Siehe \emph{Leipz.\ Berichte} 1895. Seite~294.
+\hfill  G.~S.\qquad\
+
+\item[59.]  Siehe \so{Lie-Engel}: \emph{Theorie d.\ Trf.\
+Gr.}~III, Seite~681. \hfill G.~S.\qquad\
+
+\item[60.]  Siehe: \emph{Archiv for Mathematik og
+Naturvidenskab} Bd.~VIII, S. 384--451. (Infolge einer Mitteilung
+von Hr.\ Prof.\ F.~Engel). \hfill
+G.~S.\qquad\
+
+\end{itemize}
+
+\fivestar
+
+\section*{Berichtigungen.}
+% or \begin{center} \textbf{Berichtigungen.} \end{center}
+\begin{itemize}
+\item[61.] Statt $\mathfrak{q} za_x$ war im
+Manuscript $\mathfrak{qz} a_x$ geschrieben. Wir haben es
+corrigirt. % Original: Zu Seite 16, Zeile 3 von unten
+
+\item[62.] Statt $          B  \dfrac{V_y}{V}$
+soll $\mathfrak{B} \dfrac{V_y}{V}$ stehen. % Original: Zu Seite 21, Zeile 2 von oben
+
+\item[63.] Im Manuscript war statt Symbole
+Definitionsgl.\ geschrieben. % Original: Zu Seite 25, Zeile 5 von unten
+
+\item[64.]  Von Seite~\pageref{anm29} soll die Note~29 ausgehen. % Original: Zu Seite 31, Zeile 4 von oben: An dieser Stelle soll die Note~29 ausgehen
+% reworded slightly because, unlike the other Berichtigungen, this one needs a text reference to make any sense
+
+\item[65.] Statt $
+\dfrac{p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q}{z\mathfrak{z}}$ soll $C
+\cdot \dfrac{p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q}{z\mathfrak{z}}$
+stehen. % Original: Zu Seite 31, Zeile 11 von oben
+
+\item[66.] Zu den zwei Klammern müssen die
+Factoren $  \dfrac{1}{C}$ beziehungsweise $- \dfrac{1}{C}$
+zugefügt werden. % Original: Zu Seite 31, Zeile 13 von oben
+\end{itemize}
+
+\fivestar
+
+\begin{center}{\scriptsize Trykt den 24de oktober 1902.}\end{center}
+\backmatter
+\markboth{\textsc{Project Gutenberg Licensing.\hfil}}{\hfil\textsc{Project Gutenberg Licensing.}}
+
+{\small
+\begin{verbatim}
+End of the Project Gutenberg EBook of Über Integralinvarianten und
+Differentialgleichungen, by Sophus Lie
+
+*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK INTEGRALINVARIANTEN UND DIFFERENTIALGLEICHUNGEN ***
+
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+and the Online Distributed Proofreading Team at
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+
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+
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+     prepare (or are legally required to prepare) your periodic tax
+     returns.  Royalty payments should be clearly marked as such and
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+     address specified in Section 4, "Information about donations to
+     the Project Gutenberg Literary Archive Foundation."
+
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+     License.  You must require such a user to return or
+     destroy all copies of the works possessed in a physical medium
+     and discontinue all use of and all access to other copies of
+     Project Gutenberg-tm works.
+
+- You provide, in accordance with paragraph 1.F.3, a full refund of any
+     money paid for a work or a replacement copy, if a defect in the
+     electronic work is discovered and reported to you within 90 days
+     of receipt of the work.
+
+- You comply with all other terms of this agreement for free
+     distribution of Project Gutenberg-tm works.
+
+1.E.9.  If you wish to charge a fee or distribute a Project Gutenberg-tm
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+or cause to occur: (a) distribution of this or any Project Gutenberg-tm
+work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any
+Project Gutenberg-tm work, and (c) any Defect you cause.
+
+
+Section  2.  Information about the Mission of Project Gutenberg-tm
+
+Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of
+electronic works in formats readable by the widest variety of computers
+including obsolete, old, middle-aged and new computers.  It exists
+because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from
+people in all walks of life.
+
+Volunteers and financial support to provide volunteers with the
+assistance they need, is critical to reaching Project Gutenberg-tm's
+goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will
+remain freely available for generations to come.  In 2001, the Project
+Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure
+and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations.
+To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation
+and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4
+and the Foundation web page at http://www.pglaf.org.
+
+
+Section 3.  Information about the Project Gutenberg Literary Archive
+Foundation
+
+The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit
+501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the
+state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal
+Revenue Service.  The Foundation's EIN or federal tax identification
+number is 64-6221541.  Its 501(c)(3) letter is posted at
+http://pglaf.org/fundraising.  Contributions to the Project Gutenberg
+Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent
+permitted by U.S. federal laws and your state's laws.
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+The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S.
+Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered
+throughout numerous locations.  Its business office is located at
+809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email
+business@pglaf.org.  Email contact links and up to date contact
+information can be found at the Foundation's web site and official
+page at http://pglaf.org
+
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+     Dr. Gregory B. Newby
+     Chief Executive and Director
+     gbnewby@pglaf.org
+
+
+Section 4.  Information about Donations to the Project Gutenberg
+Literary Archive Foundation
+
+Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide
+spread public support and donations to carry out its mission of
+increasing the number of public domain and licensed works that can be
+freely distributed in machine readable form accessible by the widest
+array of equipment including outdated equipment.  Many small donations
+($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt
+status with the IRS.
+
+The Foundation is committed to complying with the laws regulating
+charities and charitable donations in all 50 states of the United
+States.  Compliance requirements are not uniform and it takes a
+considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up
+with these requirements.  We do not solicit donations in locations
+where we have not received written confirmation of compliance.  To
+SEND DONATIONS or determine the status of compliance for any
+particular state visit http://pglaf.org
+
+While we cannot and do not solicit contributions from states where we
+have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition
+against accepting unsolicited donations from donors in such states who
+approach us with offers to donate.
+
+International donations are gratefully accepted, but we cannot make
+any statements concerning tax treatment of donations received from
+outside the United States.  U.S. laws alone swamp our small staff.
+
+Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation
+methods and addresses.  Donations are accepted in a number of other
+ways including checks, online payments and credit card donations.
+To donate, please visit: http://pglaf.org/donate
+
+
+Section 5.  General Information About Project Gutenberg-tm electronic
+works.
+
+Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm
+concept of a library of electronic works that could be freely shared
+with anyone.  For thirty years, he produced and distributed Project
+Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support.
+
+
+Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed
+editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S.
+unless a copyright notice is included.  Thus, we do not necessarily
+keep eBooks in compliance with any particular paper edition.
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+Most people start at our Web site which has the main PG search facility:
+
+     http://www.gutenberg.org
+
+This Web site includes information about Project Gutenberg-tm,
+including how to make donations to the Project Gutenberg Literary
+Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to
+subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks.
+\end{verbatim}
+}
+% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
+%                                                                         %
+% End of the Project Gutenberg EBook of Über Integralinvarianten und      %
+% Differentialgleichungen, by Sophus Lie                                  %
+%                                                                         %
+% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK INTEGRALINVARIANTEN UND DIFFERENTIALGLEICHUNGEN ***
+%                                                                         %
+% ***** This file should be named 25157-t.tex or 25157-t.zip *****        %
+% This and all associated files of various formats will be found in:      %
+%         http://www.gutenberg.org/2/5/1/5/25157/                         %
+%                                                                         %
+% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
+
+\end{document}
+
+### lprep configuration ###
+@ControlwordReplace = (
+  ['\\fivestar', "     \*     \*     \*     \*     \*\n"],
+  );
+@ControlwordArguments = (
+  ['\\anm', 1, 1, '[',')]'],
+  ['\\begin\\{satz\\}', 0, [], 'Satz~', '00: '],
+  ['\\begin\\{theorem\\}', 0, [], 'Theorem: ', '']
+  );
+###
+This is pdfeTeX, Version 3.141592-1.21a-2.2 (Web2C 7.5.4) (format=pdflatex 2007.10.4)  24 APR 2008 10:13
+entering extended mode
+**25157-t.tex
+(./25157-t.tex
+LaTeX2e <2003/12/01>
+Babel <v3.8d> and hyphenation patterns for american, french, german, ngerman, b
+ahasa, basque, bulgarian, catalan, croatian, czech, danish, dutch, esperanto, e
+stonian, finnish, greek, icelandic, irish, italian, latin, magyar, norsk, polis
+h, portuges, romanian, russian, serbian, slovak, slovene, spanish, swedish, tur
+kish, ukrainian, nohyphenation, loaded.
+(/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/base/book.cls
+Document Class: book 2004/02/16 v1.4f Standard LaTeX document class
+(/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/base/bk12.clo
+File: bk12.clo 2004/02/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
+)
+\c@part=\count79
+\c@chapter=\count80
+\c@section=\count81
+\c@subsection=\count82
+\c@subsubsection=\count83
+\c@paragraph=\count84
+\c@subparagraph=\count85
+\c@figure=\count86
+\c@table=\count87
+\abovecaptionskip=\skip41
+\belowcaptionskip=\skip42
+\bibindent=\dimen102
+)
+
+LaTeX Warning: You have requested, on input line 74, version
+               `2005/09/16' of document class book,
+               but only version
+               `2004/02/16 v1.4f Standard LaTeX document class'
+               is available.
+
+(/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
+Package: amsfonts 2001/10/25 v2.2f
+\@emptytoks=\toks14
+\symAMSa=\mathgroup4
+\symAMSb=\mathgroup5
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold'
+(Font)                  U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 132.
+) (/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
+Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features
+\@mathmargin=\skip43
+For additional information on amsmath, use the `?' option.
+(/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/amsmath/amstext.sty
+Package: amstext 2000/06/29 v2.01
+(/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
+File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0
+\@emptytoks=\toks15
+\ex@=\dimen103
+)) (/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
+Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d
+\pmbraise@=\dimen104
+) (/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
+Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names
+)
+\inf@bad=\count88
+LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211.
+\uproot@=\count89
+\leftroot@=\count90
+LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307.
+\classnum@=\count91
+\DOTSCASE@=\count92
+LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379.
+LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382.
+LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467.
+\Mathstrutbox@=\box26
+\strutbox@=\box27
+\big@size=\dimen105
+LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OML on input line 567.
+LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OMS on input line 568.
+\macc@depth=\count93
+\c@MaxMatrixCols=\count94
+\dotsspace@=\muskip10
+\c@parentequation=\count95
+\dspbrk@lvl=\count96
+\tag@help=\toks16
+\row@=\count97
+\column@=\count98
+\maxfields@=\count99
+\andhelp@=\toks17
+\eqnshift@=\dimen106
+\alignsep@=\dimen107
+\tagshift@=\dimen108
+\tagwidth@=\dimen109
+\totwidth@=\dimen110
+\lineht@=\dimen111
+\@envbody=\toks18
+\multlinegap=\skip44
+\multlinetaggap=\skip45
+\mathdisplay@stack=\toks19
+LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666.
+LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667.
+) (/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
+Package: amssymb 2002/01/22 v2.2d
+) (/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/soul/soul.sty
+Package: soul 2003/11/17 v2.4 letterspacing/underlining (mf)
+\SOUL@word=\toks20
+\SOUL@lasttoken=\toks21
+\SOUL@cmds=\toks22
+\SOUL@buffer=\toks23
+\SOUL@token=\toks24
+\SOUL@spaceskip=\skip46
+\SOUL@ttwidth=\dimen112
+\SOUL@uldp=\dimen113
+\SOUL@ulht=\dimen114
+) (/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/base/inputenc.sty
+Package: inputenc 2004/02/05 v1.0d Input encoding file
+(/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/base/latin1.def
+File: latin1.def 2004/02/05 v1.0d Input encoding file
+))
+
+LaTeX Warning: You have requested, on input line 79, version
+               `2006/05/05' of package inputenc,
+               but only version
+               `2004/02/05 v1.0d Input encoding file'
+               is available.
+
+(/usr/share/texmf-tetex/tex/generic/babel/babel.sty
+Package: babel 2004/11/20 v3.8d The Babel package
+(/usr/share/texmf-tetex/tex/generic/babel/germanb.ldf
+Language: germanb 2004/02/19 v2.6k German support from the babel system
+(/usr/share/texmf-tetex/tex/generic/babel/babel.def
+File: babel.def 2004/11/20 v3.8d Babel common definitions
+\babel@savecnt=\count100
+\U@D=\dimen115
+)
+\l@austrian = a dialect from \language\l@german 
+Package babel Info: Making " an active character on input line 91.
+))
+
+LaTeX Warning: You have requested, on input line 80, version
+               `2005/11/23' of package babel,
+               but only version
+               `2004/11/20 v3.8d The Babel package'
+               is available.
+
+(/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/wasysym/wasysym.sty
+Package: wasysym 2003/10/30 v2.0 Wasy-2 symbol support package
+\symwasy=\mathgroup6
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `wasy' in version `bold'
+(Font)                  U/wasy/m/n --> U/wasy/b/n on input line 90.
+) (/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/footmisc/footmisc.sty
+Package: footmisc 2004/05/02 v5.3c a miscellany of footnote facilities
+\FN@temptoken=\toks25
+\footnotemargin=\dimen116
+\c@pp@next@reset=\count101
+\c@@fnserial=\count102
+Package footmisc Info: Declaring symbol style bringhurst on input line 802.
+Package footmisc Info: Declaring symbol style chicago on input line 803.
+Package footmisc Info: Declaring symbol style wiley on input line 804.
+Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport-robust on input line 808.
+
+Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport* on input line 816.
+Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport*-robust on input line 825
+.
+)
+
+LaTeX Warning: You have requested, on input line 82, version
+               `2005/03/17' of package footmisc,
+               but only version
+               `2004/05/02 v5.3c a miscellany of footnote facilities'
+               is available.
+
+(/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/enumitem/enumitem.sty
+Package: enumitem 2004/07/19 v1.0 Customized lists
+(/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/graphics/keyval.sty
+Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
+\KV@toks@=\toks26
+)
+\labelindent=\skip47
+\enit@outerparindent=\dimen117
+)
+
+LaTeX Warning: You have requested, on input line 84, version
+               `2005/05/12' of package enumitem,
+               but only version
+               `2004/07/19 v1.0 Customized lists'
+               is available.
+
+(/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/ntheorem/ntheorem.sty
+Style `ntheorem', Version 1.24 <2004/09/20>
+Package: ntheorem 2004/09/20 1.24
+\theorem@style=\toks27
+\theorem@@style=\toks28
+\theorembodyfont=\toks29
+\theoremnumbering=\toks30
+\theorempreskipamount=\skip48
+\theorempostskipamount=\skip49
+\theoremindent=\dimen118
+\theorem@indent=\dimen119
+\theoremheaderfont=\toks31
+\theoremseparator=\toks32
+\theoremprework=\toks33
+\theorempostwork=\toks34
+\theoremsymbol=\toks35
+\qedsymbol=\toks36
+\theoremkeyword=\toks37
+\qedsymbol=\toks38
+\thm@topsepadd=\skip50
+)
+
+LaTeX Warning: You have requested, on input line 85, version
+               `2005/07/07' of package ntheorem,
+               but only version
+               `2004/09/20 1.24'
+               is available.
+
+(/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/titlesec/titlesec.sty
+Package: titlesec 2005/01/22 v2.6 Sectioning titles
+\ttl@box=\box28
+\beforetitleunit=\skip51
+\aftertitleunit=\skip52
+\ttl@plus=\dimen120
+\ttl@minus=\dimen121
+\titlewidth=\dimen122
+\titlewidthlast=\dimen123
+\titlewidthfirst=\dimen124
+)
+\c@satz=\count103
+\c@theorem=\count104
+(/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/titlesec/block.tss
+File: block.tss 2005/01/22
+) (./25157-t.aux)
+\openout1 = `25157-t.aux'.
+
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 135.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 135.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 135.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 135.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 135.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 135.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 135.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 135.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 135.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 135.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 135.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 135.
+
+Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 161--161
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give
+ it away or[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (144.62796pt too wide) in paragraph at lines 161--161
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK INTEGRALINVARIA
+NTEN UND DIFFERENTIALGLEICHUNGEN ***[] 
+ []
+
+[1
+
+
+{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2
+
+] [3]
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msa on input line 221.
+(/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/amsfonts/umsa.fd
+File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
+)
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msb on input line 221.
+(/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/amsfonts/umsb.fd
+File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
+)
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+wasy on input line 221.
+(/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/wasysym/uwasy.fd
+File: uwasy.fd 2003/10/30 v2.0 Wasy-2 symbol font definitions
+) [4] [5
+
+] [6
+
+] [1] [2] [3] [4] [5]
+Underfull \hbox (badness 1527) in paragraph at lines 557--563
+[]\OT1/cmr/m/n/12 In die-ser Ab-hand-lung den-ken wir uns, dass man die In-va-r
+i-an-ten
+ []
+
+[6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13]
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+euf on input line 1082.
+(/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/amsfonts/ueuf.fd
+File: ueuf.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
+) [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [2
+9] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [
+45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60]
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for OMS+cmr on input line 3955
+.
+(/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/base/omscmr.fd
+File: omscmr.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
+)
+LaTeX Font Info:    Font shape `OMS/cmr/m/n' in size <12> not available
+(Font)              Font shape `OMS/cmsy/m/n' tried instead on input line 3955.
+
+[61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74]
+Overfull \hbox (133.13058pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK INTEGRALINVARIANT
+EN UND DIFFERENTIALGLEICHUNGEN ***[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 ***** This file should be named 25157-pdf.pdf or 25157-pd
+f.zip *****[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 one owns a United States copyright in these works, so the
+ Foundation[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 set forth in the General Terms of Use part of this licens
+e, apply to[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 charge for the eBooks, unless you receive specific permis
+sion.  If you[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 research.  They may be modified and printed and given awa
+y--you may do[] 
+ []
+
+[75
+
+]
+Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 distribution of electronic works, by using or distributin
+g this work[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg"), you agree to comply with all the terms of th
+e Full Project[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Section 1.  General Terms of Use and Redistributing Proje
+ct Gutenberg-tm[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 electronic work, you indicate that you have read, underst
+and, agree to[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 (trademark/copyright) agreement.  If you do not agree to 
+abide by all[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 the terms of this agreement, you must cease using and ret
+urn or destroy[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 all copies of Project Gutenberg-tm electronic works in yo
+ur possession.[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg-tm electronic work and you do not agree to be b
+ound by the[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.B.  "Project Gutenberg" is a registered trademark.  It 
+may only be[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 used on or associated in any way with an electronic work 
+by people who[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 things that you can do with most Project Gutenberg-tm ele
+ctronic works[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 paragraph 1.C below.  There are a lot of things you can d
+o with Project[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg-tm electronic works if you follow the terms of 
+this agreement[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 and help preserve free future access to Project Gutenberg
+-tm electronic[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (29.6542pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.C.  The Project Gutenberg Literary Archive Foundation (
+"the Foundation"[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 or PGLAF), owns a compilation copyright in the collection
+ of Project[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg-tm electronic works.  Nearly all the individual
+ works in the[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 individual work is in the public domain in the United Sta
+tes and you are[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (29.6542pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 located in the United States, we do not claim a right to 
+prevent you from[] 
+ []
+
+[76]
+Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 copying, distributing, performing, displaying or creating
+ derivative[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 works based on the work as long as all references to Proj
+ect Gutenberg[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg-tm mission of promoting free access to electron
+ic works by[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (29.6542pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 freely sharing Project Gutenberg-tm works in compliance w
+ith the terms of[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 this agreement for keeping the Project Gutenberg-tm name 
+associated with[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 the work.  You can easily comply with the terms of this a
+greement by[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.D.  The copyright laws of the place where you are locat
+ed also govern[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 what you can do with this work.  Copyright laws in most c
+ountries are in[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 a constant state of change.  If you are outside the Unite
+d States, check[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 before downloading, copying, displaying, performing, dist
+ributing or[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg-tm work.  The Foundation makes no representatio
+ns concerning[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.E.1.  The following sentence, with active links to, or 
+other immediate[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 access to, the full Project Gutenberg-tm License must app
+ear prominently[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 whenever any copy of a Project Gutenberg-tm work (any wor
+k on which the[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 phrase "Project Gutenberg" appears, or with which the phr
+ase "Project[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg" is associated) is accessed, displayed, perform
+ed, viewed,[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give
+ it away or[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.E.2.  If an individual Project Gutenberg-tm electronic 
+work is derived[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 from the public domain (does not contain a notice indicat
+ing that it is[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 posted with permission of the copyright holder), the work
+ can be copied[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 and distributed to anyone in the United States without pa
+ying any fees[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 or charges.  If you are redistributing or providing acces
+s to a work[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 with the phrase "Project Gutenberg" associated with or ap
+pearing on the[] 
+ []
+
+[77]
+Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 work, you must comply either with the requirements of par
+agraphs 1.E.1[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.E.3.  If an individual Project Gutenberg-tm electronic 
+work is posted[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 with the permission of the copyright holder, your use and
+ distribution[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 must comply with both paragraphs 1.E.1 through 1.E.7 and 
+any additional[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 terms imposed by the copyright holder.  Additional terms 
+will be linked[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 permission of the copyright holder found at the beginning
+ of this work.[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.E.4.  Do not unlink or detach or remove the full Projec
+t Gutenberg-tm[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 License terms from this work, or any files containing a p
+art of this[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.E.5.  Do not copy, display, perform, distribute or redi
+stribute this[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 prominently displaying the sentence set forth in paragrap
+h 1.E.1 with[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 compressed, marked up, nonproprietary or proprietary form
+, including any[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 word processing or hypertext form.  However, if you provi
+de access to or[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 distribute copies of a Project Gutenberg-tm work in a for
+mat other than[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (29.6542pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 posted on the official Project Gutenberg-tm web site (www
+.gutenberg.org),[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 you must, at no additional cost, fee or expense to the us
+er, provide a[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 copy, a means of exporting a copy, or a means of obtainin
+g a copy upon[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 form.  Any alternate format must include the full Project
+ Gutenberg-tm[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 access to or distributing Project Gutenberg-tm electronic
+ works provided[] 
+ []
+
+[78]
+Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]     \OT1/cmtt/m/n/10.95 the use of Project Gutenberg-tm works calculated usi
+ng the method[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]     \OT1/cmtt/m/n/10.95 you already use to calculate your applicable taxes. 
+ The fee is[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]     \OT1/cmtt/m/n/10.95 owed to the owner of the Project Gutenberg-tm tradem
+ark, but he[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]     \OT1/cmtt/m/n/10.95 Project Gutenberg Literary Archive Foundation.  Roya
+lty payments[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]     \OT1/cmtt/m/n/10.95 returns.  Royalty payments should be clearly marked 
+as such and[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]     \OT1/cmtt/m/n/10.95 sent to the Project Gutenberg Literary Archive Found
+ation at the[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]     \OT1/cmtt/m/n/10.95 address specified in Section 4, "Information about d
+onations to[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 - You provide a full refund of any money paid by a user w
+ho notifies[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]     \OT1/cmtt/m/n/10.95 you in writing (or by e-mail) within 30 days of rece
+ipt that s/he[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 - You provide, in accordance with paragraph 1.F.3, a full
+ refund of any[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]     \OT1/cmtt/m/n/10.95 money paid for a work or a replacement copy, if a de
+fect in the[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]     \OT1/cmtt/m/n/10.95 electronic work is discovered and reported to you wi
+thin 90 days[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.E.9.  If you wish to charge a fee or distribute a Proje
+ct Gutenberg-tm[] 
+ []
+
+[79]
+Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.F.1.  Project Gutenberg volunteers and employees expend
+ considerable[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 effort to identify, do copyright research on, transcribe 
+and proofread[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 corrupt data, transcription errors, a copyright or other 
+intellectual[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 property infringement, a defective or damaged disk or oth
+er medium, a[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.F.2.  LIMITED WARRANTY, DISCLAIMER OF DAMAGES - Except 
+for the "Right[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 TRADEMARK OWNER, AND ANY DISTRIBUTOR UNDER THIS AGREEMENT
+ WILL NOT BE[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 LIABLE TO YOU FOR ACTUAL, DIRECT, INDIRECT, CONSEQUENTIAL
+, PUNITIVE OR[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 INCIDENTAL DAMAGES EVEN IF YOU GIVE NOTICE OF THE POSSIBI
+LITY OF SUCH[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 defect in this electronic work within 90 days of receivin
+g it, you can[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 written explanation to the person you received the work f
+rom.  If you[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 received the work on a physical medium, you must return t
+he medium with[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 your written explanation.  The person or entity that prov
+ided you with[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 the defective work may elect to provide a replacement cop
+y in lieu of a[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 refund.  If you received the work electronically, the per
+son or entity[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 receive the work electronically in lieu of a refund.  If 
+the second copy[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 is also defective, you may demand a refund in writing wit
+hout further[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.F.4.  Except for the limited right of replacement or re
+fund set forth[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 in paragraph 1.F.3, this work is provided to you 'AS-IS' 
+WITH NO OTHER[] 
+ []
+
+[80]
+Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT
+ NOT LIMITED TO[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 warranties or the exclusion or limitation of certain type
+s of damages.[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 If any disclaimer or limitation set forth in this agreeme
+nt violates the[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 law of the state applicable to this agreement, the agreem
+ent shall be[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 interpreted to make the maximum disclaimer or limitation 
+permitted by[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 the applicable state law.  The invalidity or unenforceabi
+lity of any[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 provision of this agreement shall not void the remaining 
+provisions.[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.F.6.  INDEMNITY - You agree to indemnify and hold the F
+oundation, the[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 providing copies of Project Gutenberg-tm electronic works
+ in accordance[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 with this agreement, and any volunteers associated with t
+he production,[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 promotion and distribution of Project Gutenberg-tm electr
+onic works,[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 harmless from all liability, costs and expenses, includin
+g legal fees,[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 that arise directly or indirectly from any of the followi
+ng which you do[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 or cause to occur: (a) distribution of this or any Projec
+t Gutenberg-tm[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 work, (b) alteration, modification, or additions or delet
+ions to any[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 electronic works in formats readable by the widest variet
+y of computers[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 assistance they need, is critical to reaching Project Gut
+enberg-tm's[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 remain freely available for generations to come.  In 2001
+, the Project[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg Literary Archive Foundation was created to prov
+ide a secure[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 and permanent future for Project Gutenberg-tm and future 
+generations.[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 To learn more about the Project Gutenberg Literary Archiv
+e Foundation[] 
+ []
+
+[81]
+Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Section 3.  Information about the Project Gutenberg Liter
+ary Archive[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Revenue Service.  The Foundation's EIN or federal tax ide
+ntification[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 http://pglaf.org/fundraising.  Contributions to the Proje
+ct Gutenberg[] 
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+Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees a
+re scattered[] 
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+Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-
+1887, email[] 
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+
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+Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 increasing the number of public domain and licensed works
+ that can be[] 
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+
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+Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 freely distributed in machine readable form accessible by
+ the widest[] 
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+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 array of equipment including outdated equipment.  Many sm
+all donations[] 
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+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 considerable effort, much paperwork and many fees to meet
+ and keep up[] 
+ []
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+Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 While we cannot and do not solicit contributions from sta
+tes where we[] 
+ []
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+
+Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 have not met the solicitation requirements, we know of no
+ prohibition[] 
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+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Section 5.  General Information About Project Gutenberg-t
+m electronic[] 
+ []
+
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+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Professor Michael S. Hart is the originator of the Projec
+t Gutenberg-tm[] 
+ []
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+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 concept of a library of electronic works that could be fr
+eely shared[] 
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+[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Most people start at our Web site which has the main PG s
+earch facility:[] 
+ []
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+\tf@thm=\write3
+\openout3 = `25157-t.thm'.
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+[84] (./25157-t.aux) ) 
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+ 351 PDF objects out of 300000
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+</usr/share/texmf-tetex/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi6.pfb>
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