diff options
| -rw-r--r-- | .gitattributes | 3 | ||||
| -rw-r--r-- | 31295-pdf.pdf | bin | 0 -> 1983837 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 31295-pdf.zip | bin | 0 -> 1791770 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 31295-t.zip | bin | 0 -> 295060 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 31295-t/31295-t.tex | 21000 | ||||
| -rw-r--r-- | 31295-t/images/img001.png | bin | 0 -> 2939 bytes | |||
| -rw-r--r-- | LICENSE.txt | 11 | ||||
| -rw-r--r-- | README.md | 2 |
8 files changed, 21016 insertions, 0 deletions
diff --git a/.gitattributes b/.gitattributes new file mode 100644 index 0000000..6833f05 --- /dev/null +++ b/.gitattributes @@ -0,0 +1,3 @@ +* text=auto +*.txt text +*.md text diff --git a/31295-pdf.pdf b/31295-pdf.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..660fafa --- /dev/null +++ b/31295-pdf.pdf diff --git a/31295-pdf.zip b/31295-pdf.zip Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..eb54496 --- /dev/null +++ b/31295-pdf.zip diff --git a/31295-t.zip b/31295-t.zip Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..9ab15d9 --- /dev/null +++ b/31295-t.zip diff --git a/31295-t/31295-t.tex b/31295-t/31295-t.tex new file mode 100644 index 0000000..1a1bc45 --- /dev/null +++ b/31295-t/31295-t.tex @@ -0,0 +1,21000 @@ +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % +% % +% The Project Gutenberg EBook of Journal de Mathématics Pures et Appliquées +% Tome II: 1837, by Various % +% % +% This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with % +% almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or % +% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included % +% with this eBook or online at www.gutenberg.org % +% % +% % +% Title: Journal de Mathématics Pures et Appliquées Tome II: 1837 % +% Recueil mensuel de mémoires sur les diverses parties des mathématiques +% % +% Author: Various % +% % +% Editor: Joseph Liouville % +% % +% Release Date: February 16, 2010 [EBook #31295] % +% % +% Language: French % +% % +% Character set encoding: ISO-8859-1 % +% % +% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK JOURNAL DE MATHÉMATICS PURES *** +% % +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % + +\def\ebook{31295} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%% Mathématiques Pures et Appliquées, Vol. II, by Joseph Liouville %% +%% %% +%% Packages and substitutions: %% +%% %% +%% book : Document class. %% +%% amsmath: Basic AMS math package. %% +%% amssymb: Basic AMS symbols %% +%% babel: Hyphenation %% +%% graphicx Basic graphics for images. %% +%% inputenc: Encoding %% +%% fontenc: Encoding %% +%% needspace Conditional new page %% +%% rotating Rotate symbols %% +%% yfonts More fonts %% +%% verbatim Preformated text %% +%% %% +%% PDF Pages: 390 %% +%% %% +%% 2 includegraphics calls for 1 object %% +%% - img001.png in the images directory. %% +%% %% +%% Compile sequence: %% +%% pdflatex x 2 %% +%% %% +%% Compile History: %% +%% %% +%% Feb 15: Laverock. Compiled with pdflatex: %% +%% [pdfeTeX, Version 3.1415926-1.40.9 (MiKTeX 2.7)] %% +%% %% +%% %% +%% February 2010: pglatex. %% +%% Compile this project with: %% +%% pdflatex 31295-t.tex ..... TWO times %% +%% %% +%% pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6) %% +%% %% +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\listfiles +\documentclass[oneside]{book} +\usepackage[greek,francais]{babel}[2005/05/21] +\usepackage[T1]{fontenc}[2005/09/27] +\usepackage[latin1]{inputenc}[2006/05/05] +\usepackage[leqno]{amsmath}[2000/07/18] +\usepackage{amssymb}[2002/01/22] +\usepackage{graphicx}[1999/02/16] % basic graphics for images. +\usepackage{needspace}[2003/02/18] % support testing for enough room at end of page for new section +\usepackage{rotating}[1997/09/26] % provides a rotate environment +\usepackage{yfonts}[2003/01/08] % for Olde English M +\usepackage{calligra}[1996/07/18] % for calligraphic r +\usepackage{verbatim}[2003/08/22] % preformated text + +\DeclareMathAlphabet{\mathcalligra}{T1}{calligra}{m}{n} +\DeclareFontShape{T1}{calligra}{m}{n}{<->s*[2.2]callig15}{} + +\renewcommand{\dotsb}{\ldots} % use lower dots after +- +\newcommand{\dotsbsmall}{\ldot\!\ldot\!\ldot} +\newcommand{\tabentrx}[3]{\multispan{2}{#1\leaderfill Page} #3 \pdf{#2}\\[0.5ex]} +\newcommand{\tabentry}[3]{\parbox[b]{28em}{\hspace*{-1em}#1\leaderfill} & #3 \makebox[2em]{\hfill(\emph{\pageref{#2}})}\\[0.5ex]} +\newcounter{originalpage} +\newcommand{\marginpage}{\marginpar{\centering\footnotesize{[JMPA 1837:\arabic{originalpage}]}}\addtocounter{originalpage}{1}} +\def\leaderfill{\leaders\hbox to 1em{\hss.\hss}\hskip0pt plus1filll\ } % dot fill at 1em spacing + +%% Format the heading of each article +\newcommand{\jmpapaper}[5]{% +\newpage\vspace*{1ex}\marginpage\vspace{-5ex}\setcounter{footnote}{0} +\begin{center} +\def\tmp{#1}\ifx\tmp\empty\else{\LARGE #1}\par\vspace{\baselineskip}\fi +\def\tmp{#2}\ifx\tmp\empty\else{#2}\par\vspace{\baselineskip}\fi +\def\tmp{#3}\ifx\tmp\empty\else{\large\emph{#3}}\par\vspace{\baselineskip}\fi +\def\tmp{#4}\ifx\tmp\empty\else{\textbf{\textsc{#4}}}\par\vspace{\baselineskip}\fi +\def\tmp{#5}\ifx\tmp\empty\else{#5}\par\vspace{\baselineskip}\fi +\vspace{-0.5\baselineskip}\rule{1in}{0.5pt} +\end{center} +} +%% Variant with justification on long main description (therefore #3 sure to be present) +\newcommand{\jmpapaperl}[5]{% +\newpage\vspace*{1ex}\marginpage\vspace{-5ex}\setcounter{footnote}{0} +\begin{center} +\def\tmp{#1}\ifx\tmp\empty\else{\LARGE #1}\par\vspace{\baselineskip}\fi +\def\tmp{#2}\ifx\tmp\empty\else{#2}\par\vspace{\baselineskip}\fi +\end{center} +\vspace{-1.5\baselineskip}\begin{bbg}{\large\emph{#3}}\end{bbg} +\begin{center} +\def\tmp{#4}\ifx\tmp\empty\else{\textbf{\textsc{#4}}}\par\vspace{\baselineskip}\fi +\def\tmp{#5}\ifx\tmp\empty\else{#5}\par\vspace{\baselineskip}\fi +\vspace{-0.5\baselineskip}\rule{1in}{0.5pt} +\end{center} +} +\newcommand{\jmpafin}{\bigskip\par\begin{center}\rule{1in}{0.5pt}\end{center}} + +% centred image - file name, width pixels +\newcount \Zw +\newcommand\pngcent[2]{ +\Zw=#2 \divide \Zw by 2 +\begin{center} +\includegraphics*[width=\Zw pt]{images/#1} +\end{center}} + +\newcommand{\mysection}[1]{\begin{center}#1\end{center}} +\newcommand{\qtext}[1]{\quad\text{#1}\quad} +\newcommand{\qqtext}[1]{\qquad\text{#1}\qquad} +\newcommand{\down}[1]{\raisebox{-.5ex}{\scriptsize #1}} % very rough text subscript, only used for subscripted tags as follows... +\newcommand{\stag}[2]{\tag*{(#1)\down{#2}}} +\newcommand{\pdf}[1]{(\emph{PDF:\pageref{#1}})} % internal PDF page reference (PDF:nnn) +\newcommand{\signit}[1]{\hfill {#1}\hspace*{2em}} % signature (usually J.L.), indented from right margin +\newcommand{\dethoriz}[2]{[\,#1,#2\,]} % 1 row determinant +\newcommand{\detquad}[2]{\Big[\begin{aligned}\multispan{1}{$\scriptstyle #1$}\\[-1ex]\multispan{1}{$\scriptstyle #2$}\end{aligned}\,\Big]} +% % 2 row determinant +\newcommand{\ldot}{\mathbin{.}} % dot with math spacing +\newcommand{\dint}{\displaystyle\int} % override integral size to displaystyle +\newcommand{\tint}{{\!\textstyle\int\!}} % override integral size to textstyle (only - not the rest of an equation) +\newcommand{\psum}{{\!\textstyle\int\!}} % semantic use of textstyle integral sign as discrete sum +\renewcommand{\sum}{\Sigma} % use ordinary Sigma as summation sign +\newcommand{\arctang}{\operatorname{arc\,tang}} % additional trig etc. commands +\renewcommand{\arcsin}{\operatorname{arc\,sin}} +\newcommand{\tang}{\operatorname{tang}} +\newcommand{\arc}{\operatorname{arc}} +\newcommand{\Log}{\operatorname{Log}} +% +\newcommand{\scriptr}{\mathcalligra{r}} % unusual characters +\newcommand{\gothicM}{\textgoth{M}} +% +\newcommand{\primop}{1\up{o}} % primo etc. with no trailing space +\newcommand{\secundop}{2\up{o}} +\newcommand{\tertiop}{3\up{o}} +\newcommand{\quartop}{4\up{o}} +\newcommand{\x}{{\rm x}} % upright x distinuished from italic +\newcommand{\f}{{\rm f}} % upright f likewise +\renewcommand{\d}{{\rm d}} % upright d as partial differential +\newcommand{\me}{\up{me}} % variant abbreviations for ieme +\newcommand{\ime}{\up{\it me}} +\newcommand{\ie}{\up{\it e}} +\newcommand{\iieme}{\up{\it i\hspace{-1pt}e\hspace{-1pt}m\hspace{-1pt}e}} +\newcommand{\rieme}{\raisebox{2ex}{\scriptsize\it i\hspace{-1pt}e\hspace{-1pt}m\hspace{-1pt}e}} % raised ieme after math expression +\renewcommand{\etc}{\text{etc.}} % text etc. in math environment +\newcommand{\rotxc}[1]{\begin{sideways}#1\end{sideways}} % concoct subscript prime and double prime +\newcommand{\invert}[1]{\rotxc{\rotxc{#1}}} +\newcommand{\subprime}{_{\invert{$\scriptstyle\prime$}}} +%\newcommand{\subprime}{_{\prime}} +\newcommand{\subdprime}{_{\invert{$\scriptstyle\prime\prime$}}} +%\newcommand{\subdprime}{_{\prime\prime}} +%\newcommand{\eqqless}{\mathbin{\begin{array}{@{}c@{}}=\\[-1.5ex]<\end{array}}} % eqqless symbol = over < +\newcommand{\eqqless}{\mathbin{\invert{$\geqq$}}} % eqqless symbol = over < +\newcommand{\strxx}{\rule{0in}{1.8ex}} % strut for slight raise of sqrt +\newcommand{\IV}{^\text{\tiny IV}} % very small superscript IV and V as 4th & 5th primes +\newcommand{\V}{^\text{\tiny V}} + +% Use upright Roman capitals in math mode +\DeclareSymbolFont{upletters} {T1}{cmr} {m}{n} +\SetSymbolFont{upletters} {bold}{T1}{cmr} {b}{n} +\DeclareSymbolFontAlphabet{\mathnormal}{upletters} + +\DeclareMathSymbol{A}{\mathalpha}{upletters}{`A} +\DeclareMathSymbol{B}{\mathalpha}{upletters}{`B} +\DeclareMathSymbol{C}{\mathalpha}{upletters}{`C} +\DeclareMathSymbol{D}{\mathalpha}{upletters}{`D} +\DeclareMathSymbol{E}{\mathalpha}{upletters}{`E} +\DeclareMathSymbol{F}{\mathalpha}{upletters}{`F} +\DeclareMathSymbol{G}{\mathalpha}{upletters}{`G} +\DeclareMathSymbol{H}{\mathalpha}{upletters}{`H} +\DeclareMathSymbol{I}{\mathalpha}{upletters}{`I} +\DeclareMathSymbol{J}{\mathalpha}{upletters}{`J} +\DeclareMathSymbol{K}{\mathalpha}{upletters}{`K} +\DeclareMathSymbol{L}{\mathalpha}{upletters}{`L} +\DeclareMathSymbol{M}{\mathalpha}{upletters}{`M} +\DeclareMathSymbol{N}{\mathalpha}{upletters}{`N} +\DeclareMathSymbol{O}{\mathalpha}{upletters}{`O} +\DeclareMathSymbol{P}{\mathalpha}{upletters}{`P} +\DeclareMathSymbol{Q}{\mathalpha}{upletters}{`Q} +\DeclareMathSymbol{R}{\mathalpha}{upletters}{`R} +\DeclareMathSymbol{S}{\mathalpha}{upletters}{`S} +\DeclareMathSymbol{T}{\mathalpha}{upletters}{`T} +\DeclareMathSymbol{U}{\mathalpha}{upletters}{`U} +\DeclareMathSymbol{V}{\mathalpha}{upletters}{`V} +\DeclareMathSymbol{W}{\mathalpha}{upletters}{`W} +\DeclareMathSymbol{X}{\mathalpha}{upletters}{`X} +\DeclareMathSymbol{Y}{\mathalpha}{upletters}{`Y} +\DeclareMathSymbol{Z}{\mathalpha}{upletters}{`Z} + +\makeatletter +% For sensible insertion of boilerplate/licence +% overlong lines will wrap and be indented 0.25in +% and text is set in "small" size +\def\@makeschapterhead#1{% + \vspace*{10\p@}% + {\parindent \z@ \centering + \normalfont + \interlinepenalty\@M + \huge \bfseries #1\par\nobreak + \vskip 20\p@ + }} +\renewcommand*\l@section{\@dottedtocline{1}{0pt}{2.3em}} +\renewcommand\@pnumwidth{2.55em} +\def\@xobeysp{~\hfil\discretionary{}{\kern\z@}{}\hfilneg} +\renewcommand\verbatim@processline{\leavevmode + \null\kern-0.25in\the\verbatim@line\par} +\addto@hook\every@verbatim{\@totalleftmargin0.25in\small} + +% ability to override tag positioning (default is left because of usepackage[leqno]{amsmath}) +% Doesn't work in \[ environment - the non-default right side uses of this have been changed to gather* +\def\Gauche{\tagsleft@true}\def\Droit{\tagsleft@false} +% (mod. ...) with good enough spacing +\newcommand{\moddot}[1]{\mkern4mu({\operator@font mod.}\mkern4mu#1)} +% extra margin text with first line hanging left. Only used in jmpapaperl +\newenvironment{bbg} + {\list{}{\listparindent-\parindent + \itemindent-\parindent + \rightmargin\z@ + \leftmargin\parindent + \parsep \z@ \@plus\p@}% + \item\relax} + {\endlist} +\makeatother +\begin{document} +%\nonfrenchspacing +\frenchspacing +\mainmatter +\pagestyle{empty} +\begin{verbatim} +The Project Gutenberg EBook of Journal de Mathématics Pures et Appliquées +Tome II: 1837, by Various + +This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with +almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or +re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included +with this eBook or online at www.gutenberg.org + + +Title: Journal de Mathématics Pures et Appliquées Tome II: 1837 + Recueil mensuel de mémoires sur les diverses parties des mathématiques + +Author: Various + +Editor: Joseph Liouville + +Release Date: February 16, 2010 [EBook #31295] + +Language: French + +Character set encoding: ISO-8859-1 + +*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK JOURNAL DE MATHÉMATICS PURES *** + + +Produced by Paul Murray, Keith Edkins and the Online +Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This +file was produced from images generously made available +by the Bibliothèque nationale de France (BnF/Gallica) at +http://gallica.bnf.fr) +\end{verbatim} + +\bigskip\bigskip +\scriptsize \noindent \textsc{Transcriber's Note:} The original page numbers of this Journal have been preserved in the margin, +in the form ``[JMPA 1837:144]''. Internal page references (mostly in the Table des Matières) give both this number +and the corresponding PDF page number, as ``page 144 \pdf{ref144}''. +Numerous typographical errors in the original were discovered during the preparation of this edition: +these have here been corrected and noted at the end of the text. +The plates for M. Combes' Mémoire on ``frottement'' were not available for this edition. \normalsize + +%\pagestyle{empty} +%\frontmatter +%\pagestyle {empty} + +% *** File: 001.png +%\begin{center} +%\quad\vfill + +%{\Large JOURNAL} + +%\medskip + +%{\tiny DE } + +%\medskip + +%{\Huge MATHÉMATIQUES } + +%\medskip + +%PURES ET APPLIQUÉES. + +%\vfill +%\end{center} +%\clearpage +% *** File: 002.png +%\quad\vfill + +%\hfill +%\begin{minipage}{16em} +%\begin{center} +%\rule{16em}{2pt} + +%IMPRIMERIE DE BACHELIER, + +%{\footnotesize RUE DU JARDINET, \no 12.} +%\end{center} +%\end{minipage} + +%\clearpage +\newpage +% *** File: 003.png +\begin{center} +\textbf{\huge JOURNAL} + +\vspace{1em} + +\textsc{\small de} + +\vspace{1em} + +\textbf{\Huge MATHÉMATIQUES} + +\vspace{0.5em} + +PURES ET APPLIQUÉES, + +\vspace{1em} + +\textsc{\small ou} + +\vspace{1em} + +\textbf{\Large RECUEIL MENSUEL} + +\textsc{de mémoires sur les diverses parties des mathématiques;} + +\vspace{2em} + +\emph{\textbf{\small Publié}} + +\vspace{1em} + +\textbf{\small PAR JOSEPH LIOUVILLE,} + +{\small Ancien Elève de l'École Polytechnique, répétiteur d'Analyse à cette École.} + +\vspace{3em} + +\rule{10em}{1pt} + +\textbf{\small TOME DEUXIÈME.} + +\vspace{-0.3em}\rule{2em}{1pt} + +\textbf{\small ANNÉE 1837.}\vspace{-0.3em} + +\rule{10em}{1pt}\vspace{2em} + + +\textbf{PARIS,} + +\textbf{\small BACHELIER, IMPRIMEUR-LIBRAIRE} + +\textbf{\textsc{\small de l'école polytechnique, du bureau des longitudes, etc.}} + +\textsc{\textbf{\small quai des augustins, \no 55.}} + +\rule{1em}{1pt} + +\textbf{1837} +\end{center} +% *** File: 004.png +%[Blank Page] +% *** File: 005.png + +\newpage +\begin{center}{\Huge TABLE DES MATIÈRES.} + +\rule{1in}{0.5pt} +\end{center} + +\noindent\begin{tabular}{@{\quad}l@{\ \ }r@{}} +\tabentrx{Solution d'un Problème d'Analyse; par M.~\emph{Liouville}.}{art1}{1} + +\tabentry{Solution d'une question qui se présente dans le calcul des Probabilités; par +M.~\emph{Mondésir}.}{art2}{3} + +\tabentry{Note sur les points singuliers des courbes; par M.~\emph{Plucker}.}{art3}{11} + +\tabentry{Second Mémoire sur le développement des fonctions ou parties de fonctions +en séries dont les divers termes sont assujétis à satisfaire à une même +équation différentielle du second ordre, contenant un paramètre variable, +par M.~\emph{Liouville}.}{art4}{16} + +\tabentry{Extrait d'une lettre de M.~\emph{Terquem} à M.~\emph{Liouville}.}{art5}{36} + +\tabentry{Note sur les équations indéterminées du second degré. --- Formules d'Euler +pour la résolution de l'équation $Cx^2 \mp A = y^2$. --- Leur identité avec +celles des algébristes indiens et arabes. --- Démonstration géométrique de +ces formules; par M.~\emph{Chasles}.}{art6}{37} + +\tabentry{Mémoire sur la classification des transcendantes, et sur l'impossibilité d'exprimer +les racines de certaines équations en fonction finie explicite des +coefficients; par M.~\emph{Liouville}.}{art7}{56} + +\tabentry{Sur le développement de $(1 - 2xz + z^2)^{-\frac{1}{2}}$; par MM.~\emph{Ivory} et \emph{Jacobi}.}{art8}{105} + +\tabentry{Sur la sommation d'une série; par M.~\emph{Liouville}.}{art9}{107} + +\tabentry{Mémoire sur une méthode générale d'évaluer le travail dû au frottement +entre les pièces des machines qui se meuvent ensemble en se pressant mutuellement. --- Application +aux engrenages coniques, cylindriques, et à la +vis sans fin; par M.~\emph{Combes}.}{art10}{109} + +\tabentry{Note sur une manière simple de calculer la pression produite par les parois +d'un canal dans lequel se meut un fluide incompressible; par M.~\emph{Coriolis}.}{art11}{130} + +\tabentry{Sur la mesure de la surface convexe d'un prisme ou d'un cylindre tronqué; +par M.~\emph{Paul Breton}.}{art12}{133} + +\tabentry{Note sur le développement de $(1 - 2xz + z^2)^{-\frac12}$; par M.~\emph{Liouville}.}{art13}{135} + +\tabentry{Note sur un passage de la seconde partie de la Théorie des Fonctions analytiques; +par M.~\emph{Poisson}.}{art14}{140} + +\tabentry{Mémoire sur les surfaces isothermes dans les corps solides homogènes en +équilibre de température; par M.~\emph{Lamé}.}{art15}{147} + +\tabentry{Note de M.~\emph{Poisson} relative au mémoire précédent.}{art16}{184} +% *** File: 006.png + +\tabentry{Addition à la note de M.~Poisson insérée dans le numéro précédent de ce +Journal; par l'Auteur}{art17}{189} + +\tabentry{Mémoire sur l'interpolation; par M.~Cauchy}{art18}{193} + +\tabentry{Note sur un passage de la Mécanique céleste relatif à la théorie de la figure +des planètes; par M.~Liouville}{art19}{286} + +\end{tabular}\newpage\noindent\begin{tabular}{@{\quad}l@{\ \ }r@{}} +\tabentry{Extrait d'un mémoire sur le développement des fonctions en séries dont les +différents termes sont assujétis à satisfaire à une même équation différentielle +linéaire, contenant un paramètre variable; par MM.~Sturm et Liouville}{art20}{220} + +\tabentry{Remarques sur les intégrales des fractions rationnelles; par M.~Poisson}{art21}{224} + +\tabentry{Mémoire sur le degré d'approximation qu'on obtient pour les valeurs numériques +d'une variable qui satisfait à une équation différentielle, en employant, +pour calculer ces valeurs, diverses équations aux différences plus +ou moins approchées; par M.~Coriolis}{art22}{229} + +\tabentry{Sur une lettre de d'Alembert à Lagrange; par M.~Liouville}{art23}{245} + +\tabentry{Observations sur des théorèmes de Géométrie énoncés, page 160 \pdf{ref160} de ce volume +et page 222 du volume précédent; par M.~Binet}{art24}{248} + +\tabentry{Recherches sur les nombres; par M.~Lebesgue}{art25}{253} + +\tabentry{Note sur un cas particulier de la construction des tangentes aux projections +des courbes, pour lequel les méthodes générales sont en défaut; par +M.~Chasles}{art26}{293} + +\tabentry{Théorèmes sur les contacts des lignes et des surfaces courbes; par M.~Chasles}{art27}{299} + +\tabentry{Note relative à un passage de la Mécanique céleste; par M.~Poisson}{art28}{312} + +\tabentry{Remarques sur l'intégration des équations différentielles de la Dynamique; +par M.~Poisson}{art29}{317} + +\tabentry{Thèses de Mécanique et d'Astronomie; par M.~Lebesgue}{art30}{337} + +\tabentry{Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de Géométrie peut +se résoudre avec la règle et le compas; par M.~Wantzel}{art31}{366} + +\tabentry{Solution d'un problème de Probabilité; par M.~Poisson}{art32}{373} + +\tabentry{Mémoire sur diverses manières de généraliser les propriétés des diamètres +conjugués dans les sections coniques.--Nouveaux théorèmes de Perspective +pour la transformation des relations métriques des figures.--Principes +de Géométrie plane analogues à ceux de la Perspective. Manière de +démontrer, dans le cône oblique, les propriétés des foyers des sections +coniques; par M.~Chasles}{art33}{388} + +\tabentry{Note sur la variation des constantes arbitraires dans les problèmes de Mécanique; +par M.~Cauchy}{art34}{406} + +\tabentry{Sur quelques propriétés générales des surfaces gauches; par M. Chasles}{art35}{413} + +\tabentry{Troisième mémoire sur le développement des fonctions ou parties de fonctions +en séries dont les divers termes sont assujétis à satisfaire à une même +équation différentielle du second ordre, contenant un paramètre variable; +par M.~Liouville}{art36}{418} +\end{tabular}\newpage\noindent\begin{tabular}{@{\quad}l@{\ \ }r@{}} +% *** File: 007.png + +\tabentry{Note sur une propriété des sections coniques; par M.~Pagès}{art37}{437} + +\tabentry{Solution nouvelle d'un problème d'Analyse relatif aux phénomènes thermo-mécaniques; +par M.~Liouville}{art38}{439} + +\tabentry{Note sur l'intégration d'un système d'équations différentielles du second +ordre, entre un nombre quelconque de variables, analogues à celles du +mouvement d'un point libre autour d'un centre fixe, sollicité par une +force fonction de la distance au centre; par M.~Binet}{art39}{457} + +\tabentry{Solution d'un problème de Probabilité relatif au jeu de rencontre; par +M.~Catalan}{art40}{469} + +\tabentry{Sur la formule de Taylor; par M.~Liouville}{art41}{483} + +\tabentry{Errata}{art42}{485} +\end{tabular} + +\begin{center}FIN DE LA TABLE DES MATIÈRES.\end{center} + +% *** File: 008.png +%[Blank Page] +% *** File: 009.png + +\Gauche\newpage\setcounter{originalpage}{1}\vspace*{1ex}\marginpage\vspace{-5ex} +%\mainmatter +\pagestyle{plain} + +\begin{center} +{\Huge JOURNAL}\par\vspace{\baselineskip} +{\huge DE MATHÉMATIQUES}\par\vspace{\baselineskip} +{\Large PURES ET APPLIQUÉES.}\vspace{\baselineskip} + +\rule{1in}{0.5pt}\par\vspace{\baselineskip} + +{\large SOLUTION D'UN PROBLÈME D'ANALYSE;}\par\vspace{\baselineskip} +\textbf{\textsc{Par Joseph LIOUVILLE}}\par\vspace{0.5\baselineskip} +\rule{1in}{0.5pt} +\end{center} + +\label{art1} + +1.~Soient $x$ une variable indépendante comprise entre deux limites +réelles $\x$, $X$, et $\phi (x)$ une fonction de $x$ déterminée, mais inconnue, +qui ne devienne jamais infinie lorsque $x$ croît de $\x$ à $X$. Cela posé, +le problème que je veux résoudre est le suivant: quelle doit être la +valeur de la fonction $\phi (x)$ pour que l'on ait constamment +\[ +\tag{1} +\int_{\x}^X x^n \phi(x) dx = 0, +\] +$n$ étant un quelconque des nombres entiers 0, 1, 2, 3,\dots? Je dis +que la fonction $\phi (x)$ qui résout ce problème est identiquement +nulle, en sorte que l'on a $\phi (x) = 0$ depuis $x = \x$ jusqu'à $x = X$. +En effet, si la fonction $\phi (x)$ n'est pas nulle depuis $x = \x$ jusqu'à +$x = X$, il faut que dans cet intervalle elle change de signe un certain +nombre de fois, sans quoi les éléments de l'intégrale placée au +premier membre de l'équation (1) seraient tous de même signe et ne +pourraient avoir zéro pour somme. Supposons donc que la fonction +$\phi (x)$ change de signe $m$ fois, et soient $x_1$, $x_2$,\dots $x_m$, les $m$ valeurs +de $x$ pour lesquelles ce changement s'effectue. Faisons +$\psi(x) = (x - x_1)(x - x_2)\ldots(x -x_m)$: en développant le produit des facteurs +\marginpage % *** File: 010.png +binômes, $\psi(x)$ prendra la forme $x^m + A_1x^{m-1} + \dotsb + A_{m-1}x + A_m$. +Si donc on fait, dans l'équation (1), successivement $n = m$, +$n = m - 1$,\dots\ $n = 1$, $n = 0$, et qu'on ajoute membre à membre +les équations ainsi obtenues, après les avoir multipliées par les facteurs +respectifs 1, $A_1$,\dots $A_{m-1}$, $A_m$, on obtiendra +\begin{align*} +\int_\x^X \psi(x)\phi(x)dx=0: \tag{2} +\end{align*} +or l'équation (2) est absurde, puisque les deux fonctions $\phi (x)$ et +$\psi(x)$ changeant de signe en même temps, l'élément $\psi(x) \phi (x) dx$ +doit au contraire conserver toujours le même signe. Ainsi, lorsque $x$ +croît de x à X, il est absurde d'attribuer à $\phi (x)$ une valeur autre +que zéro, C. Q. F. D\@. Cette démonstration subsiste même lorsqu'on +attribue à $\phi (x)$ une valeur imaginaire $P + Q \sqrt{-1}$, car alors l'équation +(1) se décompose en deux autres équations qui donnent séparément +$P = 0$, $Q = 0$\footnote{% +Soient $B_0$, $B_1$, \ldots $B_n$,\dots\ +des constantes données à volonté. Si l'on cherche +une fonction $\phi(x)$ qui satisfasse à l'équation (3) ${\dint_\x^X} x^n\phi(x)dx=B_n$, $n$ étant un +quelconque des nombres compris dans la série 0, 1, 2, 3,\dots, ce problème +n'aura jamais plusieurs solutions. En effet si toutes les équations contenues dans +la formule (3) sont satisfaites en prenant $\phi (x)= f(x)$, on pourra poser en +général $\phi(x) = f (x)+ \varpi(x),$ et il en résultera ${\dint_\x^X} x^n\varpi(x)dx=0$, et par +suite $\varpi(x) = 0$, ce qui démontre notre théorème.}. + +\par{2.} Si l'équation (1) est satisfaite, non pas pour toutes les valeurs +de $n$, mais seulement pour les valeurs suivantes 0, 1, 2,\dots $(p - 1)$, +je dis que la fonction $\phi (x)$ (supposée réelle) change de signe au +moins $p$ fois; car si elle ne changeait de signe que $m$ fois, $m$ étant $< p$, +on arriverait comme ci-dessus à l'équation (2) dont l'absurdité vient +d'être démontrée. L'analyse précédente est fondée sur un principe semblable +à celui dont j'ai fait usage dans un de mes mémoires (tome 1\ier\ de +ce Journal, page 253); mais il m'a paru qu'il était utile de donner +de ce principe une application nouvelle et simple. + +\jmpafin + +% *** File: 011.png + +\jmpapaper{SOLUTION}{}{D'une question qui se présente dans le calcul des probabilités;}{Par M.~É. MONDÉSIR,} +{Elève ingénieur des Ponts-et-Chaussées.} +\label{art2} + +\emph{Si une urne contient $b$ boules blanches et $n$ boules noires, et +qu'on en tire $p$ au hasard, la probabilité de tirer parmi les boules restantes +soit $q$ blanches, soit $q$ noires, n'est point altérée et reste la +même qu'avant la soustraction des $p$ boules.} + +Il y aura trois cas à examiner, suivant que $p$ sera à la fois plus +petit que $b$ et que $n$, ou compris entre les deux, ou plus grand en +même temps que $b$ et que $n$. + + +\begin{center} +1\ier\ cas: $p < b$, $p < n$. +\end{center} + +Il y aura dans ce cas $(p+1)$ hypothèses à faire sur la composition des +$p$ boules, savoir: + +\[\begin{tabular}{r*{3}{@{\ }l}} +1\iere\ & hyp. & \dotfill & $p$ blanches,\\ +2\ieme\:\ & hyp. & $(p-1)$ bl., & 1 noire,\\[-1ex] +&\multispan{3}{\leaderfill\qquad} \\ +$(p+1)$\ime & hyp. & \dotfill & $p$ noires. +\end{tabular}\] + +Dans chacune de ces hypothèses, la probabilité pour amener $q$ +blanches, par exemple, parmi les $(b+n-p)$ boules restantes serait, +\[ +\left\{\quad\begin{alignedat}{2} +&\text{Dans la\ \,1\iere\ \,hypothèse }&& \tfrac{(b-p)(b-p-1)\ldots[b-p-(q-1)]}{(b+n-p)(b+n-p-1)\ldots[b+n-p-(q-1)]},\\ +&\text{Dans la\ \ 2\ieme\ \ hypothèse }&& \tfrac{(b-p+1)(b-p+1-1)\ldots[b-p+1-(q-1)]}{(b+n-p)(b+n-p-1)\ldots[b+n-p-(q-1)]},\\[-1ex] +&\multispan{3}{\quad\leaderfill\quad}\\ +&\text{Dans la $(p+1)$\ime\ hyp. }&& \tfrac{b(b-1)\ldots[b-(q-1)]}{(b+n-p)(b+n-p-1)\ldots[b+n-p-(q-1)]}.\\ +\end{alignedat}\right.\tag{1} +\] + +Cherchons maintenant la probabilité de chaque hypothèse. Soit $N$ +le nombre d'arrangements possibles avec $(b+n)$ lettres, en les prenant +$p$ à $p$: ce nombre sera +\marginpage % *** File: 012.png +\begin{align*} +N=(b+n)(b+n-1) \ldots [b+n-(p-1)]; +\end{align*} +il exprimera toutes les manières possibles de faire le tirage des $p$ +boules, en supposant qu'on les tire de l'urne une à une. + +Nous aurons d'un autre côté toutes les manières possibles de faire +le tirage de $p$ blanches, en prenant le nombre d'arrangements de $b$ +lettres $p$ à $p$. Nommons ce nombre $A_0$: il sera +\begin{align*} +A_0 &= b(b-1)(b-2) \ldots [b-(p-1)]. +\end{align*} + +Nous aurons $A_1$, ou le nombre de manières possibles de tirer +$(p-1)$ blanches et 1 noire, en observant que l'on peut former ce +nombre en prenant chacun des arrangements de $b$ boules $(p-1)$ à +$(p-1)$, y ajoutant chacune des $n$ boules noires, et permutant cette +boule aux $p$ places qu'elle peut occuper dans chacun des arrangements: +nous aurons donc +\begin{align*} +A_1 &= b(b-1) \ldots [b-(p-2)]p\ldot n. +\end{align*} +Pour obtenir $A_2$, prenons chaque arrangement de $b$ lettres $(p-2)$ à +$(p-2)$; ajoutons-y chaque combinaison de $n$ lettres 2 à 2: la permutation +de la première lettre aux $(p-1)$ places de l'arrangement de +$(p-2)$ lettres donnera lieu à $(p-1)$ arrangements nouveaux de +$(p-1)$ lettres, et la permutation de la 2\up{me} lettre transformera chaque +arrangement de $(p-1)$ lettres en $p$ arrangements de $p$ lettres. On a +évidemment de cette manière tous les arrangements possibles de +$(b-2)$ boules blanches et de a boules noires: écrivons donc +\begin{align*} +A_2 &= b(b-1) \ldots [b-(p-3)]p(p-1) \tfrac{n(n-1)}{1\ldot2}, +\end{align*} +nous aurons de même + +\begin{align*} +A_3 = b(b&-1) \ldots [b-(p-4)]p(p-1)(p-2) \tfrac{n(n-1)(n-2)}{1\ldot2\ldot3},\\ +\multispan{2}{\qquad\leaderfill\qquad} \\ +A_{p-2} &= b(b-1)p(p-1) \tfrac{n(n-1)\ldots[n-(p-3)]}{1\ldot2},\\ +A_{p-1} &= bp \tfrac{n(n-1)\ldots[n-(p-2)]}{1},\\ +A_p &= n(n-1)(n-2) \ldots [n-(p-1)]. +\end{align*} +\marginpage % *** File: 013.png +$A_0$ exprimant le nombre de manières possibles de tirer $p$ blanches, et +$N$ le nombre de manières possibles de tirer $p$ boules quelconques, $A_0$ +étant, en d'autres termes, le nombre de coups favorables à la première +hypothèse, et $N$ le nombre de coups possibles, $\dfrac{A_0}{N}$ doit exprimer +la probabilité de la première hypothèse: de même les probabilités +des hypothèses suivantes seront exprimées par les fractions +\begin{align*} +\frac{A_1}{N},\quad \frac{A_2}{N},\quad \ldots\quad \frac{A_{p-1}}{N},\quad \frac{A_p}{N}. +\end{align*} + +Si nous multiplions la probabilité de chaque hypothèse par la +probabilité correspondante (1), et si nous faisons la somme, nous +aurons pour la probabilité de tirer $q$ blanches parmi les $(b + n - p)$ +boules restantes, la série suivante +\begin{align*} +&\frac{1}{N}\left\{A_0\tfrac{(b - p)(b - p - 1)\ldots[b - p - (q - 1)]}{(b + n - p)\ldots[b + n - p - (q - 1)]} + A_1\tfrac{(b - p + 1)(b - p + 1 - 1)\ldots[b - p + 1 - (q - 1)]}{(b + n - p)\ldots[b + n - p - (q - 1)]}\right.\\ +&+ A_2\tfrac{(b - p+ 2)(b - p + 2 - 1)\ldots[b - p + 2 - (q - 1)]}{(b + n - p)\ldots[b + n - p - (q - 1)]} + \dotsb \\ +&\qquad\qquad\left.+ A_p\tfrac{b(b - 1)\ldots(b - q - 1]}{(b + n - p)\ldots[b + n - p - (q - 1)]}\right\}. +\end{align*} +Remplaçons dans cette série $A_0$, $A_1$,\dots\ $A_p$, par leurs valeurs, ainsi +que $N$ et remarquons que le facteur suivant $\frac{b(b - 1)\ldots[b - (q - 1)]}{(b + n)(b + n - 1)\ldots[b + n - (q - 1)]}$ +est commun à tous les termes; la probabilité cherchée sera +\begin{align*} +&\tfrac{b(b - 1)\ldots[b - (q - 1)]}{(b + n)(b + n - 1)\ldots[b + n - (q - 1)}\Big\{\tfrac{(b - q)\ldots[b - p - (q - 1)]}{(b + n - q)\ldots[b + n - p - (q - 1)]}\\ ++{}&\tfrac{(b - q)\ldots[b - p + 1 - (q - 1)]}{(b + n - q)\ldots[b + n - p - (q - 1)]}\,pn\\ ++{}&\tfrac{(b - q)\ldots[b - p + 2 - (q - 1)]}{(b + n - q)\ldots[b + n - p - (q - 1)]}\,p(p - 1)\tfrac{n(n-1)}{1\ldot2} + \dotsb \ldots\\ ++{}&\tfrac{(b - q)(b - q - 1)}{(b + n - q)\ldots[b + n - p - (q - 1)]}\,p(p - 1)\tfrac{n(n - 1)\ldots[n - (p - 3)]}{1\ldot2}\\ ++{}&\tfrac{b - q}{(b + n - q)\ldots[b + n - p - (q - 1)]}\,p\,\tfrac{n(n - 1)\ldots[n - (p - 2)]}{1}\\ ++{}&\tfrac{n(n - 1)\ldots[n - (p - 1)]}{(b + n - q)\ldots[b + n - p - (q - 1)]}\Big\}. +\end{align*} +\marginpage % *** File: 014.png +Examinons la signification et la valeur de la quantité contenue entre +les crochets: tous les termes de la série ont un dénominateur commun +$(b+n-q)\ldots[b+n-p-(q-1)] = (b+n-q)(b+n-q-1) \ldots +[b+n-q-(p-1)]$: ce dénominateur est le nombre d'arrangements +possibles avec $(b+n-q)$ lettres prises $p$ à $p$; il ne diffère du +dénominateur N que par le changement de $(b+n)$ en $(b+n-q)$; +il doit donc exprimer le nombre de coups possibles, quand on tire $p$ +boules d'une urne qui en contient $(b+n-q)$. + +Considérons chaque expression de la série, à part ce dénominateur +commun, par exemple l'expression +\begin{align*} +(b-q) \ldots [b-p+2-(q-1)] p(p-1) \tfrac{n(n-1)}{1 \ldot 2}, +\end{align*} +on peut l'écrire ainsi +\begin{align*} +(b-q)(b-q-1) \ldots [b-q-(p-3)] p(p-1) \tfrac{n(n-1) }{1 \ldot 2}. +\end{align*} +Comparée à l'expression $A_2$, on voit que cette formule n'en diffère +que par le changement de $b$ en $(b-q)$; elle doit exprimer toutes les +manières possibles de tirer $(p-2)$ boules blanches et 2 noires d'une +urne qui contient $(b-q)$ boules blanches et $n$ noires. On verrait de +même que les autres expressions contenues entre les crochets ne +diffèrent des autres expressions $A_0$, $A_1$, etc., que par le même changement +de $b$ en $(b-q)$. La somme de ces expressions, sauf leur dénominateur +commun, indique donc toutes les manières possibles de +tirer $p$ boules d'une urne qui contient $(b-q)$ blanches et n noires, +comme la somme des expressions $A_0$ etc., indique toutes les manières +possibles de tirer $p$ boules d'une urne qui contient $b$ blanches et $n$ +noires. Cette somme d'expressions est donc égale à son dénominateur +commun, et la série entière comprise entre les crochets égale à l'unité, +ce qui réduit la probabilité cherchée à +\[ +\tfrac{b(b-1)\ldots[b-(q-1)]}{(b+n) (b+n-1)\ldots[b+n-(q-1)]}, +\] +c'est-à-dire à ce qu'elle était avant le tirage de $p$ boules. + +\Needspace*{3\baselineskip} +\begin{center} +2\me\ cas. $p > b$\qtext{et}$< n$. +\end{center} + +\marginpage % *** File: 015.png +Dans ce cas, au lieu des $(p+1)$ hypothèses du cas précédent, nous +n'en aurons que $(b+1)$: les probabilités de ces hypothèses formées +comme précédemment seront +\begin{align*} +\frac{1}{N}A_0 &=\left\{b(b-1)\ldots3\ldot2\ldot1(b+1)(b+2)\ldots p\tfrac{n(n-1)\ldots[n-(p-b-1)]}{1\ldot2\ldot3\ldots(p-b)}\right\}\frac{1}{N},\\ +\frac{1}{N}A_1 &=\left\{b(b-1)\ldots3\ldot2b(b+1)\ldots p\tfrac{n(n-1)\ldots[n-(p-b)]}{1\ldot2\ldot3\ldots(p-b)+1}\right\}\frac{1}{N},\\ +\frac{1}{N}A_2 &=\left\{b(b-1)\ldots3(b-1)b\ldots p\tfrac{n(n-1)\ldots[n-(p-b+1)]}{1\ldot2\ldot3\ldots(p-b+2)}\right\}\frac{1}{N};\\ +&\makebox[20em]{\leaderfill}\\[-1ex] +&\makebox[20em]{\leaderfill}\\ +\frac{1}{N}A_{b-1}&=\left\{bp\tfrac{n(n-1)\ldots[n-(p-2)]}{1}\right\}\frac{1}{N};\\ +\label{err015} +\frac{1}{N}A_b&=\left\{n(n-1)(n-2)\ldots[n-(p-1)]\right\}\frac{1}{N}; +\end{align*} +dans ces diverses hypothèses, les probabilités de tirer $q$ blanches sont +\begin{gather*} +\text{1\iere\ hyp} \ldots\ 0,\\ +\text{2\ieme\:\ hyp} \ldots\ 0,\\[-1ex] +\makebox[12em]{\leaderfill}\\ +\text{$(q+1)$\ime\ hyp}\ldots\ \tfrac{q(q-1)\ldots3\ldot2\ldot1}{(b+n-p)\ldots[b+n-p-(q-1)]};\\[-1ex] +\makebox[18em]{\leaderfill}\\ +\text{$(b+1)$\ime\ hyp}\ldots\ \tfrac{b(b-1)\ldots(b-q-1)}{(b+n-p)\ldots[b+n-p-(q-1)]}. +\end{gather*} +En multipliant respectivement ces hypothèses l'une par l'autre, et +faisant la somme, nous aurons pour la probabilité cherchée +\begin{align*} +&\frac{1}{N}\left\{A_q\tfrac{q(q-1)\ldots3\ldot2\ldot1}{(b+n-p)\ldots[b+n-p-(q-1)]}+A_{q+1}\tfrac{(q+1)q\ldots2}{(b+n-p)\ldots[b+n-p-(q-1)]}\right.\\ +&\left.+A_{q+2}\tfrac{(q+2)(q+1)\ldots3}{(b+n-p)\ldots[b+n-p-(q-1)]}+ \dotsb +A_b\tfrac{b(b-1)\ldots[b-(q-1)]}{(b+n-p)\ldots[b+n-p-(q-1)]}\right\}, +\end{align*} +Or remarquons qu'on peut mettre en facteur commun +$\tfrac{b(b-1)\ldots[b-(q-1)]}{(b+n)\ldots[b+n-(q-1)]}$ chaque terme contenant en numérateur le +\marginpage % *** File: 016.png +produit de la suite des nombres depuis $b$ jusqu'à 1, ou jusqu'à 2, etc., +et au moins jusqu'à $[b-(q-1)]$, et en dénominateur la suite +$(b+n)\ldots[b+n-(p-1)](b+n-p)\ldots[b+n-p-(q-1)]$: +écrivons donc pour la probabilité demandée +\begin{flalign*} +&\tfrac{b(b-1)\ldots[b-(q-1)]}{(b+n-p)\ldots[b_n-p-(q-1)]}&\\ +&\qquad\left\{\tfrac{(b-q)\ldots3\ldot2\ldot1}{(b+n-q)\ldots[b+n-p-(q-1)]}(b-q+1)\right. +\ldots p\tfrac{n(n-1)\ldots[n-(p-b+q-1)]}{1\ldot 2 \ldot 3 \ldots (p-b+q)}\\ +&\qquad+ \tfrac{(b-q)\ldots3\ldot2}{(b+n-q)\ldots[b+n-p-(q-1)]}(b-q) +\ldots p\tfrac{n(n-1)\ldots[n-(p-b+q)]}{1\ldot2\ldot3\ldots(p-b+q+1)}\\ +&\qquad+\tfrac{(b-q)\ldots3}{(b+n-q)\ldots[b+n-p-(q-1)]}(b-q-1) +\ldots p\tfrac{n(n-1)\ldots[n-(p-b+q+1)]}{1\ldot2\ldot3\ldots(p-b+q+2)}\\[-1ex] +&\qquad\qquad\makebox[22em]{\leaderfill}\\ +&\qquad\left.\!+\tfrac{1}{(b+n-q)\ldots[b+n-p-(q-1)]}n(n-1(n-2)\ldots[n-(p-1)]\right\}. +\end{flalign*} + +La série comprise entre les crochets se compose de $(b-q+1)$ +termes correspondants aux $(b-q+1)$ hypothèses possibles sur la +composition de $p$ boules tirées d'une urne qui contiendrait $(b-q)$ +blanches et $n$ noires, et en employant ainsi le raisonnement appliqué +déjà dans le cas précédent, on voit aisément que cette série doit se +réduire a 1, puisque d'un côté le dénominateur commun +$(b+n-q)\ldots [b+n-1-(p-1)]$ exprime toutes les manières +possibles de tirer $p$ boules d'une urne qui en contient $(b+n-q)$, +que de l'autre la somme des numérateurs exprime exactement la +même chose. La probabilité cherchée est donc, comme dans le $1^{\text {er}}$ cas, +la même qu'avant le tirage de $p$ boules. + +\begin{center} +3\me\ cas. $p > b$\qtext{et}$> n$. +\end{center} + +Le nombre d'hypothèses possibles sur la composition des $p$ boules +sera alors égal a un certain nombre $(k+1) = (b+n-p+1)$: nous +obtiendrons toujours la probabilité des diverses hypothèses comme +précédemment, et nous aurons pour les valeurs de ces probabilités +\marginpage\begin{align*} +\frac{1}{N}A_0&=\left\{b(b-1)\ldots 3\ldot 2\ldot 1(b+1)\ldots p\tfrac{n(n-1)\ldots[n-(p-b-1)]}{1\ldot2\ldot3\ldots(p-b)}\right\}\frac{1}{N},&\\ +\frac{1}{N}A_1&=\left\{b(b-1)\ldots 3\ldot 2\ b(b+1)\ldots p\tfrac{n(n-1)\ldots[n-(p-b)]}{1\ldot2\ldot3\ldots(p-b+1)}\right\}\frac{1}{N},& +\\ +\frac{1}{N}A_2&=\left\{b(b-1)\ldots 3(b-1)b\ldots p\tfrac{n(n-1)\ldots[n-(p-b+1)]}{1\ldot2\ldot3\ldots(p-b+2)}\right\}\frac{1}{N},&\\[-1ex] +&\makebox[22em]{\leaderfill}\\ +\frac{1}{N}A_{k-2}&=\left\{b(b-1)\ldots (k-1)(b-k+3)\ldots p\tfrac{n(n-1)\ldots[n-(p-b+k-3)]}{1\ldot 2 \ldot 3 \ldots(p-b+k-2)}\right\}\frac{1}{N},&\\ +\frac{1}{N}A_{k-1}&=\left\{b(b-1)\ldots k(b-k+2)\ldots p\tfrac{n(n-1)\ldots[n-(p-b+k-2)]}{1\ldot2\ldot3\ldots(p-b+k-1)}\right\}\frac{1}{N},&\\ +\frac{1}{N}A_{k\hphantom{-1}}&=\left\{b(b-1)\ldots (k+1)(b-k+1)\ldots p\tfrac{n(n-1)\ldots[n-(p-b+k-1)]}{1\ldot 2 \ldot 3 \ldots(p-b+k)}\right\}\frac{1}{N},& +\end{align*} +dans ces diverses hypothèses, les probabilités de tirer $q$ blanches sont +\begin{gather*} +1\iere\ \text{hyp.}\dots\ \ 0,\\ +2\ieme\:\ \text{hyp.}\dots\ \ 0,\\[-1ex] +\makebox[8em]{\leaderfill}\\ +\text{$(q+1)$\iieme\ hyp.}\ \ \tfrac{q(q-1)\ldots3\ldot2\ldot1}{(b+n-p)\ldots [b+n-p-(q-1)]};\\[-1ex] +\makebox[14em]{\leaderfill}\\ +\text{$(k+1)$\iieme\ hyp.}\ \ \tfrac{k(k-1)\ldots [k-(q-1)]}{(b+n-p)\ldots [b+n-p-(q-1)]}. +\end{gather*} +Nous aurons donc pour la probabilité cherchée +\begin{align*} +& \frac{1}{N}\left\{A_q\tfrac{q(q-1)\ldots3\ldot2\ldot1}{(b+n-p)\ldots[b+n-p-(q-1)]}\right. ++A_{q+1}\tfrac{(q+1)q\ldots3\ldot2}{(b+n-p)\ldots[b+n-p-(q-1)]} &\\ +&\left.+ \dotsb \ldots+A_k\tfrac{k(k-1)\ldots[k-(q-1)]}{(b+n-p)\ldots[b+n-p-(q-1)]}\right\}\\ +& =\tfrac{b(b-1)\ldots q(q-1)\ldots3\ldot2\ldot1}{(b+n)\ldots(b+n-p)\ldots[b+n-p-(q-1)]}(b-q+1) +\ldots p\tfrac{n(n-1)\ldots [n-(p-b+q-1)]}{1\ldot2\ldot3\ldots(p-b+q)} \\ +&+\tfrac{b(b-1)\ldots (q+1)q\ldots3\ldot2}{(b+n)\ldots(b+n-p)\ldots[b+n-p-(q-1)]}(b-q) +\ldots p\tfrac{n(n-1)\ldots [n-(p-b+q)]}{1\ldot2\ldot3\ldots(p-b+q+1)} \\ +&+\makebox[24em]{\leaderfill} \\ +&+\tfrac{b(b-1)\ldots (k+1)k\ldots[k-(q-1)]}{(b+n)\ldots(b+n-p)\ldots[b+n-p-(q-1)]}(b-k+1) +\ldots p\tfrac{n(n-1)\ldots [n-(p-b+k-1)]}{1\ldot2\ldot3\ldots(p-b+k)}. +\end{align*} +Le facteur $\tfrac{b(b-1)\ldots[b-(q-1)]}{(b+n)\ldots[b+n-(q-1)]}$ est évidemment commun a tous +les termes de la série, car $[k-(q-1)] = b+n-p-(q-1) += [b-(q-1)]-(p-n),$ est plus petit que $b-(q-1)$; on +\marginpage % *** File: 018.png +peut donc mettre ce facteur en évidence, et écrire la série ainsi qu'il +suit +\label{err018} +\begin{align*} +&\tfrac{b(b-1)\ldots[b-(q-1)]}{(b+n)\ldots[b+n-(q-1)]}\left\{\tfrac{(b-q)\ldots3\ldot2\ldot1}{(b+n-q)\ldots[b+n-p-(q-1)]}(b-q+1)\ldots p\tfrac{n(n-1)\ldots[n-(p-b+q-1)]}{1\ldot2\ldot3\ldots(p-b+q)}\right.\\ +&+\tfrac{(b-q)\ldots3\ldot2}{(b+n-q)\ldots[b+n-p-(q-1)]}(b-q)\ldots p\tfrac{n(n-1)\ldots[n-(p-b+q)]}{1\ldot2\ldot3\ldots(p-b+q+1)}\\ +&+\tfrac{(b-q)\ldots3}{(b+n-q)\ldots[b+n-p-(q-1)]}(b-q-1)\ldots p\tfrac{n(n-1)\ldots[n-(p-b+q+1)]}{1\ldot2\ldot3\ldots(p-b+q+2)}\\ +&\qquad\makebox[23em]{\leaderfill}\\ +&\left.+\tfrac{(b-q)\ldots[b+n-p-(q-1)]}{(b+n-q)\ldots[b+n-p-(q-1)]}(b-k+1)\ldots p\tfrac{n(n-1)\ldots[n-(p-b+k-1)]}{1\ldot2\ldot3\ldots(p-b+k)}\right\}. +\end{align*} + +La série comprise entre les crochets se compose évidemment de +$[b+n-p-(q-1)]$ termes ou de $(k-q+1)$ termes, chacun des +termes exprime la probabilité d'une des $(b+n-q-p+1)$ hypothèses +que l'on peut faire sur la composition de p boules, que l'on +tire d'une urne qui en contient $(b+n-q)$, dans le cas où $p$ est à la +fois plus grand que $(b-q)$ et que $n$; or, comme la somme des probabilités +de toutes les hypothèses possibles, doit être égale à 1, il +s'ensuit que la probabilité cherchée est réduite au premier facteur +$\tfrac{b(b-1)\ldots[b-(q-1)]}{(b+n)\ldots[b+n-(q-1)]}$ comme dans les deux cas précédents. + +Le théorème que nous venons de démontrer est encore vrai pour une +urne qui renfermerait des boules de plusieurs couleurs: on le démontrerait +en séparant les boules en deux groupes, dont l'un renfermerait les +boules d'une même couleur, et l'on prouverait que la probabilité de tirer +une boule de cette couleur n'est point changée: on ferait de même +pour les autres couleurs. Ce théorème peut donc être énoncé ainsi dans +toute sa généralité: Si une urne renferme des boules de plusieurs +couleurs, et qu'on en tire au hasard un certain nombre, la probabilité +d'amener, parmi les boules restantes, $q$ boules d'une couleur +quelconque, n'est point changée par cette soustraction et reste la +même qu'auparavant. Il est tout-à-fait semblable à celui dont +M.~Poisson s'est servi dans son mémoire \emph{sur l'avantage du banquier +au jeu de trente et quarante} (\emph{Annales de Chimie et de Physique}, +t.~XIII, p.~177-178), et on le regardera peut-être comme évident \emph{à +priori}, mais il était bon d'en vérifier analytiquement l'exactitude. + +\jmpafin + +% *** File: 019.png + +\jmpapaper{NOTE}{}{Sur les points singuliers des Courbes;}{Par M.~PLUCKER.}{} +\label{art3} + + +Une courbe quelconque étant proposée, je désignerai + +\primop.~Par $n$ son degré, ou le nombre de ses points d'intersection avec +une ligne droite; + +\secundop.~Par $m$ sa classe (mot introduit par M.~\emph{Gergonne}) ou le nombre +de ses tangentes, passant par un même point; + +\tertiop.~Par $x$ le nombre de ses points doubles; + +\quartop.~Par $y$ celui de ses points de rebroussement; + +5\up{o}.~Par $u$ le nombre de ses tangentes doubles; et enfin + +6\up{o}.~Par $v$ celui de ses tangentes (ou points) d'inflexion. + +Dans ce qu'on va lire, je supposerai en outre que la courbe n'a ni +points multiples, ni tangentes multiples. + +I\@. Pour toutes les courbes algébriques quelconques, il existe une +équation générale et unique, qui lie entre eux les nombres \primop.~des +points doubles ($x$), \secundop.~des points de rebroussement ($y$), \tertiop.~des tangentes +doubles (communes à deux branches différentes de la courbe) ($u$), +et \quarto des points d'inflexion ($v$). Cette équation est la suivante: +\begin{multline*} +(v-y)^4 - 9(v-y)^2 [6(v+y)+4(u+x)-45]\\+756(v-y)(u-x)+324(u-x)^2 = 0. +\end{multline*} + +II\@. Les courbes générales d'un degré quelconque, n'ont ni point +double ni point de rebroussement. Pour elles on obtient, en posant +$y = 0$ et $x = 0$, +\begin{align*} +v^4 - 54v^3 - 36uv^2 + 405v^2 + 756uv + 324u^2 = 0. +\end{align*} + +III\@. On obtient pour les courbes générales d'une classe quelconque +\marginpage % *** File: 020.png +(qui n'ont tangentes doubles ni points d'inflexion) l'équation analogue +suivante: +\begin{align*} +y^4 - 54y^3 - 36xy^2 + 405y^2 + 756xy + 324x^2 = 0. +\end{align*} + +IV\@. Si le nombre des points de rebroussement est égal à celui des +points d'inflexion, le nombre des points doubles est nécessairement +égal à celui des tangentes doubles. De plus la courbe est coupée alors +par une ligne droite en autant de points qu'il y a des tangentes de la +courbe aboutissant à un même point. On a simultanément +\begin{align*} +v = y,\quad u = x,\quad n = m,\quad 2x + 3y = n(n - 2). +\end{align*} +Pour obtenir les différents cas où les courbes d'un degré donné n sont +de la même classe, on n'a qu'à résoudre la dernière équation en nombres +entiers, en satisfaisant en même temps à la condition +\begin{align*} +x + y \eqqless \frac{(n - 1)(n -2)}{1\quad\ldot\quad2}. +\end{align*} + +V\@. Dans le cas général, on a +\begin{align*} +(v - y) &= 3(m - n),\\ +(u - x) &= \tfrac{1}{2}(m - n)(m + n - 9), +\end{align*} +équations simples, qui donnent encore la suivante: +\begin{align*} +(m + n) - 6\Big(\frac{u - x}{v - y}\Big) = 9. +\end{align*} + +VI\@. L'un des deux nombres $n$ et $m$ étant donné l'on peut prendre +l'autre entre les deux limites déterminées par les deux équations +\[ +m \leqq n(n - 1),\quad n \leqq m(m - 1); +\] +excepté toutefois qu'on n'a jamais ni $m = n(n-1) - 1$ ni $n = m(m - 1) - 1$. +On a généralement, +\begin{alignat*}{2} +m &= \:n(n &- 1) - 2x - 3y,\\ +n &= m(m &- 1) - 2u - 3v. +\end{alignat*} + +VII\@. Enfin l'on a les quatre équations suivantes: +\begin{gather*} +\begin{alignedat}{2} +v &= \:3n(n &- 2) - 6x - 8y,\\ +y &= 3m(m &- 2) - 6u - 8v, +\end{alignedat}\\ +\begin{alignedat}{6} +& u = \tfrac{1}{2}& n&(n&{-}2)&(n^2&{-}9) - &[n&&(n&{-}1) - 6](2x{+}3y) + 2x(x{-}1) + 6xy + \tfrac{9}{2}y(y{-}1),\\ +& x = \tfrac{1}{2}& m&(m&{-}2)&(m^2&{-}9) - &[m&&(m&{-}1) - 6](2u{+}3v) + 2u(u{-}1) + 6uv + \tfrac{9}{2}v(v{-}1). +\end{alignedat} +\end{gather*} + +\marginpage % *** File: 021.png +L'interprétation géométrique de ces équations est facile. Ainsi, la +première d'entre elles, par exemple, indique que, si par une détermination +spéciale des constantes de l'équation générale d'un degré quelconque, +la courbe correspondante acquiert des points doubles ou de +rebroussement, le nombre des points d'inflexion diminue de \emph{six} unités +pour chaque point double et de \emph{huit} pour chaque point de rebroussement. +J'ajouterai que sur les six points d'inflexion qui disparaissent, +il y a \emph{deux} de réels et \emph{quatre} d'imaginaires, si c'est un point double +proprement dit et supposé réel, qui les remplace; mais que tous +sont imaginaires, si c'est un point conjugué. Dans le cas d'un point +réel de rebroussement, il y a, sur les huit points d'inflexion qui +disparaissent, \emph{deux} de réels et \emph{six} d'imaginaires. + +VIII\@. Les courbes des degrés 3, 4, 5, offrent les différents cas suivants, +les seuls possibles, par rapport au nombre des points et tangentes +singulières, dont il est question ici. + +{\fboxrule=2pt +\hfill +\parbox[t]{12em}{\begin{center} +\renewcommand\arraystretch{1.2} +$n=3$. \\[1ex] +\fbox{\begin{tabular}{*{4}{r|}r} +$m$ & $x$ & $y$ & $u$ & $v$ \\[1ex] +\hline +6 & --- & --- & --- & \ 9\rule{0pt}{3ex} \\ +4 & 1 & --- & --- & 3 \\ +3 & --- & 1 & --- & 1 \\ +\end{tabular}} + +\vspace{3em} +$n=4$. \\[1ex] +\fbox{\begin{tabular}{*{4}{r|}r} +$m$ & $x$ & $y$ & $u$ & $v$ \\[1ex] +\hline +12 & --- & --- & 28 & 24\rule{0pt}{3ex} \\ +10 & 1 & --- & 16 & 18 \\ +9 & --- & 1 & 10 & 16 \\ +8 & 2 & --- & 8 & 12 \\ +7 & 1 & 1 & 4 & 10 \\ +6 & 3 & --- & 4 & 6 \\ +{.}\, & --- & 2 & 1 & 8 \\ +5 & 2 & 1 & 2 & 4 \\ +4 & 1 & 2 & 1 & 2 \\ +3 & --- & 3 & 1 & --- \\ +\end{tabular}} +\end{center}} +\hfill +\parbox[t]{12.6em}{\begin{center} +$n=5$. \\[1ex] +\fbox{\begin{tabular}{*{4}{r|}r} +$m$ & $x$ & $y$ & $u$ & $v$ \\[.5ex] +\hline +20 & --- & --- & 120 & 45\rule{0pt}{2.5ex} \\ +18 & 1 & --- & 92 & 39 \\ +17 & --- & 1 & 78 & 37 \\ +16 & 2 & --- & 68 & 33 \\ +15 & 1 & 1 & 56 & 31 \\ +14 & 3 & --- & 48 & 27 \\ +{.}\, & --- & 2 & 45 & 29 \\ +13 & 2 & 1 & 38 & 25 \\ +12 & 4 & --- & 32 & 21 \\ +{.}\, & 1 & 2 & 29 & 23 \\ +11 & 3 & 1 & 24 & 19 \\ +{.}\, & --- & 3 & 21 & 21 \\ +10 & 5 & --- & 20 & 15 \\ +{.}\, & 2 & 2 & 17 & 17 \\ +9 & 4 & 1 & 14 & 13 \\ +{.}\, & 1 & 3 & 11 & 15 \\ +8 & 6 & --- & 12 & 9 \\ +{.}\, & 3 & 2 & 9 & 11 \\ +{.}\, & --- & 4 & 6 & 13 \\ +7 & 5 & 1 & 8 & 7 \\ +{.}\, & 2 & 3 & 5 & 9 \\ +6 & 4 & 2 & 5 & 5 \\ +{.}\, & 1 & 4 & 2 & 7 \\ +5 & 3 & 3 & 3 & 3 \\ +{.}\, & --- & 5 & --- & 5 \\ +4 & 2 & 4 & 2 & 1 +\end{tabular}} +\end{center}} +\hfill\; + +}%end span of \fboxrule=2pt +\marginpage % *** File: 022.png + +On peut dans les tableaux qui précèdent changer réciproquement +$n$ en $m$, $x$ en $u$, $y$ en $v$. + +IX\@. En représentant une courbe par une équation entre deux +coordonnées ordinaires, on la regarde comme engendrée par le mouvement +d'un point, dont les différentes positions sont données par +l'équation. Soient $p$ et $q$ des fonctions linéaires des deux coordonnées +et +\[ +\psi (p,q) = \Omega = 0, +\] +l'équation d'une courbe quelconque, ou algébrique, ou transcendante. +On sait qu'un point double de la courbe est alors indiqué par les +deux équations suivantes +\[ +\frac{d \Omega}{dp} = 0, \quad \frac{d \Omega}{dq} = 0. +\] +De plus ce point double est, ou l'intersection de deux branches réelles +de la courbe, ou un point conjugué, ou enfin (en général) un point +de rebroussement, selon qu'on a\label{err022} +\[ +\Big( \frac{d^{2}\Omega}{dpdq} \Big)^2\!\! - \frac{d^{2} \Omega}{dp^{2}} \ldot \frac{d^{2} \Omega}{dq^{2}} > 0,\; +\Big( \frac{d^{2}\Omega}{dpdq} \Big)^2\!\! - \frac{d^{2} \Omega}{dp^{2}} \ldot \frac{d^{2} \Omega}{dq^{2}} < 0,\; +\Big( \frac{d^{2}\Omega}{dpdq} \Big)^2\!\! - \frac{d^{2} \Omega}{dp^{2}} \ldot \frac{d^{2} \Omega}{dq^{2}} = 0. +\] + +De ces équations l'on déduit facilement pour les courbes du troisième +degré, le théorème suivant que j'ai démontré avec d'autres +théorèmes semblables, dans un autre endroit: «Les trois asymptotes +étant données, le lieu géométrique des points de rebroussement de +ces courbes est l'ellipse \emph{maximum}, inscrite au triangle formé par les +trois asymptotes; le lieu des points conjugués est l'intérieur, et le +lieu des points doubles, proprement dits, l'extérieur de cette ellipse +{\it maximum}.» + +X. L'équation générale de la ligne droite renferme deux constantes, +que nous supposons y entrer au premier degré seulement. Nous +désignerons deux fonctions linéaires quelconques de ces deux constantes +par $r$ et $s$. Alors des valeurs données de $r$ et $s$ déterminent +une ligne droite unique, et l'équation +\[ +\Psi (r, s) = \Psi = 0, +\] +\marginpage % *** File: 023.png +en y considérant $r$ et $s$ comme variables, représente une courbe: +cette courbe est regardée comme enveloppée par une ligne droite en +mouvement, dont les différentes positions sont données par l'équation +précédente. Pour une tangente double l'équation de la courbe doit +subsister simultanément avec les deux équations suivantes +\[ +\frac{d\Psi}{dr} =0, \quad \frac{d\Psi}{ds}=0 +\] +De plus, cette tangente double touche deux branches réelles de la +courbe, ou elle est isolée de la courbe (conjuguée), ou enfin elle +touche la courbe dans un point d'inflexion, selon qu'on a +\begin{align*} +\Big(\frac{d^2\Psi}{drds}\Big)^2\!\!\! - \frac{d^2\Psi}{dr^2}.\frac{d^2\Psi}{ds^2}>0,\; +\Big(\frac{d^2\Psi}{drds}\Big)^2\!\!\! - \frac{d^2\Psi}{dr^2}.\frac{d^2\Psi}{ds^2}<0,\; +\Big(\frac{d^2\Psi}{drds}\Big)^2\!\!\! - \frac{d^2\Psi}{dr^2}.\frac{d^2\Psi}{ds^2}=0. +\end{align*} + +\vspace{\baselineskip}\hspace*{2em}Paris, 12 mars 1836. + +\jmpafin + +% *** File: 024.png + +\jmpapaperl{SECOND MÉMOIRE}{} +{Sur le développement des fonctions ou parties de fonctions +en séries dont les divers termes sont assujettis à satisfaire +à une même équation différentielle du second ordre +contenant un paramètre variable;} +{Par J. LIOUVILLE} +{} +\label{art4} + +\mysection{I.} + +Dans un premier mémoire sur ce sujet\footnote{% +Tome I\ier\ de ce Journal, page 253.}, +j'ai eu pour but de +trouver par un procédé direct et rigoureux la valeur de la série +\[ +\sum \left(\dfrac{V{\dint_\x^X} gVf(x)dx}{{\dint_\x^X} gV^2dx}\right)\tag{1} +\] +dans laquelle le signe $\sum$ s'étend à toutes les racines réelles et positives +d'une certaine équation transcendante $\varpi (r) = 0$; $V$ est une fonction +de $x$ et du paramètre $r$, assujettie à satisfaire à %[** errata] +la fois à l'équation différentielle +\[ +\dfrac{d\Big(k\dfrac{dV}{dx}\Big)}{dx}+(gr-l)V=0,\tag{2} +\] +dans laquelle les fonctions $g$, $k$, $l$ de $x$ sont supposées positives, et +\marginpage % *** File: 025.png +aux conditions définies +\begin{alignat*}{2} +\dfrac{dV}{dx} &-{} &hV &= 0\qtext{pour} x = \x,\tag{3}\\ +\dfrac{dV}{dx} &+{} &HV &= 0\qtext{pour} x = X:\tag{4} +\end{alignat*} +les coefficients constants $h$, $H$ sont positifs, nuls ou infinis: lorsqu'on +a $h = \infty$, l'équation (3), dont on peut diviser les deux membres +par $h$, se réduit à +\[ +V = 0\qtext{pour} x = \x; +\] +de même, lorsqu'on a $H = \infty$, l'équation (4) se réduit à +\[ +V = 0\qtext{pour} x = X: +\] +enfin $f(x)$ est une fonction arbitraire de $x$, assujettie pourtant aux +conditions suivantes +\begin{alignat*}{2} +\dfrac{df(x)}{dx} &-{} &hf(x) &= 0\qtext{pour} x = \x,\tag{5}\\ +\dfrac{df(x)}{dx} &+{} &Hf(x) &= 0\qtext{pour} x = X.\tag{6} +\end{alignat*} + +La fonction $V$ se présente utilement dans la théorie de la chaleur +et dans une foule de questions physico-mathématiques; et M.~Sturm +en a développé les propriétés avec beaucoup de soin dans ses deux +mémoires sur les équations différentielles et sur les équations aux +différences partielles\footnote{% +Tome I\ier\ de ce Journal, page 106 et page 173.}. +A l'aide de ces propriétés que j'ai moi-même +étudiées dans le mémoire cité plus haut et dans une note particulière, +j'ai fait voir que la valeur de la série (1), lorsque cette série est convergente, +ne peut qu'être égale à $f(x)$, du moins quand la variable $x$ +reste comprise entre les limites x, $X$. Dans cette hypothèse de la convergence +de la série (1) et entre les limites x, $X$ de $x$, on a donc +\[ +f(x) = \sum\left(\dfrac{V{\dint^X_\x} gVf(x)dx}{{\dint^X_\x} gV^2dx}\right)\tag{7} +\] + +\marginpage % *** File: 026.png +L'équation $\varpi(r) = 0$ dont le paramètre $r$ dépend n'a pas de racines +négatives, comme on le reconnaît à l'inspection seule de cette équation. +Elle n'a pas non plus de racines imaginaires; c'est ce que +M.~Poisson a prouvé depuis long-temps par un procédé très ingénieux. +Mais il est bon d'observer que la méthode dont j'ai fait usage pour +sommer la série (1) n'exige en aucune manière la connaissance du +théorème de M.~Poisson. Si l'équation $\varpi(r) = 0$ avait des racines +imaginaires, on n'en tiendrait pas compte dans le second membre de +l'équation (7), et cette équation subsisterait encore et se démontrerait +par la même analyse. Pour l'exactitude de la démonstration que j'en +ai donnée, il suffit en effet que les diverses fonctions $V_1$, $V_2$,\dots\ qui +répondent aux racines réelles et positives $r_1$, $r_2$,\dots\ de l'équation +$\varpi(r) = 0$ jouissent des propriétés que M.~Sturm a reconnu leur appartenir. +Au surplus, la réalité de toutes les racines de l'équation +$\varpi(r) = 0$ résulte des propriétés mêmes de ces fonctions $V_1$, $V_2$,\dots\ +qui répondent aux valeurs réelles et positives du paramètre $r$: c'est +ce que je prouverai à la fin du présent mémoire. + +Si nous revenons à la série (1), nous voyons qu'elle doit être encore +l'objet d'une recherche nouvelle dont l'importance a été signalée par +M.~Sturm dans son dernier mémoire\footnote{% +Tome I\ier\ de ce Journal, page 411.}: +il s'agit de prouver que cette +série (1) est convergente; et j'ai eu le bonheur d'y parvenir il y a +quelque temps, du moins dans le cas très étendu où les fonctions +$g$, $k$, $f(x)$ et leurs dérivées premières et secondes conservent toujours +des valeurs finies, lorsque $x$ croît de x à $X$. Ma démonstration, +quoique très simple, sera sans doute appréciée par les géomètres qui +ont traité des questions semblables et qui savent combien en général +elles offrent de difficultés. Elle consiste à prouver que si l'on désigne +par n un indice très grand, par $u_n$ la valeur absolue du $n$\iieme\ terme de +la série (1) et par $M$ un certain nombre indépendant de $n$ et facile à +calculer, on a $u_n < \dfrac{M}{n^2}$. Or, la série qui a pour terme général $\dfrac{M}{n^2}$ est +convergente; donc à \emph{fortiori} la série (1) l'est aussi, ce qu'il fallait démontrer. +On peut trouver en outre une limite supérieure de l'erreur +\marginpage % *** File: 027.png +commise lorsque l'on prend pour valeur de $f(x)$ les $n$ premiers +termes de la série seulement. + +La convergence de la série +\[ +\sum\left(\dfrac{Ve^{-rt}{\dint^X_\x} gVf(x)dx}{{\dint^X_\x} gV^2dx}\right), +\] +où l'on suppose $t > 0$, et qui représente l'état variable des températures +dans une barre hétérogène, résulte aussi de notre analyse; +cette dernière série est même plus facile à traiter que la série (1), et +c'est par elle que nous commencerons. + +En terminant cette introduction, je dois dire qu'ayant communiqué +mon travail à M.~Sturm, il a trouvé presque sur-le-champ une +seconde démonstration de la convergence de la série (1), aussi simple +que la mienne, et fondée sur ses propres principes. + +\mysection{II.} + +Cherchons d'abord à exprimer en série convergente la fonction $V$, +qui satisfait à l'équation indéfinie (2) et aux conditions définies (3), +(4). Pour cela désignons par $k'$ ce que devient $k$ lorsqu'on y pose +$x = \x$, et faisons +\begin{align*} +p_0&=A\Big(1+hk'\int^x_{\x}\dfrac{dx}{k}\Big),\\ +p_1&=\int^x_{\x}\dfrac{dx}{k}\int^x_{\x}(l-gr)p_0dx,\\ +\multispan{2}{\quad\leaderfill\quad}\\ +p_{n+1}&=\int^x_{\x}\dfrac{dx}{k}\int^x_{\x}(l-gr)p_ndx,\\ +\multispan{2}{\quad\leaderfill\quad} +\end{align*} + + +Quelque soit le paramètre $r$, on satisfait évidemment aux équations +(2) et (3) en posant +\[ +V = p_0 + p_1 + \dotsb + p_n + \dotsb ; +\] +$A$ désigne une constante dont la valeur est tout-à-fait arbitraire, et +\marginpage % *** File: 028.png +que l'on peut prendre égale à l'unité, ou mieux encore égale à $\dfrac{1}{1 + h}$, +pour avoir une expression de $V$ qui convienne même au cas où $h = \infty$. +En adoptant cette dernière valeur de $A$, on a, pour $x = \x$, +\[ +V = \dfrac{1}{1+h},\quad \dfrac{dV}{dx} = \dfrac{h}{1+h}: +\] +en général ces valeurs de $V$ et $\dfrac{dV}{dx}$ sont différentes de zéro; $V$ se +réduit à zéro lorsque $h = \infty$, mais alors $\dfrac{dV}{dx} = 1$; au contraire $\dfrac{dV}{dx}= 0$, +quand $h = 0$, mais alors on a $V = 1$. On voit par là que la fonction +$V$ ne devient identiquement nulle pour aucune valeur déterminée +de $r$, tant que $x$ reste indéterminée. + +La série $p_0 + p_1 + \etc$ est convergente: prenons en effet les divers +termes de cette série, abstraction faite de leurs signes, et désignons +les par $P_0$, $P_1$, etc.; représentons par $P$ et $G$ les valeurs absolues +les plus grandes des deux fonctions $P_0$ et $l - gr$ pour des valeurs +de $x$ croissantes depuis x jusqu'à $X$; représentons aussi par $k_0$ la +plus petite valeur de $k$. En remplaçant partout sous le signe $\int$ (dans +les intégrales multiples $P_0$, $P_1$, etc.) $l - gr$ par $G$, $P_0$ par $P$, $k$ par $k_0$, +les valeurs de ces intégrales augmenteront évidemment. On aura +donc +\begin{align*} +P_1&<\dfrac{GP}{k_0}\ldot \dfrac{(x-\x)^2}{1\ldot 2},\\ +P_2&<\Big(\dfrac{GP}{k_0}\Big)^2\ldot \dfrac{(x-\x)^4}{1\ldot 2\ldot 3\ldot 4},\\ +\multispan{2}{\leaderfill\qquad}\\ +P_n&<\Big(\dfrac{GP}{k_0}\Big)^n\ldot \dfrac{(x-\x)^{2n}}{1\ldot 2\ldot 3\ldots2n},\\ +\multispan{2}{\leaderfill\qquad}\\ +\end{align*} +Or la série qui a pour terme général +\[ +\Big(\dfrac{GP}{k_0}\Big)^n\ldot \dfrac{(x-\x)^{2n}}{1\ldot 2\ldot 3\ldots2n}, +\] +est convergente; donc à \emph{fortiori} les séries $P_0 + P_1 +\etc$ et $p + p_2 +\etc$ +sont aussi convergentes, ce qu'il fallait démontrer. De plus l'erreur +\marginpage % *** File: 029.png +commise, lorsque l'on prend pour $V$ les $n$ premiers termes seulement +de la série, $p_0 + p_1 +\etc$, est plus petite que la quantité +\[ +\Big(\dfrac{GP}{k_0}\Big)\ldot\dfrac{(x-\x)^{2n}}{1\ldot 2\ldot 3\ldots 2n}+\etc %[** errata] +\] +dont il est aisé de trouver une limite supérieure. + +On peut obtenir d'une autre manière une limite supérieure de la +valeur absolue de l'erreur $R_n$ commise en prenant +\[ +V = p_0 + p_1 + \dotsb + p_{n - 1}. +\] +En effet, l'équation (2) et la condition (3) sont satisfaites en posant +\[ +V = p_0 +\int^x_\x\dfrac{dx}{k}\int^x_\x(l-gr)Vdx \tag{8} +\] +Si, dans le second membre de cette équation, on remplace $V$ par sa +valeur que fournit précisément ce même second membre, on trouve +ensuite +\[ +V=p_0+p_1+\int^x_{\x}\dfrac{dx}{k}\int^x_\x(l-gr)dx\int^x_\x\dfrac{dx}{k}\int^x_\x(l-gr)Vdx: +\] +remplaçant de nouveau, dans le second membre, $V$ par sa valeur +(8), et continuant indéfiniment cette opération, conformément à la +méthode connue des approximations successives, on a enfin +\[ +V = p_0 + p_1 + \dotsb + p_{n-1} + R_n, +\] +le reste $R_n$ étant exprimé par l'intégrale multiple +\[ +\int^x_\x\dfrac{dx}{k}\int^x_\x(l-gr)Vdx\ldots \int^x_\x\dfrac{dx}{k}\int^x_\x(l-gr)Vdx, +\] +dans laquelle le signe $\int$ se trouve $2n$ fois. + +La fonction $V$ ne devenant jamais infinie, il est clair qu'elle est +susceptible d'un maximum absolu $W$: en remplaçant, dans l'intégrale +multiple ci-dessus, $V$ par $W$, $l - gr$ par $G$, $k$ par $k_0$, on en +augmentera donc la valeur numérique: d'après cela on a +\[ +R_n<W\ldot \Big(\dfrac{GP}{k_0}\Big)\ldot +\dfrac{(x-{\x})^{2n}} +{1\ldot 2\ldot 3 \ldots 2n}, +\] +\marginpage % *** File: 030.png +ce qu'il fallait trouver et ce qui démontre de nouveau la convergence +de la série $p_0 + p_1 + \etc$ + +Jusqu'ici nous avons laissé le paramètre $r$ indéterminé. Mais si +l'on veut satisfaire à la condition (4), il faudra prendre pour ce paramètre +une quelconque des racines de l'équation +\[ +\frac{dV}{dx} + HV = 0\qtext{pour} x = X, +\] +laquelle, en mettant pour $V$ sa valeur, devient +\[ +\frac{dp_0}{dx} + \frac{dp_1}{dx} + \dotsb + H(p_0 + p_1 + \dotsb ) =0\qtext{pour} x = X: +\] +cette équation est celle que nous avons désignée par +\[ +\varpi(r) =0, +\] +dans notre premier mémoire. Les quantités $p_0$, $p_1$, etc., et leurs +dérivées étant essentiellement positives lorsqu'on prend $r < 0$, il en +résulte que cette équation n'a pas de racines $< 0$. M.~Sturm a +prouvé et tout-à-l'heure nous prouverons aussi qu'elle a un nombre +infini de racines positives $r_1$, $r_2$,\dots\ qui sont de plus en plus grandes +et croissent jusqu'à l'infini. Quant aux racines imaginaires, nous +n'avons pas besoin de nous en occuper pour le moment. + +\mysection{III.} + +On peut transformer l'équation (2) de plusieurs manières et arriver +ainsi à d'autres développements de la fonction $V$. Pour le montrer, +je fais par exemple +\[ +z=\int_\x^x\sqrt{\frac{g}{k}}\ldot dx, +\] +$z$ désignant une nouvelle variable qui croît depuis 0 jusqu'à un certain +maximum $Z = {\dint_\x^X}\sqrt{\dfrac{g}{k}}dx$, lorsque $x$ croît depuis x jusqu'à $X$. +Je prends cette variable $z$, au lieu de $x$, pour variable indépendante, +et l'équation (2) devient +\marginpage % *** File: 031.png +\[ +\frac{d\Big(\sqrt{gk}\ldot\dfrac{dV}{dz}\Big)} {dz} + \Big(r\sqrt{gk}- l\sqrt{\frac{k}{g}}\Big)V = 0, +\] +ou bien +\[ +\sqrt{gk}\ldot\frac{d^2V}{dx^2} + \frac{d\ldot\sqrt{gk}}{dz}\ldot\frac{dV}{dz} +\Big(r\sqrt{gk}- l\sqrt{\frac{k}{g}}\Big)V=0. +\] +Maintenant si l'on pose +\[ +V = \theta U, +\] +$\theta$ étant $= \dfrac{1}{\sqrt[4]{gk}}$, le coefficient de $\dfrac{dU}{dz}$ sera égal à zéro dans l'équation +transformée, laquelle, en faisant $r = \rho^2$, et +\[ +l\sqrt{\frac{k}{g}}\ldot\theta-\frac{d\ldot\sqrt{gk}}{dz}\ldot\frac{d\theta}{dz} - \sqrt{gk}\ldot\frac{d^2\theta}{dz^2} = \sqrt{gk}\ldot\theta\ldot\lambda, +\] +sera de la forme +\[ +\frac{d^2U}{dz^2} + \rho^2U = \lambda U;\tag{9} +\] +quant aux équations (3) et (4), si on leur applique les mêmes transformations, +elles prendront la forme +\begin{alignat*}{2} +\frac{dU}{dz} &-{} &h'U &= 0\qtext{pour} z = 0,\tag{10}\\ +\frac{dU}{dz} &+{} &H'U &= 0\qtext{pour} z = Z,\tag{11} +\end{alignat*} +$h'$, $H'$ désignant deux constantes différentes de $h$, $H$ et qui ne sont +pas assujetties comme ces dernières à la condition d'être positives. + +L'équation (9) étant de même forme que l'équation (2), on pourrait +l'intégrer de la même manière: en désignant par $A$ une constante +arbitraire, et posant $p_0 = A(1 + h'z)$, puis en général +\[ +p_{n+1} = \int_0^zdz\int_0^z(\lambda-\rho^2)p_ndz, +\] +on aurait en série convergente +\[ +V = p_0 + p_1 + \dotsb + p_n + \dotsb +\] +Mais il est préférable de procéder de la manière suivante. +\marginpage % *** File: 032.png + +En multipliant par $\sin \rho zdz$ les deux membres de l'équation (9) +puis intégrant et observant que +\[ +\Big(\sin\rho z\frac{d^2U}{dz^2} + \rho^2U\sin\rho z\Big)dz = d\Big(\sin\rho z\frac{dU}{dz} - \rho U\cos\rho z\Big), +\] +on a +\[ +\sin\rho z\frac{dU}{dz} - \rho U\cos\rho z = A + \int_0^z \lambda U \sin\rho zdz. +\] + +En posant $z = 0$, on trouve la valeur de la constante arbitraire +$A = - \rho U$: la valeur de $U$, pour $z = 0$, est tout-à-fait arbitraire +à moins que l'on ait $h' = \infty$, auquel cas elle est nécessairement nulle, +en excluant d'abord ce cas particulier, nous la supposerons égale à +l'unité, ce qui nous donnera $A = - \rho$; en même temps, nous désignerons +par $\lambda'$, $U'$ ce que deviennent $\lambda$, $U$ lorsqu'on y change $z$ +en $z'$; et nous aurons +\[ +\int_0^z\lambda U\sin\rho zdz = \int_0^z\lambda'U'\sin\rho z'dz'. +\] +L'équation précédente deviendra donc +\[ +\sin\rho z \frac{dU}{dz} - \rho U\cos\rho z = -\rho + \int_0^z\lambda'U'\sin\rho z'dz'.\tag{12} +\] +En multipliant l'équation (9) par $\cos \rho zdz$, intégrant et observant que, +pour $z = 0$, on a [d'après la condition (10)], +\[ +\frac{dU}{dz} = h'U =h', +\] +on obtiendra de même +\[ +\cos\rho z \frac{dU}{dz} + \rho U\sin\rho z =h' + \int_0^z\lambda'U'\cos\rho z'dz'.\tag{13} +\] +Des deux équations (12) et (13), on tire\label{p24eq14} +\[ +U = \cos\rho z + \frac{h'\sin\rho z}{\rho} ++ \frac{1}{\rho}\int_0^z \lambda'U'\sin\rho(z-z')dz',\tag{14} +\] +\marginpage % *** File: 033.png +et +\[ +\frac{dU}{dz}= -\rho\sin\rho z + h'\cos\rho z + \int_0^z \lambda'U'\cos\rho(z-z')dz'.\tag{15} +\] +Si maintenant on change $z$ en $z'$, $U$ se changera en $U'$: on pourra, +dans le second membre de l'équation (14), mettre au lieu de $U'$ sa valeur, +et en continuant ainsi comme au \no II, on obtiendra la valeur +de $U$ exprimée par une série d'autant plus convergente que $\rho$ sera plus +grand. + +\mysection{IV.} + +Lorsque $\rho$ n'est pas très grand, on trouve sans difficulté, par les +méthodes de M.~Sturm, les valeurs de $z$ qui rendent $V$ un maximum +et les valeurs correspondantes de $V$. Il est donc facile de trouver alors +la limite supérieure que nous avons désignée au \no II par la lettre $W$. +Mais l'emploi des méthodes de M.~Sturm étant trop pénible quand $\rho$ +est très grand, voici comment on peut y suppléer. + +Soit $Q$ la plus grande valeur que $U$ puisse prendre lorsque $z$ varie +de $0$ à $Z$, et $L$ la plus grande valeur de $\lambda$ dans le même intervalle; +nous considérons les quantités $Q$ et $L$, abstraction faite de leur signe. +La valeur absolue de l'intégrale +\[ +\int_0^z \lambda'U'\sin\rho(z-z')dz', +\] +dans laquelle $z$ est compris entre $0$ et $Z$, est donc toujours moindre +que $LQ{\dint_0^z}dz'$ et à \emph{fortiori} moindre que $LQZ$. D'un autre côté le +maximum de $\cos\rho z + \dfrac{h'\sin\rho z}{\rho}$ est $\sqrt{1+\Big(\dfrac{h'}{\rho}\Big)^2}$: donc le second +membre de l'équation (10) est constamment plus petit que +\[ +\sqrt{1+\Big(\frac{h'}{\rho}\Big)^2} + \frac{LQZ}{\rho}, +\] +ce qui exige que l'on ait +\[ +Q < \sqrt{1+\Big(\frac{h'}{\rho}\Big)^2} + \frac{LQZ}{\rho}. +\] +\marginpage % *** File: 034.png +Pour des valeurs de $\rho$ plus grandes que $LZ$, il vient donc +\begin{align*} +Q< \frac{\sqrt{1+\Big(\dfrac{h'}{\rho}\Big)^2}} {1-\dfrac{LZ}{\rho}}. +\end{align*} +Lorsque l'on prend le paramètre $\rho$ suffisamment grand et tel que l'on +ait +\begin{align*} +\rho > 2LZ, +\end{align*} +ce que nous admettrons désormais, il vient par conséquent +\begin{align*} +Q&< 2\sqrt{1+\Big(\frac{h'}{\rho}\Big)^2}. +\end{align*} +Mais on a $V = \theta U$, et par suite $V < \Theta Q$, si $\Theta$ désigne le maximum +absolu de $\theta$: donc pour des valeurs de $\rho$ suffisamment grandes, et en +considérant seulement la valeur absolue de $V$, on a + +\begin{align*} +V< 2\Theta\sqrt{1+\Big(\frac{h'}{\rho}\Big)^2}: +\end{align*} +semblablement, si l'on désigne par $F$ ou $F_1$ le maximum d'une fonction +donnée de $x$, savoir, $f(x)$ ou $f_1(x)$, on aura pour de très grandes +valeurs de $\rho$, + +\begin{align*} +V\int_\x^X gVf(x)dx &< 4F\ldot G\ldot\Theta^2\ldot(X-\x)\ldot\Big[1+\Big(\frac{h'}{\rho}\Big)^2\Big],\\ +V\int_\x^X Vf_1(x)dx &< 4F_1\ldot G\ldot\Theta^2\ldot(X-\x)\ldot\Big[1+\Big(\frac{h'}{\rho}\Big)^2\Big]: +\end{align*} +$G$ représente ici, comme au \no II, le maximum de $g$. + +\mysection{V.} + +Occupons-nous maintenant de l'intégrale ${\dint_\x^X} gV^2dx$, qui entre en +\marginpage % *** File: 035.png +dénomin\-ateur dans le terme général de la série (1). En remplaçant la +variable $x$ par la variable $z$, on a +\begin{align*} +\int_\x^X gV^2 dx & = \int_0^Z \left(g\theta^2 \frac{dx}{dz}\right) U^2dz; +\end{align*} +mais, d'après les valeurs de $\theta$ et de $\dfrac{dx}{dz}$, savoir +\begin{align*} +\theta = \frac{1}{\sqrt[4]{gk}},\quad \frac{dx}{dz} = \sqrt{\frac{k}{g}}, +\end{align*} +on a +\begin{align*} +g\theta^2 \frac{dx}{dz} = 1. +\end{align*} +Il vient donc +\begin{align*} +\int_\x^X g^2Vdx = \int_0^Z U^2dz.\tag{16} +\end{align*} +Posons +\begin{align*} +\int_0^z \lambda'U'\sin\rho(z-z')dz' = \epsilon, +\end{align*} +l'équation (14) prendra la forme +\begin{align*} +U = \cos\rho z + \frac{h'\sin\rho z}{\rho} + \frac{\epsilon}{\rho};\tag{17} +\end{align*} +il est clair que pour des valeurs de $\rho$ suffisamment grandes la fraction +$\dfrac{\epsilon}{\rho}$ devient plus petite que tout nombre donné, et il est même +aisé de se convaincre qu'elle possède alors une valeur numérique +inférieure à +\begin{align*} +\frac{2LZ}{\rho}\sqrt{1+ \Big(\frac{h'}{\rho}\Big)^2}. +\end{align*} +Maintenant, en mettant an lieu de $U$ sa valeur, l'équation (16) devient +\begin{align*} +\int_\x^X gV^2dx = \int_0^Z dz \Big(\cos\rho z + \frac{h'\sin\rho z}{\rho} + \frac{\epsilon}{\rho}\Big)^2. +\end{align*} +\marginpage % *** File: 036.png +comme on a d'ailleurs +\begin{align*} +\int_0^Z \cos^2\rho zdz = \frac{Z}{2} + \frac{\sin2\rho Z}{4\rho},\\ +\int_0^Z \sin^2\rho zdz = \frac{Z}{2} - \frac{\sin2\rho Z}{4\rho}, +\end{align*} +il en résulte que l'intégrale ${\dint_\x^X} gV^2dx$ a une valeur de la forme +\begin{align*} +\int_\x^X gV^2 dx = \frac{Z}{2}\Big[1 + \Big(\frac{h'}{\rho}\Big)^2\Big] + \frac{\eta}{\rho}, +\end{align*} +$\dfrac{\eta}{\rho}$ représentant une quantité que l'on rendra aussi petite que l'on +voudra et par exemple plus petite que la moitié du premier terme +\begin{align*} +\frac{Z}{2}\Big[1 + \Big(\frac{h'}{\rho}\Big)^2\Big], +\end{align*} +en prenant $\rho$ suffisamment grand: pour des valeurs de $\rho$ très grandes, +on a donc +\begin{align*} +\int_\x^X gV^2 dx > \frac{Z}{4}\Big[1 + \Big(\frac{h'}{\rho}\Big)^2\Big]. +\end{align*} + +\mysection{VI.} + +Revenons maintenant aux formules (14) et (15), lesquelles peuvent +s'écrire ainsi +\begin{align*} +U &= \cos\rho z\Big(1-\frac{1}{\rho}\int_0^z \lambda'U'\sin\rho z'dz'\Big)\\ +&\qquad\qquad+ \sin\rho z\Big(\frac{h'}{\rho}+\frac{1}{\rho}\int_0^z \lambda'U'\cos\rho z'dz'\Big),\\ +\frac{dU}{dz} &= -\sin\rho z\Big(\rho-\int_0^z \lambda'U'\sin\rho z'dz'\Big)\\ +&\qquad\qquad+ \cos\rho z\Big(h'+\int_0^z \lambda'U'\cos\rho z'dz'\Big): +\end{align*} +nous en déduirons aisément la valeur de $\dfrac{dU}{dz} + H'U$ relative à $z = Z$, +\marginpage % *** File: 037.png +et en égalant cette valeur à zéro (conformément à la condition (11)), +nous aurons l'équation dont les valeurs de $\rho$ dépendent. En posant +\begin{align*} +P &= h' +H' + \int_0^Z \lambda'U'\Big(\cos\rho z' - \frac{H'\sin\rho z'}{\rho}\Big)dz',\\ +P' &= \frac{H'h'}{\rho} + \int_0^Z \lambda'U' \Big(\frac{H'\cos\rho z'}{\rho} + \sin\rho z'\Big)dz', +\end{align*} +cette équation sera +\begin{align*} +P\cos\rho Z - (\rho-P')\sin\rho Z =0, +\end{align*} +d'où l'on tire +\begin{align*} +\tang\rho Z &= \frac{P}{\rho-P'}:\tag{18} +\end{align*} +$P$ et $P'$ sont deux fonctions de $\rho$, la première paire, la seconde +impaire: les racines de l'équation (18) sont donc deux à deux +égales et de signes contraires, ce qui doit être, puisque l'on a posé +$r = \rho^2$, d'où résulte $\rho = \pm \sqrt{r}$: il est aisé de voir en outre que +l'équation (18) a une infinité de racines réelles: on s'en convaincra +en regardant $\rho$ comme une abscisse variable, et construisant les +deux courbes qui ont respectivement pour équations $y = \tang \rho Z$, +$y = \dfrac{P}{\rho - P'}$, courbes dont la seconde a pour asymptote l'axe des abscisses. + +Les grandes valeurs de $\rho$ ou $\sqrt{r}$ s'obtiennent sans difficulté puisque +l'équation (18) résolue donne +\begin{align*} +\rho Z &= (n-1)\pi + \arctang\frac{P}{\rho-P'}, +\end{align*} +$n$ désignant un nombre entier quelconque que nous supposerons très +grand. Cette expression générale de $\rho$ fournit, à très peu près, +\begin{align*} +\rho\qtext{ou} \sqrt{r} = \frac{(n-1)\pi}{Z}, +\end{align*} +ou plus exactement, +\begin{align*} +\rho\qtext{ou} \sqrt{r} = \frac{(n-1)\pi}{Z} + \frac{P_0}{(n-1)\pi}, +\end{align*} +\marginpage % *** File: 038.png +$P_0$ étant $= h'+H'+\dfrac{1}{2}{\dint^Z_0}\lambda dz$. Je ne m'arrêterai pas à démontrer +cette dernière formule dont nous n'aurons jamais besoin. + +En général les grandes valeurs de $\sqrt{r}$ sont de la forme +\[ +\rho\qtext{ou}\sqrt{r}=\dfrac{(n-1)\pi}{Z} + i_n, +\] +$i_n$ désignant une très petite quantité. Quand on donne à $n$ une valeur +déterminée très grande, la racine correspondante est précisément la +$n$\iieme\ des racines $r_1$, $r_2$,\dots\ rangées par ordre de grandeur. Pour +constater ce fait, il suffit d'observer que lorsque $\rho$ est très grand +\Big(auquel cas on a à très peu près $\rho=\dfrac{(n-1)\pi}{Z}$\Big), $U$ se réduit sensiblement +à +\[ +U=\cos\rho z = \cos\frac{(n-1)\pi z}{Z}: +\] +par suite $V$ devient +\[ +V=\frac{1}{\sqrt[4]{gk}}\cos\frac{(n-1)\pi z}{Z}, +\] +et s'évanouit précisément $(n - 1)$ fois lorsque $z$ croît de 0 à $Z$, c'est-à-dire +lorsque $x$ croît de x à $X$. En vertu d'un théorème de M.~Sturm, +cette valeur de $V_n$ est donc celle qui répond à la $n$\iieme\ racine $r_n$. D'après +cette démonstration qu'il serait aisé de rendre plus rigoureuse +en tenant compte des quantités infiniment petites qui ont été négligées, +on a pour un indice $n$ très grand\label{p30eqrn} +\[ +\sqrt{r_n}=\frac{(n-1)\pi}{Z}+i_n=\frac{3n}{Z}+\frac{(\pi -3)n}{Z}-\frac{\pi}{Z}+i_n, +\] +et par suite +\[ +\sqrt{r_n} > \frac{3n}{Z}, +\] +puisque $\pi$ est $> 3$, et que $- \dfrac{\pi}{Z} + i_n$, n'a jamais une valeur considérable. +De là résulte finalement +\[ +r_n > \frac{9n^2}{Z^2}. +\] + +\marginpage % *** File: 039.png +\mysection{VII.} + +En combinant ensemble les deux inégalités +\[ +V\int^X_\x gV f(x)dx<4F \ldot G \ldot \Theta^2.(X-{\x})\Big[1+\Big(\dfrac{h'}{\rho}\Big)^2\Big], +\] +\[ +\int^X_\x gV^2dx>\dfrac{Z}{4}\Big[1+\Big(\dfrac{h'}{\rho}\Big)^2\Big], +\] +que nous avons obtenues l'une au \no IV, l'autre au \no V, il vient +\[ +\dfrac{V{\dint^X_\x} gV(f(x)dx}{{\dint^X_\x} gV^2dx}<\frac{16\ldot F \ldot G \ldot \Theta^2\ldot (X-\x)}{Z}: +\] +le terme général de la série formant le second membre de l'équation +\[ +u=\sum\left(\dfrac{V e^{-rt} {\dint^X_\x} gV(f(x)dx}{{\dint^X_\x} gV^2dx}\right)\tag{19}, +\] +a donc une valeur absolue plus petite que +\[ +\dfrac{16 F \ldot G \ldot \Theta^2\ldot (X-\x)e^{-rt}}{Z}: +\] +or, quand on suppose $t > 0$, la série qui a pour terme général cette +dernière quantité est évidemment convergente: donc à \emph{fortiori} la +série (19) est aussi convergente. + +Lorsqu'on a $t = 0$, la série (19) se change dans la série (1), et il +faut une autre démonstration. En multipliant par $f(x)$ les deux +membres de l'équation (2), on en déduit +\[ +gVf(x)dx=\frac{1}{r}lVf(x)dx-\frac{1}{r}\ldot d\Big(k\dfrac{dV}{dx}\Big): +\] +\marginpage % *** File: 040.png +intégrant ensuite à partir de $x = \x$ jusqu'à $x = X$, il vient +\begin{align*} +\int_\x^X gVf(x)dx = \frac{1}{r}\int_\x^X lVf(x)dx - \frac{1}{r}\int_\x^X f(x)d\Big(k\frac{dV}{dx}\Big).\tag{20} +\end{align*} +Une double intégration par parties donne +\begin{align*} +\int f(x)d\Big(k\frac{dV}{dx}\Big) &= k\Big(f(x)\frac{dV}{dx} - V \frac{df(x)}{dx}\Big)\\ +&\qquad\qquad+ \int Vd\Big(k\frac{df(x)}{dx}\Big). +\end{align*} +Mais à la limite x de $x$ on a +\begin{align*} +\frac{dV}{dx}-hV=0, \qquad\frac{df(x)}{dx} - hf(x)=0, +\end{align*} +d'où résulte, en éliminant $h$, +\begin{align*} +f(x)\frac{dV}{dx} - V \frac{df(x)}{dx} =0; +\end{align*} +\label{err040}cette même quantité +\begin{align*} +f(x)\frac{dV}{dx} - V \frac{df(x)}{dx} %[** errata] +\end{align*} +est nulle aussi à l'autre limite $X$ par une raison semblable. D'après +cela, on obtient +\begin{align*} +\int_\x^X f(x)d\Big( k\frac{dV}{dx}\Big) = \int_\x^X Vd \Big(k\frac{df(x)}{dx}\Big), +\end{align*} +moyennant quoi l'équation (20) se réduit à +\begin{align*} +\int_\x^X gVf(x)dx = \frac{1}{r} \int_\x^X Vf_1(x)dx, +\end{align*} +$f_1(x)dx$ représentant la fonction +\begin{align*} +lf(x)dx - d \Big(k\frac{df(x)}{dx}\Big). +\end{align*} +\marginpage % *** File: 041.png +Le terme général de la série (1) peut donc être mis sous la forme +\begin{align*} +\frac{V {\dint_\x^X} Vf_1(x)dx} {r{\dint_\x^X} gV^2dx}: +\end{align*} +en supposant que ce terme général soit le $n$\iieme\ ($n$ étant un indice très +grand) et désignant par $u_n$ sa valeur absolue, il suffira maintenant +de combiner les inégalités +\begin{align*} +V \int_\x^X Vf_1(x)dx &< 4F_1\ldot G\ldot\Theta^2\ldot(X-{\x})\Big[1+\Big(\frac{h'}{\rho}\Big)^2\Big], \\ +\int_\x^X gV^2dx &>\frac{Z}{4}\Big[1+\Big(\frac{h'}{\rho}\Big)^2\Big], \quad r_n > \frac{9n^2}{Z^2}, +\end{align*} +et de poser +\[ +\frac{16F_1\ldot G\ldot\Theta^2\ldot({X}-{\x})}{9}=M, +\] +pour en conclure $u_n < \dfrac{M}{n^2}$. Or la série qui a pour terme général $\dfrac{M}{n^2}$ +est convergente: donc la série (1) l'est aussi, ce qu'il fallait prouver. +De plus l'erreur commise en égalant $f(x)$ à la somme des n premiers +termes de cette série est moindre que +\begin{align*} +M\sum \Big(\frac{1}{\mu^2}\Big), +\end{align*} +quantité dont il est aisé de trouver une limite supérieure et dans laquelle +$\mu$ prend successivement toutes les valeurs entières comprises +entre $n$ et $\infty$. + +La valeur de $u$ fournie par la série placée au second membre de +l'équation (19) représente au bout du temps $t$, dans une barre hétérogène, +la température du point dont l'abscisse est $x$\footnote{% +Tome I\ier\ de ce Journal, page 411.}. +La vitesse +de refroidissement $- \dfrac{du}{dt}$ est donc exprimée par la série +\begin{align*} +\sum \left[\frac{Ve^{-rt}\ldot r\ldot{\dint_\x^X} gVf(x)dx} {{\dint_\x^X} gV^2dx}\right]. +\end{align*} +\marginpage % *** File: 042.png +Pour des valeurs positives de $t$, la convergence de cette série résulte +évidemment de l'analyse précédente. + +On démontrerait de la même manière la convergence des deux +séries +\begin{align*} +\sum \frac{V \cos(t\sqrt{r}){\dint_\x^X} gVf(x)dx} {{\dint_\x^X} gV^2dx},\qquad +\sum \frac{V \sin(t\sqrt{r}){\dint_\x^X} gVf(x)dx} {{\dint_\x^X} gV^2dx}, +\end{align*} +qui servent à résoudre plusieurs problèmes de mécanique. + +Nous avons dans tout ce qui précède considéré les deux constantes +$h'$, $H'$ comme ayant des valeurs finies. Quand une d'elles est infinie, +on doit donc un peu modifier notre analyse; mais les modifications +qu'il faut y apporter sont tellement légères que je regarde comme +entièrement inutile de les développer ici. + +\mysection{VIII.} + +Revenons maintenant à l'équation $\varpi(r) = 0$ qui détermine le paramètre +$r$, et prouvons que cette équation a toutes ses racines réelles. +Pour cela rappelons un lemme que j'ai démontré dans mon premier +mémoire\footnote{% +Tome I\ier\ de ce Journal, page 261.}, +et que l'on peut énoncer ainsi: \emph{soit $V_n$ une quelconque +des fonctions $V_1$, $V_2$, etc., qui se déduisent de $V$ en y remplaçant +$r$ successivement par les racines réelles $r_1$, $r_2$, etc., de +l'équation $\varpi(r) = 0$: si une fonction $\phi(x)$ est telle qu'on ait} +\begin{align*} +\int_\x^X V_n\phi(x)dx = 0,\tag{21} +\end{align*} +\emph{l'indice $n$ restant indéterminé, cette fonction $\phi(x)$ sera égale à zéro +pour toutes les valeurs de $x$ comprises entre $\x$ et $X$}. + +Ce lemme ne cesse pas d'être exact quand la fonction $\phi(x)$ est +imaginaire et de la forme \label{err042}$f(x) + \sqrt{-1}\ldot F(x)$; car alors l'équation +\marginpage % *** File: 043.png +(21) se décompose dans les deux suivantes +\begin{align*} +\int_\x^X V_nf(x)dx = 0, \qquad \int_\x^X V_nF(x)dx = 0, +\end{align*} +qui donnent séparément $f(x) = 0$, $F(x) = 0$ et par suite $\phi(x) = 0$. + +Maintenant soit, s'il est possible, $r'$ une racine imaginaire de l'équation +$\varpi(r) = 0$ et $V'$ la valeur de $V$ correspondante: aucune des +différences $r' - r_1$, $r' - r_2$,\dots\ ne sera nulle: par une formule connue +on aura donc, quel que soit l'indice $n$, +\begin{align*} +\int_\x^X gV'V_ndx = 0, +\end{align*} +d'où l'on conclura $gV' = 0$, et par suite $V' = 0$, pour toutes les valeurs +de $x$ comprises entre x et $X$. Or cela est absurde: en effet on +peut toujours se donner arbitrairement et supposer, par exemple, égale +à l'unité, pour $x = \x$, soit la valeur de $V'$, soit celle de $\dfrac{dV'}{dx}$, ces deux +valeurs étant assujetties à la seule relation $\dfrac{dV'}{dx} - hV' = 0$; d'où il +résulte que pour des valeurs de $x$ très rapprochées de x et un peu +plus grandes, la fonction $V'$ est différente de zéro. Donc l'équation +$\varpi(r) = 0$ n'a pas de racines imaginaires, C. Q. F. D. + +\jmpafin + +% *** File: 044.png + +\jmpapaper{}{} +{Extrait d'une lettre de \emph{\sc M.~Terquem} à \emph{\sc M.~Liouville}.}{}{} +\label{art5} + +«Il me semble que dans la discussion générale des courbes du second +ordre, nos auteurs élémentaires négligent à tort un cas assez important: +c'est celui où $B^2 - 4AC$ devient $\pm\infty$: alors l'ellipse se réduit +à une droite de grandeur finie ou à deux droites parallèles, et l'hyperbole +à une droite illimitée ou à deux droites parallèles. On a +égard à cette réduction dans la \emph{Mécanique Céleste} (liv.~II, p.~197, +à la fin du \no 27). Elle se présente aussi dans la discussion de la surface +qu'on obtient, lorsque dans l'équation générale en $x$, $y$, on +considère les cinq coefficients comme des fonctions données d'une troisième +variable. Quelles que soient ces fonctions, les sections parallèles +au plan $xy$, sont des coniques dont la construction exige que l'on +admette l'équation $B^2 - 4AC = \pm\infty$. L'omission de cette équation +entraîne d'autres imperfections: ainsi l'on dit que la parabole est la +limite d'une ellipse variable qui a un sommet et un foyer voisin +fixes, et dont le centre décrit une droite en s'éloignant du foyer fixe; +mais si le centre s'en approche, en prenant la direction opposée, on +obtient successivement un cercle, une droite limitée, une hyperbole +qui coupe la parabole limite, ensuite une droite tangente à cette parabole, +et finalement une série d'hyperboles extérieures à la parabole +et qui vont sans cesse en se rétrécissant et finissent par se confondre +avec cette courbe, de sorte que la parabole doit être considérée +comme ayant à l'infini deux centres, l'un dans son intérieur et l'autre +à l'extérieur. Cette considération est souvent utile pour se rendre +compte de diverses transitions de fonctions: on peut s'en servir aussi +pour démontrer que des deux paramètres qui correspondent à un +système de diamètres conjugués, l'un reste fini et l'autre devient infini +lorsque l'ellipse ou l'hyperbole deviennent des paraboles; on ne +démontre ordinairement cette proposition que pour les axes principaux.» + +Paris, 4 octobre 1836. + +\jmpafin + +% *** File: 045.png + +\jmpapaperl{NOTE} +{SUR LES ÉQUATIONS INDÉTERMINÉES DU SECOND DEGRÉ.} +{Formules d'Euler pour la résolution de l'équation $Cx^2 \pm A = y^2$.---Leur identité avec celles des algébristes +indiens et arabes.---Dém\-onstration géométrique de ces +formules.} +{Par M.~CHASLES.}{} +\label{art6} + + +L'un des faits les plus étonnants que nous présente l'histoire des +sciences, et l'un des plus importants, comme monument de l'ancienne +civilisation de l'Orient, est sans contredit la résolution des équations +indéterminées du deuxième degré, que contient le traité d'algèbre de +Brahmegupta\footnote{% +\emph{Algebra, with arithmetic and mensuration, from the sanscrit, of Brahmegupta +and Bhascara, translated by Colebrooke}, in-4\up{o}, 1817.}. + +Diophante, dont les six livres de \emph{Questions arithmétiques} qui nous +sont parvenus, roulent sur l'analyse indéterminée, a résolu beaucoup +d'équations du second degré, à deux ou plusieurs inconnues. Dans +toutes, ce grand analyste de l'école d'Alexandrie a montré beaucoup +d'adresse et de génie; mais ses solutions sont diverses, appropriées à des +questions particulières, et ne mettent pas sur la voie des méthodes +générales dont cette partie de l'analyse était susceptible. Aussi a-t-il +fallu en quelque sorte a créer de nouveau dans les temps modernes. +Fermat en est regardé comme le premier inventeur; et les questions +qu'il a proposées ou résolues, mais dont malheureusement les solutions +\marginpage % *** File: 046.png +ne nous sont pas parvenues, ont depuis occupé les plus célèbres +géomètres. + +La question qui paraît être plus particulièrement l'origine de la +théorie des équations indéterminées du second degré, est celle de +trouver les valeurs de $x$, rationnelles, en nombres entiers, qui rendent +le binome $Cx^2 + 1$ un carré, ou en d'autres termes, c'est de +résoudre l'équation $Cx^2 + 1 = y^2$, en valeurs rationnelles et entières +de $x$ et de $y$. + +Cette question avait été proposée, en quelque sorte comme défi, +aux géomètres anglais. Lord Brouncker et Wallis la résolurent, en +donnant à $x$ et à $y$ des expressions générales de la forme $\dfrac{2m}{m^2-c}$, et +$\dfrac{m^2+c}{m^2-c}$. Frénicle trouva aussi cette solution. Et Ozanam, ainsi que +Prestet, la donnèrent comme ayant été celle de Fermat. + +Mais ces géomètres n'aperçurent pas toute l'importance de l'équation +$Cx^2 + 1 = y^2$, qui était indispensable pour la résolution en +nombres entiers, de l'équation plus générale $Cx^2 \pm A = y^2$, à laquelle +se ramène la résolution de toutes les autres équations indéterminées +du second degré. C'est à Euler qu'est due cette double remarque, qui +a été l'origine des progrès de l'analyse indéterminée. Cependant «il +est naturel de croire que Fermat, qui s'était principalement occupé +de la théorie des nombres entiers, sur lesquels il nous a d'ailleurs +laissé de très beaux théorèmes, avait été conduit au problème dont il +s'agit (la résolution de l'équation $Cx^2 + 1 = y^2$) par les recherches +qu'il avait faites sur la résolution générale des équations de la forme +$Cx^2 + A = y^2$, auxquelles se réduisent toutes les équations du second +degré à deux inconnues\footnote{% +Nous citons ici textuellement les paroles de Lagrange (parag.~VIII, des +\emph{Additions aux Éléments d'Algèbre} d'Euler).}.» +Mais la perte des manuscrits de Fermat +a retardé de près d'un siècle la résolution des équations indéterminées +du second degré, qui est due à Euler, et que Lagrange a +complétée aussitôt, en ce qui regarde la condition de nombres entiers. + +La solution d'Euler pour l'équation +\begin{align*} +Cx^2 + A = y^2 +\end{align*} +\marginpage % *** File: 047.png +suppose, d'une part, que l'on connaisse un premier système de racines +$x'$, $y'$, de cette équation, et ensuite qu'on sache résoudre l'équation +\begin{align*} +Cx^2 + 1 = y^2. +\end{align*} +Soient $a$ et $b$ les racines de cette équation: les expressions des racines +de la proposée seront +\begin{align*} +x &= ay' + bx',\\ +y &= Cax' + by'. +\end{align*} +Telle est la solution qu'Euler a obtenue par des considérations analytiques. + +Eh bien! cette solution, dont aucune trace ne s'est trouvée dans +Diophante, qui a échappé aux recherches d'habiles géomètres modernes +pendant près d'un siècle, et qui enfin a fait honneur au grand +Euler, cette solution, dis-je, se trouve dans les ouvrages indiens, +depuis plus de douze siècles, et a probablement une origine encore +plus reculée. On conçoit d'après cela, qu'un célèbre analyste ait pu +dire dernièrement, que si les ouvrages mathématiques hindous que +de savants orientalistes de l'Angleterre nous ont fait connaître depuis +une vingtaine d'années, eussent été apportés en Occident 60 ou 80 +ans plus tôt, «leur apparition, même après la mort de Newton et +du vivant d'Euler, aurait pu hâter parmi nous les progrès de l'analyse +algébrique\footnote{% +\emph{Histoire des Sciences mathématiques en Italie}, t.~I\ier\ p.~133.}.» + +Bien que la solution des géomètres indiens soit la même que celle +d'Euler, on verra peut-être avec intérêt sous quelle forme ils la présentent. +Elle fait l'objet, dans l'ouvrage de Brahmegupta, de deux +règles seulement, qui y sont énoncées de la manière la plus concise +et la plus générale. En voici le sens, exprimé en langage algébrique: + +Première règle. Pour la résolution de l'équation +\begin{align*} +Cx^2 + 1 =y^2. +\end{align*} + +\marginpage % *** File: 048.png +\emph{On prend un système de racines de l'équation} +\begin{align*} +Cx^2 \pm A = y^2, +\end{align*} +\emph{où $A$ est indéterminé; soient $l$ et $g$ ces racines, de sorte que l'on ait} +$Cl^2 \pm A = g^2$, \emph{les racines de la proposée seront} +\begin{align*} +y = \frac{Cl^2 + g^2 }{A},\qtext{et}x = \frac{2lg }{A}. +\end{align*} +Remplaçant $A$ par $g^2 - Cl^2$, et faisant $l = 1$, on aura précisément +les expressions trouvées par Fermat, Brouncker, etc. + +Seconde règle. Pour la résolution de l'équation +\begin{align*} +Cx^2 \pm A = y^2, +\end{align*} +quand on connaît un premier système de racines $L$, $G$ de cette +équation: + +\emph{On prend un système de racines de l'équation} +\begin{align*} +Cx^2 + 1 = y^2; +\end{align*} +\emph{soient $l$ et $g$ ces racines;} + +\emph{Les expressions générales des racines de la proposée seront} +\begin{align*} +x &= Lg + lG,\\ +y &= CLl + Gg\footnotemark +\end{align*} +\footnotetext{% +Pour donner un exemple du style et de la forme des ouvrages mathématiques +des Indiens, qui sont encore peu connus, nous rapportons ici le texte +même de Brahmegupta, suivant la traduction de M.~Colebrooke. On y verra +combien il serait difficile de les comprendre, si des applications numériques ne +venaient au secours du lecteur. + +La résolution des équations indéterminées du second degré, est l'objet des +sections VI et VII de l'algèbre de Brahmegupta, appelée \emph{Cuttaca}. + +Dans la section VI, intitulée: \emph{Equation involving a factum}, on résout l'équation +$Ax + By + C = Dxy$. + +La règle est ainsi énoncée, dès le début et sans aucune explication préliminaire: + +«61. Rule: The (product of) multiplication of the factum and absolute +number, added to the product of the (coefficients of the) unknown, is divided by +an arbitrarily assumed quantity. Of the arbitrary divisor and the quotient, +whichever is greatest is to be added to the least (coefficient), and the least to +the greatest. The two (sums) divided by the (coefficient of the) factum are +reversed.» + +Ce qui signifie que les racines de l'équation proposée sont de la forme +\begin{align*} +y &= \frac{A + n }{D},\\ +x &= \frac{B + \dfrac{C\ldot D + A\ldot B }{n }}{D}. +\end{align*} +La section VII, où l'on résout l'équation $Cx^2 \pm A = y^2$, est intitulée: \emph{Square +affected by coefficient}, et commence ainsi: + +«65-66. Rule: A root (is set down) two-fold, and (another, deduced) from +the assumed square multiplied by the multiplier, and increased or diminished +by a quantity assumed. The product of the first (pair), taken into the multiplier, +with the product of the last (pair) added, is a ``last'' root. The sum +of the products of oblique multiplication is a ``first'' root. The additive is the +product of the like additive or subtractive quantities. The roots (so found), +divided by the (original) additive or subtractive quantity, are (roots answering) +for additive unity.» + +Puis vient un exemple numérique, et ensuite la seconde règle, que voici: + +«68. Rule: Putting severally the roots for additive unity under roots for +the given additive or subtractive, ``last'' and ``first'' roots (thence deduced +by composition) serve for the given additive or subtractive.» + +Nous avons donné ci dessus le sens de ces deux règles, dont la première s'applique +à l'équation $Cx^2 + 1 = y^2$, et la seconde à l'équation $Cx^2 \pm A = y^2$. + +Les mots entre parenthèses, dans le texte anglais, ont été ajoutés par M.~Colebrooke. +On voit quelle difficulté présentait, par sa concision extrême, le texte +original. + +Bhascara est moins concis que Brahmegupta, il dit en plusieurs paragraphes +ce que celui-ci avait exprimé en un seul; mais il n'est guère plus intelligible. +Nous parlerons dans un autre écrit des différences notables, sous le rapport +scientifique, que nous avons remarquées dans la partie géométrique des deux +ouvrages, et qui nous portent à regarder Brahmegupta comme ayant été supérieur +à Bhascara, qui n'est, par rapport à lui, qu'un scoliaste qui ne l'a pas +toujours compris.} +\marginpage % *** File: 049.png + +Après ces deux règles, qui sont identiques à la solution d'Euler, +Brahmegupta donne plusieurs règles particulières pour les cas où $A$ +et $C$ sont des carrés, ou bien sont le produit de carres par d'autres +nombres. Et il résout ensuite plusieurs équations doubles. + +\marginpage % *** File: 050.png +En parlant des géomètres qui, après Diophante, et depuis Fermat +jusqu'à Lagrange, ont concouru au perfectionnement de l'analyse +indéterminée, nous nous sommes renfermé dans les citations historiques +que l'on a coutume de faire au sujet de cette partie de l'algèbre. +Mais il paraît qu'on a toujours commis sur ce point une omission, +qu'il est d'autant plus à propos de réparer ici, en parlant de +l'analyse indienne, que cette omission porte précisément sur une +solution qui nous paraît dériver des ouvrages hindous; solution qui +aurait suppléé ces ouvrages, et aurait mis aussitôt sur la voie des +découvertes réservées à Euler les géomètres qui en auraient eu connaissance. +Nous voulons parler de quelques questions d'analyse indéterminée, +résolues par Fibonacci (appelé communément Léonard de +Pise) dans son traité d'algèbre, ouvrage original, resté manuscrit au +grand regret des géomètres. Ces questions ont été reproduites par +Lucas de Burgo, dans sa \emph{Summa de Arithmetica, Geometria, etc}., +et par Cardan dans son traité d'Arithmétique\footnote{% +Viète est le premier qui ait démontré les formules de Fibonacci, pour l'équation +$x^2 + y^2 = A$, au commencement du livre IV, de ses \emph{Zététiques}. Peu +de temps après, Alexandre Anderson s'est occupé de la même question; mais +seulement pour donner une démonstration géométrique des formules de Diophante.}. + +Celle qui se rapporte à l'équation $Cx^2 \pm A = y^2$, et qui en contient +virtuellement la solution donnée par Euler, est celle-ci: \emph{étant donnés +deux nombres carrés, diviser leur somme en deux autres nombres +carrés}, ou en d'autres termes + +\emph{Résoudre en nombres rationnels, l'équation} +\[ +x^2 + y^2 = A, +\] + +\marginpage % *** File: 051.png + +\emph{quand on connaît un premier système de racines, $x'$, $y'$ de cette +équation}. + +On prendra deux nombres quelconques $a$, $b$, dont la somme des +carrés, soit un carré $c^2$; ce qui peut se faire d'une infinité de manières. +[Le premier nombre $a$ étant pris arbitrairement, le second +sera de la forme $\dfrac{1}{2}\Big(\dfrac{a^2}{n} - n\Big)\Big]$. + +On a donc +\begin{flalign*} +&&x'^2 + y'^2 &= A,& \\ +&\text{et} \\ +&&a^2 + b^2 &= c^2. +\end{flalign*} + +D'après cela, les expressions générales des racines de l'équation +proposée seront +\begin{align*} +x& = \dfrac{ay' + bx' }{c},\\ +y &= \dfrac{ax' - by' }{c}. +\end{align*} +Telle est la solution rapportée sans démonstration et appliquée à +plusieurs exemples numériques par Lucas de Burgo et Cardan\footnote{% +Lucas de Burgo et Cardan annoncent que cette solution est de Léonard +de Pise; et le premier ajoute qu'elle se trouve dans sou \emph{Traité des nombres +carrés}, et qu'elle y est démontrée \emph{par la considération des figures géométriques}. +Ce traité, malheureusement, n'existe plus (Montucla, \emph{Histoire des Mathématiques}, +t.~II, \emph{Additions}, p.~715). M.~Cossali l'a rétabli avec succès, d'après les +fragments qui s'en trouvent dans Lucas de Burgo (Colebrooke, \emph{Brahmegupta and +Bhascara, Algebra}, Dissertation; p.~LVII). Mais il n'a pas rétabli la démonstration +géométrique. (Voir \emph{Origine, trasporto in Italia, primi progressi in essa +dell' Algebra}, t.~I\ier, ch.~V, p.~96). + +M.~Colebrooke, en parlant des questions d'analyse indéterminée, traitées par +Lucas de Burgo, cite un passage de la \emph{Summa de Arithmetica}, où il est question +de Fibonacci; mais ce n'est pas celui où est résolue l'équation $x^2 + y^2 = A$, +et où il est dit que Fibonacci employait des considérations de géométrie. M.~Colebrooke +paraît n'avoir pas remarqué ce passage, ni, surtout, l'analogie que présentent +les formules de Fibonacci avec celles de Brahmegupta.}. + +Ces formules auraient dû attirer l'attention des analystes, ne fût-ce +\marginpage % *** File: 052.png +que par la différence qu'elles présentent avec la solution de Diophante. +Celle-ci en effet, exposée algébriquement et sous la forme la +plus générale, conduit aux formules suivantes +\begin{align*} +x &= \dfrac{(n^2 - 1)x' + 2ny'}{n^2 + 1},\\ +y &= \dfrac{2nx' - (n^2 - 1)y'}{n^2 + 1}, +\end{align*} +qui ne contiennent qu'une indéterminée $n$, et qui, ne faisant point +usage de l'équation auxiliaire $a^2 + b^2 = c^2$, ne sont pas propres à la +solution de la question en nombres entiers. On voit donc quel avantage +présentaient les formules des géomètres italiens. + +On reconnaît, à la première vue de ces formules, toute leur analogie +avec celles d'Euler et de Brahmegupta, dont elles ne sont qu'un +cas particulier. Mais ce qu'il y a de remarquable c'est que, de ce cas +particulier, on peut s'élever naturellement et sans aucune difficulté +au cas général, ainsi que nous le verrons, de sorte que cette équation, +si elle avait fixé les regards des géomètres, les aurait conduits +depuis long-temps à la solution générale, propre à la condition de +nombres entiers, telle que nous la trouvons chez les Indiens, et telle +que Euler l'a découverte dans le siècle dernier. + +Nous avons dit que cette solution de Lucas de Burgo et de Cardan, +nous paraissait dériver de celle des Indiens. En effet, Fibonacci, qui +l'a fait connaître en Europe, avait rapporté ses connaissances mathématiques +de chez les Arabes; c'est donc à eux que paraît due cette +solution; or, les Arabes, placés entre l'Inde et l'Égypte, avaient +emprunté leur science des Grecs d'Alexandrie et des Hindous. Les +Grecs, comme nous le voyons par les solutions de Diophante, n'ont +point connu celle dont il est question. Elle est donc venue des Hindous\footnote{% +La manière dont Lucas de Burgo et Cardan disposent sur le papier, les +quantités connues, pour effectuer le calcul des racines cherchées, a la plus +grande ressemblance avec la manière des Indiens, et dénote l'origine de leur +méthode. + +Les Indiens placent les deux racines données $x'$, $y'$, l'une à côté de l'autre +sur une ligne horizontale; et au-dessous d'elles sur une seconde ligne horizontale, +ils placent les deux racines $a$, $b$, de l'équation auxiliaire, de sorte que $x'$ +et $a$ sont sur une ligne verticale, et $y'$ et $b$ sur une seconde ligne verticale. Puis +ils multiplient l'une par l'autre, les deux $x'$ et $a$ qui sont sur la première ligne +verticale, et ensuite les deux autres. Ils font la différence des deux produits, et +la divisent par $c$; c'est l'une des racines. Pour former l'autre, ils multiplient les +quatre nombres \emph{en croix}, et font la somme des deux produits, qui, divisée par +$c$, donne la seconde racine. + +Les géomètres italiens opèrent de même, si ce n'est qu'ils placent l'une à côté +de l'autre, les deux racines $x'$ et $a$, et au-dessous d'elles les deux $y'$ et $b$. Ils +emploient, comme les Indiens, l'expression de multiplication \emph{en croix}.}, +qui la possédaient depuis plusieurs siècles. Les ouvrages des +\marginpage % *** File: 053.png +Arabes, qui nous sont connus en trop petit nombre, et auxquels on +a fait peu d'attention, parce qu'on a cru n'y trouver qu'un faible +écho de l'École grecque, doivent inspirer plus d'intérêt, aujourd'hui +que l'on y reconnaît des traces prononcées d'un autre foyer de lumières. + +Les ouvrages indiens ne contiennent aucune démonstration. A la +faveur de cette circonstance, quelques écrivains, encore tout pleins +de l'étonnement que leur avait causé la vue des théories savantes et +des questions difficiles qu'ils renferment, et peut-être un peu préoccupés +de l'intérêt des Grecs qui n'avaient point eu de rivaux jusqu'ici, +ont cru pouvoir attribuer les découvertes analytiques des Hindous à +quelques rencontres dues au hasard, et provoquées seulement par des +essais isolés et faits sans méthode ni intelligence. Mais une telle opinion +ne pouvait se soutenir, et nous devons reconnaître dans les +ouvrages indiens les vestiges d'une science depuis long-temps cultivée, +et parvenue, dans de certaines limites, à une grande perfection. + +Nous n'avions nullement l'intention de chercher à rétablir quelques +démonstrations qui pourraient répondre aux théories algébriques +des Hindous, quand une remarque à laquelle nous a conduit l'examen +de la partie géométrique que contiennent leurs ouvrages, nous +a mis sur la voie d'une solution \emph{géométrique} des équations indéterminées +du second degré, qui donne précisément les formules de +Brahmegupta. Cela nous a fait supposer que c'était aussi par des +\marginpage % *** File: 054.png +considérations géométriques que cet auteur était parvenu à cette +solution; et en effet, on sait que les Indiens, et à leur imitation les +Arabes, employaient toujours concurremment la géométrie et l'analyse\footnote{% +Colebrooke, \emph{Algebra of Brahmegupta and Bhascara;} Introduction historique, +p.~15, Libri, \emph{Histoire des Sciences mathématiques en Italie}, t.~I\ier, p.~136}, +celle-ci pour résoudre leurs questions géométriques; et la +première pour démontrer leurs règles d'analyse, et interpréter et +peindre aux yeux les résultats de l'algèbre. Cela nous expliquerait +aussi la présence, dans les ouvrages de Brahmegupta, de cette partie +géométrique, à laquelle on a fait peu d'attention, et sur laquelle, +généralement on s'est mépris, je crois, en la regardant comme formant +les éléments de géométrie des Hindous ou du moins le résultat des +connaissances géométriques dont ils se servaient. Dans un autre écrit, +j'entrerai dans quelques développements à ce sujet, en donnant l'interprétation +des propositions de géométrie de Brahmegupta dont on +n'a point encore parlé, et qui avaient besoin d'être devinées. Si je ne +me trompe, elles roulent presque toutes sur une seule théorie géométrique, +qui est celle du quadrilatère inscrit au cercle, et résolvent la +question de construire un quadrilatère inscriptible, dont l'aire, les +diagonales et plusieurs autres lignes, ainsi que le diamètre du cercle, +soient exprimés en nombres rationnels. + +C'est dans cette question même que nous avons trouvé une méthode +géométrique pour la résolution des équations indéterminées du +second degré, méthode que nous supposons avoir pu être celle de +Brahmegupta. Nous l'exposerons dans l'écrit dont nous venons de +parler; mais ces considérations nous ont conduit à une méthode plus +directe et plus élémentaire. C'est celle que nous allons présenter. + +Question. \emph{Connaissant un premier système de racines $x'$, $y'$, de +l'équation $x^2 + y^2 = A$, on demande de trouver d'autres racines +rationnelles de cette équation.} + +\emph{Solution géométrique}. Que l'on forme un triangle rectangle $COD$, +qui ait pour côtés de l'angle droit $OC = x'$, $OD= y'$, la question +sera de construire sur l'hypoténuse $CD$ un autre triangle $CFD$, dont +les côtés $CF$, $FD$ soient rationnels. + +\marginpage % *** File: 055.png +%[Illustration] +\pngcent{img001.png}{317} + +Prolongeons les côtés $CO$, $DF$, jusqu'à leur rencontre en $A$; on a +le triangle $CAD$, dans lequel les perpendiculaires $DO$, $CF$, sont en +raison inverse des côtés $CA$, $DA$. Si donc ces côtés sont rationnels, +la perpendiculaire $CF$, qui est l'une des racines de l'équation proposée, +le sera aussi; le segment $DF$, qui est l'autre racine, sera aussi +rationnel, suivant son expression connue en fonction de trois côtés +$(FD = \dfrac{\overline{AD}^2 + \overline{CD}^2 - \overline{AC}^2}{2AD})$. Or on a $CA = AO + CO$; $CO$ est rationnel, +par hypothèse; donc il faut que $AO$ soit rationnel. Donc la question +se réduit à construire sur le côté $DO$ un triangle rectangle $AOD$, dont +les côtés soient rationnels. On sait former un tel triangle d'une infinité +de manières, par la formule suivante, très connue et fort usitée +en analyse et en géométrie +\[ +\overline{OD}^2 + \tfrac{1}{4}\Big(\frac{\overline{OD}^2}{n} - n\Big)^2 = \tfrac{1}{4}\Big(\frac{\overline{OD}^2}{n} - \overset{.}{n}\Big)^2;\footnotemark +\] +\footnotetext{% +Cette formule est d'un grand usage dans les ouvrages de Brahmegupta et +de Bhascara. Elle est une généralisation des deux règles imaginées par Pythagore +et Platon, pour construire sur un côté donné un triangle rectangle en nombres +rationnels et entiers. + +Si le côté donné est un nombre impair, il faut supposer $n = 1$, et l'on a la +règle de Pythagore; si le côté est pair, on suppose $n = 2$, et l'on a la règle de +Platon. + +C'est d'après Proclus (\emph{In primum Euclidis elementorum librum commentariorum +Libri} IV, proposition 47), que l'on attribue ces deux règles à Pythagore +et à Platon; mais Boece, antérieur de près d'un siècle à Proclus, donne la seconde +dans le second livre de sa Géométrie, comme étant d'Archytas, célèbre +pythagoricien, dont Platon avait suivi les leçons en Italie. +} +\marginpage % *** File: 056.png +c'est-à-dire qu'on prendra le côté $OA$ égal à $\tfrac{1}{2}\Big(\dfrac{\overline{OD}^2}{n} - n\Big)$, et l'hypoténuse +$AD$ égale à $\tfrac{1}{2}\Big(\dfrac{\overline{OD}^2}{n} - n\Big)$; $n$ étant un nombre arbitraire. + +Ayant construit ce triangle $AOD$, on abaissera du point $C$ la perpendiculaire +$CF$ sur son hypoténuse, cette perpendiculaire $CF$, et +le segment $DF$ qu'elle détermine, seront les deux racines cherchées. + +Ainsi la question est résolue \emph{par une construction géométrique}. + +%[Illustration] +\pngcent{img001.png}{317} + +Pour passer de cette solution géométrique aux formules de l'analyse, +il suffit de chercher les expressions de $CF$ et $DF$, en fonction +des lignes qui servent à construire ces racines. + +La comparaison des triangles semblables $ACF$, $ADO$, donne +\begin{align*} +CF = DO \ldot\frac{AC}{AD}, \quad &AF = AO \ldot \frac{AC}{AD}.\\[-4ex] +\intertext{Or}\\[-5ex] +DF = AD - AF, \qtext{et} &AC = AO + OC; +\end{align*} +on conclut de là +\begin{align*} +CF &= \frac{DO \ldot AO + DO \ldot OC }{AD},\\ +DF &= \frac{\overline{OD}^2 - OA \ldot OC }{AD}. +\end{align*} +Telles sont les expressions des racines de l'équation proposée: elles +sont rationnelles, puisque $CO$ et $DO$ le sont par hypothèse, et $OD$, +$DA$ par construction. + +Pour donner à ces formules la forme de celles de Léonard de +\marginpage % *** File: 057.png +Pise, faisons +\begin{alignat*}{2} +CO &= x',\quad &OD &= y',\quad CF = x,\quad DF = y,\\ +OA &= a, &AD &= c; +\end{alignat*} +il viendra +\begin{align*} +x &= \dfrac{ay' + y' x'}{c},\\ +y &= \dfrac{ax' - y'^2 }{c}. +\end{align*} +On a entre $a$, $c$ et $y'$ la relation +\begin{align*} +c^2 - a^2 &= y'^2;\\[-4ex] +\intertext{ou}\\[-5ex] +\dfrac{a^2}{c^2} + \dfrac{y'^2}{a^2} &= 1. +\end{align*} +Représentons $\dfrac{a}{c}$ par $\dfrac{\alpha }{\gamma}$, $\dfrac{y'}{c}$ par $\dfrac{\beta}{\gamma}$; les trois indéterminées $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, +seront liées par l'équation +\[ +\alpha ^2 + \beta ^2 = \gamma ^2; +\] +et les formules deviendront +\begin{align*} +x &= \dfrac{\alpha y' + \beta x' }{\gamma},\\ +y &= \dfrac{\alpha x' - \beta y'}{\gamma}. +\end{align*} +Elles sont les mêmes que celles d'Euler, pour le cas particulier +$x^2 + y^2 = A$. + +Il est facile de passer de là à la résolution de l'équation $Cx^2 + y^2 = A$. + +En effet, dans l'équation $x^2 + y^2 = A$, et dans les deux équations +de condition +\begin{align*} +x'^2 + y'^2 &= A,\\ +\alpha ^2 + \beta ^2 &= \gamma ^2, +\end{align*} +\marginpage % *** File: 058.png +remplaçons $x$ par $x\sqrt{C}$, $x'$ par $x'\sqrt{C}$, $\alpha$ par $\alpha\sqrt{C}$; elles deviendront +\begin{align*} +Cx^2\phantom{'} + y^2\phantom{'} &= A,\\ +Cx'^2 + y'^2 &= A,\\ +\alpha ^2 + \beta ^2\, &= \gamma ^2. +\end{align*} +Et les expressions des racines $x$ et $y$, trouvées ci-dessus, deviendront +\begin{align*} +x\sqrt{C}& =\dfrac{\alpha y'\sqrt{C} + \beta x'\sqrt{C}}{\gamma},\\ +y &= \dfrac{C \alpha x' - \beta y'}{\gamma},\\[-3ex] +\intertext{ou}\\[-5ex] +x &= \dfrac{\alpha y' + \beta x'}{\gamma},\\ +y &= \dfrac{C \alpha x' - \beta y'}{\gamma}. +\end{align*} +Ce sont les racines qui répondent à l'équation +\[ +Cx^2 + y^2 = A. +\] + +Maintenant, ces racines rendant identique cette équation, quelles +que soient les valeurs des deux nombres $C$ et $A$, on peut les supposer +négatives; de sorte que l'équation peut prendre la forme +\[ +Cx^2 \pm A = y^2, +\] +et ses racines deviennent +\begin{align*} +x &= \dfrac{\alpha y' + \beta x'}{\gamma},\\ +y &= \dfrac{C \alpha x' + \beta y'}{\gamma}. +\end{align*} +Nous donnons le signe $+$ à la valeur de $y$, parce que cette variable +n'entrant qu'au carré dans l'équation, son signe est indifférent. + +Les équations de condition pour $x'$, $y'$, et pour $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, sont +\[ +Cx'^2\pm A = {y'}^2, +\] +\marginpage % *** File: 059.png +et +\[ +C \alpha^2 + 1 = \beta^2. +\] +C'est-à-dire que $x'$ et $y'$ sont un système de racines de l'équation +proposée, et $\dfrac{\alpha}{\gamma}$, $\dfrac{\beta}{\gamma}$, sont un système de racines de l'équation +$C x^2 + 1 = y^2$. + +Nous avons donc obtenu précisément la solution de Brahmegupta +et d'Euler, et nous l'avons déduite, ainsi que nous l'avions annoncé, +de pures considérations de géométrie, qui n'ont demandé aucune +connaissance de l'algèbre. + +Mais nous devons observer que l'introduction du coefficient $C$, et +le changement de son signe, dans l'équation de condition primitive +$\alpha^2 + \beta^2=\gamma^2$, dont nous savions construire géométriquement les +racines rationnelles, exige que nous sachions résoudre l'équation +$Cx^2 + 1 = y^2$, qui remplace cette équation primitive. + +Pour résoudre cette équation, il se présente deux procédés. D'abord +nous pouvons nous servir de la même formule +\begin{align*} +4m^2n^2 + (m^2 - n^2)^2 &= (m^2 + n^2)^2, +\end{align*} +qui nous a déjà servi pour former les racines de l'équation $a^2 + b^2 = c^2$. + +A cet effet, nous l'écrirons sous la forme +\label{err059} +\begin{align*} +\frac{4m^2n^2}{(m^2-n^2)^2} +1 &= \frac{(m^2+n^2)^2}{(m^2-n^2)^2}; +\intertext{faisons $n = \sqrt{C}$, il vient} +\frac{4Cm^2}{(m^2-C)^2} + 1&=\frac{(m^2+C)^2}{(m^2-C)^2}; +\intertext{comparant cette identité à l'équation} +Cx^2+1&=y^2, +\end{align*} +\marginpage % *** File: 060.png +on voit que les racines de celle-ci sont de la forme +\[ +x =\frac{2m}{m^2-C},\quad y=\frac{m^2+C}{m^2-C}. +\] +Conséquemment, les valeurs de $\dfrac{\alpha}{\gamma}$ et $\dfrac{\beta}{\gamma}$, dans l'équation de condition +$C\alpha^2+\beta^2=\gamma^2$, seront +\[ +\frac{\alpha}{\gamma} =\frac{2m}{m^2-C}, \quad \frac{\beta}{\gamma} =\frac{m^2+C}{m^2-C}. +\] + +La seconde manière d'obtenir ces valeurs de $\dfrac{\alpha}{\gamma}$ et $\dfrac{\beta}{\gamma}$, résulte des formules +mêmes que nous avons trouvées pour les racines de l'équation +$Cx^2\pm A=y^2$. + +En effet ces formules, si l'on y regarde $\dfrac{\alpha}{\gamma}$, $\dfrac{\beta}{\gamma}$ comme les inconnues, +donneront des valeurs rationnelles de ces quantités, qui seront des +racines de l'équation $Cx^2 + 1 = y^2$, en fonction de deux systèmes +de racines de l'équation $Cx^2 \pm A = y^2$. + +Voici quelles sont ces valeurs +\[ +\frac{\alpha}{\gamma} =\frac{xy'-yx'}{y'^2-Cx'^2}, \quad \frac{\beta}{\gamma} =\frac{yy'+Cxx'}{y'^2-Cx'^2}, +\] +$x$, $y$ et $x'$, $y'$, sont deux systèmes quelconques de racines de l'équation +$Cx^2 \pm A = y^2$. On peut supposer $x' = - x$, et $y' = y$. +Alors les valeurs de $\dfrac{\alpha}{\gamma}$ et $\dfrac{\beta}{\gamma}$ deviennent +\[ +\frac{\alpha}{\gamma} =\frac{2xy}{y^2-Cx^2}, \quad \frac{\beta}{\gamma} = \frac{y^2+Cx^2}{y^2-Cx^2}. +\] +Ce sont les racines de l'équation $Cx^2 + 1 = y^2$, en fonction d'un +système de racines de l'équation $Cx^2 \pm A = y^2$. + +Dans celle-ci $A$ est arbitraire; on pourra donc prendre pour $x$ et +$y$ deux nombres quelconques, et alors $A$ se trouvera déterminé. +\marginpage % *** File: 061.png + +Cela nous donne lieu aux deux observations suivantes: + +D'abord $x$ et $y$ pouvant être quelconques, faisant $x = 1$, et remplaçant +$y$ par $m$, on a précisément les expressions de $\dfrac{\alpha }{\gamma}$, $\dfrac{\beta }{\gamma}$ que nous +avions trouvées ci-dessus. + +En second lieu, si l'on considère $x$ et $y$ comme racines de l'équation +$Cx^2 \pm A = y^2$, et qu'on remplace $y^2 - Cx^2$ par $A$, les expressions +de $\dfrac{\alpha }{\gamma}$ et $\dfrac{\beta }{\gamma}$ deviennent +\[ +\frac{\alpha }{\gamma} = \frac{2xy }{\pm A}, \quad\frac{\beta }{\gamma} = \frac{y^2 + Cx^2 }{\pm A}. +\] + +Ces expressions répondent parfaitement à la première des deux règles +qui comprennent, dans Brahmegupta, la résolution des équations +indéterminées du second degré. + +On pourrait donc supposer, jusqu'à un certain point, que ce sont +des considérations géométriques, analogues à celles que nous avons +employées, qui ont conduit le géomètre indien à la solution de ce +problème d'analyse; ajoutons, pour justifier une telle supposition, +que c'est dans la partie géométrique même de l'ouvrage de Brahmegupta, +que nous avons puisé l'idée de recourir à la géométrie, pour +résoudre les questions précédentes; ce que nous exposerons dans un +autre écrit. + +Nous avons appliqué d'abord la solution géométrique à l'équation +particulière $x^2 + y^2 = A$, pour montrer comment on pouvait s'élever +naturellement, et sans calcul, de ce cas particulier au cas général, et +pour prouver qu'ainsi que nous l'avions avancé, la solution de Lucas +de Burgo et de Cardan comprenait virtuellement les formules d'Euler. +Mais la solution géométrique peut s'appliquer directement à +l'équation $Cx^2 + y^2 = A$. + +Pour cela, $x'$ et $y'$ étant les deux racines données, on construira +le triangle rectangle $COD$, en prenant $CO = x'\sqrt{C}$, et $DO = y'$; de +manière qu'on aura +\[ +\overline{CO}^2 + \overline{OD}^2 = A. +\] +\marginpage % *** File: 062.png +Soit un second triangle rectangle $CFD$, on aura +\[ +\overline{CF}^2 + \overline{DF}^2 = \overline{DC}^2 = A. +\] +Donc, si l'on prend +\[ +x = \frac{CF}{\sqrt{C}}\qtext{et} y = DF, +\] +on aura +\[ +Cx^2 + y^2 = A; +\] +de sorte que $x$ et $y$ seront deux racines cherchées, pourvu toutefois +que $x$ soit rationnelle, ce qui exige que $CF$ soit de la forme $a\sqrt{C}$. + +Or on a dans le triangle $CAD$ +\begin{align*} +\frac{CF}{DO} &= \frac{CA}{DA}; +\end{align*} +donc $CF$ aura la forme $a\sqrt{C}$, si $CA$ est égal à $n\sqrt{C}$, et $DA$ un +nombre. + +Or +\[ +CA = CO + OA = x'\sqrt{C} + OA. +\] + +Il faut donc que $OA$ soit de la forme $\alpha\sqrt{C}$: c'est-à-dire qu'il faut +construire sur le côté $DO$ un triangle rectangle dont le second côté +$OA$ soit $\alpha\sqrt{C}$, et dont l'hypoténuse soit rationnelle. Ce qu'on fait +par la formule +\[ +4m^2n^2 + (m^2 - n^2)^2 = (m^2 + n^2)^2,\hspace*{2.5em} +\] +ou +\[ +\frac{4m^2n^2\ldot\overline{OD}^2}{(m^2 - n^2)^2} + \overline{OD}^2 = \frac{(m^2 + n)^2 }{(m^2 - n^2)^2} \ldot\overline{OD}^2, +\] +où l'on fait $n^2 = C$, ce qui donne +\[ +\frac{4Cm^2\ldot\overline{OD}^2 }{(m^2 - C)^2} + \overline{OD}^2 = \frac{(m^2 + C)^2 }{(m^2 - C)^2 } \ldot\overline{OD}^2. +\] +Ainsi l'on prendra +\[ +OA = \frac{2m\ldot OD }{m^2 - C }\sqrt{C},\qtext{et} DA = \frac{m^2 + C }{m^2 - C} \ldot OD. +\] +\marginpage % *** File: 063.png +De sorte que $OA$ et $DA$, ont les valeurs voulues. + +D'après cela, $CF$ aura une expression de la forme $N \sqrt{C}$, et $DF$ +sera rationnel, parce que son expression connue dans la géométrie +élémentaire, ne contient que les carrés des deux côtés $CD$, $CA$. + +Ainsi $\dfrac{CF}{\sqrt{C}}$ et $CD$ seront rationnelles, or ce sont les racines de l'équation +$Cx^2 + y^2 = A$: cette équation est donc résolue géométriquement. + +Cherchant les expressions des lignes $CF$ et $DF$, comme nous l'avons +déjà fait, on obtiendra les formules d'Euler. + +Remarquons que cette solution consiste uniquement à construire +le triangle $AOD$, dont le côté $OA$ soit de la forme $\alpha\sqrt{C}$, et dont +l'hypoténuse $DA$ soit rationnelle, égale à $\beta$. Cela répond en analyse, +à résoudre l'équation +\[ +C\alpha^2 + \overline{OD}^2 = \beta^2, +\] +ou +\[ +\frac{C\alpha^2}{\overline{OD}^2} + 1 = \frac{\beta^2}{\overline{OD}^2}, +\] +ou +\[ +Cx^2 + 1=y^2. +\] + +Les considérations géométriques montrent donc bien comment +cette équation auxiliaire s'introduit dans la question, et y joue le +rôle important que Brahmegupta et Euler lui ont reconnu. + +\jmpafin + +% *** File: 064.png + +\jmpapaperl{MÉMOIRE}{} +{Sur la classification des transcendantes et sur l'impossibilité +d'exprimer les racines de certaines équations en fonction +finie explicite des coefficients;} +{Par J. LIOUVILLE.} +{(Lu à l'Académie des Sciences de Paris, le 8 juin 1835.)} +\label{art7} + +\mysection{INTRODUCTION.} + +Les six opérations fondamentales de l'arithmétique, savoir, l'addition, +la soustraction, la multiplication, la division, l'élévation aux +puissances entières et positives, l'extraction des racines, lorsqu'on les +applique à de simples lettres, représentant des nombres tout-à-fait +indéterminés, donnent naissance aux fonctions algébriques les plus +élémentaires; mais elles sont loin de comprendre toutes les quantités +renfermées sous cette dernière dénomination. En effet le mot \emph{fonction +algébrique}, dans le sens que les géomètres lut attribuent aujourd'hui, +s'applique à toute quantité déterminée par une équation d'un degré +quelconque, dont les coefficients sont rationnels par rapport à la variable +indépendante. L'équation à laquelle satisfait une fonction de +cette espèce prend à son tour le nom d'équation algébrique. Or on +sait que les équations algébriques se partagent en deux grandes classes. +Quelques-unes, telles que les équations des quatre premiers degrés, +sont résolubles par radicaux, ou, autrement dit, la fonction dont +elles déterminent la valeur, peut être écrite en employant un nombre +limité de fois les signes $+$, $-$, etc., adoptés par les géomètres +comme indiquant les six opérations arithmétiques dont j'ai parlé +\marginpage % *** File: 065.png +plus haut. Mais dès qu'on s'élève à l'équation complète du cinquième +degré, et \emph{à fortiori} aux équations complètes de degré supérieur, il +arrive que leur résolution générale est impossible à moins qu'on ne +veuille recourir aux séries et aux intégrales définies; d'où il faut +conclure que les fonctions algébriques sont de deux sortes, les unes +exprimables et les autres non exprimables par des combinaisons de +radicaux. Le problème si fameux de la résolution des équations algébriques +consiste à distinguer ces deux genres de fonctions dans chaque +cas particulier: on est loin de l'avoir résolu, et ce n'est même +que par des démonstrations très délicates et très compliquées, que l'on +est parvenu à établir l'impossibilité des racines de l'équation du cinquième +degré en quantités purement radicales. + +Si nous considérons actuellement, outre les fonctions algébriques, +les exponentielles et les logarithmes, ce qui comprend, comme cas +particuliers, d'une part les arcs de cercle et leurs sinus, d'autre part +les puissances à base variable, dont l'exposant est irrationnel, imaginaire +ou variable, en combinant à notre gré les signes relatifs à ces +opérations algébriques ou transcendantes, nous obtiendrons toutes les +fonctions finies explicites, fonctions dont le caractère propre consiste +d'après cela, en ce qu'on peut en écrire la valeur à l'aide d'un nombre +limité d'opérations algébriques, exponentielles et logarithmiques. + +Une fonction finie implicite, sera au contraire une fonction déterminée +par une ou plusieurs équations finies, non résolubles explicitement. + +Mais ici l'on voit naître une question semblable à celle qui s'est +présentée tout-à-l'heure, quand nous parlions des fonctions algébriques. +En effet, on a cru d'abord que toutes les équations algébriques +se résoudraient à l'aide de radicaux; et, d'après cette idée, on a +cherché long-temps à en obtenir les racines sous la forme indiquée. +Les efforts réitérés des plus grands géomètres n'ayant conduit à +aucun résultat général, on a été porté ensuite à soupçonner que le +problème proposé était impossible, au moins pour l'équation complète +du cinquième degré et des degrés supérieurs, et on est parvenu +à établir en toute rigueur cette impossibilité: semblablement, quand il +s'agit d'équations transcendantes, il est naturel de chercher d'abord à +les résoudre, en exprimant les inconnues par des fonctions finies +\marginpage % *** File: 066.png +explicites des coefficients, et comme on ne peut pas y réussir dans la +plupart des cas, il faut en second lieu prouver que les valeurs des +inconnues ne sont pas exprimables par cette sorte de fonctions. Dèslors +on aura épuisé complétement la question dans le sens où elle était +proposée; car tout ce que peut faire une méthode, c'est de conduire +à la solution, quand cette solution est possible, ou d'en prouver sans +équivoque l'impossibilité. + +Dans le mémoire que j'ai l'honneur de soumettre au jugement de +l'Académie, je suis bien loin d'avoir envisagé la chose sous un point +de vue aussi étendu. Je me suis contenté de traiter certaines équations +particulières, et par un procédé direct et uniforme, qu'il serait facile +de présenter d'une manière abstraite et générale, je suis parvenu soit +à les résoudre, soit à démontrer l'impossibilité de leurs racines en +fonction finie explicite des coefficients. + +J'ai considéré, par exemple, l'équation qu'on obtient en égalant le +logarithme de l'inconnue au produit de cette inconnue par un paramètre +indéterminé: la racine de l'équation ainsi formée n'est point +exprimable explicitement sous forme finie, en fonction de ce paramètre +indéterminé: on ne peut l'obtenir qu'en série ou en intégrale +définie. La même chose arrive dans la plupart des cas, et spécialement +pour l'équation de laquelle dépend en Astronomie le problème +de Képler ou le calcul de l'anomalie excentrique en fonction de +l'anomalie moyenne: l'anomalie excentrique n'est donc point exprimable +par une fonction finie explicite de l'anomalie moyenne. Cela +s'accorde avec le théorème énoncé par Lambert dans les Mémoires de +Berlin (année 1767); mais il était plus facile d'énoncer ce théorème +que de le démontrer. + +Dans certains exemples choisis, que je traite en détail, l'équation +transcendante proposée est résoluble, et ma méthode en fait trouver +la racine. Le principe de cette méthode paraît avoir la généralité +désirable: toutefois pour qu'on pût donner une théorie complète de +la résolution des équations transcendantes en quantités finies explicites, +il faudrait que l'on eût étudie avec plus de soin qu'on ne l'a fait +jusqu'ici, la théorie des équations différentielles ordinaires. Il faudrait +surtout, qu'étant donnée une équation différentielle d'un ordre quelconque, +on pût décider par une règle certaine, si elle a ou n'a pas +\marginpage % *** File: 067.png +une intégrale algébrique, et quelle est la valeur exacte de cette intégrale, +lorsqu'on en a démontré l'existence. + +L'analyse établit un rapport singulier entre la détermination, sous +forme finie explicite, des racines des équations transcendantes, et la +détermination, sous cette même forme, des intégrales indéfinies des +fonctions d'une seule variable. Non-seulement, comme je viens de +l'expliquer, la difficulté principale de la théorie consiste dans l'un et +l'autre cas à déterminer les solutions algébriques de certaines équations +différentielles; mais l'analogie entre ces deux classes de questions +se soutient, pour ainsi dire, jusque dans les derniers détails, +tellement que la méthode dont je me sers dans cet écrit peut être +regardée comme une simple extension ou mieux comme une application +nouvelle de la méthode dont j'ai fait usage dans le vingt-troisième +cahier du Journal de l'École Polytechnique, pour découvrir la +forme dont l'intégrale d'une fonction algébrique donnée est susceptible, +lorsqu'on peut en obtenir la valeur en quantités finies explicites. + +Dans le Journal de l'École Polytechnique, comme dans le présent +mémoire, et dans plusieurs autres relatifs, soit à l'intégration d'une +classe de fonctions transcendantes, soit à l'impossibilité des fonctions +elliptiques sous forme finie, soit à l'intégration, sous forme finie, des +équations différentielles linéaires, on fait un continuel usage de la +classification des transcendantes, dont je crois avoir le premier montré +l'utilité. D'après cette classification, une fonction transcendante de +première espèce, est celle où les signes relatifs aux opérations transcendantes, +portent sur de simples fonctions algébriques, tandis que +dans une transcendante de $n$\iieme\ espèce les signes dont il s'agit +peuvent porter sur toutes les quantités d'espèce inférieure. Cette +classification paraît d'abord bien peu de chose, et néanmoins je ne +vois pas qu'il soit possible de s'en passer dans les recherches relatives à +l'intégration des formules différentielles et à la résolution des équations +sous forme finie explicite. En rédigeant donc ce nouvel écrit, +j'ai dû profiter de l'occasion pour exposer dans le plus grand détail +les principes sur lesquels cette classification est fondée, car jusqu'ici +je m'étais pour ainsi dire contenté de l'indiquer, vu qu'il n'était pas +\marginpage % *** File: 068.png +nécessaire de l'approfondir davantage dans les questions dont je m'occupais +alors. + +Voici l'énoncé succinct des problèmes qu'il a fallu résoudre pour +éclaircir entièrement les idées à ce sujet. + +D'abord je passe en revue les diverses fonctions simples dont la +combinaison dans un ordre quelconque produit toutes les quantités +finies explicites. Ces fonctions simples sont de trois sortes, algébriques, +logarithmiques, exponentielles: le logarithme d'une variable $x$, savoir +$\log x$, et l'exponentielle la plus simple $e^x$ ne peuvent en aucune +manière s'écrire en indiquant sur la variable $x$ un nombre limité +d'opérations algébriques. Ce théorème était connu depuis long-temps; +mais on avait coutume de le démontrer en s'appuyant sur la nature +du développement des fonctions algébriques en série. Après l'avoir +établi d'une manière entièrement rigoureuse, je passe à des propositions +plus générales: je fais voir, par exemple, que la fonction $\log x$ +ne peut être écrite, sous forme finie explicite, par aucune combinaison +quelle qu'elle soit des signes exponentiels et des signes algébriques, +et de même la fonction $e^x$ n'est équivalente à aucune fonction purement +algébrique et logarithmique. Il résulte de là que les fonctions +exponentielles et les fonctions logarithmiques sont essentiellement +différentes entre elles, en sorte que les signes dont nous faisons usage +dans notre classification des transcendantes sont réellement réduits +au moindre nombre possible. + +Nous avons dit tout-à-l'heure qu'une fonction transcendante de +seconde espèce était celle où les signes exponentiels et logarithmiques +se trouvaient appliqués sur des transcendantes de première espèce; +mais comme, dans certains cas, cette complication de la fonction +n'est qu'apparente, puisque le logarithme d'une exponentielle +qui semble, par exemple, appartenir, d'après cette définition, à la +seconde espèce, n'est en réalité qu'une simple fonction algébrique, il +est visible qu'avant de classer la fonction dont on s'occupe, il faut +d'abord en supposer l'expression simplifiée autant que possible. Aussi +dans an des paragraphes de notre mémoire, traitons-nous cette question: +\emph{Étant donnée une fonction finie explicite de $x$, comment pourra-t-on +reconnaître d'une manière certaine, à quelle espèce cette fonction +appartient?} +\marginpage % *** File: 069.png + +La méthode dont nous proposons de faire usage pour résoudre le +problème dont on vient d'écrire l'énoncé nous prouve en outre qu'il +existe (quelque grand que soit le nombre $n$) des transcendantes de +$n$\iieme\ espèce, irréductibles à une espèce inférieure; en effet, si l'on +considère les quantités successives $\log \log x$, $\log \log \log x$, etc., on +les trouve de seconde, de troisième espèce, etc., sans que jamais +elles puissent s'abaisser. + +L'existence des fonctions finies, véritablement \emph{implicites}, se prouve +d'une manière semblable, en faisant voir que certaines équations finies +ne se résolvent pas explicitement, et c'est ainsi que je me trouve ramené +au problème de la résolution des équations dont j'ai parlé plus +haut. + +Enfin, je m'occupe des fonctions diverses que l'on rencontre dans +les éléments: toutes ces fonctions peuvent être écrites sous forme +finie explicite: par conséquent ma classification leur est immédiatement +applicable. J'ai surtout étudié avec soin la quantité formée en +élevant une base variable à une puissance irrationnelle, et j'ai fait +voir que cette quantité doit être rangée parmi les transcendantes de +seconde espèce, tandis qu'elle se réduirait à une simple expression +algébrique, si l'exposant était rationnel. + +Les propositions contenues dans mon Mémoire ont beaucoup +d'analogie avec celles dont on s'occupe dans la théorie des nombres; +mais tandis que, dans cette dernière théorie, on considère spécialement +les valeurs numériques des fonctions, nous nous attachons au +contraire à leur forme analytique par rapport à certaines variables +$x$, $y$, etc., sans faire en général aucune attention à la nature des +coefficients constants que ces fonctions renferment. La considération +des valeurs successives que nos fonctions peuvent prendre, lorsqu'on +fait croître $x$, $y$, etc., d'une manière continue, nous est d'une +grande utilité dans nos calculs et multiplie beaucoup les moyens de +transformation. Néanmoins les géomètres, qui voudront se livrer +à des recherches semblables aux nôtres, verront que la matière est +encore très délicate, et qu'il faut partout un soin extrême pour +donner aux raisonnements cette rigueur absolue, indispensable dans +un pareil sujet. + +\Needspace*{5\baselineskip} % *** File: 070.png +\mysection{§ I\up{\it er}.}\marginpage + +\begin{center}\emph{Des fonctions algébriques, logarithmiques et exponentielles.}\end{center} + +1.~Dans les recherches de calcul intégral, lorsqu'il s'agit d'obtenir +des solutions exprimées sous forme finie, on a souvent besoin de la +classification des transcendantes, dont j'ai d'abord montré l'usage au +paragraphe I\ier\ de mon Mémoire sur les fonctions elliptiques\footnote{% +\emph{Journal de l'École Polytechnique}, Cahier XXIII, page 42. +}. Aujourd'hui +je me propose de considérer cette classification en elle-même, +indépendamment des applications dont elle est susceptible. Je serai +ainsi conduit à traiter plusieurs questions incidentes qui se présentent +naturellement et dont il était bon de donner une solution exacte. L'analyse +employée dans mon travail est très simple et surtout très +uniforme. Je me suis attaché à donner aux raisonnements cette rigueur +absolue sans laquelle les théorèmes du genre de ceux que je +démontre ici deviennent insignifiants; et peut-être sous ce rapport, +ai-je droit d'espérer un moment d'attention de la part des géomètres. + +Avant d'entrer en matière, je poserai quelques définitions assez +généralement connues, mais qu'il sera utile de rappeler pour bannir +toute équivoque. + +Un polynome $A + Bx + Cx^2 + \dotsb + Hx^\mu$, dans lequel $\mu$ désigne +un nombre entier positif, et où les coefficients $A$, $B$, $C$,\dots $H$, sont +des quantités constantes, est ce qu'on nomme une fonction entière +de $x$ du degré $\mu$. + +On sait qu'un pareil polynome peut toujours se décomposer en +facteurs simples, sous la forme +\[ +H(x-a)^m (x-b)^n \ldots (x-c)^p, +\] +$m$, $n$,\dots $p$, désignant des nombres entiers positifs, et $a$, $b$,\dots $c$, +les racines inégales de l'équation +\[ +A + Bx + Cx^2 + \dotsb + Hx^\mu = 0. +\] +\marginpage % *** File: 071.png +Une fonction est rationnelle, quand on l'obtient en divisant l'un +par l'autre deux polynomes entiers $U$, $V$. + +Toute fonction rationnelle $\dfrac{U}{V}$ ou $X$ pourra donc se mettre sous la +forme +\[ +X=M(x-a)^\alpha (x-b)^\beta\ldots (x-c)^\gamma, +\] +$M$ désignant une constante; $\alpha$, $\beta$,\dots$\gamma$, des nombres entiers positifs +ou négatifs, et $a$, $b$,\dots $c$, les racines inégales des équations $U = 0$, +$V = 0$. + +Si, dans un même calcul, on doit employer à la fois deux fonctions +rationnelles $X = \dfrac{U}{V}$, $Y = \dfrac{W}{T}$, on nommera $a$, $b$,\dots $c$, les diverses +racines inégales des quatre équations $U = 0$, $V = 0$, $W = 0$, $T = 0$, +et l'on écrira +\begin{align*} +X&=M(x-a)^\alpha (x-b)^\beta \ldots (x-c)^\gamma,\\ +Y&=N(x-a)^{\alpha'} (x-b)^{\beta'} \ldots (x-c)^{\gamma'}, +\end{align*} +$M$ et $N$ étant des constantes. Mais alors $\alpha$, $\beta$,\dots $\gamma$, $\alpha'$, $\beta'$,\dots $\gamma'$, +seront regardés comme représentant des nombres entiers positifs, +négatifs ou nuls: on aura par exemple $\alpha = 0$, si le facteur $x - a$ ne +doit se trouver ni au numérateur, ni au dénominateur de $X$. + +Je nomme fonction algébrique de $x$ toute fonction $u$ qui peut être +regardée comme la racine d'une équation de la forme +\[ +Pu^n + Qu^{n-1} + \dotsb + Ru +S=0, +\] +$n$ étant un nombre entier positif, et les lettres $P$, $Q$,\dots $R$, $S$, représentant +des fonctions entières de $x$. Il importe peu que l'équation +soit ou non résoluble par radicaux. Si donc on dénote par $\varpi(x)$ +la racine de cette équation, la quantité $u = \varpi(x)$ représentera une +fonction algébrique quelconque, et au moyen de ce signe $\varpi(x)$ +toutes les fonctions algébriques pourront être regardées comme +explicites. + +Ces définitions s'étendent d'elles-mêmes aux fonctions de plusieurs +variables. En les rapprochant des théories exposées dans les livres +élémentaires, on voit que l'on doit regarder comme algébriques +toutes les fonctions où la variable $x$ est engagée avec des constantes +\marginpage % *** File: 072.png +seulement par addition, soustraction, multiplication, division, élévation +aux puissances entières et positives, extraction de racines, c'est-à-dire +toutes les fonctions que l'on écrit sous forme finie, à l'aide +des simples signes des six opérations fondamentales que je viens +d'indiquer; mais la réciproque n'est pas vraie, par la raison qu'en +se bornant à ces mêmes signes, les racines de la plupart des équations +de la forme +\[ +Pu^\mu + Qu^{\mu-1} + \dotsb + Ru + S = 0, +\] +seraient impossibles en quantités finies: en effet, si les équations des +quatre premiers degrés sont résolubles par radicaux, l'équation générale +du cinquième degré, n'est pas résoluble de cette manière. + +De là deux classes de fonctions algébriques, les unes exprimables, +et les autres non exprimables par des radicaux; mais, dans les recherches +de calcul intégral, ces deux classes de fonctions jouissent à peu +près des mêmes propriétés, et il y a rarement de l'avantage à les +distinguer dans le discours, et à les représenter par des notations différentes. + +2.~Non-seulement les fonctions algébriques se partagent en deux +grandes classes; mais chacune de ces classes peut encore se subdiviser +en espèces distinctes. En considérant les fonctions exprimables +par radicaux, j'ai proposé\footnote{% +\emph{Journal de l'École Polytechnique}, XXII\ieme\ cahier, page 128.} +de les nommer \emph{irrationnelles de +première espèce} lorsque les radicaux dont elles se composent portent +sur des fonctions rationnelles, \emph{irrationnelles de seconde espèce} quand +ces mêmes radicaux portent sur des quantités rationnelles ou sur des +irrationnelles de première espèce, et ainsi de suite. Par exemple, les +trois fonctions irrationnelles que voici $\sqrt{x}$, $x+\sqrt{1+\sqrt{x}}$, $\sqrt[3]{x+\sqrt{1+\sqrt{x}}}$, +appartiennent respectivement à la première, à +la seconde et à la troisième espèce. Il est aisé de comprendre que la +forme la plus générale d'une irrationnelle de première espèce se +compose d'une partie rationnelle et d'un nombre quelconque de +radicaux ajoutés entre eux et portant sur diverses quantités rationnelles: +\marginpage % *** File: 073.png +si donc $P_1$ désigne une fonction quelconque irrationnelle de +première espèce, la valeur de $P_1$ sera de la forme +\[ +P_1 = P + \sqrt[m]{Q} + \sqrt[n]{R} + \dotsb + \sqrt[q]{S}, +\] +$P$, $Q$, $R$,\dots $S$ désignant des expressions rationnelles. Et l'on peut +déterminer semblablement la forme la plus générale de chaque espèce +d'irrationnelles. Mais cette distinction des fonctions algébriques en +classes et en espèces que j'ai cru devoir indiquer en deux mots comme +étant quelquefois utile, n'est point indispensable pour notre théorie. +Ce qu'il est essentiel de ne pas oublier, c'est que le mot \emph{fonction algébrique +s'applique} à toutes les fonctions u déterminées par une équation +de la forme +\[ +Pu^n + Qu^{n-1} + \dotsb + Ru + S = 0, +\] +$P$, $Q$,\dots $R$, $S$ désignant des polynomes entiers en $x$. Dire qu'une +fonction algébrique $u$ est donnée c'est dire que l'on possède l'équation +à coefficients entiers qui la détermine ou du moins une expression +irrationnelle qui permette de remonter à cette équation par la +méthode développée dans les traités d'Algèbre. + +3.~On dit que l'équation algébrique +\[ +Pu^n + Qu^{n-1} + \dotsb + Ru + S = 0 +\] +est \emph{irréductible} lorsque nulle de ses racines ne peut satisfaire à une +équation moins élevée dont les coefficients soient également des fonctions +entières. La condition nécessaire et suffisante pour qu'une équation +soit irréductible, c'est que son premier membre ne se décompose +pas en facteurs rationnels par rapport à $x$ et $u$. %[** errata] + +Posons +\[ +Pu^n + Qu^{n-1} + \dotsb + Ru + S = U +\] +et soient $u_1$, $u_2$, $u_3$,\dots $u_n$ les racines de l'équation $U = 0$: ces racines +jouiront des propriétés fondamentales suivantes. + +On ne pourra avoir ni $u_1=0$, ni $u_1=u_2$; car si deux racines de +l'équation étaient égales entre elles, son premier membre se décomposerait +en deux facteurs rationnels par la méthode connue; et il en +\marginpage % *** File: 074.png +serait de même si l'une des racines était nulle, puisque cette dernière +circonstance exige qu'on ait $S=0$, ce qui rend le polynome $Pu^n+\etc$ +divisible par $u$. + +Si l'une des racines, savoir $u_1$, satisfait à une seconde équation algébrique +$V=0$, irréductible ou non, de même forme que la proposée, +toutes les autres racines $u_2$, $u_3$,\dots $u_n$ satisferont aussi à cette +seconde équation. En effet, pour que les deux équations $U=0$, $V=0$ +aient une racine commune, il faut que les deux polynomes $U$, $V$ +possèdent un commun diviseur. Or si ce commun diviseur n'était pas +égal à $U$, à un coefficient près indépendant de l'inconnue $u$ la fonction +$u$ se décomposerait en deux facteurs rationnels, ce qui est absurde. +Donc $V$ est divisible par $U$, ou du moins peut se mettre sous la +forme +\[ +V = \frac{UW}{K}, +\] +$K$ dépendant de $x$ seule, tandis que $W$ est une fonction entière de $x$ +et $u$ ou de $x$ seule: par conséquent les valeurs $u=u_1$, $u=u_2$, +$u=u_3$,\dots $u=u_n$ qui donnent $U=0$ donnent aussi $V=0$. Toutes +ces propriétés des équations irréductibles subsisteront évidemment +si $u$ devient une fonction de plusieurs variables $x$, $y$, $z$, etc., pourvu +que les coefficients $P$, $Q$,\dots $R$, $S$ ne cessent pas d'être exprimés +par des fonctions entières de ces variables indépendantes. + +4.~Après les fonctions algébriques viennent les fonctions logarithmiques +dont la plus simple $\log x$ est ce qu'on nomme le \emph{logarithme +népérien} de $x$. La propriété principale de la fonction $\log x$, pour les +recherches de calcul intégral, est renfermée dans l'équation +$d\log x = \dfrac{dx}{x}$, d'où l'on déduit, abstraction faite de la constante arbitraire, +$\log x = {\dint}\dfrac{dx}{x}$. On pourrait même partir, de cette dernière +égalité comme d'une définition et dire qu'on nomme $\log x$ la fonction +de $x$ qu'on obtient en intégrant $\dfrac{dx}{x}$ et assujétissant l'intégrale à +s'évanouir pour $x=1$, de telle sorte qu'on a, dans la notation de +Fourier, $\log x = {\dint_1^x} {\dfrac{dx}{x}}$. Quant aux logarithmes dont la base n'est +pas le nombre $e=2{,}718,\ldots$, ils se déduisent des logarithmes népériens +\marginpage % *** File: 075.png +en multipliant ceux-ci par un nombre constant convenable. Ils +ne forment donc point une classe nouvelle de fonctions par rapport à +la variable $x$. + +En désignant par $X$, $Y$ deux polynomes entiers premiers entre eux +et de la forme +\[ +a + bx + cx^2 + \dotsb + hx^m , +\] +le quotient $\dfrac{X}{Y}$ représentera une fonction algébrique rationnelle quelconque +de $x$. Cela posé, je dis qu'on ne peut pas avoir +\[ +\log x = \dfrac{X}{Y}. +\] +En effet, si l'on différentie cette équation, puis qu'on chasse le dénominateur +$Y^2$ on obtient +\[ +\frac{Y^2}{x}=YX'-XY', +\] +$X'$, $Y'$ représentant les dérivées $\dfrac{dX}{dx}$, $\dfrac{dY}{dx}$ conformément à la notation +de Lagrange dont nous ferons un continuel usage. Il résulte de +là que $Y$ doit être divisible par $x$ un certain nombre $n$ de fois et que +par conséquent $X$ ne doit pas l'être, puisque $X$ et $Y$ sont premiers +entre eux. Faisons donc $Y = Zx^n$, $Z$ étant un nouveau polynome non +divisible par $x$: nous en conclurons +\[ +Y' = nZx^{n - 1} + Z'x^n. +\] +Je substitue cette valeur et celle de $Y$ dans l'équation précédente qui +devient: +\[ +Z^2 x^{2n - 1} = ZX'x^n - nZXx^{n - 1} - XZ'x^n, +\] +et qu'on peut ensuite écrire ainsi +\[ +nXZ = x(ZX' - XZ') - Z^2 x^n, +\] +forme sous laquelle l'absurdité de cette équation devient manifeste, +car le second membre est divisible par $x$ et le premier ne l'est pas, +puisque les facteurs qui le composent sont tous les deux non divisibles +par $x$. +\marginpage % *** File: 076.png + +On peut aller plus loin et démontrer que l'intégrale ${\dint}\dfrac{dx}{x}$ ou $\log x$ +n'est point exprimable algébriquement en $x$, de telle sorte qu'il +n'existe aucune fonction algébrique de la lettre $x$ qui soit équivalente +à $\log x$. En effet, s'il existe une telle fonction, désignons-la par $y$: +nous aurons ${\dint}\dfrac{dx}{x}=y$, et $y$ devra satisfaire à une certaine équation +algébrique +\[ +f(x, y) = 0\tag{1} +\] +$f(x, y)$ désignant une quantité de la forme +\[ +Py^n + Qy^{n-1} + \dotsb + Ry + S +\] +dans laquelle les coefficients $P$, $Q$,\dots $R$, $S$ dépendent de $x$ seule et +représentent des polynomes entiers. Il est permis de supposer l'équation +(1) irréductible: en effet, si $y$ pouvait satisfaire à une autre +équation semblable et de degré $< n$, c'est celle-là que nous devrions +employer au lieu de l'équation (1). + +Puisqu'on a ${\dint}\dfrac{dx}{x}=y$, on a aussi +\[ +\dfrac{dx}{x}=dy. +\] + +En différentiant l'équation (1) et remplaçant $\dfrac{dy}{dx}$ par $\dfrac{1}{x}$, il vient +\[ +xf'_x(x, y) + f'_y(x, y) = 0 \tag{2} +\] +Pour que l'équation $\dfrac{dx}{x}=y$ soit exacte, il faut et il suffit que les +équations (1) et (2) aient lieu en même temps quel que soit $x$. Mais +l'équation (1) étant irréductible, on sait que si l'une de ses racines +satisfait à l'équation (2) les autres y satisferont aussi. Désignant donc +par $y_1$, $y_2$,\dots $y_n$ les $n$ racines de l'équation $f(x,y) = 0$ résolue par +rapport à $y$, nous voyons que si la différentielle de l'une de ces racines +est égale à $\dfrac{dx}{x}$, les différentielles de toutes les autres seront de même +égales à $\dfrac{dx}{x}$. Il résulte de là que si la quantité ${\dint}\dfrac{dx}{x}$ est algébrique, +\marginpage % *** File: 077.png +on aura à la fois +\[ +\frac{dx}{x}=dy_1,\quad \frac{dx}{x}=dy_2, \ldots \quad \frac{dx}{x}=dy_n, +\] +d'où l'on tire +\[ +\frac{ndx}{x}=dy_1 + dy_2 + \dotsb + dy_n; +\] +et par conséquent, abstraction faite de la constante arbitraire, il +viendra +\[ +\int\frac{dx}{x} = \frac{y_1+y_2+ \dotsb +y_n}{n} = -\frac{Q}{nP}, +\] +c'est-à-dire que ${\dint}\dfrac{dx}{x}$ sera une fonction rationnelle de $x$, ce dont j'ai +déjà prouvé l'impossibilité. + +La quantité $\log x$ n'est donc point une fonction algébrique de $x$; et +il en est de même de la quantité $\log F(x)$, quelle que soit la fonction +algébrique $F(x)$. En effet si l'on avait $\log F(x) = f(x)$, $f(x)$ étant +une autre fonction algébrique, en posant $F(x) = z$, ce qui donne +pour $x$ une valeur algébrique en $z$ telle que $x = \varpi(z)$, on en déduirait +$\log z = f[\varpi(z)]$, c'est-à-dire $\log z = \emph{une fonction algébrique +de } z$, ce qui est absurde. + +5.~La fonction inverse de $\log x$ donne l'exponentielle $e^x$, dont la +définition par conséquent est comprise dans l'égalité $\log (e^x) = x$. Il +est aisé de démontrer que $e^x$ n'est point exprimable algébriquement +en $x$, car si l'on avait $e^x = F(x)$, $F(x)$ désignant une fonction algébrique, +on en conclurait $\log F(x) = x$, équation impossible d'après +ce qu'on a démontré à la fin du numéro précédent. En général si $p$ +et $q$ désignent deux fonctions algébriques, on n'aura jamais $e^p = q$; +car il en résulterait $\log q = p$, ce qui est inadmissible. + +Soient maintenant $P$, $Q$, $R$,\dots $T$, des fonctions algébriques de +la variable indépendante $x$ qui ne soient pas identiquement nulles et +$p$, $q$, $r$,\dots\ d'autres fonctions de $x$ algébriques aussi et telles que +nulle des quantités $p$, $q$, $r$,\dots $p - q$, $p - r$, $q - r$,\dots\ ne se réduise +à une simple constante; je dis qu'on prouvera l'impossibilité de toutes +les équations suivantes +\begin{align*} +Pe^p &= T,\\ +Pe^p + Qe^q &= T,\\ +Pe^p + Qe^q + Re^r &= T,\;\etc, +\end{align*} +\marginpage % *** File: 078.png +quel que soit le nombre des termes placés dans leur premier membre. + +D'abord l'équation $Pe^p = T$ est impossible, puisqu'elle conduit au +résultat absurde $\log\dfrac{T}{P} = p$. + +Supposons en second lieu qu'on ait +\[ +Pe^p + Qe^q = T, +\] +sans que les quantités $P$, $Q$, $T$, soient nulles. En différentiant, il +vient +\[ +e^p\Big(P \frac{dp}{dx} + \frac{dP}{dx}\Big) + e^q\Big(Q \frac{dq}{dx} + \frac{dQ}{dx}\Big) = \frac{dT}{dx}. +\] +Entre cette équation et la précédente, j'élimine $e^p$: je trouve ainsi +\begin{align*} +e^p\Big[P\Big(Q &\frac{dq}{dx} + \frac{dQ }{dx}\Big) - Q\Big(P \frac{dp}{dx} + \frac{dP}{dx}\Big)\Big]\\ +&= P \frac{dT}{dx} - T\Big(P \frac{dp}{dx} + \frac{dP}{dx}\Big), +\end{align*} +résultat impossible puisqu'il rentre dans la forme $Pe^p = T$, examinée +ci-dessus. Toutefois ce raisonnement se trouverait en défaut, si l'on +avait à la fois +\[ +P \frac{dT}{dx} - T\Big(P \frac{dp}{dx} + \frac{dP}{dx}\Big) = 0, +\] +et +\[ +P\Big(Q \frac{dq}{dx} + \frac{dQ}{dx}\Big) - Q\Big(\frac{dp}{dx} + \frac{dP}{dx}\Big) = 0. +\] +Mais si l'on avait +\[ +P \frac{dT}{dx} - T\Big(P \frac{dp}{dx} + \frac{dP}{dx}\Big) = 0, +\] +on tirerait aisément de là +\[ +dp + \frac{dP}{P} = \frac{dT}{T}, %[** errata] +\] +puis, en intégrant et désignant par $C$ une constante arbitraire, on en +conclurait +\[ +Pe^p = CT, +\] +\marginpage % *** File: 079.png +ce qui est absurde. De même, si l'on avait +\[ +P\Big(Q \dfrac{dq }{dx} + \dfrac{dQ }{dx}\Big) - Q\Big(P \dfrac{dp }{dx} + \dfrac{dP}{dx}\Big) = 0, +\] +on en déduirait +\[ +e^{p - q} = \dfrac{CQ}{P}, +\] +ce qui est absurde aussi, puisque $p$ et $q$ sont deux fonctions algébriques +de $x$ dont la différence ne se réduit pas à une simple constante. +Donc, quoi qu'on fasse, on est conduit à une absurdité, dès que +l'on part de l'équation +\[ +Pe^p + Qe^q = T: +\] +donc une telle équation ne peut pas exister. Et, d'une manière semblable, +on prouvera l'impossibilité de l'équation +\[ +Pe^p + Qe^q + Re^r +\etc= T, +\] +quel que soit le nombre des quantités $p$, $q$, $r$, etc. Le théorème démontré +au numéro II de mon mémoire sur l'intégration d'une classe +de fonctions transcendantes\footnote{Journal de M.~Crelle, tome XIII, p.~93.} est compris comme cas particulier dans +le théorème que je viens d'établir. + +\mysection{§ II.} + +\begin{center}\emph{Division des fonctions transcendantes en espèces.}\end{center} + +6.~Leibnitz et les Bernouilli, qui paraissent avoir donné les premiers +au mot \emph{fonction} l'acception étendue que nous lui attribuons +aujourd'hui, ont distingué les fonctions \emph{algébriques} et les fonctions +\emph{transcendantes}. + +Le nombre de ces dernières est infini; mais dans les éléments on +se contente de considérer les exponentielles et les logarithmes, que +l'on doit regarder comme renfermant d'une part les puissances à +\marginpage % *** File: 080.png +exposant irrationnel, imaginaire ou variable, et d'autre part toutes +les fonctions circulaires, tant directes qu'inverses, ainsi qu'on peut +aisément s'en convaincre. + +Les caractéristiques particulières aux quantités algébriques, logarithmiques +et exponentielles, sont les trois suivantes $\varpi(x)$, $e^x$, %[** errata] +$\log x$. +Au moyen de ce signe $\varpi(x)$, toutes les fonctions algébriques sont +explicites: il n'en est pas de même des fonctions logarithmiques ou +exponentielles. + +L'emploi des signes $\varpi(x)$, $e^x$, $\log x$ donne naissance aux fonctions +finies qui peuvent, suivant les cas, être explicites ou implicites. + +Une fonction finie de $x$ est \emph{explicite, lorsqu'on peut en écrire l'expression +en indiquant explicitement sur la variable $x$ un nombre limité +d'opérations algébriques, exponentielles et logarithmiques}. La valeur +d'une telle fonction dépend donc uniquement des signes $\varpi(x)$, $e^x$, +$\log x$. + +\emph{Une fonction finie est implicite, lorsqu'elle dépend d'équations +finies, non résolubles explicitement}. Par exemple, la racine $y$ de l'équation +$\log y = xy$ est une fonction finie implicite de $x$. + +Quand on emploie le mot \emph{fonction finie}, sans y ajouter d'épithète, +c'est en général d'une fonction finie explicite que l'on entend parler. + +7.~Les fonctions finies explicites peuvent être classées en espèces +par une méthode semblable à celle dont j'ai fait usage au \no 2, pour +distinguer les divers ordres d'irrationnalité des quantités algébriques +exprimables par radicaux. + +En effet, une fonction finie est algébrique ou transcendante. + +Elle est transcendante de première espèce, quand les signes relatifs +aux opérations transcendantes, dont elle dépend, portent sur de +simples fonctions algébriques; par exemple la quantité +\[ +\frac{e^x + \sqrt{\strxx\log x}}{1 + \log x}, +\] +est une fonction transcendante de première espèce. D'après cette définition, +on conçoit que toute fonction finie de $x$, appartenant à la +première espèce, ne pourra être qu'une fonction algébrique de $x$, +d'un certain nombre de logarithmes, de la forme $\log u$, et d'un certain +nombre d'exponentielles de la forme $e^u$, $u$ étant algébrique. + +\marginpage % *** File: 081.png +Une fonction finie transcendante est de deuxième espèce, quand +les signes relatifs aux opérations transcendantes ne portent pas seulement +sur des fonctions algébriques, mais encore sur des fonctions +transcendantes de première espèce, comme dans cet exemple +$\log(1 + \log x)$. + +Une fonction finie est transcendante de troisième espèce, quand les +signes relatifs aux opérations transcendantes portent sur des fonctions +de seconde espèce, et ainsi de suite. + +Je nomme transcendantes \emph{monomes} les transcendantes formées +d'un seul terme, comme $e^u$, $\log u$, quelle que soit d'ailleurs la fonction +$u$. Par conséquent ${e^x}^2$, $\log(1 + e^x + \log x)$ sont des transcendantes +monomes; ces quantités $e^u$, $\log u$ peuvent d'ailleurs appartenir +à une espèce ou à une autre, suivant la nature de $u$. Elles sont +en général de $n$\iieme\ espèce, lorsque la fonction $u$ est de $(n - 1)$\iieme\ +espèce. En supposant que u désigne une fonction quelconque de +$(n - 1)$\iieme\ espèce, je dirai aussi parfois que $e^u$ est une exponentielle, +et $\log u$ un logarithme de $n$\iieme\ espèce. + +D'après cela, ${e^x}^2$ est une exponentielle de première espèce, et +$\log(1 + e^x + \log x)$ est un logarithme de seconde espèce. + +L'indice $n$ qui désigne l'espèce d'une fonction finie peut diminuer +par la différentiation, mais il n'augmente jamais. Par exemple la +dérivée d'une fonction finie de première espèce est tout au plus de +la première espèce. De plus les transcendantes monomes entrant dans +la fonction primitive sont les seules qui puissent entrer dans la dérivée. +Cette remarque est une conséquence évidente des règles mêmes +du calcul différentiel. + +8.~Dans le numéro précédent, nous avons regardé les fonctions +finies comme renfermant ou pouvant renfermer à la fois des exponentielles +et des logarithmes; néanmoins, il est des circonstances, assez +rares à la vérité, où l'on a besoin de considérer des fonctions exponentielles +dépendant des seuls signes $\varpi(x)$, $e^x$, et des fonctions purement +logarithmiques dépendant des seuls signes $\varpi(x)$, $\log x$. La +division des fonctions en espèces ne sera pas moins utile ici que dans +le cas général. On nommera fonction exponentielle de première espèce +celle où les signes exponentiels ne porteront que sur des quantités +algébriques; la fonction exponentielle de première espèce la plus +\marginpage % *** File: 082.png +générale est donc de la forme $f(x, e^u, e^v,\ldots e^w)$, $u$, $v$,\dots $w$, dépendant +algébriquement de $x$, et la caractéristique $f$ étant algébrique +par rapport à $x$, $e^u$, $e^v$,\dots $e^w$. La fonction exponentielle de seconde +espèce sera celle où les signes exponentiels porteront sur des fonctions +de première espèce. Et ainsi des autres. On distinguera de même +en espèces les fonctions purement logarithmiques. + +A peine a-t-on besoin d'avertir que notre classification des transcendantes +s'étend aux fonctions de plusieurs variables $x$, $y$, $z$\dots. + +9.~Quand le nombre des transcendantes \emph{monomes}, entrant dans une +fonction finie explicite, est supposé le plus petit possible, la fonction +jouit de propriétés semblables à celles des équations algébriques irréductibles. + +Considérons d'abord une fonction de première espèce $U$, et soient +$\theta$, $\eta$,\dots$\zeta$, les transcendantes monomes dont elle dépend. D'après +nos définitions, la valeur de $U$ sera de la forme +\[ +U = f(x, \theta, \eta,\ldots\zeta), +\] +la caractéristique $f$ dénotant une fonction algébrique par rapport aux +lettres comprises entre parenthèses. + +Cela posé, si le nombre $\mu$ des transcendantes \emph{monomes}, $\theta$, $\eta$,\dots $\zeta$, +est supposé réduit à son minimum, c'est-à-dire s'il est impossible de +trouver une autre fonction transcendante de première espèce équivalente +à $U$, et contenant moins de transcendantes monomes que +$f(x, \theta, \eta,\ldots\zeta)$, je dis que nulle relation algébrique ne pourra +exister entre la variable indépendante $x$ et les $\mu$ quantités $\theta$, $\eta$,\dots$\zeta$, +à moins qu'elle ne soit identique. En effet une telle relation, si elle +avait lieu, fournirait la valeur de l'une de ces transcendantes, de $\theta$ par +exemple, exprimée algébriquement en fonction de $x$ et des autres, +et dès-lors on pourrait en reportant dans $U$ cette valeur de $\theta$ diminuer +$\mu$ d'une unité, ce qui est impossible. + +Pour rendre notre raisonnement plus précis, concevons que l'on +tombe, par une suite quelconque de calculs, sur une équation de la +forme +\[ +\phi(x, \theta, \eta,\ldots\zeta) = 0, +\] +dont le premier membre soit algébrique, par rapport à $x$, $\theta$, $\eta$,\dots$\zeta$. +\marginpage % *** File: 083.png +Je dis que cette équation ne pourra contenir $\theta$, $\eta$,\dots$\zeta$ qu'en apparence, +de sorte qu'elle subsisterait encore si l'on venait à remplacer +$\theta$, $\eta$,\dots$\zeta$, soit par d'autres fonctions de $x$ prises au hasard, soit +par de simples lettres indéterminées. En effet si cette équation n'était +pas identique relativement à $\theta$ par exemple, elle fournirait la valeur +de $\theta$ sous la forme +\[ +\theta = \varpi(x, \eta,\ldots\zeta), +\] +$\varpi$ indiquant une fonction algébrique, et en portant cette valeur de $\theta$ +dans celle de $U$, on en conclurait +\[ +U = f[x, \varpi(x, \eta,\ldots\zeta), \eta, \zeta]: +\] +or cette expression de $U$ est absurde, puisqu'elle renferme une transcendante +\emph{monome} de moins que la précédente, laquelle était pourtant +supposée en contenir le plus petit nombre possible. + +Cette démonstration étant générale et rigoureuse pour toutes les +fonctions de première espèce, pourvu que le nombre de leurs transcendantes +monomes soit un minimum, nous avons droit de dire +que, \emph{si, par la marche des calculs, on est conduit à une équation algébrique, +entre la variable $x$ et les transcendantes monomes qui +composent la fonction sus-dite, on ne troublera pas l'égalité en remplaçant +les transcendantes par des fonctions nouvelles prises au +hasard ou par des quantités purement littérales.} + +Supposons maintenant que $U$ soit une fonction transcendante de +$n$\iieme\ espèce, et que $\theta$, $\eta$,\dots$\zeta$ représentent les $\mu$ transcendantes monomes +de $n$\iieme\ espèce, entrant dans cette fonction. La valeur de $U$, +considérée comme dépendante de $\theta$, $\eta$,\dots$\zeta$, sera de la forme +\[ +U = f(\theta, \eta,\ldots\zeta), +\] +la fonction $f$ étant algébrique par rapport aux quantités comprises +entre parenthèses et contenant en outre d'autres transcendantes d'ordre +inférieur dont il est inutile de nous occuper. + +Maintenant, si le nombre $\mu$ est supposé le plus petit possible, je dis +que nulle relation algébrique ne pourra exister entre la variable $x$, +les transcendantes $\theta$, $\eta$,\dots$\zeta$ et d'autres transcendantes d'ordre inférieur +\marginpage % *** File: 084.png +quelles qu'elles soient. En effet, une telle relation, si elle existait, +fournirait la valeur de l'une de ces transcendantes, de $\theta$ par exemple, +en fonction algébrique des autres, et permettrait, en portant la valeur +de $\theta$ dans celle de $U$, de diminuer le nombre $\mu$ d'une unité, ce qui est +absurde. + +Ce raisonnement est tout semblable à celui dont nous nous sommes +servis pour établir le théorème relatif aux fonctions de première espèce. +\emph{Nous voyons donc en général que si $\theta$, $\eta$,\dots$\zeta$ désignent les +transcendantes monomes de $n$\iieme\ espèce entrant dans une fonction +de $n$\iieme\ espèce, toute relation algébrique entre $x$, $\theta$, $\eta$,\dots$\zeta$ et des +transcendantes d'espèce inférieure à la $n^{ieme} $devra être identique en +$\theta$, $\eta$,\dots$\zeta$, c'est-à-dire devra subsister si l'on remplace $\theta$, $\eta$,\dots$\zeta$ soit +par d'autres fonctions de $x$, soit par de simples lettres indéterminées.} +Ce principe recevra par la suite de nombreuses applications. + +\mysection{§ III.} + +\begin{center}\emph{Démonstrations de quelques théorèmes relatifs aux fonctions} $\log x$, +$e^x$, $\log \log x$, etc.\end{center} + +10.~Non-seulement la fonction $\log x$ ne peut être équivalente à +aucune fonction algébrique de $x$; mais même elle ne peut être exprimée +par aucune combinaison quelle qu'elle soit d'un nombre +limité de signes algébriques avec un nombre limité de signes +exponentiels. Et réciproquement l'exponentielle $e^x$ ne peut être +exprimée par aucune fonction purement algébrique et logarithmique. +Ces théorèmes méritent d'être démontrés d'une manière rigoureuse: +on en conclut que les signes $\varpi(x)$, $e^x$, $\log x$ dont nous faisons +usage dans notre classification des fonctions finies explicites sont +réduits au moindre nombre possible. + +Pour rendre notre démonstration plus claire, prouvons d'abord que +la quantité $\log x$ ne peut être équivalente à aucune fonction purement +exponentielle de première espèce: en d'autres termes prouvons qu'en +désignant par $u$, $v$,\dots $w$ des fonctions algébriques et par $\zeta$, $\eta$,\dots$\theta$ +les exponentielles $e^u$, $e^v$,\dots $e^w$, on ne peut pas avoir +\[ +\log x = f(x, \zeta, \eta,\ldots\theta), +\] +si la fonction représentée par $f$ est une fonction algébrique. +\marginpage % *** File: 085.png +Représentons par m le nombre des exponentielles $\zeta$, $\eta$,\dots$\theta$ qui +entrent dans la valeur précédente de $\log x$. Nous avons évidemment +le droit de supposer ce nombre $m$ réduit à son minimum, +c'est-à-dire de supposer que $\log x$ ne puisse s'exprimer par aucune +autre fonction semblable à la fonction $f$, mais contenant moins d'exponentielles; +car si cette autre valeur de $\log x$ existait, c'est celle-là +que nous choisirions pour y appliquer nos calculs. Dès-lors aucune +relation algébrique entre les quantités $x$, $\zeta$, $\eta$,\dots$\theta$ ne pourra avoir +lieu à moins qu'elle ne soit identique par rapport à chacune des +transcendantes. Or, on obtient une telle relation en différentiant la +valeur de $\log x$: la différentiation donne en effet, +\[ +\frac{dx }{x} = df(x, \zeta, \eta,\ldots\theta), +\] +ou bien (en observant que l'on a $\dfrac{d\zeta }{dx} = \dfrac{\zeta du }{dx} = \zeta u'$, +$\dfrac{d\eta }{dx} = \eta v'$,\dots $\dfrac{d\theta }{dx} = \theta w')$ +\begin{multline*} +\frac{1}{x} = f'_x(x, \zeta, \eta,\ldots\theta) + f'_\zeta(x, \zeta, \eta,\ldots\theta)\zeta u'\\ ++ f'_\eta(x, \zeta, \eta,\ldots\theta)\eta v' + \dotsb + f'_\theta(x, \zeta, \eta,\ldots\theta)\theta w'. +\end{multline*} +L'équation que je viens d'écrire doit donc subsister si l'on remplace +$\zeta$, $\eta$,\dots$\theta$ par $\alpha\zeta$, $\beta\eta$,\dots$\gamma\theta$, +$\alpha$, $\beta$,\dots$\gamma$ désignant des quantités +purement littérales. Il résulte de là qu'on a +\begin{multline*} +\frac{1}{x} = f'_x(x, \alpha\zeta, \beta\eta,\ldots\gamma\theta) + f'_{\alpha\zeta}(x, \alpha\zeta, \beta\eta,\ldots\gamma\theta)\alpha\zeta u'\\ ++ f'_{\beta\eta}(x, \alpha\zeta, \beta\eta,\ldots\gamma\theta)\beta\eta v' + \dotsb + f'_{\gamma\theta}(x, \alpha\zeta, \beta\eta,\ldots\gamma\theta)\gamma\theta w', +\end{multline*} +c'est-à-dire +\[ +\frac{dx }{x} = df(x, \alpha\zeta, \beta\eta,\ldots\gamma\theta). +\] +En égalant cette valeur de $\dfrac{dx}{x}$ à la précédente $df(x, \zeta, \eta,\ldots +\theta)$, puis +intégrant, on a donc +\[ +f(x, \alpha\zeta, \beta\eta,\ldots\gamma\theta) = f(x, \zeta, \eta,\ldots\theta) + C. +\] +\marginpage % *** File: 086.png +Pour déterminer la constante $C$, je nomme $a$, $b$,\dots $c$ les valeurs +respectives de $\zeta$, $\eta$,\ldots$\theta$ pour une valeur déterminée quelconque +$x = g$: il en résulte +\[ +f(g, \alpha a, \beta b,\ldots\gamma c) = f(g, a, b,\ldots c) + C. +\] +Éliminant $C$, on a +\begin{flalign*} +&f(x, \alpha\zeta, \beta\eta,\ldots\gamma\theta) - f(g, \alpha a, \beta b,\ldots\gamma c) += f(x, \zeta, \eta,\ldots\theta) - f(g, a, b,\ldots c). +\end{flalign*} +Je différentie cette équation par rapport à $\alpha$, et après la différentiation, +je pose $\alpha = 1$, $\beta = 1$,\dots$\gamma = 1$: je trouve par là +\[ +\zeta f'_\zeta(x, \zeta, \eta,\ldots\theta) = af'_a(g, a, b,\ldots c), +\] +ou simplement, +\[ +f'_\zeta(x, \zeta, \eta,\ldots\theta) = \frac{A }{\zeta}, +\] +en représentant par $A$ la constante $af'_a(g, a, b,\ldots c)$. L'équation +algébrique précédente subsistera encore (\no 9) si je remplace $\zeta$, $\eta$,\dots$\theta$ +par les quantités purement littérales $\lambda$, $\mu$,\dots$\nu$: on a par conséquent, +\[ +f'_\lambda(x, \lambda, \mu,\ldots\nu) = \frac{A }{\lambda}, +\] +et l'on aura de même, +\begin{align*} +f'_\mu(x, \lambda, \mu,\ldots\nu) = \frac{B }{\mu},\\[-1ex] +\multispan{2}{\leaderfill}\\ +f'_\nu(x, \lambda, \mu,\ldots\nu) = \frac{C}{\nu}, +\end{align*} +si l'on représente par $B$,\dots $C$ les constantes $bf'_b(g, a, b,\ldots c)$, +$cf'_c (g, a, b,\ldots c)$. De là il est aisé de conclure +\marginpage % *** File: 087.png +\begin{multline*} +f_\lambda (x, \lambda, \mu,\ldots\nu) d\lambda + f'_\mu (x, \lambda, \mu,\ldots\nu) d\mu + \dotsb \\ ++ f'_\nu (x, \lambda, \mu,\ldots\nu) d\nu = \frac{Ad\lambda}{\lambda} + \frac{Bd\mu}{\mu} + \dotsb + \frac{Cd\nu}{\nu}: +\end{multline*} +intégrant donc par rapport à $\lambda$, $\mu$,\dots$\nu$, il vient +\[ +f(x, \lambda, \mu,\ldots\nu) = A \log \lambda + B \log \mu + \dotsb + C \log \nu + \text{const}. +\] +La constante est ici une fonction de $x$: pour la déterminer, soient +$\lambda_0$, $\mu_0$,\dots$\nu_0$ des valeurs particulières de $\lambda$, $\mu$,\dots$\nu$: en les substituant, +on obtiendra +\[ +f (x, \lambda_0, \mu_0,\ldots\nu_0) = A \log \lambda_0 + B \log \mu_0 + \dotsb + C \log \nu_0 + \text{const}. +\] +d'où l'on tire, par la soustraction, +\begin{multline*} +f (x, \lambda, \mu,\ldots\nu) = f (x, \lambda_0, \mu_0,\ldots\nu_0) + A(\log\lambda - \log\lambda_0)\\ ++ B(\log\mu - \log\mu_0) + \dotsb + C(\log\nu - \log\nu_0). +\end{multline*} +Comme je puis actuellement donner à $\lambda$, $\mu$,\dots$\nu$ les valeurs que je +veux, je pose $\lambda = \zeta$, $\mu = \eta$,\dots $\nu = \theta$: le premier membre devient +$f(x, \zeta, \eta,\ldots\theta)$ ou $\log x$: en observant que $\log \zeta = u$, $\log \eta = v$,\dots +$\log \theta = w$, j'en tire donc +\begin{multline*} +\log x = f(x, \lambda_0, \mu_0,\ldots\nu_0) + A(u - \log\lambda_0) %[** errata] +\\ ++ B (v - \log\mu_0) + \dotsb + C(w - \log\nu_0), +\end{multline*} +équation absurde; car le second membre est une fonction algébrique +de $x$, laquelle ne peut pas être égale à $\log x$, d'après ce qu'on a +démontré ci-dessus. + +11.~On peut abréger la démonstration précédente, sans d'ailleurs +en changer l'esprit; il suffit pour cela de considérer à part une des +exponentielles $\zeta$, $\eta$,\dots$\theta$, la première par exemple, au lieu de les +considérer toutes à la fois. Je développerai d'autant plus volontiers +cette seconde méthode, ou plutôt cette autre manière d'envisager +la même méthode, que j'en ferai par la suite un usage continuel +et exclusif. Voici comment il faut raisonner alors. + +Il s'agit de prouver l'absurdité de l'équation +\[ +\log x = f(x, \zeta, \eta,\ldots \theta),\tag{1} +\] +\marginpage % *** File: 088.png +dont le second membre renferme $m$ exponentielles $\zeta$, $\eta$,\dots $\theta$: le +nombre $m$ est supposé réduit à son minimum: par conséquent si +de l'équation (1) on déduit une autre équation semblable dont le second +membre renferme moins de $m$ exponentielles, l'absurdité de l'équation +(1) sera par cela même rendue manifeste. + +Maintenant pour mettre spécialement en évidence l'exponentielle +$\zeta$, j'écrirai +\[ +\log x = \phi (x, \zeta), +\] +et j'en déduirai en différentiant +\[ +\frac{1}{x} = \phi _x '(x, \zeta ) + \phi _\zeta '(x, \zeta )\zeta u', +\] +$\phi _x '(x,\zeta )$ étant l'expression abrégée de +\[ +f'_x (x,\zeta ,\eta ,\ldots\theta ) + f'_\eta +(x,\zeta ,\eta ,\ldots\theta )\eta v' + \dotsb + f'_\theta (x,\zeta ,\eta ,\ldots\theta )\theta w' +\] +L'équation +\[ +\frac{1}{x} = \phi '_x (x,\zeta ) + \phi '_\zeta (x, \zeta )\zeta u' +\] +remplace l'équation équivalente +\begin{multline*} +\frac{1}{x} = f'_x (x,\zeta ,\eta ,\ldots\theta ) + f'_\zeta (x,\zeta ,\eta ,\ldots\theta )\zeta u'\\ ++ f'_\eta (x,\zeta ,\eta ,\ldots\theta )\eta v' + \dotsb + f'_\theta (x,\zeta ,\eta ,\ldots\theta )\theta w', +\end{multline*} +dont nous nous sommes servis dans le numéro précédent, mais elle +est beaucoup plus simple à écrire. Cette équation doit être identique +par rapport à $\zeta$: on peut donc y remplacer $\zeta$ par $\alpha \zeta$, $\alpha$ étant une +quantité numérique quelconque, ce qui donne +\[ +\frac{1}{x} = \phi '_x (x,\alpha \zeta ) + \phi '_{\alpha \zeta } (x, \alpha \zeta )\alpha \zeta u', +\] +équation dont le second membre, multiplié par $dx$, fournit pour +résultat la différentielle complète $d\phi (x,\alpha \zeta )$. En égalant cette valeur de +$\dfrac{1}{x}$ à la précédente, et intégrant l'équation qui en résulte, puis déterminant +la constante arbitraire à l'aide d'une valeur particulière $x = g$, +\marginpage % *** File: 089.png +à laquelle répond $\zeta=a$, on obtient +\[ +\phi (x, \alpha \zeta ) = \phi (x, \zeta ) + \phi (g,\alpha a) - \phi (g,a). +\] +Je différentie cette équation par rapport à $\alpha$ et je fais ensuite $\alpha = 1$. +En posant $a\phi '_a (g,a) = A$, je trouve ainsi, +\[ +\zeta \phi '_\zeta (x,\zeta ) = A. +\] +Cette équation étant algébrique par rapport à $x$, $\zeta$, $\eta$,\dots $\theta$, doit subsister +si l'on remplace $\zeta$ par une lettre indéterminée $i$ que l'on pourra +regarder comme une variable indépendante. On a donc +\[ +\phi '_i (x,i) = \frac{A}{i}. +\] +Multipliant par $di$ et intégrant, j'obtiens +\[ +\phi (x,i) = A\log i + \text{const.} +\] +d'où résulte, en déterminant la constante à l'aide d'une valeur particulière +$i_0$ de $i$, +\[ +\phi (x,i) = A\log i + \phi (x,i_0 ) - A\log i_0. +\] +J'ai le droit de donner à $i$ telle valeur qu'il me plaira: je pose donc +$i=\zeta$; le premier membre de mon équation devient $\phi (x,\zeta )$ ou $\log x$: +de là je conclus, en observant que $\log \zeta = u$: +\[ +\log x = Au + \phi (x,i_0 ) - A\log i_0, +\] +équation absurde, car le second membre est une fonction exponentielle de +première espèce où $\zeta$ n'entre plus et qui renferme seulement +$m-1$ exponentielles $\eta$,\dots$\theta$, tandis que la valeur de $\log x$ doit par +hypothèse en contenir au moins $m$. Nous sommes ainsi conduits de +nouveau à la conclusion obtenue dans le numéro précédent, savoir +qu'une équation de la forme (1) est inadmissible. Le lecteur jugera +sans doute avec nous que la démonstration donnée en dernier lieu +est plus simple et aussi rigoureuse que celle du \no 10; elle abrège +surtout considérablement l'écriture. + +12.~Faisons voir maintenant que $\log x$ ne peut être exprimé par +aucune fonction exponentielle de $n$\iieme\ +espèce, quel que soit $n$. Désignons +\marginpage % *** File: 090.png +en effet par $m$ le nombre des exponentielles de $n$\iieme\ espèce, +et supposons le nombre $m$ réduit à son minimum, en sorte que nulle +relation algébrique ne puisse exister entre ces exponentielles de $n$\iieme\ +espèce et d'autres, quelles qu'elles soient, d'espèce inférieure. Soit +$\zeta = e^u$ une quelconque d'entre elles, $u$ étant une fonction exponentielle +de $(n-1)$\iieme\ espèce, et, pour mettre $\zeta$ en évidence, écrivons +\[ +\log x = \phi (x, \zeta), +\] +la fonction $\phi$ étant algébrique par rapport à $\zeta$, et contenant en outre, +algébriquement aussi, \label{err090}d'autres exponentielles monomes dont il est +inutile de faire une mention explicite. + +L'équation +\[ +\frac{dx}{x} = d\phi(x,\zeta), +\] +ou +\[ +\frac{1}{x} = \phi_x'(x,\zeta)+\phi_\zeta'(x,\zeta)\zeta u', +\] +que l'on obtient en différentiant la valeur de $\log x$, est algébrique par +rapport à ces transcendantes aussi bien que par rapport à $\zeta$. Donc elle +doit subsister en remplaçant $\zeta$ par $\alpha \zeta$, $\alpha$ étant une quantité numérique +quelconque; ainsi l'on a +\[ +\frac{1}{x} = \phi_x'(x,\alpha\zeta)+\phi_{\alpha\zeta}'(x,\alpha\zeta)\alpha\zeta u', +\] +d'où il est aisé de conclure +\[ +\frac{dx}{x} = d\phi(x,\alpha\zeta). +\] +J'égale cette valeur de $\dfrac{dx}{x}$ à la précédente $d\phi (x, \zeta)$, après quoi j'intègre, +et je détermine la constante à l'aide d'une valeur particulière +$x = b$, à laquelle réponde $\theta = a$. Il vient +\[ +\phi(x,\alpha\zeta) = \phi(x,\zeta) + \phi(b,\alpha a) - \phi(b,a). +\] +Je différentie par rapport à $\alpha$ l'équation que je viens d'écrire, et posant +$\alpha = 1$ après la différentiation, je trouve +\[ +\zeta\phi_\zeta'(x,\zeta) = a\phi_a'(b,a), +\] +\marginpage % *** File: 091.png +équation algébrique par rapport à $\zeta$ et qui doit subsister si l'on remplace +$\zeta$ par une lettre indéterminée $i$: remplaçant donc $\zeta$ par $i$ et +faisant $a\phi'_a(b, a) = A$, j'ai +\[ +\phi'_i(x,i) = \frac{A}{i}, +\] +ce qui me donne, en intégrant par rapport à $i$, +\[ +\phi(x, i) = A \log i + \text{const}. +\] +En déterminant la constante à l'aide d'une valeur particulière $i_0$ de $i$ +et posant ensuite $i=\zeta$, on obtient enfin, comme ci-dessus, +\[ +\log x = Au + \phi(x, i_0) - A \log i_0, +\] +équation absurde, puisque le nombre des exponentielles de $n$\iieme\ +espèce contenues dans le second membre est $< m$, ce qui ne se peut. + +13.~Il est rigoureusement établi par là que la fonction $\log x$ ne +peut être équivalente à aucune fonction $\phi$ purement exponentielle ou +dépendante des seuls signes $\varpi(x)$, $e^x$. On peut en dire autant des +fonctions suivantes $\log \log x$, $\log \log \log x$, etc.; car si l'on avait +$\log \log x= \phi$, on en déduirait $\log x=e^\phi$, ce qui est absurde. Réciproquement +nous ferons voir que la quantité $e^x$ ne peut être exprimée +par aucune fonction purement logarithmique. + +Supposons, par exemple, qu'il soit possible d'exprimer $e^x$ par une +fonction logarithmique de première espèce, c'est-à-dire de la forme +\[ +e^x = f(x, \zeta, \eta,\ldots\theta), +\] +$\zeta$, $\eta$,\dots$\theta$, ayant pour valeurs respectives $\log u$, $\log v$,\dots $\log w$ où +$u$, $v$,\dots $w$, désignent des fonctions algébriques, et le nombre $m$ des +quantités $\zeta$, $\eta$,\dots $\theta$ étant réduit à son minimum. + +Considérons spécialement $\zeta$ par exemple, et remplaçons en conséquence +$f(x, \zeta, \eta, \ldots\theta)$, par $\phi(x, \zeta)$; nous aurons en prenant les +logarithmes des deux membres +\[ +x = \log \phi(x, \zeta), +\] +d'où résulte, en différentiant +\[ +dx = \frac{d\phi(x, \zeta)}{\phi(x, \zeta)} , +\] +\marginpage % *** File: 092.png +ou +\[ +1 = \frac{\phi'_x(x,\zeta) + \phi'_\zeta(x , \zeta) \dfrac{u'}{u} }{\phi(x,\zeta)} , +\] +équation purement algébrique par rapport à $\zeta$, $\eta$,\dots$\theta$, qui doit être +identique par rapport à $\zeta$, et où l'on peut en conséquence remplacer +$\zeta$ par $a + \zeta$, $\alpha$ étant un nombre quelconque. On a donc +\[ +1 = \frac{\phi'_x(x,\alpha+\zeta) + \phi'_\zeta(x , \alpha+\zeta) \dfrac{u'}{u}}{\phi(x, \alpha+\zeta)} , +\] +ou +\[ +dx = \frac{d\phi(x,\alpha+\zeta)}{\phi(x,\alpha+\zeta) }. +\] +J'égale cette valeur de $dx$ à la précédente, ce qui me donne +\[ +\frac{d\phi(x,\alpha+\zeta)}{\phi(x,\alpha+\zeta)} += \frac{d\phi(x, \zeta)}{\phi(x, \zeta)} ; +\] +intégrant donc et déterminant la constante arbitraire à l'aide d'une +valeur particulière $x=b$, à laquelle réponde $\zeta = a$, on obtient +\[ +\phi(x, \alpha+\zeta) = \frac{\phi(x,\zeta)}{\phi(b,a)} \phi(b, \alpha+a). +\] +Je différentie maintenant par rapport à $\alpha$, et après la différentiation +je pose $\alpha = 0$: cela me donne +\[ +\phi'_\zeta(x, \zeta) = \frac{\phi'_a(b,a)}{\phi(b,a)} \phi(x, \zeta) , +\] +équation algébrique par rapport à $\zeta$ et qui doit subsister encore si +l'on remplace $\zeta$ par une lettre indéterminée $i$. On a par conséquent +\[ +\phi'_i(x, i) = \frac{\phi'_\alpha(b,a)}{\phi(b,a)} \phi(x,i): +\] +en posant $\dfrac{\phi'_\alpha(b,a)}{\phi(b,a)} = h$, on en conclut +\[ +\frac{\phi'_i(x,i) di}{\phi(x,i)} = h di. +\] +\marginpage % *** File: 093.png +Intégrant donc par rapport à $i$, et déterminant la constante que l'intégration +introduit à l'aide d'une valeur particulière $i = i_0$, on tire +aisément de là +\[ +\phi(x,i) e^{hi_0} = \phi(x,i_0) e^{hi }, +\] +résultat absurde, puisqu'on en déduirait $e^{hi}=$ \emph{une fonction algébrique +de} $i$, ce qui ne se peut. Si $h$ était $=0$, ce raisonnement ne serait plus +possible; mais on aurait alors $\phi(x, i) = \phi(x, i_0)$; d'où, en posant +$i=\zeta$, on conclurait $\phi(x,\zeta)$ ou $e^x = \phi(x,i_0)$, équation absurde, +puisque son second membre renferme seulement $(m- 1)$ logarithmes, +tandis que la valeur de $e^x$ doit, par hypothèse, en contenir au moins $m$. + +On prouvera en général que $e^x$ ne peut être exprimé par aucune +fonction purement logarithmique de $n$\iieme\ espèce. En effet soit $\zeta$ une +des $m$ exponentielles de $n$\iieme\ espèce entrant dans la valeur supposée +de $e^x$, et suivant notre usage posons $e^x = \phi(x, \zeta)$. Regardons le +nombre m comme réduit à son minimum: dès-lors aucune relation +algébrique ne pourra exister entre $x$, $\zeta$, les autres logarithmes de $n$\iieme\ +espèce contenus dans $\phi(x, \zeta)$ et d'autres logarithmes d'espèce inférieure. +On pourra par conséquent répéter ici mot à mot tout ce que +nous avons dit au commencement de ce numéro, quand la fonction +$\phi(x,\zeta)$ appartenait à la première espèce, et l'on retombera de +nouveau sur l'équation absurde $\phi(x,i) e^{hi_0} = \phi(x,i_0) e^{hi}$. Notre +analyse établit donc en toute rigueur le théorème que nous avions +en vue, savoir que l'exponentielle $e^x$ ne peut être exprimée par +aucune fonction purement logarithmique de la variable $x$. + +\mysection{§ IV.} + +\begin{center}\emph{Des diverses fonctions que l'on rencontre dans les éléments.}\end{center} + +14.~Si nous passons maintenant en revue les diverses fonctions de +$x$ dont on s'occupe dans les éléments d'algèbre, nous verrons que +toutes peuvent s'exprimer sous forme finie, à l'aide des simples +fonctions algébriques, exponentielles et logarithmiques. Et nous n'avons +pas même besoin de comprendre parmi ces dernières les exponentielles +de la forme $a^x$ et les logarithmes $\Log x$ dont la base n'est +\marginpage % *** File: 094.png +pas le nombre $e = 2{,}718 \ldots$; car ou a $a^x=e^{x \log a}$ et $\Log x=M \log x$, +$M$ désignant le module du système des logarithmes désignés par $\Log x$, +par où l'on voit que tous les logarithmes peuvent être transformés en +logarithmes népériens, et toutes les exponentielles transformées en +d'autres exponentielles rapportées au nombre $e$. + +15.~Considérons d'abord les puissances dont l'exposant est un +nombre quelconque. Soit $\alpha$ une constante réelle ou imaginaire: la +puissance dont il s'agit sera représentée par $x^\alpha$. Dans le cas très particulier +où le nombre $\alpha$ est réel et rationnel, on sait que $x^\alpha$ est une +fonction algébrique de $x$; car si l'on a $\alpha=\dfrac{m}{n}$, ou $\alpha=-\dfrac{m}{n}$, $m$ et $n$ +désignant deux nombres entiers positifs, il en résultera +\[ +x^\alpha = x^\frac{m}{n} = \sqrt[n]{x^m}, +\] +ou +\[ +x^\alpha = x^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{x^m}}. +\] +Mais toutes les fois que la constante $\alpha$ est irrationnelle ou imaginaire, +je dis que $x^\alpha$ n'est pas une fonction algébrique de $x$. Pour le prouver, +posons $y=x^\alpha$, ce qui donne +\[ +x \frac{dy}{dx} = \alpha y. +\] +Admettons pour un instant que $y$ soit une fonction algébrique de +$x$, déterminée par une équation irréductible de degré $\mu$, savoir +\begin{align*} +f(x,y) &= 0,\tag{1} +\end{align*} +dont le premier membre serait une fonction entière de $x$ et $y$. En +différentiant, il vient +\[ +f'_x(x,y) + f'_y(x,y)\frac{dy}{dx} = 0, +\] +équation qui se transforme dans la suivante +\begin{align*} +xf'_x(x,y) + \alpha y f '_y(x,y) &= 0,\tag{2} +\end{align*} +\marginpage % *** File: 095.png +lorsqu'on remplace $\dfrac{dy}{dx}$ par sa valeur $\dfrac{\alpha y}{x}$ et qu'on chasse ensuite le dénominateur +$x$. Pour que l'équation $x \dfrac{dy}{dx} = \alpha y$ soit satisfaite, il est +donc nécessaire que les deux équations (1) et (2) aient lieu en +même temps, sans qu'on soit obligé d'attribuer à $x$ une valeur particulière; +et comme l'équation (1) est irréductible, une de ses racines, +$y_1$, par exemple, ne peut satisfaire à l'équation (2), sans que toutes +les autres $y_2$, $y_3$,\dots $y_\mu$, n'y satisfassent aussi, Donc, si l'intégrale particulière +$y = y_1$, vérifie l'équation $x \dfrac{dy}{dx} = \alpha y$, les intégrales particulières +$y = y_2$, $y = y_3$,\dots $y = y_\mu$, la vérifieront également. Les racines +$y_1$, $y_2$,\dots $y_\mu$ étant différentes de zéro par la nature même de l'équation +irréductible (1), il résulte de la théorie des équations linéaires +que la valeur de $y$ s'obtiendra en multipliant $y_1$ par une certaine +constante $C_1$, ou bien en multipliant $y_2$,\dots $y_\mu$ par des constantes +$C_2$,\dots $C_\mu$: on voit donc qu'il est permis de poser à la fois +\[ +y = C_1y_1,\quad y = C_2y_2,\quad y = C_3y_3,\ldots y = C_\mu y_\mu: +\] +je multiplie ces équations membre à membre, et en représentant par +$C^{\mu}$ le produit $C_1C_2C_3 \ldots C_\mu$, je trouve +\[ +y^\mu = C^{\mu} y_1y_2y_3\ldots y_\mu , +\] +d'où je tire +\[ +y = C\sqrt[\mu] {y_1y_2y_3\ldots y_\mu}. +\] +Le produit $y_1y_2y_3\ldots y_\mu$ n'est pas nul, puisque l'équation (1) étant +irréductible, n'a pas de racine nulle; c'est d'ailleurs une fonction rationnelle +et symétrique de $y_1$, $y_2$, etc.\ et par suite une fonction +rationnelle de $x$, que l'on peut représenter par le quotient $\dfrac{X}{Y}$ de deux +polynomes entiers premiers entre eux. Donc si la fonction $y = x^\alpha$ +peut s'exprimer algébriquement, sa valeur sera de la forme +\[ +y = C \sqrt[\mu]{\dfrac{X}{Y}}. +\] +\marginpage % *** File: 096.png +En différentiant cette valeur, je trouve +\[ +\frac{dy}{dx} = \frac{y}{\mu} \ldot \frac{YX'- XY'}{XY}, +\] +et, comme j'ai d'ailleurs $x \dfrac{dy}{dx} = \alpha y$, j'en conclus +\[ +\frac{x}{\mu}(YX' - XY') = \alpha XY. +\] + +Cette équation nous prouve que $XY$ est divisible par $x$, et que +par conséquent un des deux facteurs $X$ ou $Y$ l'est aussi; car ils ne +peuvent pas l'être tous deux à la fois, puisqu'on les suppose premiers +entre eux. Admettons d'abord que $\dfrac{X}{x}$ soit une fonction entière. Il est +alors permis de faire $X = Zx^n$, $n$ étant un nombre entier $> 0$ et $Z$ +un nouveau polynome non divisible par $x$: on a donc +\[ +X' = nZx^{n-1} + Z'x^n. +\] +Portant cette valeur et celle de $X$ dans l'équation précédente, on +obtient +\[ +\frac{x}{\mu}(nYZx^{n-1} + YZ'x^n - ZY'x^n) = \alpha YZx^n, +\] +équation qu'on peut écrire ainsi +\[ +\Big(\frac{n}{\mu} - \alpha\Big)YZ = \frac{x}{\mu}(ZY' - YZ'), +\] +et dont l'absurdité est manifeste toutes les fois que $\alpha$ est une constante +irrationnelle ou imaginaire. En effet, dans cette hypothèse, le +coefficient $\dfrac{n}{\mu} - \alpha$, ne peut pas être nul, puisqu'en posant $\alpha = \dfrac{n}{\mu}$ la +valeur de $\alpha$ serait le quotient de deux nombres entiers réels. Par conséquent +le premier membre, où se trouvent les deux facteurs $Y$ et $Z$ +premiers avec $x$, est aussi premier avec $x$, tandis que dans le second +membre, ce facteur $x$ est au contraire mis en évidence. En posant +$Y = Zx^n$, on arrivera de même à une équation absurde, savoir, +\[ +\Big(\frac{n}{\mu} + \alpha\Big)XZ = \frac{x}{\mu}(ZX' - XZ'). +\] +\marginpage % *** File: 097.png +Donc $y$ ou $x^n$ ne peut pas avoir une valeur de la forme $C \sqrt[\mu]{\dfrac{X}{Y}}$: donc +$x^\alpha$ ne peut s'exprimer par aucune fonction algébrique de $x$. Il est +d'ailleurs aisé de voir que cette quantité peut être représentée par des +exponentielles et des logarithmes, puisque l'on a $x^\alpha = e^{\alpha \log x}$. + +16.~Viennent ensuite les exponentielles dont la base et l'exposant +à la fois sont des fonctions de la variable, exponentielles dont la +quantité $x^x$ nous offre un exemple. Il est bien facile de prouver que +l'on n'a pas $x^x = y$, $y$ étant une fonction algébrique; car en différentiant +cette équation, on trouverait +\[ +y(1 + \log x) = y' , +\] +d'où l'on déduirait log $x = \dfrac{y'}{y} - 1 = \textit{fonction algébrique de } x$, +ce qui est absurde. Mais cette fonction $x^x$, et la fonction plus +compliquée $q^p$ dans laquelle $p$ et $q$ sont deux fonctions algébriques +quelconques de $x$, peuvent s'écrire sous forme finie avec les signes +logarithmiques et exponentiels, puisque l'on a +\[ +x^x = e^{x \log x},\quad q^p = e^{p \log q}. +\] + +17.~Je m'occuperai en dernier lieu des fonctions circulaires. Et d'abord +s'il s'agit du cosinus, on a par une formule connue d'Euler +\[ +\cos x = \frac{e^{x\sqrt{-1}} + e^{-x\sqrt{-1}}}{2} : +\] +donc la quantité $\cos x$ s'exprime en exponentielles imaginaires, et il +en est de même de $\sin x$ et des autres lignes trigonométriques, +puisque l'on a +\[ +\sin x = \frac{e^{x\sqrt{-1}} - e^{-x\sqrt{-1}}} {2\sqrt{-1}}, \;\etc +\] +Il nous sera aisé de prouver en passant que ces lignes trigonométriques +ne sont point exprimables en fonction algébrique de $x$, car si +l'on avait par exemple $\cos x= f(x)$, $f$ dénotant une fonction algébrique, +\marginpage % *** File: 098.png +on aurait aussi +\[ +\frac{e^{x\sqrt{-1}} + e^{-x\sqrt{-1}}}{2} = f(x) , +\] +et il en résulterait +\[ +e^{x\sqrt{-1}} = f(x) \pm \sqrt{f(x)^2 - 1}, +\] +c'est-à-dire $e^{x\sqrt{-1}} = \textit{une fonction algébrique de } x$, ce qui ne se peut. + +Les fonctions trigonométriques inverses ne sont pas non plus algébriques, mais elles s'expriment par des logarithmes au moyen des +formules de Jean Bernouilli +\begin{align*} +\arcsin x &= \frac{1}{\sqrt{-1}} \log (x\sqrt{-1} +\sqrt{1-x^2}),\\ +\arctang x &= \frac{1}{2\sqrt{-1}} \log \left(\frac{1+x\sqrt{-1}}{1-x\sqrt{-1}}\right).\\[-0.5ex] +\multispan{2}{\leaderfill} +\end{align*} +En résumé, les fonctions que l'on rencontre dans les éléments +peuvent toutes s'écrire sous forme finie à l'aide des signes algébriques, +exponentiels et logarithmiques; ce que nous nous proposions +d'établir. + +\mysection{§ V.} + +\begin{center}\emph{Comment on peut reconnaître d'une manière précise à quelle espèce +appartient une fonction finie explicite donnée.}\end{center} + +18.~D'après la classification des fonctions finies explicites adoptée +par nous au paragraphe deuxième de ce mémoire, une fonction finie +explicite de la $n$\iieme\ espèce ne peut renfermer dans chacun de ses termes +plus de $n$ opérations transcendantes portant successivement l'une sur +l'autre; mais de ce qu'une fonction finie explicite renferme un ou +plusieurs termes affectés de $n$ opérations transcendantes successives, +il n'en résulte pas nécessairement qu'elle appartienne à la $n$\iieme\ espèce: +\marginpage % *** File: 099.png +au contraire il peut arriver qu'elle appartienne à une espèce inférieure +à la $n$\iieme\ ou même qu'elle soit purement algébrique. Aussi avant +d'affirmer qu'une fonction finie donnée appartient à une espèce ou +à une autre, est-il nécessaire de réduire autant que possible les signes +exponentiels et logarithmiques, qui se succèdent et qui souvent +peuvent s'entre-détruire. + +Si vous considérez, par exemple, les fonctions $\log (xe^x)$, $\log ({e^x}^n)$, +qui sous leur forme actuelle paraissent appartenir à la seconde espèce, +vous n'aurez qu'à les écrire ainsi $\log (xe^x) = \log x + x$, +$\log ({e^x}^n) = x^n$, pour reconnaître que l'une d'elles est de première +espèce et que l'autre est purement algébrique. + +Ces réflexions conduisent à un problème nouveau difficile autant +qu'utile et dont voici l'énoncé: \emph{Étant donnée une fonction +finie explicite, trouver une méthode exacte qui fasse connaître avec +certitude à quelle espèce cette fonction donnée appartient}. Sans essayer +de traiter ce problème dans toute sa généralité, nous allons montrer, +par des exemples choisis, quels principes on doit employer pour le +résoudre dans chaque cas particulier. Mais, avant d'entrer en matière, +il faut démontrer un théorème dont nous ferons, dans ce qui va +suivre, un fréquent usage. + +19.~Soient $A$, $B$,\dots $C$, des constantes quelconques et $x$ une variable +indépendante: je dis qu'il est impossible de trouver des fonctions +$u$, $v$,\dots $w$, algébriques en $x$ et telles que l'on ait +\begin{align*} +A \log u + B \log v + \dotsb + C \log w = x.\tag{1} +\end{align*} +Pour établir ce théorème, nous ferons voir que l'équation (1), si +elle était admise ($u$, $v$,\dots $w$ désignant des fonctions algébriques de +$x$) conduirait à une absurdité. + +En effet soit $\theta$ une fonction algébrique de $x$, telle que toutes les +quantités $u$, $v$,\dots $w$ puissent être regardées comme des fonctions +rationnelles de $x$ et $\theta$, et qu'il en soit de même par conséquent de +leurs dérivées $u'$, $v'$,\dots $w'$. Il existe une infinité de fonctions $\theta$ qui +jouissent de cette propriété, et l'on peut prendre, par exemple, +$\theta = \alpha u + \beta v + \dotsb +\gamma w$, $\alpha$, $\beta$,\dots$\gamma$, étant des constantes arbitraires. +Puisque $\theta$ est algébrique en $x$, on peut regarder cette quantité +comme la racine d'une équation irréductible $f(x,\theta) = 0$, $f(x, \theta)$ +\marginpage % *** File: 100.png +désignant un polynome entier par rapport à $x$ et $\theta$, et de degré $\mu$ +relativement à cette dernière lettre. + +Cela posé, en différentiant l'équation (1), il vient +\[ +\frac{Au'}{u} + \frac{Bv'}{v} + \dotsb + \frac{Cw'}{w} = 1. +\] +D'après ce qu'on a dit plus haut, le premier membre de cette équation +est une fonction rationnelle de $x$ et $\theta$, ou peut facilement se transformer +en une telle fonction. Ce premier membre doit être égal à +l'unité, en prenant pour $\theta$ une des racines de l'équation irréductible +$f(x, \theta) = 0$: donc, par le théorème du \no 3, il devra aussi se réduire +à l'unité pour toutes les autres racines. + +D'après cela, en nommant $\theta_1$, $\theta_2$,\dots $\theta_{\mu}$ les $\mu$ racines de l'équation +$f(x, \theta) = 0$, puis $u_1$, $v_1$\dots $w_1$, $u'_1$, $v'_1$,\dots $w'_1$ les valeurs correspondantes +de $u$, $v$,\dots $w$, $u'$, $v'$,\dots $w'$, on aura quel que soit $x$: +\begin{alignat*}{4} +&\frac{Au'_1}{u_1} &&+ \frac{Bv'_1}{v_1} &&+ \dotsb + \frac{Cw'_1}{w_1} &&= 1,\\ +&\frac{Au'_2}{u_2} &&+ \frac{Bv'_2}{v_2} &&+ \dotsb + \frac{Cw'_2}{w_2} &&= 1,\\ +&\frac{Au'_\mu}{u_\mu} &&+ \frac{Bv'_\mu}{v_\mu} &&+ \dotsb + \frac{Cw'_\mu}{w_\mu} &&= 1, +\end{alignat*} +Je multiplie ces équations par $dx$ et je les ajoute, ce qui, en ayant +égard à la relation +\[ +\frac{u'_1}{u_1} dx + \frac{u'_2}{u_2} dx + \dotsb + \frac{u'_\mu}{u_\mu} dx = d \log(u_1 u_2 \dots u_\mu) , +\] +me donne +\[ +A d \log (u_1 u_2 \ldots u_\mu) ++ B d \log (v_1 v_2 \ldots v_\mu) + \dotsb ++ C d \log (w_1 w_2 \ldots w_\mu) = \mu dx : +\] +or les produits $u_1 u_2 \ldots u_{\mu}$, $v_1 v_2 \ldots v_{\mu}$, $w_1 w_2 \ldots w_{\mu}$ sont des fonctions +rationnelles de $\alpha$, $\theta_1$, $\theta_2$\dots $\theta_{\mu}$, symétriques en $\theta_1$, $\theta_2$\dots $\theta_{\mu}$: donc, +par un théorème connu, on peut les exprimer rationnellement en $x$ +et les représenter respectivement par $X$, $Y$,\dots $Z$. + +D'où l'on voit que si l'équation (1) était possible, on pourrait trouver +\marginpage % *** File: 101.png +des fonctions rationnelles de $x$, savoir $X$, $Y$,\dots $Z$, propres à satisfaire +à l'autre équation +\begin{align*} +Ad\log X + Bd\log Y + \dotsb + Cd \log Z = dx.\tag{2} +\end{align*} +On sait (\no 19) que toute fonction rationnelle $X$ peut se mettre sous +la forme +\begin{align*} +X &= M(x - a)^\alpha(x - b)^\beta \ldots(x - c)^\gamma, +\end{align*} +et on pourra écrire de même +\begin{align*} +Y &= M_1(x - a)^{\alpha_1}(x - b)^{\beta_1}\ldots(x - c)^{\gamma_1},\\[-1ex] +\multispan{2}{\leaderfill}\\ +Z &= M_i(x - a)^{\alpha_i}(x - b)^{\beta_i}\ldots(x - c)^{\gamma_i}. +\end{align*} +En posant, pour abréger,\label{err101} +\begin{align*} +A\alpha + B\alpha_1 + \dotsb + C\alpha_i &= N,\\ +A\beta + B\beta_1 + \dotsb + C\beta_i &= P,\\[-1ex] +\multispan{2}{\leaderfill}\\ +A\gamma + B\gamma_1 + \dotsb + C\gamma_i &= Q, +\end{align*} +l'équation (2) deviendra donc +\[ +\frac{N}{x - a} + \frac{P}{x - b} + \dotsb +\frac{Q}{x - c} = 1. +\] +Quelques-uns des coefficients $N$, $P$,\dots $Q$ peuvent être nuls; mais +comme tous ne doivent pas s'annuler à la fois, supposons $N$ différent +de zéro. L'équation précédente peut s'écrire ainsi +\[ +\frac{N}{x - a} = 1 - \frac{P}{x - b} - \dotsb - \frac{Q}{x - c}: +\] +je puis représenter la quantité +\[ +1 -\frac{P}{x - b} - \dotsb - \frac{Q}{x - c}, +\] +par +\[ +\frac{U}{(x - b)\ldots(x - c)}, +\] +\marginpage % *** File: 102.png +$U$ étant une fonction entière de $x$: j'aurai donc +\[ +\frac{N }{x -a} = \frac{U}{(x - b)\ldots(x - c)}, +\] +d'où je tire enfin +\[ +N(x - b)\ldots(x - c) = U (x - a), +\] +équation absurde, puisque le second membre est divisible et le +premier membre non divisible par $x - a$. Donc, en partant de +l'équation (1) supposée possible, on est inévitablement conduit à une +absurdité: donc une telle équation ne peut pas exister. + +En nommant $u$, $v$,\dots $w$, $t$, des fonctions algébriques quelconques +de $x$ dont la dernière ne se réduit pas à une simple constante, on +ne pourra pas davantage avoir l'équation +\[ +A \log u + B \log v + \dotsb + C \log w = t, +\] +car rien n'empêchera de regarder alors $x$ comme une fonction algébrique +de $t$, et par suite $u$, $v$,\dots $w$, comme des fonctions algébriques +de cette même lettre $t$, ce qui réduira la nouvelle équation à la +forme de l'équation (1). + +20.~Actuellement considérons la fonction $x^\alpha$, $\alpha$ étant une constante +irrationnelle ou imaginaire: cette fonction, comme nous l'avons vu +\no 15, n'est point algébrique; elle est transcendante. Mais à quelle +espèce appartient-elle? C'est là ce que nous ignorons jusqu'ici. Concevons +donc qu'on nous propose de décider par une méthode certaine +dans quelle classe cette fonction doit être rangée. D'abord, puisque +l'on a $x^\alpha = e^{\alpha \log x}$, la quantité $x^\alpha$ que nous désignerons désormais +par $y$ est tout au plus de seconde espèce, et elle sera vraiment de +seconde espèce si nous montrons qu'elle ne peut pas descendre à la +première. C'est ce que nous allons faire à l'instant. + +Pour développer notre démonstration dans laquelle, suivant notre +usage, nous aurons recours au principe de la réduction à l'absurde, +admettons qu'il soit possible de trouver une fonction de première +espèce équivalente à $y$. Réduisons à son minimum le nombre des transcendantes +monomes contenues dans cette fonction, et soit, s'il est possible, +$\theta = \log u$ une de ces transcendantes, $u$ étant algébrique; la valeur +\marginpage % *** File: 103.png +de $y$ dans cette hypothèse sera de la forme +\[ +y = \phi (x,\theta ), +\] +la fonction $\phi$ étant algébrique par rapport à $\theta$ et contenant en outre, +algébriquement aussi, d'autres transcendantes monomes dont il est +inutile de parler ici. Il viendra donc +\[ +\frac{dy}{dx} = \phi'_x (x,\theta ) + \phi '_\theta (x,\theta)\frac{u'}{u}. +\] +Mais l'équation $y = x^\alpha$ nous donne d'autre part \label{nonerr103}$\dfrac{dy}{ydx} = \dfrac{\alpha }{x}$: il en +résulte, en remplaçant $y$ et $\dfrac{dy}{dx}$ par leurs valeurs: +\[ +\frac{{\phi '_x (x,\theta ) + \phi '_\theta (x,\theta)\dfrac{{u'}}{u}}}{{\phi (x,\theta )}} = \frac{\alpha }{x}. +\] +Cette équation étant algébrique par rapport à $\theta$ et par rapport aux +autres transcendantes contenues dans $\phi (x,\theta )$, on peut y remplacer $\theta$ +par $\mu + \theta$, $\mu$ étant une constante indéterminée: cela nous donne +\[ +\frac{\phi '_x (x,\mu + \theta ) + \phi '_\theta (x,\mu + \theta )\dfrac{u'}{u}}{{\phi (x,\mu+\theta )}} = \frac{\alpha }{x}: %[** errata] +\] +ainsi l'on a quel que soit $\mu$ +\[ +\frac{{d\phi (x,\mu + \theta )}}{{\phi (x,\mu+\theta )}} = \frac{{\alpha dx}}{x}, %[** errata] +\] +et par suite +\[ +\frac{{d\phi (x,\mu + \theta )}}{{\phi (x,\mu + \theta )}} = \frac{{d\phi (x,\theta )}}{{\phi (x,\theta )}}. +\] +J'intègre cette dernière équation, et déterminant la constante à l'aide +d'une valeur particulière $x = b$ à laquelle répond $\theta = a$, j'obtiens +\[ +\phi (b,a)\phi (x,\mu + \theta ) = \phi (x,\theta )\phi (b,\mu + a). +\] +\marginpage % *** File: 104.png +Cette équation subsistant pour toutes les valeurs de $\mu$, je puis la +différentier par rapport $\mu$ et poser ensuite $\mu = 0$; or l'équation nouvelle +\[ +\phi (b,a)\phi'_\theta (x,\theta ) = \phi (x,\theta )\phi'_a (b,a), +\] +qui résulte de cette opération, est algébrique par rapport aux transcendantes +$\theta$, etc., en sorte que l'on peut remplacer $\theta$ par une lettre +indéterminée $i$ considérée comme variable indépendante. Il vient par-là +\[ +\phi (b,a)\phi '_i (x,i) = \phi (x,i)\phi '_a (b,a), +\] +c'est-à-dire +\[ +\frac{{\phi '_i (x,i)}}{{\phi (x,i)}} = \frac{{\phi '_a (b,a)}}{{\phi (b,a)}}. +\] +Multipliant donc les deux membres de l'équation que je viens d'écrire +par $di$, puis intégrant par rapport à $i$ et déterminant la constante +arbitraire produite par l'intégration à l'aide d'une valeur particulière +$i =i_0$, on a +\[ +\log \phi (x,i) = \frac{{\phi '_a (b,a)}}{{\phi (b,a)}}(i - i_0) + \log \phi (x,i_0), +\] +résultat absurde, puisque le logarithme d'une fonction algébrique de +$i$ se trouverait exprimé par une autre fonction algébrique de cette +même lettre $i$. Donc si la quantité $y$ est exprimable par une fonction +transcendante de première espèce, cette fonction ne peut contenir +aucun logarithme, mais seulement des exponentielles. + +Continuons à la représenter par $ \phi (x,\theta )$, $\theta$ étant non plus un logarithme, +mais bien une exponentielle de la forme $e^u$, $u$ étant algébrique, +et cette exponentielle entrant algébriquement seule ou avec +d'autres dans la fonction $ \phi (x,\theta )$. L'absurdité de l'équation $ y = \phi (x,\theta )$ +ainsi définie sera facile à établir: on en déduit en effet +\[ +\frac{{dy}}{{dx}} = \phi '_x (x,\theta ) + \phi '_\theta (x,\theta )\theta u', +\] +\label{err104}à cause de$ \dfrac{{dy}}{{ydx}} = \dfrac{\alpha }{x}$ il vient d'après cela +\[ +\frac{{\phi '_x (x,\theta ) + \phi '_\theta (x,\theta )\theta u'}}{{\phi (x,\theta )}} = \frac{\alpha }{x}; +\] +\marginpage % *** File: 105.png +équation algébrique par rapport aux exponentielles $\theta$, etc., où l'on +peut changer $\theta$ en $\mu \theta$ ($\mu$ étant une lettre indéterminée), ce qui fournit +\[ +\frac{\phi '_x (x,\mu \theta ) + \phi '_{\mu \theta } (x,\mu \theta )\mu \theta u'}{\phi (x,\mu \theta )} = \frac{\alpha}{x}, +\] +ou +\[ +\frac{d\phi (x,\mu \theta )}{\phi (x,\mu \theta )} = \frac{\alpha dx}{x}, +\] +on conclut de là que +\[ +\frac{d\phi (x,\mu \theta )}{\phi (x,\mu \theta )} = \frac{d\phi (x,\theta )}{\phi (x,\theta)}. +\] +Intégrant cette dernière équation et nommant $a$ la valeur de $\theta$ qui +répond à une valeur quelconque $x = b$, on obtient +\[ +\phi (b,a)\phi (x,\mu \theta ) = \phi (x,\theta )\phi (b,\mu a). +\] +Je différentie par rapport à $\mu$ l'équation que je viens d'écrire; je +fais ensuite $\mu = 1$, et j'ai +\[ +\theta \phi (b,a)\phi '_\theta (x,\theta ) = a\phi (x,\theta )\phi '_a (b,a), +\] +équation dans laquelle on peut (\no 9) remplacer $\theta$ par une lettre +indéterminée $i$, ce qui donne +\[ +\frac{\phi '_i (x,i)}{\phi (x,i)} = \frac{a\phi _a (b,a)}{\phi (b,a)\ldot i}. +\] +Je pose pour abréger +\[ +\frac{a\phi'_a (b,a)}{\phi (b,a)} = m, +\] +et je multiplie par $di$ les deux membres de l'équation +\[ +\frac{\phi '_i (x,i)}{\phi (x,i)} = \frac{m}{i}: +\] +j'intègre ensuite par rapport à $i$: en représentant par $i_0$ une valeur +particulière quelconque de $i$, j'obtiens +\[ +\label{err105}\phi (x,i) = \frac{\phi (x,i_0)}{i_0 ^m }\ldot i^m. +\] +\marginpage % *** File: 106.png +Puisque la lettre $i$ est tout-à-fait indéterminée, et que l'équation +précédente est identique par rapport à cette lettre, rien n'empêche +de faire $i = \theta = e^u$. C'est ainsi que l'on trouve +\[ +y \text{ou } \phi(x, \theta) = \frac{\phi(x, i_0)}{i_0^m} \ldot e^{mu}. +\] + +Ainsi notre analyse nous fait connaître la seule forme sous laquelle +une exponentielle $e^u$ ou $e^{mu}$ pourra entrer dans l'expression de $\phi (x, \theta)$. +Cette exponentielle s'y trouve nécessairement en facteur à tous les +termes: il en est de même des autres exponentielles $e^v\dots e^w$, ou si +l'on veut $e^{nv}$,\dots $e^{pw}$ ($n$,\dots $p$ étant des constantes et $v$,\dots $w$, des fonctions +algébriques de $x$), que l'on regardera comme renfermées dans +cette fonction. D'ailleurs en posant $mu + nv + \dotsb + pw = t$, le +produit $e^{mu} \ldot e^{nv} \ldots e^{pw}$ sera égal à $e^t$: donc la fonction $\phi (x, \theta)$ ne peut +être que de la forme +\[ +\phi (x, \theta) = ze^t, +\] +$z$ et $t$ désignant des fonctions algébriques de $x$: puisque l'on a +à la fois $\phi (x, \theta) = x^\alpha$ et $\phi(x, \theta) = ze^t$, il vient +\[ +x^\alpha = ze^t, +\] +d'où l'on tire, en prenant les logarithmes, +\[ +\alpha \log x - \log z = t: +\] +or on a vu au \no 19 qu'une équation de cette dernière forme est +toujours impossible. A la vérité dans ce \no 19 la fonction $t$ est supposée +ne pas pouvoir se réduire à une simple constante. Mais c'est ce +qui a lieu ici, car si $t$ était une constante, le produit $ze^t$ et par suite +la fonction $x^\alpha$ se trouverait fonction algébrique de $x$, ce qui n'est pas +(\no 15). + +Concluons de cette discussion que, toutes les fois que l'exposant $\alpha$ +est irrationnel ou imaginaire, la fonction $x^\alpha$ est transcendante de +seconde espèce, en sorte qu'on ne peut espérer de l'exprimer ni par +des quantités algébriques, ni par des transcendantes de première espèce. + +Comme second exemple, proposons-nous de chercher à quelle espèce +appartient la fonction $\log \log x$. + +\marginpage % *** File: 107.png +D'abord il est clair qu'on ne peut pas avoir +\[ +\log \log x =\textit{une fonction algébrique }f(x), +\] +car on en déduirait par la différentiation +\[ +\frac{1 }{x \log x} = f'(x), +\] +et par suite $\log x=$ une fonction algébrique de $x$, ce qui est absurde. + +A présent je dis que la quantité $\log \log x$ n'est équivalente à aucune +fonction transcendante de première espèce, ou (ce qui revient au +même) je dis qu'on ne peut pas avoir $\log \log x =$ une fonction +algébrique de $x$, d'une ou de plusieurs exponentielles de la forme $e^u$, +et d'un ou de plusieurs logarithmes de la forme $\log u$, $u$ étant algébrique +en $x$. + +Car si une telle équation est possible, nommons $\theta$ ou $e^u$ une +des exponentielles que l'on suppose contenues dans son second membre, +et pour mettre $\theta$ en évidence posons simplement +\[ +\log \log x= \phi(x, \theta), +\] +la fonction $\phi$ étant algébrique par rapport à $\theta$ et contenant en outre, +algébriquement aussi, des exponentielles et des logarithmes dont il est +inutile de faire mention. Nous supposerons (ce qui est permis) le +nombre des exponentielles renfermées dans la fonction $\phi$ réduit à +son minimum, et dès-lors il ne pourra exister entre ces exponentielles, +la variable $x$, et des logarithmes de première espèce, aucune +équation algébrique, à moins que cette équation ne soit identique. + +On produira une équation du genre de celle dont nous venons de +parler, en différentiant l'égalité +\[ +\log \log x = \phi(x, \theta), +\] +ce qui donnera +\[ +\dfrac{1}{x \log x }= \phi'_x(x,\theta) + {\phi'}_\theta(x,\theta) \theta u'. +\] +Dans cette dernière équation qui doit être identique, on pourra +\marginpage % *** File: 108.png +donc remplacer $\theta$ par $\mu \theta$, $\mu$ étant une lettre indéterminée: il viendra +ainsi +\[ +\frac{1}{x\log x} = \phi_x'(x,\theta) + \phi_{\mu\theta}'(x,\mu\theta)\mu\theta u', +\] +d'où l'on conclut aisément +\[ +d\phi (x, \mu\theta) = d\phi (x, \theta), +\] +le signe $d$ indique une différentielle totale prise par rapport à $x$ +et par rapport à $\theta$ qui est fonction de $x$. Intégrant donc et déterminant +la constante arbitraire à l'aide d'une valeur particulière $x = b$, +à laquelle répond $\theta = a$, on aura +\[ +\phi (x, \mu \theta) = \phi (x, \theta) + \phi (b, \mu a) - \phi (b, a), +\] +équation de laquelle je déduis, en différentiant par rapport à $\mu$, et +posant ensuite $\mu = 1$, +\[ +\theta \phi'_\theta (x, \theta) = a \phi'_a (b, a). +\] +Ici, puisque l'équation est algébrique par rapport à $\theta$ et aux autres +transcendantes contenues dans la fonction $\phi$, je puis remplacer $\theta$ par +une variable indépendante $i$. J'obtiens de la sorte +\[ +\phi_i'(x,i)di = \frac{a\phi_a'(b,a)di}{i}, +\] +d'où je conclus, en intégrant par rapport à $i$ et représentant par $i_0$ une +valeur particulière de $i$, +\[ +\phi (x, i) = a\phi_a' (b, a)(\log i - \log i_0) + \phi(x, i_0): +\] +or, si la dérivée $\phi_a' (b, a)$ n'est pas nulle, cette équation est absurde, +puisqu'elle fournit pour $\log i$ une valeur algébrique en $i$, et si l'on +suppose $\phi_a' (b, a) = 0$, elle donne +\[ +\phi (x, i) = \phi (x, i_0), +\] +c'est-à-dire que la quantité $\phi (x, i)$ est indépendante de $i$: donc l'exponentielle +$\theta$ n'entre pas dans la quantité $\phi (x, \theta)$, d'où résulte immédiatement +\marginpage % *** File: 109.png +que cette quantité ne peut renfermer aucune exponentielle. + +Si donc la valeur de $\log \log x$ est exprimable par une transcendante +de première espèce, elle ne pourra contenir que des logarithmes +et point d'exponentielles. Soit $\theta = \log u$ l'un de ces logarithmes, +$u$ étant algébrique. Pour mettre $\theta$ en évidence, nous +écrirons simplement suivant notre usage +\[ +\log \log x = \phi(x, \theta), +\] +la fonction $\phi$ étant algébrique par rapport à $\theta$. + +Les logarithmes qui entrent dans cette fonction $\phi$ ou portent sur +la simple variable $x$ et sont de la forme $\log x$, ou portent sur des +quantités algébriques différentes de $x$. Rien ne m'empêche de supposer +le nombre de ces derniers réduit à son minimum, et dès-lors il +ne pourra exister aucune relation algébrique entre eux et les deux +quantités $x$ et $\log x$. On s'en convaincra aisément par un raisonnement +analogue à celui du \no 9. Reprenons donc l'équation +$\log \log x = \phi(x, \theta)$, et supposons que $\theta$ soit différent de $\log x$. En +différentiant cette équation, j'en obtiens une autre, savoir +\[ +\frac{1}{x\log x} = \phi_x'(x,\theta) + \phi_\theta'(x,\theta)\frac{u'}{u}, +\] +laquelle est algébrique par rapport à $x$, $\log x$, $\theta$ et par rapport aux +autres transcendantes contenues dans la fonction $\phi$, ce qui me permet +de changer, quel que soit $\mu$, $\theta$ en $\mu + \theta$, et me donne +\[ +\frac{1}{x\log x} = \phi_x'(x,\mu+\theta) + \phi_\theta'(x,\mu+\theta)\frac{u'}{u}. +\] +J'égale ces deux valeurs de $\dfrac{1}{x\log x}$, et j'obtiens +\[ +\phi_x'(x,\mu+\theta) + \phi_\theta'(x,\mu+\theta)\frac{u'}{u} = \phi_x'(x,\theta)+\phi_\theta'(x,\theta)\frac{u'}{u}. +\] +Multipliant les deux membres par $dx$, et intégrant dans l'hypothèse +que pour $x = b$ on a $\theta = a$, je trouve +\marginpage % *** File: 110.png +\[ +\phi(x, \mu + \theta) = \phi(x, \theta) + \phi(b, \mu + a) - \phi(b, a). +\] +Je différentie cette équation par rapport à $\mu$ et je pose $\mu = 0$ après +la différentiation: j'ai ainsi +\[ +\phi'_\theta (x, \theta) = \phi'_a(b, a), +\] +relation algébrique par rapport à $\log x$, $\theta$, et où je puis remplacer +$\theta$ par une lettre indéterminée $i$. Multipliant donc par $di$ et intégrant +par rapport à $i$ l'équation nouvelle +\[ +\phi'_i(x, i) = \phi'_a(b, a) +\] +à laquelle ce raisonnement conduit, puis désignant par $i_0$ une valeur +particulière quelconque de $i$, je trouve +\[ +\phi(x, i) = \phi'_a(b, a)(i - i_0) + \phi(x, i_0). +\] +Dans la fonction $\phi(x, i)$ la quantité $i$ entre donc sous forme linéaire +et avec un coefficient indépendant de $x$. Dans la fonction $\phi(x,\theta)$ la +quantité $\theta$ entrera donc aussi sous forme linéaire avec un coefficient +constant: dès-lors si nous désignons par $\log u$, $\log v$,\dots $\log w$, les +logarithmes autres que $\log x$ entrant dans $\phi(x, \theta)$ et par $A$, $B$,\dots $C$ +des constantes, la valeur de $\phi(x,\theta)$ ou $\log \log x$ ne pourra être que +de la forme +\[ +\log \log x= A \log u + B \log v + \dotsb + C \log w + \Psi (x, \log x), +\] +$\Psi(x, \log x)$ étant une certaine fonction algébrique de $x$ et $\log x$. + +Pour abréger je pose $\log x = \zeta$: il vient +\[ +\log \zeta = A \log u + B \log v + \dotsb + C \log w + \Psi(x, \zeta), +\] +d'où je déduis, en différentiant et observant que $d\zeta = \dfrac{dx}{x}$, +\[ +\frac{1}{x\zeta} = \frac{Au'}{u}+\frac{Bv'}{v}+ \dotsb +\frac{Cw'}{w}+\Psi'_x(x,\zeta)+\frac{1}{x}\Psi'_\zeta(x,\zeta): +\] +\marginpage % *** File: 111.png +or si cette équation n'est pas identique par rapport à $\zeta$ elle est absurde, +puisqu'elle fournirait alors pour $\zeta$ ou $\log x$ une valeur algébrique +en $x$. Si au contraire elle est identique par rapport à $\zeta$, on +pourra y changer $\zeta$ en $\mu + \zeta$, $\mu$ étant une lettre indéterminée, indépendante +de $x$, et l'on aura +\[ +\frac{1}{x(\mu + \zeta)} = A\frac{u'}{u}+ B\frac{v'}{v} + \dotsb + C\frac{w'}{w} ++ \Psi'_x(x, \mu + \zeta) + \frac{1}{x}\Psi'_\zeta(x, \mu + \zeta). +\] +Je multiplie les deux membres de cette équation par $dx$, après quoi +j'intègre par rapport à $x$: je trouve ainsi un résultat de la forme +\begin{align*} +\log(\mu + \zeta) &= A \log\frac{u}{u_0} + B \log\frac{v}{v_0} + \dotsb + C \log\frac{w}{w_0}\\ +&+ \Psi(x, \mu +\zeta) - \Psi(b, \mu + a) + \log (\mu + a), +\end{align*} +$b$ désignant une valeur particulière quelconque de $x$, et $a$, $u_0$, $v_0$,\dots $w_0$ +étant les valeurs de $\zeta$, $u$, $v$,\dots $w$, pour $x = b$. + +Maintenant je différentie par rapport à $\mu$ l'équation que je viens +d'écrire, et posant $\mu = 0$, après la différentiation, j'obtiens +\[ +\frac{1}{\zeta} = \Psi'_\zeta (x, \zeta) - \Psi'_a(b, a) + \frac{1}{a}, +\] +équation algébrique entre $x$ et $\zeta$, qui doit être identique en $\zeta$ et où +l'on peut par conséquent remplacer $\zeta$ par une lettre indéterminée $i$. +Mais l'équation +\[ +\frac{1}{i} = \Psi'_i(x, i) - \Psi'_a (b, a) +\frac{1}{a} +\] +sur laquelle je tombe par le changement de $\zeta$ en $i$, étant multipliée +par $di$ et intégrée par rapport à $i$, me conduit à une autre équation +\[ +\log i = \Psi(x, i) - \Psi(x, i_0)- \Big[\Psi'_a(b, a) - \frac{1}{a}\Big](i-i_0) + \log i_0, +\] +dans laquelle $i_0$ est une valeur particulière de $i$, et qui doit être regardée +comme absurde, puisqu'elle fournit pour $\log i$ une valeur +\marginpage % *** File: 112.png +algébrique en $i$. Donc quoi qu'on fasse, on est conduit à une absurdité +en regardant la transcendante $\log\!\log\!x$ %squeeze to avoid overfull line +comme réductible à la première +espèce, ce qu'il fallait démontrer. + +Étant donnée une fonction finie explicite quelconque $f(x)$, si l'on +veut décider d'une manière certaine à quelle espèce cette fonction +appartient, il faudra évidemment faire usage d'une méthode semblable +à celle que nous venons d'employer pour les fonctions particulières +$x^x$, $\log \log x$. Cette méthode est fondée sur un principe général: néanmoins, +dans la pratique, il restera à vaincre les difficultés propres à +chaque exemple. Au reste on trouvera là-dessus de nouveaux détails +dans le paragraphe suivant. + +\signit{(\emph{La suite à un autre cahier}.)} + +\jmpafin + +% *** File: 113.png + +\jmpapaper{}{} +{Sur le développement de $(1 -2xz + z^2)^{-\frac{1}{2}}$;} +{Par MM.~IVORY et JACOBI.}{} +\label{art8} + +On a souvent besoin de développer $(1 -2xz + z^2)^{-\frac{1}{2}}$ en une série ordonnée +suivant les puissances ascendantes de $z$, série dont le terme +général peut être représenté par $X_n z^n$: \label{err113}$x$ et $z$ sont deux variables +comprises entre $-1$ et $+1$. Or M.~Ivory (dans les \emph{Transactions philosophiques}) +et ensuite $M$. Jacobi ont mis depuis long-temps la valeur +de $X_n$ sous cette forme très simple +\begin{align*} +X_n = \frac{1}{1\ldot2\ldot3\ldot\ldots n\ldot2^n}\ldot\frac{d^n\ldot(x^2-1)^n}{dx^n}.\tag{1} +\end{align*} +C'est dans le journal de M.~Crelle (tome II, page 223) que se trouve +le mémoire de M.~Jacobi; mais comme cet excellent recueil est malheureusement +peu répandu en France, nous pensons faire plaisir à nos +lecteurs en transcrivant ici la démonstration de la formule (1). + +D'après la formule de Lagrange, en résolvant l'équation +$y- x = zF(y)$ par rapport à $y$, on a +\[ +y=x+zF(x)+ \dotsb +\frac{z^n}{1\ldot2\ldot3\ldots n}\ldot\frac{d^{n-1}\ldot F(x)^n}{dx^{n-1}}+ \dotsb , +\] +d'où résulte +\begin{align*} +\frac{dy}{dx}=1+z\frac{dF(x)}{dx}+ \dotsb +\frac{z^n}{1\ldot2\ldot3\ldots n}\ldot\frac{d^n\ldot F(x)^n}{dx^2}+ \dotsb.\tag{2} +\end{align*} +Appliquons la formule (2) au cas particulier où $F(y) = \frac{1}{2}(y^2- 1)$: +l'équation dont $y$ dépend devient alors $y - x = \dfrac{z}{2}(y^2- 1)$, et l'on +\marginpage % *** File: 114.png +en déduit $1 - zy = \sqrt{1 - 2xz +z^2}$, puis $\dfrac{dy}{dx}=(1 - 2xz +z^2)^{-\frac{1}{2}}$: +en vertu de la formule (2), on a donc +\[ +(1-2xz+z^2)^{-\frac{1}{2}}=1+\frac{z}{2}\ldot \frac{d\ldot(x^n-1)}{dx}\ldot+ \dotsb +\frac{z^n}{1\ldot2\ldot3\ldots n\ldot2^n}\ldot\frac{d^n(x^2-1)^n}{dx^n}+ \dotsb. +\] +et par conséquent +\[ +X_n=\frac{1}{1\ldot2\ldot3\ldots n\ldot2^n}\ldot\frac{d^n\ldot(x^2-1)^n}{dx^n}, +\] +C. Q. F. D. + +Au reste, la formule (1) étant donnée, on peut en démontrer +l'exactitude de plusieurs manières, et par exemple en faisant usage +de la relation connue $nX_n - (2n - 1)xX_{n - 1} + (n - 1) X_{n - 2} = 0$. + +D'après la forme de la fonction $X_n$, les intégrales +$\int\!X_n dx$, $\int\!dx\int\!X_n dx$,\dots\ $\int^n X_n dx^n$, dans lesquelles on prend toujours +$-1$ pour limite inférieure et $x$ pour limite supérieure, s'évanouissent +toutes si l'on pose après l'intégration $x = 1$. Cela étant, soit $y$ une +fonction de $x$ telle que $y$ et ses dérivées ne deviennent pas infinies +lorsque $x$ croît depuis $-1$ jusqu'à $+1$. En intégrant plusieurs fois +par parties, on trouve +\[ +\int^{+1}_{-1}yX_ndx = \frac{1}{1\ldot2\ldot3\ldots n\ldot2^n}\ldot\int^{+1}_{-1}(1-x^2)^n\ldot\frac{d^ny}{dx^n}\ldot dx +\] +équation dont le second membre se réduit à zéro, lorsque $y$ est un +polynome entier de degré inférieur à $n$: si l'on fait en particulier +$y = X_m$, $m$ étant $< n$, on tombe sur la formule bien connue +${\dint^{+1}_{-1}} X_m X_n dx = 0$: en posant $y = X_n$, on a au contraire +${\dint^{+1}_{-1}} X^2_n dx =\dfrac{2}{2n+1}$. + +\jmpafin + +% *** File: 115.png + +\jmpapaper{}{}{Sur la sommation d'une série;} +{Par J. LIOUVILLE.}{} +\label{art9} + +En représentant par $X_0 + X_1 z + \etc$ ou par $\sum X_n z^n$ le développement de +$(1 - 2xz + z^2)^{-\frac{1}{2}}$, on sait que $X_0 = 1$ et qu'en général $X_n$ +est une fonction entière de $x$ de degré $n$: de plus, si $m$ est différent +de $n$, on a les deux formules connues +\[ +\int^{+1}_{-1} X_mX_ndx=0,\quad \int^{+1}_{-1}X_n^2dx=\frac{2}{2n+1}. +\] +Soit $\Psi(x)$ une fonction entière de $x$ de degré $n$: $\Psi(x)$ peut toujours +se mettre sous la forme $A_0 X_0 + \dotsb + A_{n - 1} X_{n - 1} + A_n X_n$, $A_0$,\dots $A_{n-1}$, $A_n$ +étant des constantes: cela est évident lorsque $\Psi(x)$ se réduit à une +constante $A_0$, puisque dans ce cas $\Psi(x) = A_0 X_0$: il suffit donc de +prouver que si le théorème énoncé est exact pour les fonctions de +degré $(n - 1)$, il aura lieu pour celles de degré $n$: or en prenant $A_n$, +tel que les coefficients de $x^n$ soient égaux dans $\Psi(x)$ et dans $A_n X_n$, +$\Psi(x) - A_n X_n$ n'étant plus que %[** errata] +de degré $(n - 1)$, devient réductible à la +forme $A_{n - 1} X_{n -1} + \dotsb + A_0 X_0$, d'où résulte $\Psi(x)= A_0 X_0 + $ etc. +En particulier, on peut mettre sous la forme citée $A_0 X_0 + \dotsb + A_n X_n$ +une puissance quelconque $x^n$. + +Maintenant soit proposé de trouver la valeur $F(x)$ de la série +\[ +F(x) = \sum \Big\{\frac{2n+1}{2}\ldot X_n\ldot\int^{+1}_{-1}f(x)X_ndx\Big\},\tag{1} +\] +dans laquelle $n$ est successivement 0, 1, 2, 3,\dots: la variable $x$ +\marginpage % *** File: 116.png +reste comprise entre $-1$ et $+1$, et $f(x)$ est une fonction arbitraire +de $x$ qui ne devient jamais infinie. Multiplions par $X_n dx$ et intégrons +de $x = -1$ à $x = +1$ les deux membres de l'équation (1): cette +intégration fera disparaître tous les termes du second membre à l'exception +d'un seul, et l'on trouvera +\[ +\int^{+1}_{-1} [F(x) - f(x)] X_n dx = 0 : +\] +en multipliant l'intégrale précédente par une constante $A_n$, il vient +\[ +\int^{+1}_{-1} [F(x) - f(x)] A_n X_n dx = 0: +\] +$n$ étant quelconque dans cette équation, on en tire sans peine +\[ +\int^{+1}_{-1}[F(x) - f(x)] (A_0 X_0 + \dotsb + A_nX_n)dx = 0, +\] +et par conséquent +\[ +\int^{+1}_{-1}[F(x) - f(x)] x^n dx = 0, +\] +d'où par un lemme démontré (page 1 \pdf{art1} de ce volume), on conclut +$F(x) = f(x)$, résultat auquel les géomètres sont arrivés depuis longtemps +par d'autres méthodes moins simples ou moins rigoureuses que +la nôtre. De plus, si l'on désigne par $\sigma$ la somme des $n$ premiers +termes de la série (1), on peut prouver que la différence $f(x) - \sigma$ +change de signe au moins $n$ fois lorsque $x$ croît de $-1$ à $+ 1$. + +\jmpafin + +% *** File: 117.png + +\jmpapaperl{MÉMOIRE}{\textsc{sur}} +{Une méthode générale d'évaluer le travail dû au frottement, +entre les pièces des machines qui se meuvent ensemble, +en se pressant mutuellement.--Application aux engrenages +cylindriques, coniques, et à la vis sans fin;} +{Par M.~COMBES.} +{} +\label{art10}\Droit + +Lorsque deux corps $A$ et $B$ se meuvent, en se pressant mutuellement +par des points de leurs surfaces, le travail résistant développé par le +frottement, pendant un temps infiniment petit, est égal à l'intensité +du frottement multipliée par l'étendue du glissement des deux surfaces +l'une sur l'autre, pendant ce même temps. Or l'étendue du +glissement ne sera point changée, si l'on ajoute au mouvement effectif +des deux corps $A$ et $B$, un mouvement commun de translation dans +une direction quelconque, un mouvement de rotation commun autour +d'un axe donné, ou à la fois un mouvement commun de translation +et de rotation. Ce mouvement commun ajouté aux mouvements +effectifs des deux corps ne changera point en effet leur mouvement +relatif, et ne saurait en conséquence altérer l'étendue du glissement. + +Cela posé, si l'on connaît d'avance le mouvement de chacun des +corps $A$ et $B$, comme cela a lieu généralement pour les pièces qui +entrent dans la composition des machines, on pourra ajouter au mouvement +effectif, un mouvement commun de translation et de rotation, +égal et directement opposé à celui du corps $A$. Celui-ci sera ainsi réduit +à l'immobilité. Le mouvement du corps $B$, résultant de son mouvement +\marginpage % *** File: 118.png +effectif et du mouvement ajouté, pourra être déterminé, +d'après les lois connues de la composition des mouvements de translation +et de rotation. Le chemin décrit, pendant un instant infiniment +petit, dans ce mouvement composé, par l'élément de la +surface de $B$ en contact avec la surface de $A$, sera aussi déterminé, +sans difficulté, dès que le mouvement résultant sera connu: +et il est évident que ce chemin sera l'étendue du glissement +des deux surfaces l'une sur l'autre, dans le mouvement relatif du +corps $B$ par rapport à $A$ considéré comme immobile, et par conséquent +aussi l'étendue du glissement, dans le mouvement effectif +et simultané des deux corps $A$ et $B$. C'est par ce chemin qu'il +faudra multiplier l'intensité du frottement, pour avoir l'expression +du travail résistant élémentaire dû à cette force. + +Cette méthode est d'une application facile, générale et sûre, ainsi +qu'on pourra le voir par l'application que nous en avons faite au cas +de l'engrenage de deux roues d'angle, et d'une vis sans fin avec une +roue. Pour l'appliquer, il faut se familiariser avec les lois de la composition +des mouvements de rotation. On sait que ces lois sont les +mêmes que celles de la composition des forces et des couples de +forces, ce qui peut se démontrer par les notions les plus simples de +la Géométrie. Voici l'énoncé des théorèmes dont chacun de nos +lecteurs pourra facilement trouver la démonstration. + +\primop.~Si un corps est animé de deux mouvements de rotation simultanés, +(Pl.~I, fig.~1) autour de deux axes $AB$, $AC$ qui se rencontrent en $A$, et que +des longueurs $Aa$, $Ab$ respectivement proportionnelles aux vitesses +angulaires soient portées sur ces axes, à partir du point $A$, le mouvement +résultant sera un mouvement de rotation autour de l'axe $AD$, +diagonale du parallélogramme construit sur les lignes $Aa$, $Ab$, avec +une vitesse angulaire proportionnelle à la longueur $Ad$ de cette diagonale. + +Les deux axes qui se rencontrent, formant ensemble quatre angles +égaux deux à deux, on portera les longueurs $Aa$ et $Ab$ sur les côtés +comprenant entre eux un de ces quatre angles, choisi de façon qu'un +observateur qui serait placé debout sur le plan des deux axes, et aurait +la face tournée vers l'ouverture de cet angle, vît le corps tourner dans +le même sens, c'est-à-dire de sa gauche à sa droite, ou de sa droite +\marginpage % *** File: 119.png +à sa gauche, autour de chacun d'eux. La rotation du corps autour de +la diagonale, dans le mouvement résultant, sera dans le même sens +que la rotation autour de chacun des axes primitifs, c'est-à-dire de la +gauche à la droite ou de la droite à la gauche de l'observateur. + +\secundop.~Si un corps est animé de deux mouvements (Pl.~I, fig.~2) simultanés +de rotation autour de deux axes parallèles $AB$, $CD$, et si ces mouvements +sont dans le même sens, le mouvement résultant est une +rotation autour d'un axe $EF$, parallèle à chacun des deux premiers, situé +dans le même plan, et partageant la distance $IK$ qui les sépare, +en parties $IO$ et $KO$ inversement proportionnelles aux vitesses angulaires +autour des axes $AB$ et $CD$. La vitesse angulaire autour de l'axe +$EF$, dans le mouvement résultant, est égale à la somme des vitesses +angulaires autour des axes primitifs $AB$, $CD$. + +(Pl.~I, fig.~3). Si les deux rotations composantes sont de sens contraire, +la rotation résultante a lieu autour d'un axe parallèle à chacun des +deux axes donnés, situé dans leur plan et qui coupe la ligne $IK$ sur +son prolongement au-delà de l'axe, autour duquel la vitesse angulaire +est la plus grande: la vitesse angulaire de la rotation résultante est +égale à la différence entre les vitesses angulaires des rotations composantes. +Elle est dans le même sens que la plus grande de ces vitesses. +Enfin les distances $IO$ et $OK$ sont entre elles dans le rapport inverse +des vitesses angulaires composantes autour des axes $AB$, $CD$. + +\tertiop.~Si les deux vitesses angulaires autour de deux axes parallèles +sont égales et de sens contraire, elles forment alors \emph{un couple de +rotations}. Le mouvement résultant est un mouvement de translation, +dans une direction perpendiculaire an plan commun des deux axes, +avec une vitesse égale au produit de la vitesse angulaire, autour +de chacun des axes donnés, par leur distance. Le sens du mouvement +de translation est d'ailleurs donné par le sens des rotations +composantes. Ainsi, si l'on se représente le plan des deux axes +donnés comme horizontal, le mouvement de translation sera vertical +ascendant, ou vertical descendant, suivant que la rotation autour +de l'un des axes tendra à élever au-dessus du plan, ou à abaisser +au-dessous de lui, les points situés sur le second axe. + +\quartop.~Une rotation autour d'un axe peut être remplacée par une rotation +\marginpage % *** File: 120.png +égale et de même sens autour d'un axe parallèle, et par un +couple de rotations, équivalent à une translation dans une direction +perpendiculaire au plan des deux axes. Cela permet de composer ensemble +deux rotations autour d'axes non situés dans le même plan, +ou plus généralement, de composer un nombre quelconque de rotations +autour d'axes qui ne se coupent pas, et de les réduire à une +rotation autour d'un axe, et à un couple de rotations équivalent à un +mouvement de translation. + +Il est avantageux pour l'étude des machines de se rendre ces théorèmes +familiers; et comme leur démonstration n'exige pas d'autres connaissances +que celles de la Géométrie élémentaire, il serait utile de +les répandre dans l'enseignement inférieur, et de les placer à la suite +des lois de composition des vitesses, ou mouvements de translation. +Nous les avons appliqués au calcul du travail résistant développé par le +frottement, entre des pièces qui entrent habituellement dans la composition +des machines. On pourra comparer cette méthode à celle +suivie par les auteurs qui ont traité le même sujet avant nous. Voir +(Mémoire sur les engrenages, par MM.~Lamé et Clapeyron; \emph{Annales +des Mines}, 1\iere\ série, tome IX, p.~601.---Mémoire sur l'évaluation +du travail dû aux frottements dans les engrenages coniques, +par M.~Coriolis; \emph{Journal de l'École Polytechnique}, cahier +XXV, page 44). + +L'évaluation du frottement dans les engrenages cylindriques se +trouve aussi dans les leçons lithographiées de M.~Navier pour l'École +des Ponts et Chaussées, et de M.~Poncelet pour l'École de Metz; j'ai +également donné, depuis quatre ans, dans mes leçons à l'École des +Mines, le frottement dans les engrenages coniques, mais par une méthode +moins simple que celle que j'expose dans ce Mémoire. +\marginpage % *** File: 121.png + +\mysection{\emph{Frottement dans les engrenages cylindriques.}} + +(Pl.~I, fig.~4). Soient $C$ et $O$ les traces des axes des deux roues d'engrenage +sur le plan commun des deux roues: + +$CA=R$ et $OA=R'$ les rayons des circonférences primitives: + +$am$, $an$ les contours de deux dents appartenant la première à la +roue ($c$), la seconde à la roue ($o$); ces dents, dans la position actuelle +des roues, se touchent le long de la génératrice dont la trace sur le +plan des roues est en $a$. + +La forme des dents doit être telle que, dans le mouvement du système, +les points situés sur les circonférences primitives qui ont pour +rayons $CA$ et $OA$ prennent des vitesses égalés. + +Il suit de là, que si nous désignons par $u$ la vitesse d'un point à la +circonférence primitive de l'une et de l'autre roue, \label{err120}la vitesse angulaire +de la roue ($c$) autour de son axe sera $\dfrac{u}{R}$, et la vitesse angulaire de la +roue ($o$) autour de son axe sera $\dfrac{u}{R'}$. + +Le mouvement relatif des deux roues ne sera point changé si nous +imprimons à chacune d'elles un mouvement de rotation autour d'un +axe fixe, qui se composera avec le mouvement de rotation qu'elle possède +autour de son axe. Or, si nous imprimons aux deux roues un +mouvement de rotation autour de l'axe $C$, avec une vitesse angulaire +égale à $\dfrac{u}{R}$ dirigée en sens contraire du mouvement de rotation de la +roue ($c$) autour de son axe, cette dernière roue sera réduite au repos, +et la roue ($o$) sera animée de deux mouvements de rotation, l'un autour +de l'axe $C$ avec une vitesse angulaire égale à $\dfrac{u}{R}$, et l'autre autour de son +axe propre avec une vitesse angulaire égale à $\dfrac{u}{R'}$. Ces deux mouvements +sont de même sens et se composent en un seul. L'axe autour +duquel a lieu le mouvement résultant est parallèle aux deux axes $C$ et +$O$ et sa trace sur le plan des deux roues est en $A$, au point de contact +des deux circonférences primitives; car on a +\marginpage % *** File: 122.png +\[ +CA : OA :: \frac{u}{R'} : \frac{u}{R}. +\] +La vitesse angulaire autour de cet axe est égale à la somme $\dfrac{u}{R} + \dfrac{u}{R'}$, +des vitesses angulaires composantes. On voit que le mouvement relatif +de la roue ($o$) par rapport à la roue ($c$) regardée comme immobile, +est un roulement de la circonférence ($o$) sur la circonférence ($c$), +sans glissement, puisque l'axe autour duquel tourne la circonférence +($o$) est toujours au point de contact des deux circonférences. + +Il suit de là que la normale commune en $a$ aux deux contours $am$ +et $an$ qui se pressent mutuellement, doit passer, pour une position +quelconque du système, par le point de contact $A$ des circonférences +primitives. + +En effet, lorsque la roue ($c$) est réduite au repos, sans que le mouvement +relatif soit altéré, l'élément $a$ de la dent $an$ appartenant à la +roue mobile ($o$) doit glisser sur le contour de la dent $am$ appartenant à la +roue fixe ($c$). Or cet élément $a$ de la dent $an$ décrit alors un arc de +cercle infiniment petit dont le centre est en $A$, et dont le rayon est $Aa$. +$Aa$ doit donc être la normale commune en $a$ aux contours des deux +dents en prise, sans quoi elles cesseraient de se toucher, dans le +mouvement relatif, et aussi dans le mouvement effectif du système. +Nous pouvons en outre, connaissant la vitesse angulaire de la roue +mobile ($o$) autour de l'axe instantané $A$, déterminer quelle sera l'étendue +du glissement de l'élément $a$ de la dent $an$ sur le contour de +la dent immobile $an$. En effet, dans un instant infiniment petit $dt$, +l'élément $a$ décrit un arc de cercle égal à +\[ +\Big(\frac{u}{R}+\frac{u}{R'} \Big)dt \times Aa = \Big(\frac{1}{R}+\frac{1}{R'}\Big)Aa \times udt. +\] +Or si l'on désigne par $ds$ l'arc infiniment petit de la circonférence +mobile ($o$) qui s'applique pendant l'instant $dt$ sur un arc égal de la circonférence +fixe ($c$), nous aurons $udt = ds$: donc l'étendue du glissement +des contours de deux dents en prise, l'une sur l'autre, pour un arc infiniment +petit $ds$ parcouru par un point de la circonférence primitive +de l'une ou de l'autre roue, est égale à $Aa\Big(\dfrac{1}{R}+\dfrac{1}{R'}\Big)ds$, expression dans +laquelle $Aa$ est le rayon vecteur variable, qui va du point de contact des +\marginpage % *** File: 123.png +circonférences primitives au point de contact des deux dents en prise. +Si donc nous désignons par $p$ la pression mutuelle des deux contours $am$ +et $an$, par $f$ le rapport du frottement à la pression, par $z$ le rayon +vecteur variable $Aa$, l'expression du travail résistant élémentaire dû +au frottement, pour un arc $ds$ dont chacune des circonférences primitives +aura tourné, sera +\[ +fp \Big(\frac{1}{R} + \frac{1}{R'}\Big)zds, +\] +et l'intégrale +\begin{gather*} +f\Big(\frac{1}{R} + \frac{1}{R'}\Big)\int^S_0pzds\tag{\emph{a}} +\end{gather*} +exprimera le travail résultant du frottement correspondant à l'arc $S$ +dont tourne chacune des circonférences primitives, depuis le moment +où deux dents commencent à se pousser dans la ligne des centres, +jusqu'à ce qu'elles se quittent. + +Supposons que la roue ($c$) conduise la roue ($o$), et que la résistance +agissant sur la roue ($o$) soit une force $Q$ agissant tangentiellement +à la circonférence primitive. Appelons $\alpha$ +l'angle $aAT$, compris +entre la normale commune $Aa$ et la tangente commune $AT$ aux +deux circonférences primitives, $d$ la distance $Ai$ du point $A$ au point +où la tangente commune en $a$ aux dents en prise coupe la ligne des +centres $OC$; nous aurons, pour déterminer la pression $p$, l'équation +suivante: +\begin{gather*} +Q \times R' = pR' \cos \alpha + fp (R'- d) \sin \alpha,\tag{1} +\end{gather*} +qui exprime que la force $Q$, la pression $p$ et le frottement $fp$ qui résulte +de cette pression, se font équilibre autour de l'axe fixe $O$. $R'-d$ +peut être positif, négatif ou nul. Comme l'angle $\alpha$ demeure toujours +très petit, quand les dents des roues sont petites, et comme le rapport $f$ +est lui-même une petite fraction, on peut généralement négliger le +dernier terme du second membre de l'équation précédente, et poser +simplement +\[ +Q \times R' = pR'\cos \alpha, \qtext{d'où} p = \frac{Q}{\cos \alpha}. +\] +Cette valeur de $p$ portée dans l'expression du travail résistant (\emph{a}) donne +\[ +fQ\Big(\frac{1}{R} + \frac{1}{R'}\Big) \int_0^S \frac{zds}{\cos \alpha}. +\] +\marginpage % *** File: 124.png +Si les contours des dents sont de petites portions d'épicycloïdes engendrées +par une circonférence de cercle dont nous désignerons le rayon +par $r$, il est facile de voir que l'on aura +\[ +z = 2r \sin \alpha\qtext{et} \alpha = \frac{s}{2r}. +\] +Ces valeurs de $z$ et $\alpha$ étant portées dans l'expression précédente, elle +devient +\[ +fQ\Big(\frac{1}{R}+\frac{1}{R'}\Big)2r\int_0^S \frac{\sin\dfrac{s}{2r}ds}{\cos\dfrac{s}{2r}} = +-fQ\Big(\frac{1}{R}+\frac{1}{R'}\Big)\times 4r^2\log\ldot\cos\frac{S}{2r}. +\] +Or, quand $S$ est un petit arc, on peut développer $\log \cos \dfrac{S}{2r}$ en une +série très convergente, et l'on a +\[ +\log \cos \frac{S}{2r} = -\frac{S^2}{8r^2}, +\] +en s'en tenant au premier terme de la série, et négligeant la quatrième +puissance et les puissances supérieures de $\dfrac{S}{2r}$. + +L'expression du travail résistant dû au frottement devient par la +substitution de cette valeur +\[ +\frac{1}{2}fQ\Big(\frac{1}{R}+\frac{1}{R'}\Big)S^2: +\] +l'arc parcouru par la circonférence de la roue ($o$) correspondant à cette +quantité de travail étant égal à $S$, il s'ensuit que le frottement donne +lieu au même travail résistant qu'une force égale à $\dfrac{1}{2}fQ\Big(\dfrac{1}{R}+\dfrac{1}{R'}\Big)S$, +qui serait appliquée tangentiellement à la circonférence primitive de +la roue ($o$). La valeur du frottement rapporté à la circonférence de la +roue primitive augmente donc proportionnellement à l'arc $S$ correspondant +à une dent de chaque roue. Si $m$ est le nombre de dents de la +roue ($c$), et $n$ le nombre des dents de la roue ($o$), on a +\marginpage % *** File: 125.png +\[ +\begin{aligned} +2\pi R\phantom{'} &=mS,\vphantom{\frac{0}{0}}\\ +2\pi R' &=nS,\vphantom{\frac{0}{0}} +\end{aligned} +\qqtext{d'où} +\begin{aligned} +\frac{1}{R\phantom{'}} &= \frac{2\pi}{mS}, \\ +\frac{1}{R'}&= \frac{2\pi}{ns}, +\end{aligned} +\] +et +\[ +\frac{1}{2}fQ\Big(\frac{1}{R} + \frac{1}{R'}\Big)S = \pi fQ\Big(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\Big). +\] +Telle est l'expression dont on fait usage ordinairement, pour représenter +la force résistante moyenne résultante du frottement, rapportée +à la circonférence de la roue conduite. Elle est généralement trop petite: +mais elle approche d'autant plus d'être exacte que les dents sont +plus petites. + +Dans le cas où les contours des dents seraient engendrés, par un +cercle d'un rayon infini, roulant sur l'une et l'autre circonférence, +c'est-à-dire où ils deviendraient des développantes de cercle, le +point de contact serait constamment situé sur la tangente commune +aux deux circonférences primitives. On aurait $\alpha = 0$ et $z = s$: l'expression +\[ +fQ\Big(\frac{1}{R} + \frac{1}{R'}\Big)\int_0^S \frac{zds}{\cos\alpha} +\] +deviendrait +\[ +fQ\Big(\frac{1}{R} + \frac{1}{R'}\Big)\int_0^S sds = \frac{1}{2}fQ\Big(\frac{1}{R} + \frac{1}{R'}\Big)S^2, +\] +c'est-à-dire que la valeur donnée précédemment, pour la force résistante +équivalente au frottement, serait rigoureusement exacte, dans ce +cas, si nous n'avions pas négligé d'abord le second terme du deuxième +membre de l'équation (1). + +Il est aisé de voir que, dans le cas dont il s'agit, la valeur exacte +de la pression $p$ est +\[ +p = \frac{QR'}{R'-fs}. +\] +L'expression de la force équivalente au frottement est donc encore, +pour ce cas, un peu trop faible. +\marginpage % *** File: 126.png + +\mysection{\emph{Engrenage d'une roue et d'une lanterne.}} + +(Pl.~I, fig.~5). Soit $O$ l'axe de la lanterne, $c$ le centre, ou la trace de +l'axe de l'un des fuseaux dont nous représenterons le rayon par $r$, +$am$ le contour de la dent qui presse le fuseau. L'élément par lequel +se toucheront la dent et le fuseau, doit être normal au rayon vecteur +$Ac$, mené du point $A$ au centre $c$ du fuseau; ainsi cet élément est +situé en $a$. Conservant d'ailleurs les mêmes notations que dans l'article +précédent, voyons ce que devient l'intégrale ${\dint}\dfrac{zds}{\cos\alpha}$. + +L'angle $\alpha$ est la moitié de l'angle $AOc$; la corde +$Ac = z + r = 2 \sin \frac{1}{2} AOc \times R'$: on a donc +\begin{align*} +z + r = 2R'\sin \alpha.\tag{1} +\end{align*} +Si un arc infiniment petit $ds$ de la circonférence ($O$) s'applique sur un +arc égal de la circonférence ($C$), le centre $c$ de la lanterne viendra en +$c'$, $cc'$ étant l'arc infiniment petit $ds$, la corde $Ac$ deviendra $Ac'$, et +si l'on prolonge l'élément $cc'$ suivant la tangente $cb$, il est évident +que l'on aura $dz = Ac' - Ac = ds \cos Acb = ds \cos\alpha$. + +D'où +\[ +ds=\frac{dz}{\cos\alpha}. +\] +On a donc ${\dint}\dfrac{zds}{\cos\alpha}={\dint}\dfrac{zdz}{\cos^2\alpha}$; et en substituant à $\cos^2 \alpha$ sa valeur\dotfill\\ +$\dfrac{4R'^2-(z+r)^2}{4R'^2}$, tirée de l'équation (1), il vient +\[ +\int\frac{zds}{\cos\alpha} = 4R'^2\int_0^Z\frac{zds}{4R'^2-(s+r)^2}. +\] +La valeur de cette intégrale est +\[ +2R'^2\left[\log\ldot\frac{4R'^2-r^2}{4R'^2-(Z+r)^2}-\frac{r}{R'}\log\ldot\frac{2R'+r+Z}{2R'-r-Z}\times\frac{2R'-r}{2R'+r}\right]. +\] +\marginpage % *** File: 127.png +Il est permis de négliger le second terme écrit dans la parenthèse, +d'une part parce que sa valeur est très petite, quand $Z$ est lui-même +petit par rapport à $2R' - r$, et ensuite parce que l'omission de ce +terme donnera pour le frottement une valeur un peu trop grande. + +L'expression précédente devient alors +\[ +2R'^2 \log\ldot\frac{4R'^2 - r^2}{4R'^2 - (Z + r)^2}. +\] +Pour qu'elle coïncide avec celle obtenue dans le cas des engrenages +épicycloïdaux, il faut, en prenant pour la valeur du logarithme, +le premier terme de son développement en série, qui est +\[ +\frac{Z (2r + Z)}{4R'^2 - (r + Z)^2}, +\] +négliger au dénominateur $(r + Z)^2$ par rapport à $4R'^2$ et poser au +numérateur +\[ +Z(2r + Z) = S^2. +\] +On commet ainsi deux erreurs, généralement dans le même sens, qui +diminuent l'expression du frottement. + +Et l'on a +\[ +2R'^2 \log \frac{4R'^2 - r^2}{4R'^2 - (Z+r)^2} = \tfrac{1}{2} S^2. +\] +Je ne m'arrêterai pas à discuter l'engrenage d'une roue et d'une crémaillère, +qui est un cas particulier de l'engrenage de deux roues +planes; je passe à l'engrenage de deux roues non situées dans le +même plan, mais dont les axes se rencontrent. + +\mysection{\emph{Engrenage de deux roues d'angle.}} + +(Pl. 1, fig. 6). Soient $MC$ et $MO$ les deux axes qui se coupent en $M$: +$u$ la vitesse que prennent dans le mouvement du système, les points +situés à la circonférence de l'une et de l'autre roue, $R$, $R'$ les rayons +$CA$ et $OA$ des circonférences primitives: + +$\gamma$ l'angle compris entre les plans des deux roues; cet angle $\gamma$ peut +varier de 0 à 180°; il est nul quand les deux roues sont intérieures +\marginpage % *** File: 128.png +l'une à l'autre; il est de 180°, lorsqu'elles sont placées extérieurement +l'une à l'autre dans un même plan, + +$\dfrac{u}{R}$, $\dfrac{u}{R'}$, seront les vitesses angulaires des deux roues autour de leurs +axes respectifs. + +Si l'on imprime aux deux roues un mouvement de rotation, autour +de l'axe $MC$, avec une vitesse angulaire égale à $\dfrac{u}{R}$, et en sens contraire +du mouvement de la roue ($c$), celle-ci sera réduite au repos. +Le mouvement de la seconde roue sera le mouvement résultant +de sa rotation autour de son axe $MO$ et de la rotation autour +de $MC$; portons sur les axes $MC$ et $MO$ deux longueurs $Ma$ et +$Mb$, respectivement proportionnelles aux vitesses angulaires $\dfrac{u}{R}$, $\dfrac{u}{R'}$. +La diagonale du parallélogramme $Maib$, construit sur ces lignes, sera +suivant l'axe autour duquel aura lieu le mouvement de rotation résultant, +et la grandeur de cette diagonale sera égale à la vitesse angulaire +dans ce mouvement; or il est clair que la diagonale sera suivant +la génératrice $MA$, le long de laquelle se touchent les deux surfaces +coniques, ayant leur sommet commun en $M$ et pour bases les circonférences +primitives; en effet les sinus des angles compris entre la +diagonale, et les côtés $Ma$, $Mb$ doivent être entre eux dans le rapport +inverse de ces mêmes côtés, c'est-à-dire dans le rapport de $\dfrac{u}{R'}$ à $\dfrac{u}{R}$, +ou de $R$ à $R'$: or on a $\sin AMC =\dfrac{R}{MA}$, $\sin AMO = \dfrac{R'}{MA}$: ces sinus +étant entre eux comme $R$ est à $R'$, il en résulte que la diagonale du +parallélogramme, ou l'axe du mouvement de rotation résultant, est +suivant $MA$. La vitesse angulaire autour de cet axe est égale à la +longueur $Mi$ de la diagonale, c'est-à-dire à +\begin{align*} +&\sqrt{\overline{Ma}^2+\overline{Mb}^2- 2Ma\times Mb\cos iaM}\\ +={}&\sqrt{\frac{u^2}{R^2}+\frac{u^2}{R'^2} - \frac{2u^2}{RR'}\cos\gamma}\\ +={}&u\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{R'^2}-\frac{2\cos\gamma}{RR'}}. +\end{align*} +On voit donc que le mouvement relatif de la roue ($o$) par rapport à +la roue ($c$), est le même que si le cône ayant son sommet en $M$ et +\marginpage % *** File: 129.png +pour base la circonférence $OA$, roulait, sans glisser, sur le cône ayant +même sommet et pour base la circonférence $CA$. + +Il suit de là que si $am$ et $an$ sont les contours de deux dents en +prise (ces dents sont ici des portions de surfaces coniques attachées +aux deux roues, et ayant leur sommet en $M$, lesquelles se touchent +le long d'une génératrice; $am$ et $an$, représentent dans la figure, les +directrices de ces surfaces), la normale commune au point de contact +aux deux contours, devra rencontrer la génératrice $MA$ %[** errata] +par laquelle se touchent les cônes ayant pour bases les cercles primitifs +des deux roues. Appelant z la longueur de la perpendiculaire +abaissée du point $a$, pris au milieu de la longueur de l'élément de +contact, sur $MA$, l'étendue du glissement de la dent $an$ sur la dent +$am$ sera, pendant un instant $dt$, égale à +\[ +u\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{R'^2}-\frac{2\cos\gamma}{RR'}}\times zdt: +\] +si $ds$ est l'arc infiniment petit de la circonférence ($o$), qui s'applique +pendant l'instant $dt$ sur un arc égal de la circonférence ($c$), l'étendue +du glissement correspondant à l'arc $ds$, dont chacune des circonférences +a tourné dans le mouvement effectif du système, sera exprimée +par +\[ +\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{R'^2}-\frac{2\cos\gamma}{RR'}}zds; +\] +$p$ désignant la pression mutuelle des dents en prise l'une sur l'autre, +\[ +fp\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{R'^2}-\frac{2\cos\gamma}{RR'}}zds +\] +sera le travail résistant élémentaire développé par le frottement, et +l'intégrale +\[ +f\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{R'^2}-\frac{2\cos\gamma}{RR'}}\int_0^Spzds, +\] +sera le travail résistant pour l'arc $S$ parcouru par un point de la circonférence +de l'une ou de l'autre roue, depuis le moment où deux dents +commencent à se pousser dans le plan des axes des roues, jusqu'à +ce qu'elles se quittent. +\marginpage % *** File: 130.png +Soit (Pl. 1, fig. 6 \emph{bis}), le point de contact des deux dents, dans le +plan moyen de la roue conduite ($o$). $Mo$ représentant l'axe de cette +roue, et $MA$ la génératrice de contact des cônes primitifs, $z$ est la +perpendiculaire $am$ abaissée du point $a$ sur $MA$. Or, quand les dents +sont petites, cette ligne $am$ ou $z$ se confond sensiblement avec la +ligne $Aa$, menée du point $a$ au point de contact des circonférences +primitives, et contenue dans le plan moyen de la roue ($o$). En effet, si +nous menons la ligne $ak$, dans le plan de la roue, perpendiculaire au +rayon $Ao$, et si nous joignons les points $m$ et $k$, la ligne $mk$ sera une +perpendiculaire commune aux lignes $MA$ et $ak$. Appelant $\alpha$ l'angle +compris entre la ligne $Aa$, et la tangente commune $AT$ aux deux circonférences +primitives, et $\delta$ le demi-angle au centre du cône $AMo$, +nous aurons les relations +\Gauche +\begin{gather*} +\overline{am\vphantom{k}}^2 = z^2 = \overline{ak}^2 + \overline{mk}^2,\\ +mk = Ak \cos\delta = Aa \sin \alpha \cos\delta,\\ +ak = Aa cos \alpha,\\ +\tag*{d'où}\\ +z^2 = \overline{Aa}^2 (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^2 \delta),\\ +\tag*{et}\\ +\cos aAm= \frac{am}{Aa} = \sqrt{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha\cos^2\delta}: +\end{gather*} +\Droit +dans l'engrenage cylindrique, l'angle $\delta = 0$, $\cos \delta = 1$; et l'on a +$z = Aa$, $\cos Aam = 1$; les deux lignes $aA$ et $am$ se confondent. + +Dans l'engrenage conique, si les dents sont petites, l'angle $\alpha$ demeurera +toujours très petit. Son sinus sera presque nul et son cosinus +égal à 1, de sorte que les lignes $am$ et $aA$ seront encore très près de +se confondre, et pourront être prises, sans erreur sensible, l'une pour +l'autre la normale commune en $a$ aux dents se confond aussi sensiblement, +dans le même cas, avec $am$ et $Aa$. %[** errata] + +Si nous appelons $Q$ la résistance agissant tangentiellement à la +roue conduite ($o$), la valeur approchée de $p$, dans l'hypothèse que la normale commune %[** errata] +se confond avec $Aa$, sera, comme pour l'engrenage cylindrique, +$p = \dfrac{Q}{\cos\alpha}$, et l'expression du frottement sera +\[ +fQ\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{R'^2} - \frac{2\cos\gamma}{RR'}}\ldot\int_0^S\frac{zds}{\cos\alpha}. +\] +\marginpage % *** File: 131.png +Cette expression coïncide avec celle obtenue pour l'engrenage plan +de deux roues extérieures l'une à l'autre, lorsque l'on y pose $\gamma = 180°$ +et cos $\gamma = -1$. + +Dans le cas où les deux roues sont intérieures l'une à l'autre, on +a $\gamma = 0$, $\cos \gamma = 1$, et l'expression précédente devient +\[ +fQ \Big(\frac{1}{R} - \frac{1}{R'}\Big) \int_0^S \frac{zds}{\cos\alpha}. +\] +Lorsque les directrices $am$ et $an$ des portions de surfaces coniques, +formant les contours des dents, sont des courbes engendrées par +une circonférence de cercle située dans le plan de la roue ($o$), ce qui +donne pour la courbe $an$ une épicycloïde plane et pour la courbe $am$ +une épicycloïde sphérique, on trouvera pour la valeur moyenne du +frottement, considéré comme une force appliquée à la circonférence +primitive de la roue conduite, +\[ +\frac{1}{2} fQ \sqrt{\frac{1}{R^2} + \frac{1}{R'^2} - \frac{2\cos\gamma}{RR'}} \times S: +\] +$m$ et $n$ étant les nombres de dents des deux roues, on a +\[ +\frac{1}{R} = \frac{2\pi}{mS},\quad\frac{1}{R'} = \frac{2\pi}{nS}, +\] +et l'expression précédente devient +\[ +\pi fQ \sqrt{\frac{1}{m^2} + \frac{1}{n^2} - \frac{2\cos\gamma}{mn}}. +\] +Pour $\gamma = 180°$, $\cos \gamma = -1$, la résistance du frottement est la plus +grande. C'est le cas de l'engrenage de deux roues situées extérieurement +dans le même plan. + +Pour $\gamma=0$, $\cos \gamma =1$, la résistance du frottement est la plus petite. +Elle est exprimée par +\[ +\pi fQ \Big(\frac{1}{n} - \frac{1}{m}\Big): +\] +c'est le cas où les deux roues sont dans le même plan, et situées intérieurement +l'une à l'autre. + +\marginpage % *** File: 132.png +\mysection{\emph{Frottement dans la vis sans fin.}} + +(Pl. 1, fig. 7 et 7 bis). Soient $O$ l'axe de la vis sans fin, que nous +supposerons vertical: + +$C$ l'axe horizontal de la roue: + +$CA = R$ le rayon de la circonférence primitive de la roue (le point +de contact du filet de la vis et de la dent pressée par ce filet, est toujours +situé sur un point de la tangente $AT$ à cette circonférence, parallèle +à l'axe de la vis). + +$OA = r$ le rayon du cylindre sur lequel est enveloppée l'hélice ou +l'élément héliçoïdal, qui presse les dents de la roue: $i$ l'inclinaison +constante de cette hélice sur le plan horizontal. + +Le filet serpente sur le noyau de la vis et s'élève en tournant +dans le sens $xy$. Lorsque la vis entière tourne sur son axe dans +ce même sens, le filet de la vis presse successivement les dents de +la roue de haut en bas et fait tourner celle-ci dans le sens $yz$. La +condition de ce mouvement est que la vitesse d'un point de la circonférence +$CA$, soit à la vitesse d'un point du filet situé sur la circonférence +$OA$ comme le pas de la vis est à la circonférence qui a +pour rayon $OA$. Ainsi en désignant par $u$ la vitesse d'un point de +la circonférence $OA$ tournant autour de l'axe vertical $MO$, $u \tang i$ sera +la vitesse d'un point de la circonférence $CA$, tournant autour de +l'axe $C$. Les vitesses angulaires de la vis et de la roue, autour de leurs +axes, seront donc respectivement égales à $\dfrac{u}{r}$ et $\dfrac{u\tang i}{R}$. + +Au mouvement de rotation de la roue autour de l'axe $C$, nous +pouvons substituer un mouvement de rotation autour d'un axe parallèle +$OY$ passant par le point $O$, de même sens et avec même vitesse +angulaire, et un couple de rotations équivalent à un mouvement de +translation dans le sens vertical, qui sera ici de haut en bas, avec +une vitesse égale au produit de la distance $CO$ par la vitesse angulaire +$\dfrac{u\tang i}{R}$, c'est-à-dire à $(R + r) \dfrac{u\tang i}{R}$. + +Si maintenant nous réduisons la vis au repos, en superposant +aux mouvements effectifs un mouvement commun de rotation autour +de l'axe vertical de la vis, avec une vitesse angulaire égale et +\marginpage % *** File: 133.png +de sens contraire à celle $\dfrac{u}{r}$ que la vis possède, le mouvement de la +roue se composera: + +\primop.~Du mouvement de translation de haut en bas, avec une vitesse +égale à $(R+r)\dfrac{u\tang i}{R}$; + +\secundop.~D'un mouvement de rotation autour de l'axe horizontal $OY$ +avec une vitesse angulaire $\dfrac{u\tang i}{R}$, et dans lequel le corps tournera +de l'axe $OZ$ vers l'axe $OX$; + +\tertiop.~D'un mouvement de rotation autour de l'axe vertical $OZ$ avec +une vitesse angulaire égale à $\dfrac{u}{r}$, dans lequel le corps tournera en +sens contraire du mouvement effectif de la vis, c'est-à-dire de $OY$ +vers $OX$. + +Cela posé, soit $a$, dans la projection verticale, la situation actuelle +du point de contact du filet de la vis et d'une dent de la roue. Ce +point est sur la verticale $AT$ et se projette horizontalement en $A$. Menons +la ligne $aO$, la ligne $mn$ perpendiculaire à $aO$, contenue dans le +plan, passant par l'axe de la vis et perpendiculaire à l'axe de la roue, +enfin la tangente $AU$, projection de la tangente en $a$ à la circonférence +que décrirait le point a s'il tournait autour de l'axe $MOZ$. Posons +$aO=z$, l'angle $aOA= \alpha$. + +La vitesse du point $a$ due à la rotation autour de l'axe $oY$ est dirigée +suivant $am$, et égale à +\[ +aO \times \frac{u\tang i}{R} = \frac{u\tang i}{R} \times z. +\] +Elle a pour composante horizontale suivant $ao'$ +\[ +\frac{u\tang i}{R}z\sin\alpha, +\] +pour composante verticale dirigée de bas en haut, suivant $aT$ +\[ +\frac{u\tang i}{R}z\cos\alpha. +\] +La vitesse du point a due à la rotation autour de l'axe vertical $OZ$ est +\marginpage % *** File: 134.png +égale à $\dfrac{u}{r}\times ao' = u$. Sa projection horizontale est suivant la tangente +$AU$. + +La vitesse verticale du point $a$ de haut en bas due au mouvement +de translation est $(R+r)\dfrac{u\tang i}{R}$. Ainsi, les composantes parallèles aux +trois axes $OX$, $OY$ et $OZ$ de la vitesse du point $a$ sont: +\begin{flalign*} +&\text{\indent Suivant} & OX \ldots\ldots\qquad & u\dfrac{\tang i}{R}\ldot z\sin \alpha,&\\ +&\text{\indent Suivant} & OY \ldots\ldots\qquad & u &\\ +&\text{\indent Suivant} & OZ \ldots\ldots\qquad & \dfrac{u}{R}\tang i(R + r - z \cos \alpha).&\phantom{\indent Suivant} +\end{flalign*} +Cette dernière composante est dirigée de haut en bas. La vitesse du +point $a$, dans le mouvement relatif du filet de la vis et de la dent de +la roue, est donc +\[ +u\sqrt{1+\dfrac{\tang^2 i}{R^2}[(R+r)^2+z^2-2(R+r)z\cos\alpha]}. +\] +Si $ds$ désigne l'arc infiniment petit que décrit, dans le mouvement +effectif du système, pendant un instant $dt$, un point de la circonférence +qui a pour rayon $CA$, on aura $ds = u \tang idt$ et +\begin{multline*} +udt \sqrt{1+\dfrac{\tang^2 i}{R^2}[(R+r)^2+z^2-2(R+r)z\cos\alpha]}\\ +=\dfrac{1}{\tang i}\sqrt{1+\dfrac{\tang^2 i}{R^2}[(R+r)^2+z^2-2(R+r)z\cos\alpha]}ds +\end{multline*} +sera l'étendue du glissement du point a de la roue sur le filet de la vis +correspondant à l'arc infiniment petit $ds$. + +Si nous désignons par $p$ la pression mutuelle du filet de la vis et de +la dent de la roue, +\[ +\int^S_0\dfrac{fp}{\tang i}\sqrt{1+\dfrac{\tang^2 i}{R^2}[(R+r)^2+z^2-2(R+r)z\cos\alpha]}ds +\] +sera l'expression du travail résistant dû au frottement, pour l'arc $S$ dont +tourne la circonférence $CA$, depuis le moment où le filet de la vis +\marginpage % *** File: 135.png +vient appuyer sur une dent de la roue, jusqu'à ce qu'il cesse de la +presser, ce qui arrive, quand le point de contact mutuel est sur la +ligne $CO$. + +Il est d'ailleurs facile de voir que l'on a +\[ +z \cos\alpha = r,\quad z^2 = r^2+s^2, +\] +on a, pour déterminer $p$, l'équation +\[ +QR = p \cos i \times R, \qtext{d'où} p = \dfrac{Q}{\cos i}, +\] +en désignant par $Q$ la résistance appliquée à la roue rapportée à l'extrémité +du rayon $CA$, et négligeant, dans cette relation, l'effet du +frottement, ce qui est permis, lorsque $i$ est un petit angle. + +Effectuant ces substitutions et les réductions possibles, le travail du +frottement devient +\[ +f \dfrac{Q}{\cos i}\int^S_0\sqrt{\dfrac{1}{\sin^2 i}+\dfrac{s^2}{R^2}} ds. +\] +On sait intégrer l'expression précédente, mais le résultat se présente +sous une forme trop compliquée, pour être de quelque usage dans la +pratique. D'ailleurs on peut remarquer que $i$ est en général un petit +angle, et que par conséquent $\dfrac{1}{\sin^2 i}$ est très grand, tandis que $\dfrac{s^2}{R^2}$, est +une petite fraction, quand la roue a un grand nombre de dents, de +telle sorte que $\dfrac{s^2}{R^2}$ est négligeable par rapport à $\dfrac{1}{\sin^2 i}$. On peut même, +d'après un théorème donné par M.~Poncelet, déterminer dans chaque +cas la limite de l'erreur commise. Supposons par exemple, que +$\sin i$ soit égal à $\frac{1}{3}$; supposons en même temps que le nombre des +dents de la roue, soit égal à 20. On aura $20S=2\pi R$; d'où +$\dfrac{S}{R}=\dfrac{2\pi}{20} = 0.34$: ainsi le rapport de $\dfrac{S}{R}$ à $\dfrac{1}{\sin i}$ sera égal à $\dfrac{0{,}34}{3}= 0.11$. +Comme $S$ est la plus grande valeur de l'arc variable $s$, le rapport de +$\dfrac{s}{R}$ à $\dfrac{1}{\sin i}$ sera constamment inférieur à 0.11; or, d'après le théorème +cité de M.~Poncelet, un radical de la forme $\sqrt{P^2+Q^2}$ a pour expression +\marginpage % *** File: 136.png +linéaire approchée +\[ +\frac{2}{1+\cos \dfrac{\phi}{2}} \Big( P \cos \frac{\phi}{2} + Q \sin \frac{\phi}{2} \Big) , +\] +$\phi$ désignant l'angle dont la tangente est égale à la valeur maximum +que puisse avoir le rapport $\dfrac{Q}{P}$. La limite de l'erreur commise, en substituant +l'expression linéaire ci-dessus au radical, est exprimée par le +radical multiplié par la fraction $\dfrac{1-\cos\dfrac{\phi}{2}}{1+\cos\dfrac{\phi}{2}}$. + +Posant donc $P =\dfrac{1}{\sin i}$, $Q = \dfrac{s}{R}$, $\tang \phi = 0.11$: il vient pour la +valeur de $\sqrt{\dfrac{1}{\sin^2 i}+\dfrac{s^2}{R^2}}$, +\[ +0{,}999 \times \frac{1}{\sin i} + 0{,}055 \frac{s}{R} , +\] +et cette valeur est approchée à $\dfrac{7}{10000}$ près. Substituant au radical la +valeur approchée sous le signe $\int$, le travail résistant du frottement +sera +\[ +\frac{fQ}{\cos i} \Big( \frac{0.999 S}{\sin i} + 0.055 \frac{S^2}{2R} \Big) ; +\] +la valeur moyenne de la force équivalente au frottement, rapportée +à la circonférence primitive de la roue, sera donc +\[ +\frac{fQ}{\cos i} \Big( \frac{0.999}{\sin i} + 0{,}055 \frac{S}{2R} \Big). +\] +Si $m$ désigne le nombre des dents de la roue, $\dfrac{S}{2R} = \dfrac{\pi}{m}$, et cette expression +devient +\[ +\frac{fQ}{\cos i} \Big( \frac{0.999}{\sin i} + 0.055 \frac{\pi}{m} \Big). +\] +Si $m = 20$, on aura $0.055 \dfrac{\pi}{m} = 0.0086$, tandis que $\dfrac{0.999}{\sin i}$ sera +\marginpage % *** File: 137.png +égal à $3$, en supposant que $\sin i = \frac{1}{3}$. En négligeant donc +$0.055 \dfrac{\pi}{m}$ par rapport à $\dfrac{0.999}{\sin i}$, l'erreur commise sera moins de $\dfrac{1}{300}$. +On voit que, généralement, il sera permis d'adopter pour la valeur +moyenne de la force équivalente au frottement, rapportée à la circonférence +primitive de la roue, +\[ +\frac{0{,}999fQ}{\sin i\cos i}\qtext{ou simplement} \frac{fQ}{\sin i \cos i}= \frac{2fQ}{\sin2i}. +\] + +Lorsque l'inclinaison $i$ de l'élément héliçoïdal, qui presse la dent +de la roue est considérable, la valeur $p = \dfrac{Q}{\cos i}$ n'est pas suffisamment +approchée. Il faut alors, dans l'équation d'équilibre de la roue, +tenir compte de la force produite par le frottement du filet et de la +dent, ce qui donne +\[ +Q \times R = (p \cos i - fp \sin i) R, +\] +d'où +\[ +p=\frac{Q}{\cos i-f\sin i}. +\] +Cette valeur de $p$ substituée à $\dfrac{Q}{\cos i}$, dans les calculs précédents, donnera +pour l'expression de la résistance moyenne du frottement rapportée +à la circonférence de la roue dont le rayon est $R$, +\[ +\frac{fQ}{\cos i-f\sin i}\left(\frac{\alpha}{\sin i} + \frac{T\pi}{m}\right): +\] +$\alpha$ et $T$ sont des coefficients numériques que l'on déterminera par le +théorème de M.~Poncelet. + +\jmpafin + +% *** File: 138.png + +\jmpapaper{NOTE}{} +{Sur une manière simple de calculer la pression produite +contre les parois d'un canal dans lequel se meut un +fluide incompressible;} +{Par G. CORIOLIS.}{} +\label{art11} + +Les sections d'un canal ou filet fluide variant assez peu pour qu'on +puisse admettre le parallélisme des tranches, c'est-à-dire pour qu'on +puisse supposer que les vitesses dans une même section sont parallèles +à la tangente à la courbe qu'on prend pour axe, on peut dans cette +hypothèse exprimer très simplement la pression totale supportée dans +un certain sens par les parois qui forment le canal: il suffit pour cela +de connaître seulement les intensités et les directions des vitesses dans +les deux sections extrêmes qui terminent la masse fluide. + +Si $X$, $Y$, $Z$ sont les composantes, dans le sens des trois axes coordonnés, +des forces accélératrices auxquelles le fluide est soumis, on +sait qu'en désignant par $p$ le poids d'une tranche de fluide (les forces +produites contre les parois par cette tranche étant représentées par +$E$, $F$, $G$, dans le sens des axes coordonnés) on aura +\begin{alignat*}{2} +E &= \frac{p}{g}\Big(X &&- \frac{d^2x}{dt^2}\Big),\\ +F &= \frac{p}{g}\Big(Y &&- \frac{d^2y}{dt^2}\Big),\\ +G &= \frac{p}{g}\Big(Z &&- \frac{d^2z}{dt^2}\Big). +\end{alignat*} + +En prenant le poids du mètre cube d'eau pour unité et désignant +par $\omega$ la section dans le filet faite perpendiculairement à son axe et par +\marginpage % *** File: 139.png +$ds$ la différentielle de la longueur de cet axe, on a +\[ +p = \omega ds. +\] +La somme des pressions produites sur les parois dans le sens de +l'axe des $x$ pour toute l'étendue du canal, entre les limites $s_0$ et $s_1$ de +la longueur de l'axe, étant désignée par $E$, on aura +\[ +E=\int_{s_0}^{s_1} X\frac{\omega ds}{g} - \int_{s_0}^{s_1} \frac{\omega ds}{g}\ldot \frac{d^2z}{dt^2}. +\] +Si l'on désigne par $u$ la vitesse de la tranche $\omega ds$ et par $\alpha$ l'angle que +fait l'élément $ds$ de l'axe du canal avec l'axe des $x$, on a, en vertu de +ce que $u$ est une fonction de $t$ et de $s$, +\[ +\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{d(u\cos \alpha)}{dt} + u\ldot\frac{d(u\cos\alpha)}{ds}. +\] +Ainsi +\[ +E=\int_{s_0}^{s_1} X\frac{\omega ds}{g} - \int_{s_0}^{s_1} \frac{\omega ds}{g} \frac{d(u\cos\alpha)}{dt} - \int_{s_0}^{s_1} \frac{\omega ds}{g} \frac{d(u\cos\alpha)}{ds}: +\] +$\cos \alpha$ étant indépendant de $t$, on a +\[ +\frac{\omega ds}{g}\frac{d(u\cos\alpha)}{dt} = \frac{1}{g}\ldot ds\cos\alpha\ldot\omega\frac{du}{dt}=\frac{1}{g}dx\ldot\omega\frac{du}{dt}. +\] + +En vertu de l'incompressibilité du fluide, $\omega u$ est constant dans l'étendue +du canal; en désignant par $u_0$ et $\omega_0$ les valeurs de ces variables +à l'origine du canal, il vient donc +\[ +\omega u = \omega_0 u_0, +\] +et +\[ +\omega\frac{du}{dt} = \omega_0\frac{du_0}{dt}. +\] +Introduisant ces relations dans les formules ci-dessus pour intégrer +dans toute l'étendue du canal et dénotant par les indices $1$ et $0$ les +valeurs des variables pour les deux extrémités du canal, on aura +\[ +E=\int_{s_0}^{s_1} X\frac{\omega ds}{g} - \frac{\omega_0}{g}\ldot\frac{du_0}{dt}\ldot(x_1 - x_0) - \frac{\omega_0 u_0}{g} \left[u_1\cos\alpha_1-u_0\cos\alpha_0\right]. +\] +\marginpage % *** File: 140.png + +Dans les applications, la force $X$ ne sera que la composante de la +gravité, de sorte qu'en désignant par $P$ le poids total du fluide entre +les extrémités du filet et par $a$ l'angle que fait l'axe des $x$ avec la verticale, +on aura +\[ +E=P\cos a-\frac{\omega_0}{g}(x_1-x_0) %[** errata] +\frac{du_0}{dt} + \frac{\omega_0 u_0}{g}\cos\alpha_0 - \frac{\omega_0 u_0}{g}u_1\cos\alpha_1, +\] +Si le mouvement est permanent, c'est-à-dire si les vitesses ne varient +pas avec le temps, on aura $\dfrac{du_0}{dt} = 0$, et $E$ se réduira à +\[ +E=P\cos a+\frac{\omega_0 u^2_0}{g}\cos\alpha_0 -\frac{\omega_0 u_0}{g}u_1\cos\alpha_1. +\] + +Ainsi l'effort total $E$ ne dépend nullement de la forme du filet. + +Si l'on prend l'axe des $x$ dans un sens perpendiculaire à la vitesse $u_1$, +c'est-à-dire si l'on veut la pression sur les parois dans un sens perpendiculaire +à la vitesse de sortie, on aura $\cos\alpha_1 = 0$: il en résultera +\[ +E=P\cos a +\frac{\omega_0 u^2_0}{g}\cos\alpha_0 - \frac{\omega_0}{g}\ldot\frac{du_0}{dt}\ldot(x_1-x_0), +\] +et pour le cas de permanence +\[ +E=P\cos a +\frac{\omega_0 u^2_0}{g}\cos\alpha_0. +\] + +Ces formules ont été données par Euler et reproduites par M.~Navier. +On compliquait inutilement leur démonstration par l'introduction de +la force centrifuge et de la force tangentielle. + +On voit qu'il suffit de composer le terme $\dfrac{d^2x}{dt^2}$ en ses deux dérivées +partielles. + +\jmpafin + +% *** File: 141.png + +\jmpapaper{}{} +{Sur la mesure de la surface convexe d'un prisme ou d'un +cylindre tronqué;} +{Par M.~Paul BRETON,} +{Élève ingénieur des Ponts-et-Chaussées.} +\label{art12} + +La surface convexe d'un prisme ou d'un cylindre terminé par deux +plans non parallèles a pour mesure \emph{le produit de la longueur de la +section droite par la parallèle aux arètes qui passe par le centre de +gravité du contour de cette section et se termine aux deux bases.} + +En effet, soient $B_1$, $B_0$ les deux bases, et concevons la surface +prolongée jusqu'à la rencontre d'un plan perpendiculaire aux arètes, +lequel détermine la section $B$ qui prend le nom de \emph{section droite}. + +La surface qui s'étend de $B_1$ à $B$ se compose de trapèzes dont chacun +a pour mesure le produit de celui de ses côtés qui fait partie de $B$ +par sa distance au milieu du côté qui lui correspond sur $B_1$; cette surface +a donc pour expression la somme des produits des côtés de $B$ par +les parallèles à une même direction menées des milieux de ces côtés à +un même plan $B_1$; et l'on démontre \emph{en Statique} que cette somme de +produits est égale au produit du contour de $B$ par la parallèle à la +même direction, menée de son centre de gravité au même plan $B_1$. +On ferait voir de la même manière que la surface comprise entre $B_0$ et +$B$ a pour mesure une expression semblable. La différence entre les +surfaces que nous venons de mesurer, et qui est la surface proposée +elle-même, est donc égale au produit du contour de la section droite +par la longueur de la parallèle aux arètes menée de son centre de gravité +jusqu'aux deux bases. Ce qui est le théorème énoncé. + +\mysection{REMARQUES.} + +I\@. Si les plans des deux bases se coupaient dans l'intérieur du prisme, +on n'obtiendrait par la proposition précédente que la différence des +\marginpage % *** File: 142.png +aires interceptées par les angles opposés de ces plans. Il faut pour en +avoir la somme appliquer la proposition à chacune des portions séparément, +en cherchant le centre de gravité de l'arc de section droite +auquel elle correspond. + +II\@. Lorsque la section droite a un centre, toutes les autres sections +en ont un aussi, et la parallèle aux arêtes menée par le centre de la +section droite passe par les centres de gravité des deux bases; dans le +cas contraire, on ne peut plus affirmer que la parallèle aux arêtes menée +du centre de gravité du contour de la section droite aux deux +bases soit la distance des centres de gravité de leurs contours. Cela est +facile à vérifier en prenant un prisme triangulaire pour exemple. + +III\@. La proposition qui fait le sujet de cet article est l'analogue d'une +proposition connue et qui s'énonce ordinairement ainsi: + +Le volume d'un prisme ou d'un cylindre à bases planes non-parallèles, +a pour mesure le produit de l'aire de l'une d'elles par la distance +de celle-ci au centre de gravité de la surface de l'autre. + +L'analogie dont il s'agit devient parfaite en énonçant la proposition +de la manière suivante: + +Le volume d'un prisme ou d'un cylindre terminé par deux plans +non-paral\-lèles, a pour mesure le produit de l'aire de la section droite +par la parallèle aux arêtes qui passe par le centre de gravité de cette +section et se termine aux deux bases. + +\jmpafin + +% *** File: 143.png + +\jmpapaper{NOTE}{} +{Sur le développement de $(1 - 2xz + z^2)^{-\frac{1}{2}}$;} +{Par J. LIOUVILLE.}{} +\label{art13}\Gauche + +Représentons par $X_0 + X_1z + \dotsb + X_nz^n + \dotsb $ le développement +du radical $(1 - 2xz + z^2)^{-\frac{1}{2}}$ ordonné suivant les puissances ascendantes +de $z$: $X_n$ sera une fonction entière de $x$ de degré $n$, et l'on a vu +dans le cahier précédent que la valeur de cette fonction est +\[ +X_n = \frac{1}{1\ldot2\ldot3\ldots n\ldot2^n} \ldot \frac{d^n\ldot(x^2-1)^n}{dx^n}.\tag{1} +\] +A l'aide de la formule (1) on prouve sans peine que, si l'indice $m$ est $<n$, on a +\[ +\int_{-1}^{+1}X_mX_ndx=0.\tag{2} +\] +Quand on fait $m = n$, il vient au contraire +\[ +\int_{-1}^{+1}X^2_ndx=\frac{2}{2n+1}.\tag{3} +\] +Mais on peut aussi établir les équations (2), (3) sans connaître l'expression +analytique de $X_n$. Pour y parvenir, Legendre considère +l'intégrale\footnote{\emph{Exercices de Calcul intégral}, tome II, page 250.} +\[ +P=\int_{-1}^{+1} \frac{dx}{\sqrt{1-2rxz+r^2z^2}\sqrt{1-\dfrac{2xz}{r}+\dfrac{z^2}{r^2}}}. +\] +\marginpage % *** File: 144.png +Si l'on fait $1 + r^2z^2 - 2rxz =y^2$, ou $x = \dfrac{1 + r^2z^2-y^2}{2rz}$, on aura, +dit-il, la transformée +\[ +P = -\frac{1}{2} \int \frac{dy}{\sqrt{y^2-1+r^2+z^2-r^2z^2}}, +\] +d'où résulte l'intégrale indéfinie +\[ +P = C + \tfrac{1}{2} \log(-y + \sqrt{y^2-1+r^2+z^2-r^2z^2}). +\] +Les limites de $x$ étant $x = -1$, $x = + 1$, celles de $y$ sont +$y= 1 + rz$, $y= 1 - rz$: on aura donc l'intégrale cherchée +\begin{flalign*} +&&&P = \frac{1}{z} \log \Big(\frac{r-z-1+rz}{r+z-1-rz}\Big) = \frac{1}{z} \log \Big(\frac{1+z}{1-z}\Big) \\ +&\text{ou}&&P = 2+ \frac{2}{3} z^2 + \frac{2}{5} z^4 + \dotsb + \frac{2}{2n+1} z^{2n}+ \dotsb ,&\phantom{ou} +\end{flalign*} +quantité indépendante de $r$. + +Cette intégrale est celle de la différentielle +\[ +dx (1 + X_1zr + X_2z^2r^2 + \etc) \Big(1 + X_1 \frac{z}{r} + X_2 \frac{z^2}{r^2} + \etc\Big), +\] +et puisque $r$ disparaît entièrement du résultat, il faut qu'on ait généralement, +$m$ et $n$ étant inégaux, ${\dint_{-1}^{+1}} X_mX_n dx = 0$. On voit en +même temps que $m$ et $n$ étant égaux, on aura +\[ +\int_{-1}^{+1} X_n^2dx = \frac{2}{2n+1}, \quad \text{C. Q. F. D.} +\] + +Maintenant je dis qu'en s'appuyant sur la formule (2), on obtient +aisément l'expression générale de $X_n$, d'où résulte une démonstration +nouvelle de la formule (1). Cette démonstration que je vais exposer +en peu de mots n'est pas indigne, ce me semble, de l'attention des +géomètres. + +Pour fixer les idées cherchons par exemple $X_3$. En faisant $n = 3$, +puis successivement $m=0$, $m=1$, $m=2$ dans l'équation (2), on a +\[ +\int_{-1}^{+1}X_0 X_3 dx = 0,\quad +\int_{-1}^{+1}X_1 X_3 dx = 0,\quad +\int_{-1}^{+1}X_2 X_3 dx = 0, %[** errata] +\] +\marginpage % *** File: 145.png +d'où l'on tire +\[ +\int_{-1}^{+1}(A_0 X_0 + A_1 X_1 + A_2 X_2) X_3 dx = 0,\tag{4} +\] +quels que soient les coefficients constants $A_0$, $A_1$, $A_2$. Mais un polynome +$y$ du second degré par rapport à $x$ peut toujours être mis sous +la forme $A_0 X_0 + A_1 X_1 + A_2 X_2$. En effet par une détermination convenable +de la constante $A_2$, rendons égaux les coefficients de $x^2$ dans +$y$ et dans $A_2 X_2$: dès-lors $y - A_2 X_2$ ne sera plus que du premier degré +par rapport à $x_1$: de même $y - A_2 X_2 - A_1 X_1$ se réduira à une +simple constante $A_0 X_0$ si l'on attribue au coefficient $A_1$ une valeur +convenable. Finalement on aura donc $y = A_0 X_0 + A_1 X_1 + A_2 X_2$, +et l'équation (4) deviendra +\[ +\int_{-1}^{+1}yX_3dx=0.\tag{5} +\] +En intégrant par parties trois fois de suite et se rappelant que $d^3 y=0$, +on trouve +\[ +\int_{-1}^{x}yX_3dx=y\int_{-1}^{x}X_3dx-\frac{dy}{dx}\int_{-1}^{x}dx\int_{-1}^{x}X_3dx+\frac{d^2y}{dx^2}\int_{-1}^{x}dx\int_{-1}^{x}dx\int_{-1}^{x}X_3dx. +\] +Lorsqu'on fait $x = 1$, le résultat de l'intégration doit se réduire à +zéro en vertu de l'équation (5), et comme les valeurs de $y$, $\dfrac{dy}{dx}$, $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ +pour $x = 1$ sont arbitraires, cela exige que l'on ait séparément +\[ +\int_{-1}^{x}X_3dx=0,\quad \int_{-1}^{x}dx\int_{-1}^{x}X_3dx=0,\quad \int_{-1}^{x}dx\int_{-1}^{x}dx\int_{-1}^{x}X_3dx=0 +\] +\label{err145}pour $x =1$. En d'autres termes si l'on pose +\[ +\int_{-1}^{x}dx\int_{-1}^{x}dx\int_{-1}^{x}X_3dx=\phi(x), +\] +il faut que l'on ait à la fois +\[ +\phi(x) = 0,\quad \frac{d\phi(x)}{dx} = 0,\quad \frac{d^2\phi(x)}{dx^2}= 0 \qtext{pour} x = 1: +\] +l'équation algébrique $\phi(x) = 0$ a donc une racine triple égale à $1$ et +\marginpage % *** File: 146.png +son premier membre doit être divisible par $(x - 1)^3$. D'un autre côté +il est évident que l'on a aussi +\[ +\phi(x),\quad \frac{d\phi(x)}{dx}=0, \quad\frac{d^2\phi(x)}{dx^2}=0\qtext{pour} x = -1, +\] +en sorte que $\phi(x)$ est divisible par $(x+1)^3$. Or $X_3$ étant du troisième +degré en $x$, $\phi(x)$ est du sixième degré par rapport à cette variable: +il résulte de là que $\phi(x)$ ne peut être que de la forme +\[ +\label{err146}\phi(x)\qtext{ou}\int_{-1}^x dx\int_{-1}^x dx\int_{-1}^xX_3dx = H_3\ldot(x^2-1)^3, +\] +ce qui donne +\[ +X_3 = H_3\ldot\frac{d^3\ldot(x^2-1)^3}{dx^3}, +\] +$H_3$ désignant une constante arbitraire. + +En appliquant à la fonction $X_n$ un calcul semblable, on a +\[ +X_n = H_n\ldot\frac{d^n\ldot(x^2-1)^n}{dx^n}. +\] +L'analyse précédente suppose seulement \primop.~que $X_n$ soit un polynome +entier de degré $n$, \secundop.~que l'équation (2) ait lieu pour toutes les valeurs +de $m < n$. Il importe peu que les fonctions $X_0$, $X_1$,\dots\ proviennent +du développement de $(1 - 2xz + z^2)^{-\frac{1}{2}}$. La considération +de ce développement ne devient utile que quand on veut déterminer +$H_n$. + +En décomposant $(x^2 - 1)^n$ en ses facteurs $(x + 1)^n \ldot (x - 1)^n$, il vient +par une formule connue +\[ +X_n=H_n\left[(x+1)^n\ldot\frac{d^n\ldot(x^2-1)^n}{dx^n}+\frac{n}{1}\ldot\frac{d\ldot(x+1)^n}{dx}\ldot\frac{d^{n-1}(x-1)^n}{dx^{n-1}}+\etc\right], +\] +et, en faisant $x = 1$, il reste simplement, +\[ +X_n = 1 \ldot 2 \ldot 3 \ldots n \ldot2^n \ldot H_n. +\] +\marginpage % *** File: 147.png +Or, pour $x = 1$, le radical $(1 - 2xz + z^2)^{-\frac{1}{2}}$ se réduisant à +$(1-z)^{-1}$, c'est-à-dire à $1+z + z^2 + \dotsb $, on a $X_n = 1$: par conséquent +\[ +H_n = \frac{1}{1\ldot2\ldot3\ldots n\ldot2^n}. +\] +La valeur définitive de $X_n$ est donc +\[ +Xn = \frac{1}{1\ldot2\ldot3\ldots n\ldot2^n} \ldot \frac{d^n \ldot (x^2 - 1)^n}{dx^n}, %[** errata] +\] +ce qu'il fallait démontrer. + +\jmpafin + +% *** File: 148.png + +\jmpapaper{NOTE}{} +{Sur un passage de la seconde partie de la \emph{Théorie des +Fonctions analytiques;}} +{Par M.~POISSON.}{} +\label{art14} + + +En un point donné $M$ sur une surface aussi donnée, le contact du +second ordre avec une autre surface exige que celle-ci satisfasse à +six conditions: il faut qu'en ce point, l'ordonnée $z$, ses deux dérivées +$z'$ et $z\subprime$ du premier ordre, ses trois dérivées du second ordre $z''$, $z'\subprime$, +$z\subdprime$, soient égales pour les deux surfaces; la quantité $z$ étant considérée +comme une fonction des deux autres coordonnées $x$ et $y$. Or l'équation +générale de la sphère ne contenant que quatre constantes, savoir, +son rayon et les trois coordonnées de son centre, elles ne suffisent +pas pour satisfaire à ces six conditions; en sorte qu'il n'existe pas en +chaque point $M$ d'une surface donnée, une \emph{sphère osculatrice}, ou qui +ait avec cette surface, un contact du second ordre; au lieu qu'il y a +toujours un \emph{cercle osculateur}, pour chaque point d'une courbe, à +simple ou à double courbure. Après avoir fait cette remarque dans +le chapitre VIII, Lagrange ajoute, dans le chapitre suivant, que si +l'on trace une ligne quelconque sur la surface donnée, on pourra toujours +déterminer en chaque point, une sphère osculatrice de cette +ligne, ou de la surface suivant cette ligne: il entend par là une +sphère tangente en $M$ à la surface, et pour laquelle la dérivée seconde +de l'ordonnée $z$ soit la même que pour cette surface, mais +seulement dans la direction de la ligne donnée. Cette ligne sera +déterminée en prenant pour $y$ une fonction de $x$, dont $y'$ et $y''$ désigneront +les deux premières dérivées; la seconde dérivée de $z$, qui +\marginpage % *** File: 149.png +devra être égale pour les deux surfaces, aura alors pour expression +\[ +z'' + 2z'\subprime y' + z\subdprime y'' + z\subdprime y'^2 + z\subprime y''; +\] +et de cette égalité, jointe à la condition du plan tangent commun +aux deux surfaces qui fournit trois équations, on déduira les valeurs +du rayon et des trois coordonnées du centre de la sphère demandée. +Dans tout ce chapitre IX, il n'est question que des sphères osculatrices, +ainsi définies, et relatives aux différentes courbes que l'on peut +tracer sur une même surface; les mots \emph{rayon de courbure} et \emph{centre +de courbure}, s'y rapportent à leurs rayons et à leurs centres, et non +pas aux rayons et aux centres des cercles osculateurs de ces diverses +lignes, qui se détermineraient par d'autres conditions exposées dans +le chapitre VII, où l'auteur traite du contact des courbes entre +elles. + +Cela posé, Lagrange détermine en un point quelconque $M$ d'une +surface donnée, les directions suivant lesquelles le rayon de courbure +ou de la sphère osculatrice, est un \emph{maximum} ou un \emph{minimum}; +il trouve qu'il y en a deux, qui se coupent à angle droit, et dont +l'une répond au \emph{maximum} et l'autre au \emph{minimum}; et de là, il conclut +que l'on peut tracer sur toute surface donnée, deux séries de lignes, +telles que suivant les unes, la courbure de la surface, mesurée par celle +de la sphère osculatrice, soit la plus grande en chaque point, et qu'elle +soit la plus petite suivant les autres. Il cherche ensuite quelles +sont les lignes qui jouissent de cette autre propriété, que les rayons +des sphères osculatrices suivant la direction de chacune d'elles, soient +tangentes à la ligne des centres de ces sphères; il trouve pour ces +lignes, celles-là même qu'il avait d'abord déterminées: \emph{d'où il suit}, +dit-il, \emph{que les lignes suivant lesquelles le rayon de courbure sera tangent +de la courbe des centres, sont les mêmes que celles de la plus +grande ou de la moindre courbure}. D'après le sens que l'auteur attache +à ces expressions, et qu'on vient de rappeler, il n'y a rien dans cette conclusion, +qui ne soit parfaitement exact: cependant M.~Jacobi a pensé +qu'elle était erronée\footnote{Voyez le dernier numéro du Journal de M.~Crelle.}; mais la méprise de cet illustre géomètre +\marginpage % *** File: 150.png +vient de ce qu'il a supposé à la proposition, dont il s'agit, un sens +qu'elle n'a pas et que Lagrange n'a pas voulu lui donner. + +Plus loin, Lagrange dit encore: \emph{il n'y aura, sur une surface quelconque, +que ces lignes qui puissent avoir} (et qui aient effectivement +suivant lui), \emph{une développée formée par les rayons de courbure}; ce +que M.~Jacobi considère aussi comme une erreur. Mais il ne faut +pas perdre de vue qu'il s'agit toujours des rayons des sphères osculatrices, +normaux à la surface donnée, et non pas des rayons de +courbure, proprement dits, des lignes dont on parle, qui seraient +compris dans leurs plans osculateurs. Le mot \emph{développée} est pris ici +dans l'acception générale que Monge lui a donnée, et que Lagrange +a indiquée à la fin du chapitre VII: dans ce sens, une développée +d'une courbe plane ou à double courbure, est le lieu des intersections +successives d'un système de normales à cette courbe; chaque +ligne donnée a alors une infinité de développées, qui sont toutes +situées sur la surface développable, formée par les intersections successives +de ses plans normaux; mais ce n'est que dans le cas particulier +d'une courbe plane, que ces développées comprennent le lieu des +centres des cercles osculateurs, et dans tout autre cas, les rayons +de ces cercles ne sont pas tangents à la ligne de leurs centres. + +Euler a déterminé le premier, les rayons de courbure des sections +normales des surfaces. Il a fait voir que pour chaque point d'une +surface proposée, les rayons de courbure de toutes les courbes résultantes +de ces sections, sont liés entre eux par des formules qu'il a +données, et qui montrent qu'on peut les déduire tous, soit de trois +quelconques d'entre eux, soit de deux seulement, quand on prend +pour ceux-ci, le plus grand et le plus petit rayon, appartenant à +des sections perpendiculaires l'une à l'autre, dont il a déterminé +les directions. C'est Meunier qui a montré ensuite comment les +rayons de courbure déboutes les sections obliques, faites par une +même tangente à la surface, se déduisent très simplement de celui +de la section normale. D'un autre côté, Monge a considéré les courbes +suivant lesquelles il faut marcher sur une surface donnée, pour que +chaque normale à cette surface soit coupée par la normale infiniment +voisine; lesquelles courbes, qu'il a nommées \emph{lignes de courbure de la +surface}, sont au nombre de deux en chaque point, et se coupent à +\marginpage % *** File: 151.png +angle droit. Par la considération des sphères osculatrices, Lagrange +a rapproché ces deux théories différentes, et fait voir qu'en chaque +point d'une surface, les sections normales de plus grande et de +moindre courbure, qu'Euler a déterminées, sont tangentes aux lignes +dont Monge a considéré les principales propriétés, auxquelles M.~Ch.\ +Dupin en a ajouté de nouvelles, dans ses \emph{Développements de géométrie}. +Il restait à examiner plus complétement qu'on ne l'avait fait auparavant, +ce qui arrive aux points particuliers que Monge a nommés +des \emph{Ombilics}; et c'est ce que je me suis proposé dans un mémoire +sur la courbure des surfaces, qui fait partie du tome VIII du Journal +de M.~Crelle, et du XXI\ieme\ cahier du Journal de l'École Polytechnique. + +\label{err151}Les lignes de courbures de Monge n'ont pas, en général, leur plan +osculateur en chaque point, perpendiculaire à la surface à laquelle elles +appartiennent. Pour s'en assurer, il suffit de considérer les surfaces de +révolution. Dans ce cas, les deux lignes de courbure sont planes; +l'une est la courbe génératrice, et l'autre un cercle: le plan osculateur +de la première est normal à la surface; mais évidemment, celui +du cercle ne l'est pas. C'est la ligne la plus courte d'un point à un +autre sur une surface donnée, qui jouit, comme on sait, de la propriété +d'avoir, en tous ses points, son plan osculateur normal à cette +surface; et comme le dit très bien M.~Jacobi, une même courbe ne +peut être, à la fois, une ligne de courbure et la ligne la plus courte +entre deux points donnés, à moins qu'elle ne soit une courbe plane. +Par inadvertance, j'ai énoncé, dans mon \emph{Traité de Mécanique}\footnote{Tome~II, page~300.}, +cette proposition fausse, que si les deux points donnés se trouvent +sur une même ligne de courbure, cette ligne sera la plus courte; +mais j'ai eu soin, dans mes cours, d'avertir de cette erreur qui m'est +échappée. + +L'équation générale de la surface d'un ellipsoïde contient neuf +coefficients constants; si donc on donne un point $M$ sur une surface +aussi donnée, on pourra toujours déterminer une infinité d'ellipsoïdes +qui aient en ce point, un contact du second ordre, avec cette +surface: trois des neuf coefficients resteront indéterminés; mais ils ne +\marginpage % *** File: 152.png +suffiront pas pour élever ce contact au \label{ref144}quatrième ordre, c'est-à-dire, +pour satisfaire aux quatre conditions que le quatrième ordre +exige de plus que le troisième. Au point $M$, le plan tangent, les plans +des sections normales de plus grande et de plus petite courbure, et +les rayons de courbure de ces deux sections, seront communs aux deux +surfaces. Si ce point est aussi donné sur l'ellipsoïde, que ce soit, +par exemple, un de ses sommets; on pourra réduire à +\[ +\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1, +\] +l'équation d'un ellipsoïde osculateur, en plaçant l'origine des coordonnées +à son centre; prenant pour axe des $z$, la normale en $M$ à +la surface donnée, et les plans de ses sections de plus grande et de +moindre courbure, pour ceux des $x$ et $z$, et des $y$ et $z$; et désignant +par $a$, $b$, $c$, les trois demi-axes de cet ellipsoïde, dont les deux premiers +sont parallèles au plan tangent en $M$, et le troisième lui est +perpendiculaire. Ses deux rayons de courbure principaux au point $M$, +auront pour valeur $\dfrac{a^2}{c}$ et $\dfrac{b^2}{c}$; en désignant par $\alpha$ et $\beta$ ceux de la +surface donnée en ce même point, on aura donc +\[ +a^2 = \alpha c,\quad b^2 = \beta c; +\] +ce qui fera connaître deux des trois demi-axes $a$, $b$, $c$, et laissera le +troisième indéterminé. Par conséquent, en un même point $M$, une +surface donnée a encore un nombre infini d'ellipsoïdes osculateurs, +dont l'un des sommets est au point de contact; et cela aura également +lieu, lorsque la surface donnée sera elle-même un ellipsoïde, +qui aura aussi le point $M$ pour un de ses sommets. + +Aux deux équations précédentes, on en pourra joindre une troisième +qui achèvera la détermination des trois quantités $a$, $b$, $c$. On +pourra, par exemple, supposer qu'on ait $c=b$; d'où il résultera +$b=\beta$ et $a= \sqrt{\alpha\beta}$. L'ellipsoïde osculateur sera alors une surface de +révolution dont l'axe de figure se trouvera parallèle au plan tangent +en $M$: il ne pourrait être parallèle à la normale ou perpendiculaire +à ce plan, à moins qu'on n'eût $\alpha=\beta$. Si l'on fait successivement +$c=a$ et $c=b$, il en résultera deux ellipsoïdes osculateurs, +\marginpage % *** File: 153.png +de révolution, mais différents l'un de l'autre; et l'un sera aplati, tandis +que l'autre sera allongé\footnote{% +Peut-être devrait-on, dans la géodésie, prendre pour l'ellipsoïde osculatrice +en chaque point de la Terre, un ellipsoïde de révolution aplati; ce serait +celui qui ressemblerait le plus en général, à la figure du globe, et qui la ferait +le mieux connaître, si l'on déterminait par l'observation, en un grand nombre +de lieux, les deux axes de cet ellipsoïde, et la direction de son équateur: ces +données de l'observation, jointes aux longitudes et aux latitudes, aux longueurs +du pendule à seconde et aux élévations au-dessus du niveau des mers, +formeraient les éléments complets de la Géographie mathématique.} +% +On pourra aussi changer l'ellipsoïde osculateur +en paraboloïde. Pour cela, si l'on transporte l'origine des coordonnées +au point $M$, et qu'on mette, en conséquence, $z - c$ au lieu +de $z$, dans l'équation de l'ellipsoïde, on aura +\[ +z^2 - 2cz + c \Big(\frac{x^2}{\alpha} + \frac{y^2}{\beta}\Big) = 0, +\] +en y substituant aussi pour $a^2$ et $b^2$ leurs valeurs; en la résolvant par +rapport à $z$, on en déduit +\[ +z = c \pm c \sqrt{1 - \frac{1}{c}\Big(\frac{x^2}{\alpha} + \frac{y^2}{\beta}\Big)}; +\] +et si l'on prend le radical avec le signe inférieur, qu'on le développe +suivant les puissances descendantes de $c$, et qu'on fasse ensuite $c =\infty$, +il vient +\[ +z = \frac{x^2}{\alpha} + \frac{y^2}{\beta}, +\] +pour l'équation du paraboloïde osculateur. Mais, parmi toutes les +conditions que l'on peut ajouter à celles du \label{err153}contact du second ordre, +l'équation nécessaire pour un contact du troisième ordre suivant une +direction déterminée, ne se trouve pas comprise; car, dans tous les +sens autour du point $M$, la fonction tierce de $z$, qui répond à $x =0$ +et $y = 0$, est zéro pour l'ellipsoïde osculateur, et, en général, elle ne +l'est pour la surface donnée, que selon une ou trois directions déterminées +par une équation du troisième degré, que l'on formera sans +difficulté. Cela établit une différence essentielle entre la sphère tangente +\marginpage % *** File: 154.png +et l'ellipsoïde osculateur: la sphère peut toujours être rendue +osculatrice, suivant une direction choisie à volonté; et le contact +de l'ellipsoïde ne saurait être élevé à l'ordre supérieur, suivant +aucune direction pour laquelle il n'est pas naturellement du troisième +ordre. + +\jmpafin + +\mysection{\emph{Note du rédacteur.}} + +La note de M.~Jacobi, imprimée dans le \emph{Journal de M.~Crelle}, a pour +titre: \emph{Nota de erroribus quibusdam geometricis, qui in Theoriâ functionum leguntur.} +Pour la commodité de nos lecteurs, nous la transcrirons ici tout entière. + +«Demonstravi in aliâ commentatione, præter curvas planas extare nullas, +quarum radii osculi curvam centrorum curvaturæ tangent, sive superficiem +evolubilem forment. Secùs putabat ill.\ \emph{Lagrange}, qui in Theoriâ functionum +(\emph{pag.}\ 229, \emph{etc., \No}~35) conditionem analyticam exbibet, quæ ad hoc locum +habere %[** errata] +debeat, neque videt ter eam integratam in plani æquationem abire. +Sed vir illustris mox adeo ipsas lineas dupliciter curvas assignat, quæ illâ proprietate +gaudeant, scilicet lineas curvaturæ in data superficie: legimus enim, +(\emph{pag.}~248): + +»\emph{D'où il suit que les lignes, suivant lesquelles le rayon de courbure sera tangent +de la courbe des centres, sont les mêmes que celles de la plus grande ou +de la moindre courbure}; \\ +»et mox, (\emph{pag}.~245): + +»\emph{Il n'y aura sur une surface quelconque que ces lignes} (\emph{les lignes de courbure}) +\emph{qui puissent avoir une développée formée par les rayons de courbure.} + +»Scilicet nescio quo factum est, ut vir illustris normales superficiei putaverit +esse linearum curvaturæ radios osculi. Sanè normales ad superficiem, in punctis +lineæ curvaturæ ductae, formant superficiem evolubilem, sed eæ non sunt lineæ +curvaturæ radii osculi. Novimus enim radios osculi curvæ, in superficie datâ +descriptæ, simul superficiei normales non nisi in lineis superficiei brevissimis +esse. + +»Sequitur ex antecedentibus, \emph{in datâ superficie lineam curvaturæ simul lineam +brevissimam esse non posse, nisi sit curva plana}. Nam normales ad superficiem +in punctis lineæ curvaturæ ductæ formant superficiem evolubilem, +ideòque, cùm in lineis brevissimis normales superficiei sint curvæ radii osculi, +radii osculi lineæ curvaturæ, quæ simul linea brevissima est, superficiem evolubilem +formant; undè sequitur curvam esse planam. Nam in aliâ commentatione +hujus diarii, t.~XIV (\emph{zur Theorie der Curven}), sicuti suprà adnotavi, demonstratum +est, radios osculi formare superficiem evolubilem non nisi in curvis +planis. Exemplum habemus in meridianis superficierum rotundarum, quæ +sunt curvæ planæ, simulque et linæ brevissimæ et lineæ curvaturæ.» + +\jmpafin + +% *** File: 155.png + +\jmpapaper{MÉMOIRE}{} +{Sur les surfaces isothermes dans les corps solides homogènes +en équilibre de température;} +{Par M.~G. LAMÉ,} +{Ingénieur des Mines, Professeur de Physique à l'École Polytechnique\footnotemark.} +\label{art15} +\footnotetext{% +Ce Mémoire est extrait du tome V des \emph{Savans étrangers}. Nous avons cru +devoir le réimprimer ici, parce que le recueil dans lequel il se trouve est peu +répandu et surtout parce que l'analyse ingénieuse dont l'auteur a fait usage ouvre +une route nouvelle dans le calcul des équations différentielles partielles. + +\signit{(\textsc{J. Liouville.})}} + +\label{err155}\mysection{PREMIÈRE PARTIE.} + +\mysection{§ I.} + +Lorsqu'un corps solide homogène est en équilibre de température, +sous l'influence de sources constantes de chaleur et de froid, contre +lesquelles sa surface est immédiatement appliquée, la température (V), +constante avec le temps, mais variable d'un point à l'autre de ce +corps, est, comme l'on sait, une fonction des coordonnées $x$, $y$, $z$, +qui satisfait à l'équation aux différences partielles +\[ +\frac{d^2 V}{dx^2} + \frac{d^2 V}{dy^2} + \frac{d^2 V}{dz^2} = 0.\tag{1} +\] +Il existe alors dans ce corps des surfaces où la température reste +la même dans toute l'étendue de chacune d'elles. Ces surfaces d'égale +température peuvent être conçues représentées par une même équation, +\marginpage % *** File: 156.png +contenant un paramètre variable de l'une à l'autre, et de la +forme +\[ +F(x, y, z) = \lambda; +\] +$\lambda$ étant ce paramètre, ou la fonction des coordonnées dont la valeur +numérique est constamment la même pour tous les points d'une surface +individuelle. + +Toute fonction $F$ n'est pas propre à représenter des surfaces d'égale +température pour un de tous les cas d'équilibre calorifique imaginables; +elle doit satisfaire pour cela à une équation aux différences +partielles qu'il est facile de trouver. + +Si cette fonction ($F$ ou $\lambda$) était connue, la température $V$ devrait +pouvoir être représentée par une équation de la forme +\[ +V = \phi(\lambda), +\] +puisque $V$ et $\lambda$ seraient constants ensemble, variables ensemble, dans +toute l'étendue du corps proposé. On aurait d'après cela +\begin{align*} +\frac{dV}{dx} = \frac{dV}{d\lambda} \frac{d\lambda}{dx}, \quad \frac{d^2V}{dx^2} = \frac{d^2V}{d\lambda^2}\Big(\frac{d\lambda}{dx}\Big)^2 + \frac{dV}{d\lambda} \frac{d^2\lambda}{dx^2},\\ +\frac{dV}{dy} = \frac{dV}{d\lambda} \frac{d\lambda}{dy}, \quad \frac{d^2V}{dy^2} = \frac{d^2V}{d\lambda^2}\Big(\frac{d\lambda}{dy}\Big)^2 + \frac{dV}{d\lambda} \frac{d^2\lambda}{dy^2},\\ +\frac{dV}{dz} = \frac{dV}{d\lambda} \frac{d\lambda}{dz}, \quad \frac{d^2V}{dz^2} = \frac{d^2V}{d\lambda^2}\Big(\frac{d\lambda}{dz}\Big)^2 + \frac{dV}{d\lambda} \frac{d^2\lambda}{dz^2}, +\end{align*} +et par suite l'équation (1) pourrait être mise sous la forme +\[ +\frac{d^2V}{d\lambda^2}\Big[\Big(\frac{d\lambda}{dx}\Big)^2 + \Big(\frac{d\lambda}{dy}\Big)^2 + \Big(\frac{d\lambda}{dz}\Big)^2\Big] + \frac{dV}{d\lambda}\Big(\frac{d^2\lambda}{dx^2} + \frac{d^2\lambda}{dy^2} + \frac{d^2\lambda}{dz^2}\Big) = 0. +\] +Or, $\dfrac{dV}{d\lambda}$ et $\dfrac{d^2V}{d\lambda^2}$ ne contenant d'autre variable que $\lambda$, le quotient +\[ +\Big\{\Big(\frac{d^2\lambda}{dx^2} + \frac{d^2\lambda}{dy^2} + \frac{d^2\lambda}{dz^2}\Big) : \Big[\Big(\frac{d\lambda}{dx}\Big)^2 + \Big(\frac{d\lambda}{dy}\Big)^2 + \Big(\frac{d\lambda}{dz}\Big)^2\Big]\Big\}, +\] +devrait jouir de la même propriété. Ainsi la fonction $\lambda$ doit satisfaire +à une équation différentielle de la forme +\begin{gather*} +\frac{d^2\lambda}{dx^2} + \frac{d^2\lambda}{dy^2} + \frac{d^2\lambda}{dz^2} - \psi(\lambda)\Big[\Big(\frac{d\lambda}{dx}\Big)^2 + \Big(\frac{d\lambda}{dy}\Big)^2 + \Big(\frac{d\lambda}{dz}\Big)^2\Big] = 0,\tag{2} +\end{gather*} +\marginpage % *** File: 157.png +($\psi$ étant une fonction arbitraire de $\lambda$), pour que l'équation ($\lambda = c$) +puisse représenter un système de surfaces isothermes. + +En remplaçant $\psi (\lambda)$ par $\dfrac{1}{\phi(\lambda)}\dfrac{d\phi(\lambda)}{d\lambda}$, on aura +\[ +\phi(\lambda)\frac{d^2V}{d\lambda^2}+\frac{d\phi(\lambda)}{d\lambda}\frac{dV}{d\lambda}=0, +\] +d'où en intégrant deux fois +\[ +V=A\int_{\lambda_0}^\lambda \frac{d\lambda}{\phi(\lambda)}+A'. +\] + +Si le corps proposé est limité par deux surfaces représentées par +les équations $\lambda = a$, $\lambda = a'$, entretenues à des températures données +$T$ et $T'$, on aura, pour déterminer les deux constantes $A$ et $A'$, les +deux équations +\[ +T=A\int_{\lambda_0}^a \frac{d\lambda}{\phi(\lambda)}+A',\quad T'=A\int_{\lambda_0}^{a'} \frac{d\lambda}{\phi(\lambda)}+A', +\] +d'où +\[ +A=\frac{T'-T}{{\dint_{\lambda_0}^{a'}} \dfrac{d\lambda}{\phi}-{\dint_{\lambda_0}^a}\dfrac{d\lambda}{\phi}}, +\] +et +\[ +A'=T-\frac{T'-T}{{\dint_{\lambda_0}^{a'}}\dfrac{d\lambda}{\phi}-{\dint_{\lambda_0}^a}\dfrac{d\lambda}{\phi}}\ldot\int_{\lambda_0}^a \frac{d\lambda}{\phi}; +\] +en sorte que l'équation +\[ +V = T + \frac{T'-T}{{\dint_{\lambda_0}^{a'}}\dfrac{d\lambda}{\phi}-{\dint_{\lambda_0}^a}\dfrac{d\lambda}{\phi}} \Big(\int_{\lambda_0}^\lambda\frac{d\lambda}{\phi}-\int_{\lambda_0}^a\frac{d\lambda}{\phi}\Big)\tag{3} +\] +donnera la température $V$, correspondante à une surface quelconque $\lambda$. + +\mysection{§ II.} + +On voit que dans le cas particulier d'une enveloppe solide, dont +les parois intérieure et extérieure seraient entretenues à des températures +constantes, mais différentes de l'une à l'autre, la loi des températures +stationnaires serait connue, si l'on pouvait déterminer \emph{à priori} +\marginpage % *** File: 158.png +l'équation générale des surfaces isothermes qui correspondent à ce +cas. + +Les surfaces des parois devant être deux d'entre elles, le problème +consisterait à intégrer l'équation (2), et à déterminer les formes ou +constantes arbitraires que contiendrait la fonction $\lambda$, de manière que +pour deux valeurs numériques données au paramètre $c$, l'équation +$\lambda = c$ représentât successivement les surfaces des parois. Mais la solution +analytique de ce problème serait généralement aussi difficile +à trouver que celle qui consisterait à intégrer directement l'équation (1), +et à déterminer les fonctions arbitraires de l'intégrale $V$, de manière +qu'elle devînt numériquement égale à $T$ ou à $T'$ pour tous les +points des parois de l'enveloppe. + +Les cas simples d'une sphère creuse et d'un cylindre creux indéfini +à base circulaire, dans lesquels l'épaisseur de l'enveloppe solide serait +partout la même, sont les seuls où la détermination préalable des +surfaces isothermes n'offre aucune difficulté. Pour tout autre cas, les +parois, quoique toujours comprises parmi ces surfaces, doivent le +plus souvent s'en distinguer par quelque propriété singulière, et en +quelque sorte ombilicale, qui n'appartienne pas à toutes les autres +surfaces d'égale température de l'intérieur de l'enveloppe. + +Il ne suffirait pas, pour éloigner cette circonstance qui complique +la recherche directe de l'équation générale de ces surfaces, que les +parois appartinssent à la même famille, et que leurs équations, de +même forme et du même degré, continssent le même nombre de +paramètres; car, dans ce cas, qui paraît beaucoup plus simple au +premier abord que celui où les parois seraient dissemblables, on ne +pourrait pas conclure, en général, que les surfaces d'égale température +dussent être directement représentées par des équations de +même forme et du même degré que celles des surfaces qui limitent +l'enveloppe solide. Par exemple, dans un ellipsoïde creux, dont la +paroi interne serait semblable à la surface extérieure, les surfaces +isothermes ne seraient pas nécessairement des ellipsoïdes semblables +aux parois, ni même des ellipsoïdes. +\marginpage % *** File: 159.png + +\mysection{§ III.} + +Les conditions nécessaires pour que la forme commune des équations +des deux parois soit réellement celle qui appartient aux surfaces +d'égale température, peuvent se déduire analytiquement de la vérification +de l'équation (2). + +En prenant cette forme pour l'équation générale des surfaces cherchées, +on regardera toutes les constantes qu'elle contient comme des +fonctions inconnues du paramètre $\lambda$; on en déduira, par des différentiations +convenables, les coefficients différentiels partiels de ce +paramètre; après les avoir substitués dans l'équation (2), on posera +les relations nécessaires pour qu'elle soit satisfaite, quelles que soient +les coordonnées; si ces relations entre les variations des constantes +arbitraires ne sont pas incompatibles, leurs intégrations feront connaître +comment le paramètre $\lambda$ doit entrer dans les constantes de la +forme proposée, pour qu'elle puisse représenter les surfaces d'égale +température; enfin, il faudra que deux valeurs numériques données +à ce paramètre puissent rendre l'équation générale successivement +identique avec les équations des deux parois. + +Si cette vérification ne réussit pas, il faudra en conclure que, dans +le cas considéré, les surfaces isothermes de l'intérieur de l'enveloppe +doivent être exprimées par une équation différente, et probablement +plus compliquée que celle des parois; et que ces dernières ne rentrent +dans l'équation générale que par la disparition de certains termes, +essentiels pour toute autre surface individuelle. + +\mysection{§ IV.} + +J'appliquerai cette méthode au cas où l'enveloppe est limitée par +deux surfaces du second degré ayant même centre, leurs axes principaux +étant de plus situés sur les mêmes droites. Leurs équations +seront de la forme +\[ +mx^2 + ny^2 + pz^2 = 1.\tag{4} +\] + +Il s'agit de trouver comment les constantes $m$, $n$, $p$, doivent contenir +\marginpage % *** File: 160.png +$\lambda$, pour que l'équation (4) puisse représenter, par la variation +successive de ce paramètre, toutes les surfaces d'égale température de +l'intérieur de l'enveloppe proposée. + +On regardera donc $m$, $n$, $p$, comme des fonctions inconnues de $\lambda$, +ce qui donnera +\begin{gather*} +2mx + (m'x^2 + n'y^2 + p'z^2)\frac{d\lambda}{dx} = 0,\\ +\Big(m' = \frac{dm}{d\lambda},\quad m'' = \frac{d^2m}{d\lambda^2},\ldots\Big)\\ +\begin{aligned} +2mx + 4m'x \frac{d\lambda}{dx} +&+ (m''x^2 + n''y^2 + p''z^2) \Big(\frac{d\lambda}{dx}\Big)^2\\ +&+ (m' x^2 + n' y^2 + p' z^2) \frac{d^2\lambda}{dx^2} = 0,\ \text{etc}. +\end{aligned} +\end{gather*} +et par suite +\begin{gather*} +\Big(\frac{d\lambda}{dx}\Big)^2 ++ \Big(\frac{d\lambda}{dy}\Big)^2 ++ \Big(\frac{d\lambda}{dz}\Big)^2 += 4 \frac{m^2x^2 + n^2y^2 + p^2z^2}{(m'x^2 + n'y^2 + p'z^2)^2},\\ +\begin{aligned} +\frac{d^2\lambda}{dx^2} ++ \frac{d^2\lambda}{dy^2} +&+ \frac{d^2\lambda}{dz^2}=\\ +& -\frac{\dfrac{m+n+p}{2} (m'x^2 + n'y^2 + p'z^2) - 2(mm'x^2 + nn'y^2 + pp'z^2)} +{(m'x^2 + n'y^2 + p'z^2)^2}\\ +& -\frac{(m^2x^2 + n^2y^2 + p^2z^2)(m''x^2 + n''y^2 + p''z^2)} +{(m' x^2 + n' y^2 + p' z^2)^3}. +\end{aligned} +\end{gather*} +L'équation (2) devient alors, en faisant $\psi = \dfrac{\phi'}{\phi}$, et en posant, pour +simplifier, $\dfrac{m+n+p}{2} = L$: +\begin{gather*} +\begin{alignedat}{5} +&\{\phi [(L - 2m)&&m'^2\,&&+\,&m''m^2 ]\,+\,&&m^2m'\phi' \}&x^4\\ ++\,&\{\phi [(L - 2n)&&n'^2 &&+ &n''n^2\:]\,+\,&&n^2n'\phi'\:\}&y^4\\ ++\,&\{\phi [(L - 2p)&&p'^2 &&+ &p''p^2\:]\,+\,&&p^2p'\phi'\:\}&z^4 +\end{alignedat} \\ +% +\begin{alignedat}{7} +&+ \{\phi [2(L-m-n)&&m'n' &&+ m''n^2 &&+ &n''m^2] &+ (m^2n' &&+ &n^2m')&\phi'\} x^2y^2\\ +&+ \{\phi [2(L-n-p)&&n'p' &&+ n''p^2 &&+ &p''n^2] &+ (n^2p' &&+ &p^2n')&\phi'\} y^2z^2\\ +&+ \{\phi [2(L-p-m)&&p'm' &&+ p''m^2 &&+ &m''p^2] &+ (p^2m' &&+ &m^2p')&\phi'\} z^2x^2 = 0. +\end{alignedat} +\end{gather*} + +Cette dernière équation devant être satisfaite quelles que soient les +\marginpage % *** File: 161.png +valeurs des coordonnées, on devra avoir les six relations +\begin{gather*} +\begin{alignedat}{5} +&\phi[(L- &2m)&m'^2&&\,+\,&m''m^2] &+ m^2m'\phi' &&= 0,\\ +&\phi[(L- &2n)&n'^2&&\,+\,&n''n^2\;] &+ \:n^2n'\phi' &&= 0,\\ +&\phi[(L- &2p)&p'^2&&\,+\,&p''p^2\;] &+ \;p^2p'\phi' &&= 0, +\end{alignedat} \\ +% +\begin{alignedat}{7} +&\phi[2(L-m-n)&&m'n' &&+ m''n^2 &&\,+\,&n''m^2] &+ (m^2n' &&\,+\,&n^2m') &\phi' = 0,\\ +&\phi[2(L-n-p)&&n'p' &&+ n''p^2 &&\,+\,&p''n^2\,] &+ (n^2p' &&\,+\,&p^2n'\,)&\phi' = 0,\\ +&\phi[2(L-p-m)&&p'm' &&+ p''m^2 &&\,+\,&m''p^2] &+ (p^2m' &&\,+\,&m^2p') &\phi' = 0, +\end{alignedat} +\end{gather*} +Ou bien, en posant $m=\dfrac{1}{a}$, $n=\dfrac{1}{b}$, $p=\dfrac{1}{c}$: +\begin{gather*} +\begin{alignedat}{3} +&\phi La'^2 &&= a''\phi &&+ a'\phi',\\ +&\phi Lb'^2 &&= b''\phi &&+ b'\phi',\\ +&\phi Lc'^2 &&= c''\phi &&+ c'\phi', +\end{alignedat} \\ +% +\begin{alignedat}{4} +&\phi \Big[2La'b' &&+ 2(a'-b') \Big(\frac{a'}{a}-\frac{b'}{b}\Big)\Big] +&&= (a''+b'')\phi &&+ (a'+b')\phi',\\ +&\phi \Big[2Lb'c' &&+ 2(b'-c') \Big(\frac{b'}{b}-\frac{c'}{c}\Big)\Big] +&&= (b''+c'')\phi &&+ (b'+c')\phi',\\ +&\phi \Big[2Lc'a' &&+ 2(c'-a') \Big(\frac{c'}{c}-\frac{a'}{a}\Big)\Big] +&&= (c''+a'')\phi &&+ (c'+a')\phi'. +\end{alignedat} +\end{gather*} + +Les trois premières donnent, par l'élimination de $\dfrac{\phi'}{\phi}$, les relations +\begin{align*} +L(a'-b') &= \frac{a''}{a'} = \frac{b''}{b'} ,\\ +L(b'-c') &= \frac{b''}{b'} = \frac{c''}{c'} ,\\ +L(c'-a') &= \frac{c''}{c'} = \frac{a''}{a'} , +\end{align*} +en outre, si l'on retranche chacune des trois dernières d'un couple +convenable des premières, $\phi'$ et $\phi$ se trouvent encore éliminés, et +l'on a +\begin{alignat*}{3} +&L(a'-b')^2 &&= 2(a'-b') &&\Big( \frac{a'}{a}-\frac{b'}{b} \Big) ,\\ +&L(b'-c')^2 &&= 2(b'-c') &&\Big( \frac{b'}{b}-\frac{c'}{c} \Big) ,\\ +&L(c'-a')^2 &&= 2(c'-a') &&\Big( \frac{c'}{c}-\frac{a'}{a} \Big). +\end{alignat*} +\marginpage % *** File: 162.png + +Or, il est aisé de voir que les six dernières relations ne peuvent +admettre d'autre solution que celle indiquée par les équations +\[ +a'= b' = c', \qtext{d'où} a'' = b'' = c''. +\] +Tout autre système de valeurs conduirait à des expressions indépendantes +de $\lambda$ pour $m$, $n$, $p$. + +Ainsi, les constantes $a$, $b$, $c$, ou $\dfrac{1}{m}$, $\dfrac{1}{n}$, $\dfrac{1}{p}$, doivent être égales à +une même fonction quelconque de $\lambda$, augmentée ou diminuée de +constantes différentes. On aura donc les valeurs les plus générales de +$m$, $n$, $p$, en posant +\[ +m = \frac{1}{\lambda^2},\quad +n = \frac{1}{\lambda^2-b^2},\quad +p = \frac{1}{\lambda^2-c^2}, +\] +où $b$ et $c$ sont deux lignes déterminées et constantes. On peut supposer, +sans troubler cette généralité, que la constante $c$ soit plus +grande que $b$. + +\mysection{§ V.} + +Mais l'équation (4) représentant des surfaces très différentes, suivant +que $\lambda$ sera plus grand que $b$ et $c$, plus grand que $b$ mais plus +petit que $c$, ou à la fois plus petit que $c$ et $b$, il convient de séparer +ces trois cas différents. Désignons par $\mu$, $\nu$, $\rho$, les valeurs de $\lambda$ qui +leur correspondent: on aura les équations +\[ +\tag{5}\left\{\quad +\begin{aligned} +\dfrac{x^2}{\mu^2 } + \dfrac{y^2}{\mu^2-b^2} + \dfrac{z^2}{\mu^2-c^2} &= 1,\\ +\dfrac{x^2}{\nu^2 } + \dfrac{y^2}{\nu^2-b^2} - \dfrac{z^2}{c^2-\nu^2} &= 1,\\ +\dfrac{x^2}{\rho^2} - \dfrac{y^2}{b^2-\rho^2} - \dfrac{z^2}{c^2-\rho^2} &= 1, +\end{aligned} +\right. +\] +pour représenter trois systèmes de surfaces isothermes compris sous +la forme générale (4). + +Toutes les surfaces de chaque système, et même celles des trois +systèmes réunis, ont pour éléments constants de l'une à l'autre, les +\marginpage % *** File: 163.png +distances focales $2b$, $2c$, $2\sqrt{\strxx c^2-b^2}$, de leurs sections principales +faites par les mêmes plans coordonnés. + +Ainsi, lorsqu'on entretient à des températures constantes les parois +d'une enveloppe solide, terminée par des ellipsoïdes, dont les sections +principales ont les mêmes foyers, les surfaces d'égale température, +dans l'intérieur de cette enveloppe, sont encore des ellipsoïdes +ayant les mêmes foyers que les précédents. + +Si l'enveloppe a pour limite deux hyperboloïdes à une nappe +indéfinie, de mêmes foyers, ses surfaces isothermes seront encore +des hyperboloïdes de même espèce et assujettis à la même condition. + +Enfin, si les parois indéfinies de l'enveloppe sont les moitiés de +deux hyperboloïdes à deux nappes ayant mêmes foyers, ses surfaces +d'égale température seront toutes des moitiés d'hyperboloïdes de la +même famille. + +On peut vérifier, comme on le verra plus bas, que dans chacun +de ces trois cas les parties homologues des surfaces isothermes du +même système sont effectivement traversées par la même quantité de +chaleur dans le même temps. Mais avant d'entreprendre cette vérification, +il convient d'étudier de plus près le système des trois équations (5). + + +\mysection{§ VI.} + +Si l'on imagine sur l'axe des $x$, quatre points $B$, $B'$, $C$, $C'$, distants +du centre ou de l'origine $O$, de quantités $OB = OB' = b$, +$OC=OC'=c$, les points $B$ et $B'$ seront les foyers de toutes les courbes +du second degré, traces sur le plan des $x\;y$, de toutes les surfaces +représentées par les équations (5); et les traces de ces mêmes surfaces +sur le plan des $x\;z$, auront toutes pour foyers les points $C$ et $C'$. +J'appelle les points $B$, $B'$, $C$, $C'$, les foyers des surfaces du second +degré à axes inégaux, représentées par les équations (5). Ces foyers +étant donnés, ainsi que le paramètre $\mu$, $\nu$, ou $\rho$, de l'une de ces +surfaces, elle est entièrement connue de forme et de grandeur. + +Un point quelconque de l'espace, correspondant aux coordonnées +orthogonales $x$, $y$, $z$, sera situé sur trois surfaces appartenant respectivement +aux trois systèmes (5), et ayant pour paramètres les +\marginpage % *** File: 164.png +valeurs de $\mu$, $\nu$, $\rho$, que l'on déduirait des équations (5), en fonction +de $x$, $y$, $z$. + +Il suit de là que l'on peut regarder les trois paramètres variables +$\mu$, $\nu$, $\rho$, comme composant un nouveau genre de coordonnées. Un +point de l'espace est alors donné par l'intersection d'un ellipsoïde et +de deux hyperboloïdes, l'un à une nappe, et l'autre à deux nappes, +ayant tous trois les mêmes foyers, $B$, $B'$, $C$, $C'$. + +Je donnerai aux trois variables $\mu$, $\nu$, $\rho$, le nom de \emph{coordonnées +elliptiques}; et j'appellerai \emph{surfaces homofocales} toutes celles qui sont +représentées par les équations (5). + +Les trois coordonnées orthogonales $x$, $y$, $z$, sont liées aux coordonnées +elliptiques, $\mu$, $\nu$, $\rho$, par l'équation (5), ou par les suivantes, +que l'on obtient par des éliminations convenables: +\[ +\tag{6} +\left\{\; +\begin{aligned} +bc \ldot x &= \mu\nu\rho,\\ +b \sqrt{\strxx c^2-b^2} \ldot y &= \sqrt{\strxx\mu^2-b^2} \sqrt{\strxx\nu^2-b^2} \sqrt{\strxx b^2-\rho^2} ,\\ +c \sqrt{\strxx c^2-b^2} \ldot z &= \sqrt{\strxx\mu^2-c^2} \sqrt{\strxx c^2-\nu^2} \sqrt{\strxx c^2-\rho^2}. +\end{aligned} +\right. +\] + +Ces formules démontrent que si l'on imagine, en un point quelconque +de l'espace, les trois surfaces homofocales qui y passent, +chacune des coordonnées orthogonales de ce point sera égale au +produit des trois demi-axes de ces surfaces qui ont la même direction +qu'elle, divisé par le rectangle des deux demi-distances focales +correspondantes à toutes les sections principales de ces mêmes surfaces, +dont les plans sont parallèles à cette coordonnée. + +\mysection{§ VII.} + +Les plans tangents aux trois surfaces (5), au même point $(x, y, z)$ +\label{err164}ou $(\mu, \nu, \rho)$, ont pour équations +\begin{align*} +\frac{xx'}{\mu^2} + \frac{yy'}{\mu^2-b^2} + \frac{zz'}{\mu^2-c^2} &= 1,\\ +\frac{xx'}{\nu^2} + \frac{yy'}{\nu^2-b^2} - \frac{zz'}{c^2-\nu^2} &= 1,\\ +\frac{xx'}{\rho^2} - \frac{yy'}{b^2-\rho^2} - \frac{zz'}{c^2-\rho^2} &= 1: +\end{align*} +\marginpage % *** File: 165.png +ces trois plans sont perpendiculaires entre eux, car les valeurs de +$x$, $y$, $z$, données en $\mu$, $\nu$, $\rho$, par les équations (6) conduisent aux +identités +\begin{align*} +\frac{x^2}{\mu^2\nu^2} + \frac{y^2}{(\mu^2-b^2)(\nu^2-b^2)} +- \frac{z^2}{(\mu^2-c^2)(c^2-\nu^2)} &= 0,\\ +\frac{x^2}{\nu^2\rho^2} - \frac{y^2}{(\nu^2-b^2)(b^2-\rho^2)} ++ \frac{z^2}{(c^2-\nu^2)(c^2-\rho^2)} &= 0,\\ +\frac{x^2}{\rho^2\mu^2} - \frac{y^2}{(b^2-\rho^2)(\mu^2-b^2)} +- \frac{z^2}{(c^2-\rho^2)(\mu^2-c^2)} &= 0, +\end{align*} +relations qui expriment que les cosinus des angles de ces plans sont +nuls. + +Ainsi, une surface quelconque de l'un des systèmes (5) coupe normalement +toutes les surfaces des deux autres systèmes. + +\mysection{§ VIII.} + +Considérons particulièrement un des ellipsoïdes au paramètre $\mu$, +représenté par la première des équations (5). En un quelconque de +ses points passent deux hyperboloïdes, l'un à une nappe et l'autre à +deux nappes, ayant les mêmes foyers que cet ellipsoïde, qui sont +perpendiculaires à sa surface, et qui se coupent conséquemment suivant +une courbe à double courbure normale à l'ellipsoïde proposé. +Soit $M'$ un point de cette intersection voisin de $M$, et situé sur un +second ellipsoïde infiniment voisin du premier et ayant pour paramètre +$\mu+\delta\mu$; soit $MM' = \delta s$, et représentons par $\delta x$, $\delta y$, $\delta z$, les +projections de cet élément linéaire sur les trois axes. Il est évident +qu'en passant de $M$ à $M'$, $\nu$ et $\rho$ restent constants; $\mu$ est donc la +seule coordonnée elliptique qui varie. D'après cela les équations (6) +donneront +\begin{align*} +bc\delta x &= \nu\rho \delta\mu,\\ +b \sqrt{\strxx c^2-b^2} \ldot \delta y &= \frac{\mu \sqrt{\strxx\nu^2-b^2} \sqrt{\strxx b^2-\rho^2}}{\sqrt{\strxx\mu^2-b^2}} ,\\ +c \sqrt{\strxx c^2-b^2} \ldot \delta z &= \frac{\mu \sqrt{\strxx c^2-\nu^2} \sqrt{\strxx c^2-\rho^2}}{\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}}. +\end{align*} +On en conclura facilement l'expression de l'élément linéaire\dotfill\\ +\marginpage % *** File: 166.png +$MM'=\delta s=\sqrt{\strxx\delta x^2 + \delta y^2 +\delta z^2}$; on trouve ainsi, toute réduction +faite, +\[ +\delta s += \frac{\sqrt{\strxx\mu^2-\nu^2}\sqrt{\strxx\mu^2-\rho^2}} +{\sqrt{\strxx\mu^2-b^2} \sqrt{\strxx\mu^2-c^2}} \delta\mu. +\] + +Pareillement, si l'on désigne par $\delta s'$ l'élément de la courbe d'intersection +de l'ellipsoïde et de l'hyperboloïde à deux nappes aux mêmes +foyers, qui passent en un même point, on aura +\[ +\delta s' += \frac{\sqrt{\strxx\mu^2-\nu^2}\sqrt{\strxx\nu^2-\rho^2}} +{\sqrt{\strxx\nu^2-b^2} \sqrt{\strxx c^2-\nu^2}} \delta\nu. +\] + +Enfin, si $\delta s''$ est l'élément de la courbe d'intersection de l'hyperboloïde +à une nappe et de l'ellipsoïde homofocaux correspondants à +un même point de l'espace, on aura +\[ +\delta s'' += \frac{\sqrt{\strxx\mu^2-\rho^2}\sqrt{\strxx\nu^2-\rho^2}} +{\sqrt{\strxx b^2-\rho^2} \sqrt{\strxx c^2-\rho^2}} \delta\rho. +\] + +Si donc $s$, $s'$, $s''$, représentent les longueurs finies variables des +courbes d'intersection aux éléments $\delta s$, $\delta s'$, $\delta s''$, $s$ variant avec $\mu$ +seulement, $s'$ avec $\nu$, $s''$ avec $\rho$, on aura pour déterminer ces trois +fonctions les trois intégrales suivantes: +\[ +\tag{7} +\left\{\; +\begin{alignedat}{2} +&s &&= \int_c^\mu \frac{\sqrt{\strxx\mu^2-\nu^2}\sqrt{\strxx\mu^2-\rho^2}} +{\sqrt{\strxx\mu^2-b^2} \sqrt{\strxx\mu^2-c^2}} \delta\mu,\\ +&s' &&= \int_b^\nu \frac{\sqrt{\strxx\mu^2-\nu^2}\sqrt{\strxx\nu^2-\rho^2}} +{\sqrt{\strxx\nu^2-b^2} \sqrt{\strxx c^2-\nu^2}} \delta\nu,\\ +&s'' &&= \int_0^\rho \frac{\sqrt{\strxx\mu^2-\rho^2}\sqrt{\strxx\nu^2-\rho^2}} +{\sqrt{\strxx b^2-\rho^2} \sqrt{\strxx c^2-\rho^2}} \delta\rho. +\end{alignedat} +\right. +\] + + +\mysection{§ IX.} + +Toutes les courbes $s'$, $s''$, suivant lesquelles un même ellipsoïde +est coupé par tous les hyperboloïdes ayant mêmes foyers que lui, ne +sont autres que les lignes de courbure de sa surface. Il s'agit ici de +vérifier ce théorème important: les équations de la normale à l'ellipsoïde, +\marginpage % *** File: 167.png +au point $(x, y, z)$, sont +\begin{align*} +\mu^2 z(x'-x) &= (\mu^2-c^2)x(z'-z),\\ +\mu^2 y(x'-x) &= (\mu^2-b^2)y(y'-y), +\end{align*} +si cette droite est rencontrée en $(x', y', z')$, par la normale infiniment +voisine, correspondante au point $(x + dx, y + dy, z + dz)$, +on devra avoir +\begin{align*} +\mu^2(z dx - x dz)x' + c^2x^2 dz &= 0,\\ +\mu^2(y dx - x dy)x' + b^2x^2 dy &= 0; +\end{align*} +car ces dernières équations s'obtiennent en combinant les équations +de la normale, avec celles qu'on en déduit par la différentiation de +$x$, $y$, $z$. L'élimination de l'abscisse $x'$ du point de concours supposé +des deux normales voisines conduit à la relation +\[ +b^2\Big(\frac{z dx - x dz}{dz}\Big) = c^2\Big(\frac{y dx - x dy}{dy}\Big), +\] +ou +\[ +b^2\Big(\frac{z}{dz}-\frac{x}{dx}\Big)=c^2\Big(\frac{y}{dy}-\frac{x}{dx}\Big), +\tag{8} +\] +à laquelle doivent satisfaire les différentielles $dx$, $dy$, $dz$, pour que +les normales voisines soient dans le même plan. Cette relation, +combinée avec l'équation différentielle de l'ellipsoïde, représente, +comme on le sait, les lignes de courbure de sa surface. + +Maintenant, lorsqu'on chemine sur une des courbes $s'$, $\mu$ et $\rho$ conservent +les mêmes valeurs, et $\nu$ varie seul; alors on a par les équations (6) +\[ +\frac{dx}{x}=\frac{d\nu}{\nu},\quad +\frac{dy}{y}=\frac{\nu}{\nu^2-b^2},\quad +\frac{dz}{z}=\frac{\nu}{\nu^2-c^2}; +\] +or ces valeurs de $\dfrac{dx}{x}$, $\dfrac{dy}{y}$, $\dfrac{dz}{z}$, rendent identique l'équation (8); les +courbes $s'$ forment donc un des systèmes de lignes de courbure de +l'ellipsoïde. + +Pareillement lorsqu'on suit une même courbe $s''$, $\mu$ et $\nu$ restent +constants, et $\rho$ varie seul; les équations (6) donnent alors +\marginpage % *** File: 168.png +\[ +\frac{dx}{x}=\frac{d\rho}{\rho},\quad +\frac{dy}{y}=\frac{\rho}{\rho^2-b^2},\quad +\frac{dz}{z}=\frac{\rho}{\rho^2-c^2}; +\] +expressions qui rendent encore identique l'équation (8); les courbes $s''$ +forment donc le second système de lignes de courbure de l'ellipsoïde. + +\label{ref160}On peut énoncer ces propriétés d'une manière plus générale, en +disant que \emph{toutes les surfaces homofocales de deux quelconques des +trois systèmes \emph{(5)} rencontrent normalement une surface courbe quelconque +du troisième système, et tracent sur elle toutes ses lignes de +courbure}. + +\mysection{§ X.} + +Revenons maintenant à la question physique, et cherchons quelle +sera la loi des températures stationnaires d'une enveloppe solide dans +laquelle les surfaces d'égale température seront représentées par l'une +des trois équations (5). Considérons d'abord le cas où ces surfaces +sont des ellipsoïdes. Il faut d'abord trouver la valeur de la fonction $\psi (\lambda )$, +qui rend identique l'équation (2). Si l'on pose dans l'équation (4), +et dans les relations que nous en avons déduites par la +différentiation +\[ +\lambda = \mu ,\quad +m = \frac{1}{\mu^2},\quad +n = \frac{1}{\mu^2-b^2},\quad +p = \frac{1}{\mu^2-c^2}, +\] +on trouve +\begin{gather*} +m' = -\frac{2}{\mu^3},\quad +n' = -\frac{2\mu}{(\mu^2-b^2)^2},\quad +p' = -\frac{2\mu}{(\mu^2-c^2)^2},\\ +% +m^2 = -\frac{1}{2\mu}m',\quad +n^2 = -\frac{1}{2\mu}n',\quad +\label{err168}p^2 = -\frac{1}{2\mu}p', +\end{gather*} +et par suite +\begin{alignat*}{5} +&(L-2m)&&m'^2 &&+ m''m^2 &&= m'^2&&\Big(\frac{n+p}{2}\Big),\\ +&(L-2n)&&n'^2 &&+ \:n''n^2 &&= n'^2&&\Big(\frac{n+p}{2}\Big),\\ +&(L-2p)&&p'^2 &&+ \:p''p^2 &&= p'^2&&\Big(\frac{n+p}{2}\Big), +\end{alignat*}\vspace{-4ex} +\marginpage % *** File: 169.png +\begin{alignat*}{6} +&2(L - m - n) &&m'n' &&+ m''n^2 &&+\,n''p^2 &&=\,&2m'n'&\Big(\frac{n+p}{2}\Big),\\ +&2(L - n - p) &&n'p' &&+\,n''p^2 &&+\,p''n^2 &&= &2n'p'&\Big(\frac{n+p}{2}\Big),\\ +&2(L - p - m) &&p'm' &&+ p''m^2 &&+ m''p^2 &&= &2p'm'&\Big(\frac{n+p}{2}\Big), +\end{alignat*} +d'où l'on conclut +\begin{gather*} +\Big(\frac{d\lambda}{dx}\Big)^2 ++ \Big(\frac{d\lambda}{dy}\Big)^2 ++ \Big(\frac{d\lambda}{dz}\Big)^2 += \frac{1}{\mu^2\Big(\dfrac{x^2}{\mu^4} ++ \dfrac{y^2}{(\mu^2-b^2)^2} ++ \dfrac{z^2}{(\mu^2-c^2)^2}\Big)},\\ +\frac{d^2\lambda}{dx^2} ++ \frac{d^2\lambda}{dy^2} ++ \frac{d^2\lambda}{dz^2} += \Big(\frac{1}{\mu^2-b^2} + \frac{1}{\mu^2-c^2}\Big) +\frac{1}{\mu \Big(\dfrac{x^2}{\mu^4} ++ \dfrac{y^2}{(\mu^2-b^2)^2} ++ \dfrac{z^2}{(\mu^2-c^2)^2} \Big)}, +\end{gather*} +ce qui donne, pour $\psi(\lambda)$ ou $\psi(\mu)$: +\[ +\psi(\mu) = \frac{\mu}{\mu^2-b^2} + \frac{\mu}{\mu^2-c^2}. +\] + +La fonction $\psi$ étant connue, on en déduira la fonction $\phi$ en intégrant +l'équation +\[ +\frac{1}{\phi} \frac{d\phi}{d\mu} = \psi += \frac{\mu}{\mu^2-b^2} + \frac{\mu}{\mu^2-c^2}, +\] +ce qui donne +\[ +\phi(\mu) = \sqrt{\strxx\mu^2-b^2}\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}. +\] + +La température $V$ sera enfin donnée, soit par l'équation différentielle +\[ +\frac{dV}{d\mu}\sqrt{\strxx\mu^2-b^2}\sqrt{\strxx\mu^2-c^2} = A, +\stag{9}{0} +\] +soit par l'équation intégrale +\[ +V = A \int_c^\mu \frac{d\mu}{\sqrt{\strxx\mu^2-b^2}\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}} + B. +\stag{10}{0} +\] + +On trouvera aussi que pour le second des trois systèmes de surfaces +\marginpage % *** File: 170.png +d'égale température représentées par les équations (5), on a +\begin{gather*} +\psi(\nu) = \frac{\nu}{\nu^2-b^2} - \frac{\nu}{c^2-\nu^2},\\ +\phi(\nu) = \sqrt{\strxx\nu^2-b^2} \sqrt{\strxx c^2-\nu^2},\\ +\frac{dV}{d\nu} \sqrt{\strxx\nu^2-b^2} \sqrt{\strxx c^2-\nu^2} = A, +\stag{9}{1}\\ +V = A \int_b^\nu \frac{d\nu}{\sqrt{\strxx\nu^2-b^2} \sqrt{\strxx c^2-\nu^2}} + B. +\stag{10}{1} +\end{gather*} + +Enfin, dans le cas où l'enveloppe solide aurait pour surfaces d'égale +température les hyperboloïdes à deux nappes représentés par la +troisième des équations (5), on aura +\begin{gather*} +\psi(\rho) = -\frac{\rho}{b^2-\rho^2} - \frac{\rho}{c^2-\rho^2},\\ +\phi(\rho) = \sqrt{\strxx b^2-\rho^2} \sqrt{\strxx c^2-\rho^2},\\ +\frac{dV}{d\rho} \sqrt{\strxx b^2-\rho^2} \sqrt{\strxx c^2-\rho^2} = A, +\stag{9}{2}\\ +V = A\int_0^\rho \frac{d\rho}{\sqrt{\strxx b^2-\rho^2} \sqrt{\strxx c^2-\rho^2}} + B. +\stag{10}{2} +\end{gather*} + +Ainsi la température stationnaire, et variable d'un point à l'autre, +dans les trois genres d'enveloppe dont les surfaces isothermes sont du +second degré et homofocales, est exprimée par une transcendante +elliptique de la première espèce; et les trois variétés de cette transcendante +correspondent respectivement aux trois cas que nous avons +considérés. + +\mysection{§ XI.} + +Nous pouvons maintenant vérifier que dans chacun de ces cas +toutes les surfaces isothermes sont traversées par la même quantité +de chaleur dans le même temps, lorsque la température varie de +l'une à l'autre, suivant les lois qui viennent d'être trouvées. + +Considérons d'abord l'enveloppe ellipsoïdale. La quantité de chaleur +qui traverse l'élément de volume compris entre deux ellipsoïdes +infiniment voisins, ayant pour paramètres $\mu$ et $\mu + d\mu$, et les +courbes $s$, correspondantes aux différents points du périmètre d'un +\marginpage % *** File: 171.png +élément $d\omega^2$, de la surface de l'ellipsoïde $(\mu)$, aura évidemment pour +expression +\[ +K \frac{dV}{d\mu} \frac{\delta\mu}{\delta s} d\omega^2; +\] +$K$ étant le coefficient de la conductibilité intérieure, de la matière +dont l'enveloppe est composée. + +Il s'agit d'intégrer cette expression pour toute la surface de l'ellipsoïde $\mu$; +or, cette intégration peut se faire de deux manières: en +exprimant l'élément $d\omega^2$ en coordonnées orthogonales, ou en coordonnées +elliptiques. + +En employant les coordonnées orthogonales, on remarquera d'abord +que $\delta s$ est égal à la partie de la normale à l'ellipsoïde $(\mu)$ +comprise entre les deux ellipsoïdes qui limitent la couche considérée, +en sorte que si $\delta x$, $\delta y$, $\delta z$, sont les projections de $\delta s$ sur les axes, +on a +\[ +\frac{z}{\mu^2-c^2} \delta x = \frac{x}{\mu^2} \delta z,\quad +\frac{y}{\mu^2-b^2} \delta x = \frac{x}{\mu^2} \delta y, +\] +d'où +\[ +\delta s += \frac{\mu^2}{x} \delta x +\sqrt{\frac{x^2}{\mu^4} ++ \frac{y^2}{(\mu^2-b^2)^2} ++ \frac{z^2}{(\mu^2-c^2)^2}}, +\] +ou, en remarquant que $\dfrac{\delta x}{x} = \dfrac{\delta\mu}{\mu}$, comme l'indiquent les équations (6), +puisque sur la courbe $s$, $\nu$ et $\rho$ restent constants +\[ +\delta s += \mu \sqrt{\frac{x^2}{\mu^4} ++ \frac{y^2}{(\mu^2-b^2)^2} ++ \frac{z^2}{(\mu^2-c^2)^2}} \delta\mu, +\] +ce qui donnera +\[ +\frac{\delta\mu}{\delta s} += \frac{1}{\mu\sqrt{\dfrac{x^2}{\mu^4} ++ \dfrac{y^2}{(\mu^2-b^2)^2} ++ \dfrac{z^2}{(\mu^2-c^2)^2}}}. +\] + +Quant à l'élément de surface $d\omega^2$, sa valeur est +\[ +d\omega^2 += \frac{\mu^2-c^2}{z} dx dy +\sqrt{\frac{x^2}{\mu^4} ++ \frac{y^2}{(\mu^2-b^2)^2} ++ \frac{z^2}{(\mu^2-c^2)^2}}; +\] +\marginpage % *** File: 172.png +on peut donc poser +\[ +K \frac{dV}{d\mu} \frac{\delta \mu}{\delta s} d\omega^2 += K \frac{dV}{d\mu} \frac{\mu^2-c^2}{\mu} \frac{dx dy}{z}. +\] +Ou bien, en remarquant que l'équation de l'ellipsoïde donne +\[ +\frac{z}{\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}} = \sqrt{1-\frac{x^2}{\mu^2}-\frac{y^2}{\mu^2-b^2}}, +\] +on aura +\[ +K \frac{dV}{d\mu} \frac{\delta \mu}{\delta s} d\omega^2 += K\frac{dV}{d\mu} \frac{\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}}{\mu} +\frac{dx dy}{\sqrt{1-\dfrac{x^2}{\mu^2}-\dfrac{y^2}{\mu^2-b^2}}}. +\] + +L'intégration de cette expression, par rapport à $y$, conduit à l'intégrale +indéfinie +\[ +K \frac{dV}{d\mu} \frac{\sqrt{\strxx\mu^2-b^2}\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}}{\mu} +\Bigg(\arcsin\frac{\dfrac{y}{\sqrt{\strxx\mu^2-b^2}}} +{\sqrt{1-\dfrac{x^2}{\mu^2}}} + \text{const.}\Bigg)dx, +\] +qui doit être prise de +\[ +\bigg(\frac{y}{\sqrt{\strxx\mu^2-b^2}} = -\sqrt{1-\frac{x^2}{\mu^2}}\bigg)\text{à } +\bigg(\frac{y}{\sqrt{\strxx\mu^2-b^2}} = +\sqrt{1-\frac{x^2}{\mu^2}}\bigg), +\] +ce qui donne +\[ +\pi K \frac{dV}{d\mu} \frac{\sqrt{\strxx\mu^2-b^2}\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}}{\mu} dx. +\] + +Enfin l'intégration par rapport à $x$, de $(x = -\mu)$ à $(x = +\mu)$, +donne définitivement, en doublant le résultat, pour la quantité de +chaleur cherchée +\[ +4\pi K \frac{dV}{d\mu} \sqrt{\strxx\mu^2-b^2}\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}, +\] +ou, en vertu de l'équation (9), +\[ +4\pi KA. +\] +Cette quantité de chaleur est donc constante, quel que soit $\mu$, ou +quelle que soit la couche ellipsoïdale considérée. +\marginpage % *** File: 173.png +\mysection{§ XII.} + +En employant les coordonnées elliptiques, on substituera à l'élément $d\omega^2$, +le rectangle $\delta s' \delta s''$, et l'on aura [équations (7)], +\[ +K \frac{dV}{d\mu} \frac{\delta\mu}{\delta s} \delta s' \delta s''{=} +K \frac{dV}{d\mu} \sqrt{\strxx\mu^2-b^2}\sqrt{\strxx\mu^2-c^2} +\frac{(\nu^2-\rho^2) \delta\nu \delta\rho} +{\sqrt{\strxx c^2-\nu^2} \sqrt{\strxx b^2-\nu^2} \sqrt{\strxx b^2-\rho^2} \sqrt{\strxx c^2-\rho^2}}. +\] +Cette expression devra être intégrée de $\nu= b$ à $\nu= c$, de $\rho=0$ à +$\rho= b$, et ensuite multipliée par 8, pour avoir la quantité de chaleur +cherchée, qui sera, en vertu de l'équation (9)\down{0}, +\[ +8KA \int^b_0\int^c_b +\frac{(\nu^2-\rho^2) \delta\nu \delta\rho} +{\sqrt{\strxx\nu^2-b^2} \sqrt{\strxx c^2-\nu^2} \sqrt{\strxx b^2-\rho^2} \sqrt{\strxx c^2-\rho^2}}. +\] +Sous cette forme cette quantité totale de chaleur est encore indépendante +de $\mu$, ou de la couche ellipsoïdale considérée. + +Son expression différentielle +\[ +KA \frac{(\nu^2-\rho^2) \delta\nu \delta\rho} +{\sqrt{\strxx\nu^2-b^2} \sqrt{\strxx c^2-\nu^2} \sqrt{\strxx b^2-\rho^2} \sqrt{\strxx c^2-\rho^2}}, +\] +est elle-même indépendante de $\mu$. Ainsi, si l'on considère à travers +l'enveloppe proposée, un canal infiniment délié, ayant pour axe une +courbe $s$, et pour section normale le rectangle $\delta s' \delta s''$, dont la +grandeur varie avec $\mu$, ou d'une couche ellipsoïdale à la suivante, +ce canal laissera écouler une même quantité de chaleur dans le +même temps, par toutes ses sections normales; et ses parois, qui +appartiennent à quatre hyperboloïdes aux mêmes foyers, infiniment +voisins deux à deux, ne seront traversés par aucune molécule calorifique. +Sous ce point de vue, on peut appeler ce canal \emph{un filet de +chaleur}, et la différentielle qui précède donne la \emph{dépense de ce filet} +pendant l'unité de temps. + +\Needspace*{3\baselineskip}\mysection{§ XIII.} + +Soit toujours $d\omega^2$ un élément de la surface de l'ellipsoïde $(\mu)$; +la quantité $(\Delta Q)$ qui le traverse sera égale à la dépense du filet de +\marginpage % *** File: 174.png +section $\delta s' \delta s''$, multipliée par le rapport $\dfrac{d\omega^2}{\delta s' \delta s''}$; elle est donc, d'après +les équations (7), égale à +\[ +\Delta Q = \frac{KA d\omega^2}{\sqrt{\strxx\mu^2-\nu^2}\sqrt{\strxx\mu^2-\rho^2}}. +\] + +Si l'élément $d\omega^2$, conservant toujours la même grandeur, est successivement +placé aux extrémités des trois axes de l'ellipsoïde $(\mu)$, +l'expression précédente prendra les trois formes suivantes: + +\primop.~A une des extrémités du grand axe $2\mu$, où $x = \mu$, $y = 0$, +$z = 0$, et $\nu = c$, $\rho = b$, elle devient +\[ +\Delta'Q = \frac{KA d\omega^2}{\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}\sqrt{\strxx\mu^2-b^2}}; +\] + +\secundop.~A l'extrémité de l'axe moyen, où $x = 0$, $y = \sqrt{\strxx\mu^2-b^2}$, $z = 0$, +et $\nu = c$, $\rho = 0$, +\[ +\Delta''Q = \frac{KA d\omega^2}{\mu\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}}; +\] + +\tertiop.~Enfin à l'extrémité du petit axe, où $x = 0$, $y = 0$, $z = \sqrt{\strxx\mu^2-c^2}$, +et $\nu = b$, $\rho = 0$, +\[ +\Delta'''Q = \frac{KA d\omega^2}{\mu\sqrt{\strxx\mu^2-b^2}}. +\] + +On déduit de là +\[ +\Delta'Q : \Delta''Q : \Delta'''Q :: \mu : \sqrt{\strxx\mu^2-b^2} : \sqrt{\strxx\mu^2-c^2}, +\] +c'est-à-dire que \emph{les flux de chaleur aux extrémités des axes d'une +même surface ellipsoïdale d'égale température ont des intensités respectivement +proportionnelles à ces axes}. + +\mysection{§ XIV.} + +En égalant les deux expressions trouvées pour la quantité totale de +chaleur qui traverse une surface ellipsoïdale quelconque d'égale température, +on obtient +\marginpage % *** File: 175.png +\[ +\int_0^b\int_b^c +\frac{(\nu^2-\rho^2) d\nu d\rho } +{\sqrt{\strxx\nu^2-b^2}\sqrt{\strxx c^2-\nu^2}\sqrt{\strxx b^2-\rho^2}\sqrt{\strxx c^2-\rho^2} } += \frac{\pi}{2}, +\] +ou +\begin{align*} +\int_0^b \frac{d\rho }{\sqrt{\strxx b^2-\rho^2}\sqrt{\strxx c^2-\rho^2} } +&\int_b^c \frac{\nu^2 d\nu }{\sqrt{\strxx\nu^2-b^2}\sqrt{\strxx c^2-\nu^2} }\\ +-{}&\int_0^b \frac{\rho^2 d\rho }{\sqrt{\strxx b^2-\rho^2}\sqrt{\strxx c^2-\rho^2} } +\int_b^c\frac{d\nu }{\sqrt{\strxx\nu^2-b^2}\sqrt{\strxx c^2-\nu^2} } += \frac{\pi}{2}, +\end{align*} +ou bien encore +\begin{align*} +\int_0^b \frac{d\rho }{\sqrt{\strxx b^2-\rho^2}\sqrt{\strxx c^2-\rho^2} } +&\int_b^c \frac{\sqrt{\strxx\nu^2-b^2} }{\sqrt{\strxx c^2-\nu^2} } d\nu\\ ++{}&\int_0^b \frac{\sqrt{\strxx b^2-\rho^2} }{\sqrt{\strxx c^2-\rho^2} } d\rho +\int_b^c \frac{d\nu }{\sqrt{\strxx\nu^2-b^2}\sqrt{\strxx c^2-\nu^2} } += \frac{\pi}{2}. +\end{align*} +Ces relations peuvent se démontrer directement (\emph{voyez} la note placée +à la fin de ce mémoire); toutefois la facilité avec laquelle elles se déduisent +de l'analyse précédente mérite d'être remarquée. + +Le genre de coordonnées $\mu$, $\nu$, $\rho$, auquel on est conduit en traitant +la question physique qui nous occupe, paraît même devoir fournir +les éléments d'une sorte de trigonométrie elliptique, dont l'objet serait +de démontrer géométriquement, et d'une manière simple, quelques +formules qui lient entre elles les différentes espèces de transcendantes +elliptiques. Et, comme un autre exemple de ce nouveau +mode de démonstration, on remarquera que le volume d'un ellipsoïde $(\mu)$, +ou le produit $\mu \sqrt{\strxx\mu^2-b^2}\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}$ de ses trois axes, multiplié +par $\frac{4}{3} \pi$, doit être égal à huit fois l'intégrale triple +$\iiint\delta s \delta s' \delta s''$, prise entre les limites extrêmes des variables indépendantes +$\mu$, $\nu$, $\rho$; ce qui conduit à l'intégrale suivante, définie en $\nu$ +et $\rho$, indéfinie en $\mu$, +\begin{multline*} +\int_0^b\int_b^c\int_b^\mu +\frac{(\mu^2-\nu^2)(\nu^2-\rho^2)(\mu^2-\rho^2) d\mu d\nu d\rho } +{\sqrt{\strxx\mu^2-b^2}\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}\sqrt{\strxx\nu^2-b^2} +\sqrt{\strxx c^2-\nu^2}\sqrt{\strxx b^2-\rho^2}\sqrt{\strxx c^2-\rho^2} }\\ += \frac{\pi }{6 }\mu\sqrt{\strxx\mu^2-b^2}\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}; +\end{multline*} +laquelle peut se décomposer en une somme algébrique de triples produits +de transcendantes elliptiques. +\marginpage % *** File: 176.png + +\mysection{§ XV.} + +Dans le cas de l'enveloppe dont les parois sont deux hyperboloïdes +à une nappe, ayant mêmes foyers, la quantité de chaleur qui traverse, +dans l'unité de temps, le parallélépipède $\delta s \delta s''$, compris entre +deux surfaces d'égale température infiniment voisines, a pour expression +\[ +K\frac{dV}{d\nu} \frac{\delta\nu}{\delta s'} \delta s \delta s''; +\] +ou, en substituant les valeurs de $\delta s$, $\delta s'$, $\delta s''$, +\[ +K\frac{dV}{d\nu}\sqrt{\strxx\nu^2-b^2}\sqrt{\strxx c^2-\nu^2} +\frac{(\mu^2-\rho^2) \delta\mu \delta\rho } +{\sqrt{\strxx\mu^2-b^2}\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}\sqrt{\strxx b^2-\rho^2}\sqrt{\strxx c^2-\rho^2} }, +\] +ou enfin, en ayant égard à l'équation (9), +\[ +KA\frac{(\mu^2-\rho^2) \delta\mu \delta\rho } +{\sqrt{\strxx\mu^2-b^2}\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}\sqrt{\strxx b^2-\rho^2}\sqrt{\strxx c^2-\rho^2} }: +\] +elle est donc indépendante de $\nu$, et par conséquent de la surface isotherme +considérée. + +Ainsi, dans le canal infiniment délié dont l'axe et les arètes sont +des courbes $s'$, les sections $\delta s \delta s''$, perpendiculaires à ses parois et de +grandeur variable, sont toutes traversées par la même quantité de +chaleur dans le même temps. Ce canal forme un filet de chaleur dont +la différentielle qui précède exprime la dépense. + +Enfin dans le cas de l'enveloppe terminée par deux moitiés d'hyperboloïdes +à deux nappes aux mêmes foyers, la quantité de chaleur +qui traverse, dans l'unité de temps, le parallélépipède $\delta s \delta s'$ est +\begin{multline*} +K\frac{dV}{d\rho} \frac{\delta\rho}{\delta s''} \delta s \delta s'\\ += K\frac{dV}{d\rho} \sqrt{\strxx b^2-\rho^2}\sqrt{\strxx c^2-\rho^2} +\frac{(\mu^2-\nu^2) \delta\mu \delta\nu } +{\sqrt{\strxx\mu^2-b^2}\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}\sqrt{\strxx\nu^2-b^2}\sqrt{\strxx c^2-\nu^2} }, +\end{multline*} +ou enfin, d'après l'équation (9)\down{2}: +\marginpage % *** File: 177.png +\[ +KA\frac{(\mu^2-\nu^2) \delta\mu \delta\nu } +{\sqrt{\strxx\mu^2-b^2}\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}\sqrt{\strxx\nu^2-b^2}\sqrt{\strxx c^2-\nu^2} }. +\] +Cette quantité est indépendante de $\rho$, ou de ce qui particularise la +surface isotherme. Ainsi, dans le canal aux arètes $s''$ toutes les sections +$\delta s' \delta s$, quoique différentes, sont cependant toutes traversées par le +même flux de chaleur. Ce canal est donc un filet de chaleur dont la dépense +est exprimée par la différentielle précédente. + +Il résulte de ces vérifications que les équations (10)\down{0}, (10)\down{1}, (10)\down{2}, +représentent réellement les températures stationnaires dans trois genres +d'enveloppes dont les parois sont des surfaces du second degré +ayant mêmes foyers, et entretenues chacune à une température constante +dans toute son étendue, mais différente de l'une à l'autre de ces +parois. + +\mysection{§ XVI.} + +Si l'espace solide en équilibre de température était terminé par +deux paraboloïdes de même espèce, dont les axes seraient dirigés sur +la même droite, et dont les sections principales auraient les mêmes +foyers, il résulte évidemment des différents cas qui viennent d'ètre +traités, et des transformations connues pour passer d'une espèce de +surface du second ordre à une autre, que les surfaces d'égale température +dans le solide proposé seraient des paraboloïdes de même espèce +que les parois, et assujettis aux mêmes relations de forme et de +position. + +\mysection{§ XVII.} + +Si $b = c$ dans les équations (5), la première représente des ellipsoïdes +de révolution autour de leur grand axe, et les ellipses méridiennes +de tous ces ellipsoïdes ont les mêmes foyers; la troisième équation +représente des hyperboloïdes de révolution à deux nappes ayant +mêmes foyers; quant à la seconde, $\nu$ devant toujours être compris +entre $b$ et $c$, on posera $c^2 = b^2 + \Delta b^2$, $\nu^2= b^2+\Delta\nu^2$, $\Delta\nu^2$ et $\Delta b^2$ +étant des quantités infiniment petites, dont le rapport fini peut varier +\marginpage % *** File: 178.png +avec $\Delta \nu^2$; la seconde des équations (5) deviendra alors +\[ +y^2 = z^2\raisebox{-2ex}{\Bigg(}\frac{1 }{\dfrac{\Delta b^2}{\Delta \nu^2}-1 }\raisebox{-2ex}{\Bigg)}, +\] +et représentera deux plans méridiens quelconques des surfaces de révolution +des deux autres systèmes. + +En posant $b = c$ dans les équations (9)\down{0} et (10)\down{0}, elles deviennent +\begin{gather*} +\frac{dV}{d\mu} (\mu^2-c^2) = A,\\ +V = \frac{A}{c}\log \sqrt{\frac{\mu-c }{\mu+c }} + B, +\end{gather*} +pour la température stationnaire des différents points d'une enveloppe +terminée par deux ellipsoïdes de révolution autour de leur grand +axe, ayant mêmes foyers, et entretenus chacun à une température +constante. + +En faisant $b = c$ dans les équations (9)\down{2} et (10)\down{2}, elles donnent +\begin{gather*} +\frac{dV}{d\rho} (c^2-\rho^2) = A,\\ +V = \frac{A}{c} \log \sqrt{\frac{c+\rho}{c-\rho}} + B, +\end{gather*} +pour exprimer la température variable d'un point à l'autre d'une +enveloppe solide terminée par les moitiés de deux hyperboloïdes de +révolution à deux nappes, ayant mêmes foyers. + +\mysection{§ XVIII.} + +Si $b=0$ dans les équations (5), la première représente des ellipsoïdes +de révolution autour de leur petit axe, dont les ellipses méridiennes +ont toutes les mêmes distances focales; la seconde représente +des hyperboloïdes de révolution à une seule nappe, assujettis à la +même relation de forme et de position; quant à la troisième, $\rho$ devant +toujours être moindre que $b$, on y substituera à $b^2$ et $\rho^2$ deux +\marginpage % *** File: 179.png +quantités infiniment petites $\Delta b^2$ et $\Delta\rho^2$; elle deviendra alors +\[ +\Big(\frac{\Delta b^2 }{\Delta\rho^2 } - 1\Big)x^2 = y^2, +\] +et représentera deux plans méridiens quelconques des surfaces de révolution +des deux \label{err179}autres systèmes. + +En posant $b=0$ dans les équations (9)\down{0} et (10)\down{0}, elles deviennent +\begin{gather*} +\frac{dV}{d\mu} \mu \sqrt{\strxx \mu^2-c^2} = A,\\ +V = \frac{A}{c} \arc\Big(\cos=\frac{c}{\mu}\Big) + B. +\end{gather*} +Telle est la loi des températures dans une enveloppe solide terminée +par deux ellipsoïdes de révolution autour de leur petit axe, dont les +coupes méridiennes ont les mêmes foyers, lorsque chacune de ces +parois est entretenue à une température constante, mais différente de +l'une à l'autre paroi. + +En faisant $b = 0$ dans les équations (9)\down{1} et (10)\down{1}, elles donnent +\begin{gather*} +\frac{dV}{d\nu} \nu \sqrt{\strxx c^2-\nu^2} = A,\\ +V = A \log\Big(\frac{\nu }{c+\sqrt{\strxx c^2-\nu^2}} + B\Big), +\end{gather*} +pour la loi des températures stationnaires d'une enveloppe solide +terminée par deux hyperboloïdes de révolution à une nappe, assujettis +aux mêmes relations de température et de forme que les parois +du cas précédent. + +Il est remarquable que dans l'enveloppe ellipsoïdale de révolution +autour du grand axe, dont la surface est évaluable en arc de cercle, +la température soit exprimée par un logarithme; tandis qu'au contraire, +dans l'enveloppe formée par la révolution de deux ellipses +homofocales autour de leurs petits axes, dont la surface est donnée +par logarithmes, la température est inversement exprimée par un +arc de cercle. +\marginpage % *** File: 180.png + +\mysection{§ XIX.} + +Si l'on considère le cône comme la limite d'un hyperboloïde à une +nappe ou à deux nappes, on peut déduire de l'analyse précédente la +loi des températures stationnaires de tous les points d'une enveloppe +dont les parois seraient deux cônes obliques du second degré, ayant +le même sommet et leurs sections principales situées sur les mêmes +plans, lorsque ces deux parois, entretenues chacune à une température +uniforme et constante, ont entre elles cette relation de forme, +qu'elles sont asymptotiques à deux hyperboloïdes aux mêmes foyers. +Les surfaces d'égale température seraient alors des cônes de la même +famille, ou des cônes asymptotiques à des hyperboloïdes ayant les +mêmes foyers que ceux avec lesquels les parois coniques se confondent +infiniment loin du sommet. + +Mais comme il est impossible de réaliser des circonstances physiques +semblables, à cause du flux de chaleur qui devrait avoir lieu au sommet, +sur une épaisseur nulle, et qui serait infiniment grand comparativement +au flux qui traverserait toute autre partie de l'enveloppe, je +me dispenserai de discuter plus longuement ce cas particulier; je ne +l'offre ici que comme une limite offerte par l'analyse, et qui pourra +jeter quelque jour sur la manière de considérer le cône, toutes les +fois qu'on voudra étudier l'équilibre et le mouvement des agents +physiques dans son intérieur. + +Pour représenter analytiquement ce cas singulier, il faut supposer +$b$ et $c$ nuls dans équations (5), sans que le rapport $\dfrac{b}{c}$ le soit; la première +de ces équations représente alors des sphères concentriques, +mais que l'on doit considérer ici comme les limites d'ellipsoïdes à axes +inégaux, dont les quatre foyers sont infiniment rapprochés, sans se +confondre cependant: la seconde et la troisième des équations (5), +dans lesquelles on pourra remplacer $\nu$, $\rho$, $b$, $c$, par $\epsilon\nu_1$, $\epsilon\rho_1$, $\epsilon b_1$, $\epsilon c_1$, +$\epsilon$ étant infiniment petit ou nul, et $\nu_1$, $\rho_1$, $b_1$, $c_1$, des \label{err180}longueurs finies, +représenteront alors des cônes asymptotiques à \label{err180b}des hyperboloïdes à +une et à deux nappes, ayant les mêmes plans de sections principales +et les mêmes foyers. +\marginpage % *** File: 181.png + +Il suit de là que si l'on imagine les deux séries d'hyperboloïdes à +une et à deux nappes représentées par les deux dernières équations (5), +les traces de leurs cônes asymptotiques sur une même surface sphérique, +ayant son centre à leur sommet commun, formeront deux +systèmes de courbes à double courbure qui se couperont à angle +droit. + +\mysection{§ XX.} + +Pour traiter le cas de l'équilibre de température d'une enveloppe +cylindrique, dont les parois et les surfaces isothermes, coupées perpendiculairement +aux arètes, donneraient des courbes du second degré, +il faut chercher la relation qui doit exister entre les fonctions $m$ et $n$ +du même paramètre variable $\lambda$, pour que l'équation +\[ +mx^2 + ny^2 = 1 +\] +représente un système de surfaces d'égale température. On est alors +conduit aux deux systèmes suivants: +\[ +\stag{5}{1} +\left\{ +\begin{aligned} +\frac{x^2}{\mu^2} + \frac{y^2}{\mu^2-c^2} &= 1,\\ +\frac{x^2}{\nu^2} + \frac{y^2}{c^2-\nu^2} &= 1, +\end{aligned} +\right. +\] +qui représentent deux séries de cylindres, les uns à base elliptique, +les autres à base hyperbolique, qui ont cela de commun que leurs traces +sur un même plan perpendiculaire à leurs arêtes sont toutes des courbes +du second degré ayant les mêmes foyers. Les traces hyperboliques +coupent à angle droit toutes les traces elliptiques, etc. + +On trouve alors pour la loi des températures de l'enveloppe cylindrique +indéfinie à base elliptique, +\begin{gather*} +\frac{dV}{d\mu} \sqrt{\strxx\mu^2-c^2} = A,\\ +V = A\log(\mu + \sqrt{\strxx\mu^2-c^2}) + B, +\end{gather*} +et pour le cas de la base hyperbolique +\begin{gather*} +\frac{dV}{d\nu} \sqrt{\strxx c^2-\nu^2} = A,\\ +V = A\arc\Big(\sin=\frac{\nu}{c}\Big) + B. +\end{gather*} +\marginpage % *** File: 182.png + +Je crois inutile d'entrer dans plus de détails sur ces nouveaux +exemples; la discussion du cas plus général que j'ai traité le premier +ne permet pas de douter de l'exactitude des lois indiquées par les +équations précédentes. + + +\mysection{SECONDE PARTIE.} + +\mysection{§ XXI.} + +Les coordonnées elliptiques, qui sont indiquées par l'analyse mathématique +de l'équilibre de la chaleur dans les corps que j'ai considérés, +donnent le moyen de traiter le cas plus général des températures +stationnaires d'un corps plein ou d'une enveloppe solide creuse, +dont les parois seraient des surfaces du second degré, auxquelles seraient +immédiatement appliqués des foyers connus, mais variables d'un +point à l'autre de ces parois; ainsi que le cas du refroidissement de +ce corps ou de cette enveloppe, lorsqu'elle est exposée à des circonstances +calorifiques de même nature. + +En exprimant l'équation générale au moyen des coordonnées dont +il s'agit, on parvient, comme dans les cas traités jusqu'ici, à ramener +la solution complète de la question à l'intégration d'équations aux +différences ordinaires; en sorte que la seule difficulté qui s'oppose +encore à l'évaluation numérique des températures ne consiste plus +qu'à intégrer ces dernières équations au moyen de séries suffisamment +convergentes. + +Ces équations aux différences ordinaires prennent leur forme la +plus simple et la plus commode, en substituant aux coordonnées elliptiques +un autre genre de coordonnées, qui a encore un rapport +plus direct avec la question physique. Si l'on considère séparément +les trois systèmes conjugués et orthogonaux de surfaces isothermes +comprises parmi les surfaces du second degré, la température est +exprimée, dans chacun de ces systèmes, par une transcendante elliptique +de première espèce. Or, les nouvelles coordonnées dont il s'agit +\marginpage % *** File: 183.png +sont les trois transcendantes elliptiques qui expriment les températures +stationnaires dans les trois cas. + +L'objet de cette seconde partie est de démontrer les deux propositions +que je viens d'énoncer. + +\mysection{§ XXII.} + +Je considérerai d'abord le cas général de l'équilibre des températures +dans un corps solide homogène, terminé par des surfaces du second +degré homofocales. + +Soient $\epsilon$, $\eta$, $\xi$, les intégrales qui constituent les parties variables +de la température, dans les équations (10)\down{0}, (10)\down{1}, (10)\down{2}, de la première +partie de ce mémoire, lorsque les surfaces isothermes sont +ou des ellipsoïdes, ou des hyperboloïdes à une nappe, ou des hyperboloïdes +à deux nappes, tous ayant les mêmes foyers. Soit de plus +$\mu_0 > c$, $\nu_0 > b$ et $< c$, $\rho_0 < b$, les limites inférieures des intégrales $\epsilon$, +$\eta$, $\xi$, ou les valeurs des variables pour lesquelles ces intégrales sont +nulles, on aura +\[ +\tag{11} +\left\{ +\begin{aligned} +\epsilon &= \int_{\mu_0}^\mu \frac{d\mu}{\sqrt{\strxx\mu^2-b^2}\sqrt{\strxx\mu^2-c^2} },\\ +\eta &= \int_{\nu_0}^\nu \frac{d\nu}{\sqrt{\strxx\nu^2-b^2}\sqrt{\strxx c^2-\nu^2} },\\ +\xi &= \int_{\rho_0}^\rho \frac{d\rho}{\sqrt{\strxx b^2-\rho^2}\sqrt{\strxx c^2-\rho^2} }. +\end{aligned} +\right. +\] + +Il s'agit maintenant de prendre $\epsilon$, $\eta$, $\xi$, pour les trois variables +indépendantes de la température $V$, qui rapportée aux coordonnées +$x$, $y$, $z$, doit vérifier l'équation (1). Pour cela, il faut d'abord transformer +cette dernière équation en coordonnées elliptiques, $\mu$, $\nu$, $\rho$. + +En effectuant cette transformation, on se rappellera que les équations +obtenues en égalant à des constantes les trois fonctions $\mu$, $\nu$, $\rho$, +représentent (en coordonnées rectangulaires) trois surfaces qui se +coupent orthogonalement, en sorte que l'on doit poser\label{err184} +\marginpage % *** File: 184.png +\begin{align*} +\frac{d\mu}{dx}\ldot\frac{d\nu} {dx} + \frac{d\mu}{dy}\ldot\frac{d\nu} {dy} +\frac{d\mu}{dz}\ldot\frac{d\nu} {dz}&=0,\\ +\frac{d\mu}{dx}\ldot\frac{d\rho}{dx} + \frac{d\mu}{dy}\ldot\frac{d\rho}{dy} +\frac{d\mu}{dz}\ldot\frac{d\rho}{dz}&=0,\\ +\frac{d\nu}{dx}\ldot\frac{d\rho}{dx} + \frac{d\nu}{dy}\ldot\frac{d\rho}{dy} +\frac{d\nu}{dz}\ldot\frac{d\rho}{dz}&=0. +\end{align*} +On a, en regardant $\mu$, $\nu$, $\rho$, comme des fonctions de $x$, $y$, $z$, +\begin{align*} +&\qquad\qquad\frac{dV}{dx} = \frac{dV}{d\mu}\frac{d\mu}{dx} + \frac{dV}{d\nu}\frac{d\nu}{dx} +\frac{dV}{d\rho}\frac{d\rho}{dx}, \\ +\frac{d^2V}{dx^2} &= \frac{d^2V}{d\mu^2}\Big(\frac{d\mu}{dx}\Big)^2 +\begin{aligned}[t] &+ \frac{d^2V}{d\nu^2}\Big(\frac{d\nu}{dx}\Big)^2 + \frac{d^2V}{d\rho^2}\Big(\frac{d\rho}{dx}\Big)^2\\ + &+ \frac{dV}{d\mu}\frac{d^2\mu}{dx^2} + \frac{dV}{d\nu}\frac{d^2\nu}{dx^2} +\frac{dV}{d\rho}\frac{d^2\rho}{dx^2}\end{aligned}\\ +&+ 2\frac{d^2V}{d\mu d\nu}\ldot\frac{d\mu}{dx}\ldot\frac{d\nu}{dx} + 2\frac{d^2V}{d\mu d\rho}\ldot\frac{d\mu}{dx}\ldot\frac{d\rho}{dx} + 2\frac{d^2V}{d\nu d\rho}\ldot\frac{d\nu}{dx}\ldot\frac{d\rho}{dx} +\end{align*} +et par suite, en omettant les termes qui se détruisent, +\[ +\tag{12}\left\{ +\begin{alignedat}{3} +&&&\frac{d^2V}{dx^2}+\frac{d^2V}{dy^2}+\frac{d^2V}{dz^2}\\ +&= \frac{dV}{d\mu} &\Big(&\frac{d^2\mu} {dx^2}+\frac{d^2\mu} {dy^2}+\frac{d^2\mu} {dz^2}\Big) &&+ \frac{d^2V}{d\mu^2} \Big[\Big(\frac{d\mu} {dx}\Big)^2+\Big(\frac{d\mu} {dy}\Big)^2+\Big(\frac{d\mu} {dz}\Big)^2\Big]\\ +&+ \frac{dV}{d\nu} &\Big(&\frac{d^2\nu} {dx^2}+\frac{d^2\nu} {dy^2}+\frac{d^2\nu} {dz^2}\Big) &&+ \frac{d^2V}{d\nu^2} \Big[\Big(\frac{d\nu} {dx}\Big)^2+\Big(\frac{d\nu} {dy}\Big)^2+\Big(\frac{d\nu} {dz}\Big)^2\Big]\\ +&+ \frac{dV}{d\rho}&\Big(&\frac{d^2\rho}{dx^2}+\frac{d^2\rho}{dy^2}+\frac{d^2\rho}{dz^2}\Big) &&+ \frac{d^2V}{d\rho^2}\Big[\Big(\frac{d\rho}{dx}\Big)^2+\Big(\frac{d\rho}{dy}\Big)^2+\Big(\frac{d\rho}{dz}\Big)^2\Big]=0. +\end{alignedat}\right. +\] +Or, les fonctions $\mu$, $\nu$, $\rho$, vérifient l'équation (2) en prenant pour +$\psi(\mu)$, $\psi(\nu)$, $\psi(\rho)$, les expressions qui conduisent aux équations (9), +et qui sont, +\begin{align*} +\psi(\mu) &= \frac{\mu} {\mu^2-b^2} +\frac{\mu} {\mu^2-c^2},\\ +\psi(\nu) &= \frac{\nu} {\nu^2-b^2} -\frac{\nu} {c^2-\nu^2},\\ +\psi(\rho)&=-\frac{\rho}{b^2-\rho^2}-\frac{\rho}{c^2-\rho^2}. +\end{align*} +On a donc +\marginpage % *** File: 185.png +\[ +\tag{13}\left\{\begin{alignedat}{2} +&\frac{d^2\mu}{dx^2}{+} +\frac{d^2\mu}{dy^2}{+} +\frac{d^2\mu}{dz^2} = +&\Big(\frac{\mu}{\mu^2{-}b^2} +{+} \frac{\mu}{\mu^2{-}c^2}\Big) +&\Big[\Big(\frac{d\mu}{dx}\Big)^2 +{+} \Big(\frac{d\mu}{dy}\Big)^2 +{+} \Big(\frac{d\mu}{dz}\Big)^2\Big], \\ +% +&\frac{d^2\nu}{dx^2}{+} +\frac{d^2\nu}{dy^2}{+} +\frac{d^2\nu}{dz^2} = +&\Big(\frac{\nu}{\nu^2{-}b^2} +{-} \frac{\nu}{c^2{-}\nu^2}\Big) +&\Big[\Big(\frac{d\nu}{dx}\Big)^2 +{+} \Big(\frac{d\nu}{dy}\Big)^2 +{+} \Big(\frac{d\nu}{dz}\Big)^2\Big], \\ +% +&\frac{d^2\rho}{dx^2}{+} +\frac{d^2\rho}{dy^2}{+} +\frac{d^2\rho}{dz^2} = +&{-}\Big(\frac{\rho}{b^2{-}\rho^2} +{+} \frac{\rho}{c^2{-}\rho^2}\Big) +&\Big[\Big(\frac{d\rho}{dx}\Big)^2 +{+} \Big(\frac{d\rho}{dy}\Big)^2 +{+} \Big(\frac{d\rho}{dz}\Big)^2\Big]. \\ +\end{alignedat}\right. +\] + +On a de plus +\[ +\Big(\frac{d\mu}{dx}\Big)^2+ +\Big(\frac{d\mu}{dy}\Big)^2+ +\Big(\frac{d\mu}{dz}\Big)^2 = +\frac{1}{\mu^2\Big(\dfrac{x^2}{\mu^4} ++ \dfrac{y^2}{(\mu^2-b^2)^2} ++ \dfrac{z^2}{(\mu^2-c^2)^2}\Big)}, +\] +et en vertu des équations (6) +\[ +\frac{x^2}{\mu^4} + \frac{y^2}{(\mu^2-b^2)^2}+\frac{z^2}{(\mu^2-c^2)^2} = +\frac{(\mu^2-\nu^2)(\mu^2-\rho^2)}{\mu^2(\mu^2-c^2)(\mu^2-b^2)}, +\] +d'où enfin +\[ +\tag{14} +\left\{ +\begin{aligned} +\Big(\frac{d\mu}{dx}\Big)^2+ +\Big(\frac{d\mu}{dy}\Big)^2+ +\Big(\frac{d\mu}{dz}\Big)^2 = +\frac{(\mu^2-c^2)\hfill(\mu^2-b^2)}{(\mu^2-\nu^2)(\nu^2-\rho^2)},\\ +% +\Big(\frac{d\nu}{dx}\Big)^2+ +\Big(\frac{d\nu}{dy}\Big)^2+ +\Big(\frac{d\nu}{dz}\Big)^2 = +\frac{(\nu^2-b^2)\hfill(c^2-\nu^2)}{(\mu^2-\nu^2)(\nu^2-\rho^2)},\\ +% +\Big(\frac{d\rho}{dx}\Big)^2+ +\Big(\frac{d\rho}{dy}\Big)^2+ +\Big(\frac{d\rho}{dz}\Big)^2 = +\frac{(b^2-\rho^2)\hfill(c^2-\rho^2)}{(\mu^2-\rho^2)(\nu^2-\rho^2)}. +\end{aligned} +\right. +\] + +Les équations (13) et (14) donnent le moyen d'éliminer $x$, $y$, $z$, +dans l'équation (12), qui devient alors +\[ +\tag{15} +\left\{ +\begin{aligned} +&\frac{\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}\sqrt{\strxx\mu^2-b^2} +\dfrac{d\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}\sqrt{\strxx\mu^2-b^2} \dfrac{dV}{d\mu}}{d\mu} } +{(\mu^2-\nu^2)(\nu^2-\rho^2) }\\ +&\qquad+ \frac{\sqrt{\strxx\nu^2-b^2}\sqrt{\strxx c^2-\nu^2} +\dfrac{d\sqrt{\strxx\nu^2-b^2}\sqrt{\strxx c^2-\nu^2} \dfrac{dV}{d\nu}}{d\nu} } +{(\mu^2-\nu^2)(\nu^2-\rho^2) }\\ +&\qquad\qquad+\frac{\sqrt{\strxx b^2-\rho^2}\sqrt{\strxx c^2-\rho^2} +\dfrac{d\sqrt{\strxx b^2-\rho^2}\sqrt{\strxx c^2-\rho^2} \dfrac{dV}{d\rho}}{d\rho} } +{(\mu^2-\rho^2)(\nu^2-\rho^2) } = 0. +\end{aligned} +\right. +\] +\marginpage % *** File: 186.png + +Ou enfin, en rapportant la température $V$ aux coordonnées $\epsilon$, +$\eta$, $\xi$, +\[ +(\nu^2-\rho^2) \frac{d^2V}{d\epsilon^2} + +(\mu^2-\rho^2) \frac{d^2V}{d\eta^2} + +(\mu^2-\nu^2) \frac{d^2V}{d\xi^2} = 0. +\tag*{(15)\emph{bis}.} +\] + +On doit considérer dans cette équation $\mu$, $\nu$, $\rho$, comme des fonctions +de $\epsilon$, $\eta$, $\xi$, données par les formules (11). Il s'agit maintenant +d'intégrer cette dernière équation (15)\emph{bis}. + +\mysection{§ XXIII.} + +Les formules (11) donnent +\begin{alignat*}{3} +\frac{d\mu}{d\epsilon} &= \sqrt{\strxx\mu^2-b^2}\sqrt{\strxx\mu^2-c^2},\quad +& \frac{d\sqrt{\strxx\mu^2-b^2}}{d\epsilon} &= \mu\sqrt{\strxx\mu^2-c^2},&&\\ +&&\frac{d\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}}{d\epsilon} &= \mu\sqrt{\strxx\mu^2-b^2};\\ +% +\frac{d\nu}{d\eta} &= \sqrt{\strxx\nu^2-b^2}\sqrt{\strxx c^2-\nu^2},\quad +& \frac{d\sqrt{\strxx\nu^2-b^2}}{d\eta} &= \nu\sqrt{\strxx c^2-\nu^2},\\ +&&\frac{d\sqrt{\strxx c^2-\nu^2}}{d\eta} &= -\nu\sqrt{\strxx\nu^2-b^2};\\ +% +\frac{d\rho}{d\xi} &= \sqrt{\strxx b^2-\rho^2}\sqrt{\strxx c^2-\rho^2},\quad +& \frac{d\sqrt{\strxx b^2-\rho^2}}{d\xi} &= -\rho\sqrt{\strxx c^2-\rho^2},\\ +&&\frac{d\sqrt{\strxx c^2-\rho^2}}{d\xi} &= -\rho\sqrt{\strxx b^2-\rho^2}.\\ +\end{alignat*} +D'où l'on conclut les identités qui suivent, lesquelles sont importantes +pour la question qui nous occupe: +\[ +\tag{16} +\left\{ +\begin{aligned} +&\begin{aligned} +(\nu^2-\rho^2)\Big(\frac{d\mu}{d\epsilon}\Big)^2 + +(\mu^2-\rho^2)\Big(\frac{d\nu}{d\eta}\Big)^2 + +&(\mu^2-\nu^2) \Big(\frac{d\rho}{d\xi}\Big)^2\\ +&= (\nu^2-\rho^2)(\mu^2-\rho^2)(\mu^2-\nu^2), +\end{aligned} \\ +% +&\begin{aligned} +(\nu^2-\rho^2)&\Big(\frac{d\sqrt{\strxx\mu^2-b^2}}{d\epsilon}\Big)^2 + +(\mu^2-\rho^2)\Big(\frac{d\sqrt{\strxx\nu^2-b^2}}{d\eta}\Big)^2 \\ +&- (\mu^2-\nu^2)\Big(\frac{d\sqrt{\strxx b^2-\rho^2}}{d\xi}\Big)^2 += (\nu^2-\rho^2)(\mu^2-\rho^2)(\mu^2-\nu^2), +\end{aligned} \\ +% +&\begin{aligned} +\label{err186}(\nu^2-\rho^2)&\Big(\frac{d\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}}{d\epsilon}\Big)^2 - +(\mu^2-\rho^2)\Big(\frac{d\sqrt{\strxx c^2-\nu^2}}{d\eta}\Big)^2 \\ +&- (\mu^2-\nu^2)\Big(\frac{d\sqrt{\strxx c^2-\rho^2}}{d\xi}\Big)^2 += (\nu^2-\rho^2)(\mu^2-\rho^2)(\mu^2-\nu^2). +\end{aligned} +\end{aligned} +\right. +\] +\marginpage % *** File: 187.png + +Il résulte de là que si $E$, $Y$, $X$, sont des fonctions, la première +de $\epsilon$ seulement, la seconde de $\eta$, la troisième de $\xi$, satisfaisant aux +équations différentielles linéaires du second ordre suivantes: +\[ +\tag{17} +\left\{\quad +\begin{alignedat}{4} +\frac{d^2E}{d\epsilon^2} +&+ \Big[P\Big(\frac{d\mu}{d\epsilon}\Big)^2 +&&+ Q\Big(\frac{d\sqrt{\strxx\mu^2-b^2} }{d\epsilon }\Big)^2 +&&+ R\Big(\frac{d\sqrt{\strxx\mu^2-c^2} }{d\epsilon }\Big)^2 &\Big]&E = 0,\\ +% +\frac{d^2Y}{d\eta^2} +&+ \Big[P\Big(\frac{d\nu}{d\eta}\Big)^2 +&&+ Q\Big(\frac{d\sqrt{\strxx\nu^2-b^2}}{d\eta}\Big)^2 +&&- R\Big(\frac{d\sqrt{\strxx c^2-\nu^2}}{d\eta}\Big)^2 &\Big]&Y = 0,\\ +% +\frac{d^2X}{d\xi^2} +&+ \Big[P\Big(\frac{d\rho}{d\xi}\Big)^2 +&&- Q\Big(\frac{d\sqrt{\strxx b^2-\rho^2}}{d\xi}\Big)^2 +&&- R\Big(\frac{d\sqrt{\strxx c^2-\rho^2}}{d\xi}\Big)^2 &\Big]&X = 0,\\ +\end{alignedat} +\right. +\] +où $P$, $Q$, $R$, sont des paramètres indéterminés et constants. L'équation +(15)\emph{bis} deviendra en y posant $V = EYX$, +\[ +(\nu^2 - \rho^2)(\mu^2 - \rho^2)(\mu^2 - \nu^2)(P + Q + R) = 0, +\] +et sera satisfaite si l'on établit entre $P$, $Q$, $R$, la relation +\[ +\tag{18} +P + Q + R = 0. +\] + +On pourra donc prendre pour une intégrale, la plus générale de +l'équation (15)\emph{bis}, une série de la forme +\[ +V = \sum A\ldot EYX, +\] +$A$ étant un coefficient constant, et chaque terme de cette série correspondant +à un système particulier de valeurs de $P$, $Q$, $R$, vérifiant +l'équation (18). + +\mysection{§ XXIV.} + +Les parois du corps solide proposé sont représentées par des équations +très simples dans le système de coordonnées actuel, puisque +ces parois sont par hypothèse des surfaces sur lesquelles une des +\marginpage % *** File: 188.png +coordonnées est constante. L'intégrale (19) de $V$ se prêtera donc facilement +à l'introduction des conditions données de la surface. + +Il est aisé de voir, d'après cela, que tous les cas d'équilibre de température +des corps ou des enveloppes solides terminés par des surfaces +du second degré soumises à des sources connues de chaleur et de +froid, sont ramenés à l'intégration des équations aux différences ordinaires (17), +qui, en vertu de l'équation (18), peuvent se mettre +sous la forme +\[ +\tag*{(17)\emph{bis}} +\left\{\quad +\begin{alignedat}{2}\label{err188} +&\frac{d^2E}{d\epsilon^2} + [\, Qb^2(\mu^2-c^2) &&+ Rc^2(\mu^2-b^2) ]E=0,\\ +&\frac{d^2Y}{d\eta^2} + [\, Qb^2(c^2-\nu^2) &&- Rc^2(\nu^2-b^2) ]Y=0,\\ +&\frac{d^2X}{d\xi^2} + [{-}Qb^2(c^2{-}\rho^2) &&- Rc^2(b^2-\rho^2)]X=0, +\end{alignedat} +\right. +\] +en y regardant $\mu$, $\nu$, $\rho$, comme respectivement fonction de $\epsilon$, $\eta$, $\xi$, +d'après les formules (11); ou en $\mu$, $\nu$, $\rho$: +\[ +\tag*{(17)\emph{ter}} +\left\{\quad +\begin{aligned} +(\mu^2-c^2)(\mu^2-b^2)&\frac{d^2E}{d\mu^2} ++ \left[\mu(\mu^2-b^2) + \mu(\mu^2-c^2)\right]\frac{dE}{d\mu}\\ +&+ \left[Qb^2 (\mu^2-c^2) + Rc^2(\mu^2-b^2)\right] E = 0, \\ +% +(c^2-\nu^2)(\nu^2-b^2)&\frac{d^2Y}{d\nu^2} ++ \left[-\nu(\nu^2-b^2) + \nu(c^2-\nu^2)\right]\frac{dY}{d\nu}\\ +&+ \left[Qb^2(c^2-\nu^2) - Rc^2(\nu^2-b^2)\right] Y = 0,\\ +% +(c^2-\rho^2)(b^2-\rho^2)&\frac{d^2X}{d\rho^2} ++ \left[-\rho(b^2-\rho^2) - \rho(c^2-\rho^2)\right]\frac{dX}{d\rho}\\ +&+ \left[-Qb^2(c^2-\rho^2) - Rc^2(b^2-\rho^2)\right] X = 0.\\ +\end{aligned} +\right. +\] + +\mysection{§ XXV.} + +Le cas du refroidissement d'un corps solide homogène terminé +par des surfaces du second degré homofocales, peut pareillement se +ramener à l'intégration d'équations aux différences ordinaires. + +La formule générale connue +\[ +\frac{d^2V}{dx^2} + \frac{d^2V}{dy^2} + \frac{d^2V}{dz^2} = K\frac{dV}{dt}, +\] +devient en $\mu$, $\nu$, $\rho$ +\marginpage % *** File: 189.png +\begin{multline*} +\frac{\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}\sqrt{\strxx\mu^2-b^2}\, +\dfrac{d\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}\sqrt{\strxx\mu^2-b^2}\, \dfrac{dV}{d\mu}}{d\mu} } +{(\mu^2-\nu^2)(\mu^2-\rho^2) }\\ ++\frac{\sqrt{\strxx c^2-\nu^2}\sqrt{\strxx\nu^2-b^2}\, +\dfrac{d\sqrt{\strxx c^2-\nu^2}\sqrt{\strxx\nu^2-b^2}\, \dfrac{dV}{d\nu}}{d\nu} } +{(\mu^2-\nu^2)(\nu^2-\rho^2) }\\ ++\frac{\sqrt{\strxx b^2-\rho^2}\sqrt{\strxx c^2-\rho^2}\, +\dfrac{d\sqrt{\strxx b^2-\rho^2}\sqrt{\strxx c^2-\rho^2}\, \dfrac{dV}{d\rho}}{d\rho} } +{(\mu^2-\rho^2)(\nu^2-\rho^2) } = K\frac{dV}{dt}, +\end{multline*} +et en $\epsilon$, $\eta$, $\xi$ +\begin{multline*} +(\nu^2-\rho^2)\frac{d^2V}{d\epsilon^2} + (\mu^2-\rho^2)\frac{d^2V}{d\eta^2} - +(\mu^2+\nu^2)\frac{d^2V}{d\xi^2}\\ += (\mu^2-\nu^2)(\nu^2-\rho^2)(\mu^2-\rho^2)K\, \frac{dV}{dt}; +\end{multline*} +en regardant ici $\mu$, $\nu$, $\rho$, comme respectivement fonction de $\epsilon$, $\eta$, $\xi$, +d'après les équations (11). + +Or on satisfera évidemment à cette dernière équation, en posant +\[ +V=\sum A e^{-\tfrac{\theta^2}{K}t} \ldot EYX. +\] +Les fonctions $E$, $Y$, $X$, vérifiant les équations différentielles (17), +dans lesquelles les constantes $P$, $Q$, $R$, seront liées au paramètre $\theta^2$, +par l'équation +\[ +P + Q + R + \theta^2 =0. +\] + +Il est facile, si on le trouve convenable, de rétablir dans ces +équations les coordonnées $\mu$, $\nu$, $\rho$; elles prennent alors des formes +analogues aux équations (17)\emph{ter}; les derniers termes sont seuls plus +compliqués. +\marginpage % *** File: 190.png +\mysection{§ XXVI.} + +Dans l'état actuel de l'analyse mathématique, toutes les équations +différentielles (17) ne sont pas intégrables d'une manière assez +simple, ni assez commode, pour qu'il pût être intéressant de pousser +ici plus loin la discussion des cas généraux qui précèdent. Je me +contenterai d'avoir fait voir que l'analyse de ces questions physiques +ne dépend plus que de l'intégration d'équations aux différences ordinaires\label{err190} +linéaires et du second ordre. + +\mysection{§ XXVII.} + +Les équations aux différences ordinaires auxquelles on est conduit +en cherchant à traiter les cas plus particuliers de l'équilibre +et du mouvement de la chaleur dans les ellipsoïdes de révolution, +ou dans un prisme à base elliptique, se déduisent facilement de +calculs plus simples, mais analogues aux précédents; je me dispenserai +de les présenter ici. + +Je ferai remarquer toutefois que le cas de l'équilibre des températures +de l'ellipsoïde de révolution autour de son grand axe, +lorsque les foyers de chaleur et de froid auxquels il est exposé sont +placés symétriquement par rapport à cet axe, est exprimé par l'équation +\[ +\frac{d(\mu^2-c^2)\dfrac{dV}{d\mu} }{d\mu } + +\frac{d(c^2-\rho^2)\dfrac{dV}{d\rho} }{d\rho } =0, +\] +qui peut s'intégrer assez facilement, comme M.~Poisson l'a fait voir +dans un de ses mémoires sur le son. + +\mysection{§ XXVIII.} + +Le cas de l'équilibre calorifique d'un cylindre indéfini à base elliptique +se présente sous une forme très simple, en employant pour +coordonnées les fonctions +\marginpage % *** File: 191.png +\[ +\epsilon = \int_{\mu_0}^\mu \frac{d\mu}{\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}}, \quad \eta = \int_{\nu_0}^\nu \frac{d\nu}{\sqrt{\strxx c^2-\nu^2}}, +\] +qui expriment les lois des températures stationnaires sur les cylindres +elliptiques et hyperboliques, homofocaux et isothermes, que j'ai +considérés à la fin de la première partie de ce mémoire; l'équation +que la fonction $V$ doit vérifier se réduit alors à +\[ +\frac{d^2V}{d\epsilon^2} + \frac{d^2V}{d\eta^2} = 0. +\] +En sorte que le cas général du cylindre à base elliptique ou hyperbolique, +en équilibre de température, peut se traiter avec la +même facilité que celui correspondant du prisme à base rectangulaire, +dont la solution est connue. + +\mysection{§ XXIX.} + +Ainsi, la connaissance des surfaces isothermes du second ordre, +et celle des lois qui lient les températures stationnaires sur ces surfaces, +indiquent à l'analyse le genre de coordonnées qu'il convient +d'employer pour traiter les cas plus généraux de l'équilibre et du mouvement +de la chaleur, dans les corps ou les enveloppes solides, terminés +par des surfaces du second ordre en contact avec des sources +constantes de chaleur et de froid. C'est ce que je m'étais proposé de +démontrer dans cette seconde partie. + +\jmpafin + +% *** File: 192.png + +\jmpapaper{NOTE DE M.~POISSON}{RELATIVE AU MÉMOIRE PRÉCÉDENT.} +{} +{}{} +\label{art16} + +La première équation du paragraphe XIV, savoir: +\[ +\int_0^b \int_c^b \frac{(y^2-x^2)dydx }{\sqrt{(b^2-x^2)(c^2-x^2)(y^2-b^2)(c^2-y^2) } } = \tfrac{1}{2}\pi,\tag{1} +\] +peut se changer en celle-ci, +\begin{multline*} +\int_0^b \frac{dx }{\sqrt{(b^2-x^2)(c^2-x^2)} } \int_b^c \frac{y^2dy }{\sqrt{(y^2-b^2)(c^2-y^2) } }\tag{2}\\ +-\int_0^b \frac{x^2dx }{\sqrt{(b^2-x^2)(c^2-x^2)} } \int_b^c \frac{dy }{\sqrt{(y^2-b^2)(c^2-y^2)} } = \tfrac{1}{2}\pi +\end{multline*} +Pour la vérifier, je fais d'abord +\[ +x = b \sin \phi,\qquad dx = b \cos \phi d\phi,\qquad b = ac; +\] +les limites relatives à $\phi$, qui répondent à $x=0$ et $x=b$, seront $\phi=0$ et $\phi=\frac{1}{2}\pi$; +et d'après les notations connues de Legendre, il en résultera +\begin{align*} +\int_0^b \frac{dx}{\sqrt{(b^2-x^2)(c^2-x^2)}} ={}&\frac{1}{c} \int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{d\phi }{\sqrt{1-a^2\sin^2\phi} } = \frac{1}{c} F_1a,\\ +\int_0^b \frac{x^2dx }{\sqrt{(b^2-x^2)(c^2-x^2)} } = c &\int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{d\phi }{\sqrt{1-a^2\sin^2\phi} }\\ +&-c \int_0^{\frac{1}{2}\pi} \sqrt{1-a^2\sin^2\phi} d\phi = c(F_1a-E_1a). +\end{align*} +Je fais ensuite +\begin{align*} +&\frac{y^2-b^2}{c^2-y^2} = \cot^2\theta,\qquad y^2 = c^2 - (c^2-b^2) \sin^2 \theta,\\ +&dy = -\frac{(c^2-b^2)\sin\theta \cos\theta d\theta}{\sqrt{c^2-(c^2-b^2)\sin^2\theta}},\qquad c^2-b^2 = c^2 \alpha^2 +\end{align*} +\marginpage % *** File: 193.png +les limites relatives à $y$, qui répondent à $y = b$ et $y = c$, seront $\theta=\frac{1}{2} \pi$ et +$\theta=0$; en les intervertissant et changeant le signe de l'intégrale, on aura +\begin{align*} +\int_b^c \frac{dy }{\sqrt{(y^2 -b^2)(c^2-y^2)}} +&= \frac{1}{c} \int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{d\theta }{\sqrt{1-\alpha^2 \sin^2\theta}} += \frac{1}{c} F_1\alpha,\\ +\int_b^c \frac{y^2 dy }{\sqrt{(y^2-b^2)(c^2-y^2)}} +&= c \int_0^{\frac{1}{2}\pi} \sqrt{1-\alpha^2\sin^2\theta} d\theta += cE_1\alpha. +\end{align*} +Au moyen de ces transformations, l'équation (2) devient +\[ +\tag{3} +F_1a E_1\alpha + F_1\alpha E_1a - F_1a F_1\alpha = \tfrac{1}{2}\pi; +\] +et en observant que les modules $a$ et $\alpha$ sont complémentaires, on voit qu'elle +coïncide avec une équation trouvée par Legendre\footnotemark. +\footnotetext{\emph{Traité des fonctions elliptiques}, tome~I\ier, page~60.} + +La dernière équation du paragraphe XIV devant subsister pour toutes les valeurs +de $\mu$, et ayant lieu évidemment pour $\mu = 0$, il suffira de vérifier sa différentielle +par rapport à $\mu$, ou, ce qui est la même chose, l'équation +\[ +\int_0^b \int_b^c +\frac{(\mu^2-x^2)(\mu^2-y^2)(y^2-x^2) dy dx } +{\sqrt{(b^2-x^2)(c^2-x^2)(y^2-b^2)(c^2-y^2)} } += \tfrac{1}{2}\pi\mu^4 - \tfrac{1}{3}\pi\mu^2(b^2+c^2) + \tfrac{1}{6}\pi b^2c^2. +\] +Elle se décompose en trois autres, savoir: +\begin{gather*} +\int_0^b \int_b^c \frac{(y^2-x^2) dy dx }{\sqrt{(b^2-x^2)(c^2-x^2)(y^2-b^2)(c^2-y^2)} } = \tfrac{1}{2}\pi,\\ +\int_0^b \int_b^c \frac{(y^4-x^4) dy dx }{\sqrt{(b^2-x^2)(c^2-x^2)(y^2-b^2)(c^2-y^2)} } = \tfrac{1}{3}\pi(b^2+c^2),\\ +\int_0^b \int_b^c \frac{x^2y^2(y^2-x^2) dy dx }{\sqrt{(b^2-x^2)(c^2-x^2)(y^2-b^2)(c^2-y^2)} } = \tfrac{1}{6}\pi b^2c^2. +\end{gather*} +La première est la même que l'équation (1), qu'on vient de vérifier; les deux +autres peuvent s'écrire ainsi: +\marginpage % *** File: 194.png +\[ +\tag{4} +\left\{\quad +\begin{aligned} +& \int_0^b \frac{dx }{\sqrt{(b^2-x^2)(c^2-x^2)} } +\int_b^c \frac{y^4 dy }{\sqrt{(y^2-b^2)(c^2-y^2)} }\\ +% +& - \int_0^b \frac{x^4 dx }{\sqrt{(b^2-x^2)(c^2-x^2)} } +\int_0^c \frac{dy }{\sqrt{(y^2-b^2)(c^2-y^2)} } = \tfrac{1}{3}\pi(b^2+c^2),\\ +% +& \int_0^b \frac{x^2 dx }{\sqrt{(b^2-x^2)(c^2-x^2)} } +\int_b^c \frac{y^4 dy }{\sqrt{(y^2-b^2)(c^2-y^2)} }\\ +% +& - \int_0^b \frac{x^4 dx }{\sqrt{(b^2-x^2)(c^2-x^2)} } +\int_b^c \frac{y^2 dy }{\sqrt{(y^2-b^2)(c^2-y^2)} } = \tfrac{1}{6}\pi b^2c^2. +\end{aligned} +\right. +\] + +D'après les transformations précédentes, on a +\begin{gather*} +\int_0^b \frac{x^4 dx }{\sqrt{(b^2-x^2)(c^2-x^2)} } += a^4c^3 \int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{\sin^4\phi d\phi }{\sqrt{1-a^2\sin^2\phi} },\\ +% +\int_b^c \frac{y^4 dy }{\sqrt{(y^2-b^2)(c^2-y^2)} } += c^3 \int_0^{\frac{1}{2}\pi} (1-a^2\sin^2\theta)^{\frac{3}{2}} d\theta. +\end{gather*} +En intégrant par parties, et ayant égard aux limites, on a aussi +\[ +\int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{\sin^2\phi \cos^2\phi d\phi }{\sqrt{1-a^2\sin^2\phi} } += \frac{1}{a^2} \int_0^{\frac{1}{2}\pi} (\cos^2\phi - \sin^2\phi)\sqrt{1-a^2\sin^2\phi} d\phi, +\] +et, par conséquent, +\begin{multline*} +\int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{\sin^4\phi d\phi }{\sqrt{1-a^2\sin^2\phi} } += \int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{\sin^2\phi d\phi }{\sqrt{1-a^2\sin^2\phi} }\\ +\shoveright{- \frac{1}{a^2} \int_0^{\frac{1}{2}\pi} +\frac{(1-2\sin^2\phi)(1-a^2\sin^2\phi) d\phi }{\sqrt{1-a^2\sin^2\phi} }} \\ +\shoveleft{= \frac{2(1+a^2)}{a^2} \int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{\sin^2\phi d\phi }{\sqrt{1-a^2\sin^2\phi} } +- \frac{1}{a^2} \int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{d\phi }{\sqrt{1-a^2\sin^2\phi} }}\\ +- 2 \int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{\sin^4\phi d\phi }{\sqrt{1-a^2\sin^2\phi} }, +\end{multline*} +d'où l'on déduit +\marginpage % *** File: 195.png +\begin{align*} +&\int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{\sin^4\phi d\phi }{\sqrt{1-a^2\sin^2\phi} } += \frac{2(1+a^2)}{3a^2} +\begin{aligned}[t]&\int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{\sin^2\phi d\phi }{\sqrt{1-a^2\sin^2\phi} } \\ +&- \frac{1}{3a^2} \int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{d\phi }{\sqrt{1-a^2\sin^2\phi} } +\end{aligned}\\ +% +&= \frac{2+a^2 }{3a^4} \int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{d\phi }{\sqrt{1-a^2\sin^2\phi} } +- \frac{2(1+a^2)}{3a^4} \int_0^{\frac{1}{2}\pi}\sqrt{1-a^2\sin^2\phi} d\phi. +\end{align*} +En même temps, on a +\begin{multline*} +\qquad\int_0^{\frac{1}{2}\pi} (1-\alpha^2\sin^2\theta)^\frac{3}{2} d\theta += \int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{d\theta }{\sqrt{1-\alpha^2\sin^2\theta} }\\ +\shoveright{- 2\alpha^2 \int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{\sin^2\theta d\theta }{\sqrt{1-\alpha^2\sin^2\theta} } ++ \alpha^4 \int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{\sin^4\theta d\theta }{\sqrt{1-\alpha^2\sin^2\theta} },} \\ +\shoveleft{\int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{\sin^4\theta d\theta }{\sqrt{1-\alpha^2\sin^2\theta} } += \frac{2(1+\alpha^2)}{3\alpha^2} \int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{\sin^2\theta d\theta }{\sqrt{1-\alpha^2\sin^2\theta} }}\\ +- \frac{1}{3\alpha^2} \int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{d\theta }{\sqrt{1-\alpha^2\sin^2\theta} }; +\end{multline*} +d'où l'on conclut\label{err195} +\begin{align*} +& +\int_0^{\frac{1}{2}\pi} (1-\alpha^2\sin^2\theta)^\frac{3}{2} d\theta += \frac{3-\alpha^2 }{3 } +\begin{aligned}[t]&\int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{d\theta }{\sqrt{1-\alpha^2\sin^2\theta} }\\ +&+ \frac{2\alpha^2(\alpha^2-2) }{3 } \int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{\sin^2\theta d\theta }{\sqrt{1-\alpha^2\sin^2\theta} } +\end{aligned} \\ +&= \frac{2(1+a^2) }{3 } \int_0^{\frac{1}{2}\pi} \sqrt{1-\alpha^2\sin^2\theta} d\theta +- \frac{a^2 }{3 } \int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{d\theta }{\sqrt{1-\alpha^2\sin^2\theta} }. +\end{align*} +Cela étant, en employant les notations de Legendre, on aura +\begin{align*} +\int_0^b \frac{x^4 dx }{\sqrt{(b^2-x^2)(c^2-x^2)} } &= \frac{c^3(2+a^2) }{3 } F_1 a - 2 \frac{c^3(1+a^2) }{3 } E_1 a,\\ +\int_b^c \frac{y^4 dy }{\sqrt{(y^2-b^2)(c^2-y^2)} } &= \frac{2c^3(1+a^2) }{3 } E_1 \alpha - \frac{a^2c^3 }{3 } F_1 \alpha; +\end{align*} +et comme on a trouvé précédemment +\marginpage % *** File: 196.png +\begin{align*} +\int_0^b \frac{dx }{\sqrt{(b^2-x^2)(c^2-x^2)} } &= \frac{1}{c} F_1a,\\ +\int_0^b \frac{x^2 dx }{\sqrt{(b^2-x^2)(c^2-x^2)} } &= c(F_1a-E_1a),\\ +\int_b^0 \frac{dy }{\sqrt{(y^2-b^2)(c^2-y^2)} } &= \frac{1}{c}F_1\alpha,\\ +\int_b^0 \frac{y^2 dy }{\sqrt{(y^2-b^2)(c^2-y^2)} } &= cE_1\alpha +\end{align*} +les équations (4) deviendront +\begin{align*} +&\frac{c^2}{3}(1+a^2)(F_1a E_1\alpha + F_1\alpha E_1a - F_1a F_1\alpha) = \tfrac{1}{3}\pi(b^2+c^2),\\ +&\frac{c^4a^2}{3}(F_1a E_1\alpha + F_1\alpha E_1a - F_1a F_1\alpha) = \tfrac{1}{6}\pi b^2c^2; +\end{align*} +ce qui coïncide, à cause de $b = ac$, avec l'équation (3) citée plus haut. + + +\jmpafin + +% *** File: 197.png + +\jmpapaper{}{}{Addition à la Note de \bsc{M.~Poisson}, insérée dans le Numéro +précédent de ce journal\footnote{% +La première partie de cette \emph{Addition} a été écrite à l'occasion des remarques +qu'un membre de l'Académie a faites dans la séance du 17~avril dernier, sur la note +dont il s'agit.}; par l'Auteur.}{}{} +\label{art17} + +L'article du Journal de M.~Crelle, auquel cette note se rapporte, a +pour titre: \emph{Nota de erroribus quibusdam geometricis, qui in theoriâ +fonctionum leguntur}. Parmi \emph{ces erreurs}, on cite textuellement deux +passages du neuvième chapitre de la seconde partie de la \emph{Théorie des +fonctions analytiques}. Or, j'ai dit dans ma note, et je maintiens, que +ces deux passages sont parfaitement exacts; et je pense que c'est en se +méprenant sur leur véritable signification qu'on a pu les croire erronés. +Bien entendu, je suis loin d'attacher une grande importance +soit à cette méprise d'un illustre géomètre, soit à la remarque que +j'en ai faite. + +Avant de citer, dans son article, ces deux passages du chapitre~IX, +l'auteur avait d'abord rappelé le numéro~35 du chapitre~VII\@. Mais ce +qui est contenu dans ce numéro, exact ou non, n'a aucun rapport +avec les propositions du chapitre~IX\@. Celles-ci sont relatives aux lieux +des centres des sphères osculatrices d'une surface, suivant la direction +et dans toute la longueur d'une ligne tracée sur cette surface; dans +les numéros 35 et 36 du chapitre~VII, Lagrange considère, au contraire, +les lieux des centres des cercles osculateurs d'une ligne plane +ou à double courbure; et ces deux lieux géométriques sont, en +général, essentiellement distincts, et ne coïncident, pour une même +ligne donnée, que dans des cas particuliers. + +Ayant seulement voulu montrer dans ma note qu'il n'y a aucune +\marginpage % *** File: 198.png +erreur dans les deux passages cités du chapitre~IX, je n'ai point eu à +m'occuper du numéro~35 du chapitre~VII, et je me suis dispensé d'en +parler. Mais il est vrai de dire que l'analyse contenue dans ce numéro +et dans le suivant, présente quelque chose d'incomplet, et même +d'équivoque. Lagrange détermine la condition pour que les centres +des cercles osculateurs d'une courbe donnée forment une développée +proprement dite, c'est-à-dire une ligne dont les tangentes coupent à +angle droit la courbe proposée; puis il dit que les courbes planes +satisfont toujours à cette condition; mais il n'ajoute pas qu'elle n'est +remplie que pour elles seules; et cette omission pourrait faire croire +qu'il ne serait pas impossible qu'une ligne à double courbure eût pour +développée, le lieu de ses centres de courbure. Or, non-seulement on +voit, par des considérations géométriques très simples, que cette +propriété n'appartient qu'à des courbes planes; mais Lagrange pouvait +aussi le conclure de différentes manières, de sa propre analyse, et, +par exemple, en montrant, comme M.~Lacroix dans son \emph{Traité du +Calcul différentiel}\footnote{Voyez la première édition publiée en 1797, ou le \no 353 de la seconde +édition.}, +que l'équation différentielle du troisième ordre, +qui doit être satisfaite pour que cette propriété ait lieu, revient à +celle qui exprime que trois éléments consécutifs quelconques de la +courbe proposée sont dans un même plan, ou que cette courbe est +plane. A la fin du chapitre~VII, Lagrange se borne à renvoyer, pour +de plus grands détails sur ce qui concerne les développées, au Mémoire +de Monge, où leur théorie est exposée dans toute sa généralité. + +En un point donné $M$ sur une surface quelconque, le \label{err198}parabole de +osculateur, qui a son sommet en ce point, est \emph{elliptique} ou \emph{hyperbolique}, +selon que les deux courbures principales de la surface en ce +même point, sont tournées dans le même sens ou en sens contraires. +Les rayons de ces deux courbures étant représentés par $\alpha$ et $\beta$, et en +prenant leurs plans et le plan tangent pour ceux des coordonnées $x$, +$y$, $z$, la normale pour axe des $z$, le point $M$ pour origine; l'équation +du paraboloïde sera +\[ +z = \frac{x^2}{\alpha} \pm \frac{y^2}{\beta}; +\] +\marginpage % *** File: 199.png +le signe supérieur ayant lieu quand il est elliptique, et le signe inférieur +quand il sera hyperbolique. Il se changera en un cylindre, lorsque +l'une des deux sections de courbure principale sera une ligne +droite, c'est-à-dire lorsque $\alpha$ ou $\beta$ sera infini, et en un plan, quand +ces deux sections seront rectilignes, ou qu'on aura $\alpha = \infty$ et $\beta=\infty$. + +L'expression de l'ordonnée $z$ d'un point de la surface différent de $M$, +pourra, en général, se développer en série ordonnée suivant les +puissances et les produits de $x$ et $y$. Pour les cas d'exception, je renverrai +à mon Mémoire cité dans la note. En désignant par $\Delta$, la +différence entre cette ordonnée et celle du paraboloïde, qui répondent +aux mêmes valeurs de $x$ et $y$, on aura +\[ +\Delta = gx^3 + hx^2y + kxy^2 + ly^3 + R; +\] +$g$, $h$, $k$, $l$, étant des coefficients constants qui dépendront de la +forme de la surface, et $R$ étant une série de termes de quatre ou d'un +plus grand nombre de dimensions, par rapport à $x$ et $y$. Pour qu'il y +ait contact du troisième ordre, suivant une section normale, entre la +surface donnée et le paraboloïde, il faudra que la somme des quatre +premiers termes de la valeur de $\Delta$, soit zéro suivant cette direction. +Si l'on appelle $m$ la tangente de l'angle compris entre ce plan et +celui de $x$ et $z$, et en faisant $y = mx$, on aura donc +\[ +gm^3 + hm^2 + km + l = 0, +\] +pour l'équation du troisième degré, dont il a été question à la fin de +la note. Lorsque ses trois racines seront réelles, il y aura au point $M$ +de la surface donnée, trois directions pour lesquelles le contact parabolique +du second ordre s'élèvera au troisième~\footnotemark; +\footnotetext{Par erreur, on a mis troisième et quatrième ordre, en haut de la page~144 \pdf{ref144} +de la note, au lieu de deuxième et troisième.} +il y en aura une seule, +quand l'équation n'aura qu'une racine réelle; une seule aussi, lorsque +ses trois racines seront égales, et deux dans le cas de deux racines +égales. Dans tous les cas, le contact du troisième ordre aura lieu également, +suivant ces directions particulières, entre la surface donnée +\marginpage % *** File: 200.png +et un ellipsoïde osculateur, quelle que soit la grandeur de son troisième +axe, qui reste indéterminée. + +En changeant l'origine et la direction des coordonnées, et mettant +ensuite dans l'équation précédente, à la place de chacun des coefficients +$g$, $h$, $k$, $l$, sa valeur en fonction des nouvelles coordonnées, +tirée de l'équation de la surface donnée, et pour $m$ le rapport entre les +différentielles de deux de ces coordonnées, on obtiendra l'équation différentielle +des lignes tracées sur cette surface et suivant lesquelles elle +a un contact du troisième ordre avec les ellipsoïdes osculateurs. Il +serait intéressant de connaître la figure de ces lignes à la surface de la +terre, et de savoir s'il en existe trois ou une seule dans les différentes +parties du globe. Quoique le sphéroïde terrestre diffère peu d'une +sphère, ces lignes peuvent s'écarter beaucoup des méridiens; car leur +direction en chaque point ne dépend pas des grandeurs absolues de $g$, +$h$, $k$, $l$, qui sont de très petites quantités, mais des rapports de ces +coefficients, qui peuvent être des nombres quelconques. + + +\jmpafin + +% *** File: 201.png + +\jmpapaper{MÉMOIRE}{} +{Sur l'interpolation;} +{Par M.~Aug.~CAUCHY~\footnotemark.}{} +\label{art18} + +\footnotetext{Ce Mémoire a été autographié en septembre 1835 et envoyé à cette époque +à l'Académie des Sciences. On l'imprime ici pour la première fois, du consentement +de l'auteur. (J.~L.)} + +Dans les applications de l'analyse à la Géométrie, à la Physique, +à l'Astronomie\ldots\ deux sortes de questions se présentent à résoudre, +et il s'agit \primo de trouver les lois générales des figures et des phénomènes, +c'est-à-dire la forme générale des équations qui existent entre +les diverses variables, par exemple, entre les coordonnées des courbes +et des surfaces, entre les vitesses, les temps, les espaces parcourus +par les mobiles, etc\ldots; \secundo de fixer en nombres les valeurs des paramètres +ou constantes arbitraires qui entrent dans l'expression de ces +mêmes lois, c'est-à-dire les valeurs des coefficients inconnus que +renferment les équations trouvées. Parmi les variables on distingue +ordinairement, comme l'on sait, celles qui peuvent varier indépendamment +les unes des autres, et que l'on nomme pour cette raison +variables indépendantes, d'avec celles qui s'en déduisent par la +résolution des diverses équations, et qui se nomment fonctions des +variables indépendantes. Considérons en particulier une de ces fonctions, +et supposons qu'elle se déduise des variables indépendantes par +une équation ou formule qui renferme un certain nombre de coefficients. +Un pareil nombre d'observations ou d'expériences, dont +chacune fournira une valeur particulière de la fonction correspondante +\marginpage % *** File: 202.png +à un système particulier de valeurs des variables indépendantes, +suffira pour la détermination numérique de tous ces coefficients; et, +cette détermination faite, on pourra obtenir sans difficulté de nouvelles +valeurs de la fonction correspondantes à de nouveaux systèmes +de valeurs des variables indépendantes, et résoudre ainsi ce qu'on +appelle le problème de l'interpolation. Par exemple, si l'ordonnée +d'une courbe se trouve exprimée en fonction de l'abscisse par +une équation qui renferme trois paramètres, il suffira de connaître +trois points de la courbe, c'est-à-dire trois valeurs particulières de +l'ordonnée correspondantes à trois valeurs particulières de l'abscisse, +pour déterminer les trois paramètres; et, cette détermination effectuée, +on pourra sans peine tracer la courbe par points en calculant +les coordonnées d'un nombre aussi grand que l'on voudra de nouveaux +points situés sur les arcs de cette courbe compris entre les +points donnés. Ainsi, envisagé dans toute son étendue, le problème +de l'interpolation consiste à déterminer les coefficients ou constantes +arbitraires que renferme l'expression des lois générales des figures +ou des phénomènes, d'après un nombre au moins égal de points +donnés, ou d'observations, ou d'expériences. Dans une foule de +questions les constantes arbitraires entrent au premier degré seulement +dans les équations qui les renferment. C'est précisément ce qui +arrive lorsqu'une fonction est développable en une série convergente +ordonnée suivant les puissances ascendantes ou descendantes d'une +variable indépendante, ou bien encore suivant les sinus ou cosinus +des multiples d'un même arc. Alors il s'agit de déterminer les coefficients +de ceux des termes de la série que l'on ne peut négliger sans +avoir à craindre qu'il en résulte une erreur sensible dans les valeurs +de la fonction. Dans le petit nombre de formules qui ont été proposées +pour cet objet, on doit distinguer une formule tirée du calcul +des différences finies, mais applicable seulement au cas où les diverses +valeurs de la variable indépendante sont équidifférentes entre elles, +et la formule de Lagrange applicable, quelles que soient ces valeurs, +à des séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de la variable +indépendante. Toutefois cette dernière formule elle-même se complique +de plus en plus à mesure que l'on veut conserver dans le +développement de la fonction en série un plus grand nombre de +\marginpage % *** File: 203.png +termes; et ce qu'il y a de plus fâcheux, c'est que les valeurs approchées +des divers ordres correspondantes aux divers cas où l'on conserverait +dans la série un seul terme, puis deux termes, puis trois +termes\ldots s'obtiennent par des calculs à peu près indépendants les +uns des autres, en sorte que chaque nouvelle approximation, loin +d'être rendue facile par celles qui la précèdent, demande au contraire +plus de temps et de travail. Frappé de ces inconvénients, et conduit +par mes recherches sur la dispersion de la lumière à m'occuper de +nouveau du problème de l'interpolation, j'ai eu le bonheur de +rencontrer pour la solution de ce problème une nouvelle formule +qui, sous le double rapport de la certitude des résultats et de la +facilité avec laquelle on les obtient, me paraît avoir sur les autres +formules des avantages tellement incontestables, que je ne doute +guère qu'elle ne soit bientôt d'un usage général parmi les personnes +adonnées à la culture des sciences physiques et mathématiques. + +Pour donner une idée de cette formule, je suppose qu'une fonction +de $x$, représentée par $y$, soit développable en une série convergente +ordonnée suivant les puissances ascendantes ou descendantes de $x$, +ou bien encore suivant les sinus ou cosinus des arcs multiples de $x$, +ou même plus généralement suivant d'autres fonctions de $x$ que je +représenterai par +\[ +\phi(x) = u,\quad \chi(x) = v,\quad \psi(x) = w,\ldots, +\] +en sorte qu'on ait +\[ +y = au + bv + cw + \dotsb ,\tag{1} +\] +$a$, $b$, $c\ldots$ désignant des coefficients constants. Il s'agit de savoir, +\primo combien de termes on doit conserver dans le second membre de +l'équation (1) pour obtenir une valeur de $y$ suffisamment approchée, +dont la différence avec la valeur exacte soit insensible et comparable +aux erreurs que comportent les observations; \secundo de fixer en nombres +les coefficients des termes conservés, ou, ce qui revient au même, +de trouver la valeur approchée dont nous venons de parler. Les +données du problème sont un nombre suffisamment grand de valeurs +de $y$ représentées par +\[ +y_1,\ y_2,\ldots y_n, +\] +\marginpage % *** File: 204.png +et correspondantes à un pareil nombre $n$ de valeurs de $x$ représentées +par $x_1$, $x_2$,\dots $x_n$, par conséquent aussi à un pareil nombre de +valeurs de chacune des fonctions $u$, $v$, $w$,\dots, valeurs que je représenterai +de même par +\[ +u_1,\ u_2,\ldots u_n +\] +pour la fonction $u$, par +\[ +v_1,\ v_2,\ldots v_n +\] +pour la fonction $v$, etc\dots. Ainsi, pour résoudre le problème, on aura +entre les coefficients inconnus $a$, $b$, $c$,\dots\ les $n$ équations du premier +degré +\[ +\tag{2} +\left\{\quad +\begin{aligned} +y_1 &= au_1 + bv_1 + cw_1 + \dotsb ,\\ +y_2 &= au_2 + bv_2 + cw_2 + \dotsb ,\\[-1ex] +\vdots\; & \\[-1ex] +y_n &= au_n + bv_n + cw_n + \dotsb , +\end{aligned} +\right. +\] +qui, si l'on désigne par $i$ l'un quelconque des nombres entiers +\[ +1,\ 2,\ldots n, +\] +se trouveront toutes comprises dans la formule générale +\[ +y_i = au_i + bv_i + cw_i + \dotsb.\tag{3} +\] +On effectuera la première approximation en négligeant les coefficients +$b$, $c$,\dots, ou, ce qui revient au même, en réduisant la série à son +premier terme. Alors la valeur générale approchée de $y$ sera +\[ +y = au;\tag{4} +\] +et, pour déterminer le coefficient $a$, on aura le système des équations +\[ +y_1 = au_1,\quad y_2 = au_2,\ldots y_n = au_n.\tag{5} +\] +Les diverses valeurs de $a$ que l'on peut déduire de ces équations (5) +considérées chacune à part, ou combinées entre elles, seraient toutes +précisément égales si les valeurs particulières de $y$, que nous supposons +données par l'observation, étaient rigoureusement exactes. Mais il +\marginpage % *** File: 205.png +n'en est pas ainsi dans la pratique où les observations comportent des +erreurs renfermées entre certaines limites; et alors il importe de combiner +entre elles les équations (5) de manière que, dans les cas les +plus défavorables, l'influence exercée sur la valeur du coefficient $a$ +par les erreurs commises sur les valeurs de $y_1$, $y_2$,\dots, $y_n$ soit la +moindre possible. Or, les diverses combinaisons que l'on peut faire des +équations (5) pour en tirer une nouvelle équation du premier degré, +par rapport à $a$, fournissent toutes des valeurs de $a$ comprises dans la +formule générale +\[ +a=\frac{k_1y_1+k_2y_2+ \dotsb k_ny_n}{k_1u_1 + k_2u_2+ \dotsb k_n u_n},\tag{6} +\] +que l'on obtient en ajoutant membre à membre les équations (5) après +les avoir respectivement multipliées par des facteurs constants $k_1$, $k_2$,\dots, +$k_n$. Il y a plus; comme la valeur de $a$ déterminée par l'équation (6) ne +varie pas quand on fait varier simultanément les facteurs $k_1$, $k_2$,\dots, $k_n$ +dans le même rapport, il est clair que parmi ces facteurs, le plus +grand (abstraction faite du signe) peut toujours être censé réduit à +l'unité. Remarquons enfin que, si l'on nomme +\[ +\epsilon_1,\ \epsilon_2,\ldots,\ \epsilon_n, +\] +les erreurs respectivement commises dans les observations sur les +valeurs de +\[ +y_1,\ y_2,\ldots,\ y_n, +\] +la formule précédente (6) fournira pour $a$ une valeur approchée, dont +la différence avec la véritable sera +\[ +\frac{k_1\epsilon_1\hfill+k_2\epsilon_2\hfill+ \dotsb + k_n\epsilon_n\hfill}{k_1u_1+k_2u_2+ \dotsb +k_nu_n}.\tag{7} +\] +Il faut maintenant choisir $k_1$, $k_2$,\dots, $k_n$ de telle sorte que, dans les +cas les plus défavorables, la valeur numérique de l'expression (7) soit +la moindre possible. + +Représentons par +\[ +Su_i +\] +la somme des diverses valeurs numériques de $u_i$, c'est-à-dire ce que +\marginpage % *** File: 206.png +devient le polynome +\[ +\pm u_1 \pm u_2 \pm \ldots \pm u_n +\] +quand on y dispose de chaque signe de manière à rendre chaque +terme positif. Représentons par $S\epsilon_i$ non la somme des valeurs numériques +$\epsilon_1$, $\epsilon_2$,\dots, $\epsilon_n$, mais ce que devient la somme $Su_i$, quand on +y remplace chaque valeur de $u_i$ par la valeur correspondante de $\epsilon_i$. Si +l'on réduit à $+1$ ou à $-1$ chacun des coefficients $k_1$, $k_2$,\dots, $k_n$, +en choisissant les signes de manière que, dans le dénominateur de la +fraction +\[ +\frac{k_1\epsilon_1\hfill + k_2\epsilon_2\hfill + \dotsb + k_n\epsilon_n\hfill}{k_1u_1 + k_2u_2 + \dotsb + k_nu_n} +\] +tous les termes soient positifs, cette traction sera réduite à +\[ +\frac{S\epsilon_i}{Su_i};\tag{8} +\] +et elle offrira une valeur numérique tout au plus égale au rapport +\[ +\frac{E}{Su_i} +\] +si l'on désigne par $E$ la somme des valeurs numériques de $\epsilon_i$ ou, ce +qui revient au même, la valeur numérique de $S\epsilon_i$ dans le cas le plus +défavorable. D'autre part, en attribuant à $k_1$, $k_2$,\dots, $k_n$ des valeurs +inégales dont la plus grande (abstraction faite des signes) soit l'unité, +on obtiendra pour dénominateur de la fraction une quantité dont la +valeur numérique sera évidemment inférieure à $Su_i$, tandis que la +valeur numérique du numérateur pourra s'élever jusqu'à la limite $E$; +ce qui arrivera effectivement si les erreurs $\epsilon_1$, $\epsilon_2$,\dots, $\epsilon_n$ sont toutes +nulles, à l'exception de celle qui sera multipliée par un facteur égal, +au signe près, à l'unité. Il en résulte que la plus grande erreur à +craindre sur la valeur de $a$ déterminée par la formule +\[ +a=\frac{k_1y_1\hfill + k_2y_2\hfill + \dotsb k_ny_n\hfill}{k_1u_1+k_2u_2 + \dotsb k_nu_n} +\] +sera la moindre possible si l'on pose généralement +\[ +k_i = \pm 1, +\] +\marginpage % *** File: 207.png +en choisissant les signes de manière que dans le polynome +\[ +k_1u_1 + k_2u_2 + \dotsb + k_nu_n +\] +tous les termes soient positifs. Alors cette formule donnera +\[ +a = \frac{Sy_i}{Su_i},\tag{9} +\] +$Sy_i$ étant ce que devient la somme $Su_i$ quand on y remplace chaque +valeur de $u_i$ par la valeur correspondante de $y_i$, et l'équation $y = au$ +deviendra +\[ +y = \frac{u}{Su_i} Sy_i.\tag{10} +\] + +Si l'on fait pour abréger +\[ +\alpha = \frac{u}{Su_i},\tag{11} +\] +on aura simplement +\[ +y = \alpha Sy_i.\tag{12} +\] + +Si l'on supposait généralement $u = 1$, l'équation $y = au$, réduite à +\[ +y = a, +\] +exprimerait que la valeur de $y$ est constante; et comme on aurait +alors +\[ +\alpha = \frac{u}{Su_i} = \frac{1}{n}, +\] +la formule $y = \alpha Sy_i$ donnerait +\[ +y = \frac{1}{n}Sy_i. +\] +Donc alors on devrait prendre pour valeur approchée de $y$ la +moyenne arithmétique entre les valeurs observées; et la plus grande +erreur à craindre serait plus petite pour cette valeur approchée que +pour toute autre. Cette propriété des moyennes arithmétiques, jointe +à la facilité avec laquelle on les calcule, justifie complétement +l'usage où l'on est de leur accorder la préférence dans l'évaluation des +\marginpage % *** File: 208.png +constantes arbitraires qui peuvent être déterminées directement par +l'observation. + +Soit maintenant $\Delta y$ le reste qui doit compléter la valeur approchée +de $y$ fournie par l'équation +\[ +y = \alpha Sy_i,\tag{12} +\] +en sorte qu'on ait +\[ +y = \alpha Sy_i + \Delta y.\tag{13} +\] +Posons de même +\[ +v = \alpha Sv_i + \Delta v,\quad w = \alpha Sw_i + \Delta w,\ \etc\ldots.\tag{14} +\] +On tirera de la formule $y_i = au_i + bv_i + cw_i + \etc$\dots, +\[ +Sy_i = aSu_i + bSv_i + cSw_i + \etc\ldots;\tag{15} +\] +puis de cette dernière, multipliée par $\alpha$, et soustraite de l'équation +(1), +\[ +\Delta y = b \Delta v + c \Delta w + \etc\ldots.\tag{16} +\] + +Soient d'ailleurs $\alpha_i$, $\Delta y_i$, $\Delta v_i$, $\Delta w_i$,\dots\ ce que deviennent les +valeurs de $\alpha$, $\Delta y$, $\Delta v$, $\Delta w$,\dots\ tirées des équations (11), (13) et (14), +quand on y remplace $x$ par $x_i$, $i$ étant l'un des nombres entiers +1, 2,\dots $n$. Si les valeurs de +\[ +\Delta y_1,\ \Delta y_2 \ldots,\ \Delta y_n +\] +sont très petites, et comparables aux erreurs que comportent les +observations, il sera inutile de procéder à une seconde approximation, +et l'on pourra s'en tenir à la valeur approchée de $y$ fournie par +l'équation $y = \alpha Sy_i$. Si le contraire a lieu, il suffira, pour obtenir +une approximation nouvelle, d'opérer sur la formule (16) qui donne +$\Delta y = b\Delta v + \etc$, comme dans la première approximation l'on a opéré +sur la formule (1) $y = au + \etc$ + +Cela posé, désignons par +\[ +S'\Delta v_i +\] +la somme des valeurs numériques de $\Delta v_i$, et par +\marginpage % *** File: 209.png +\[ +S'\Delta y_i,\ S'\Delta w_i,\ \etc\ldots +\] +les polynomes dans lesquels se change la somme $S'\Delta v_i$, quand on y +remplace chaque valeur de $\Delta v_i$, par la valeur correspondante de $\Delta y_i$ ou +de $\Delta w_i \ldots$; soit enfin +\[ +\beta=\frac{\Delta v}{S'\Delta v_i}, +\] +si l'on peut, sans erreur sensible, négliger dans la série (1) le coefficient +$c$ du troisième terme et ceux des termes suivants, on devra +prendre pour valeur approchée de $\Delta y$ +\[ +\Delta y =\beta S'\Delta y_i.\tag{18} +\] +Soit $\Delta^2y$ le reste du second ordre qui doit compléter cette valeur +approchée, et faisons en conséquence +\[ +\Delta y=\beta S'\Delta y_i + \Delta^2y.\tag{19} +\] +Posons de même +\[ +\Delta w=\beta S'\Delta w_i + \Delta^2w,\ \etc\ldots:\tag{20} +\] +on tirera successivement, de la formule (16), +\begin{gather*} +\Delta y_i = b\Delta v_i + c\Delta w_i + \etc\ldots\tag{21}\\[1ex] +S'\Delta y_i = bS'\Delta v_i + cS'\Delta w_i + \etc\ldots;\tag{22} +\end{gather*} +puis cette dernière, multipliée par $\beta$ et retranchée de l'équation (19), +\[ +\Delta^2y = c\Delta^2w + \etc\ldots\tag{23} +\] +Soient d'ailleurs $\beta_i$, $\Delta^2y_i$, $\Delta^2 w_i$,\dots, ce que deviennent les valeurs de +$\beta$, $\Delta^2y_i$, $\Delta^2 w_i$,\dots, tirées des équations (17), (19) et (20), quand on y +remplace $x$ par $x_i$, $i$ étant l'un des nombres entiers 1, 2,\dots, $n$. Si +les valeurs de +\[ +\Delta^2y_1,\ \Delta^2y_2, \ldots,\ \Delta^2y_n +\] +sont très petites et comparables aux erreurs que comportent les observations, +il sera inutile de procéder à une nouvelle approximation, et +\marginpage % *** File: 210.png +l'on pourra s'en tenir à la valeur approchée de $\Delta y$ fournie par l'équation (18). +Si le contraire a lieu, il suffira, pour obtenir une troisième +approximation, d'opérer sur la formule (23) qui donne $\Delta^2y$, comme l'on +a opéré dans la première approximation sur la formule (1). En continuant +de la sorte, on obtiendra la règle suivante: + +L'inconnue $y$, fonction de la variable $x$, étant supposée développable +en une série convergente +\[ +au + bv + cw + \dotsb \tag{I} +\] +où $u$, $v$, $w$,\dots, représentent des fonctions données de la même +variable, si l'on connaît $n$ valeurs particulières de $y$ correspondantes +à $n$ valeurs particulières +\[ +x_1,\ x_2,\ldots,\ x_n +\] +de $x$, si d'ailleurs on nomme $i$ l'un quelconque des nombres entiers +1, 2,\dots, $n$, et $y_i$, $u_i$, $v_i$,\dots, ce que deviennent $y$, $u$, $v$,\dots, +quand on y remplace $x$ par $x_i$; alors, pour obtenir la valeur générale +de $y$ avec une approximation suffisante, on déterminera d'abord le +coefficient $\alpha$ à l'aide de la formule +\[ +u = \alpha Su_i,\tag{II} +\] +dans laquelle $Su_i$ désigne la somme des valeurs numériques de $u_i$, +et la différence du premier ordre $\Delta y$ à l'aide de la formule +\[ +y=\alpha Sy_i + \Delta y.\tag{III} +\] +Si les valeurs particulières de $\Delta y$, représentées par $\Delta y_1$, $\Delta y_2$,\dots\ $\Delta y_n$, +sont comparables aux erreurs d'observation, on pourra négliger $\Delta y$ +et réduire la valeur approchée de $y$ à +\[ +\alpha Sy_i. +\] +Dans le cas contraire, on déterminera $\beta$ à l'aide des formules +\[ +v=\alpha Sv_i + \Delta v, \quad \Delta v=\beta S'\Delta v_i,\tag{IV} +\] +$S'\Delta v_i$ étant la somme des valeurs numériques de $\Delta v_i$, et la différence +\marginpage % *** File: 211.png +du second ordre $\Delta^2 y$ à l'aide de la formule\label{err211} +\[ +\Delta y= \beta S' \Delta y_i + \Delta^2y.\tag{V} +\] +Si les valeurs particulières de $\Delta^2y$, représentées par $\Delta^2 y_1$, $\Delta^2y_2$,\dots, +$\Delta^2 y_n$, sont comparables aux erreurs d'observation, l'on pourra +négliger $\Delta^2y$ et réduire en conséquence la valeur approchée de $y$ à +$\alpha Sy_i + \beta\alpha S'\Delta y_i$. + +Dans le cas contraire, on déterminera $\gamma$ par les formules +\[ +w = \alpha Sw_i+\Delta w,\quad \Delta w=\beta S'\Delta w_i+\Delta^2w,\quad \Delta^2w=\gamma S''\Delta^2w_i,\tag{VI} +\] +$S''\Delta^2w_i$ étant la somme des valeurs numériques de $\Delta^2w_i$, et la différence +du troisième ordre $\Delta^3y$ par la formule +\[ +\Delta^2y=\gamma S''\Delta^2y_i + \Delta^3y,\ \etc\ldots.\tag{VII} +\] +Ainsi, en définitive, en supposant les coefficients $\alpha$, $\beta$, $\gamma$,\dots\ +déterminés par le système de ces équations, etc.,\dots, on devra +calculer les différences des divers ordres représentées par +\[ +\Delta y,\ \Delta^2y,\ \Delta^3y,\ldots, +\] +ou plutôt leurs valeurs particulières correspondantes aux valeurs $x_1$, +$x_2$,\dots, $x_n$ de la variable $x$, jusqu'à ce que l'on parvienne à une +différence dont les valeurs particulières soient comparables aux +erreurs d'observation. Alors il suffira d'égaler à zéro la valeur de +cette différence tirée du système des équations (III), (V), (VII)\dots, +pour obtenir avec une approximation suffisante la valeur de $y$. Cette +valeur générale sera donc +\[ +y=\alpha Sy_i,\text{ou }y=\alpha Sy_i+\beta S'\Delta y_i,\text{ou etc.}\ldots, +\] +suivant que l'on pourra, sans erreur sensible, réduire la série à son +premier terme, ou à ses deux premiers termes\dots. Donc, si l'on +nomme $m$ le nombre des termes conservés, le problème de l'interpolation +sera résolu par la formule +\[ +y=\alpha Sy_i+\beta S'\Delta y_i + \gamma S''\Delta^2y_i +\etc\ldots, +\] +le second membre étant prolongé jusqu'au terme qui renferme $\Delta^{m-1}y_i$. +\marginpage % *** File: 212.png + +Il est bon d'observer que des formules précédentes on tire non-seulement +\[ +S\alpha_i = 1;\ +S\beta_i = 0,\ +S'\beta_i = 1;\ +S\gamma_i = 0,\ +S'\gamma_i = 0,\ +S''\gamma_i = 1,\ \etc\ldots; +\] +mais encore +\[ +S\Delta v_i = 0;\ +S\Delta w_i = 0,\ +S\Delta^2w_i = 0,\ +S'\Delta^2w_i = 0,\ \etc\ldots, +\] +et +\[ +S\Delta y_i = 0;\ +S\Delta^2y_i = 0, \ +S'\Delta^2y_i = 0;\ +S\Delta^3y_i = 0,\ +S'\Delta^3y_i = 0,\ +S''\Delta^3y_i = 0,\ldots +\] +Ces dernières formules sont autant d'équations de condition auxquelles +doivent satisfaire les valeurs particulières de $\alpha$, $\beta$, $\gamma$,\dots, +ainsi que celles des différences des divers ordres de $u$, $v$, $w$,\dots, $y$; +et il en résulte qu'on ne peut commettre dans le calcul de ces valeurs +particulières aucune erreur de chiffres sans en être averti par le seul +fait que les équations de condition cessent d'être vérifiées. + +En résumé, les avantages des nouvelles formules d'interpolation +sont les suivants: + +\primop.~Elles s'appliquent aux développements en séries, quelle que +soit la loi suivant laquelle les différents termes se déduisent les uns +des autres, et quelles que soient les valeurs équidifférentes ou non de +la variable indépendante. + +\secundop.~Les nouvelles formules sont d'une application très facile, +surtout quand on emploie les logarithmes pour le calcul des rapports +$\alpha$, $\beta$, $\gamma$,\dots, et des produits de ces rapports par les sommes des +diverses valeurs des fonctions ou de leurs différences. Alors, en effet, +toutes les opérations se réduisent à des additions ou à des soustractions. + +\tertiop.~A l'aide de nos formules les approximations successives s'exécutent +avec une facilité de plus en plus grande, attendu que les +différences des divers ordres vont généralement en diminuant. + +\quartop.~Nos formules permettent d'introduire à la fois dans le calcul les +nombres fournis par toutes les observations données, et d'augmenter +ainsi l'exactitude des résultats en faisant concourir à ce but un très +grand nombre d'expériences. + +5\up{o}.~Elles offrent encore cet avantage, qu'à chaque approximation +nouvelle, les valeurs qu'elles fournissent pour les coefficients $a$, $b$, $c$,\dots\ +\marginpage % *** File: 213.png +sont précisément celles pour lesquelles la plus grande erreur à +craindre est la moindre possible. + +6\up{o}.~Nos formules indiquent d'elles-mêmes le moment où le calcul +doit s'arrêter, en fournissant alors des différences comparables aux +erreurs d'observation. + +7\up{o}.~Enfin les quantités qu'elles déterminent satisfont à des équations +de condition qui ne permettent pas de commettre la plus légère faute +de calcul, sans que l'on s'en aperçoive presque immédiatement. + +On trouvera dans les nouveaux exercices de mathématiques de +nombreuses applications de nos formules d'interpolation. + +\jmpafin + +% *** File: 214.png + +\jmpapaper{NOTE}{} +{Sur un passage de la \emph{Mécanique céleste}, relatif à la +Théorie de la Figure des Planètes;} +{Par J. LIOUVILLE.}{} +\label{art19} + +\mysection{I.} + +On s'est beaucoup occupé de la recherche des formes permanentes +qui peu\-vent convenir à une masse liquide dont les molécules s'attirent +l'une l'autre en raison inverse du carré des distances et tournent autour +d'un axe fixe avec une vitesse angulaire constante. Ce problème, +qui se rattache à la théorie de la figure des planètes, devait naturellement +intéresser les géomètres; mais il n'a pas été résolu par +eux d'une manière générale. On s'est borné d'abord a démontrer +la possibilité de certaines figures d'équilibre. Quand la vitesse angulaire +de rotation est au-dessous d'une limite indiquée par le +calcul, on sait depuis long-temps que deux formes au moins sont +possibles, toutes deux comprises parmi les ellipsoïdes de révolution. +Laplace a observé de plus que, pour une impulsion primitive donnée, +il existe toujours un seul ellipsoïde de révolution satisfaisant aux conditions +d'équilibre du liquide. Mais ces mêmes conditions peuvent être +remplies aussi, dans certains cas, par un ellipsoïde à trois axes inégaux. +Ce dernier théorème est dû à M.~Jacobi. J'en ai donné dans le +XXIII\ieme\ cahier du \emph{Journal de l'École polytechnique} une démonstration +très simple. + +Quand on envisage le problème dont nous nous occupons ici, sous +le point de vue de ses applications à la physique céleste, la question +\marginpage % *** File: 215.png +se simplifie beaucoup à cause du peu de différence qui existe entre la +figure d'une sphère et celle des planètes et des satellites. En négligeant +le carré de cette différence, on prouve en effet que la figure d'équilibre +de la masse fluide est toujours celle d'un ellipsoïde de révolution +dont le petit axe coïncide avec l'axe fixe. Pour démontrer cette +proposition importante, Laplace a employé deux méthodes distinctes +que l'on trouve exposées au livre 3\ieme\ de la \emph{Mécanique céleste}. +La première de ces deux méthodes repose sur la possibilité de développer +une fonction $Y$ de deux variables $\mu$ et $\varpi$ en une série que les +géomètres désignent ordinairement par $Y_0 + Y_1 + Y_2 + \etc$, et dont +les divers termes jouissent de plusieurs belles propriétés aujourd'hui +bien connues. Après l'avoir donnée, Laplace ajoute: «L'analyse précédente +nous a conduits à la figure d'une masse fluide homogène en +équilibre, sans employer d'autres hypothèses que celle d'une figure +très peu différente de la sphère. Elle fait voir que la figure elliptique +qui, par le chapitre précédent, satisfait à cet équilibre, est la seule +alors qui lui convienne. Mais comme la réduction du rayon du sphéroïde +en une série de la forme $a(1 + \alpha Y_0 + \alpha Y_1 + \dotsb )$ peut faire naître +quelques difficultés, nous allons démontrer directement et indépendamment +de cette réduction que la forme elliptique est la seule figure +d'équilibre d'une masse fluide homogène, douée d'un mouvement de +rotation, ce qui, en confirmant les résultats de l'analyse précédente, +servira en même temps à dissiper les doutes que l'on pourrait élever +contre la généralité de cette analyse.» Mais cette seconde solution de +l'illustre auteur nous paraît incomplète, et c'est à en montrer l'imperfection +que la présente note sera consacrée. Le vice de la méthode de +Laplace provient de ce qu'il n'a pas démontré \emph{à priori} que la quantité +$H$ dont il fait usage (\emph{Mécanique céleste}, tome II, page 75) est une +quantité finie: s'il existait une figure d'équilibre pour laquelle on eût +$H=\infty$ (ce qui arriverait par exemple si la variation du rayon du sphéroïde +était proportionnelle au cube du cosinus de la latitude), cette figure +échapperait nécessairement à son analyse. C'est ce que l'on verra +dans le numéro suivant où je m'efforcerai de développer mon objection +avec la clarté désirable. Je montrerai ensuite comment on peut en +effet résoudre la question proposée sans réduire en série le rayon du +sphéroïde. Cette dernière partie de mon travail intéressera peut-être +\marginpage % *** File: 216.png +les géomètres, qui savent combien il est utile de traiter sous plusieurs +points de vue les questions mathématiques délicates. + +\mysection{II.} + +En cherchant à déterminer la figure permanente d'une masse liquide +homogène, dont les molécules s'attirent l'une l'autre avec une force +inversement proportionnelle au carré des distances, et qui tourne +autour d'un axe fixe passant par son centre de gravité, Laplace est +conduit (\emph{Mécanique céleste}, tome~II, page~75) à l'équation +\[ +C = \frac{4\alpha\pi}{3}\ldot Y - \alpha \int_0^\pi \int_0^{2\pi} Y' dp dq' \sin p - \tfrac{1}{2} g(1-\mu^2):\tag{A} +\] +$\mu$ représente une variable comprise entre $-1$ et $+1$; c'est le cosinus +de l'angle que fait avec l'axe de révolution un rayon vecteur quelconque: +$Y$ est une fonction inconnue de $\mu$, et $Y'$ une fonction semblable +de $\mu'$, c'est-à-dire de $\mu \cos^2 p -\sin^2 p \cos q'$ : $\alpha$, $g$, $C$ sont des +constantes. Pour déterminer $Y$, Laplace différentie trois fois par rapport +à $\mu$ l'équation (A), et, en observant que $\dfrac{d\mu'}{d\mu} = \cos^2 p$, il +trouve +\[ +0 = \frac{4\pi}{3}\ldot \frac{d^3Y}{d\mu^3} - \int_0^\pi \int_0^{2\pi} dp dq' \sin p \cos^6 p\ldot \frac{d^3Y'}{d\mu'^3}, +\] +ou, ce qui est la même chose, +\[ +0 = \int_0^\pi \int_0^{2\pi} dp dq' \sin p \cos^6 p\Big(\frac{7}{3}\ldot \frac{d^3Y}{d\mu^3} - \frac{d^3Y'}{d\mu'^3}\Big). +\] +«Cette équation, dit-il, doit avoir lieu quel que soit $\mu$: or il est clair +que parmi toutes les valeurs de $\mu$ comprises depuis $\mu=-1$ jusqu'à +$\mu = 1$, il en existe une que nous désignerons par $h$ et qui est +telle, qu'abstraction faite du signe, aucune des valeurs de $\dfrac{d^3Y}{d\mu^3}$ ne +surpassera celle qui est relative à $h$: en désignant donc par $H$ cette +dernière valeur, on aura +\[ +0 = \int_0^\pi \int_0^{2\pi} dp dq' \sin p \cos^6 p\Big(\frac{7}{3}H - \frac{d^3Y'}{d\mu'^3}\Big). +\] +\marginpage % *** File: 217.png +La quantité $\dfrac{7}{3}H - \dfrac{d^3Y'}{d\mu'^3}$ est évidemment du même signe que $H$, et +le facteur $\sin p \cos^6 p$ est constamment positif dans toute l'étendue de +l'intégrale: les éléments de cette intégrale sont donc tous du même +signe que $H$, d'où il suit que l'intégrale entière ne peut être nulle +à moins que $H$ ne le soit lui-même, ce qui exige que l'on ait +généralement $0 = \dfrac{d^3Y}{d\mu^3}$, d'où l'on tire, en intégrant, $Y = l + m\mu + n\mu^2$, +$l$, $m$, $n$ étant des constantes arbitraires.» + +Ce raisonnement est spécieux et peut séduire au premier aperçu; +mais, en y réfléchissant davantage, on voit qu'il cesserait d'être applicable +si le maximum de la fonction $\dfrac{d^3Y}{d\mu^3}$ pouvait être infini, ce qui +arriverait si l'on avait par hasard +\[ +Y = (1 - \mu^2)^{\frac{3}{2}},\qtext{ou} +Y = (1 - \mu^2)^{\frac{7}{3}},\quad \etc, +\] +en sorte que pour l'employer avec sécurité, il faudrait avoir prouvé +\emph{à~priori} que la dérivée $\dfrac{d^3Y}{d\mu^3}$ ne devient infinie pour aucune valeur de $\mu$, +ce que Laplace ne fait nulle part. Pour nous convaincre de l'inexactitude +du principe sur lequel il s'appuie, considérons un exemple très +simple; et proposons de trouver la fonction $\phi(x)$ qui satisfait à l'équation +\[ +\tag{B} +\int_0^1 \phi(\alpha x) d\alpha = \frac{3}{10} \phi(x), +\] +$x$ étant une variable indépendante. En différentiant trois fois l'équation (B) +par rapport à $x$, il vient +\[ +\int_0^1 \alpha^3 \phi'''(\alpha x) d\alpha = \frac{3}{10} \phi'''(x), +\] +ou, ce qui est la même chose, +\[ +\tag{C} +\int_0^1 \alpha^3\Big[\frac{12}{10} \phi'''(x) - \phi'''(\alpha x)\Big] d\alpha = 0. +\] + +Maintenant en appliquant à l'équation (C) et à la fonction $\phi(x)$ le +raisonnement de Laplace, sans y changer un seul mot, on trouvera +comme ci-dessus $\phi'''(x) = 0$, ce qui est absurde; car la valeur de +\marginpage % *** File: 218.png +$\phi(x)$ qui satisfait à l'équation (B) est évidemment de la forme +$\phi(x)= Ax^{\frac{7}{3}}$, $A$ désignant une constante arbitraire. + +En mettant l'équation +\[ +\int_0^1 \phi(\alpha x) d\alpha = 2\phi(x) +\] +sous la forme +\[ +\int_0^1 d\alpha [\phi(\alpha x)-2\phi(x)] =0, +\] +on en conclura de même $\phi(x)=0$, tandis que $\phi(x)$ peut avoir +cette valeur plus générale $\phi(x)=\dfrac{A}{\sqrt{x}}$. + +Pour que la démonstration de Laplace fût suffisante, il faudrait donc +que ce grand géomètre eût montré d'abord que la dérivée $\dfrac{d^3Y}{d\mu^3}$ a +toujours une valeur finie. Et l'on ne doit pas dire que, dans son analyse, +il exclut implicitement les cas où l'on aurait +\[ +H=\infty, +\] +car il se propose de prouver non pas que la figure ellipsoïdale satisfait +à l'équilibre de la masse fluide supposée presque sphérique, mais bien +qu'aucune autre figure ne peut y satisfaire. Exclure d'avance certaines +formes de la fonction $Y$, serait évidemment aller contre le but qu'il +indique lui-même et ruiner par le fait sa propre démonstration. La +seule condition à laquelle la fonction $Y$ soit soumise, c'est de ne devenir +jamais infinie. Ainsi, pour trouver la valeur de $Y$, satisfaisant +à l'équation (A), il faut employer une méthode très différente de +celle de Laplace. Je vais exposer cette méthode. + +\mysection{III.} + +Soient $Ox$, $Oy$, $Oz$ trois axes rectangulaires. Imaginons autour du +point $O$ une masse fluide homogène $A$ qui tourne autour de l'axe $Oz$ +avec une vitesse constante et dont les molécules s'attirent l'une l'autre +en raison inverse du carré des distances. La figure permanente de +cette masse liquide dépendra de l'intensité de la force centrifuge qui +\marginpage % *** File: 219.png +s'exerce à la distance 1 de l'axe de rotation: nous désignerons cette intensité +par $g$ et nous la supposerons assez petite pour que la figure du +liquide soit très peu différente de celle d'une sphère. Nous prendrons +en outre pour unité la force attractive produite à l'unité de distance entre +deux masses égales à l'unité. Cela étant, considérons un point $M$ placé +à la surface libre du liquide : nommons $\theta$ l'angle $MOz$ et $\mu$ le cosinus +de $\theta$, $r$ le rayon vecteur $OM$, $\varpi$ l'angle compris entre la projection +de $r$ sur le plan des $xy$ et l'axe des $x$ : représentons par $\theta'$, $\mu'$, $r'$, $\varpi'$ +les quantités analogues à $\theta$, $\mu$, $r$, $\varpi$ pour un autre point $M'$ pris dans +l'intérieur de $A$. L'élément de $A$ dont le centre est en $M'$ sera exprimé +par $r'^2 \sin\theta' d\theta' d\varpi' dr'$ ou par $r'^2 d\mu' d\varpi' dr'$. La distance du point $M$ au +point $M'$ sera +\[ +\sqrt{r^2 + r'^2 - 2rr'P}, +\] +$P$ étant le cosinus de l'angle compris entre les deux droites $r$ et $r'$, en +sorte que l'on a +\[ +P = \cos\theta \cos\theta' + \sin\theta \sin\theta' \cos(\varpi-\varpi'), +\] +ou +\[ +P = \mu\mu' + \sqrt{1-\mu^2} \sqrt{1-\mu'^2}\ldot\cos(\varpi-\varpi'). +\] +La somme $V$ des éléments de $A$ divisés par leurs distances respectives +au point $M$ sera exprimée par l'intégrale triple +\[ +V = \iiint \frac{r'^2 d\mu' d\varpi' dr' }{\sqrt{r^2+r'^2-2rr'P} }, +\] +les intégrations s'étendant à la masse $A$ tout entière. Et la figure permanente +de cette masse sera déterminée par l'équation +\[ +V + \frac{gr^2}{2} (1-\mu^2) =\text{constante},\tag{1} +\] +qu'il est aisé de démontrer par les formules connues de l'hydrostatique. +L'équation (1) doit servir, comme on voit, à déterminer $r$ en fonction +des deux variables indépendantes $\mu$, $\varpi$. + +Nous supposerons désormais que l'origine $O$ est placée au centre de +gravité du sphéroïde: nous désignerons par $a$ la plus petite valeur de +\marginpage % *** File: 220.png +$r$: la valeur générale de ce rayon vecteur sera donc de la forme +\[ +r = a(1 + \alpha Y), +\] +$\alpha$ étant un très petit coefficient et $Y$ une fonction inconnue de $\mu$ et $\varpi$: +à cause de la petitesse de $\alpha$ et de $g$, on négligera dans le calcul les +quantités de l'ordre $\alpha g$ et de l'ordre $\alpha^2$. La valeur de $V$ se composera +de deux parties distinctes: l'une relative à la sphère du rayon $a$ est +exprimée par +\[ +\frac{4\pi a^2 }{3} (1 - \alpha Y): +\] +l'autre, relative à l'excès du sphéroïde sur la sphère, a pour valeur +\[ +\alpha\ldot a^2\ldot\int_{-1}^{+1} \int_0^{2\pi} \frac{Y'd\mu' d\varpi' }{\sqrt{2 - 2P} }: +\] +$Y'$ désigne ce que devient $Y$ lorsqu'on y change $\mu$ en $\mu'$ et $\varpi$ en $\varpi'$. + + + + +\mysection{IV.} + +Cette expression de $V$, savoir, +\[ +V = \frac{4\pi a^2 }{3} (1 - \alpha Y) + \alpha a^2 \int_{-1}^{+1} \int_0^{2\pi} \frac{Y'd\mu' d\varpi' }{\sqrt{2 - 2P} },\tag{2} +\] +n'est pas la seule dont on puisse faire usage. D'après la transformation +très ingénieuse donnée par Laplace à la page 73\footnote{% +A la page citée, Laplace considère spécialement un sphéroïde de révolution; +mais son analyse est générale et s'étend sans modifications à tous les sphéroïdes +très peu différents de la sphère.} +du tome II de la +\emph{Mécanique céleste}, on a aussi +\[ +V = \frac{4\pi a^2 }{3} (1 - \alpha Y) + \alpha a^2 \int_{0}^{\pi} \int_0^{2\pi} Y'\sin p dpdq',\tag{3} +\] +les nouvelles variables $p$, $q'$, étant liées aux anciennes $\mu'$, $\varpi'$ par deux +relations dont l'une est +\marginpage % *** File: 221.png +\[ +\mu' = \mu\cos^2p - \sin^2p\cos q', +\] +et dont l'autre est inutile à l'objet que nous nous proposons ici. + +En comparant ces deux valeurs de $V$, qui doivent être identiquement +égales, on tombe sur une formule remarquable, savoir +\[ +\int_{-1}^{+1}\int_0^{2\pi}\frac{Y'd\mu'd\varpi'}{\sqrt{2-2P}} = \int_0^\pi\int_0^{2\pi} Y' \sin pdpdq'. +\] +Dans cette formule, la fonction $Y$ de $\mu$, $\varpi$ est arbitraire: toutefois elle +ne doit jamais devenir infinie, lorsque $\mu$ varie de $-1$ à $+ 1$ et $\varpi$ de 0 +à $2\pi$. Lorsque $Y$ est une fonction $F(\mu)$ indépendante de $\varpi$, on a, +d'après cela, +\[ +\int_{-1}^{+1}\int_0^{2\pi}\frac{F(\mu')d\mu'd\varpi'}{\sqrt{2-2P}} = \int_0^\pi\int_0^{2\pi} F(\mu\cos^2p - \sin^2p\cos q')\sin pdpdq'. +\] +En particulier si l'on pose $F(\mu) =\mu^n$, $n$ étant un nombre entier positif +quelconque, il vient +\[ +\int_{-1}^{+1}\int_0^{2\pi}\frac{\mu'^n d\mu'd\varpi'}{\sqrt{2-2P}} = \int_0^\pi\int_0^{2\pi} (\mu\cos^2p - \sin^2p\cos q')^n\ldot\sin pdpdq', +\] +et comme l'intégrale placée au second membre est toujours facile à +calculer, on voit qu'il en sera de même de l'autre intégrale +\[ +\int_{-1}^{+1}\int_0^{2\pi}\frac{\mu'^n d\mu'd\varpi'}{\sqrt{2-2P}}: +\] +en développant en effet $(\mu\cos^2p - \sin^2p\cos q')^n$ par la formule du binome +de Newton et multiplant ensuite les divers termes de ce développement +par $\sin p dp dq'$, il est évident que l'intégrale du premier +terme $\mu^n\cos^{2n}p \sin p dp dq'$ sera $\dfrac{4\pi\mu^n}{2n+1}$: +celle du terme suivant sera +nulle ainsi que celle de chaque terme de rang pair: le résultat de +l'intégration sera donc une fonction entière de $\mu$ de la forme +\[ +\frac{4\pi\mu^n}{2n+1}+C_1\mu^{n-2} + C_2\mu^{n-4} + \dotsb , +\] +$C_1$, $C_2$,\dots\ étant des constantes dont il est inutile d'écrire ici les valeurs; +\marginpage % *** File: 222.png +et l'on aura +\[ +\int_{-1}^{+1}\int_0^{2\pi}\frac{\mu'^n d\mu'd\varpi'}{\sqrt{2-2P}} = \frac{4\pi\mu^n}{2n+1}+C_1\mu^{n-2} +\text{etc}. +\] +En changeant $\mu'$ en $\mu$ et $\mu$ en $\mu'$, ce qui n'altère pas la valeur de $P$, +on obtiendra semblablement +\[ +\int_{-1}^{+1}\int_0^{2\pi}\frac{\mu^n d\mu d\varpi'}{\sqrt{2-2P}} = \frac{4\pi\mu'^n}{2n+1}+C_1\mu'^{n-2} +\text{etc}.\tag{4} +\] +La formule (4) nous sera par la suite d'un grand secours. + +\mysection{V.} + +En mettant pour $V$ sa valeur (2) dans l'équation (1) et observant +que l'on peut, à cause de la petitesse de $g$, poser $r=a$ dans le second +terme, cette équation devient +\[ +\frac{4\pi a^2}{3}(1-\alpha Y) + \alpha a^2\int_{-1}^{+1}\int_0^{2\pi}\frac{Y' d\mu'd\varpi'}{\sqrt{2-2P}} + \frac{a^2g}{2}(1-\mu^2)=\text{const.}; +\] +ou plus simplement +\[ +\frac{4\pi}{3}Y - \int_{-1}^{+1}\int_0^{2\pi}\frac{Y' d\mu'd\varpi'}{\sqrt{2-2P}} = C + \frac{g}{2\alpha}(1-\mu^2),\tag{5} +\] +$C$ étant une constante. On pourra aussi lui donner cette autre forme +équivalente +\[ +\frac{4\pi}{3}Y - \int_{0}^{\pi}\int_0^{2\pi}Y'\sin pdpdq' = C + \frac{g}{2\alpha}(1-\mu^2),\tag{6} +\] +en employant la valeur (3) de $V$. Pour en tirer $Y$, le moyen le plus +simple est de développer cette inconnue en une série $Y_0 + Y_1 + \etc$ +dont les géomètres ont étudié les propriétés avec beaucoup de soin. +La solution dont je parle est exposée à la page 69 du deuxième +volume de la \emph{Mécanique céleste}: nous ne voulons point nous +en occuper ici. Observons seulement que, pour que cette méthode +soit complète et rigoureuse, il faut qu'on ait démontré \emph{à +priori} la possibilité de représenter par un développement de la forme +\marginpage % *** File: 223.png +$Y_0 + Y_1 + \dotsb $ (entre les limites $-1$, $+1$, et 0, $2\pi$ de $\mu$ et de $\varpi$) +toute fonction $Y$ qui ne devient pas infinie entre ces limites. Laplace +ne possédant pas une telle démonstration avait lieu de craindre que sa +méthode ne fût insuffisante. C'est ce qui l'a porté à chercher un autre +procédé pour déterminer, directement et indépendamment des suites +infinies, la valeur de $Y$ qui satisfait à l'équation (5). Mais, comme je +l'ai expliqué dans l'introduction, le principe dont il a fait usage est +tout-à-fait inadmissible. Nous allons donc essayer d'atteindre par une +autre voie le but qu'il s'était proposé, savoir de trouver la valeur de +$Y$, sans recourir à l'emploi des séries. + +Nous décomposerons, comme lui, la question en deux parties. + +\primop.~Nous supposerons que la figure du sphéroïde en équilibre soit +de révolution: $Y$ sera alors fonction de $\mu$ seulement, et, dans cette +hypothèse, nous en déterminerons la valeur. + +\secundop.~Nous prouverons qu'en effet la figure du sphéroïde ne peut être +que de révolution. Pour cette dernière partie du problème, nous +renverrons le lecteur au livre III\ieme\ de la \emph{Mécanique céleste}, où elle est +traitée d'un manière exacte et complète: c'est donc à la première qu'il +faut spécialement nous attacher. + +\mysection{VI.} + +D'après un théorème connu, démontré par Maclaurin, nous savons +d'avance que l'équilibre de la masse fluide peut subsister en attribuant +à cette masse la forme d'un ellipsoïde de révolution. Il est donc évident +qu'on aura une solution particulière de l'équation (6), et par +suite de l'équation (5), en posant $Y = M + N\mu^2$ et en déterminant +convenablement les constantes $M$, $N$. En substituant cette valeur +de $Y$, on trouve en effet qu'elle satisfera à l'équation (6) si l'on prend +\[ +M=\dfrac{3g}{16\alpha\pi}-\dfrac{3C}{8\pi},\quad N=-\dfrac{15g}{16\alpha\pi}. +\] +Cela posé, la valeur générale de $Y$ pourra être mise sous la forme +\[ +Y=\dfrac{3g}{16\alpha\pi}-\dfrac{3C}{8\pi}-\dfrac{15g}{16\alpha\pi}\ldot\mu^2+Z,\tag{7} +\] +$Z$ étant une fonction inconnue de $\mu$ qui doit satisfaire à l'équation +\marginpage % *** File: 224.png +nouvelle +\[ +\frac{4\pi}{3}\ldot Z - \int_{-1}^{+1}\int_0^{2\pi}\frac{Z'd\mu' d\varpi'}{\sqrt{2-2P}} = 0,\tag{8} +\] +dans laquelle $Z'$ désigne ce que devient $Z$ lorsqu'on y change $\mu$ en +$\mu'$. On déduit l'équation (8) de l'équation (5) en y remplaçant $Y$ par +sa valeur (7): la solution particulière $Y = M + N\mu^2$ que l'on a obtenue +à l'aide de l'équation (6) sert, comme on voit, à faire disparaître +le second membre $C + \dfrac{g}{2\alpha}(1-\mu^2)$ de l'équation (5). + +\mysection{VII.} + +Nous allons prouver que la fonction inconnue $Z$ est égale à zéro. +Pour cela nous ferons usage du théorème suivant qui se trouve démontré +dans mon \emph{Journal de Mathématiques} (tome II, page 1): + +«Soit $\Psi(\mu)$ une fonction de $\mu$ déterminée mais inconnue, qui ne +devienne jamais infinie lorsque $\mu$ croît de $-1$ à $+1$. Si l'on a +constamment ${\dint_{-1}^{+1}}\mu^n\Psi(\mu)d\mu=0$, $n$ étant un quelconque des nombres +entiers 0, 1, 2, 3,\dots, on aura aussi $\Psi(\mu) = 0$, entre les +limites $\mu = -1$, $\mu = +1$.» + +Pour prouver que $Z = 0$, il suffira donc de prouver que l'on a +\[ +\int_{-1}^{+1}\mu^nZd\mu=0, +\] +$n$ étant un nombre entier quelconque, nul ou positif. + +En multipliant par $d\mu$ les deux membres de l'équation (8) et intégrant +ensuite depuis $\mu = -1$ jusqu'à $\mu = +1$, on a +\[ +\int_{-1}^{+1}Zd\mu - \int_{-1}^{+1}d\mu \int_{-1}^{+1}d\mu' \int_{0}^{2\pi} \frac{Z'd\varpi'}{\sqrt{2-2P}}=0. +\] +L'intégrale triple contenue dans l'équation que je viens d'écrire peut +être mise sous la forme +\[ +\int_{-1}^{+1}Z'd\mu' \int_{-1}^{+1}d\mu \int_{0}^{2\pi} \frac{d\varpi'}{\sqrt{2-2P}}. +\] +Mais par la formule (4) il vient +\marginpage % *** File: 225.png +\[ +\int^{+1}_{-1} d\mu \int^{2\pi}_0 \dfrac{d\varpi'}{\sqrt{2-2P}}=4\pi: +\] +notre intégrale triple est donc égale à +\[ +4\pi\int^{+1}_{-1}Z'd\mu', +\] +ou, ce qui est la même chose, à +\[ +4\pi\int^{+1}_{-1}Zd\mu. +\] +Par suite on a +\[ +\dfrac{4\pi}{3}\int^{+1}_{-1}Zd\mu-4\pi\int^{+1}_{-1}Zd\mu=0, +\] +ce qui exige que +\[ +\int^{+1}_{-1}Zd\mu=0. +\] +Pour prouver que ${\dint^{+1}_{-1}}\mu Zd\mu=0$, il faut se rappeler que l'origine +$O$ des coordonnées est en même temps le centre de gravité du sphéroïde. +En effet le moment de l'élément $r'^2d\mu'd\varpi'dr'$ par rapport au +plan des $xy$ est +\[ +r'^3\ldot\mu'd\mu'd\varpi'dr' : +\] +pour que ce plan contienne le centre de gravité, il faut donc que l'on ait +\[ +\iiint r'^3\ldot\mu'd\mu'd\varpi'dr' = 0, +\] +les intégrales s'étendant au volume entier du liquide. On effectuera +d'abord l'intégrale relative à $r'$ depuis $r' = 0$ jusqu'à $r' = a(1 +\alpha Y')$, +et en négligeant le carré et les puissances supérieures de $\alpha$, on aura +\[ +\int^{+1}_{-1}\int^{2\pi}_0\mu'\ldot(1+4\alpha Y)'d\mu'd\varpi' = 0: +\] +$Y'$ étant indépendant de $\varpi'$, cette équation de condition se réduit à +\[ +\int^{+1}_{-1}\mu'Y'd\mu'\qtext{ou}\int^{+1}_{-1}\mu Yd\mu=0, +\] +\marginpage % *** File: 226.png +d'où résulte immédiatement +\[ +\int_{-1}^{+1} \mu Zd\mu = 0, +\] +puisque $Y$ ne diffère de $Z$ que par la fonction paire $M + N\mu^2$. + +Actuellement il suffira de prouver que si les intégrales +\[ +\int_{-1}^{+1} Zd\mu,\quad \int_{-1}^{+1} \mu Zd\mu,\ldots \int_{-1}^{+1} \mu^{n-1}Zd\mu +\] +sont nulles pour une certaine valeur de $n$ égale à 2 ou > 2, l'intégrale +suivante ${\dint_{-1}^{+1}} \mu^n Zd\mu$ est nulle aussi. Cela fait, il sera rigoureusement +prouvé que l'on a $Z = 0$. + +Or en multipliant par $\mu^nd\mu$ les deux membres de l'équation (8) et +intégrant par rapport à $\mu$, on obtient +\[ +\frac{4\pi}{3}\int_{-1}^{+1} \mu^n Zd\mu -\int_{-1}^{+1} \mu^n d\mu\int_{-1}^{+1} d\mu' \int_{0}^{2\pi} \frac{Z'd\mu'd\varpi'}{\sqrt{2-2P}}=0. +\] +L'intégrale triple contenue dans cette équation, étant mise sous la +forme +\[ +\int_{-1}^{+1} Z'd\mu' \int_{-1}^{+1} \mu^n d\mu \int_{0}^{2\pi} \frac{d\varpi'}{\sqrt{2-2P}}, +\] +devient, en vertu de la formule (4), +\[ +\int_{-1}^{+1} Z'd\mu' \Big(\frac{4\pi\mu'^n}{2n+1} + C_1\mu'^{n-2} + \etc\Big): +\] +changeant $\mu'$ en $\mu$ sous le signe $\int$ et omettant les termes multipliés +par les intégrales nulles +\[ +\int_{-1}^{+1} \mu^{n-2}Zd\mu, \quad \int_{-1}^{+1} \mu^{n-4}Zd\mu, \etc, +\] +elle se réduit à +\[ +\frac{4\pi}{2n+1}\int_{-1}^{+1} \mu^nZd\mu, +\] +en sorte que l'on a +\[ +\frac{4\pi}{3}\int_{-1}^{+1} \mu^nZd\mu - \frac{4\pi}{2n+1}\int_{-1}^{+1} \mu^nZd\mu=0, +\] +et par conséquent +\marginpage % *** File: 227.png +\[ +\int^{+1}_{-1}\mu^n Z d\mu = 0,\] +puisque $2n+1$ est $> 3$. + +Concluons de cette analyse qu'en se bornant aux sphéroïdes de révolution, +les formes possibles d'équilibre très peu différentes de la +sphère sont représentées par l'équation générale +\[ +r = a(1+\alpha Y) = a\Big(1+\frac{3g}{16\pi}-\frac{3\alpha C}{8\pi}-\frac{15g}{16\pi}\ldot\mu^2\Big),\] +laquelle se simplifie en observant que $a$ représente (\no III) la plus petite +valeur de $r$: en effet la plus petite valeur de $r$ répond à $\mu^2 = 1$: +on a donc +\[ +a\Big(1+\frac{3g}{16\pi}-\frac{3\alpha C}{8\pi}-\frac{15g}{16\pi}\Big) = a,\] +d'où l'on tire +\[ +a\Big(1+\frac{3g}{16\pi}-\frac{3\alpha C}{8\pi}\Big) = a\Big(1+\frac{15g}{16\pi}\Big),\] +et par suite, +\[ +\tag{9} r= a\Big[1+ \frac{15g}{16\pi}(1-\mu^2)\Big]. +\] + +L'équation (9) est celle d'un ellipsoïde qui se réduit à une sphère lorsque +$g = 0$; en sorte que la sphère est la seule figure de révolution +qui satisfasse à l'équilibre d'une masse fluide homogène immobile, du +moins lorsqu'on suppose \emph{à priori} cette figure presque sphérique. + +C'est en partant de ce dernier théorème que l'on prouve ensuite que +parmi toutes les figures très peu différentes de la sphère (qu'elles +soient ou non de révolution) une seule peut satisfaire à la condition +d'équilibre du fluide tournant autour d'un axe. En sorte que la surface +de ce fluide est nécessairement celle de l'ellipsoïde déterminé par +l'équation (9). Mais sur ce point, comme nous l'avons déjà dit, nous +renverrons au livre III\ieme\ de la \emph{Mécanique céleste} (tome II, page 76.) + +\jmpafin + +% *** File: 228.png + +\jmpapaperl{EXTRAIT}{} +{D'un Mémoire sur le développement des fonctions en séries +dont les différents termes sont assujettis à satisfaire à une +même équation différentielle linéaire, contenant un paramètre +variable;} +{Par MM.~C. STURM et J. LIOUVILLE.}{} +\label{art20} + +Soient $x$ une variable indépendante comprise entre deux limites données +x, X; $g$, $k$, $l$ trois fonctions positives de $x$; $r$ un paramètre indéterminé; +et $V$ une fonction de $x$ et de $r$, qui satisfasse à la fois à +l'équation indéfinie +\[ +\frac{d\Big(k\dfrac{dV}{dx}\Big) }{dx } + (gr-l) V = 0,\tag{1} +\] +et à la condition définie +\[ +\frac{dV}{dx}-hV=0\qtext{pour} x=\x,\tag{2} +\] +dans laquelle $h$ représente un nombre donné positif. Il est aisé de trouver +une fonction $V$ qui vérifie ces deux équations et qui ne devienne +identiquement nulle pour aucune valeur déterminée de $r$, lorsque $x$ +reste indéterminée. On s'est beaucoup occupé des propriétés de la +fonction $V$ dans différents mémoires auxquels nous renverrons le +lecteur\footnote{% +Tome I de ce Journal, pages 106, 253, 269, 373, et tome II, page 16 \pdf{art4}.}. + +\marginpage % *** File: 229.png +Désignons par $H$ un coefficient positif et par $\varpi(r)$ ce que devient la +quantité $\dfrac{dV}{dx} + HV$ lorsqu'on y fait $x = X$: on sait que l'équation +$\varpi(r) = 0$ a une infinité de racines toutes réelles et positives que nous +nommerons $r_1$, $r_2$,\dots\ $r_n$,\dots\ en les supposant rangées dans un ordre +de grandeurs croissantes. Nous représenterons par $V_n$ ou $V_n(x)$ ce que +devient $V$ lorsqu'on fait $r=r_n$. Ainsi l'on aura à la fois +\begin{alignat*}{2} +&\rlap{$\displaystyle\frac{d\Big(k\dfrac{dV_n}{dx}\Big) }{dx } + (gr_n-l) V_n = 0,\hfill$}\tag{3}\\ +&\frac{dV_n}{dx} - hV_n&&=0 \qtext{pour} x = \x,\tag{4}\\ +&\frac{dV_n}{dx} + HV_n&&=0 \qtext{pour} x = X.\tag{5} +\end{alignat*} + +Cela posé, on peut chercher à sommer la série +\[ +\sum\left\{\frac{\displaystyle V_n \int_\x^X gV_nf(x)dx}{{\dint_\x^X} gV_n^2dx}\right\},\tag{6} +\] +dans laquelle le signe $\sum$ s'applique aux valeurs successives 1, 2, 3,\dots\ +de l'indice $n$, et où $f(x)$ est une fonction arbitraire de $x$ qui ne devient +jamais infinie. Soit $F(x)$ la somme demandée. Il s'agit de prouver +d'une manière directe et rigoureuse que l'on a $F(x) = f(x)$. Déjà +l'un de nous a traité cette question dans un mémoire particulier; +mais comme la série (6) se présente dans une foule de problèmes de +physique mathématique, nous avons pensé qu'il était bon de revenir +sur ce sujet. Au surplus, la méthode dont nous allons faire usage +diffère beaucoup de celle que l'on a d'abord employée. + +Combinons entre elles les équations (1) et (3); en ayant égard aux +conditions (2), (4), nous aurons sans difficulté +\[ +\int_\x^x gVV_ndx = \frac{k}{r-r_n}\Big(V\frac{dV_n}{dx} - V_n\frac{dV}{dx}\Big). +\] +En posant $x = X$ et se rappelant que, pour cette valeur de $x$, +$\dfrac{dV_n}{dx} + HV_n$ se réduit à zéro et $\dfrac{dV}{dx} + HV$ à $\varpi(r)$, il vient donc +\marginpage % *** File: 230.png +\[ +\tag{7} \int_\x^X gVV_n dx = -KV_n(X)\ldot \frac{\varpi(r)}{r-r_n}; +\] +$K$ et $V_n(X)$ représentent les valeurs respectives de $k$ et de $V_n$ pour +$x = X$. Dans le cas particulier où $r = r_n$, le second membre de la +formule (7) prend la forme $\frac{0}{0}$: en cherchant alors sa vraie valeur par +la règle connue, on trouve +\[ +\tag{8} \int_\x^X gV_n^2 dx = -KV_n(X)\varpi'(r_n). +\] + +D'un autre côté on peut démontrer que la fraction $\dfrac{V}{\varpi(r)}$ est décomposable +en fractions simples. Par les méthodes connues pour ce genre +de décomposition, on obtient +\[ +\frac{V}{\varpi(r)} = \sum\Big\{\frac{V_n}{(r-r_n)\varpi'(r_n)}\Big\}, +\] +d'où résulte +\[ +\tag{9} V = \sum\Big\{\frac{\varpi(r)V_n}{(r-r_n)\varpi'(r_n)}\Big\}. +\] +A l'aide des formules (7) et (8), on peut éliminer $\varpi(r)$, $\varpi'(r_n)$: cette +élimination faite, si l'on multiplie l'équation (9) par $gf(x)dx$ et si +l'on intègre ensuite, on obtient finalement +\[ +\int_\x^X gVf(x)dx = \sum\left\{\frac{{\dint_\x^X} gVV_ndx\ldot {\dint_\x^X} gV_nf(x)dx}{{\dint_\x^X} gV_n^2dx}\right\}. +\] +Mais en multipliant par $gVdx$ et intégrant les deux membres de l'équation +\[ +F(x) = \sum\left\{\frac{V_n{\dint_\x^X} gV_nf(x)dx}{{\dint_\x^X} gV_n^2dx}\right\}, +\] +on a de même +\[ +\int_\x^X gVF(x)dx = \sum\left\{\frac{{\dint_\x^X} gVV_ndx\ldot {\dint_\x^X} gV_nf(x)dx}{{\dint_\x^X} gV_n^2dx}\right\}. +\] +\marginpage % *** File: 231.png +Les deux intégrales +\[ +\int_\text{x}^\text{X} gVf(x) dx,\quad \int_\text{x}^\text{X} gVF(x) dx +\] +sont donc égales entre elles, en sorte que l'on a +\[ +\int_\text{x}^\text{X} gV[F(x) - f(x)] dx = 0. +\] +Cette dernière équation doit avoir lieu quel que soit $r$, et l'on peut +aisément prouver qu'elle entraîne la suivante $F(x) = f(x)$, +C.~Q.~F.~D. + +La méthode que nous venons d'employer pour sommer la série (6) +est à la fois très simple et très générale. Elle peut servir à trouver la +somme d'un grand nombre d'autres séries, comme on le verra dans +notre mémoire, où l'analyse précédente est présentée sous plusieurs +points de vue~\footnotemark. +\footnotetext{L'abondance des matières nous force à différer la publication de ce Mémoire. +L'extrait qu'on vient de lire a déjà été imprimé dans le \emph{Compte rendu des séances +de l'Académie des Sciences}, tome~IV, page~675. \signit{(\bsc{J.~Liouville})}} + +\jmpafin + +% *** File: 232.png + +\jmpapaper{REMARQUES}{} +{Sur les Intégrales des fractions rationnelles;} +{Par M.~POISSON.}{} +\label{art21}\Droit + +Lorsqu'on passe de l'intégrale indéfinie d'une fraction rationnelle à +son intégrale définie, prise entre les limites zéro et l'infini, il arrive +souvent qu'elle se réduit à une fonction algébrique des racines de +l'équation que l'on obtient en égalant à zéro le dénominateur de la +fraction proposée, et qu'elle ne contient plus qu'une seule quantité +transcendante, savoir, le rapport $\pi$ de la circonférence au diamètre. +Mais cette fonction n'est pas du genre de celles que l'on peut exprimer +sans radicaux, au moyen des coefficients de l'équation dont elle +renferme les racines; et quoiqu'elle ne doive avoir qu'une seule valeur, +elle dépend, néanmoins, d'une équation d'un degré supérieur au +premier, dont cette valeur est une racine déterminée. C'est ce que l'on +verra, en effet, par l'exemple suivant, auquel il sera facile d'en +ajouter, si l'on veut, beaucoup d'autres. + +Je désignerai par $a$, $b$, $c$, $g$, $h$, $k$, des constantes données, et j'appellerai +$y$ l'intégrale que je prendrai pour exemple, savoir: +\[ +y = \int_0^\infty \frac{(g + hx^2 + kx^4) dx }{x^6 + ax^4 + bx^2 + c }. +\] + +Soient $-\alpha^2$, $-\beta^2$, $-\gamma^2$, les trois racines, réelles ou imaginaires +de l'équation +\[ +x^6 + ax^4 + bx^2 + c = 0, +\] +résolue par rapport à $x^2$, de sorte qu'on ait +\begin{gather*} +\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = a,\quad +\alpha^2\beta^2 + \gamma^2\alpha^2 + \beta^2\gamma^2 = b,\quad +\alpha^2\beta^2\gamma^2 = c.\tag{1} +\end{gather*} +\marginpage % *** File: 233.png +Afin que le dénominateur de la fraction comprise sous le signe $\int$, ne +passe pas par zéro entre les limites de l'intégration, je supposerai +qu'aucune de ces racines ne soit positive, ce qui exigera que le dernier +terme $c$ soit positif. Les signes de $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, seront ambigus. +Pour fixer les idées, je supposerai aussi que ces trois quantités sont +positives, ou des imaginaires dont la partie réelle est positive. + +Par la règle ordinaire, on aura +\begin{align*} +y &= \frac{g-h\alpha^2 + k\alpha^4 }{(\alpha^2 - \beta^2)(\alpha^2-\gamma^2) } +\int_0^\infty \frac{dx}{x^2+\alpha^2}\\ +&+ \frac{g-h\beta^2 + k\beta^4 }{(\beta^2 - \alpha^2)(\beta^2-\gamma^2) } +\int_0^\infty \frac{dx}{x^2+\beta^2}\\ +&+ \frac{g-h\gamma^2 + k\gamma^4 }{(\gamma^2 - \alpha^2)(\gamma^2-\beta^2) } +\int_0^\infty \frac{dx}{x^2+\gamma^2}. +\end{align*} +Je fais $x = \alpha z$ et $dx = \alpha dz$ dans la première intégrale, $x = \beta z$ +et $dx = \beta dz$ dans la seconde, $x = \gamma z$ et $dx = \gamma dz$ dans la troisième. +D'après l'hypothèse que l'on vient de faire sur les signes de $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, +les limites relatives à la nouvelle variable $z$ seront toujours zéro et +l'infini positif; et à cause de ${\dint_0^\infty}\dfrac{dz}{1+z^2} = \dfrac{1}{2}\pi$, il en résultera +\[ +\frac{2}{\pi} y += \frac{g-h\alpha^2 + k\alpha^4 }{\alpha(\alpha^2 - \beta^2)(\alpha^2-\gamma^2) } ++ \frac{g-h\beta^2 + k\beta^4 }{\beta(\beta^2 - \alpha^2)(\beta^2-\gamma^2) } ++ \frac{g-h\gamma^2 + k\gamma^4 }{\gamma(\gamma^2 - \alpha^2)(\gamma^2-\beta^2) }, +\] +ou bien, en réduisant les trois fractions au même dénominateur, +\begin{gather*} +\frac{2}{\pi}y += \frac{g(\alpha+\beta+\gamma) + h\alpha\beta\gamma ++ k\alpha\beta\gamma(\alpha\beta+\gamma\alpha+\beta\gamma) } +{\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta)(\gamma+\alpha)(\beta+\gamma) }. +\tag{2} +\end{gather*} + +Soit actuellement +\[ +\alpha + \beta + \gamma = u. +\] +En vertu des équations (1), on aura d'abord +\[ +2(\alpha\beta + \gamma\alpha + \beta\gamma) = u^2 - a; +\] +on aura ensuite +\[ +4\left[\alpha^2\beta^2 +\gamma^2\alpha^2 +\beta^2\gamma^2 ++ 2\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma)\right] = (u^2-a)^2, +\] +et, par conséquent, +\begin{gather*} +(u^2-a)^2 - 8u\sqrt{c} - 4b = 0,\tag{3} +\end{gather*} +\marginpage % *** File: 234.png +où l'on regardera $\sqrt{c}$, valeur de $\alpha \beta \gamma$, comme une quantité positive. +Or, il est évident qu'on aurait été conduit à cette même équation (3), +si l'on eût pris pour $u$ l'une des trois quantités $\alpha - \beta - \gamma$, +$\gamma - \alpha - \beta$, $\beta - \gamma - \alpha$, qui se déduisent du trinôme $\alpha + \beta + \gamma$, en +changeant les signes de deux de ses termes, ce qui n'empêche pas le +produit des trois termes, de rester positif et égal à $\sqrt{c}$. Il s'ensuit donc +que les quatre racines de l'équation (5) sont +\[ +\alpha + \beta + \gamma,\quad +\alpha - \beta - \gamma,\quad +\gamma - \alpha - \beta,\quad +\beta - \gamma - \alpha. +\] +D'ailleurs, les trois quantités $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, étant positives ou des imaginaires +dont la partie réelle est positive, il en résulte qu'une au +moins de ces quatre racines sera réelle et positive; et l'on voit aussi que +si l'équation (3) a plusieurs racines de cette espèce, c'est la plus grande +qui exprime la valeur de $\alpha + \beta + \gamma$. En désignant par $p$ la plus +grande racine positive de l'équation (3), il faudra donc prendre, dans +la formule (2), +\[ +\alpha+\beta+\gamma=p,\quad \alpha\beta+\gamma\alpha+\beta\gamma=\tfrac{1}{2}(p^2-a); +\] +comme on a identiquement +\[ +(\alpha+\beta)(\gamma+\alpha)(\beta+\gamma) += (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha\beta+\gamma\alpha+\beta\gamma)-\alpha\beta\gamma, +\] +ou aura, en même temps +\[ +(\alpha+\beta)(\gamma+\alpha)(\beta+\gamma) = \tfrac{1}{2}p(p^2-a)-\alpha\beta\gamma; +\] +et à cause de $\alpha\beta\gamma=\sqrt{c}$, la formule (2) deviendra +\begin{gather*} +\frac{2}{\pi}y += \frac{2gp+2h\sqrt{c}+k(p^2-a)\sqrt{c}} +{p(p^2-a)\sqrt{c}-2c}; +\tag{4} +\end{gather*} +en sorte qu'il suffira de calculer la valeur de la plus grande racine de +l'équation (3), pour en conclure immédiatement la valeur de $y$. + +En remettant pour $y$ l'intégrale que cette lettre représente, on +pourra décomposer cette formule (4), en ces trois autres +\marginpage % *** File: 235.png +\begin{gather*} +\left. +\begin{aligned} +&\int_0^\infty\frac{dx}{X} =\frac{\pi p}{p(p^2-a)\sqrt{c} -2c},\\ +\label{err235}&\int_0^\infty\frac{x^2dx}{X} =\frac{\pi\sqrt{c}}{p(p^2-a)\sqrt{c} -2c},\\ +&\int_0^\infty\frac{x^4dx}{X} =\frac{\pi(p^2-a)\sqrt{c}}{2p(p^2-a)\sqrt{c} -4c}, +\end{aligned} +\qquad\right\} +\tag{5} +\end{gather*} +où l'on a fait, pour abréger, +\[ +x^6+ax^4+bx^2+c = X. +\] + +Si l'on a, par exemple, $a = 0$, $b = 0$, $c = 1$, l'équation (3) +se réduira à $u^4 - 8u = 0$; \label{err235a} +ses quatre racines seront $u = 0$, $u = 2$, +$u=1\pm \sqrt{-3}$; ce sera la seconde qu'il faudra prendre pour $p$; au +moyen de quoi, les équations (5) deviendront +\[ +\int_0^\infty\frac{dx}{1+x^6}=\frac{\pi}{3},\qquad +\int_0^\infty\frac{x^2 dx}{1+x^6}=\frac{\pi}{6},\qquad +\int_0^\infty\frac{x^4 dx}{1+x^6}=\frac{\pi}{3}; +\] +ce qui coïncide avec les valeurs que l'on déduirait de la formule connue +\[ +\label{err235b}\int_0^\infty\frac{x^{m-1} dx}{1+x^n}=\frac{\pi}{n\sin\dfrac{m\pi}{n}}. +\] + +Dans le cas de $a = 3$, $b = 3$, $c = 1$, l'équation (3) a une racine +égale à $3$, et trois racines égales entre elles et à $-1$. En prenant donc +$p = 3$, les formules (5) donneront alors +\[ +\int_0^\infty\frac{dx}{(1+x^2)^3}=\frac{3\pi}{16},\qquad +\int_0^\infty\frac{x^2 dx}{(1+x^2)^3}=\frac{\pi}{16},\qquad +\int_0^\infty\frac{x^4 dx}{(1+x^2)^3}=\frac{3\pi}{16}; +\] +résultats faciles à vérifier, par le procédé de l'intégration par partie. + +En général, si l'on élimine $p$ et $p^2 - a$, entre les trois équations (5), +il vient +\[ +\int_0^\infty\frac{dx}{X}\int_0^\infty\frac{x^4 dx}{X} +- \Big(\int_0^\infty\frac{x^2 dx}{X}\Big)^2 += \frac{\pi}{2\sqrt{c}} \int_0^\infty\frac{x^2 dx}{X}; +\] +équation indépendante de $a$ et $b$, et qui fera connaître immédiatement +l'une des trois intégrales que nous considérons, lorsque les valeurs des +deux autres seront connues. On aura aussi cette autre équation +\[ +\frac{p}{\sqrt{c}}\int_0^\infty\frac{x^2 dx}{X} = \int_0^\infty\frac{dx}{X}; +\] +\marginpage % *** File: 236.png +et quand les deux intégrales qu'elle renferme auront été calculées par +les quadratures, elle fera connaître la valeur approchée de la plus +grande racine positive $p$ de l'équation (3). + +La fraction rationnelle donnée ne contenant toujours que des puissances +paires de la variable; si son dénominateur est du huitième degré, +l'équation dont sa valeur dépendra, se réduira au quatrième +degré, comme l'équation (3), et ce sera encore la plus grande racine +positive de cette équation qu'il faudra employer dans cette valeur. + +Après avoir décomposé une fraction rationnelle en fractions simples +dont les dénominateurs soient du premier ou du second degré; si l'on +suppose que le nombre qui marque le degré du dénominateur de la +fraction proposée devienne infini, le nombre des fractions simples le +deviendra aussi, et elles formeront une série infinie dont la fraction +donnée exprimera la valeur. On obtient par là, sans intégration, +les sommes des diverses séries qu'Euler et D. Bernouilli ont considérées, +et qui sont déterminées d'une autre manière dans mes mémoires +sur les intégrales définies\footnote{% +\emph{Journal de l'École Polytechnique}, XVIII\ieme\ cahier, pages 311 et suivantes.}; +mais je n'ai pas vu que ce moyen conduisît +à des résultats qui ne fussent pas déjà connus. + +\jmpafin + +% *** File: 237.png + +\jmpapaperl{MÉMOIRE}{} +{Sur le degré d'approximation qu'on obtient pour les +valeurs numériques d'une variable qui satisfait à une +équation différentielle, en employant pour calculer ces +valeurs diverses équations aux différences plus ou moins +approchées;} +{Par G. CORIOLIS.}{} +\label{art22} + +Lorsqu'on a à résoudre l'équation +\[ +\frac{dy}{dx} = f(x), +\] +on le fait au moyen de l'intégrale +\[ +y = \tint f(x)dx. +\] +Les valeurs numériques de cette dernière peuvent se calculer par approximation +au moyen de l'équation aux différences +\[ +\Delta y = f(x) \Delta x: +\] +c'est ce qu'on appelle la \emph{méthode des quadratures}. Au lieu de cette +équation aux différences, on emploie encore la suivante: +\[ +\Delta y = \frac{\Delta x }{2} \left[f(x) + f(x + \Delta x)\right]. +\] +C'est pour cette formule que le célèbre Euler a donné les termes d'une +série complémentaire, et que M.~Poisson, dans un mémoire qui fait +partie du recueil de l'Académie, année 1827, a exprimé le reste de +cette série sous une forme analogue à celui de la série de Taylor. +\marginpage % *** File: 238.png +M.~Cauchy est, je crois, le premier qui ait fixé une limite à l'erreur +commise lorsque, pour calculer les valeurs de $y$ tiré de l'équation différentielle +$dy = f(x,y)dx$, où les variables $x$ et $y$ paraissent toutes +deux dans la fonction qui exprime la valeur de $\dfrac{dy}{dx}$, on se sert de +l'équation aux différences +\[ +\Delta y = f(x,y)\Delta x. +\] + +Nous allons d'abord exposer la marche qu'il a suivie, puis nous +donnerons des limites analogues lorsqu'on emploie diverses autres +équations aux différences plus ou moins approchées de l'équation +différentielle. + +Pour faciliter les énoncés, nous concevrons $x$ et $y$ comme étant +deux coordonnées rectangulaires d'un point dans un plan. + +Nous ferons remarquer d'abord que toutes les méthodes d'approximation +pour le calcul des valeurs numériques de $y$ ne peuvent réussir, +comme on le verra, par la recherche même des limites de l'erreur, +qu'autant qu'on sait \emph{à priori} que pour tous les points compris dans un +certain rectangle sur le plan, ni la fonction $f(x, y)$, ni certaines de +ses dérivées ne deviennent infinies, et qu'on peut assigner des nombres +que ces fonctions ne dépassent jamais dans ce rectangle. + +Soit donc $A$ un nombre que $f(x, y)$ ne puisse dépasser dans le +rectangle dont les points extrêmes ont pour coordonnées $x_0$, $x_0 + a$, +$y_0- b$, $y_0+b$. + +Supposons qu'après avoir pris $\Delta x = \dfrac{x-x_0}{n}$, on calcule $y_n$ au +moyen des équations successives +\begin{alignat*}{2} +&y_1 -\ y_0 &&= f(x_0, y_0)\Delta x,\\ +&y_2 -\ y_1 &&= f(x_1, y_1)\Delta x,\\[-1ex] +&\ \vdots\\[-1ex] +&y_n\ {-} y_{n-1} &&= f(x_{n-1}, y_{n-1})\Delta x. +\end{alignat*} +Il s'agit de reconnaître quelle altération recevait cette valeur de $y_n$, +si, au lieu de diviser $x - x_0$ en $n$ parties, on multipliait indéfiniment +les éléments en sous-divisant chacun des accroissements $\Delta x$ en +$m$ éléments $\Delta^1 x$ plus petits. + +\marginpage % *** File: 239.png +Soient $y_r$ et $y_{r+1}$, deux quelconques des $y$ successifs du calcul précédent, +de telle sorte qu'on ait +\[ +y_{r+1} - y_r = f(x_r, y_r)\Delta x, +\] +en sous-divisant $\Delta x$ en $m$ éléments $\Delta^1 x$ et conservant à $x_r$ et à $y_r$ les +mêmes valeurs, on aura une nouvelle valeur de $y_{r+1}$ répondant à +$x_{r+1}$ ou à $x_r + \Delta x$, laquelle résultera des équations successives\label{err239} +\begin{align*} +&y^1_1 = y_r + f(x_r, y_r)\Delta^1 x,\\ +&y^1_2 = y^1_1 + f(x^1_1, y^1_1)\Delta^1 x,\\[-1ex] +&\ \vdots\\[-1ex] +&y_{r+1} = y^1_{m-1} + f(x^1_{m-1}, y^1_{m-1})\Delta^1 x, +\end{align*} +ou $x^1_1$, $x^1_2$, $x^1_3$, \etc\dots, désignant les valeurs de $x$ intermédiaire +entre $x_{r+1}$ et $x_r$ et $y^1_1$, $y^1_2$, $y^1_3$, \etc\dots, les valeurs de $y$ fournies par ces +équations aux différences. On peut les mettre sous cette forme +\begin{align*} +y^1_1 &- y_r = f(x_r, y_r)\Delta^1 x,\\ +y^1_2 &- y_r = f(x_r, y_r)\Delta^1 x + f(x^1_1, y^1_1)\Delta^1 x,\\[-1ex] +&\ \vdots\\[-1ex] +y_{r+1} &- y_r = f(x_r, y_r)\Delta^1 x + \dotsb + f(x^1_{m-1}, y^1_{m-1})\Delta^1 x. +\end{align*} +Tant que $\Delta x$ ne dépassera pas $\dfrac{b}{A}$, c'est-à-dire que $A\Delta x < b$, on sera +sûr que chacune des sommes qui forment les deuxièmes membres sera +inférieure à $A\Delta x$, et qu'ainsi tous les $y$ qui paraissent dans le calcul +seront tous compris entre les limites $y_0 \pm A\Delta x$ ou $y_0 \pm b$. Ainsi, l'on +peut poser +\[ +y_{r+1} = y_r + f(x_r + \theta \Delta x,\ y_r \pm \theta A\Delta x)\Delta x, +\] +$\theta$ étant un nombre fractionnaire entre zéro et l'unité. + +Si donc on désigne par $\delta y_{r+1}$ la différence entre la valeur de $y$ calculée +par l'équation +\[ +y_{r+1} - y_r = f(x_r, y_r)\Delta x, +\] +\marginpage % *** File: 240.png +et celle qui résulte des $m$ sous-divisions de $\Delta x$; on aura +\[ +\delta y_{r+1} = \left[f(x_r + \theta A \Delta x,\ y_r \pm \theta A \Delta x) - f(x_r,y_r)\right]\Delta x. +\] + +Si l'on désigne par $P$ et $Q$ les maxima numériques des dérivées +partielles $\dfrac{\d f(x,y)}{\d x}$ et $\dfrac{\d f(x,y)}{\d y}$ dans l'étendue du rectangle dont nous +avons parlé, et qu'on développe la différence ci-dessus au moyen des +dérivées partielles, on aura toujours +\[ +\delta y_{r+1} < (P + AQ)\Delta x^2. +\] +Il reste à examiner maintenant quelle sera l'altération partielle produite +sur $y_n$ par cette variation $\delta y_{r+1}$ , en supposant que l'on ne change +pas le mode de division entre $y_{r+1}$ et $y_n$, et que cette dernière quantité +ne soit ainsi modifiée que par le seul changement de $y_{r+1}$. + +En désignant de même par $\delta y_{r+2}$, $\delta y_{r+3}$, etc., les variations correspondantes +des quantités $y_{r+2}$, $y_{r+3}$, etc., on aura évidemment\label{err240} +\[ +\delta y_{r+2} = \delta y_{r+1} + \left[f(x_{r+1},\ y_{r+1} + \delta y_{r+1}) - f(x_{r+1}, y_{r+1})\right] \Delta x. +\] +Cette équation fournit l'inégalité suivante: +\[ +\delta y_{r+2} < \delta y_{r+1}(1 + Q\Delta x), +\] +et comme on aura semblablement, +\[ +\delta y_{r+3} < \delta y_{r+2}(1 + Q\Delta x), +\] +et ainsi de suite jusqu'à +\[ +\delta y_n < \delta y_{n-1}(1 + Q\Delta x); +\] +on en déduira +\[ +\delta y_n < \delta y_{r+1}(1 + Q\Delta x)^{n-r-1}. +\] +En appliquant cette formule au premier élément $\Delta x$ à partir de $x_0$, +sa sous-division produisant un changement $\delta y_1$ sur $y_1$, on aura pour +la variation correspondante $\delta_1 y_n$ sur $y_n$ +\[ +\delta_1 y_n < \delta y_1(1 + Q\Delta x)^{n-1}. +\] +Si l'on sous-divise ensuite le second élément $\Delta x$, on produira sur $y_n$ +\marginpage % *** File: 241.png +un deuxième changement qui sera limité par l'inégalité +\[ +\delta_2 y_n < \delta y_2(1 + Q \Delta x)^{n-2}. +\] +On continuera à poser des relations semblables qui limiteront les altérations +partielles +\[ +\delta_3 y_n,\quad \delta_4 y_n, \quad \etc +\] +Il est clair que l'on aura le changement total sur $y_n$ en faisant la somme +\[ +\delta_1 y_n + \delta_2 y_n + \delta_3 y_n +\etc +\] +En la désignant par $\delta y_n$ et se rappelant que toutes ces quantités $\delta_1 y_n, +\delta_2 y_n$, etc., sont toutes inférieures à $(P + AQ)\Delta x^2$; on aura +\[ +\delta y_n < (P + AQ)\Big[\frac{(1 + Q\Delta x)^n - 1 }{Q }\Big] \Delta x. +\] +Cette inégalité subsistant, quel que soit le nombre des nouvelles sous-divisions +de chacun des $n$ éléments $\Delta x$ en d'autres plus petits, elle +aura encore lieu à la limite quand le nouvel $y$ deviendra la valeur +exacte; ainsi elle donne une limite de l'erreur que l'on commet en +prenant $y_n$ au lieu de la limite. + +La marche précédente, tout en donnant une limite pour l'erreur +commise, a l'avantage de démontrer que $y_n$ converge vers une limite +lorsque n croît indéfiniment, et qu'il y a une fonction qui satisfait +à l'équation différentielle: les valeurs de cette fonction peuvent +ainsi se calculer par la méthode précédente avec telle approximation +que l'on voudra. + +Telle est l'analyse qu'on doit à M.~Cauchy. + +Nous remarquerons maintenant que si l'on admet \emph{à priori} que la +fonction $y$ existe, la limite précédente peut être réduite à moitié. En +effet, les valeurs de $y$ répondant à $x_{r+1}$ peuvent être mises sous la +forme +\[ +y = y_r + f(x_r,y_r)\Delta x + \frac{\d f(x_r + \theta\Delta x,\ y_r \pm \theta\Delta x)}{\d x} \frac{\Delta x^2 }{2}. +\] +Or, la valeur approchée de y que nous désignerons par $y_{r+1}$, est donnée +par +\[ +y_{r+1} = y_r + f(x_r,y_r) \Delta x; +\] +\marginpage % *** File: 242.png +Ainsi, la seule sous-division à l'infini des éléments entre $x_r$ et $x_{r+1}$ +fait varier $y$ de +\[ +\frac{\d f(x_r+A \Delta x,\ y_r\pm \theta A \Delta x) }{\d x} \frac{\Delta x^2}{2}, +\] +qui est inférieure à +\[ +(P+AQ)\frac{\Delta x^2}{2}. +\] +C'est la moitié de ce qu'on avait adopté par la marche précédente; +on peut donc poser en général +\[ +\delta y_n < \Big(\frac{P+AQ}{2}\Big) +\Big[\frac{(1+Q \Delta x)^2-1}{Q}\Big]\Delta x. +\] +Il ne faut pas perdre de vue que ces calculs par éléments ne peuvent +réussir et conduire ainsi aux valeurs numériques de l'intégrale $y$ qu'autant +qu'on peut assigner un certain rectangle dans lequel ni la fonction +$f(x, y)$, ni les deux dérivées partielles ne deviennent infinies. +Les coordonnées extrêmes de ce rectangle étant $x_0$, $x_0 + a$, +$y_0 - b$ et $y_0 + b$, on n'est sûr \emph{à~priori} de pouvoir calculer $y$ que +pour une valeur de $x$ qui ne dépasse pas $x_0+\dfrac{b}{A}$, puisque dans ce +cas seulement on sait que quel que soit l'indice $r$ la valeur numérique +de $y_r - y_0$ étant plus petite que $A(x_r - x_0)$ sera alors inférieure +à $b$. + +On peut remarquer que, si la fonction $f(x, y)$ reste positive pour +toute la superficie du demi-rectangle compris entre $y_0$ et $y_0 + b$; +alors on n'a pas besoin de considérer le demi-rectangle inférieur compris +entre $y_0$ et $y_0 - b$ puisqu'on sera sûr alors que dans l'étendue du +calcul les valeurs de $y$ vont en croissant: ce sera l'inverse si $f(x, y)$ +reste négative. + +Examinons maintenant le cas où l'on emploie d'autres équations +aux différences pour calculer les valeurs de $y$. On peut, par exemple, +procéder d'une manière analogue à celle qu'on prend pour les intégrales +définies, quand on leur substitue l'aire d'un polygone au lieu +de la somme des rectangles inscrits. On emploie alors l'équation aux +différences +\[ +\Delta y = \left[f(x,y)+f(x,y + f(x,y) \Delta x) \right] \frac{\Delta x}{2}. +\] +\marginpage % *** File: 243.png +Examinons dans ce cas quelle limite on peut assigner à l'erreur commise. + +Lorsque $y$ n'existe pas dans $f(x,y)$ et que cette fonction est réduite +à $f(x)$, Euler a donné une série pour exprimer le complément nécessaire +pour former la valeur de $y$. M.~Poisson a exprimé le premier le +reste de cette série et a posé ainsi une limite à l'erreur. Il s'est fondé +sur l'analyse propre aux développements des fonctions en séries de +sinus et de cosinus. Nous exprimerons ici le reste par le seul emploi +de la série de Taylor. + +Supposons d'abord qu'on ait une fonction $f(x)$ au lieu de $f(x,y)$ +et que l'équation aux différences soit +\[ +\Delta y = \left[f(x) + f(x+\Delta x)\right] \frac{\Delta x}{2}. +\] +En développant $f(x + \Delta x)$ et s'arrêtant au troisième terme, cette +équation devient +\[ +\Delta y = \Delta x f(x) ++ \frac{\Delta x^2}{2} f'(x) ++ \frac{\Delta x^3}{4} f''(x+\theta \Delta x), +\] +$\theta$ étant un coefficient numérique plus petit que l'unité. Mais la valeur +exacte de $\Delta y$ serait donnée par +\[ +\Delta y = \Delta x f(x) ++ \frac{\Delta x^2}{2} f'(x) ++ \frac{\Delta x^3}{6} f''(x+\theta \Delta x), +\] +ainsi la différence entre les deux $y$ pourra être mise sous la forme de +\[ +\frac{\Delta x^3}{3} f''(x+\theta \Delta x). +\] +Si $A''$ désigne la plus grande valeur numérique de $f''(x)$ pour toutes +les valeurs de $x + \theta \Delta x$ qui peuvent être employées, l'expression ci-dessus +sera inférieure à +\[ +\frac{\Delta x^3}{12} A''. +\] +Revenons maintenant à l'équation différentielle où les deux variables +$x$ et $y$ entrent dans la fonction, et soit +\[ +\frac{dy}{dx} = f(x,y). +\] +\marginpage % *** File: 244.png +Nous déduirons $y_{r+1}$ de $y_r$ par l'équation aux différences +\[ +\Delta y = \left\{\left[f(x,y) + fx, y + f(x,y) \Delta x\right] \right\}\frac{\Delta x}{2}; +\] +posons, pour abréger, +\[ +y + f(x,y) \Delta x =y', +\] +et désignons par $Y$ la valeur exacte de $y$. Nous pourrons remplacer +l'équation aux différences qui fournit les $y$, par la suivante +\[ +\Delta y = \left[f(x,y) + f(x,Y) \right]\frac{\Delta x}{2} +- \left[f(x,Y) - f(x,y')\right]\frac{\Delta x}{2}. +\] +Le premier terme du deuxième membre de cette équation peut être +considéré comme une fonction de $x$, ainsi par la formule qu'on vient +de donner pour ce cas, la différence entre ce terme et ce qu'il devait +être pour donner la valeur exacte $Y$ est plus petite que +\[ +\frac{\Delta x^3}{12} A''. +\] +La quantité $A''$ étant la plus grande valeur numérique de la dérivée de +$f(x,y)$ prise par rapport à $x$, en y regardant $y$ comme une fonction +de $x$. En désignant par $R$, $S$, $T$ les plus grandes valeurs numériques +des trois dérivées partielles du deuxième ordre de $f(x,y)$; +on aura +\[ +A'' < R + 2SA + TA^2 + Q(P + AQ). +\] +Cherchons maintenant une limite du deuxième terme de l'équation +ci-dessus, c'est-à-dire une limite de +\[ +-\left[f(x,Y) - f(x,y')\right] \frac{\Delta x}{2}. +\] +Lorsqu'on veut passer de $x$ à $x + \Delta x$, on a +\[ +Y = y + f(x,y) \Delta x ++ f'(x+\theta \Delta x,\ y \pm \theta A \Delta x) \frac{\Delta x^2}{2}; +\] +de plus, d'après la définition de $y'$, on a +\[ +y' = y + f(x,y) \Delta x, +\] +\marginpage % *** File: 245.png +Ainsi, +\[ +Y = y' + f'(x+\theta \Delta x,\ y \pm \theta A \Delta x) \frac{\Delta x^2}{2}. +\] +Introduisant cette valeur de $Y$ dans $f(x,Y)-f(x,y')$, et remplaçant +cette différence par une valeur moyenne de la dérivée partielle +qui lui correspond, c'est-à-dire, la développant par la formule de +Taylor arrêtée à la première dérivée; on aura +\[ +-\frac{\Delta x^3}{4} +\frac{\d f[x, y + \theta f'(x + \theta \Delta x, y \pm \theta A \Delta x)]}{\d y} +f'(x + \theta \Delta x,\ y \pm \theta A \Delta x). +\] +Ayant désigné par $P$ et $Q$ les plus grandes valeurs numériques des +dérivées partielles $\dfrac{\d f(x,y)}{\d x}$ et $\dfrac{\d f(x,y)}{\d y}$ pour toutes les valeurs de $x$ +et de $y$ qui peuvent être employées dans le calcul, l'expression ci-dessus, +en faisant abstraction du signe, sera inférieure numériquement +à +\[ +\frac{\Delta x^3}{4} (P+AQ)Q. +\] +Ainsi, dans le cas le plus défavorable, où le signe des deux parties +que nous venons de calculer serait le même, la limite de l'erreur +totale commise sur un $y_{r+1}$ quelconque, sera donnée par +\[ +\delta y_{r+1} < \frac{\Delta x^3}{4} \Big[\frac{A''}{3} + (P+AQ)Q\Big]. +\] +Maintenant, il reste à voir quelle influence a l'erreur $\delta y_{r+1}$ sur $y_n$ +quand on sous-divise les éléments $\Delta x$. + +Comme on a +\[ +y_{r+2} += y_{r+1} + \frac{\Delta x}{2} +\left\{f(x_{r+1}, y_{r+1}) ++ f\left[x_{r+1}, y_{r+1} + \Delta x f(x_{r+1}, y_{r+1})\right] +\right\}, +\] +on en déduit +\[ +\delta y_{r+2} < \delta y_{r+1} ++ \frac{\Delta x}{2} +\left[Q \delta y_{r+1} + Q(\delta y_{r+1} + \Delta x Q\delta y_{r+1}) \right], +\] +ou bien, +\[ +\delta y_{r+2} < \delta y_{r+1} \Big(1 + Q \Delta x + Q^2 \frac{\Delta x^2}{2}\Big); +\] +on aura de même +\[ +\delta y_{r+3} < \delta y_{r+2} \Big(1 + Q \Delta x + Q^2 \frac{\Delta x^2}{2}\Big), +\] +et ainsi de suite. +\marginpage % *** File: 246.png + +En multipliant ces inégalités l'une par l'autre, on aura +\[ +\delta_{r+1}y_n < \delta y_{r+1} \Big(1 + Q \Delta x + Q^2 \frac{\Delta x^2}{2} \Big)^{n-r-1}; +\] +l'erreur totale sur $y_n$ est la somme de tous les $\delta_{r+1} y_n$ résultant des +changements produits par les sous-divisions des $\Delta x$; et comme on +a toujours, quel que soit l'indice $r$, +\[ +\delta y_{r+1} < \frac{\Delta x^3}{4} \Big[\frac{A''}{3} + Q(P+AQ)\Big]; +\] +on aura pour l'erreur totale sur $y_n$\label{err246} +\[ +\delta y_n < \frac{\Delta x^2}{4} \left[\frac{A''}{3} ++ (P+AQ)Q \right] +\left[\frac{\Big(1 + Q \Delta x + Q^2 \dfrac{\Delta x}{2} \Big)^n - 1 } +{Q + Q^2 \dfrac{\Delta x}{2} } \right]. +\] +$A''$ étant limité dans cette formule par +\[ +A'' < R + 2SA + TA^2 + (P + AQ) Q. +\] + +Le dernier facteur qui entre dans la limite de $\delta y_n$ prend une valeur +finie pour $\Delta x$ infiniment petit et $n$ infiniment grand; ainsi l'erreur +est de l'ordre de $\Delta x^2$. + +Eu égard aux signes des différences qui ont introduit $A''$ et +$Q (P + AQ)$, on peut remarquer que si la fonction $f(x,y)$ et ses +dérivées du premier et du deuxième ordre étaient de même signe dans +l'étendue du rectangle dont nous avons parlé, alors on pourrait dans +l'expression ci-dessus remplacer le facteur +\[ +\frac{A''}{3} + (P+AQ)Q \qtext{par} \frac{A''}{3} - (P+AQ)Q, +\] +ou par +\[ +R + 2AS + A^2T - \frac{2}{3}Q(P+AQ). +\] + +On peut donner également la limite de l'erreur commise lorsqu'on +emploie une équation aux différences formée d'un certain nombre de +termes de la série de Taylor. + +Ainsi, en partant de +\marginpage % *** File: 247.png +\[ +\Delta y = f(x,y)\Delta x + \frac{\d f(x,y) }{\d x } \frac{\Delta x^2}{2} + \dotsb \frac{\d ^m f'(x,y)}{\d x^m} \frac{\Delta x^m}{1\ldot2\ldot3\ldots m}, +\] +l'erreur commise sur $y + \Delta y$, répondant à $x + \Delta x$, sera moindre +que la plus grande valeur de +\[ +\frac{\d ^{m+1} f(x+\theta\Delta x,y \pm \theta A\Delta x)}{\d x^{m+1} } \ldot \frac{\Delta x^{m+1}}{1\ldot2\ldot3\ldots(m+1) }. +\] +En désignant par $A^{(m+1)}$ la plus grande valeur de la dérivée totale +qui forme le premier facteur de cette expression, et par $\delta y$ l'erreur +sur $y + \Delta y$, on aura +\[ +\delta y < A^{(m+1)}\frac{1\ldot2\ldot3\ldots(m+1) }{\Delta x^{m+1} }. +\] +L'altération de $y_{r+1}$, résultant seulement de celle de $y_r$, sera donnée +par +\[ +\delta y_{r+1} = \delta y_r + \frac{\d f(x_r,y_r \pm \theta\delta y_r) }{\d y } \delta y_r \Delta x + \dotsb \frac{\d ^{m+1} f(x_r,y_r + \theta\delta y_r) }{\d x^m \d y } \frac{\delta y_r \Delta x^m }{1\ldot2\ldots m }. +\] +Si, pour abréger, on pose en général la dérivée totale +$\dfrac{\d ^m f(x,y) }{\d x^m } = a^{(m)}$; on aura +\[ +\delta y_{r+1} = \delta y_r \Big( 1 + \frac{\d a}{\d y} \Delta x + \dotsb \frac{\d a^{(m)}}{\d y}\ldot \frac{\Delta x^m}{1\ldot2\ldots m} \Big), +\] +$y$ devant avoir une valeur entre $y_r$ et $y_r + \delta y_r$, dans les expressions +$\dfrac{\d a}{\d y}\ldots \dfrac{\d a^{(m)}}{\d y}$. + +En procédant comme dans le cas précédent, et désignant les plus +grandes valeurs numériques des dérivées $\dfrac{\d a}{\d y}\ldots \dfrac{\d a^{(m)}}{\d y}$, quel que soit +$y$ dans l'intérieur du rectangle, par\label{err247} +\[ +Q,\ A_1'',\ A_1''',\ \ldots\ A_1^{(m)}, +\] +on trouvera que l'erreur sur $y_n$, résultant du seul changement $\delta y_r$ +sur $y_r$ sera limité par +\[ +\delta_r y_n < \delta y_r \Big(1 + Q\Delta x + A_1''\frac{\Delta x'}{2} + \dotsb + A_1^{(m)} \frac{\Delta x^m}{1\ldot2\ldots m} \Big)^{n-1}. +\] +\marginpage % *** File: 248.png +comme toutes les quantités $\delta y_r$ sont limitées par +\[ +\delta y_r < A^{(m+1)} \frac{\Delta x^{m+1} }{1\ldot2\ldot3\ldots(m+1) }, +\] +et qu'en outre l'erreur totale $\delta y_n$ de $y_n$ est donnée par +\[ +\delta y_n = \delta_1 y_n + \delta_2 y_n + \delta_3 y_n \ldots \delta_n y_n, +\] +on aura +\[ +\delta y_n < \frac{\Delta x^m A^{(m+1)} }{1\ldot2\ldot3\ldots(m+1) } +\left[\frac{\Big(1 + Q\Delta x + \dotsb A_1^{(m)}\dfrac{\Delta x^m}{1\ldot2\ldots m}\Big)^n - 1 } +{Q + A_1' \dfrac{\Delta x}{2} \ldots + A_1^{(m)} \dfrac{\Delta x^m }{1\ldot2\ldots m} } \right]; +\] +le dernier facteur du deuxième membre étant fini quand n devient +infini, la limite de l'erreur est de l'ordre de $\Delta x^m$. + +Lorsque $n$ devient très grand, et par conséquent lorsque $\Delta x$ devient +très petit devant l'intervalle total $x_n - x_0$, on peut poser +\[ +\delta y_n < \frac{\Delta x^m }{1\ldot2\ldot3\ldots m+1 } (m+1) +\Big(\frac{e^{Qn\Delta x} - 1 }{Q }\Big). +\] +Examinons encore ce que devient la limite de l'erreur quand on +emploie pour équation aux différences l'intégrale d'une équation différentielle +linéaire très approchée de l'équation différentielle du problème. + +Suivant que ce sera la variable $x$ ou la variable $y$ qui, par la nature +de la question, variera le moins rapidement en développant $f(x, y)$ à +partir de $x_0$ et $y_0$ suivant les puissances des accroissements de $x$ ou +de $y$, on développera $f(x, y)$ suivant les puissances de l'accroissement +de $x$ ou de $y$. + +Soit donc, pour fixer les idées, $y$ la variable qu'on sait, par la nature +de la question, devoir varier le moins rapidement; on posera +$y = y_0 + \eta$, et l'on remplacera l'équation différentielle +\[ +\frac{\d y}{\d x} = f(x,y) +\] +\marginpage % *** File: 249.png +par l'équation différentielle linéaire +\[ +\frac{\d \eta}{\d x} = f(x, y_0) + \frac{\d f(x, y_0)}{\d y} \eta. +\] +Nous poserons, pour simplifier l'écriture, +\begin{align*} +f(x, y) &= a,\\ +\frac{\d f(x, y)}{\d y} &= q. +\end{align*} +$a$ et $q$ étant ici des fonctions de $x$. L'intégrale de l'équation linéaire +ci-dessus sera +\[ +\eta = e^{\int\! q \d x} \int e^{-\int\! q\d x} a dx, +\] +En se servant de cette équation comme d'une équation aux différences, +on posera +\[ +\Delta y = e^{\int\! q\d x} \int e^{-\int\! q\d x} adx. +\] +On peut encore écrire cette équation sous la forme +\[ +y_{r+1} = y_r + \int_{x_r}^{x_{r+1}} e^{-\tint_{x} +^{x_{r+1}} q\d x} a\d x. +\] +$x_{r+1}$ étant ici égal à $x_r + \Delta x$. + +Pour avoir une limite de la différence entre cette valeur de $y_{r+1}$ et +celle qui est exacte, on remarquera que cette valeur exacte peut +être considérée comme fournie par l'intégrale de l'équation différentielle, +\[ +\frac{dy}{dx} = a + q\eta + \frac{\d^2f(x, y \pm \theta A \Delta x)}{\d y^2} \frac{\eta^2}{2}, +\] +en sorte que la différence entre les deux $y_{r+1}$ sera +\[ +%%[**subscripts unclear] +\delta y_{r+1} = \int_{x_r}^{x_{r+1}} e^{-\tint_x^{x_{r+1}} q \d x} \frac{\d^2f(x, +y \pm \theta A \Delta x)}{\d y^2} \frac{\eta^2}{2} \d x. +\] +\marginpage % *** File: 250.png + +Si $T$ désigne la valeur maximum de $\dfrac{\d^2 f(x,y)}{\d y^2 } $ dans toute l'étendue +du rectangle que nous avons déjà considéré; on aura, en vertu +de ce que l'accroissement $\eta$ de $y$ est petit que $A\Delta x$, +\[ +\delta y_{r + 1} < \frac{\Delta x^2 }{2}A^2 T\int^{x_{r + 1} }_{x_r} e^{- \tint^{x_{r + 1}}_{x} q\d x } dx +\] +or, quel que soit le signe de $q$ on a +\[ +e^{-\tint_{x}^{x_{r + 1} } q\d x } < e^{Q(x_{r + 1} - x)} < e^{Q\Delta x} +\] +et +\[ +\int_{x_r }^{x_{r + 1} } e^{Q\Delta x} dx += e^{Q\Delta x} \Delta x +\] +ainsi on a +\[ +y_{r + 1} < \frac{\Delta x^3 } {2}A^2 Te^{Q\Delta x} +\] +Toutes les erreurs $\delta y_1$, $\delta y_2$, $\delta y_3$, etc., provenant de la même +cause seront inférieures à cette même limite. + +Il reste maintenant à examiner comment une erreur $\delta y_r$, influe sur +$ y_{r + 1}$ tel qu'il a été déterminé par l'équation aux différences +\[ +y_{r + 1} = y_r + \int_{x_r }^{x_{r + 1} } e^{- \tint_x^{x_{r + 1}}q\d x} a\d x +\] +On tire de cette équation, +\[ +\delta y_{r + 1} = \delta y_r + \int_{x_r }^{x_{r + 1} }\frac{\d a}{\d y_r }\delta y_r e^{- \tint_{x}^{x_{r + 1} }q\d x} \d x ++ \int_{x_r }^{x_{r + 1} } a\frac{\d e^{-\tint_{x}^{x_{r + 1} } q\d x }}{\d y_r }\delta y_r \d x, +\] +les dérivées, par rapport à $y$, devant prendre dans cette formule des +valeurs moyennes parmi celles qui répondent aux points compris dans +le rectangle. En remarquant qu'on a +\[ +\frac{\d e^{- \tint_{x }^{x_{r + 1}}q\d x}}{\d y_r } = +- e^{- \tint_{x}^{x_{r + 1}} q\d x} \int_{x}^{x_{r + 1}} \frac{\d q}{\d y_r }, +\] +\marginpage % *** File: 251.png +et en désignant par $T$, comme précédemment, la plus grande valeur +numérique de $\dfrac{\d q}{\d y_r}$; il viendra en conservant aux lettres $A$ et $Q$ +leurs significations précédentes +\[ +\delta y_{r+1} < \delta y_r (1+Qe^{Q \Delta x} \Delta x + ATe^{Q \Delta x} \Delta x). +\] +De toutes les inégalités semblables, on conclut +\[ +\delta_r y_{n} < \delta y_r [1+Qe^{Q \Delta x}(Q+AT) \Delta x]^{n-r}. +\] +En se rappelant que l'on a toujours, +\[ +\delta y_r < \frac{\Delta x^3}{2} TA^2e^{Q \Delta x}, +\] +on trouvera pour le $\delta y_n$ total +\[ +\delta y_n < \frac{\Delta x^2}{2} e^{Q \Delta x} A^2T +\Big\{\frac{[1+e^{Q \Delta x}(Q+AT) \Delta x]^{n}-1 } +{e^{Q \Delta x}(Q+AT) } \Big\}. +\] +Ainsi l'erreur, dans ce cas, est de l'ordre de $\Delta x^2$. On voit que dans le +cas où les fonctions $A$ et $T$ sont très petites, cette erreur est aussi +très petite si $Q \Delta x$ n'est pas très grand. + +Si l'on peut reconnaître que la fonction $\dfrac{\d f(x,y)}{\d y}$ dont le maximum +numérique est $Q$ reste positive dans l'étendue du rectangle que +nous considérons; alors si $Q_1$ est le minimum numérique de cette +fonction, on aura +\[ +e^{-\tint_x^{x_{r+1}} q \d x} < e^{-Q_1(x_{r+1}-x)}, +\] +et par suite +\[ +\int_{x_1}^{x_{r+1}} e^{-\tint_x^{x_{r+1}} q \d x} \d x < \frac{1-e^{-Q_1 \Delta x}}{Q_1}; +\] +on peut donc poser\label{err251} +\[ +\delta y_n < \frac{\Delta x}{2} A^2T +\Big\{\frac{[1+e^{Q \Delta x}(Q+AT) \Delta x]^{n}-1 } +{e^{Q \Delta x}(Q+AT) } \Big\} +\Big( \frac{1-e^{-Q_1 \Delta x}}{Q_1} \Big), +\] +\marginpage % *** File: 252.png + +On peut remarquer que dans beaucoup de questions de mécanique +qui se rapportent à des mouvements qui tendent vers un état stable, +on appliquera facilement les formules précédentes parce qu'on connaît +\emph{à~priori} une limite que la variable $y$ ne peut dépasser, et +qu'ainsi on peut tracer le rectangle dans l'intérieur duquel le point +donné par les coordonnées $x$ et $y$ sera toujours compris. + +On pourrait étendre les considérations précédentes à un système +d'équations différentielles simultanées, ainsi que M.~Cauchy l'a fait +pour le cas où l'on emploie pour équations aux différences celles qui +sont fournies par le changement des $d$ en $\Delta$: les formules devenant très +compliquées, nous n'avons pas cru devoir les présenter ici. + +\jmpafin + +% *** File: 253.png + +\jmpapaper{}{}{Sur une Lettre de \bsc{d'Alembert} à \bsc{Lagrange};} +{Par J.~LIOUVILLE}{} +\label{art23}\Gauche + +On sait que pour trouver l'intégrale complète d'une équation différentielle +linéaire quelconque +\[ +Py + Q\frac{dy}{dx} + R\frac{d^2y}{dx^2} + \dotsb + M\frac{d^my}{dx^m} = X,\tag{1} +\] +il suffit de connaître $m$ ou même $(m - 1)$ intégrales particulières, distinctes +entre elles, de l'équation plus simple +\[ +Py + Q\frac{dy}{dx} + R\frac{d^2y}{dx^2} + \dotsb + M\frac{d^my}{dx^m} = 0.\tag{2} +\] +Plus généralement, dès qu'on possède $n$ intégrales particulières de l'équation (2), +on peut ramener l'intégration de l'équation (1) à celle d'une +autre équation linéaire de l'ordre $(m-n)$. Ces propositions fondamentales +se déduisent facilement du principe de la variation des constantes; +mais en les donnant pour la première fois dans le mémoire intitulé +\emph{Solution de différents problèmes de Calcul intégral}, Lagrange a +fait usage d'un procédé singulier fondé sur l'intégration par parties: +ce procédé a beaucoup d'analogie avec celui dont les géomètres se servent +si souvent dans le calcul des équations différentielles partielles, +lorsqu'ils déterminent les coefficients des divers termes des séries +qui représentent, dans les problèmes physico-mathématiques, l'état initial +des températures ou des vitesses de chaque molécule d'un système +matériel donné. +\marginpage % *** File: 254.png + +Pour intégrer l'équation (1) on peut encore employer une autre +méthode qu'il serait aisé de rattacher à celle de la variation des constantes +et qui consiste à profiter de chaque intégrale particulière de +l'équation (2) pour abaisser l'ordre de l'équation (1) d'une unité. En +effet si $y_1$ désigne une de ces intégrales particulières et si l'on pose +$y = y_1 \int t dx$, l'inconnue $t$ dépendra d'une équation de l'ordre $(m - 1)$ +que l'on pourra semblablement abaisser à l'ordre $(m - 2)$ si l'on connaît +une seconde intégrale particulière $y_2$. En continuant ainsi l'on parvient +enfin à une équation du premier ordre qui n'offre plus aucune difficulté. +M.~Libri a présenté cette méthode comme nouvelle dans le +recueil de M.~Crelle et même dans le présent journal (tome~I, page~10). +De plus, dans la 5\ieme\ édition de son excellent \emph{Traité élémentaire du +Calcul différentiel et du Calcul intégral}, un auteur dont personne +ne respecte plus que moi les talents et le caractère, M.~Lacroix s'exprime +ainsi: \emph{M.~Libri a repris d'une manière très élégante et très féconde la +théorie des équations différentielles linéaires.} Je me crois donc obligé +d'avertir que la méthode dont il est question appartient non pas à +M.~Libri, mais à un géomètre français, à d'Alembert qui l'a donnée +en 1764, dans une lettre écrite à Lagrange et imprimée tome~III +des \emph{Miscellanea Taurinensia}, page~381. J'ignore comment ce passage +a pu échapper à M.~Libri qui s'est occupé si long-temps de l'histoire +des sciences mathématiques\footnotemark. +\footnotetext{Voici la lettre de d'Alembert: + +«Votre problème sur l'intégration de l'équation $Py + \dfrac{Q dy}{dx} + \dfrac{R d^2y}{dx^2}\ldots ++ \dfrac{M d^my}{dx^m} = X$, lorsque l'on a $m - 1$ valeurs de $y$ dans l'équation $Py + +\dfrac{Q dy}{dx} + \dfrac{R d^2y}{dx^2}+ \dotsb +\dfrac{M d^my}{dx^m} = 0$, m'a paru si beau, que j'en ai cherché une solution +que voici. + +»Soit $y = Vz$, $V$ étant une indéterminée, et $z$ une des valeurs de $y$ qui satisfait +à l'équation $Py + \dfrac{Q dy}{dx} + \dotsb \etc = 0$, et soit substituée cette valeur +dans l'équation $Py + \dfrac{Q dy}{dx} + \etc\ldots = X$; +la transformée sera composée +\primo d'une partie $V(Pz + \dfrac{Q dz}{dx} +\ldots + \dfrac{M d^mz}{dx^m})$, où $X$ ne se trouvera point, laquelle +sera évidemment $= 0$, à cause de $Pz + \dfrac{Q dz}{dx} + \dotsb \dfrac{M d^mz}{dx^m} = 0$ (\emph{hyp}.); \secundo d'une +partie où $V$ ne se trouvera point, et qui ne contenant que $dV$ avec ses différences +jusqu'à $d^mV$ inclusivement, pourra par conséquent être abaissée au $(m - 1)$\ie\ degré, +en faisant $dV = V' dx$; or puisqu'on a $m - 1$ valeurs de $y$, que $y = Vz$, +et que $z$ est déjà une des valeurs de $y$, on aura donc $m - 2$ valeurs de $V$, en n'y +comprenant pas l'unité; donc supposant que $z'$ soit une de ces valeurs, et faisant +$V' = z'\int V'' dx$, comme on a fait $y = z\int V' dx$, on abaissera de même l'équation +en $V'$, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on arrive à une équation qui sera de cette +forme $dV''''^{\ \etc} + KV''''^{\ \etc} dx = X$, $K$ et $X$ étant des fonctions de $x$. Or on sait +que cette équation est intégrable. + +»Il est aisé de voir par cet exposé, \primo qu'à chaque transformation il disparaît +un des coefficients, savoir celui de $y$ par la première, celui de $dy$ par la seconde, +etc., en sorte que dans la dernière transformée il ne restera que les deux +coefficients de $d^my$ et $d^{m-1}y$; or si on a une quantité de cette forme +$\dfrac{\omega d^{m-1}\lambda}{dx^{m-1}} +\dfrac{\beta d^m\lambda}{dx^m}$, et qu'on fasse $d\lambda= \zeta\eta dx$, on aura dans la transformée (en +laissant à part les autres termes) \primo $\beta\zeta$ à la place de $\beta$ et $\dfrac{d^{m-1}\eta}{dx^{m-1}}$ à la place de $\dfrac{d^{m}\lambda}{dx^{m}}$, +\secundo $[\omega\zeta+\dfrac{\beta d\zeta}{dx} \times (m-1)]\dfrac{d^{m-2}\eta}{dx^{m-2}}$ au lieu de $\dfrac{\omega d^{m-1}\lambda}{dx^{m-1}}$. Donc si on suppose que +$\dfrac{N d^{m-1}y}{dx^{m-1}}+\dfrac{M d^{m}y}{dx^{m}}$ soient les deux derniers termes du premier membre de la proposée, +et qu'on fasse $y = z\int z' dx \int z'' dx \int z'''\ldots \int V''''^{\ \etc} dx$, il sera aisé de trouver, +par la remarque précédente, la forme de la dernière transformée, d'où l'on tirera +aisément la valeur de $V''''^{\ \etc}$. Je ne fais, Monsieur, qu'indiquer l'opération, qui +serait très simple et très courte; vous supplérez aisément à ce que je ne dis pas.»} + +\jmpafin % this gives an inelgeant page with just a rule and a footnote - the alternative would be for the footnote to appear in the next article, which seems even worse. +\setcounter{originalpage}{248} +% *** File: 256.png + +\jmpapaper{}{} +{Observations sur des théorèmes de Géométrie, +énoncés page \emph{160 \pdf{ref160}} de ce volume et page \emph{222} du volume précédent;} +{Par M.~BINET,}{Professeur au Collége de France.} +\label{art24} + +Je viens de lire dans les livraisons d'avril et de mai un Mémoire +fort intéressant de M.~Lamé, sur les surfaces isothermes, dans les +corps solides homogènes en équilibre de température. Ce mémoire fait +partie d'un volume du \emph{Recueil des Savans +étrangers}\footnote{% +Ce volume n'a pas encore paru. Le mémoire de M.~Lamé n'était +connu jusqu'ici des géomètres que par un petit nombre +d'exemplaires particuliers; en le publiant dans ce journal, je +crois avoir rendu à la science un véritable service. La +réclamation très fondée de M.~Binet n'ôte rien au mérite du +travail de M.~Lamé, qui me semble, je le répète, ouvrir une route +nouvelle dans le calcul des équations différentielles partielles. +\null\signit{\textsc{J.~Liouville.}} +}, mais je n'avais pas +eu occasion de le voir et d'y remarquer l'emploi que fait +M.~Lamé d'un théorème de Géométrie que j'ai publié en 1811. Je +vais en reproduire l'énoncé tel qu'on letrouve dans un mémoire +sur les axes principaux et les moments d'inertie des corps, qui fait +partie du 16\ieme\ cahier du \emph{Journal de l'École Polytechnique}. Pour faire +comprendre cet énoncé, il convient de rappeler qu'une surface du +second degré étant donnée, si l'on détermine les foyers de ses sections +principales, une infinité de surfaces du même ordre, de même +espèce ou d'espèces différentes, peuvent avoir les mêmes foyers pour +leurs sections principales: ce sont les surfaces auxquelles M.~Lamé +donne le nom, fort convenable, de \emph{surfaces homofocales}. Ces surfaces +qui se sont présentées aux géomètres, en premier lieu, dans +la théorie de l'attraction des sphéroïdes elliptiques sur un point extérieur, +jouissent de belles et utiles propriétés. Voici celle dont il +s'agit: «les surfaces du second degré ayant les mêmes foyers pour +leurs sections principales doivent respectivement se couper, de manière +\marginpage % *** File: 257.png +que le système de tous les hyperboloïdes à une nappe, coupe +un quelconque des ellipsoïdes suivant les lignes de l'une de ses courbures; +le système des hyperboloïdes à deux nappes coupe le même +ellipsoïde selon le second système de ses lignes de courbure, et ces +propriétés sont d'ailleurs réciproques. De là il suit que tout l'espace +sera divisé par les surfaces que nous avons considérées (les surfaces +homofocales) en une infinité de parallélépipèdes rectangles infiniment +petits, dont les arêtes seront les éléments des lignes de courbure +communes aux surfaces; et les axes principaux du corps répondant +au sommet de l'un de ces parallélépipèdes seront les tangentes +aux trois lignes de courbure communes des trois surfaces du second +ordre qui y passent.» (Page 59 du XVI\ieme\ cahier du \emph{Journal de l'École +Polytechnique}.) + +A cette citation, j'ajouterai celle de l'énoncé du même théorème +qui se trouve dans le rapport que MM.~Laplace et Biot firent sur +le mémoire relatif aux moments d'inertie et aux axes principaux +des corps: ce rapport fut imprimé dans \emph{le Moniteur} (\no du 4 juillet +1811), et là se trouve une date authentique et une publication +réelle: «Les surfaces dont nous venons de parler (ellipsoïdes +hyperboloïdes à une et à deux nappes) prendront divers périmètres, +et conserveront toutefois les mêmes excentricités pour +leurs sections principales. M.~Binet remarque de plus qu'elles +se couperont à angles droits, et suivant leurs lignes de courbure, +ce qui donne une construction de ces lignes aussi simple +qu'élégante pour les surfaces du second ordre, au moyen de cette +pénétration. Si l'on considère un point quelconque de leurs intersections, +les axes principaux qui y répondent sont les tangentes à ces +mêmes lignes de courbure, etc.» Ce rapport avait été lu à l'Institut +le 24 juin 1811, en présence de Monge, à qui l'on doit les premières +recherches sur les lignes de courbure, ainsi que la détermination de +ces lignes pour les surfaces du second degré: pour Monge ce théorème +était nouveau. D'illustres géomètres, Lagrange, Laplace, Legendre, +Poisson assistaient à cette séance. + +Il est juste de reconnaître que de son côté, M.~Dupin, dans des +recherches curieuses sur les surfaces orthogonales, a rencontré la même +propriété des surfaces du second degré homofocales, comme application +d'un théorème plus général. Mais la date de publication des mémoires +\marginpage % *** File: 258.png +de M.~Dupin est postérieure de deux années à celle du mien, +quoique ses recherches sur ce sujet, d'après son assertion, remontent +à une époque antérieure à 1811. Le théorème de M.~Dupin semble +aussi n'être pas parvenu à la connaissance de M.~Lamé, car dans son +mémoire sur les lois de l'équilibre du fluide éthéré, il eût pu partir, +comme d'un résultat connu, de ce théorème général, savoir, que +«trois systèmes de surfaces orthogonales conjuguées sont toujours +tels que deux quelconques d'entre eux tracent sur une surface du +troisième toutes ses lignes de courbure.» (Page 225 du XXIII\ieme\ cahier +du \emph{Journal de l'École Polytechnique}.) Cette belle proposition de +Géométrie est précisément le théorème de M.~Dupin. + +La forme sous laquelle j'ai considéré l'équation des surfaces homofocales +est +\[ +\frac{a^2}{K-A} + \frac{b^2}{K-B} + \frac{c^2}{K-C} =1; +\] +$a$, $b$, $c$ sont les coordonnées d'un point quelconque de la surface, +$A$, $B$, $C$ trois constantes positives telles que $A > B > C$, et $K$ une +quantité susceptible de toutes les grandeurs supérieures à $C$: ce qui +donne lieu aux trois espèces principales de surfaces du second degré. + +De trois formules semblables à la précédente, répondant à trois +valeurs différentes de $K$, M.~Lamé déduit les coordonnées $a$, $b$, $c$ en +fonction des trois valeurs attribuées à $K$, ou à des quantités $\mu^2$, $\nu^2$, $\rho^2$ +qui remplissent l'office de notre quantité $K$. J'ai aussi remarqué, +il y a beaucoup d'années, et à propos du même sujet, l'expression +simple de ces coordonnées; mais j'étendis alors mes recherches à la +détermination d'un nombre quelconque de grandeurs $a^2$, $b^2$, $c^2$, etc., +entre un pareil nombre d'équations de la forme précédente. Je rapporterai +ici le résultat que je trouvai, parce qu'il peut servir en d'autres +circonstances; j'y joindrai la démonstration qui me l'a fourni. Pour +plus de simplicité, j'écris $a$, $b$, $c$, etc., à la place de $a^2$, $b^2$, $c^2$, etc. + +Prenons donc un nombre $n$ d'équations de la forme\label{err258} +\[ +\tag{$n$} +\left\{ +\begin{alignedat}{3} +\frac{a}{K-A}\: &+ \frac{b}{K-B} &&+ \frac{c}{K-C} &&+ \etc = 1,\\ +\frac{a}{K_1-A} &+ \frac{b}{K_1-B} &&+ \frac{c}{K_1-C} &&+ \etc = 1,\\ +\frac{a}{K_2-A} &+ \frac{b}{K_2-B} &&+ \frac{c}{K_2-C} &&+ \etc = 1,\\ +\etc +\end{alignedat} +\right. +\] +\marginpage % *** File: 259.png + +Nous nous proposons de former l'expression des $n$ inconnues +$a$, $b$, $c$, etc., déterminées par ces équations. L'on y parviendra +par les considérations suivantes: + +Soit $F(x) = (x-A) (x-B) (x-C)\ldots$ une fonction entière du +degré $n$ marqué par le nombre de ses facteurs $x-A$, $x-B$, etc., et +$f(x)$ une autre fonction entière dont le degré ne surpasse pas $n-1$; +la fraction $\dfrac{fx}{Fx}$ sera décomposable en $n$ fractions simples qui auront les +dénominateurs $x-A$, $x-B$, etc.; et l'on sait que si $F'(x)$ désigne +le coefficient différentiel $\dfrac{dFx}{dx}$, on a, par la formule d'Euler, +\[ +\frac{fx}{Fx}=\frac{fA}{(x-A)F'A} + \frac{fB}{(x-B)F'B} + \frac{fC}{(x-C)F'C} + \text{etc}. +\] + +Dans cette formule identique, écrivons successivement $K$, $K_1$, $K_2\ldots$ +à la place de $x$, nous composerons ainsi $n$ équations de la forme\label{err259} +\begin{align*} +\tag{N} +&\left\{\quad +\begin{alignedat}{3} +\frac{a}{K-A} &+\frac{b}{K-B} &&+ \frac{c}{K-C} &&+ \etc = \frac{f(K)}{F(K)},\\ +\frac{a}{K_1-A} &+\frac{b}{K_1-B} &&+ \frac{c}{K_1-C} &&+ \etc = \frac{f(K_1)}{F(K_1)},\\ +\frac{a}{K_2-A} &+\frac{b}{K_2-B} &&+ \frac{c}{K_2-C} &&+ \etc = \frac{f(K_2)}{F(K_2)}, +\end{alignedat} +\right.\\ +&\hspace*{2.5em}\etc +\end{align*} +et ces équations seront évidemment satisfaites en prenant pour +$a$, $b$, $c$, etc., les valeurs +\begin{alignat*}{2} +&a =\frac{f(A)}{F'(A)} && = \frac{f(A) }{(A-B)(A-C)(A-D)\ldots },\\ +&b =\frac{f(B)}{F'(B)} && = \frac{f(B) }{(B-A)(B-C)(B-D)\ldots },\\ +&\etc +\end{alignat*} + +Pour obtenir des équations entièrement semblables à celles que +nous nous sommes proposé de résoudre, nous composerons une +fonction $f(x)$ du degré $n$ avec les facteurs inégaux +\[ +(x - K) (x - K_1) (x - K_2) \;\etc +\] +Si l'on prend pour le polynome du degré $n - 1$, que nous avons +désigné par $f(x)$, la différence $F(x)-\f(x)$ des deux polynomes du +\marginpage % *** File: 260.png +degré $n$ qui ont le même premier terme, alors le second membre +de la première des équations ci-dessus $\dfrac{f(K)}{F(K)}$ deviendra $\dfrac{F(K)-\f(K)}{F(K)}=1$, +parce que $\f(K)=0$; il en sera ainsi des autres quantités $\dfrac{f(K_1)}{F(K_1)}$, $\dfrac{f(K_2)}{F(K_2)}$, etc., +et les équations $(N)$ prendront la forme proposée $(n)$. + +Les valeurs de $a$, $b$, $c$, etc., qui satisfont à $n$ équations de la +forme +\begin{align*} +\tag{$n$} +&\left\{\quad +\begin{alignedat}{3} +\frac{a}{K-A} &+\frac{b}{K-B} &&+\frac{c}{K-C} &&+ \etc = 1,\\ +\frac{a}{K_1-A} &+\frac{b}{K_1-B} &&+\frac{c}{K_1-C} &&+ \etc = 1, +\end{alignedat} +\right.\\ +&\hspace*{2.5em}\etc +\end{align*}\vspace{-5ex} +\begin{flalign*} +&\text{seront}& a &= \frac{F(A)-\f(A)}{F'(A)} = -\frac{\f(A)}{F'(A)}, \quad b =-\frac{\f(B)}{F'(B)},\ \etc, & \phantom{seront} +\end{flalign*} +puisque $F(A) = 0$, $F(B) = 0$, etc.; ainsi l'on aura +\begin{align*} +a &= -\frac{(A-K)(A-K_1)(A-K_2)\ldots}{\phantom{(A-K)}\;(A-B)\;(A-C)\;\ldots}\\ +b &= -\frac{(B-K)(B-K_1)(B-K_2)\ldots}{\phantom{(B-K)}\;(B-A)\;(B-C)\;\ldots}\\ +c &= \etc +\end{align*} + +Lorsque l'on veut appliquer ces formules aux surfaces du second +degré homofocales qui se coupent, il suffit de remplacer $a$, $b$, $c$, par +$a^2$, $b^2$, $c^2$, et de réduire à trois le nombre des équations. + +Ces remarques se rapportent à un écrit déjà bien ancien; il a pu +rester ignoré de géomètres qui, s'occupant de sujets différents par +leur objet, ont pu rencontrer dans leurs recherches les mêmes propositions +que moi. J'ajouterai que c'est dans le même mémoire que l'on a +donné, pour la première fois, l'équation du troisième degré dont les +racines sont les carrés des demi-axes d'une surface du second ordre, et +que l'on a énoncé ce théorème cité par M.~Saint-Guilhem, page 222 +du premier volume de ce journal, savoir, que la somme des carrés des +faces d'un parallélépipède conjugué circonscrit à un ellipsoïde, est une +quantité constante pour tous les parallélépipèdes conjugués; proposition +analogue à deux autres que l'on connaissait depuis quelques années, +et qui avaient été publiées par M.~Livet. (13\ieme\ cahier du \emph{Journal de +l'École Polytechnique}.) + +\jmpafin + +% *** File: 261.png + +\jmpapaper{RECHERCHES SUR LES NOMBRES;}{}{} +{Par M.~LEBESGUE,} +{Professeur-suppléant à la Faculté des Sciences de Grenoble} +\label{art25} + +\begin{center} +§ I\ier{} \emph{Nombre de solutions de la congruence $ax^m+by^m+ \dotsb +ku^m \equiv l$ +$\moddot{p = hm + 1}$. Le module étant supposé premier.} +\end{center} + +Quoique M.~Libri ait déjà donné une formule très remarquable qui +détermine le nombre de solutions d'une congruence quelconque, j'ai +cru devoir cependant reprendre la question en suivant une autre marche, +afin de ne pas supposer la résolution de l'équation $x^p= 1$, voulant +au contraire la déduire des formules de ce paragraphe. + +\mysection{I.} + +\begin{center} +\emph{Congruence conditionnelle à laquelle satisfait le nombre de solutions +d'une congruence algébrique et entière} $f(x_1, x_2\ldots x_k)\equiv 0 \moddot{p}$ +\end{center} + +On suppose ici que la fonction $f(x_1, x_2,\ldots x_k)$ qui renferme $k$ inconnues +est une somme de termes de la forme $Ax^a_1x^b_2\ldots x_k^g$, où les +exposants sont des entiers positifs et le coefficient $A$ un entier positif +ou négatif. De plus quand une inconnue manque dans un terme, on +l'y fait entrer avec l'exposant zéro. + +Il est question seulement ici des solutions en nombres entiers positifs +et moindres que le module, zéro n'étant pas excepté des valeurs +données aux inconnues. Voici comment on déterminerait les solutions +et leur nombre, si la grandeur du module ne rendait pas le calcul +impraticable. On arrangerait $k$ à $k$, de toutes les manières possibles et +\marginpage % *** File: 262.png +sans exclure la répétition d'un même nombre, les $p$ nombres +0, 1, 2,\dots$(p - 1)$; ce qui donnerait $p^k$ arrangements: les uns tels +que $\alpha_1$, $\alpha_2$,\dots $\alpha_k$, donnant $f(\alpha_1, \alpha_2,\ldots \alpha_k) \equiv 0 \moddot{p}$ seraient les +solutions et les seules solutions, puisque les autres arrangements tels +que $\beta_1$, $\beta_2$,\dots $\beta_k$ ne donneraient pas $f(\beta_1,\beta_2,\ldots\beta_k) \equiv 0 \moddot{p}$. +Le nombre de solutions ainsi déterminé peut être représenté par $S_k$, +l'indice rappelant le nombre des inconnues que renferme la congruence. + +Quelquefois il est avantageux d'exclure zéro des valeurs données +aux inconnues: dans ce cas les solutions se trouvent parmi les $(p-1)^k$ +arrangements $k$ à $k$ des $p-1$ nombres 1, 2, 3\dots$(p - 1)$. Ce nombre +de solutions peut être représenté par $s_k$: il est en général moindre +que $S_k$. + +Ceci posé, voici la congruence conditionnelle à laquelle satisfait le +nombre $S_k$, de solutions d'une congruence +\[ +f(x_1,x_2,\ldots x_k) =X_k \equiv 0 \moddot{p}. +\] + +\textsc{Théorème}. \emph{Soit $S_k$ le nombre de solutions de la congruence +$f(x_1,x_2,\ldots x_k)$ $\equiv 0 \moddot{p}$, si l'on fait $f(x_1,x_2,\ldots x_k)=X_k$ et +que l'on suppose $X_k^{p-1} = \sum Ax_1^ax_2^b\ldots x_k^g$, on aura, en représentant +par $\sum A_{\rho(p-1)}$ la somme des coefficients des termes du développement +de $X_k^{p-1},$ où les inconnues entrent toutes (c'est-à-dire en nombre $k$) +avec des exposants multiples de $p - 1$ et plus grands que zéro}, +\[ +S_k \equiv (-1)^{k+1}\sum A_{\rho(p-1)} \moddot{p}. \tag{1} +\] + +\textsc{Démonstration}. On substituera dans $X_k^{p-1}$ pour $x_1$, $x_2$,\dots $x_k$ les +nombres qui résultent de chacun des $p^k$ arrangements $k$ à $k$ des +nombres 0, 1, 2,\dots$(p-1)$. Pour chaque solution $(\alpha_1,\alpha_2,\ldots\alpha_k)$ on +trouvera $X_k^{p-1} \equiv 0 \moddot{p}$, puisque l'on aura $X_k \equiv 0 \moddot{p}$. +Pour toute autre substitution, on aura $X_k^{p-1} \equiv 1 \moddot{p}$, puisque +$X_k$ ne sera pas divisible par $p$. La somme des résultats de ces substitutions +successives sera donc +\[ +\equiv S_k \times 0 + (p^k-S_k) \times 1 \equiv -S_k \moddot{p}. +\] + +D'un autre côté, si l'on pose pour abréger +\marginpage % *** File: 263.png +\[ +0^a + 1^a + 2^a + \dotsb + (p-1)^a = \psum a, +\] +la somme exacte des valeurs de $X_k^{p-1}$ ou de $\sum Ax_1^ax_2^b\ldots x_k^g$ sera +$\sum A\psum a\psum b\ldots \psum g$. On le voit de suite en faisant d'abord les substitutions +pour $x_1$, et sommant, ce qui donne $\sum A\psum ax_2^b\ldots x_k^g$; puis pour $x_2$ dans la +somme précédente et sommant de nouveau, ce qui donne $\sum A\psum a\psum b\ldots x_g^k$; +et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on trouve $\sum A\psum a\psum b\ldots\psum g$ après avoir fait +les substitutions pour les $k$ inconnues, que l'on suppose toutes dans +chaque terme, ce qui introduit des sommes $\psum0=p$, dans les termes +où des inconnues manquent. Or on a par des théorèmes bien connus +$\psum a \equiv 0 \moddot{p}$, si $a$ n'est pas multiple de $p - 1$, et $\psum a \equiv p-1 \equiv - 1 \moddot{p}$, +si $a$ est multiple de $p-1$. D'après cela chaque terme +de $\sum A\psum a\psum b\ldots\psum g$ sera $\equiv 0 \moddot{p}$, ou $\equiv A(-1)^k \moddot{p}$, ce cas arrivant +et ne pouvant arriver que quand les exposants $a$, $b$,\dots $g$ en nombre +$k$ sont tous multiples de $p-1$ et plus grands que zéro. Si pour +rappeler cette circonstance on représente le coefficient $A$ de $A(-1)^k$ +par $A_{\rho(p-1)}$, la somme des valeurs de $X_k^{p-1} = \sum Ax_1^ax_2^b\ldots x_k^g$ sera +donc +\[ +\equiv \sum A_{\rho(p-1)}(-1)^k \moddot{p}, +\] +mais elle est aussi +\[ +\equiv -S_k \moddot{p}\text{. De là résulte} -S_k \equiv (-1)^k\sum A_{\rho(p-1)} \moddot{p}, +\] +ou encore +\[ +S_k \equiv (-1)^{k+1} \sum A_{\rho(p-1)} \moddot{p}. +\] +Comme il est dit dans l'énoncé. + +Si l'on exclut les solutions renfermant une ou plusieurs inconnues +égales à zéro, on trouvera tout-à-fait de même la formule +\[ +S_k\equiv (-1)^k [ 1-\sum A'_{\rho(p-1)} ] \moddot{p},\tag{2} +\] +où $\sum A'_{\rho(p-1)}$ indique la somme des coefficients du développement de +$X_k^{p-1}$ répondant à des termes dans lesquels les exposants des inconnues +sont tous multiples de $p - 1$, sans ajouter cette restriction qu'ils +doivent être plus grands que zéro. C'est pour rappeler cette circonstance +que la lettre $A$ a été accentuée. +\marginpage % *** File: 264.png + +La formule (2) est beaucoup moins commode pour les applications +que la formule (1), dont nous nous servirons principalement. + +Quand il n'y aura qu'une ou deux inconnues, les congruences conditionnelles +(1) et (2) détermineront complétement $S_1$ et $S_2$, ou $s_1$ et $s_2$. +Mais pour un plus grand nombre d'inconnues il faudra employer +une autre méthode. Car si les nombres $S_k$ et $s_k$ deviennent plus grands +que le module, la congruence conditionnelle donnera pour $S_k$ et $s_k$ +une expression $hp+\sigma$ où $\sigma$ sera un nombre déterminé moindre +que $p$, mais où $h$ restera indéterminé. M.~Libri a déjà donné des congruences +analogues à celles (1) et (2); mais, comme les précédentes, +elles ne sont qu'un premier pas vers la solution du problème qui fait +l'objet de ce paragraphe. + +\mysection{II.} + +\begin{center} +\emph{Nombre de solutions de la congruence} $x^m\equiv a \moddot{p = hm + 1}$. +\end{center} + +La congruence $ax^m\equiv b \moddot{p = hm + 1}$ se ramène à +$y^m\equiv A \moddot{p}$ en faisant $A \equiv ba^{m-1}$ et $y \equiv ax \moddot{p}$, puisque +l'on a $a^mx^m \equiv ba^{m-1} \moddot{p}$; ou bien encore à $x^m \equiv A \moddot{p}$, +puisque, en posant $ag\equiv 1$, $bg\equiv A$, l'on a $agx^m \equiv bg \moddot{p}$. +Comme d'ailleurs le nombre de solutions ne change pas, nous considérerons +directement la congruence $x^m \equiv a \moddot{p}$. + +Ici $X_1 = x^m -a$, et le terme général du développement de $X_1^{p-1}$ est +\begin{align*} +\frac{p-1\ldot p-2\ldots p-n}{1\ldot 2\ldots n}(-a)^n x^{m(p-1-n)} &= \frac{Mp+1\ldot 2\ldots n\ldot a^n}{1\ldot 2\ldot 3\ldots n}x^{m(p-1-n)}\\ +&\equiv a^nx^{m(p-1-n)} \moddot{p}. +\end{align*} + +On rendra l'exposant de $x$ multiple de $p-1$, en posant $mn=(p-1)g$; +et si $d$ est le plus grand commun diviseur de $m$ et de $p - 1$, $n$ prendra +les valeurs 0, $1\ldot \dfrac{p-1}{d}$, $2\ldot \dfrac{p-1}{d}$, $3\ldot \dfrac{p-1}{d}$,\dots $(d-1)\ldot \dfrac{p-1}{d}$; de là, au +moyen de la formule (1), où l'on fera $k=1$, on trouvera +\[ +\tag{3} S_1 \equiv 1+a^{\tfrac{p-1}{d}}+ a^{2\ldot\tfrac{p-1}{d}} +\ldots a^{(d-1)\tfrac{p-1}{d}}\equiv +\dfrac{a^{p-1}-1}{a^{\tfrac{p-1}{d}}-1} \moddot{p}. %[** errata] +\] +\marginpage % *** File: 265.png +Or, évidemment, on ne peut avoir ni $S_1 = p$, ni $S_1 > p$, donc + +\primop.~Si l'on $a^{\tfrac{p-1}{d}} \equiv 1 \moddot{p}$, il en résultera $S_1 = d$. + +\secundop.~Si l'on n'a pas $a^{\tfrac{p-1}{d}} \equiv 1 \moddot{p}$, il en résultera $s_1 =0$. + +Ce dernier cas résulte de ce que $a^{p-1} - 1 \equiv 0 \moddot{p}$. + +La condition de possibilité de la congruence $x^m \equiv a \moddot{p}$ est +donc $a^{\tfrac{p-1}{d}} \equiv 1 \moddot{p}$ et le nombre de ses solutions est $d$, ce nombre +représentant le plus grand commun diviseur de $m$ et de $p - 1$. + +La congruence $x^m \equiv a \moddot{p}$ n'ayant que $d$ racines réelles, on la +ramènera à la forme $x^d \equiv a^i \moddot{p=gd+1}$ en posant +$mi \equiv d \moddot{p - 1}$. D'après cela on considère principalement le cas +de la congruence $x^m \equiv a \moddot{p = hm+1}$, pour lequel $d=m$; +alors la condition de possibilité devient $a^{\tfrac{p-1}{m}} \equiv 1 \moddot{p}$ et le +nombre de solutions est égal à $m$. Si l'on avait $a \equiv 0 \moddot{p}$ il n'y +aurait qu'une solution, savoir $x=0$. Quand la congruence +$x^m \equiv a \moddot{p}$ est possible, on dit que $a$ est un résidu de $m$\ie\ puissance +pour le module $p$; et particulièrement un résidu quadratique, +cubique, biquadratique, selon que $m$ est égal à 2, 3 ou 4. + +Voici les énoncés de quelques propositions qui serviront plus loin. + +\emph{Les résidus de $m$\ie\ puissance pour le module $p=mh+1$ sont les +racines de la congruence $x^{\tfrac{p-1}{m}} \equiv 1 \moddot{p}$. Ils sont en nombre +$\dfrac{p-1}{m}$, et si l'un d'eux est représenté par $a$, la formule $ay^m$ les contient +tous.} + +Les nombres qui ne sont pas résidus de $m$\iieme\ puissance pour le +module $p$, sont nommés non-résidus; ils sont en nombre +$p - 1 - \dfrac{p-1}{m} = (m - 1)\ldot \dfrac{p-1}{m}$: ils se subdivisent en $m - 1$ classes +de $\dfrac{p-1}{m}$ nombres chacune. Voici le principe de cette classification +importante: il est bon de le rappeler ici, à cause de l'usage continuel +que nous en ferons. + +La congruence $x^m \equiv 1 \moddot{p= hm + 1}$, ayant pour racine un +certain nombre entier $r$, les nombres $r$, $r^2$, $r^3$,\dots $r^m \equiv 1 \moddot{p}$ satisferont +tous à la congruence $x^m \equiv 1 \moddot{p}$. Or si l'on a +\marginpage % *** File: 266.png +$m = a^\alpha b^\beta c^\gamma \ldots$ où $a$, $b$, $c$\dots\ sont des nombres premiers différents, +on a prouvé qu'il y a $m \ldot \dfrac{a-1}{a} \ldot \dfrac{b-1}{b} \ldot \dfrac{c-1}{c} \ldots$ valeurs de $r$, telles +que les puissances successives $r^1$, $r^2$, $r^3$,\dots $r^m$ seront toutes incongrues +suivant le module $p$, et formeront par conséquent la suite complète +des racines de la congruence $x^m\equiv 1 \moddot{p = hm + 1}$. Les racines +$r$ qui jouissent de cette propriété sont dites \emph{primitives}\footnote{% +Voici les énoncés de deux propositions qui prouvent l'existence des racines +primitives et qui en déterminent le nombre. + +\emph{Si l'on représente par $A_1$, $A_2$,\dots $A_g$ des nombres entiers ou des polynomes de +forme $a + bx + cx^2 + \dotsb fx^k$, \emph{etc.} Si de plus l'on représente par $P_1$ le produit +des quantités $A_1$, $A_2$\dots $A_g$, par $P_2$ le produit des plus grands communs diviseurs +des mêmes quantités combinées $2$ à $2$, par $P_3$ le produit des plus grands communs +diviseurs des mêmes quantités combinées $3$ à $3$, et ainsi de suite: le plus petit +nombre, ou le polynome de moindre degré divisible par $A_1$, $A_2$,\dots $A_g$ sera +$\dfrac{P_1 \ldot P_3 \ldot P_5 \ldots}{P_2 \ldot P_4 \ldot P_6 \ldots}$.} + +\emph{Si l'on suppose $m = a^\alpha b^\beta c^\gamma \ldots$ ($a$, $b$, $c$\dots\ étant des nombres premiers +différents) et que l'on fasse $A_1 = x^{\tfrac{m}{a}}-1$, $A_2 = x^{\tfrac{m}{b}}-1$, $A_3 = x^{\tfrac{m}{c}}-1$, \emph{etc.}, +la congruence qui donne les racines primitives de la congruence $x^m\equiv 1 \moddot{p}$ +sera $\dfrac{(x^m-1) \ldot P_2 \ldot P_4 \ldot P_6 \ldots}{P_1P_3P_5 \ldots }\equiv 0: \moddot{p}$ son degré +$m \ldot\dfrac{a-1}{a} \ldot\dfrac{b-1}{b} \ldot\dfrac{c-1}{c}$ +marquera le nombre des racines primitives.} + +Nous omettrons les démonstrations qui ne présentent aucune difficulté. Nous +pourrons revenir dans un autre mémoire sur la détermination des racines primitives +et la construction des tables qui résolvent la congruence $x^m\equiv a \moddot{p}$, +comme les tables de logarithmes résolvent $x^m = a$. (V.~les \emph{Recherches arithmétiques} +de M.~Gauss.) Nous ajouterons seulement que la congruence précédente +s'étend aux racines primitives imaginaires de la congruence $x^m\equiv 1 \moddot{p= hm-1}$. +(V.~\emph{De Residuis cubicis commentatio numerosa,} J.~de M.~Crelle, +tome II.) + +Pour la détermination de la congruence aux racines primitives, on peut consulter +les exercices mathématiques de M.~Cauchy, année 1829. J'avais donné antérieurement +la même congruence dans le \emph{Bulletin du Nord}, journal scientifique +et littéraire publié à Moscou. +}. % end footnote +D'après cela +on classe les nombres 1, 2, 3\dots $(p - 1)$, ainsi qu'il suit: + +\emph{Soit $r$ une racine primitive de $x^m\equiv 1 \moddot{p}$ et $\rho$ une racine primitive +de $p$ ou de $x^{p-1}\equiv 1 \moddot{p}$.} +\marginpage % *** File: 267.png + +\primop.~\emph{On aura $r \equiv \rho^{h} \moddot{p = hm + 1}$.} + +\secundop.~\emph{Les résidus de $m$\iieme\ puissance ou les racines de $x^{\tfrac{p-1}{m}} \equiv 1 \moddot{p}$ +seront $\rho^0$, $\rho^m$, $\rho^{2m}$,\dots $\rho^{(h-1)m}$: leur formule est $y^m$.} + +\label{err267}\tertiop.~\emph{Les non résidus de première classe, ou les racines de +$x^h \equiv r \equiv \rho^h\!\moddot{p}$ seront les nombres $\rho$, $\rho^{m+1}$, $\rho^{2m+1}$,\dots $\rho^{(h-1)m+1}$: +leur formule est $\rho y^m$.} + +\quartop.~\emph{Les non-résidus de deuxième classe, ou les racines de +$x^h \equiv r^2 \equiv \rho^{2h}$ $\moddot{p}$ seront les nombres $\rho^2$, $\rho^{m+2}$,\dots $\rho^{(h-1)m+2}$: leur +formule est $\rho^2y^m$.} + +5\up{o}.~\emph{En général, les non-résidus de $g$\iieme\ classe, ou les racines +de la congruence $x^h \equiv r^g \equiv \rho^{gh} \moddot{p}$, seront les nombres +$\rho^g$, $\rho^{m+g}$,\dots $\rho^{(h-1)m+g}$, dont la formule est $\rho^gy^m$.} + +On emploie fréquemment les conséquences suivantes: + +\emph{Pour le cas de $\dfrac{p-1}{m}$ nombre pair, $-1$ sera résidu de $m$\iieme\ puissance, +pour le module $p$. Pour le cas de $\dfrac{p-1}{m}$ nombre impair, ce qui ne peut +arriver que pour $m$ pair, $-1$ sera un non-résidu de $\Big( \dfrac{m}{2} \Big)$\rieme classe.} + +\emph{Le produit abcd\ldots sera résidu de $m$\iieme\ classe pour le module $p$, si +la somme des numéros de classe des facteurs non-résidus, est multiple +de $m$, ou de forme $Km$. Ce produit sera au contraire un non-résidu de +$g$\iieme\ classe, si la somme des numéros de classe des facteurs non-résidus +est de la forme $Km+g$.} + +\emph{Si a est un non-résidu de première classe, les nombres $a^1$, $a^2$, +$a^3$,\dots $a^{m-1}$, seront des non-résidus de \emph{1\ier}, \emph{2\ieme}, \emph{3\ieme},\dots\ $(m-1)$\iieme\ classe +respectivement.} + +Quoiqu'il y ait de l'arbitraire dans le numérotage des classes de +non-résidus qui change avec la racine primitive $\rho$, cette classification +n'en est pas moins importante, ainsi que l'a prouvé M.~Gauss par sa +résolution de l'équation $x^n = 1$, où il ne reste guère à faire que des +simplifications de calcul, qui n'entraient point dans le plan de son +ouvrage. +\marginpage % *** File: 268.png + +\mysection{III.} + +\begin{center} +\emph{Nombre de solutions de la congruence $a_1x_1^m + a_2x_2^m +\equiv a_3 \moddot{p = hm + 1}$.} +\end{center} + +Pour le cas de $a_3 \equiv 0 \moddot{p}$; on a de suite ce théorème: + +\emph{La congruence $a_1x_1^m + a_2x_2^m \equiv 0 \moddot{p}$ a une seule solution +$(x_1=0,\ x_2=0)$, si $-a_2a_1^{m-1}$ est non-résidu de $m$\iieme\ puissance, et +$1 + m(p-1)$ si $-a_2a_1^{m-1}$ est résidu de $m$\iieme\ puissance.} + +Pour le second cas les $m(p-1)$ solutions autres que $x_1 = 0$, $x_2 = 0$, +résultent de la résolution de $z^m \equiv -a_2a_1^{m-1} \moddot{p}$, en posant %[** errata] +$zx_2 \equiv a_1x_1 \moddot{p}$. + +La formule générale $a_1x_1^m + a_2x_2^m \equiv a_3 \moddot{p}$ se ramène de suite +à la formule particulière $x^m - ay^m \equiv b \moddot{p}$ en posant $x \equiv a_1x_1$, +$y \equiv x_2$, $a \equiv -a_2a_1^{m-1}$, $b \equiv a_3a^{m-1} \moddot{p}$, ce qui ne change pas le +nombre de solutions, c'est donc cette dernière que nous allons considérer +pour simplifier les calculs. + +\emph{La congruence $x^m \equiv ay^m +b \moddot{p=hm+1}$, a un nombre de +solutions multiple de $m$ et moindre que $mp$.} + +En effet, si l'on peut avoir $ay^m + b \equiv 0 \moddot{p}$, cela aura lieu +pour $m$ valeurs de $y$, à chacune desquelles correspondra $x=0$, on +aura d'abord $m$ solutions. + +Ensuite toute valeur de $y$ qui donne $ay^m +b$ congru à un résidu de +$m$\iieme\ puissance, donne $m$ valeurs correspondantes pour $x$, d'où résultent +$m$ solutions. Il faut encore remarquer que si la valeur de $y$ qui +rend $ay^m + b$ résidu de $m$\iieme\ puissance n'est pas zéro, il y aura $m$ valeurs +de $y$, qui donneront pour $ay^m + b$, la même valeur résidue, +d'où $m^2$ solutions par la combinaison des $m$ valeurs de $y$ avec les $m$ valeurs +de $x$. + +Enfin, pour toute valeur de $y$ qui ne rend pas $ay^m + b$ résidu de +$m$\iieme\ puissance, il n'y aura aucune solution. D'après cela: + +\emph{Le nombre de solutions de la congruence +$x^m \equiv ay^m + b \moddot{p=hm+1}$ est toujours multiple de $m$ et prend +l'une des trois formes:} +\marginpage % *** File: 269.png + +\primop.~\emph{$km^2$ si $b$ et $-ba^{m-1}$ sont non-résidus de $m$\iieme\ puissance par +rapport au module $p$.} + +\secundop.~\emph{$km^2 + m$, si des deux nombres $b$, $-ba^{m-1}$ l'un est résidu et +l'autre non-résidu de $m$\iieme\ puissance par rapport au module $p$.} + +\tertiop.~\emph{$km^2 + 2m$, si $b$ et $-ba^{m-1}$ sont tous deux résidus de $m$\iieme\ puissance +pour le module $p$.} + +Il suit de ce qui précède que $y$ ne prenant que $p$ valeurs 0, 1, +2\dots $(p-1)$, le nombre des solutions ne saurait surpasser $mp$. Pour +qu'il fût égal à $mp$, il faudrait avoir $(ay^m+b)^{\frac{p-1}{m}} \equiv 1 \moddot{p}$ pour +toute valeur de $y$: mettant donc pour $y$ les nombres 0, 1, 2\dots $p-1)$ +et sommant, il en résulterait $a^{\frac{p-1}{m}} (p-1) \equiv 0 \moddot{p}$ en remarquant +que si l'on pose $0^g + 1^g + 2^g + \dotsb (p - 1)^g = \tint g$, toutes les sommes +comprises dans le résultat seront $\equiv 0 \moddot{p}$ à l'exception de $\int(p-1)$ +qui sera $\equiv p-1 \moddot{p}$. Mais on ne peut avoir +$a^{\frac{p-1}{m}} (p - 1) \equiv 0 \moddot{p}$ sans supposer $a \equiv 0 \moddot{p}$, ce qui n'est +point. Le nombre de solutions est donc toujours moindre que $mp$. + +La congruence (1) prendra donc la forme +$mS'_2 \equiv (-1)\sum A\,2(p-1) \moddot{p}$, en posant $S_2=mS'_2$; et comme $S'_2$ +est moindre que $p$, elle suffira pour déterminer cette inconnue. + +Voici maintenant la congruence qui donne $S_2$; on y suppose +\iffalse +\begin{align*} +A_1 &= 1\ldot 2\ldot 3\ldots h,\\ +A_2 &= (h+1)(h+2)\ldots 2h,\\ +A_3 &= (2h+1)\ldots 3h,\\[-1ex] +\vdots\; & \\[-1ex] +A_{m-1} &= \left[(m-2)h + 1\right]\ldots(m-1)h = (p-h-1)(p-h-2)\ldots \equiv A_2(-1)^h, \\ +A_m &= \left[(m-1)h + 1\right]\ldots mh = (p-1)(p-2)\ldots p-h \equiv A_1(-1)^h. +\end{align*} +\fi +\begin{align*} +&\quad\ \begin{aligned} +A_1 &= 1\ldot 2\ldot 3\ldots h,\\ +A_2 &= (h+1)(h+2)\ldots 2h,\\ +A_3 &\multispan{1}{${}= (2h+1)\dotfill 3h,$} +\end{aligned}\\[-1ex] +&\qquad\vdots \\[-1ex] +&\begin{alignedat}{4} +&A_{m-1} &&= \left[(m-2)h + 1\right]\ldots(m-1)h &&= (p-h-1)(p-h-2)\ldots &&\equiv A_2(-1)^h, \\ +&A_{m} &&\multispan{1}{${}= \left[(m-1)h + 1\right]\dotfill mh$} &&\multispan{1}{${}= (p-1)(p-2)\dotfill p-h$} &&\equiv A_1(-1)^h. +\end{alignedat} +\end{align*} + +La relation $A_{g+1} \equiv (-1)^h A_{m-g} \moddot{p}$ servira pour simplifier les %[**errata] +résultats. + +\textsc{Théorème.} \emph{La congruence qui donne le nombre $S_2$ des solutions +de la congruence $x^m-ay^m \equiv b \moddot{p}$ est}\label{err270} +\marginpage % *** File: 270.png +\begin{align*} +&-S_2 \equiv a^h\qquad\qquad \moddot{p=hm+1} \tag{4}\\ +&\quad+ a^{2h} + \frac{A_2}{A_1} a^h b^h\\ +% +&\quad+ a^{3h} + \frac{A_3}{A_1} a^{2h} b^h ++ \frac{A_3}{A_1} a^h b^{2h}\\ +% +&\quad+ a^{4h} + \frac{A_4}{A_1} a^{3h} b^h ++ \frac{A_4A_3}{A_1A_2} a^{2h} b^{2h} ++ \frac{A_4}{A_1} a^h b^{3h}\\[-1ex] +% +&\qquad\vdots\\[-1ex] +% +&\quad+ a^{(m-1)h} + \frac{A_{m-1}}{A_1} a^{(m-2)h} b^h +\!\begin{aligned}[t]&+ \frac{A_{m-1}A_{m-2}}{A_1A_2} a^{(m-3)h} b^{2h} + \dotsb \\ +&+ \frac{A_{m-1}}{A_1} a^h b^{(m-2)h}. +\end{aligned} +\end{align*} + +Cette formule se trouve immédiatement par le développement de +$(x^m - c)^{p-1}$; où l'on fait $c=ay^m + b$. + +Négligeant d'abord les termes où $x$ n'a pas un exposant multiple de +$p-1$, et le terme où $x$ n'entre pas avec $y$, on aura en réduisant tous +les coefficients à l'unité, d'après l'article précédent, +\[ +c^h x^{m(p-1-h)} + c^{2h} x^{m(p-1-2h)} ++ \dotsb + c^{(m-1)h} x^{mh}. +\] +Maintenant, si l'on développe la puissance $c^{kh}=(ay^m+b)^{kh}$, en effaçant +tous les termes sans $y$ et ceux où l'exposant n'est pas multiple +de $p - 1$, on trouvera +\begin{align*} +a^{kh} y^{m\ldot kh} + &\frac{A_k}{A_1} a^{(k-1)h} b^h y^{m(kh-h)} ++ \frac{A_k \ldot A_{k-1}}{A_1A_2} a^{(k-2)h} b^{2h} y^{m(kh-2h)} + \dotsb \\ +& \frac{A_kA_{k-1}}{A_1A_2} a^{2h} b^{(k-2)h} y^{2mh} ++ \frac{A_k}{A_1} a^h b^{(k-1)h} y^{mh}. %[**errata (2) A->A_1; y^{m(kh-k)}->y^{m(kh-h)}] +\end{align*} +On tirera de là les valeurs de $c^h$, $c^{2h}$,\dots $c^{(m-1)h}$, d'où la congruence de +de l'énoncé. + +Si l'on voulait avoir la congruence donnant le nombre des solutions +qui ne contiennent aucune inconnue égale à zéro, il faudrait prendre +\marginpage % *** File: 271.png +\begin{align*} +\label{err271}s_2 &\equiv a^h b^h\qquad \moddot{p = hm + 1} \tag{5}\\ +&\quad+ a^{2h} + \frac{A_2}{A_1} a^h b^h + b^{2h}\\ +&\quad+ a^{3h} + \frac{A_3}{A_1} a^{2h} b^h + \frac{A_3}{A_1} a^h b^{2h} + b^{3h} \\[-1ex] +&\qquad\vdots\\[-1ex] +&\quad+ a^{(m-1)h} + \frac{A_{m-1}}{A_1} a^{(m-2)h} b^h ++ \dotsb + \frac{A_{m-1}}{A_1} a^h b^{(m-2)h} + b^{(m-1)h}\\ +% +&\quad+ a^{mh} + \frac{A_m}{A_1} a^{(m-1)h} b^h ++ \dotsb + \frac{A_m}{A_1} a^h b^{(m-1)h} + b^{mh} +\end{align*} +qui se trouve précisément de même en négligeant quelques termes de +moins dans le développement de $(x^m - c)^{p-1}$. + +Il faut remarquer que les congruences (4) et (5) ne contenant que +$a^h$, $b^h$ et leurs puissances, restent les mêmes, si $a$ et $b$ venant à changer, +restent résidus de $m$\iieme\ puissance, quand ils sont résidus; et si +quand ils sont non-résidus, ils restent non-résidus de la même classe. +En un mot, les congruences (4) et (5) restent les mêmes, quand $a$ +et $b$ changent de valeurs numériques sans changer de classe. En général +pour toute congruence $ax^m + by^m + \dotsb + ku^m \equiv l \moddot{p=hm+1}$, le +nombre de solutions restera le même, quand les coefficients $a$, $b$,\dots $k$, $l$ +resteront des mêmes classes. En effet, si le terme $ax^m$ devient +$ag^m y^m = a(gy)^m$, $y$ se tirera de $x$ au moyen de la congruence +$gy \equiv x \moddot{p}$. + +Les formules (4) et (5) donnent les valeurs de $S_2$ et $s_2$ quel que soit +$p$: il est vrai cependant que les coefficients polynomiaux $\dfrac{A_2}{A_1}$, $\dfrac{A_3}{A_1}$, etc., +rendent le calcul d'autant plus long que $p$ est plus grand; mais, nous +verrons, dans des cas particuliers, des théorèmes qui donneront un +moyen expéditif de calculer ces coefficients. + +Nous allons montrer maintenant comment les deux cas précédents +conduisent aux valeurs de $S_k$ et $s_k$, quel que soit le nombre $k$ des inconnues. +\marginpage % *** File: 272.png + +\mysection{IV.} + +\begin{center} +\emph{Nombre de solutions de la congruence +$a_1 x_1^m + a_2 x_2^m + \dotsb + a_k x_k^m \equiv a_{k+1} \moddot{p = hm+1}$.} +\end{center} + +Soient $P$ et $Q$ deux fonctions de la forme +\[ +a_1 x_1^m + a_2 x_2^m + \dotsb + a_f x_f^m, \quad +b_1 y_1^m + b_2 y_2^m + \dotsb + b_i y_i^m; +\] +représentons par $P^0$, $P$, $P'$, $P''$,\dots $P^{(m-1)}$ les nombres de solutions de +la congru\-ence $P \equiv A \moddot{p}$, selon que $A$ sera zéro, résidu de +$m$\iieme\ puissance, ou non-résidu de 1\iere, 2\ieme, 3\ieme,\dots, $(m-1)$\iieme\ classe. +Autrement $g$ étant un non-résidu de première classe, soient \\[2ex] +$P^0$ le nombre de solutions de la congruence $P \equiv 0 \moddot{p}$,\\ +$P$ ou $P^{(m)}$ le nombre de solutions de la congruence $P \equiv g^0 \moddot{p}$,\\ +$P'$ le nombre de solutions de la congruence $P \equiv g \moddot{p}$,\\ +$P''$ le nombre de solutions de la congruence $P \equiv g^2 \moddot{p}$,\\ +\hspace*{0.5em}$\vdots$\\ +$P^{(m-1)}$ le nombre de solutions de la congruence $P \equiv g^{m-1} \moddot{p}$.\\[2ex] +Donnons à $Q^0$, $Q$, $Q'$, $Q''$\dots $Q^{(m-1)}$ et à $\Pi^0$ des significations analogues +et nous aurons la proposition suivante: + +\textsc{Théorème}. \emph{Le nombre de solutions de la congruence +$P \equiv Q \moddot{p = hm + 1}$ est en posant $P - Q = \Pi$}, +\[ +\tag{6} +\Pi^0 = P^0Q^0 + h[PQ + P'Q' + P''Q'' + \dotsb + P^{(m-1)}Q^{(m-1)} ]. +\] + +\textsc{Démonstration}. En effet pour une solution, on doit avoir simultanément +$P \equiv A$, $Q \equiv A \moddot{p}$, $A$ étant un nombre quelconque, +qui peut être congru à zéro pour le module $p$, ou encore résidu ou non +résidu de $m$\iieme\ puissance, par rapport au même module. Comme l'on +devra prendre chaque solution de $P \equiv A \moddot{p}$ avec chaque solution +de $Q \equiv A \moddot{p}$, pour en tirer les solutions de $P \equiv Q \moddot{p}$, on +voit qu'à $A \equiv 0 \moddot{p}$, il répondra $P^0Q^0$ solutions de $P \equiv Q \moddot{p}$. +Si $A$ au lieu d'être $\equiv 0 \moddot{p}$ était résidu de $m$\iieme\ puissance pour +\marginpage % *** File: 273.png +le module $p$, on montrerait de même qu'il y aurait $PQ$ solutions qui +donneraient $P \equiv Q \equiv A \moddot{p}$ et par conséquent $P \equiv Q \moddot{p}$. +Maintenant si la congruence $P \equiv A \moddot{p}$ est possible, $P \equiv Af^m$ +l'est également et a le même nombre de solutions, ces solutions s'obtenant, +comme il est très facile de le voir, en multipliant par $f$ les +valeurs de $x_1$, $x_2$,\dots\ qui satisfont à $P \equiv A \moddot{p}$. Ainsi à chacune +des $\dfrac{p-1}{m} = h$ valeurs résidues de $m$\iieme\ puissance qu'on peut +prendre pour $A$, il répond $PQ$ solutions, ou en tout $hPQ$ solutions. +On trouve semblablement $hP'Q'$ solutions de $P \equiv Q \moddot{p}$, pour +lesquelles on a $P \equiv Q \equiv$ à un non-résidu de $m$\iieme\ puissance et de +première classe; pareillement on trouve $hP''Q''$ solutions de la congruence +$P \equiv Q \moddot{p}$, pour lesquelles on a $P \equiv Q \equiv$ à un non-résidu +de $m$\iieme\ puissance et de deuxième classe et ainsi de suite. D'où +le résultat de l'énoncé. + +La formule (6) subsistera pour $P+Q= \Pi \equiv 0 \moddot{p}$ quand $h$ sera pair. %[**errata] +Si $h$ est +impair il suffira, comme il est très aisé de le voir, d'augmenter les +indices de $Q$ de $\dfrac{m}{2}$. Cela vient de ce qu'en représentant par $\rho$ une +racine primitive de $p$, on a $-1 \equiv \rho^{\tfrac{hm}{2}} \moddot{p}$, ou en posant +$h = 2h'+ 1$, $- 1 \equiv \rho^{h'm+\tfrac{m}{2}} \moddot{p}$, ou en d'autres termes de ce +que $-1$ est un non-résidu de $\dfrac{m}{2}$\rieme\ classe. + +Pour le cas particulier de $Q=g^kx^m$, $g$ étant un non-résidu de première +classe, et par conséquent $g^k$ un non-résidu de $k$\iieme\ classe, on +aura évidemment +\[ +Q^0=1,\; Q'=Q''=Q'''\ldots=Q^{(k-1)}=Q^{(k+1)}\ldots=Q^{(m-1)}=0,\; Q^{(k)}=m. +\] +En sorte que l'équation (6) deviendra dans la supposition de +$\Pi = P-Q = P - g^k x^m \equiv 0 \moddot{p}$, +\[ +\tag{7} \Pi^0 = P^0 + (p-1)P^{(k)}, +\] +d'où l'on tire +\[ +\tag{8} P^{(k)} = \frac{\Pi^0-P^0}{p-1}. +\] +\marginpage % *** File: 274.png + +On parviendra au même résultat pour $\Pi = P + g^k x^m \equiv 0 \moddot{p}$, +si $h$ est pair, mais si $h$ est impair, il faudra changer $P^{(k)}$ en +$P^{\left(k+\tfrac{m}{2}\right)}$. + +Les formules précédentes ramènent tous les cas à ceux de $k = 1$ et +$k = 2$, c'est-à-dire à ceux de une et deux inconnues, précédemment +traités; car si l'on prend d'abord la congruence\label{err274} +\[ +a_1 x_1^m + a_2 x_2^m + \dotsb + a_k x_k^m \equiv 0 \moddot{p}, +\] +il suffira de poser $k= f + g$, et les nombres de solutions pour des +congruences contenant l'une $f$ inconnues et l'autre $g$ inconnues +\[ +a_1 x_1^m + \dotsb + a_f x_f^m \equiv A,\quad +-a_{f+1} x_{f+1}^m - \dotsb - a_k x_k^m \equiv A \moddot{p} +\] +donnera le nombre de solutions d'une congruence contenant $f + g$ +inconnues, savoir de +\[ +a_1 x_1^m + a_2 x_2^m + \dotsb + a_k x_k^m \equiv 0 \moddot{p}. +\] +Ensuite, par la formule (8), on passera du cas de la congruence +$a_1 x_1^m + \dotsb + a_k x_k^m - a_{k+1} x_{k+1}^m \equiv 0 \moddot{p}$, au cas de la congruence +$a_1 x_1^m + \dotsb + a_k x_k^m \equiv a_{k+1} \moddot{p}$. + +Nous allons donner des exemples de ces calculs. + +\mysection{V.} + +\begin{center} +\emph{Formules générales pour le nombre de solutions de la congruence +$a_1 x_1^2 + a_2 x_2^2 + \dotsb + a_k x_k^2 \equiv a_{k+1} \moddot{p = 2h + 1}$.} +\end{center} + +Examinons le cas de $a_{k+1} = 0$, auquel les autres se ramènent, +comme nous venons de le voir. + +La congruence $a_1 x_1^2 + \dotsb + a_k x_k^2 \equiv 0 \moddot{p}$ se réduit ainsi qu'il +suit à une forme plus simple. + +\primop.~Tous les termes tels que $a_i x_i^2$ dont le coefficient $a_i$ est un résidu +quadratique de $p$, pourront être remplacés par d'autres termes, tels +que $y_i^2$. En effet, soit $a_i \equiv g^2 \moddot{p}$ et $gx_i \equiv y_i \moddot{p}$, il en +résultera $a_i x_i^2 \equiv y_i^2 \moddot{p}$. +\marginpage % *** File: 275.png + +\secundop.~Tous les termes tels que $a_fx^2_f$ dont le coefficient $a_f$ est un non-résidu +quadratique, étant passés dans le second membre, quand $-1$ +sera non-résidu quadratique, ce qui arrive pour $p$ de forme $4q - 1$, +la congruence prendra la forme +\[ +y^2_1 + y^2_2 + \dotsb + y^2_f \equiv z^2_1 + z^2_2 + \dotsb z^2_i \moddot{p}. +\] + +\tertiop.~Mais si $-1$ est résidu quadratique, ce qui arrive pour +$p= 4q + 1$, $-a_f$ sera non-résidu quadratique aussi bien que $a_f$, +dans ce cas $n$ étant un non-résidu quadratique déterminé, on posera +$-a_f \equiv nz^2 \moddot{p}$ ou $(nz)^2 \equiv -a_fn \moddot{p}$, ce qui est possible; +et la congruence prendra la forme +\[ +\label{err275}y^2_1 + y^2_2 + \dotsb + y^2_f \equiv n(z^2_1 + z^2_2 + \dotsb z^2_i) \moddot{p}. +\] +Si tous les coefficients sont de même espèce résidus ou non-résidus +quadratiques, la congruence devient +\[ +y^2_1 + y^2_2 + \dotsb + y^2_k \equiv 0 \moddot{p} +\] +qui est un cas particulier des précédentes. + +Pour le cas de la congruence $y^2_1 + y^2_2 + \dotsb + y^2_k \equiv a \moddot{p}$, +nous représenterons le nombre de solutions par $N^0_k$, $N_k$, $N'_k$, selon que +l'on aura $a \equiv 0 \moddot{p}$, ou que $a$ sera résidu quadratique, ou enfin +non-résidu quadratique. Si la congruence au lieu d'être du second degré +était du $m$\iieme, le nombre de solutions serait $N^0_k$ pour $a \equiv 0 \moddot{p}$; +$N_k$ pour $a$ résidu de $m$\iieme\ puissance; $N'_k$ pour $a$ congru à un non-résidu +de première classe, $N''_k$ pour $a$ congru à un non-résidu de deuxième +classe, et ainsi de suite jusqu'à $N^{(m-1)}_k$ pour $a$ non-résidu de $(m-1)$\iieme\ classe. +Ici l'indice inférieur est indispensable pour marquer le nombre +des inconnues. + +Dans le cas de $m=2$, objet de ce numéro, quand les nombres +$N^0_k$, $N_k$, $N'_k$ seront déterminés, le problème sera résolu, par la proposition +suivante dont la vérité s'aperçoit immédiatement. + +\emph{Le nombre de solutions de la congruence +$y^2_1 + y^2_2 + \dotsb y^2_f \equiv z^2_1 + \dotsb + z^2_i \moddot{p = 2h + 1}$ est égal à} +\[ +N^0_f N^0_i + h(N_f N_i + N'_f N'_i). +\] +\marginpage % *** File: 276.png +Celui de la congruence $y^2_1 + y^2_2 + \dotsb y^2_f \equiv n(z^2_1 \ldots + z^2_i) \moddot{p=2h+1}$ +où $n$ est un non-residu quadratique est égal à +\[ +N_f N^0_i + h(N_f N'_i + N'_f N_i). +\] +Ensuite pour le cas où l'on n'aurait pas $a_{k+1} =0$, soient \\[2ex] +$P_0$ le nombre de solutions de $a_1 x^2_1 + a_2 x^2_2 + \dotsb + a_k x^2_k \equiv 0 \moddot{p}$, \\ +$\Pi_0$ le nombre de solutions de la congruence +$a_1 x^2_1 + \dotsb + a_k x^2_k - a_{k+1} x^2 \equiv 0 \moddot{p}$, \\ +Le nombre de solutions de $a_1 x^2_2 + \dotsb + a_k x^2_k \equiv a_{k+1} \moddot{p}$, +sera $\dfrac{\Pi_0-P_0 }{p-1}$, comme il suit de la formule (8). + +La recherche est donc ramenée à trouver le nombre de solutions de +la congru\-ence +\[ +x^2_1 + x^2_2 + x^2_3 + \dotsb + x^2_k \equiv a \moddot{p}. +\] +Voici d'abord deux relations qui serviront à simplifier les calculs. + +\textsc{Théorème.} \emph{Quel que soit le module premier $p=2h+1$, on a toujours} +\[ +N^0_k + h(N_k + N'_k) = p^k.\tag{9} +\] + +\textsc{Démonstration.} Cela se voit de suite en substituant dans +$P = x^2_1 + x^2_2 + \dotsb + x^2_k$, au lieu de $x_1$, $x_2$,\dots $x_k$, chacun des arrangements +$k$ à $k$ des $p$ nombres 0, 1, 2,\dots$(p-1)$. De ces arrangements +il y en aura $N^0_k$ qui donneront $P \equiv 0 \moddot{p}$ à un résidu quadratique +déterminé, $a$ par exemple, il en aura encore $N_k$ qui donneront +$P \equiv ay^2$, quel que soit $y$. Ainsi comme il y a $h$ résidus quadratiques, +il y aura $hN_k$ arrangements qui donneront $P \equiv$ à un résidu quadratique. +De même il y aura $hN'_k$ arrangements qui donneront $P$ congru +à un non-résidu quadratique; or il faut avoir $P \equiv 0$, à un résidu ou à +un non résidu quadratiques, d'ailleurs le nombre total des arrangements +$k$ à $k$ est égal à $p^k$, on aura donc $N^0_k + h(N_k + N'_k) = p^k$. Ce +qu'il fallait démontrer. + +\textsc{Théorème.} \emph{Si le module $p$ est de forme $4q + 1$, on aura} +\[ +N^0_k = 1 + (p-1)(N_{k-1} + N_{k-2} + \dotsb + N_2 + N_1) = 1 + (p-1) \sum N_{k-1},\tag{10} %[**errata] +\] +\marginpage % *** File: 277.png +\emph{et si $p$ est de forme $4q - 1$, on aura} +\[ +N^0_k=1+(p-1)(N'_{k-1}+ \dotsb + N'_2+N'_1)=1+(p-1)\sum N'_{k-1}.\hspace*{3em} +\tag{11} +\] + +\textsc{Démonstration.} En effet, dans le premier cas, on a par la formule (7) +$N^0_k=N^0_{k-1}+(p-1)N_{k-1}$. Pareillement $N^0_{k-1}=N^0_{k-2}+(p-1)N_{k-2}$ +et ainsi de suite jusqu'à $N^0_2=N^0_1+(p-1)N_1$: ajoutant ces équations +membre à membre et remarquant que l'on a $N^0_1=1$, on trouve de +suite la formule (10). + +La formule (11) se tire de même de l'équation +\[ +N^0_k=N^0_{k-1}+(p-1)N'_{k-1} +\] + +Les formules (9), (10) et (11), pour le cas de la congruence +\[ +x^m_1+x^m_2+ \dotsb + x^m_k\equiv a \moddot{p = hm + 1}. +\] +se changent en +\begin{alignat*}{3} +\tag{12} N^0_k &\rlap{${}+ h(N_k+N'_k+ \dotsb + N^{(m-1)}_k) = p^k,$}\\ +N^0_k=1 & + (p-1)\sum N_{k-1} \quad&&\text{pour}\quad &&h \text{pair},\tag{13}\\ +N^0_k=1 & + (p-1)\sum N^{\left(\tfrac{m}{2}\right)}_{k-1}\quad&&\text{pour}\quad &&h \text{impair}.\hspace{2.5em}\tag{14} +\end{alignat*} +La démonstration est absolument la même. + +Si l'on voulait exclure les solutions renfermant des inconnues égales +à zéro, il faudrait remplacer les équations (12), (13) et (14) par +\begin{alignat*}{3} +&\rlap{$N^0_k+h(N_k+N'_k+ \dotsb + N^{(m-1)}_k) = (p-1)^k,$}\tag{15}\\ +&N^0_k=(p-1) N_{k-1} \quad&&\text{pour}\quad &&h \text{pair},\tag{16}\\ +&N^0_k=(p-1) N^{(\tfrac{m}{2})}_{k-1}\quad&&\text{pour}\quad &&h \text{impair}.\hspace{5em}\tag{17} +\end{alignat*} + +La démonstration est presque la même. + +Venons-en aux formules générales pour le nombre de solutions de +la congru\-ence $x^2_1 + \dotsb +x^2_k\equiv a \moddot{p}$. + +D'abord la congruence (3) donne immédiatement ce théorème déjà +démontré par M.~Libri. + +\textsc{Théorème.} \emph{Le nombre de solutions de la congruence} +\marginpage % *** File: 278.png +\emph{$a_1x^2_1+a_2x^2_2\equiv a_3$ $\moddot{p}$ est $p-1$ si $-a_1a_2$ est résidu quadratique, +et $p + 1$, si $-a_1a_2$ est non résidu.} + +\textsc{Démonstration.} Mettons la congruence sous la forme +$(a_1x_1)^2-(-a_1a_2)x^2_2$ $\equiv a_1a_3 \moddot{p}$, ou $y^2_2-ay^2_2\equiv b \moddot{p}$: +\label{err277}la congruence (4) devient $-S_2\equiv a^h \moddot{p}$, ou bien $S_2\equiv -(-a_1a_2)^h \moddot{p}$ +ou $S_2\equiv \mp 1 \moddot{p}$, selon que $-a_1a_2$ est résidu, ou non +résidu quadratique. De plus, on a $S_2 < 2p$ et pair, il faut donc poser +$S_2\equiv p\mp 1$. Pour le cas de $a_1=a_2=1$, $-a_1a_2=-1$, il y a +donc $p-1$ solutions, si $p=4q+1$, et $p+1$, si $p = 4q-1$; car +dans le premier cas, $-1$ est résidu, et dans le second, il est non résidu +quadratique. + +\emph{Dans le cas de $a_3=0$, ou de la congruence $a_1x^2_1+a_2x^2_2\equiv 0 \moddot{p}$, +il y a $1+2(p-1)$ solutions si $-a_1a_2$ est résidu quadratique, et +seulement $1$, si $-a_1a_2$ est non résidu.} + +Cette proposition est un cas particulier d'une plus générale démontrée +au commencement de l'article III. + +Voici maintenant la proposition générale: + +\textsc{Théorème.} \emph{On a pour $k$ nombre impair, +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +N^{0}_k &= p^{k-1},\\ +N_k &= p^{k-1} + (-1)^{\tfrac{p-1}{2}\ldot \tfrac{k-1}{2}}\ldot p^{\tfrac{k-1}{2}},\\ +N'_k &= p^{k-1} - (-1)^{\tfrac{p-1}{2}\ldot \tfrac{k-1}{2}}\ldot p^{\tfrac{k-1}{2}},\\ +\end{aligned} \right. +\tag{18} +\] +et pour $k$ pair, on a} +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +N^0_k &= p^{k-1} + (-1)^{\tfrac{p-1}{2}\ldot \tfrac{k}{2}}\ldot (p-1)p^{\tfrac{k}{2}-1},\\ +N_k = N'_k &= p^{k-1} - (-1)^{\tfrac{p-1}{2}\ldot \tfrac{k}{2}}\ldot p^{\tfrac{k}{2}-1}. +\end{aligned}\right. +\tag{19} +\] + +\textsc{Démonstration.} De la congruence $x^2_1+x^2_k+ \dotsb + x^2_k \equiv a \moddot{p}$, +nous tirerons les deux suivantes: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +x^2_1 + x^2_2 + \dotsb + x^2_k &\equiv ax^2_{k+1},\\ +x^2_1 + \dotsb \ldots + x^2_{k-1} &\equiv ax^2_{k+1} - x^2_k, +\end{aligned}\right\} \moddot{p}, +\tag{20} +\] +qui n'en font qu'une. Nous égalerons leurs nombres de solutions; de +\marginpage % *** File: 279.png +là nous tirerons $N_k$ ou $N_k'$, d'où il sera facile de déduire $N_k^0$, et ensuite +$N_k'$ ou $N_k$. + +\emph{Premier cas}. $p=4q+1$ et $a$ résidu quadratique. La première des +congruences (20) a par la formule (7) un nombre de solutions égal à +\[ +N_k^0 + (p-1)N_k. +\] +La deuxième des congruences (20) deviendra en posant +\[ +P=x_1^2+x_2^2+ \dotsb +x_{k-1}^2,\quad Q = ax_{k+1}^2-x_k^2,\quad P \equiv Q \moddot{p}. +\] +Si l'on représente par $P^0$, $Q^0$ les nombres de solutions des congruences +$P \equiv 0$, $Q \equiv 0 \moddot{p}$; par $P$ et $Q$ les nombres de solutions des +congruences $P \equiv$ à un résidu et $Q \equiv$ à un résidu, suivant le module +$p$; et enfin par $P'$ et $Q'$ les nombres de solutions des congruences +$P \equiv$ à un non-résidu, $Q \equiv$ à un non-résidu pour le module $p$, le +nombre de solutions de la congruence $P \equiv Q \moddot{p}$, sera +\[ +P^0Q^0 + h(PQ + P'Q'); +\] +mais d'après les notations convenues, +\[ +P_0 = N^0_{k-1}, \quad P = N_{k-1},\quad P' = N'_{k-1}, +\] +et d'après les théorèmes qui donnent le nombre de solutions de +$ax_1^2-x_2^2\equiv b \moddot{p}$, +\[ +Q^0=1+2(p-1), \quad Q=p-1, \quad Q'=p-1, +\] +car $-a \times -1 = a$ est résidu quadratique. + +Le nombre de solutions de la congruence $P \equiv Q \moddot{p}$, devient +donc +\[ +[1+2(p-1)]N^0_{k-1} + h[(p-1)N_{k-1} + (p-1)N'_{k-1}], +\] +égalant ce nombre à $N^0_k + (p - 1)N_k$ et simplifiant au moyen des +équations (9) et (10), on aura, à cause de +\begin{align*} +{}&\sum N_g = N_g + N_{g-1} + \dotsb + N_2 + N_1,\\[-3ex] +\intertext{l'équation}\\[-5ex] +&\sum N_k = p \sum N_{k-2} + p^{k-1} + 1,\\[-3ex] +\intertext{pareillement,}\\[-5ex] +&\sum N_{k-1} = p \sum N_{k-3} + p^{k-2} + 1,\\[-3ex] +\intertext{d'où}\\[-5ex] +&N_k = pN_{k-2} + p^{k-1} - p^{k-2}, +\end{align*} +\marginpage % *** File: 280.png +qui revient à +\[ +\tag{21} N_k - p^{k-1} = p( N_{k-2} - p^{k-3}). +\] + +Cette équation montre que les quantités $N_1-1$, $N_2-p$, $N_3-p^2$, etc.\ +forment une série récurrente dont l'échelle de relation est 0, $p$. + +Soit en général $A$, $B$ l'échelle de relation d'une série récurrente: si +l'on veut que $ax^n+by^n$ soit le terme de rang $n+1$, il faudra +poser +\[ +ax^n+by^n = A(ax^{n-1}+by^{n-1}) + B(ax^{n-2}+by^{n-2}), +\] +qui peut s'écrire +\[ +ax^{n-2}(x^2-Ax-B) + by^{n-2}(y^2-Ay-B) =0, %[**errata] +\] +à laquelle on satisfera en prenant pour $x$ et $y$ les racines de +$z^2-Az-B=0$. Puis il faudra déterminer $a$ et $b$, de manière +que $ax^0+by^0$ et $ax+by$ soient respectivement égaux aux deux +premiers termes. Dans le cas présent on a +\[ +A = 0,\quad B = p,\quad z^2 = p, \qtext{d'où} x = \surd{p},\quad y = -\surd{p}: +\] +de plus, +\[ +N_1 - 1 = 2 - 1 = 1,\quad N_2 - p = p - 1 - p = - 1. +\] +Les équations qui déterminent $a$ et $b$ sont donc +\[ +a + b = 1, \quad (a - b) \surd{p} = - 1. +\] +d'où l'on tire +\[ +a=\frac{\surd{p}-1}{2\surd{p}},\quad b=\frac{\surd{p}+1}{2\surd{p}}, +\] +et par conséquent, +\[ +N_k - p^{k-1} = \frac{\surd{p}-1}{2\surd{p}}(\surd{p})^{k-1} + \frac{\surd{p}+1}{2\surd{p}}(-\surd{p})^{k-1}, +\] +\marginpage % *** File: 281.png +ou bien encore, +\[ +N_k-p^{k-1}=\tfrac{1}{2}(\surd p-1)(\surd p)^{k-2}-\tfrac{1}{2}(\surd p+1)(-\surd p)^{k-2}.\tag{22} +\] +Ce qui donne pour $k$ nombre pair, +\[ +N_k=p^{k-1}-p^{\tfrac{k}{2}-1}, +\] +et pour $k$ nombre impair, +\[ +N_k=p^{k-1}+p^{\tfrac{k-1}{2}}. +\] +On aurait pu obtenir ces deux équations par de simples éliminations +et sans recourir aux séries récurrentes, car la valeur de $N_k$ dépend de +celle de $N_{k-2}$, celle-ci s'obtient au moyen de $N_{k-4}$ et ainsi de suite, +jusqu'à ce qu'on parvienne à $N_2$ et $N_1$ dont les valeurs sont connues; +dans ce calcul, il faut traiter séparément le cas de $k$ pair et celui de +$k$ impair. + +Au moyen des valeurs trouvées pour $N_k$, l'équation +\[ +N^0_k= 1+(p-1)(N_{k-1}+N_{k-2}+ \dotsb +N_2+N_1), +\] +donnera pour $k$ impair, +\[ +N^0_k=p^{k-1}, +\] +et pour $k$ pair, +\[ +N^0_k=p^{k-1} + (p-1)\ldot p^{\tfrac{k}{2}-1}. +\] + +\emph{Deuxième cas}. $p = 4q+1$ et $a$ non-résidu.\label{err281} + +Pour $k$ impair l'équation $N^0_k + h(N_k+N'_k)=p^k$, donne %[**errata] - following lines reformatted to avoid overlong lines +\begin{align*} +N_k+N'_k &= \frac{2(p^k-p^{k-1})}{p-1} = 2p^{k-1}\\[-3ex] +\intertext{d'où l'on tire}\\[-5ex] +N'_k&=2p^{k-1}-N_k,\\[-3ex] +\intertext{ou bien}\\[-5ex] +N'_k &= p^{k-1}-p^{\tfrac{k-1}{2}}.\\[-3ex] +\end{align*} +Pour $k$ pair, on a +\[ +N_k+N'_k=2\Big[p^k-p^{k-1}-(p-1)p^{\tfrac{k}{2}-1}\Big]:(p-1)=2\Big(p^{k-1}-p^{\tfrac{k}{2}-1}\Big)=2N_k, %[**errata] +\] +\marginpage % *** File: 282.png +d'où +\[ +N'_k =N_k. +\] + +\emph{Troisième cas}. $p=4q-1$ et $a$ non-résidu quadratique.\label{err282a} + +Les nombres de solutions des deux %[**errata] +congruences (20), sont ici en +vertu de $Q^0=1$, $Q=Q'=p+1$, égaux respectivement à +\[ +N_k^0+(p-1)N'_k,\quad N^0_{k-1} + \frac{p-1}{2}[(p+1)N_{k-1}+(p+1)N'_{k-1}]; +\] +égalant ces deux nombres, il vient +\begin{align*} +\sum N'_k &= -p\sum N'_{k-2} + \frac{p+1}{p-1}(p^{k-1}-1);\\[-3ex] +\intertext{pareillement}\\[-5ex] +\sum N'_{k-1} &= -p\sum N'_{k-3} + \frac{p+1}{p-1}(p^{k-2}-1), +\end{align*} +d'où +\[ +N'_k = -pN'_{k-2} + p^{k-1} + p^{k-2}, +\] +ce qui revient à\label{err282} +\[ +\tag{23} N'_k-p^{k-1} = -p(N'_{k-2} - p^{k-3}). +\] +Cette équation traitée comme l'équation (21) donnera +\[ +\tag{24} N'_k-p^{k-1} = \tfrac{1}{2}(\sqrt{-p}+1)(\surd{-p})^{k-2} + \tfrac{1}{2}(-\sqrt{-p}+1)(-\surd{-p})^{k-2}; +\] +car il faut remarquer qu'on a ici $N'_1-1=-1$ et $N'_2-p=1$, +puisque $N'_1=0$, $N'_2=p+1$; de là résulte +\[ +a=\frac{-\sqrt{-p}+1}{2\surd{-p}}, \quad b=-\frac{\sqrt{-p}+1}{2\surd{-p}}. +\] +Pour $k$ nombre impair l'équation (24) donne +\[ +N'_k = p^{k-1} - (-p)^{\tfrac{k-1}{2}}, +\] +et pour $k$ nombre pair, elle donne au contraire, +\[ +N'_k = p^{k-1} + (-p)^{\tfrac{k}{2}-1} +\] +\marginpage % *** File: 283.png +On pouvait obtenir ces valeurs de $N'_k$ par de simples éliminations. + +L'équation $N^0_k = 1+(p-1)\sum N'_{k-1}$, donnera, comme plus haut, +pour $k$ impair, +\[ +N^0_k = p^{k-1}, +\] +et pour $k$ pair, +\[ +N^0_k = p^{k-1} - (p-1)p^{\tfrac{k}{2}-1}. +\] + +\emph{Quatrième cas}. $p=4q-1$ et $a$ résidu quadratique. L'équation +$N_k+\dfrac{p\!-\!1}{2}(N_k+N'_k)=p^k$ % spacing adjusted to avoid overfull line +donne encore pour $k$ impair $N_k+N'_k=2p^{k-1}$, +d'où $N_k=p^{k-1}+(-p)^{\tfrac{k-1}{2}}$, et pour $k$ pair $N_k+N'_k=2N_k$, +d'où $N'_k=N_k$. + +Si l'on remarque maintenant que l'on a $(-1)^{\tfrac{p-1}{2}}=+1$ pour +$p=4q+1$ et $(-1)^{\tfrac{p-1}{2}}=-1$ pour $p = 4q-1$, on aura les résultats +de l'énoncé. + +Les formules (22) et (24) se déduisent avec la plus grande facilité +d'une formule très générale et très remarquable donnée par M.~Libri, +dans son mémoire sur la \emph{Théorie des Nombres}, nous reviendrons +plus loin sur cette formule. + +\mysection{VI.} + +\begin{center}\emph{Nombre de solutions de la congruence} $a_1x_1^3+a_2x_2^3\equiv a_3 \moddot{p=3h+1}$.\end{center} + +\primop.~Si $a_3=0$, il y aura, comme on l'a vu, 1 ou $1+3(p-1)$ +solutions selon que $-a_2a_1^2$ sera résidu ou non résidu cubique (III). + +\secundop.~Dans le cas général, nous ramènerons la congruence précédente +à la forme $y_1^3-ay_2^3\equiv b \moddot{p=3h+1}$. Ici, en posant +\[ +\frac{2h(2h-1)(2h-2)\ldots(h+1)}{1\hspace{0.15em}\ldot\hspace{0.15em}2\hspace{1.15em}\ldot\hspace{1.15em}3\makebox[4.6em]{\dotfill} h\hspace{1em}}=Q, +\] +\label{err283}la congruence (4) donnera +\marginpage % *** File: 284.png +\[ +\tag{25} -S_2\equiv a^h+a^{2h}+Qa^hb^h \moddot{p = 3h + 1}. +\] +Comme $h$ est pair, on voit que les signes de $a$ et $b$ venant a changer, +$S_2$ n'en conservera pas moins la même valeur. Comme $a^h$ et $b^h$, selon +les valeurs particulières de $a$ et de $b$, peuvent prendre trois valeurs, +qui sont les racines de la congruence $z^3 \equiv 1 \moddot{p}$, savoir 1, $r$, +et $r^2$ en représentant par $r$ une racine primitive de $z^3 \equiv 1 \moddot{p}$, +ou ce qui est la même chose dans le cas présent, où il y a deux +racines primitives, une des racines de $z^2 + z + 1 \equiv 0 \moddot{p}$, ou +encore de $(2z + 1)^2 \equiv -3 \moddot{p}$. On voit de suite que la congruence +$y_1^3-ay_2^3 \equiv b \moddot{p}$ peut présenter neuf cas correspondants +aux neuf combinaisons des trois valeurs de $a^h$ et des trois +valeurs de $b^h$. Soit donc un $a$ non-résidu cubique de première classe, +nous aurons les neuf congruences suivantes à côté desquelles sont +inscrits les nombres de solutions, représentés par les lettres $A$, $B$, $C$, +différemment accentuées. +\begin{gather*} +\left. +\begin{alignedat}{2} +y_1^3-y_2^3&\equiv 1\moddot{p}\; && A \text{sol.} \\ +y_1^3-y_2^3&\equiv a && B \\ +y_1^3-y_2^3&\equiv a^2 && C +\end{alignedat} +\quad\right|\quad +\begin{alignedat}{2} +y_1^3-ay_2^3&\equiv 1\moddot{p}\; && A' \text{sol.} \\ +y_1^3-ay_2^3&\equiv a && B' \\ +y_1^3-ay_2^3&\equiv a^2 && C' +\end{alignedat}\\[1ex] +\begin{alignedat}{2} +y_1^3-a^2y_2^3&\equiv 1\moddot{p}\; && A'' \text{sol.} \\ +y_1^3-a^2y_2^3&\equiv a && B'' \\ +y_1^3-a^2y_2^3&\equiv a^2 && C'' +\end{alignedat} +\end{gather*} + +Si l'on substitue dans la congruence (25) les valeurs de $a^h$ et $a^{2h}$, +qui sont $r$ et $r^2$, on obtiendra, au moyen de la relation $1 + r + r^2 \equiv 0\moddot{p}$, +les congruences +\begin{alignat*}{3} +A &\equiv -2-Q, & A' &\equiv 1-Qr, & A'' &\equiv 1-Qr^2 \quad\moddot{p},\\ +B &\equiv -2-Qr, & B' &\equiv 1-Qr^2,\quad & B'' &\equiv 1-Q,\\ +C &\equiv -2-Qr^2,\quad & C' &\equiv 1-Q, & C'' &\equiv 1-Qr, +\end{alignat*} +d'où l'on déduira facilement les congruences +\begin{align*} +\tag{26} +&A+3 = C' = B'' \equiv 1-Q\quad\moddot{p = 3h+1},\\ +&B+3 = A' = C'' \equiv 1-Qr, \\ +&C+3 = B' = A'' \equiv 1-Qr^2. +\end{align*} +Par exemple, la congruence (25) donnant $A + 3\equiv 1 - Q \moddot{p}$ +et $C' \equiv 1-Q \moddot{p}$, comme $A$ et $C'$ sont moindres que $3p$ et +que $A + 3$ et $C'$ sont divisibles par 3, il en résultera que la différence +\marginpage % *** File: 285.png +$A+3-C'$ sera divisible par $3p$, d'où suit nécessairement $A + 3 = C'$, +et ainsi des autres congruences. + +Les congruences (26) donneront immédiatement $A$, $B$, $C$, $A'$, $B'$, $C'$, +$A''$, $B''$, $C''$, quand on aura déterminé $Q$ et $r$. Pour déterminer $r$ on a la +congruence $(2r + 1)^2 \equiv -3\moddot{p}$ ou $r \equiv \dfrac{-1\pm\sqrt{-3} }{2 } \moddot{p}$. + +Nous donnerons plus bas la manière de calculer presque à la fois +$r$ et $Q$, ou plutôt le reste de $Q$ divisé par $p$. + +Les congruences (26) donnent par addition +\[ +9 + A + B + C = A' + B' + C' = A'' + B'' + C'' \equiv 3\moddot{p}, +\] +ce qui résulte encore de l'équation +\[ +9 + A + B + C = A' + B' + C' = A'' + B'' + C'' = 3(p+1), +\] +qui est une conséquence immédiate des équations +\begin{alignat*}{4} +1 + 3(p - 1) &+ h (A &&+ B &&+ &C) &= p^2,\\ +1 &+ h (A' &&+ B' &&+ &C') &= p^2,\\ +1 &+ h (A''&&+ B''&&+{}&C'') &= p^2, +\end{alignat*} +qui se prouvent précisément comme l'équation +\[ +N^0_2 + h(N_2 + N'_2 + N''_2) = p^2. +\] + +On a donc entre $A'$, $B'$, $C'$ la relation +\[ +A' + B' + C' = 3(p+1).\tag{27} +\] +Les deux autres équations qui donneraient $A+B+C$ et $A''+B''+C''$, +résulteraient de (26) et de (27); de sorte qu'il est inutile de les écrire. + +On peut trouver entre $A'$, $B'$, $C'$ une autre relation qui conduira à +la valeur du reste de $Q$ divisé par $p$; mais pour les cas particuliers où +$p$ sera un petit nombre, il sera plus court de calculer le reste de $Q$ au +moyen de la formule $Q = \dfrac{2h \ldot (2h-1) \ldots (h+1) }{1 \hspace{0.25em}\ldot\hspace{0.25em} 2 \makebox[5.8em]{\dotfill} h }$. + +Soit la congruence $x^3_1 - ax^3_2 \equiv y^3_1 - a^2 y^3_2\moddot{p}$ où $a$ est un +\marginpage % *** File: 286.png +non-résidu cubique de première classe, la formule (6) donnera pour +le nombre de ses solutions +\[ +1+h(A'A''+B'B''+CC''), +\] +ou d'après les équations (26), +\[ +1+h(A'B'+B'C'+A'C'). +\] +Mais si l'on écrit la congruence précédente sous la forme $x^3_1-y^3_1\equiv +a(x^3_2-ay^3_2)\moddot{p}$, +la formule (6) donnera pour le nombre de ses +solutions +\[ +1+3(p-1)+h(AC'+BA'+CB'), +\] +nombre qui, par le moyen des équations (26), devient +\[ +1+3(p-1)+h(A'^2+B'^2+C'^2)-(p-1)(A'+B'+C'); +\] +égalant ces deux valeurs du même nombre, on a +\[ +A'B'+A'C'+B'C'=A'^2+B'^2+C'^2 -3(A'+B'+C')+9, +\] +d'où, en simplifiant au moyen de l'équation (27), on tire +\[ +A'B'+A'C'+B'C'=3(p^2+p+1). +\] + +Si l'on pose $A' - B' = 9u$, $u$ sera nécessairement entier, et à cause +de $A'+B'=3(p+1)-C'$, on aura +\[ +A'=\tfrac{1}{2}[3(p+1)-C'+9u],\quad B'=\tfrac{1}{2}[3(p+1)-C'+9u]. +\] +Substituant dans $A'B'+A'C'+B'C'$, on trouvera, réduction faite, +\[ +(C'-p-1)^2+27u^2=4p.\tag{28} +\] +\label{err286}Soit $L^2+27M^2=4p$, où $L$ et $M$ sont positifs, cette équation n'aura +\marginpage % *** File: 287.png +qu'une solution\label{err287}\footnote{% +Voici comment le prouve M.~Gauss. Soit s'il est possible une nouvelle solution +$L'^2+27M'^2=4p$, on obtiendrait +\begin{flalign*} +&\qquad\primop.~\;(LL'-27MM')^2+27(LM'+L'M)^2=16p^2.&\\ +&\qquad\secundop.~\;(LL'+27MM')^2+27(LM'-L'M)^2=16p^2.&\\ +&\qquad\tertiop.~\;(LM'+L'M)(LM'-L'M)=4p(M'^2-M^2).& +\end{flalign*} + +La 3\ieme\ équation montre que le nombre premier $p$, divise un des nombres +$LM'+L'M$, $LM'-LM'$, tandis que la première et la deuxième font voir que +chacun de ces nombres est moindre que $p$. Donc, etc.}; +au moyen d'une table de carrés, il sera très facile +de déterminer $L$ et $M$ par voie d'exclusion. Ce calcul fait, on posera +\[ +C'-p-1=\pm L \text{et }u=\pm M, \text{d'où }A'-B'=\pm 9M. +\] + +La première équation donne $C'=p+1\pm L$; et comme $C'$ doit +être divisible par 3, le signe de $L$ sera déterminé, il faudra poser +$\pm L=3l+1=3\lambda -2$; en donnant à $l$ et $\lambda$ le signe convenable, +il en résultera $C'=3(h+\lambda)$, et parconséquent +\begin{align*} +&A+3=C'=B''=3(h+\lambda),\tag{29}\\ +&B+3=A'=C''=3\Big(h+1-\frac{\lambda \mp 3M}{2}\Big),\\ +&C+3=B'=A''=3\Big(h+1-\frac{\lambda \pm 3M}{2}\Big). +\end{align*} + +Si l'on compare la première de ces équations avec la première des +congruences (26), il en résultera $1-Q\equiv 3(h+\lambda)\equiv 3h+2\pm L +\moddot{p}$, ou bien $-Q\equiv\pm L\moddot{p}$: on a donc ce théorème qui +est dû à M.~Jacobi. + +\textsc{Théoreme.} \emph{Le coefficient $-\dfrac{2h\ldot(2h{-}1)\ldots(h{+}1) }{1 \hspace{0.25em}\ldot\hspace{0.25em} 2 \makebox[5em]{\dotfill} h }$ étant divisé par $p$ +donne un reste $\Big(\!<\dfrac{p}{2}\Big)$ toujours égal à $L$ sous la relation +\label{err287b}$L^2+27M^2=4p$, en prenant $L$, positif ou négatif, de la forme +$3l+1$.} + +\hfill (J. de M.~Crelle, tome 2. \emph{De residuis cubicis commentatio +numerosa}). + +Quant au signe de $M$, il reste nécessairement ambigu dans les équations +\marginpage % *** File: 288.png +(29), parce qu'il dépend de la valeur de $r$, racine primitive de +$z^3\equiv 1 \moddot{p}$, et que cette congruence a deux racines primitives +$\dfrac{-1\pm\surd-3}{2} \moddot{p}$. L'équation $A'-B'=\pm 9M$ revient à +$-(2r+1)Q\equiv\pm 9M \moddot{p}$ qui se réduit à $L^2+27M^2\equiv0 \moddot{p}$. + +Cette dernière congruence, qui se tire immédiatement de l'équation +$L^2+27M^2=4p$ donnera très facilement la valeur de $p$, car on en +tire $L\equiv 3M \sqrt{-3}$ $\moddot{p}$, ou, si l'on veut, $9N\equiv L\sqrt{-3} +\moddot{p}$. Cette dernière congruence revient à $-(2r+1)Q\equiv \pm 9M +\moddot{p}$. + +Les valeurs de $A$, $B$, $C$, $A'$, $B'$, $C'$, $A''$, $B''$, $C''$, pourraient conduire +à des formules générales pour le cas d'un nombre quelconque d'inconnues, +et l'on obtiendrait encore, pour le cas principal, des séries +récurrentes dont l'échelle de relation aurait trois termes; mais les +calculs seraient assez longs. Nous donnerons plus loin la formule de +M.~Libri, qui ne présente point cet inconvénient, et qui deviendra +très facilement applicable au moyen des propositions précédentes. + +\mysection{VII.} + +\begin{center}\emph{Nombre de solutions de la congruence} +\label{err288}$a_1x_1^4+a_2x_2^4\equiv a_3\moddot{p=4h+1}$.\end{center} + +Nous traiterons ici le cas de la congruence $y_1^4-ay_2^4\equiv b\moddot{p}$, +auquel les autres se ramènent. Les formules générales seront données +à la fin du paragraphe. + +Le nombre $S_2$ des solutions de la congruence précédente est déterminé +complètement par \label{err288b}la congruence (4), qui devient ici +\[ +-S_2\equiv a^h+\Big(a^{2h}+\frac{A_2}{A_1}b^ha^h\Big) +a^{3h} + \frac{A_3}{A_1}a^{2h}b^h + +\frac{A_3}{A_1}a^hb^{2h}\moddot{p}. +\] +Or, $a_3\equiv(-1)^hA_2\moddot{p}$, on aura donc pour $h$ pair, et en posant +\begin{gather*} +\frac{2h(2h-1)\ldots(h+1)}{1 \hspace{0.25em}\ldot\hspace{0.25em} 2 \makebox[4.8em]{\dotfill} h\hspace{1em}}=Q \\ +-S_2\equiv a^h+a^{2h} +a^{3h} +Qa^hb^h(1+a^h+b^h)\moddot{p},\tag{30} +\end{gather*} +\marginpage % *** File: 289.png +et pour $h$ impair +\[ +-S_2\equiv a^h+a^{2h} +a^{3h}+Qa^hb^h(1-a^h-b^h)\moddot{p}.\tag{31} +\] + +Les valeurs de $a^h$, $b^h$, et de leurs puissances, quelles que soient les +valeurs de $a$ et $b$, sont les racines de la congruence $z^4\equiv 1 \moddot{p}$, +savoir, 1, $r$, $r^2$, $r^3$, en représentant par $r$ une racine primitive de la +congruence $z^4\equiv 1 \moddot{p}$, ou, ce qui est la même chose dans le +cas présent, où il y a deux racines primitives, $r$ satisfait à la congruence +$z^2 + 1\equiv 0 \moddot{p}$. + +Ainsi la suite $1$, $r$, $r^2$, $r^3$ pourra être remplacée par $1$, $r$, $-1$, $-r$. + +Quand on connaîtra $r$ et le reste de $Q$ divisé par $p$, on pourra employer +les formules (30) et (31); mais comme le calcul direct du reste +de $Q$ est fort long, et même impraticable quand $p$ est un grand +nombre, nous démontrerons plus loin un théorème de M.~Gauss, qui +déterminera très expéditivement le reste de $Q$, au moyen de l'équation +$L^2+4M^2 = p$, qui donnera aussi la racine primitive $r$. + +\begin{center}\emph{Premier cas.} $h = 2h'$, $p = 8h' + 1$.\end{center} + +Si l'on représente par $a$ un non-résidu biquadratique de première +classe, la congruence $y^4_1-ay^4_2\equiv b \moddot{p}$ sera susceptible de seize +formes, dont nous écrirons le tableau avec les nombres correspondants +de solutions, représentés par les lettres $A$, $B$, $C$, $D$, différemment +accentuées. +\[ +\left. +\begin{alignedat}{4} +y^4_1-y^4_2 &\equiv 1, &&A; & y^4_1-ay^4_2 &\equiv 1, &&A'; \\ +y^4_1-a^2y^4_2&\equiv 1, &&A''; & y^4_1-a^3y^4_2 &\equiv 1, &&A'''. \\ +y^4_1-y^4_2 &\equiv a, &&B; & y^4_1-ay^4_2 &\equiv a, &&B'; \\ +y^4_1-a^2y^4_2&\equiv a, &&B''; & y^4_1-a^3y^4_2 &\equiv a, &&B'''. \\ +y^4_1-y^4_2 &\equiv a^2, &&C; & y^4_1-ay^4_2 &\equiv a^2, &&C'; \\ +\label{err289}y^4_1-a^2y^4_2&\equiv a^2, &&C''; & y^4_2-a^3y^4_2 &\equiv a^2, &&C'''. \\ +y^4_1-y^4_2 &\equiv a^3, &&D; & y^4_1-ay^4_2 &\equiv a^3, &&D'; \\ +y^4_1-a^2y^4_2&\equiv a^3, \; &&D''; \qquad& y^4_2-a^3y^4_2 &\equiv a^3, \; &&D'''. +\end{alignedat} +\right\}\moddot{p=4h+1} +\] + +Substituant dans la formule (30) les valeurs de $a^h$, $a^{2h}$, $a^{3h}$, on aura, +réductions faites, +\marginpage % *** File: 290.png +\[ +\left. +\begin{alignedat}{4} +&A &&\equiv -3-Q, && A' &&\equiv 1-(2r-1)Q, \\ %[**errata] +&A'' &&\equiv 1+Q, && A''' &&\equiv 1+(2r+1)Q, \\ +&B &&\equiv -3-(2r-1)Q, && B' &&\equiv 1+(2r+1)Q, \\ +&B'' &&\equiv 1-Q, && B''' &&\equiv 1-Q, \\ +&C &&\equiv -3+Q, && C' &&\equiv 1-Q, \\ +&C'' &&\equiv 1+Q, && C''' &&\equiv 1-Q, \\ +&D &&\equiv -3+(2r+1)Q,\qquad && D' &&\equiv 1-Q, \\ +&D'' &&\equiv 1-Q, && D''' &&\equiv 1-(2r-1)Q, %[**errata] +\end{alignedat} +\;\right\}\moddot{p=4h+1} +\] +d'où l'on tirera très facilement +\[ +\tag*{\raisebox{7ex}{(32)}} +\left.\begin{aligned} +&A + 4 \equiv 1 - 3Q, \\ +&B + 4 = A' = D''' \equiv 1-(2r-1)Q, \\ +&C + 4 = A'' = C'' \equiv 1+Q, \\ +&D + 4 = B' = A''' \equiv 1+(2r+1)Q, \\ +&C'=D'=B''=D''=B'''=C'''\equiv 1-Q. +\end{aligned} +\;\right\}\moddot{p=4h+1}. +\] +On trouve encore les équations +\begin{align*} +16+A+B&+C+D = A' + B' + C' + D' = A''+B''+ C''+ D'' \\ +&= A'''+ B'''+C''' + D''' = 4(p +1), +\end{align*} +qui se prouvent tout-à-fait de même que l'équation +\[ +N^0_2+h(N_2+N'_2+N''_2+N'''_2)=p^2. +\] +On aura donc, au moyen des équations (32), les nouvelles équations +\begin{alignat*}{2} +A + B + C &+& D\phantom{''} &= 4(p-3), \tag{33} \\ +B + D &+&2B '' &= 4(p-1), \\ +C &+& B '' &= 2(p-1). +\end{alignat*} +Les deux dernières conduisent à $B + D = 2C$. + +Si l'on pose $C - B'' = 16u$, $B - D = 16v$, il s'ensuivra que $u$ et $v$ +seront entiers, et les équations (33) donneront +\begin{alignat*}{2} +B'' &= p - 1 - 8u,\quad &B &=p - 1 + 8u + 8v,\quad A = p -9 - 24u,\\ +C\phantom{''} &= p - 1 + 8u, &D &=p - 1 + 8u - 8v. +\end{alignat*} +Or, il existe entre $u$ et $v$ une équation indéterminée qui les fait connaître +\marginpage % *** File: 291.png +sans ambiguité (sauf celle du signe), par la raison qu'elle n'a +qu'une solution; c'est l'équation +\[ +p =(1+4u)^2 +4v^2,\tag{34} +\] +que l'on obtient de la manière suivante: + +Le nombre $a$ étant un non-résidu biquadratique de première classe, +la congru\-ence $x_1^4-a^2x_2^4\equiv a(y_1^4-ay_2^4)\moddot{p}$ a, d'après la formule +(6) et les relations précédentes, un nombre de solutions représenté +par +\[ +1 + h(A''D' + B''A' + C''B' + D''C'). +\] +La même congruence, mise sous la forme $x_1^4-ay_1^4=a^2(x_2^4-y_2^4)$, a +pour nombre de solutions +\[ +1 + 16h + h(A'C + B'D + C'A + D'B); +\] +égalant ces deux valeurs du même nombre, on trouve +\[ +B''(B''+ C - A + 8) = D^2 + C(B - D), +\] +qui se réduit, par la substitution des valeurs de $A$, $B$, $C$, $D$, $B''$, à +l'équation (34). + +On prouvera, comme dans l'article précédent, que l'équation +$L^2 + 4M^2 = p$ n'a qu'une seule solution en nombres positifs, et en +déterminant convenablement le signe de $L$, on pourra faire $1 + 4u = +\pm L$. D'ailleurs on a $C -B'' = 16u \equiv 2Q - 4\moddot{p}$, ou +$8u \equiv Q - 2 \moddot{p}$. Par conséquent l'on aura $Q \equiv \pm 2L \moddot{p= +8h'+ 1}$. Comme $L$ est moindre que $\frac{1}{2}p$, on pourra poser +\[ +\tfrac{1}{2}Q \equiv \pm L \moddot{p}. +\] + +De là ce théorème de M.~Gauss: + +«\emph{La quantité $\frac{1}{2}\dfrac{2h\ldot (2h-1)\ldots(h-1) }{1 \hspace{0.25em}\ldot\hspace{0.25em} 2 \makebox[4.8em]{\dotfill} h\hspace{1em} }\moddot{p}$ est toujours égale a +$\pm L \Big(<\dfrac{p}{2}\Big)$, en prenant $p=L^2 + 4M^2$ et $\pm L = 1 + 4u$.}» + +Quant au signe de $v$ il dépend de $r$, qui se détermine par $2M \equiv +L\sqrt{-1}\equiv Lr\moddot{p}$, congruence qui revient à $B - D= 16v$, ou %[**errata] +du moins qui s'en déduit. +\marginpage % *** File: 292.png + +Les quantités $A$, $B$, $C$, $D$, etc., étant déterminées par ce qui précède, +on calculera, par le moyen de la formule (6), le nombre de +solutions pour toute autre congruence contenant plus de deux inconnues. +Voici un seul exemple qui suffira pour que l'on puisse appliquer +dans tous les cas la formule générale qui sera donnée plus loin. + +Pour trouver le nombre de solutions de la congruence +\[ +x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 +1 \equiv 0\moddot{p=4h+1}: +\] + +Si l'on représente par $\Pi^0$ et $P^0$ les nombres de solutions des +congruences $\Pi = x_1^4 + x_2^4+x_3^4+x_4^4\equiv 0$ et $P = x_1^4+x_2^4+x_3^4\equiv 0\moddot{p}$, +la formule (8) donnera pour le nombre cherché $\dfrac{\Pi^0-P^0}{p-1}$. + +Or $x_1^4+x_2^4+x_3^4\equiv 0\moddot {p = 8h'+1}$, revenant à $x_1^4+x_2^4\equiv +y_1^4\moddot{p}$, on aura +\[ +P^0 = 1\ldot [1+4(p-1)] + h\ldot 4\ldot A = 1+4(p-1) + (p-1)A. +\] + +Quant à la valeur de $\Pi^0$, en mettant $x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4\equiv 0\moddot{p}$ +sous la forme $x_1^4+x_2^4\equiv y_1^4+y_2^4\moddot{p}$, ce sera +\[ +[1+4(p-1)]^2 + \frac{p-1}{4} (A^2 + B^2 + C^2 + D^2). +\] + +Le nombre cherché est donc +\[ +4[1+4(p-1)] + \frac{A^2 + B^2 + C^2 + D^2}{4} - A = p^2 + 17p + 10 + 56u + 64u^2, +\] +par la substitution des valeurs de $A$, $B$, $C$, $D$. + +Les congruences (32) montrent de suite que ce nombre est indépendant +de la racine primitive $r$. + +\begin{center}\emph{Deuxième cas.\quad} $h = 2h' + r$, $p = 8h' + 5$.\end{center} + +Dans ce cas la formule (31) donne +\begin{gather*} +\left.\begin{alignedat}{4} +&A &&\equiv -3+Q, &&A' &&\equiv 1-Q, \\ +&A''&&\equiv 1+Q, &&A''' &&\equiv 1-Q, \\ +&B &&\equiv -3-Q, &&B' &&\equiv 1-(2r-1)Q,\\ +&B''&&\equiv 1+(2r+1)Q, &&B''' &&\equiv 1-Q, \\ +&C &&\equiv -3+Q, &&C' &&\equiv 1+(2r+1)Q,\\ +&C''&&\equiv 1-3Q, &&C''' &&\equiv 1-(2r-1)Q,\\ +&D &&\equiv -3-Q, &&D' &&\equiv 1-Q, \\ +&D''&&\equiv 1-(2r-1)Q, \quad +&&D''' &&\equiv 1+(2r+1)Q. +\end{alignedat} +\;\right\}\moddot p +\end{gather*} +\marginpage % *** File: 293.png +d'où l'on tire +\begin{gather*}\tag*{\raisebox{3.5ex}{(35)}} +\left. +\begin{aligned} +&A+4=C+4=A'' \equiv 1+Q,\\ +& B+4=D+4=A'=D'=A'''=B'''\equiv 1-Q,\\ %[**errata] +& B'=D''=C''' \equiv 1-(2r-1)Q,\\ +& C'=B''=D''' \equiv 1+(2r+1)Q,\\ +& C'' \equiv 1-3Q. +\end{aligned} +\right\} \moddot {p=8h'+5}. +\end{gather*} +On a de plus les équations\label{err293} +\begin{alignat*}{3}\tag{36} +A''+B''+{}&C''&&+\phantom{2}D'' &&= 4(p+1),\\ +B''+{}&D''&&+2B'''&&= 4(p+1),\\ +&A''&&+\phantom{2}B''' &&= 2(p+1), +\end{alignat*} +qui donnent les deux suivantes: +\[ +A'' + C'' = 2B''', \quad B'' + D'' = 2A''. +\] +Si l'on pose $A'' - B''' = 4u$, $D'' -B''= 16v$, on aura, comme il est +facile de le voir, $u$ et $v$ entiers, et de plus +\begin{align*} +B'''&=p+1-2u,\quad B''=p+1+2u-8v,\quad C''=p+1-6u,\\ +A'' &=p+1+2u,\quad D''=p+1+2u+8v. +\end{align*} + +Si l'on cherche, par le moyen de la formule (6), les nombres de +solutions des congruences +\[ +x^4_1 - ax^4_2 \equiv y^4_1 - ay^4_2, \quad +x^4_1 - y^4_1 \equiv a(x^4_2 - y^4_2)\moddot {p=8h'+5}, +\] +qui reviennent à la même, et où le nombre $a$ est un non-résidu +biquadratique de première classe, on trouvera, en égalant ces +nombres, +\[ +1 + h(A'^2 + B'^2 + C'^2 + D'^2) = (1+16h)^2 + h(AB+BC+CD+DA), +\] +ou, réductions faites, +\[ +p = u^2 + 4v^2.\tag*{(37)} +\] +Donc si l'on pose $p = L^2 + 4M^2$, $L$ et $M$ étant positifs, il faudra faire +\marginpage % *** File: 294.png +$u= \pm L$, en choisissant le signe de sorte que $A'' = p + 1 \pm 2L$ +devienne multiple de 8. Il faut, pour cela, prendre $\pm L = 1 + 4u'$. +On a encore ici $A'' - B''' = 4u \equiv 2Q\moddot p$, et par suite +$\frac{1}{2}Q \equiv L\moddot p$, +comme dans le premier cas. + +Pour donner un exemple de l'application des formules (6) et (8), +nous chercherons le nombre de solutions de la congruence $x^4_1 + x^4_2 ++ x^4_3 + 1 \equiv 0\moddot {p = 8h' + 5}$, +nombre qu'il est nécessaire d'obtenir +pour pouvoir employer dans tous les cas la formule générale qui +sera démontrée plus bas. Nous représenterons par $\Pi$ la fonction +$x^4_1 + x^4_2 + x^4_3 + x^4_4$, et par $P$ la fonction $x^4_1 + x^4_2 + x^4_3$. + +Le nombre cherché sera, d'après la formule (8), $\dfrac{\Pi^0-P^0 }{p-1}$. +Si l'on écrit la congruence $\Pi \equiv 0 \moddot p$ sous la forme $x^4_1 - (-1)x^4_2 +\equiv (-1) [x^4_3 - (-1)x^4_4]$ $\moddot p$, qui rentre dans la forme $x^4_1 - a^2x^4_2 +\equiv a^2(x^4_3 - a^2x^4_4)\moddot p$, on aura, pour le nombre de solutions, +\[ +\Pi^0 = 1 + h(A''C'' + B''D'' + C''A'' + D''B''). +\] +Quant à la congruence $P \equiv 0$, ou $x^4_1 + x^4_2 \equiv - x^4_3\moddot p$, elle a +pour nombre de solutions $P^0 = 1 + 4h C''$. + +Le nombre de solutions cherché sera donc +\[ +\frac{A''C''+B''D'' }{2 } - C'' = p^2 - 7p + 6u + 4u^2, %[**errata] +\] +par la substitution des valeurs de $A''$, $B''$, $C''$, $D''$. + +Nous ferons observer, en terminant ici ces applications, que nous +pourrons reprendre dans un autre mémoire pour le cas de $m =5$, +que pour ce cas et celui de $m = 6$, c'est-à-dire pour $p = 5h + 1$ et +$p = 6h+1$, les formules qui donnent les nombres de solutions +des congruences $ax^5 + by^5 \ldots + ku^5 \equiv l\moddot {p = 5h +1}$, +$ax^6 + by^6 + \dotsb + ku^6 \equiv l\moddot {p=6h + 1}$, renfermeraient les +deux coefficients binomiaux +\[ +\frac{2h \ldot (2h-1) \ldots (h+1) }{1 \hspace{0.25em}\ldot\hspace{0.25em} 2 \makebox[4.8em]{\dotfill} h\hspace{1em} },\quad +\frac{3h \ldot (3h-1) \ldots 2h }{1 \hspace{0.25em}\ldot\hspace{0.25em} 2 \makebox[4em]{\dotfill} h }; +\] +et comme leur détermination directe serait fort longue, et souvent +\marginpage % *** File: 295.png +même impraticable, on ferait dépendre leur détermination de la résolution +de certaines équations indéterminées. Pareillement, pour +$p=7h+1$,\dots $p=8h+1$, les formules contiendraient les trois coefficients +binomiaux +\[ +\frac{2h \ldot (2h-1) \ldots (h+1) }{1 \hspace{0.25em}\ldot\hspace{0.25em} 2 \makebox[4.8em]{\dotfill} h\hspace{1em} } ,\;\; +\frac{3h \ldot (3h-1) \ldots (2h+1) }{1 \hspace{0.25em}\ldot\hspace{0.25em} 2 \makebox[4.8em]{\dotfill} h\hspace{1em} },\;\; +\frac{4h \ldot (4h-1) \ldots (3h+1) }{1 \hspace{0.25em}\ldot\hspace{0.25em} 2 \makebox[4.8em]{\dotfill} h\hspace{1em} }, +\] +et ainsi de suite. + +Il se présente donc ici un problème important à résoudre, et dont +voici l'énoncé: + +«\emph{Soient $p = mh + 1$ et +$A_1 = 1\ldot 2\ldots h$, $A_2 = (h+1)(h + 2) \ldots +2h$, $A_3 = (2h+1)(2h+2)\ldots 3h$,\dots \label{err295}$A_m = ((m-1)h + 1)\ldots mh$; +on demande les valeurs de $\dfrac{A_2}{A_1}$, $\dfrac{A_3}{A_1}$,\dots $\dfrac{A_n}{A_1} \moddot{p}$, $n$ étant $\dfrac{m}{2}$ +ou l'entier immédiatement supérieur; ou, s'il est possible, les valeurs +de $A_1$, $A_2$\dots $A_n \moddot{p}$, c'est-à-dire les restes de ces quantités +divisées par $p$ nombre premier.}» + +Ce problème a été résolu dans quelques cas particuliers; la solution +générale serait fort utile pour la détermination des équations +auxiliaires qui servent à l'abaissement de l'équation $x^p = 1$; c'est ce +qu'on verra dans l'article suivant; et elle ne serait pas moins utile +pour l'établissement des lois de réciprocité dans la théorie des résidus +de puissances, ainsi qu'on le montrera dans un autre paragraphe. + +\mysection{VIII.} + +\begin{center}\label{err295b}\emph{Nombre de solutions de la congruence} \\ +$A_0 + A_1x_1^m + A_2x_2^m + \dotsb + A_k x_k^m \equiv 0 \moddot{p = hm + 1}$.\end{center} + +Pour trouver le nombre de solutions d'une congruence $\phi(x_1, x_2, \ldots, +x_k) \equiv 0 \moddot{p}$ déterminé ainsi qu'il a été dit dans l'article premier, +il suffit de chercher une fonction $\psi(x_1,x_2\ldots,x_k)$ qui se réduise à +l'unité pour toute solution $x_1 = \alpha_1$, $x_2 = \alpha_2$\dots, $x_k = \alpha_k$, et qui se +réduise à zéro pour toute substitution $x_1 = \beta_1$, $x_2 = \beta_2$\dots $x_k = \beta_k$, +qui ne satisfait pas à la congruence $\phi(x_1,x_2\ldots,x_k) \equiv 0 \moddot{p}$ +la somme des valeurs de $\psi(x_1,x_2\ldots,x_k)$ formées en mettant successivement, +\marginpage % *** File: 296.png +au lieu de $x_1$, $x_2$\dots, $x_k$, les $p^k$ arrangements $k$ à $k$ des +nombres 0, 1, 2\dots $p-1$, sera le nombre des solutions que nous +représenterons par $S_k$. + +Pour le cas de $p$ nombre premier, en représentant par $R$ une +racine imaginaire quelconque de l'équation $z^p = 1$, on sait que +$\dfrac{1}{p}(1+R^i+R^{2i}+R^{3i} + \dotsb +R^{(p-1)i})$ devient 1 ou 0, selon que le +nombre entier $i$ est divisible ou non divisible par $p$. + +On peut donc poser +\[ +\psi.= \frac{1}{p}(1+R^{\phi.} + R^{2\phi.} + \dotsb + R^{(p-1)\phi.}). +\] + +Pour abréger, on a écrit $\psi{.}$ et $\phi{.}$ au lieu de $\psi(x_1,x_2\ldots,x_k), +\phi(x_1, x_2\ldots, x_k)$. De là résulte +\[ +S_k=\frac{1}{p}\sum(1+R^{\phi.}+R^{2\phi.}+ \dotsb R^{(p-1)\phi.}),\tag{38} +\] +la somme étant prise, par rapport à $x_1$, depuis $x_1=0$ inclusivement +jusqu'à $x_1=p$ (exclusivement); par rapport à $x_2$, depuis $x_2=0$ jusqu'à +$x_2=p$, et ainsi des autres. + +Pour calculer plus facilement cette somme, représentons par $\rho$ une +racine primitive de $p$ ou de $x^{p-1} - 1 \equiv 0 \moddot{p = hm+1}$, et +posons\label{err296} +\begin{align*} +&y_0 = R^{\rho^0} + R^{\rho^m} + R^{\rho^{2m}} + \dotsb + R^{\rho^{(k-1)m}},\\ +&y_1 = R^{\rho^1} + R^{\rho^{m+1}} + R^{\rho^{2m+1}} + \dotsb + R^{\rho^{(k-1)m+1}},\\ +&y_2 = R^{\rho^2} + R^{\rho^{m+2}} + R^{\rho^{2m+2}} + \dotsb + R^{\rho^{(k-1)m+2}},\\ +&\;\vdots\\[-1ex] +&y_a = R^{\rho^a} + R^{\rho^{m+a}} + R^{\rho^{2m+a}} + \dotsb + R^{\rho^{(k-1)m+a}},\\[-1ex] +&\;\vdots\\[-1ex] +&y_{m-1} = R^{\rho^{m-1}} + R^{\rho^{2m+1}} + R^{\rho^{3m+1}} + \dotsb + R^{\rho^{km-1}}. +\end{align*} +Ces $m$ quantités seront nécessairement les racines d'une équation du +\marginpage % *** File: 297.png +degré $m$, puisque si l'on remplace la racine $R$ par une autre +racine imaginaire, telle que $R^{\rho^a}$, la suite $y_0$, $y_1$\dots $y_{m-1}$, deviendra +$y_a$, $y_{a+1}$, $y_{a+2}$\dots, $y_{a-1}$ qui n'en diffère que par l'ordre des termes. + +Appliquons la formule (38) à la congruence +\[ +A_0 + A_1 x_1^m + A_2 x_2^m + \dotsb + A_k x_k^m \equiv 0\moddot {p = hm + 1}, +\] +ou plutôt à la congruence +\[ +\rho^a + \rho^b x_1^m + \rho^c x_2^m + \dotsb + \rho^g x_k^m \equiv 0\moddot {p = hm + 1}, +\] +puisque tout nombre entier est congru à une certaine puissance de la +racine primitive $\rho$. + +On voit de suite que la formule (38) donne +\[ +pS_k = p^k + \sum R^{\phi.} + \sum R^{2\phi.} + \dotsb + \sum R^{(p-1)\phi.}. +\] + +Cherchons donc la valeur de $\sum R^{i\phi}$., ou plutôt, en prenant pour le +nombre entier positif $i$ la puissance $\rho^n$ qui lui est congrue suivant le +module $p$, cherchons la valeur de $\sum R^{\rho^n\phi{.}}$. Mettant pour $\phi{.}$ sa valeur, +on trouve immédiatement +\[ +\sum R^{\rho^n\phi.} = R^{\rho^{a+n}} \sum R^{\rho^{b+n} x_1^m} \sum R^{\rho^{c+n} x_2^m} \ldots \sum R^{\rho^{g+n} x_k^m}, +\] +chaque somme étant prise, comme on l'a dit, depuis zéro jusqu'à $p$. + +Or, si l'on met pour $x_1$ les nombres 1, 2, 3, 4\dots $p-1$, ou $\rho$, $\rho^2$\dots +$\rho^{p-1}$, $x_1^m$ donne, à l'ordre près, les termes $\rho^m$, $\rho^{2m}$\dots$\rho^{km}$, pris +chacun $m$ fois. + +Soit en effet $x_1 \equiv \rho^{ik+f}\moddot {p = hm + 1}$, $i$ et $f$ étant tous deux +moindres que $m$, il en résultera $x_1^m \equiv \rho^{ikm+fm} \equiv \rho^{fm}\moddot p$; or $i$ peut +prendre $m$ valeurs 0, 1, 2\dots, $m-1$; le terme $\rho^{fm}$ se trouve donc +répété $m$ fois, et il en est de même de $\rho^m$, $\rho^{2m}$, etc. + +Ayant donc égard à la valeur $x_1 = 0$, on trouvera $\sum R^{\rho^q x_f^m} = +1 + my_q$, et par suite +\[ +\sum R^{\rho^n\phi.} = R^{\rho^{a+n}} (1+my_{b+n})(1+my_{c+n})\ldots(1+my_{g+n}); +\] +\marginpage % *** File: 298.png +faisant successivement $n = 0$, 1, 2\dots $p - 2$, et ajoutant toutes les +valeurs de $\sum R^{\rho^n\phi.}$, on trouve +\begin{align*}\tag{39} +pS_k = p^k +{}&y_a(1+my_a)(1+my_b)(1+my_c)\ldots (1+my_g)\\ +&{y_{a+1}(1+my_{a+1})(1+my_{b+1})(1+my_{c+1})\ldots (1+my_{g+1})}\\[-1ex] +&\;\vdots\\[-1ex] +&y_{a+m-1}(1+my_{a+m-1})(1+my_{b+m-1})(1+my_{c+m-1})\ldots\\ +&\phantom{y_{a+m-1}}(1+my_{g+m-1}), +\end{align*} +où il faut ôter $m$ des indices qui surpassent ce nombre. + +Examinons quelques cas particuliers. + +Soit d'abord $1 + x_1^m + x_2^m + \dotsb + x_k^m\equiv 0 \moddot{p = hm + 1}$, +il faudra faire $a = b = c \ldots = g = 0$. Si nous représentons le nombre +de solutions par $N_k$, il viendra +\[ +pN_k = p^k + y_0(1+my_0)^k + y_1(1+my_1)^k + \dotsb + y_{m-1}(1+my_{m-1})^k,\tag{40} +\] +formule due à M.~Libri, qui la démontre de même. + +Considérons encore la congruence +\[ +x_1^m + x_2^m + x_3^m + \dotsb + x_k^m \equiv \rho^f \equiv -\rho^{f+\frac{hm}{2}} \moddot{p = hm + 1}. +\] + +Comme on doit ôter $m$ des indices qui surpassent ce nombre, pour +$h$ pair on posera $a = f$, \label{err298}$b = c \ldots = g = 0$, et la formule (39) +deviendra +\begin{gather*} +pS^k = p^k + y_f(1+my_0)^k + y_{f+1}(1+my_1)^k + \tag{41}\ldots ++ y_{f-1}(1+y_{m-1})^k. +\end{gather*} + +Mais, pour $h$ impair, on fera \label{err298a}$a = f + \frac{m}{2}$, $b = c\ldots = g = 0$, et la +formule (39) deviendra +\begin{align*} +\tag{42} pS^k = p^k &+ y_{f+\frac{m}{2}}(1+my_0)^k + y_{f+1+\frac{m}{2}}(1+my_1)^k + \dotsb \\ +& + y_{f-1+\frac{m}{2}}(1+my_m-1)^k. +\end{align*} +Ces formules nous serviront plus loin. +\marginpage % *** File: 299.png + +La formule (40) donnant les équations\label{err299} +\begin{align*} +&pN_1 = p \begin{aligned}[t]&+ y_0(1 + my_0) + y_1(1 + my_1) + y_2(1 + my_2) + \dotsb \\ +&+ y_{m-1}(1 + my_{m-1}).\end{aligned}\\ +&pN_2 = p^2 \begin{aligned}[t]&+ y_0(1 + my_0)^2 + y_1(1 + my_1)^2 + y_2(1 + my_2)^2 + \dotsb \\ +&+ y_{m-1}(1 + my_{m-1})^2.\end{aligned}\\ +&pN_3 = p^3 \begin{aligned}[t]&+ y_0(1 + my_0)^3 + y_1(1 + my_1)^3 + y_2(1 + my_2)^3 + \dotsb \\ +&+ y_{m-1}(1 + my_{m-1})^3.\end{aligned}\\[-1ex] +&\;\vdots\\[-1ex] +&pN_{m-1} = p^{m-1} \begin{aligned}[t]&+ y_0(1 + my_0)^{m-1} + y_1(1 + my_1)^{m-1} + y_2(1 + my_2)^{m-1} + \dotsb \\ +&+ y_{m-1}(1 + my_{m-1})^{m-1},\end{aligned} +\end{align*} +auxquelles il faudra joindre +\[ +0 = 1 + y_0 + y_1 + y_2 + \dotsb + y_{m-1}. +\] +On tirera de ces $m$ équations les valeurs des $m$ sommes +\[ +y_0 + y_1 + \dotsb + y_{m-1},\; y_0^2 + y_1^2 + \dotsb + y_{m-1}^2, \ldots y_0^m + y_1^m + y_2^m + \dotsb + y_{m-1}^m, +\] +et par les formules connues on en déduira les valeurs des coefficients +de l'équation en $y$. C'est là le procédé employé par M.~Libri pour le +calcul de l'équation en $y$; il se trouve complété ici par le calcul des +nombres $N_1$, $N_2$, $N_3$\dots, $N_{m-1}$, qui se fait au moyen des formules de +l'article IV. + +Nous ferons remarquer ici que les coefficients $N_1$, $N_2$, \dots $N_{m-1}$, seront +uniquement fonctions de certains coefficients binomiaux, aussi bien +que les coefficients de l'équation en $y$, car $r$ doit disparaître du résultat +qui ne peut rien contenir d'indéterminé. Les exemples du paragraphe +suivant confirment cette remarque. + +La formule (40) qui ne contient que les fonctions +\[ +y_0 + y_1 + \dotsb + y_{m-1},\; y_0^2 + y_1^2 + \dotsb + y_{m-1}^2, \ldots y_0^m + y_1^m +\dots y_{m-1}^m, %[**errata] +\] +qui se déterminent très facilement au moyen des coefficients de +l'équation en $y$, sans qu'il soit nécessaire de la résoudre, pourra +toujours être employée dès qu'on aura trouvé l'équation en $y$. Mais +\marginpage % *** File: 300.png +il n'en est pas de même des formules (39), (41) et (42); les fonctions +\[ +y_f y_0 + y_{f+1} y_1 + \dotsb + y_{f-1} y_{m-1},\quad y_f y_0^2 + y_{f+1} y_1^2 + \dotsb + y_{f-1} y_{m-1}^2,\ \etc +\] +qui entrent dans la formule (41), par exemple, ne sont point des +fonctions symétriques qui puissent se déterminer rationnellement par +le moyen de l'équation en $y$. Cependant elles ont une propriété +commune avec la somme $y_0^a + y_1^a + y_2^a + \dotsb y_{m-1}^a$, c'est de conserver +la même valeur quand la racine imaginaire de $x^p =1$, qui a servi +pour former les fonctions $y_0$, $y_1$\dots, $y_{m-1}$, vient à changer. Ce qui +tient à ce que ce changement augmentant tous les indices d'un même +nombre, le $g$\iieme\ terme, par exemple, devient le premier, le $(g+1)$\iieme\ +le deuxième, le $(g+2)$\iieme\ le troisième, et ainsi de suite. Quand on +aura calculé ces fonctions, qu'on pourrait appeler circulantes, on +pourra faire usage des formules démontrées dans cet article, sans qu'il +soit besoin de résoudre l'équation en $y$, en la ramenant à une équation +à deux termes, ce qui serait fort long\footnote{% +Les autres paragraphes de ce mémoire forment, pour ainsi dire, autant de +mémoires séparés que nous publierons dans ce Journal, dès que l'auteur nous +les aura fait parvenir.\\\hspace*{1em}\signit{(\textsc{J.~Liouville.})} +}. + +\jmpafin + +% *** File: 301.png + +\jmpapaperl{NOTE}{} +{Sur un cas particulier de la construction des tangentes aux +projections des courbes, pour lequel les méthodes générales +sont en défaut;} +{Par M.~CHASLES.}{} +\label{art26} + +Dans plusieurs questions de Géométrie descriptive, particulièrement +dans quelques épures de coupe des pierres, il arrive que, pour +certains points d'une ligne courbe provenant de l'intersection de deux +surfaces, la tangente à cette courbe est perpendiculaire à l'un des +plans de projection; alors la projection de cette tangente, sur ce +plan, se réduit à un point, et ne fait plus connaître la tangente à la +projection de la courbe. + +La méthode générale pour construire les tangentes aux projections des\break +courbes situées dans l'espace, en les regardant comme les projections +des tangentes à ces courbes, est donc absolument en défaut pour +ces cas particuliers, et une méthode spéciale devient nécessaire. + +Cette question a occupé, il y a une vingtaine d'années, MM.~Binet +et Hachette, qui, l'un et l'autre, sans la résoudre dans la généralité +où nous venons de la proposer, ont imaginé des moyens particuliers +propres à déterminer les tangentes dans quelques-uns des cas dont il +s'agit. (Voir la \emph{Correspondance sur l'École Polytechnique}, tome~III, +pages 197 à 201, année 1815.) + +La construction de M.~Binet est fondée sur une belle méthode, autre +que celle de Mouge suivie jusqu'alors, pour déterminer les tangentes +à la courbe d'intersection de deux surfaces. Au lieu de mener les plans +tangents aux deux surfaces en un point de cette courbe, et de prendre +leur commune intersection qui est la tangente cherchée, M.~Binet +mène les normales aux deux surfaces en ce point, et une perpendiculaire +au plan déterminé par ces deux normales: cette perpendiculaire +\marginpage % *** File: 302.png +est la tangente cherchée, et ses projections sont perpendiculaires aux +traces de ce plan sur les plans de projection. + +Cette méthode est générale comme la première; mais elle est aussi +en défaut dans le cas particulier qui nous occupe. Car si la tangente +en un point de la courbe est perpendiculaire à l'un des plans de projection, +les normales aux deux surfaces seront parallèles à ce plan, et +conséquemment la trace du plan qu'elles déterminent sera à l'infini, +et ne pourra point servir pour la construction de la tangente à la +projection de la courbe. + +Cependant il est un cas où, par une circonstance particulière, +M.~Binet a pu faire usage de cette méthode. C'est dans l'épure de la +courbe d'intersection de deux surfaces de révolution dont les deux axes +se rencontrent. Le plan des deux axes étant pris pour l'un des plans +de projection, en chaque point de la courbe d'intersection des deux +surfaces situé dans ce plan, la tangente à cette courbe est perpendiculaire +à ce plan; par conséquent les méthodes générales sont en +défaut. Néanmoins, par des considérations particulières, celle de +M.~Binet conduit encore, dans cette question, à la construction de la +tangente. En effet, les normales aux deux surfaces, en un point +quelconque $m$ de leur intersection, rencontrent le plan des deux axes +de révolution, pris pour plan de projection, précisément aux points +où elles rencontrent respectivement les deux axes; il faut donc joindre +ces deux points par une droite, et mener une perpendiculaire à cette +droite par le point qui est la projection du point $m$. Cette perpendiculaire +est la tangente à la projection de la courbe d'intersection des +deux surfaces. Cette construction subsiste encore quand le point $m$ +est situé dans le plan des deux axes, bien que les considérations géométriques +sur lesquelles elle repose ne soient plus applicables; mais +on en conclut, \emph{par la loi de continuité}, qu'elle doit encore donner la +tangente à la courbe. + +Telle est la méthode de M.~Binet, qui a été reproduite depuis dans +les traités de Géométrie descriptive, mais toujours pour la même +question de deux surfaces de révolution dont les axes se rencontrent. + +Les solutions que M.~Hachette a données aussi pour quelques cas +semblables consistent à remplacer les deux surfaces proposées par +deux autres dont la courbe d'intersection ait la même projection que +\marginpage % *** File: 303.png +les deux premières sur le plan où l'on veut avoir les tangentes à cette +projection. Alors ce sont les tangentes à la courbe d'intersection de +ces deux nouvelles surfaces qui font connaître les tangentes à la projection +de cette courbe. Et l'on prend les deux nouvelles surfaces de +manière que pour le point de leur courbe d'intersection, qui répond +au point de projection pour lequel la méthode des tangentes était en +défaut, les plans tangents à ces deux surfaces ne soient pas perpendiculaires +au plan de projection. M.~Hachette détermine ces surfaces par +l'analyse, dans les deux applications qu'il a faites de ce procédé. Mais, +outre cet inconvénient qui fait que ce procédé ne convient pas à la +Géométrie descriptive, on voit qu'il ne constitue point une méthode, +puisqu'il n'y a aucun moyen certain pour trouver, même avec le +secours de l'analyse, les deux nouvelles surfaces. + +Voilà, je crois, tout ce qui a été fait au sujet du cas particulier des +tangentes qui nous occupe. Il y a donc encore à trouver la méthode +générale qui lui convient, et à dire aussi la raison \emph{à priori} pour laquelle +les méthodes ordinaires devaient être en défaut dans ce cas. + +La réponse à ces deux questions découlera naturellement du théorème +suivant: + +\emph{Quand une ligne courbe tracée sur une surface cylindrique est +tangente, en un point, à l'une des arètes du cylindre, le plan tangent +au cylindre suivant cette arète est le plan osculateur à la courbe au +point qu'on considère.} + +Cela est évident, car la courbe a un premier élément compris sur +l'arète du cylindre, puisqu'elle lui est tangente, et l'élément suivant +aboutit à l'arête infiniment voisine de cette première; il s'ensuit que +le plan tangent au cylindre, lequel est le plan des deux arètes, contient +les deux éléments de la courbe; il est donc son plan osculateur: +ce qu'il fallait démontrer. + +D'après cela, remarquons que quand une courbe située dans l'espace +a sa tangente en un point perpendiculaire au plan de projection, +cette courbe est tangente, en ce point, à l'arète du cylindre projetant; +donc le plan tangent à ce cylindre, dont la trace sur le plan de +projection sera la tangente à la projection de la courbe, est le plan +osculateur à la courbe. Donc + +\emph{Quand la tangente en un point m d'une courbe située dans l'espace +\marginpage % *** File: 304.png +est perpendiculaire au plan de projection, la tangente à la projection +de cette courbe, au point correspondant au point $m$, est la trace, sur le +plan de projection, du plan osculateur de la courbe au point $m$.} + +Ainsi le problème des tangentes, dans ce cas, se change en celui du +plan osculateur. + +Cette solution est générale, et rentre dans une des théories que +considère la Géométrie descriptive où l'on sait mener le plan osculateur +en chaque point d'une courbe à double courbure. + +Ce problème a été introduit dans la Géométrie descriptive par +M.~Hachette, qui en a donné une belle et savante solution, qui est +celle que nous proposerons ici pour le cas de la construction des tangentes +qu'il s'agit de résoudre. Comme cette solution, quoique bien +remarquable, n'est pas celle néanmoins que l'on a adoptée dans les +traités de Géométrie descriptive, nous allons la rappeler ici. + +\emph{Pour construire le plan osculateur d'une courbe à double courbure +en un point}, on mène, par les différents points de cette courbe, les +normales aux deux surfaces dont elle est l'intersection. Ces deux séries +de normales forment deux surfaces gauches. Par le point pour lequel +on veut le plan osculateur, on mène le plan normal à la courbe; il +touche les deux surfaces gauches en deux points qu'on joint par une +droite; par la tangente à la courbe on mène un plan perpendiculaire +à cette droite, ce qui est possible, parce qu'elle est dans le plan +normal; \emph{ce plan est le plan osculateur cherché}; et, de plus, le point +où il rencontre la droite est le \emph{centre de courbure} de la courbe que +que l'on considère\footnote{% +M.~Hachette a donné cette solution dans le \emph{Bulletin des Sciences} de la +Société philomatique (année 1816, p.~88), et dans ses \emph{Élément de Géométrie à +trois dimensions} (partie synthétique), in-8\up{o}, 1817. Dans quelques notes que j'avais +adressées à M.~Hachette, en réponse à la communication qu'il me faisait de +sa solution, notes que ce géomètre a eu la bonté d'insérer dans son ouvrage, j'ai +indiqué une seconde manière de construire le plan osculateur. Elle consiste à mener +les tangentes à la courbe proposée, et à chercher les points où elles percent un +plan quelconque; ces points forment une courbe dont les tangentes sont situées +dans les plans osculateurs de la courbe proposée. On n'a donc, pour déterminer +ces plans osculateurs, qu'à mener les tangentes à cette nouvelle courbe. + +C'est cette construction qu'on a reproduite depuis dans les traités de Géométrie +descriptive: je ne sais pourquoi; car celle de M.~Hachette est infiniment préférable +sous tous les rapports, notamment comme donnant le centre du cercle +osculateur, en même temps que son plan. Pour déterminer ce centre, on est +obligé de recourir à d'autres constructions. On projette la courbe proposée sur +son plan osculateur; on a une courbe plane dont on cherche le cercle osculateur +par une méthode graphique particulière donnée par M.~Bergery, dans son excellent +ouvrage intitulé: \emph{Géométrie des courbes appliquée à l'industrie} (in-8\up{o}, +Metz, 1826). + +J'avais donné aussi une méthode pour construire le centre du cercle osculateur, +après avoir déterminé le plan osculateur; la voici: \emph{Que par chaque +point de la courbe proposée on mène sa normale comprise dans son point osculateur; +toutes ces normales forment une surface gauche. Le plan normal à la +courbe, en un de ses points, touche la surface en un point qui est le centre de +courbure cherché.} (Voir \emph{Eléments de Géométrie à trois dimensions}; par M.~Hachette, +p.~112). + +Enfin, pour dire ici tout ce qui a été fait au sujet du problème du plan osculateur +et du centre de courbure d'une courbe à double courbure, nous ajouterons +que MM.~Ch.~Dupin et Poncelet l'ont aussi résolu. Leurs solutions, quoique différentes, +consistent l'une et l'autre à chercher les centres de courbure des deux +courbes planes qui sont les projections de la courbe proposée, et à faire usage de +ces deux centres de courbure (et c'est en ce point qu'elles diffèrent), pour arriver +à la connaissance du plan osculateur et du centre de courbure cherchés. (Voir +\emph{Annales de Mathématiques}, t.~7, p.~18, année 1816; et t.~15, p.~245, année +1825). + +Ces solutions ne sont pas applicables à la question actuelle, puisque, loin de +connaître le centre de courbure de la projection de la courbe proposée, on veut +déterminer la tangente de cette projection.}. +\marginpage % *** File: 305.png + +Pour déterminer le point où un plan mené par une génératrice +d'une surface gauche touche la surface, on construit la courbe suivant +laquelle ce plan coupe la surface: cette courbe rencontre la génératrice +au point de contact cherché. + +Dans le cas où la courbe proposée est l'intersection de deux surfaces +de révolution, les normales qui forment les deux surfaces gauches +s'appuient respectivement sur les deux axes de révolution; le plan +normal en un point $m$ de la courbe touche ces deux surfaces aux +points où les deux normales, menées par le point $m$, rencontrent +les deux axes. Il suffit donc, pour construire les deux surfaces gauches, +de joindre ces deux points par une droite, et de mener par le point $m$ +un plan perpendiculaire à cette droite: c'est le plan osculateur. + +\marginpage % *** File: 306.png + +Cette construction a lieu quelle que soit la position des axes des +deux surfaces de révolution dans l'espace. Si on l'applique au cas particulier +où les axes se rencontrent, elle conduit à la construction même +de M.~Binet; elle rattache à une méthode générale cette construction +obtenue par induction, et dont la légitimité ne reposait que sur le +principe de continuité. + +Les considérations précédentes font bien voir pourquoi les méthodes +générales pour la construction des tangentes aux projections des +courbes devaient être en défaut pour le cas en question; c'est que, +dans ce cas, la tangente à la projection de la courbe fait connaître +immédiatement le plan osculateur à la courbe, et que la considération +de ce plan implique nécessairement la considération de deux éléments +consécutifs de la courbe, ou, en analyse, des infiniment petits du +second ordre, tandis que les méthodes générales pour la construction +des tangentes ne demandent que la considération d'un seul élément de +la courbe, et, en analyse, des infiniment petits du premier ordre +seulement. Ces méthodes devaient donc être en défaut pour le cas en +question, sans quoi elles eussent fait connaître, par la considération +des infiniment petits du premier ordre seulement, les plans osculateurs +aux différents points d'une courbe à double courbure: ce qui est +contraire à la nature des choses. + +Le cas de la construction des tangentes, qui fait l'objet de cette +note, ne se présente pas seulement dans les épures de la géométrie +descriptive proprement dite. Il peut se présenter dans plusieurs questions +de perspective où l'on aura à faire la perspective d'une courbe +dont une des tangentes passera par l'\oe il. Cette tangente ne suffira +plus pour faire connaître la tangente à la perspective de la courbe. +Pour construire celle-ci, il faudra mener le plan osculateur de la +courbe; sa trace sur le tableau sera la tangente cherchée. + +Cette construction servira aussi pour déterminer les tangentes à la +perspective du contour apparent d'une surface, pour les points où le +rayon visuel est tangent à ce contour; circonstance qui se présente, et +qui a été remarquée expressément dans plusieurs dessins, particulièrement +dans la perspective du piédouche, où les points en question +deviennent, en perspective, des points de rebroussement. + +%\jmpafin % avoid page with just a rule + +% *** File: 307.png + +\jmpapaper{THÉORÈMES}{} +{Sur les contacts des lignes et des surfaces courbes;} +{Par M.~CHASLES.}{} +\label{art27} + +\emph{Des courbes planes.} On dit que deux courbes ont un contact de +l'ordre $m$, quand elles ont $m$ éléments consécutifs communs; et alors +elles passent par $(m + 1)$ points infiniment voisins. Cette condition +\emph{géométrique}, traduite en \emph{analyse}, fait voir que les deux courbes étant +exprimées par deux équations entre les coordonnées $x$, $y$, obliques +ou rectangulaires, il faut que les $m$ premiers coefficients différentiels +$\dfrac{dy}{dx}$, $\dfrac{d^2y}{dx^2}$,\dots $\dfrac{d^my}{dx^m}$ de la première courbe soient égaux respectivement +à ceux de la seconde, quand on y met pour $x$ et $y$ les coordonnées +du point de contact. + +Ainsi deux courbes auront un contact de l'ordre $m$ en un point, +quand on reconnaîtra que l'une de ces deux conditions, \emph{géométrique} +et \emph{algébrique}, a lieu. + +Si de l'équation de la première courbe on tire la valeur de la coordonnée +$x$, et qu'on la mette dans l'équation de la seconde courbe, cette +équation donnera les ordonnées $y$ des points d'intersection des deux +courbes. Ces deux courbes passant par $(m + 1)$ points infiniment voisins, +qui, dans la réalité, se réunissent en un seul, l'équation en $y$ aura +$(m + 1)$ racines égales, pour chaque point où les deux courbes ont +un contact de l'ordre $m$. Cette équation sera donc de la forme +$(Fy)^{m+1}\times fy=0$; l'équation $Fy = 0$ correspondant aux points en +chacun desquels les courbes ont un contact de l'ordre $m$, et l'équation +$fy = 0$ aux autres points d'intersection des deux courbes. +\marginpage % *** File: 308.png + +D'après cela, soit $\phi(x, y) = 0$ l'équation de la première courbe; +celle de la seconde pourra nécessairement être mise sous la forme +\[ +A\phi(x,y)+B[\psi(x,y)]^{m+1}=0; +\] +$A$ et $B$ pouvant être des constantes ou des fonctions de $x$ et $y$. Car la +valeur de $x$ tirée de la première équation $\phi(x, y) = 0$, et mise dans +la seconde, réduira celle-ci à la forme +\[ +fy\ldot (Fy)^{m+1}=0; +\] +comme nous venons de faire voir que cela doit être. Et le point de +contact, ou les points de contact des deux courbes seront déterminés +par les deux équations +\[ +\phi(x,y)=0,\qtext{et}\psi(x,y)=0. +\] +Nous pouvons donc énoncer ce théorème: + +1\ier{} \textsc{Théorème}. \emph{Les deux équations} +\[ +\phi=0,\qtext{et}A\phi + B\psi^{m+1}=0, +\] +\emph{où $A$, $B$, $\phi$ et $\psi$ sont des fonctions de $x$ et $y$, représentent deux +courbes qui ont un contact de l'ordre $m$ en chacun des points d'intersection +des deux courbes $\phi = 0$ et $\psi = 0$}; + +Et réciproquement, \emph{deux courbes qui ont un contact de l'ordre m +en un ou plusieurs points, peuvent être représentées par deux équations +de cette forme}. + +Nous venons d'obtenir les deux équations ci-dessus, en nous servant +de la condition \emph{géométrique} pour que deux courbes aient un +contact de l'ordre $m$; il est facile de vérifier qu'elles satisfont à la +condition \emph{algébrique}, c'est-à-dire que les $m$ coefficients différentiels +$\dfrac{dy}{dx}$, $\dfrac{d^2y}{dx^2}$,\dots $\dfrac{d^my}{dx^m}$ sont égaux respectivement un à un, dans les deux +courbes, pour les points dont les cordonnées satisfont aux deux +équations $\phi=0$, et $\psi=0$. + +En effet, supposons d'abord que $A$ et $B$ soient des quantités constantes, +c'est-à-dire ne contenant ni $x$ ni $y$; les différentiations successives +des équations des deux courbes donneront, pour la première, +\marginpage % *** File: 309.png +les $m$ équations +\[ +d\phi=0, \quad d^2\phi=0, \quad d^3\phi=0, \ldots d^m\phi=0, +\] +d'où l'on tirera les valeurs des $m$ premiers coefficients différentiels +de cette première courbe; et pour la seconde, les $m$ suivantes qui serviront +aussi pour calculer les $m$ premiers coefficients différentiels de +la seconde courbe, +\begin{align*} +&Ad\phi\phantom{^2}+B(m+1)\psi^m\ldot d\psi=0,\\ +&Ad^2\phi+B(m+1)m\ldot \psi^{m-1}(d\psi)^2+B(m+1)\psi^m\ldot d^2\psi=0,\\ +&Ad^3\phi+B(m+1)\ldot m\ldot (m-1)\psi^{m-2}(d\psi)^3+ \dotsb +B(m+1)\psi^m\ldot d^3\psi=0,\\ +&\makebox[26em]{\leaderfill}\\ +&Ad^m\phi+B(m+1)\ldot m\ldot (m-1)\ldot 3\ldot 2\ldot \psi(d\psi)^m+\ldot +B(m+1)\psi^m\ldot d^m\psi=0. +\end{align*} + +Tous les termes de chacune de ces équations, excepté le premier, +contiennent le facteur $\psi$ élevé à des puissances qui vont en augmentant +jusqu'au dernier terme où l'exposant de $\psi$ est toujours $m$. On +voit donc que pour chacun des points de la seconde courbe, dont les +coordonnées satisfont à l'équation $\psi= 0$, toutes les équations se réduiront +à celles-ci: +\[ +d\phi=0, \quad d^2\phi=0, \quad d^3\phi=0, \ldots d^m\phi=0. +\] +Ce sont précisément les équations provenant de la différentiation de +l'équation $\phi= 0$ de la première courbe. Donc les $m$ premiers coefficients +différentiels des deux courbes sont égaux un à un; et conséquemment +les deux courbes ont un contact de l'ordre $m$, en chacun +de leurs points communs dont les coordonnées satisfont à l'équation +$\psi= 0$. + +Les deux courbes ne peuvent avoir, en général, un contact d'un +ordre plus élevé: parce qu'une différentiation de plus de l'équation +donnerait +\[ +Ad^{m+1}\phi+B(m+1)\ldot m\ldot (m-1)\ldots2\ldot 1\ldot (d\psi)^{m+1}+ \dotsb +B(m+1)\psi^m\ldot d^{m+1}\psi=0; +\] +et la supposition de $\psi= 0$ ne réduit plus cette équation à son premier +terme seulement, mais bien à ses deux premiers termes; et par +\marginpage % *** File: 310.png +conséquent la valeur de $\dfrac{d^{m+1}y}{dx^{m+1}}$ qu'on en tirerait ne sera pas égale à +celle que donnerait l'équation $d^{m+1}\phi = 0$ de la première courbe. + +Il nous reste à démontrer le théorème pour le cas où $A$ et $B$ sont +des fonctions de $x$ et $y$. + +D'abord si nous supposons que $B$ soit une fonction de $x$ et de $y$, +nos $m$ équations différentielles de la seconde courbe contiendront de +nouveaux termes provenant de la différentiation de $B$, et qui seront +tous multipliés par des puissances de $\psi$. Donc, quand on fera $\psi = 0$, +ces termes disparaîtront et les équations se réduiront encore à leurs +premiers termes. + +Enfin, quand $A$ est aussi une fonction de $x$ et $y$, au lieu des +simples termes $Ad\phi$, $Ad^2\phi$, $Ad^3\phi$,\dots\ auxquels se réduisent les premiers +membres des équations différentielles de la seconde courbe, +nous aurons +\begin{align*} +&Ad\phi\phantom{^2} + \phi dA = 0,\\ +&Ad^2\phi + 2dA\ldot d\phi +\phi d^2A = 0,\\ +&Ad^3\phi + 3dAd^2\phi + 3d\phi d^2A + \phi d^3A=0,\\ +&\multispan{1}{\leaderfill} +\end{align*} +Mais comme on a $\phi = 0$, la première équation se réduit à $d\phi = 0$, +par suite la seconde se réduit à $d^2\phi=0$; puis la troisième à $d^3\phi =0$; +et ainsi des autres. De sorte que dans le cas où $A$ et $B$ sont des fonctions +de $x$ et $y$, les deux équations $\phi= 0$, et $A\phi + B\psi^{m+1} = 0$, représentent +encore deux courbes qui ont un contact de l'ordre $m$ en +chacun des points d'intersection des deux courbes $\phi=0$, $\psi=0$. + +2\ieme\ \textsc{Théorème}. \emph{Si les courbes représentées par les deux équations +$\phi=0$ et $\psi=0$, ont un contact de l'ordre de $n$ en certains points, +les équations} +\[ +\phi = 0\qtext{\emph{et}}A\phi + B\psi^{m+1} = 0 +\] +\emph{représenteront deux courbes qui auront un contact de l'ordre +$(m+1) (n + 1) - 1$ en chacun de ces points}. + +En effet, les deux courbes $\phi = 0$ et $\psi = 0$, ayant un contact de +l'ordre $n$, la seconde équation $\psi= 0$, d'après le théorème que nous +venons de démontrer, pourra prendre la forme +\marginpage % *** File: 311.png +\[ +A'\phi +B'\pi^{n+1}= 0, +\] +$\pi$ étant une fonction de $x$ et $y$, et $A'$, $B'$ des constantes ou des fonctions +de $x$ et $y$ indifféremment. + +L'équation $A\phi +B\psi^{m+1}= 0$, deviendra donc +\[ +A\phi +B(A'\phi + B'\pi^{n+1})^{m+1}= 0. +\] +Dans le développement du binome $(B'\pi^{n+1}+A'\phi)$ élevé à la puissance +$(m+1)$, le premier terme sera $B'^{m+1}\ldot \pi^{(n+1)(m+1)}$, et tous les autres contiendront +en facteur la fonction $\phi$ élevée aux puissances 1, 2,\dots, $(m+1)$; +le résultat sera donc de la forme +\[ +B'^{m+1}\pi^{(n+1)(m+1)}+a'\phi. +\] +De sorte que l'équation de la seconde courbe est de la forme +\begin{align*} +\multispan{1}{$A\phi +B[a'\phi + B'^{m+1}\pi^{(n+1)(m+1)}]$}&=0,\\ +(A+Ba')\phi +B\ldot B'^{m+1}\ldot \pi^{(n+1)(m+1)}&=0, +\end{align*} +ou enfin, +\[ +a\phi+b\pi^{(n+1)(m+1)}=0, +\] + +Or, d'après le premier théorème, la courbe représentée par cette +équation a un contact de l'ordre $(m+1)(n+1) - 1$, avec la courbe +$\phi = 0$, en chacun des points d'intersection des deux courbes $\phi = 0$ et +$\pi = 0$; mais ces points se trouvent aussi sur la courbe $\psi= 0$, puisque +l'on a $\psi=A'\phi+B'\pi^{n+1}$, ce qui prouve que les coordonnées tirées +des deux équations $\phi= 0$, $\pi = 0$ satisfont à l'équation $\psi = 0$; nous +pouvons donc dire que le contact de l'ordre $(m + 1) (n + 1) - 1$ des +deux courbes proposées a lieu aux points d'intersection des deux +courbes $\phi = 0$ et $\psi = 0$. Ce qu'il fallait démontrer. + +Il est facile de vérifier, comme pour le premier théorème, que les\label{err303} +$(m + 1) (n + 1) - 1$ premiers coefficients différentiels des deux +courbes sont égaux un à un; car les équations qui donneront ceux de +la première courbe seront +\[ +d\phi = 0,\quad d^2\phi = 0,\quad d^3\phi=0,\ldots d^{(m+1)(n+1)-1}\phi = 0. +\] + +\marginpage % *** File: 312.png +Quant à celles qui donneront ceux de la seconde courbe qui a pour +équation $A\phi+B\psi^{m+1} = 0$, si l'on observe que les deux courbes +$\phi= 0$ et $\psi = 0$ ayant un contact de l'ordre $n$ en quelques-uns de leurs +points d'intersection, on a ensemble les équations $\phi= 0$, $d\phi = 0$, +$d^2\phi = 0$,\dots $d^{n+1}\phi= 0$, et $d\psi = 0$, $d^2\psi= 0$,\dots $d^{n+1}\psi = 0$ pour +chacun de ces points, on reconnaît aisément qu'en vertu de ces équations, +celles qui donnent les $(m + 1) (n + 1) - 1$ coefficients différentiels +de la seconde courbe se réduisent précisément à $d\phi= 0$, +$d^2\phi = 0$, $d^3\phi = 0$,\dots $d^{(m+1)(n+1)-1}\phi =0$, comme pour la première +courbe. Ce qui prouve que les deux courbes auront leurs +$(m + 1) (n + 1) - 1$ premiers coefficients différentiels égaux un à un +respectivement. + +\emph{Des surfaces courbes.} Deux surfaces ont un contact de l'ordre $m$ +suivant une courbe, quand toute surface menée par un point de +cette courbe les coupe suivant deux courbes qui ont, en ce point, un +contact de l'ordre $m$, c'est-à-dire qui ont $m$ éléments consécutifs +communs. Les deux surfaces auront donc $m$ zones communes, et, par +conséquent, passeront par $(m + 1)$ courbes infiniment voisines entre +lesquelles, deux à deux, sont comprises ces $m$ zones. + +L'expression analytique de ces considérations géométriques, c'est +que les coefficients différentiels $\dfrac{dz}{dx}$, $\dfrac{dz}{dy}$, $\dfrac{d^2z}{dx^2}$, $\dfrac{d^2z}{dy^2}$, +$\dfrac{d^2z}{dxdy}$, +jusques et y compris ceux de l'ordre $m$, de la première surface, soient +égaux respectivement à ceux de la seconde, pour chaque point de la +courbe de contact. + +Cherchons quelle doit être la forme des équations des deux surfaces. +Si de l'équation de la première on tire la valeur de l'abscisse $x$, et +qu'on la mette dans celle de la seconde, on aura une équation en $y$ +et $z$ qui donnera les projections des courbes d'intersection des deux +surfaces, et qui pourra se décomposer en autant de facteurs qu'il y a +de ces courbes distinctes. Or, les deux surfaces passant par $(m+1)$ +courbes infiniment voisines qui, dans la réalité, se confondent, il +devra y avoir $(m + 1)$ facteurs égaux qui représenteront ces $(m + 1)$ +courbes; l'équation en $y$, $z$ sera donc de la forme +\[ +f(y,z)\ldot [F(y, z)]^{m+1} =0. +\] +\marginpage % *** File: 313.png +L'équation $F (y, z) = 0$ représente la projection de la courbe, ou +des courbes suivant lesquelles les deux surfaces ont un contact de +l'ordre $m$, et l'équation $f (y, z) = 0$ correspond aux autres courbes +d'intersection des deux surfaces. + +D'après cela, l'équation de la première surface étant +\[ +\phi(x,y,z)=0, +\] +celle de la seconde sera de la forme +\[ +A\phi(x,y,z)+ B[\psi(x,y,z)]^{m+1}=0; +\] +$A$ et $B$ pouvant être des fonctions de $x$, $y$ et $z$, ou simplement des +constantes. Et les équations de la courbe de contact seront +\[ +\phi(x,y,z)=0\qtext{et}\psi(x,y,z)=0. +\] + +Ainsi nous poserons ce théorème: + +3\ieme\ \textsc{Théorème}. \emph{Les deux équations} +\[ +\phi=0,\qtext{\emph{et}}A\phi + B\psi^{m+1}=0, +\] +\emph{où $A$, $B$, $\phi$ et $\psi$ sont des fonctions de $x$, $y$, $z$, représentent deux surfaces +qui ont un contact de l'ordre $m$ suivant toute l'étendue de la +courbe d'intersection des deux surfaces $\phi=0$ et $\psi=0$.} + +Et réciproquement, \emph{deux surfaces qui ont un contact de l'ordre m +suivant une courbe, peuvent être représentées par ces deux équations}. + +Il serait facile de vérifier, comme nous l'avons fait pour les courbes, +que les deux équations +\[ +\phi=0,\qtext{et}A\phi + B\psi^{m+1}=0, +\] +satisfont à la condition que les coefficients différentiels +\[ +\label{err313}\frac{dz}{dx},\ \frac{dz}{dy},\ \frac{d^2z}{dx^2}\text,\ \frac{d^2z}{dxdy}\text,\ +\frac{d^2z}{dy^2}, \ldots \frac{d^mz}{dx^m},\ \frac{d^mz}{dx^{m-1}dy}, \ldots\frac{d^mz}{dy^m}, +\] +tirés de la première, sont égaux respectivement à ceux tirés de la +seconde, pour tous les points qui satisfont aux deux équations +$\phi=0$ et $\psi=0$. + +\marginpage % *** File: 314.png +4\ieme\ \textsc{Théorème}. \emph{Lorsque deux surfaces ont un contact de l'ordre $m$ +suivant une courbe, toute surface qui aura avec cette courbe, en un +point, un contact de l'ordre $n$, coupera les deux surfaces suivant +deux courbes qui auront en ce point un contact de l'ordre +$(m + 1)(n + 1) - 1$.} + +La démonstration de ce théorème se déduit facilement de ce qui +précède. + +En effet, les deux surfaces peuvent être représentées par les deux +équations +\[ +\phi=0\qtext{et}A\phi +A\psi^{m+1}=0; +\] +leur contact a lieu suivant la courbe dont les équations sont $\phi=0$ +et $\psi=0$. + +Soit $F (x, y, z) = 0$ l'équation de la surface coupante; si l'on en +tire la valeur de $x$ et qu'on la mette dans les équations des deux +surfaces proposées, on aura les équations des projections sur le plan +des $yz$, des courbes d'intersection de ces deux surfaces par la surface +coupante; ces équations seront de la forme +\[ +\phi_1 = 0,\qtext{et}A_1\phi_1 + B_1\psi_1^{m+1} = 0, +\] +où $\phi_1$, $\psi_1$, $A_1$ et $B_1$ sont des fonctions de $y$ et $z$. + +Or les équations $\phi_1 = 0$ et $\psi_1 = 0$ sont celles des projections +des sections des deux surfaces $\phi = 0$ et $\psi = 0$ par la surface +coupante; et ces projections doivent avoir entre elles un contact +de l'ordre $n$ en un point, car les deux sections dont elles sont les projections +ont elles-mêmes un contact de l'ordre $n$ en un point de la +courbe d'intersection des deux surfaces $\phi = 0$, $\psi = 0$, puisque la surface +coupante a en ce point un contact de l'ordre $n$ avec cette courbe. +Donc, d'après le deuxième théorème, les deux courbes +\[ +\phi_1 = 0\qtext{et}A_1\phi_1 +B_1\psi_1^{m+1} = 0 +\] +ont un contact de l'ordre $(m + 1)(n + 1) - 1$. + +Ainsi les sections que la surface coupante fait dans les deux surfaces +se projettent sur un plan quelconque suivant deux courbes qui ont un +\marginpage % *** File: 315.png +contact de l'ordre $(m + 1)(n + 1)- 1$; donc ces deux sections ont +elles-mêmes un contact de l'ordre $(m + 1)(n + 1)- 1$. C.~Q.~F.~D. + +Ce beau théorème est dû à M.~Ch.\ Dupin qui l'a démontré par la +théorie générale des fonctions analytiques, dans ses \emph{Développements +de Géométrie}, p.~231. + +On conclut de ce théorème, que\par\vspace{\baselineskip} + +\emph{Quand deux surfaces ont un contact de l'ordre $m$ suivant une +courbe, toute ligne qui est tracée sur l'une d'elles et qui a avec cette +courbe un contact de l'ordre $n$, a un contact de l'ordre $(m + 1)(n + 1)- 1$ +avec la seconde surface.}\par\vspace{\baselineskip} + +En effet, si par cette ligne on fait passer une surface quelconque, +elle aura un contact de l'ordre $n$ avec la courbe de contact des deux +surfaces; conséquemment elle coupera ces deux surfaces suivant deux +courbes qui auront un contact de l'ordre $(m + 1)(n + 1)- 1$. La +première de ces courbes sera la ligne tracée arbitrairement sur la surface; +elle aura donc un contact de l'ordre $(m + 1)(n + 1)- 1$ avec +la seconde surface, puisqu'elle a un contact de cet ordre avec une ligne +tracée sur cette surface. + +Ainsi, quand un cône est circonscrit à une surface quelconque, +toute courbe tracée sur cette surface, qui a un contact de l'ordre $n$ +avec la ligne de contact de cette surface et du cône, aura un contact +de l'ordre $2n+1$ avec le cône. + +Si donc, par cette courbe, on fait passer un cône qui ait le même +sommet que le cône circonscrit à la surface, ces deux cônes auront, +suivant leur arête commune, un contact de l'ordre $2n+1$; et toute +surface les coupera suivant deux courbes qui auront un contact +du même ordre. C'est ce qu'on peut exprimer par le théorème suivant:\par\vspace{\baselineskip} + +\emph{Lorsqu'on fait la perspective d'une surface, si une courbe tracée sur +elle a un contact de l'ordre $n$ avec son contour apparent, cette courbe +et ce contour auront, en perspective, un contact de l'ordre $2n+1$.}\par\vspace{\baselineskip} + +Supposons que les deux surfaces +\[ +\phi = 0\qtext{et}A\phi + B\psi^{m+1} = 0, +\] +\marginpage % *** File: 316.png +qui ont un contact de l'ordre $m$ suivant la courbe représentée par +$\phi = 0$ et $\psi = 0$, soient toutes deux du second degré; la première +équation $\phi = 0$ sera du second degré; et il faudra, pour que la seconde +$A\phi+B\psi^{m+1} = 0$ soit aussi du second degré, que $A$ et $B$ soient +des constantes, et $\psi$ une fonction linéaire de $x$, $y$ et $z$; c'est-à-dire +que $\psi = 0$ représente un plan; alors l'équation de la seconde surface +sera +\[ +\phi +a\psi^2=0. +\] +Ce qui prouve d'abord que \emph{deux surfaces du second degré ne peuvent +avoir qu'un contact du premier ordre suivant toute l'étendue +d'une courbe}, et ensuite que \emph{cette courbe est nécessairement plane}. + +Une troisième surface qui serait pareillement circonscrite à la première, +aurait pour équation +\[ +\phi + b\pi^2 = 0, +\] +$\pi = 0$ étant l'équation du plan de la courbe de contact. + +La courbe d'intersection de ces deux surfaces circonscrites à la première, +se trouve sur la surface qui a pour équation +\[ +a\psi^2 - b\pi^2 = 0. +\] + +Il peut se présenter deux cas, celui où les coefficients $a$ et $b$ sont +de même signe, et celui où ils sont de signes différents. + +Dans le premier cas, l'équation ci-dessus prend la forme +\[ +\left(\sqrt{a}\ldot\psi + \sqrt{b}\ldot\pi\right)\left(\sqrt{a}\ldot\psi - \sqrt{b}\ldot\pi\right)=0, +\] +et donne les deux suivantes qui ont lieu séparément, +\begin{align*} +\sqrt{a}\ldot\psi + \sqrt{b}\ldot\pi &=0,\\ +\sqrt{a}\ldot\psi - \sqrt{b}\ldot\pi &=0. +\end{align*} +Ces équations représentent deux plans, sur lesquels se trouve l'intersection +complète des deux surfaces. Ces plans passent par la droite +d'intersection des plans des courbes de contact des deux surfaces avec +la première. Car leurs équations sont satisfaites par les deux $\psi = 0$, +\marginpage % *** File: 317.png +$\pi=0$ qui sont celles de ces plans des courbes de contact. + +Ainsi, dans ce premier cas, si les deux surfaces circonscrites à la +première se coupent, leur intersection se compose de deux courbes +planes, c'est-à-dire de deux sections coniques, dont les plans passant +par la droite d'intersection des plans de leurs courbes de contact avec la +première surface. + +Nous disons \emph{si les deux surfaces se coupent}, car l'existence des +deux plans que nous venons de trouver n'entraîne point nécessairement +la réalité de l'intersection des deux surfaces. Ces deux plans représentent +seulement une surface du deuxième degré qui satisfait aux +conditions analytiques de passer par l'intersection complète des deux +surfaces, soit que cette intersection soit réelle ou imaginaire. Ainsi +les deux surfaces peuvent ne pas se couper quoique les deux plans +existent. + +Il faut observer que quand elles se coupent, leur intersection peut +se réduire à une seule courbe plane; l'autre devenant imaginaire. + +Maintenant examinons le cas où les deux coefficients $a$, $b$ sont de +signes différents. Alors l'équation +\[ +a\psi^2 - b\pi^2 = 0 +\] +ne peut être satisfaite que par les deux suivantes prises simultanément. +\[ +\psi = 0,\quad \pi = 0, +\] + +Ces deux équations représentent une ligne droite qui est l'intersection +des plans des deux courbes de contact. L'intersection des deux +surfaces est donc tout entière sur cette ligne droite; ce qui prouve +que cette intersection se réduit à deux points qui sont ceux où la +droite rencontre la surface à laquelle elles sont circonscrites. + +Cette ligne droite représente une surface du second degré dont deux +des trois axes principaux sont nuls, et qui satisfait à la condition algébrique +de passer par l'intersection complète des deux surfaces circonscrites +à la première. + +Concevons, par exemple, une surface quelconque du second degré +$S$, et deux courbes planes tracées sur elle et se coupant en deux points +\marginpage % *** File: 318.png +$a$, $b$. Que l'une de ces deux courbes soit une ellipse, et qu'on la +prenne pour la courbe de contact d'un ellipsoïde $A$ \emph{inscrit} dans la surface +$S$; et que suivant la seconde courbe on \emph{circonscrive} à la même +surface $S$ une autre surface $B$, ellipsoïde ou hyperboloïde. Cette surface +$B$ et l'ellipsoïde $A$ n'auront évidemment d'autres points communs +que les deux points $a$, $b$ où se coupent leurs lignes de contact avec la +première surface $S$. Et dans ce cas les deux plans que nous avons +trouvés précédemment ne peuvent exister; car s'ils existaient ils passeraient +par la droite $ab$, et conséquemment chacun d'eux couperait +les deux surfaces suivant deux courbes différentes, \label{err318}ce qui n'est pas +possible, puisqu'ils doivent faire la même section dans les deux +surfaces. + +Ainsi, dans le cas que nous considérons, la ligne droite $ab$ représente +une des surfaces du second degré, en nombre infini, qu'on peut +faire passer par l'intersection complète des deux surfaces $A$, $B$; et aucune +de ces surfaces ne peut plus être, comme dans le cas précédent, +l'ensemble de deux plans. + +Observons que la droite $ab$, qui est l'intersection des plans de contact +des deux surfaces $A$, $B$ avec la surface $S$, peut ne pas rencontrer +cette dernière; alors les deux points $a$, $b$, sont imaginaires; et +l'intersection des deux surfaces $A$, $B$ est entièrement imaginaire. + +Des considérations précédentes, nous conclurons ce théorème:\par\vspace{\baselineskip} + +\emph{Quand deux surfaces du second degré sont inscrites ou circonscrites +à une même surface du même degré, leur intersection complète +est l'ensemble de deux courbes planes, ou bien se réduit à deux +points;} + +\emph{Dans le premier cas, une des deux courbes, ou toutes les deux, +peuvent être imaginaires, quoique leurs plans sont tous deux réels;} + +\emph{Dans le second cas, les deux points sont tous deux réels ou tous deux +imaginaires.}\par\vspace{\baselineskip} + +La première partie de ce théorème est due à Mouge qui l'a énoncée +ainsi: \emph{Lorsque deux surfaces quelconques du second degré sont circonscrites +à une même troisième surface du second degré, elles se coupent} +\marginpage % *** File: 319.png +\emph{toujours dans le système de deux courbes planes du second degré}\footnote{% +\emph{Correspondance de l'École Polytechnique}, t.~II, p.~321, et t.~III, p.~299.}. +Depuis on l'a reproduite sous le même énoncé, en remarquant seulement +que les deux courbes peuvent être imaginaires, bien que les +deux plans soient réels. Mais on voit par la discussion dans laquelle +nous venons d'entrer, que cette restriction ne suffit pas pour donner +au théorème un énoncé complet et rigoureusement exact. Il +aurait fallu ajouter encore, pour conserver l'énoncé de Monge, que +les deux plans peuvent aussi devenir imaginaires, comme les deux +courbes elles-mêmes, et n'avoir de réel que leur droite d'intersection, +qui alors représente, à elle seule, une surface satisfaisant aux conditions +analytiques de passer par l'intersection complète des deux proposées. + +\jmpafin + +% *** File: 320.png + +\jmpapaper{NOTE}{} +{Relative à un passage de la \emph{Mécanique céleste;}} +{Par M.~POISSON.}{} +\label{art28}\Droit + +Dans le \no 26 du III\ieme\ livre, l'auteur s'est proposé de démontrer, +sans recourir à la réduction en série, qu'un fluide homogène, tournant +uniformément autour d'un axe fixe, n'a qu'une seule figure d'équilibre, +très peu différente de la sphère. L'objection que M.~Liouville +a faite contre la généralité de cette démonstration est réelle\footnote{% +\emph{Voyez} le cahier de ce journal du mois de juin dernier. +}; +mais la démonstration générale qu'il a substituée à celle de la \emph{Mécanique +céleste} est fort compliquée, et l'on parvient plus simplement au +résultat par les considérations suivantes, qui diffèrent moins de celles +que Laplace avait employées. + +Je conserve, sans les rappeler ici, toutes les notations du mémoire +de M.~Liouville, et l'équation (A) citée au commencement de l'article +second, savoir: +\begin{gather*} +C=\frac{4\pi \alpha}{3} Y-\alpha\int_0^\pi \int_0^{2\pi} Y' \sin pdpdq - \tfrac{1}{2}g(1-\mu^2).\tag{A} +\end{gather*} +Le rayon vecteur $r$ d'un point quelconque de la surface, est représenté +par +\[ +r=a(1+\alpha Y). +\] +L'inconnue $Y$ peut être une fonction quelconque de deux variables +désignées par $\mu$ et $\varpi$, pourvu qu'elle conserve toujours une valeur +finie. On ne suppose pas que la surface soit de révolution, ou que $Y$ +\marginpage % *** File: 321.png +ne dépende pas de l'angle $\varpi$; on ne suppose pas non plus que le +fluide ait son centre de gravité sur l'axe de rotation; on suppose seulement +sa figure très peu différente d'une sphère qui aurait son centre +sur cet axe. La constante $a$ peut différer du rayon de la sphère équivalente +au volume du fluide, pourvu que la différence soit de l'ordre +de petitesse de la fraction $\alpha$, le même que celui de la fraction $g$, et dont +on néglige le carré. + +La condition rigoureuse de l'équilibre consiste en ce que la somme +des éléments du fluide divisés par leurs distances respectives a un +point quelconque de la surface, plus la quantité $\frac{1}{2}g(1 -\mu^2)$ qui provient +de la force centrifuge de ce point, soit une constante. La partie +de cette constante relative à la sphère du rayon $a$ et indépendante +de la force centrifuge, est égale à $\dfrac{4\pi a^2}{3}$; la partie relative à cette force +et à la non-sphéricité du fluide, est la constante $C$ de l'équation précédente, +prise avec un signe contraire; en désignant par $\gamma$ sa valeur +complète, on a donc +\[ +\gamma=\frac{4\pi a^2}{3}-a^2C. +\] +Or, pour chaque figure possible d'équilibre, cette constante $\gamma$ est évidemment +une quantité déterminée qui ne peut pas dépendre du rayon +que l'on prend pour $a$, c'est-à-dire, de la différence entre ce +rayon et celui de la sphère équivalente au volume donné du fluide; +la constante $C$ est donc indéterminée comme cette différence; de telle +sorte que pour chaque valeur que l'on peut prendre pour $a$, l'équation +précédente déterminera la valeur correspondante de $C$, et que, réciproquement, +si l'on prend à volonté pour $C$ une valeur qui soit de +l'ordre de petitesse de $\alpha$, cette équation déterminera le rayon $a$. + +Cela posé, faisons +\[ +Y = l\mu + m\mu^2 + X; +\] +$l$ et $m$ étant des constantes indéterminées, et $X$ une nouvelle inconnue, +fonction de $\mu$ et $\varpi$, dont toutes les valeurs sont des quantités +finies. Soit $c$ la plus grande de ces valeurs; en faisant +\[ +c - X = Z, +\] +\marginpage % *** File: 322.png +l'inconnue $Z$ ne pourra plus avoir que des valeurs positives, et l'expression +de $Y$ deviendra +\[ +Y = c + l\mu + m\mu^2 - Z. +\] +Je la substitue dans l'équation (A). Ce que devient $\mu$ dans $Y'$ étant désigné +par $\mu'$, on a +\[ +\mu' = \mu \cos^2 p - \sin^2 p \cos q; +\] +d'où il résulte +\[ +\int_0^\pi \int_0^{2\pi} \mu' \sin pdpdq = \frac{4\pi}{3}\mu,\quad +\int_0^\pi \int_0^{2\pi} \mu'^2 \sin pdpdq = \frac{4\pi}{5}(\mu^2+\tfrac{4}{3}); +\] +et comme on a aussi +\[ +\int_0^\pi \int_0^{2\pi} \sin pdpdq = 4\pi, +\] +le résultat de cette substitution, sera +\begin{align*} +C &= \Big(\frac{8\pi\alpha}{15} m + \tfrac{1}{2} g\Big)\mu^2 - \frac{16\pi\alpha}{15} m - \frac{8\pi\alpha}{3} c - \tfrac{1}{2} g\\ +&- \frac{4\pi\alpha}{3} Z + \alpha \int_0^\pi \int_0^{2\pi} Z'\sin pdpdq; +\end{align*} +$Z'$ étant ce que devient $Z$ dans $Y'$. Or, les constantes $m$ et $C$ pouvant +être prises arbitrairement, on peut supposer qu'on ait +\[ +\frac{8\pi\alpha}{15} m + \tfrac{1}{2} g = 0,\quad C = - \frac{16\pi\alpha}{15} m - \frac{8\pi\alpha}{3} c - \tfrac{1}{2} g; +\] +ce qui réduit l'équation précédente à celle-ci: +\[ +\int_0^\pi \int_0^{2\pi} Z'\sin pdpdq - \frac{4\pi}{3} Z = 0, +\] +que l'on peut écrire sous cette forme: +\[ +\int_0^\pi \int_0^{2\pi} (Z' - \tfrac{1}{3} Z) \sin p dp dq =0. +\] + +Maintenant, j'appelle $h$ et $k$ les valeurs de $\mu$ et $\varpi$ qui répondent à +la plus petite des valeurs possibles de $Z$, et je désigne par $L$ cette plus +petite valeur; pour $\mu = h$ et $\varpi = k$, la dernière équation deviendra +donc +\[ +\int_0^\pi \int_0^{2\pi} (Z' - \tfrac{1}{3} L) \sin p dp dq =0; +\] +\marginpage % *** File: 323.png +mais il est évident que $Z'$ ou $Z$ étant, par hypothèse, une quantité positive +ou zéro, la différence $Z' - \frac{1}{3} L$ est aussi positive ou nulle; +tous les éléments de l'intégrale double ayant donc le même signe, +elle ne peut être nulle qu'autant que le facteur $Z'-\frac{1}{3}L$ sera zéro; +condition qui ne peut être remplie qu'autant que $Z'$ ou $Z$ sera aussi +constamment zéro. D'ailleurs, on tire des équations précédentes +\[ +m = - \frac{15g}{16\pi\alpha},\quad c = \frac{3g}{16\pi\alpha} - \frac{3}{8\pi\alpha}C; +\] +en substituant donc ces valeurs de $m$ et $c$ dans l'expression de $Y$, supprimant +le terme $Z$, et mettant ensuite cette expression dans celle +de $r$, nous aurons +\[ +r = a\Big[1 + \frac{3(g-2C)}{16\pi} + \alpha l\mu - \frac{15g}{16\pi} \mu^2\Big]. +\] + +Ce résultat renferme la constante indéterminée $\alpha l$ qui tient à l'origine, +aussi indéterminée, des coordonnées sur l'axe de rotation. On +la fera aisément disparaître par un déplacement convenable de cette +origine sur cette droite, ou si l'on veut, on peut tout de suite la +supposer nulle, et écrire +\[ +r = a\Big[1 + \frac{3(g-2C)}{16\pi} - \frac{15g}{16\pi} \mu^2\Big]. +\] + +On fera aussi disparaître, sans difficulté, les constantes $a$ et $C$ que +renferme cette valeur de $r$. En effet, soit +\begin{gather*} +a\Big[1 + \frac{3(g-2C)}{16\pi}\Big] = b\Big(1 + \frac{5g}{16\pi}\Big); \tag{\emph{a}} +\end{gather*} +en négligeant les carrés et le produit de $g$ et $C$, et faisant, pour +abréger, +\[ +\frac{15g}{16\pi} = n, +\] +il en résultera finalement +\[ +r = b[1 + n(\tfrac{1}{3} - \mu^2)]. +\] +Or, il est facile de s'assurer, d'après cette expression de $r$, que $b$ est +\marginpage % *** File: 324.png +le rayon donné de la sphère équivalente au volume du fluide; cette +expression ne contient donc plus rien d'inconnu ou d'indéterminé; +et l'on en conclut que le fluide n'a qu'une seule figure possible d'équilibre, +qui s'écarte très peu de la sphère; ce qu'il s'agissait de prouver. + +Cette démonstration est plus simple que celle qui est fondée sur +la réduction de $r$ en série d'une certaine forme, et qui suppose connues +les propriétés des termes de ce développement, ainsi que la généralité +de cette forme de série, que l'on avait contestée, mais que j'ai +mise hors de doute dans mon mémoire sur l'\emph{attraction des sphéroïdes}\footnote{% +\emph{Additions à la Connaissance des Temps} année 1829.}. + +Si l'on met +\[ +a = b,\quad \alpha Y = n ( \tfrac{1}{3} - \mu^2 ), +\] +dans l'expression $a(1 + \alpha Y)$ de $r$, ce qui l'a fait coïncider avec la +valeur finale de ce rayon vecteur; que l'on désigne par $B$, la valeur +de la constante $C$ qui répond à ces valeurs de $a$ et de $\alpha Y$; et que +l'on ait égard à ce que $n$ représente, on trouvera sans difficulté que +l'équation (A) se réduit à +\[ +B = - \tfrac13 g. +\] +On aura, en même temps, +\[ +\gamma = \frac{4\pi b^2}{3} + \tfrac13 g b^2; +\] +et comme, d'après ce qu'on a dit plus haut, cette quantité $\gamma$ doit être +la même, quel que soit le rayon peu différent de $b$ que l'on prenne +pour $a$, il faudra qu'on ait +\[ +\frac{4b^2}3 + \tfrac13 gb^2 = \frac{4\pi a^2}3 - a^2 C; +\] +résultat qui coïncide, en effet, avec l'équation (\emph{a}), en négligeant +toujours les carrés et le produit de $g$ et de $C$. + +\jmpafin + +% *** File: 325.png + +\jmpapaper{REMARQUES}{} +{Sur l'intégration des équations différentielles de la +Dynamique;} +{Par M.~POISSON.}{} +\label{art29} + +En combinant le principe de d'Alembert avec celui des \emph{vitesses +virtuelles}, Lagrange est parvenu à une formule générale d'où il a +déduit, sous la forme la plus simple, les équations différentielles du +mouvement d'un système quelconque de points matériels. Certains +coefficients qu'il introduit dans ces équations font connaître, en +grandeur et en direction, les forces \emph{intérieures} qui naissent de la +liaison mutuelle des points du système, exprimée par des équations +données entre leurs coordonnées. La considération de la surface sur +laquelle chaque mobile doit demeurer, en vertu de chacune de ces +équations, détermine seulement la direction de la force correspondante +à cette équation, et qui doit être normale à cette surface. Les +intensités des forces intérieures ne seraient donc pas connues d'après +cette seule considération; mais le principe de d'Alembert montre +qu'elles sont dues aux \emph{forces perdues} à chaque instant, et les mêmes, +d'ailleurs, dans l'état de mouvement que dans l'état d'équilibre; en +sorte qu'on doit les déterminer au moyen du principe des vitesses +virtuelles, appliqué à ces dernières forces. La combinaison de ces +deux principes, dont Lagrange a fait la base de la \emph{Mécanique analytique}, +était donc nécessaire pour la détermination complète des forces +intérieures. Quant aux \emph{forces extérieures}, appliquées aux mobiles, +elles proviennent, dans la nature, d'attractions ou de répulsions qui +émanent de points fixes ou mobiles, et sont alors données par hypothèse; +\marginpage % *** File: 326.png +ou bien elles résultent, comme dans les fluides et les corps +élastiques, d'actions moléculaires qui ne s'étendent qu'à des distances +insensibles; et c'est, dans ce dernier cas, un problème appartenant à +la \emph{Mécanique physique}, de déterminer leurs résultantes. Quelle que +soit l'origine des forces extérieures, si on les suppose données, le +problème de la Dynamique est aujourd'hui complétement résolu, en +ce sens qu'il est réduit à une question de pure analyse, c'est-à-dire à +l'intégration d'un système d'équations différentielles du second ordre. +Mais presque toujours on est obligé de recourir à des méthodes d'approximation +très compliquées, pour effectuer cette intégration; et il +est singulier que dans les questions qui paraissent très simples, +dans le cas, par exemple, du mouvement de trois points qui s'attirent +mutuellement, on ne connaisse pas d'autres intégrales exactes +de ces équations, que celles qui sont communes à tous les problèmes, +et qui sont fournies par les principes généraux du mouvement du +centre de gravité, des aires, des forces vives. Cependant la forme remarquable +des équations différentielles de la Dynamique, semblerait +devoir donner quelque facilité pour leur intégration. Un examen approfondi +de ce point d'analyse est l'objet des réflexions suivantes. Elles +m'ont été suggérées par la lecture d'un mémoire fort intéressant que +M.~Hamilton, astronome royal de Dublin, a inséré dans les \emph{Transactions +philosophiques} de Londres\footnote{% +Année 1834, seconde partie.}, +et qui a pour titre: \emph{On a +general Method in Dynamics.} + +\mysection{I.} + +Considérons un système de points matériels en mouvement, dont +les masses seront représentées par $m$, $m\subprime$, $m\subdprime$, etc., et qui pourront +être entièrement libres, ou liés entre eux d'une manière quelconque. +Au bout d'un temps $t$, écoulé depuis que le mouvement a commencé, +soient $x$, $y$, $z$, les trois coordonnées rectangulaires de $m$, et $x'$, $y'$, +$z'$, les composantes de sa vitesse suivant leurs directions, de sorte +qu'on ait +\[ +\frac{dx}{dt}=x',\quad \frac{dy}{dt} = y',\quad \frac{dz}{dt} = z'. +\] +\marginpage % *** File: 327.png +Désignons aussi par les mêmes lettres avec des accents inférieurs, les +coordonnées et les vitesses des autres points $m\subprime$, $m\subdprime$, etc. Représentons +par $U$ une fonction donnée de toutes ces coordonnées $x$, $y$, $z$, $x\subprime$, etc., +qui pourra, en outre, renfermer $t$ explicitement; et supposons que +les composantes de la force motrice de $m$ soient exprimées par les +différences partielles $\dfrac{dU}{dx}$, $\dfrac{dU}{dy}$, $\dfrac{dU}{dz}$; celles de la force motrice de $m\subprime$, +par $\dfrac{dU}{dx}$, $\dfrac{dU}{dy}$, $\dfrac{dU}{dz}$; etc. Enfin soient +\begin{gather*} +L = 0,\quad M = 0,\quad N = 0,\quad \text{etc.,}\quad \tag{$a$} +\end{gather*} +les équations qui expriment la liaison des points du système, s'ils ne +sont pas entièrement libres, et dans lesquelles $L$, $M$, $N$, etc., sont des +fonctions données de $x$, $y$, $z$, $x\subprime$, etc., qui contiendront le temps $t$ +explicitement, lorsque cette liaison variera pendant la durée du mouvement. + +Les trois équations différentielles du mouvement de $m$ seront, +comme on sait, +\begin{gather*} +\left. +\begin{aligned} +m\frac{d^2x}{dt^2}&=\frac{dU}{dx}+\lambda\frac{dL}{dx}+\mu\frac{dM}{dx}+\nu\frac{dN}{dx}+\etc,\\ +m\frac{d^2y}{dt^2}&=\frac{dU}{dy}+\lambda\frac{dL}{dy}+\mu\frac{dM}{dy}+\nu\frac{dN}{dy}+\etc,\\ +m\frac{d^2z}{dt^2}&=\frac{dU}{dz}+\lambda\frac{dL}{dz}+\mu\frac{dM}{dz}+\nu\frac{dN}{dz}+\etc; +\end{aligned} +\right\}\tag{$m$} +\end{gather*} +celles du mouvement de $m\subprime$ seront de même +\begin{gather*} +\left. +\begin{alignedat}{5} +m\subprime \frac{d^2x\subprime}{dt^2}&=\frac{dU}{dx\subprime}&&+\lambda\frac{dL}{dx\subprime}&&+\mu\frac{dM}{dx\subprime}&&+\nu\frac{dN}{dx\subprime}&&+\etc,\\ +m\subprime \frac{d^2y\subprime}{dt^2}&=\frac{dU}{dy\subprime}&&+\lambda\frac{dL}{dy\subprime}&&+\mu\frac{dM}{dy\subprime}&&+\nu\frac{dN}{dy\subprime}&&+\etc,\\ +m\subprime \frac{d^2z\subprime}{dt^2}&=\frac{dU}{dz\subprime}&&+\lambda\frac{dL}{dz\subprime}&&+\mu\frac{dM}{dz\subprime}&&+\nu\frac{dN}{dz\subprime}&&+\etc;\\ +\end{alignedat} +\right\} +\tag{$m\subprime$} +\end{gather*} +et ainsi pour les autres mobiles. + +Les coefficients $\lambda$, $\mu$, $\nu$, etc., sont des inconnues dont le nombre +est égal à celui des équations ($a$), et d'où dépendent les actions mutuelles +des points du système, résultantes de leur liaison exprimée +par ces équations. En les éliminant entre les équations ($m$), ($m\subprime$), +\marginpage % *** File: 328.png +($m\subdprime$), etc., on réduira celles-ci à un nombre $n$ qui sera l'excès du nombre +des coordonnées $x$, $y$, $z$, $x\subprime$, etc., des mobiles sur celui des équations (\emph{a}). +En même temps, ces coordonnées, s'exprimeront, au moyen +des équations (\emph{a}), en fonctions d'un pareil nombre $n$ d'autres inconnues +que je représenterai par $\phi$, $\psi$, $\theta$, etc. Après avoir ainsi substitué ces +fonctions à la place de $x$, $y$, $z$, $x\subprime$, etc., dans les équations qui proviennent +de l'élimination de $\lambda$, $\mu$, $\nu$, etc., il en résultera un système +de $n$ équations différentielles du second ordre, que j'appellerai ($n$). +Le problème sera réduit à l'intégration de ces $n$ équations simultanées. +Leurs intégrales complètes feront connaître les valeurs de $\phi$, $\psi$, $\theta$, +etc., en fonctions de $t$ et de $2n$ constantes arbitraires que je désignerai +par $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc. Les coordonnées $x$, $y$, $z$, $x\subprime$, etc., et par suite, les +vitesses $x'$, $y'$, $z'$, $x'\subprime$, etc., seront donc aussi des fonctions de $t$, $\alpha$, $\beta$, +$\gamma$, etc; et si l'on représente par $a$, $b$, $c$, etc., $a'$, $b'$, $c'$, etc., les valeurs +initiales de ces coordonnées et de ces vitesses, ces constantes +seront des fonctions de $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc., qui se déduiront de $x$, $y$, $z$, +$x\subprime$, etc., $x'$, $y'$, $z'$, $x'\subprime$, etc., en y faisant $t = 0$. + +\mysection{II.} + +Je désigne actuellement par chacune des caractéristiques $\delta$ et $\Delta$, +la variation infiniment petite d'une fonction quelconque de $t$, $\alpha$, $\beta$, +$\gamma$, etc., prise par rapport à une partie ou à la totalité des quantités +arbitraires $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc., tandis que la différentielle de cette fonction +par rapport à $t$, sera toujours indiquée par la caractéristique $d$. En +indiquant aussi, suivant l'usage, par la caractéristique $\sum$, une somme +étendue à tous les mobiles $m$, $m\subprime$, $m\subdprime$, etc., et faisant +\begin{gather*} +\sum m[(\Delta x\delta x'-\Delta x'\delta x)+(\Delta y\delta y'-\Delta y'\delta y)+(\Delta z\delta z'-\Delta z'\delta z)]=\eta;\tag{1} +\end{gather*} +cette quantité $\eta$, infiniment petite du second ordre, sera constante +par rapport à $t$, ou, autrement dit, on aura $d\eta = 0$, quelle que soit +d'ailleurs la liaison des points $m$, $m\subprime$, $m\subdprime$, etc., exprimée par les équations +(\emph{a}). Pour la démonstration de cette propriété remarquable des +équations générales de la Dynamique, je renverrai à mon second +\marginpage % *** File: 329.png +mémoire sur \emph{la variation des constantes arbitraires}\footnote +{Tome I\ier\ des \emph{Mémoires de l'Académie des Sciences}.}, +ou bien +au \emph{Bulletin de la Société Philomathique}\footnote +{Année 1816, page 109.}, +où je l'avais donnée +auparavant. + +Maintenant, si le temps $t$ n'est pas contenu explicitement dans la +fonction $U$, non plus que dans aucune des équations (\emph{a}), il en sera de +même à l'égard des équations (\emph{n}), qui ne renfermeront que $dt$; parmi +les $2n$ constantes arbitraires $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc., de leurs intégrales, il y en +aura donc une qui sera partout ajouté à la variable $t$, de sorte qu'en la +désignant par $\epsilon$, toutes les inconnues $\phi$, $\psi$, $\theta$, etc., seront des fonctions +de $t+\epsilon$ et des $2n-1$ autres constantes. Or, si l'on suppose +que la variation $\Delta$ se rapporte à cette seule quantité $\epsilon$, et si l'on fait +$\delta\epsilon = \delta t$, on devra changer $\Delta$ en $d$; en même temps, $\eta$ sera le produit +de $dt$ et de la variation d'une quantité indépendante de $t$, que je +désignerai par $k$; par conséquent, l'équation (1) deviendra +\begin{gather*} +\sum m[(dx\delta x'-dx'\delta x)+(dy\delta y'-dy'\delta y)+(dz\delta z'-dz'\delta z)]=\delta kdt; \tag{2} +\end{gather*} +et je dis, de plus, que cette constante arbitraire $k$ sera celle de l'équation +qui renferme le \emph{principe des forces vives}, lequel a lieu, +comme on sait, dans le cas dont il s'agit. + +En effet, les quantités $L$, $M$, $N$, etc., +ne contenant pas le temps $t$ +explicitement, on a +\begin{alignat*}{6} +&dL&&=\frac{dL}{dx}dx&&+\frac{dL}{dy}dy&&+\frac{dL}{dz}dz&&+\frac{dL}{dx\subprime }dx\subprime &&\etc,\\ +&dM&&=\frac{dM}{dx}dx&&+\frac{dM}{dy}dy&&+\frac{dM}{dz}dz&&+\frac{dM}{dx\subprime }dx\subprime \ &&\etc,\\ +&dN&&=\frac{dN}{dx}dx&&+\frac{dN}{dy}dy&&+\frac{dN}{dz}dz&&+\frac{dN}{dx\subprime }dx\subprime &&\etc,\\ +&\multispan{3}{\etc,\hfill} +\end{alignat*} +parce que les équations (\emph{a}) ont lieu pour toutes les valeurs de $t$, on +a aussi +\[ +dL = 0,\quad dM = 0,\quad dN = 0,\ \etc; +\] +au moyen de quoi, en ajoutant les équations ($m$), ($m\subprime$), ($m\subdprime$),\ \etc, +\marginpage % *** File: 330.png +après les avoir multipliées respectivement par $dx$, $dy$, $dz$, $dx\subprime$, etc., +on en déduit +\[ +\sum m\Big(\frac{d^2x}{dt^2}dx+\frac{d^2y}{dt^2}dy+\frac{d^2z}{dt^2}{dz}\Big)=dU, +\] +ou bien, en intégrant et désignant par $h$ la constante arbitraire, +\begin{gather*} +\frac{1}{2}\sum m (x'^2+y'^2+z'^2)=U+h;\tag{3} +\end{gather*} +ce qui est l'équation des forces vives. En la différentiant suivant la +caractéristique $\delta$, et multipliant ensuite par $dt$, on aura donc +\begin{gather*} +\sum m(\delta x'dx + \delta y'dy+\delta z'dz)=\delta Udt + \delta hdt.\tag{4} +\end{gather*} +Mais à cause que les valeurs de $x$, $y$, $z$, $x\subprime$, etc., doivent satisfaire +aux équations (\emph{a}), pour toutes les valeurs de $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc., on peut +aussi différentier ces équations suivant $\delta$; ce qui donne +\[ +\delta L=0,\quad \delta M=0, \quad \delta N=0,\ \etc +\] +Si donc on ajoute les équations $(m)$, $(m\subprime )$, $(m\subdprime )$, etc., après les avoir +multipliées respectivement par $\delta x$, $\delta y$, $\delta z$, $\delta x\subprime$, etc., et toutes +par $dt$, il en résultera +\begin{gather*} +\sum m (dx'\delta x+dy'\delta y + dz'\delta z)=\delta Udt \tag{5} +\end{gather*} +\label{err330}en retranchant ces équations (4) et (5) l'une de l'autre, il vient +\[ +\sum m [(dx\delta x'-dx'\delta x)+(dy\delta y'-dy'\delta y)+(dz\delta z'-dz'\delta z)]=\delta hdt; +\] +et si l'on compare cette formule à l'équation (2), on en conclut +$\delta k=\delta h$, ce qu'il s'agissait de démontrer. + +En vertu de l'équation (3), on aura d'ailleurs +\begin{gather*} +h=\tfrac{1}{2}\sum(a'^2+b'^2+c'^2)-D, \tag{6} +\end{gather*} +en faisant $t = 0$ dans cette équation, et désignant par $D$, ce que $U$ +devient pour cette valeur de $t$. +\marginpage % *** File: 331.png + +\mysection{III.} + +Faisons maintenant +\[ +\tint \sum m(x'dx + y'dy + z'dz) = V; +\] +et supposons que cette intégrale relative à $t$, commence à $t=0$, de +manière que $V$ exprime ce que l'on appelle \emph{la quantité d'action} dépensée +par le système des mobiles $m$, $m\subprime$, $m\subdprime$, etc., pour passer de sa +position initiale à celle qu'il occupe au bout du temps $t$. En différentiant +cette intégrale suivant la caractéristique $\delta$, nous aurons, d'après +les règles connues, +\[ +\delta V = \tint\sum m(x' d.\delta x + y' d.\delta y + z' d.\delta +z +dx\delta x' + dy\delta y' + dz\delta z'). +\] +Mais, en vertu de l'équation (2) et à cause de $k = h$, on a aussi\label{err331} +\[ +\tint\sum m(dx\delta x' + dy\delta y' + dz\delta z'- dx'\delta x - +dy'\delta y - dz'\delta z) = t\delta h; +\] +en retranchant cette équation de la précédente, on aura donc\label{err331b} +\[ +\delta V = \tint\sum m(d.x'\delta x + d.y'\delta y + d.z'\delta z) ++ t\delta h; +\] +ou bien, en effectuant l'intégration, +\begin{gather*} +\delta V = \sum m(x'\delta x + y'\delta y + z'\delta z) - +\sum m(a'\delta a + b'\delta b + c'\delta c) + t\delta h, \tag{7} %[**errata] +\end{gather*} +en observant que l'intégrale doit s'évanouir, par hypothèse, avec la +variable $t$, et qu'on a désigné par $a$, $b$, $c$, $a'$, $b'$, $c'$, les valeurs de $x$, +$y$, $z$, $x'$, $y'$, $z'$, qui répondent à $t = 0$. + +Les coordonnées $x$, $y$, $z$, $x\subprime$, étant des fonctions de $\phi$, $\psi$, $\theta$, etc., +données par les équations ($a$), on pourra toujours ramener cette équation +(7) à la forme +\begin{gather*} +\delta V = P\delta \phi + Q\delta \psi + R\delta \theta + +\etc -A\delta \alpha - B\delta \beta - C\delta \gamma +- \etc + t\delta h, \tag{8} %[**errata] +\end{gather*} +où l'on désigne par $P$, $Q$, $R$, etc., des fonctions données de $\phi$, $\psi$, +$\theta$, etc., $\dfrac{d\phi}{dt}$, $\dfrac{d\psi}{dt}$, $\dfrac{d\theta}{dt}$, etc.; par $A$, $B$, $C$ etc., ce que ces fonctions deviennent +\marginpage % *** File: 332.png +pour $t = 0$; et par $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc., ce que $\phi$, $\psi$, $\theta$, etc., deviennent +également pour $t=0$. Si l'on désigne aussi par $\alpha'$, $\beta'$, $\gamma'$, etc., +les valeurs de $\dfrac{d\phi}{dt}$, $\dfrac{d\psi}{dt}$, $\dfrac{d\theta}{dt}$, etc., qui répondent à $t=0$, il sera permis +de prendre les $n$ quantités $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc., et les $n$ quantités $\alpha'$, $\beta'$, $\gamma'$, etc., +pour les $2n$ constantes arbitraires des intégrales complètes des +équations $(n)$, que nous avions désignées jusqu'ici, d'une manière +générale, par $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc. + +Observons actuellement que $V$, ainsi que chacune des $n$ quantités +$\phi$, $\psi$, $\theta$, etc., sera une fonction de $2n + 1$ quantités indépendantes +entre elles, savoir, $t$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ etc., $\alpha'$, $\beta'$, $\gamma'$, etc. La quantité $h$ sera +une fonction de $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc., $\alpha'$, $\beta'$, $\gamma'$, etc., résultante de la formule +(6). Par conséquent, si l'on conçoit qu'au moyen des valeurs +de $\phi$, $\psi$, $\theta$, etc., et de celle de $h$, on ait éliminé de l'expression de $V$, +la variable $t$ et les $n$ constantes $\alpha'$, $\beta'$, $\gamma'$, etc., on pourra considérer $V$ +comme une fonction de ces $2n + 1$ autres quantités $\phi$, $\psi$, $\theta$, etc., +$h$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc., et écrire, en conséquence, +\[ +V = f(\phi, \psi, \theta, \etc, h, \alpha, \beta, \gamma, \etc), +\] +d'où l'on conclut que si l'on parvient, par un moyen quelconque, +à trouver cette fonction $f$, et qu'on la substitue à la place de $V$ dans +l'équation (8), elle devra rendre cette équation identique par rapport +aux $2n+1$ variations $\delta h$, $\delta\phi$, $\delta\psi$, $\delta\theta$, etc., +$\delta \alpha$, $\delta\beta$, $\delta\gamma$, etc.; +de sorte que l'on aura ce système de $2n+1$ équations, savoir: +\begin{gather*} +\left. +\begin{alignedat}{3} +\dfrac{df}{dh} &= t,\\ %[**errata] +\dfrac{df}{d\phi} &= P, &\dfrac{df}{d\psi} &= Q, & \dfrac{df}{d\theta}&=R,\ \etc,\\ +\dfrac{df}{d\alpha}&=-A,\quad&\dfrac{df}{d\beta}&=-B,\quad& \dfrac{df}{d\gamma}&=-C,\ \etc, +\end{alignedat} +\right\} +\tag{9} +\end{gather*} +duquel on déduira par l'élimination des $n$ quantités $\dfrac{d\phi}{dt}$, $\dfrac{d\psi}{dt}$, $\dfrac{d\theta}{dt}$, etc., +et de l'une des $2n+1$ constantes arbitraires $h$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc., $\alpha'$, $\beta'$, +$\gamma'$, etc., un autre système de $n$ équations entre $t$, $\phi$, $\psi$, $\theta$, etc., et +les $2n$ constantes restantes, qui exprimera les intégrales complètes des +équations $(n)$, ou des équations différentielles du second ordre $(m)$, +\marginpage % *** File: 333.png +$(m\subprime)$, $(m\subdprime)$, etc., réduites au nombre $n$ au moyen des équations ($a$) +données entre $x$, $y$, $z$, $x_1$, etc. + +Ainsi, dans tous les cas où le principe des forces vives a lieu, l'intégration +des équations différentielles du mouvement d'un système +de corps liés entre eux comme on voudra, est ramenée à la détermination +de la fonction que nous désignons par $f$. On ne doit pas +confondre cette proposition avec le \emph{principe de la moindre action}, +qui n'est qu'une règle, inutile aujourd'hui, pour former les équations +différentielles du mouvement, tandis que la proposition dont il s'agit +maintenant, en fait connaître les intégrales, toutes les fois que l'on +est parvenu à déterminer une certaine quantité $V$, et à mettre sa valeur +sous la forme que nous supposons, c'est-à-dire à l'exprimer en fonction +des inconnues $\phi$, $\psi$, $\theta$, etc., de leurs valeurs initiales $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc., +et de la constante $h$ de l'équation des forces vives. Cette méthode +d'intégration est celle que M.~Hamilton a donnée dans le mémoire +cité au commencement de celui-ci, mais pour le cas seulement des +équations $(m)$, $(m\subprime)$, $(m\subdprime)$, etc., ou d'un système de points matériels +entièrement libres. Elle s'étend, comme nous venons de le faire voir, +aux équations $(n)$ relatives au mouvement d'un système quelconque +de corps; mais malgré cette extension, l'usage en serait encore très +borné et à peu près nul, si l'on voulait, comme l'auteur le propose, +la faire servir à trouver toutes les intégrales premières et secondes des +équations du mouvement, et qu'il fallût déterminer \emph{à priori} la fonction +$V$, sans connaître aucune de ces intégrales. Quand on connaîtra +un nombre convenable des intégrales premières, cette méthode +pourra servir à achever l'intégration; et nous en donnerons tout à +l'heure un exemple. + +\mysection{IV.} + +Pour expliquer la marche qu'il faudra suivre, en général, supposons +d'abord qu'au moyen des équations (\emph{a}), on ait réduit l'intégrale +que $V$ représente à la forme +\[ +V=\tint(Xd\phi + Y d\psi + Z d\theta +\etc); +\] +$X$, $Y$, $Z$, etc., étant des fonctions données des $n$ variables $\phi$, $\psi$, $\theta$, etc., +\marginpage % *** File: 334.png +et de leurs coefficients différentiels $\dfrac{d\phi}{dt}$, $\dfrac{d\psi}{dt}$, $\dfrac{d\theta}{dt}$, etc., qui seront désignés, +pour plus de simplicité, par $\phi'$, $\psi'$, $\theta'$, etc. Soient +\begin{gather*} +G = 0,\quad G' = 0,\quad G'' = 0,\ \etc, \tag{10} +\end{gather*} +les intégrales premières des équations ($n$) que l'on suppose connues, +qui sont distinctes de l'équation des forces vives, et qui ne contiennent +pas non plus le temps t explicitement, de sorte que $G$, $G'$, $G''$, etc., représentent +des fonctions de $\phi$, $\psi$, $\theta$, etc., $\phi'$, $\psi'$, $\theta'$, etc., et d'un +nombre de constantes arbitraires $g$, $g'$, $g''$, etc., égal à celui de ces +équations (10). On pourra aussi représenter l'équation des forces vives, +qu'il faudra joindre à celles-là, par +\begin{gather*} +H = 0; \tag{11} +\end{gather*} +et $H$ sera une fonction de $\phi$, $\psi$, $\theta$, etc., $\phi'$, $\psi'$, $\theta'$, etc., et de la +constante particulière $h$. + +Il suffirait que $n$ fût le nombre de ces équations (10) et (11), pour +qu'on en pût déduire les valeurs de $\phi'$, $\psi'$, $\theta'$, etc., et qu'en substituant +ensuite ces valeurs dans les fonctions $X$, $Y$, $Z$, etc., la formule +contenue sous le signe $\int$ ne renfermât plus que les variables $\phi$, $\psi$, $\theta$, etc., dont elle contient les différentielles. Mais quoique, d'après +la formule (8), la variation de $V$, par rapport à ces $n$ variables, ne +contienne plus $\delta\phi$, $\delta\psi$, $\delta\theta$, etc., sous le signe $\int$, il ne s'ensuit pas +que la formule \label{err334}$Xd\phi+Yd\psi + Zd\theta + \etc$, satisfera toujours aux +conditions d'intégrabilité d'une formule différentielle à $n$ variables +indépendantes, ou qu'elle puisse s'intégrer indépendamment d'aucune +relation entre $\phi$, $\psi$, $\theta$, etc.: si cette formule est intégrable, le signe $\int$ +disparaîtra dans la variation de son intégrale; mais l'inverse de +cette proposition n'a pas lieu nécessairement. + +En effet, quelles que soient les fonctions de $\phi$, $\psi$, $\theta$, etc., $\phi'$, $\psi'$, $\theta'$, +etc., représentées par $X$, $Y$, $Z$, etc., on aura après l'élimination +de $\phi'$, $\psi'$, $\theta'$, etc.,\label{err335} +\marginpage % *** File: 335.png +\begin{alignat*}{5} +\delta V &={}&{\textstyle \int}\; (&Xd\ldot\delta\phi &&+Yd\ldot\delta\psi &&+Zd\ldot\delta\theta &&+\etc) \\ +&+{}&\int\!\!\Big(&\frac{dX}{d\phi}\;\delta \phi&&+\frac{dX}{d\psi}\;\delta\psi&&+\frac{dX}{d\theta}\;\delta\theta&&+\etc\Big)\;d\phi\\ +&+{}&\int\!\!\Big(&\frac{dY}{d\phi}\;\delta \phi&&+\frac{dY}{d\psi}\;\delta\psi&&+\frac{dY}{d\theta}\;\delta\theta&&+\etc\Big)\;d\psi\\ +&+{}&\int\!\!\Big(&\frac{dZ}{d\phi}\;\delta \phi&&+\frac{dZ}{d\psi}\;\delta\psi&&+\frac{dZ}{d\theta}\;\delta\theta&&+\etc\Big)\;d\theta\\ +&\multispan{3}{${}+\quad\etc\hfill$} +\end{alignat*} +En intégrant par partie, la première intégrale devient +\begin{align*} +X\delta\phi&+Y\delta\psi +Z\delta z + \etc \\ +&\begin{alignedat}{3} +-\int\!\!\Big(\frac{dX}{d\phi} \delta \phi&+\frac{dY}{d\phi} \delta\psi&&+\frac{dZ}{d\phi} \delta\theta&&+\etc\Big)\;d\phi\\ +-\int\!\!\Big(\frac{dX}{d\psi} \delta \phi&+\frac{dY}{d\psi} \delta\psi&&+\frac{dZ}{d\psi} \delta\theta&&+\etc\Big)\;d\psi\\ +-\int\!\!\Big(\frac{dX}{d\theta}\delta \phi&+\frac{dY}{d\theta}\delta\psi&&+\frac{dZ}{d\theta}\delta\theta&&+\etc\Big)\;d\theta +\end{alignedat}\\ +&-\etc; +\end{align*} +et si l'on suppose, pour fixer les idées, que les variables $\phi$, $\psi$, $\theta$, etc., +soient seulement au nombre de trois, l'expression de $\delta V$ pourra +s'écrire ainsi +\begin{align*} +\delta V&=X\delta \phi+Y\delta \psi +Z\delta \theta\\ +&\begin{alignedat}{2} ++\int\!\Big[\Big(\dfrac{dY}{d\phi} -\dfrac{dX}{d\psi}\Big)d\psi&+\Big(\dfrac{dZ}{d\phi} -\dfrac{dX}{d\theta}\Big)d\theta&&\Big]\;\delta \phi\\ ++\int\!\Big[\Big(\dfrac{dX}{d\psi} -\dfrac{dY}{d\phi}\Big)d\phi&+\Big(\dfrac{dZ}{d\psi} -\dfrac{dY}{d\theta}\Big)d\theta&&\Big]\;\delta \psi\\ ++\int\!\Big[\Big(\dfrac{dX}{d\theta}-\dfrac{dZ}{d\phi}\Big)d\phi&+\Big(\dfrac{dY}{d\theta}-\dfrac{dZ}{d\psi} \Big)d\psi &&\Big]\;\delta \theta. +\end{alignedat} +\end{align*} +Or, les conditions d'intégrabilité connues de la formule $Xd\phi+Yd\psi ++Zd\theta$, savoir: +\[ +\dfrac{dY}{d\phi}=\dfrac{dX}{d\psi},\quad\dfrac{dZ}{d\phi}=\dfrac{dX}{d\theta},\quad\dfrac{dZ}{d\psi}=\dfrac{dY}{d\theta}, +\] +font évidemment disparaître les signes $\int$ de l'expression de $\delta V$; mais +pour qu'ils disparaissent, quelles que soient les variations $\delta\phi$, $\delta \psi$, $\delta\theta$, +\marginpage % *** File: 336.png +il suffit qu'on ait +\begin{alignat*}{3} +&\Big(\frac{dY}{d\phi} - \frac{dX}{d\psi} \Big)&d\psi &+ \Big(\frac{dZ}{d\phi}-\frac{dX}{d\theta}\Big)&d\theta &=0,\\ +&\Big(\frac{dZ}{d\psi} - \frac{dY}{d\theta}\Big)&d\theta &- \Big(\frac{dY}{d\phi}-\frac{dX}{d\psi} \Big)&d\phi &=0,\\ +&\Big(\frac{dZ}{d\phi} - \frac{dX}{d\theta}\Big)&d\phi &+ \Big(\frac{dZ}{d\psi}-\frac{dY}{d\theta}\Big)&d\psi &=0; +\end{alignat*} +équations dont la troisième est une suite des deux autres, et qui +peuvent avoir lieu, en vertu de quelque relation particulière entre $\phi$, +$\psi$, $\theta$, sans que les coefficients de $d\phi$, $d\psi$, $d\theta$, soient zéro, c'est-à-dire +sans que les conditions d'intégrabilité précédentes soient satisfaites. Si, +au lieu de trois ou d'un plus grand nombre de variables, il y en a +deux seulement $\phi$ et $\psi$, l'expression de $\delta V$ se réduira à +\[ +\delta V = X\delta\phi + Y\delta \psi + \int\!\!\Big(\frac{dY}{d\phi} - \frac{dX}{d\psi}\Big)(\delta\phi d\psi - \delta\psi d\phi); +\] +et le signe $\int$ n'y pourra disparaître, à moins qu'on n'ait +\[ +\frac{dY}{d\theta}=\frac{dX}{d\psi}; +\] +mais si cette équation n'est point identique, c'est-à-dire si elle n'a +lieu qu'en vertu d'une relation entre $\phi$ et $\psi$, il ne s'ensuivra pas que +la formule $Xd\phi + Yd\psi$ soit une différentielle à deux variables. + +Cela posé, soit $n+i$ le nombre des équations (10) et (11), qui excédera +de $i$ celui des quantités $\phi'$, $\psi'$, $\theta'$, etc. Il faudra que $i$ soit moindre +que $n$; car si l'on avait $i = n$, on tirerait des $2n$ équations (10) +et (11), qui ne contiennent pas le temps $t$ explicitement, des valeurs +constantes pour les $n$ inconnues $\phi$, $\psi$, $\theta$, et pour leurs coefficients +différentiels $\phi'$, $\psi'$, $\theta'$, etc. Désignons par +\begin{gather*} +E = 0,\quad E' = 0,\quad E'' = 0,\ \etc,\tag{12} +\end{gather*} +les équations entre $\phi$, $\psi$, $\theta$, etc., qui résulteront de l'élimination de +$\phi'$, $\psi'$, $\theta'$, etc., entre ces intégrales (10) et (11), et dont le nombre sera +égal à $i$. Ayant aussi éliminé $\phi'$, $\psi'$, $\theta'$, etc., de chacune des quantités +\marginpage % *** File: 337.png +$X$, $Y$, $Z$, etc.; si la formule $Xd\phi + Yd\psi + Zd\theta+ \etc$, satisfait aux +conditions d'intégrabilité, en vertu des équations (12) qui réduiront à +$n - i$ le nombre des variables indépendantes, on effectuera l'intégration +par les règles ordinaires, et il en résultera une valeur de $V$ en fonction +de ces $n - i$ variables et des $n + i$ constantes arbitraires que renferment +les équations (10) et (11). On pourra ensuite, au moyen des équations (12), +réintroduire dans $V$ toutes les variables $\phi$, $\psi$, $\theta$, etc., +en en éliminant un nombre égal à $i$ de constantes arbitraires, différentes +de $h$ que nous conserverons. Si l'on observe d'ailleurs que $V$ +doit être zéro, par hypothèse, pour $t = 0$, on aura donc finalement +\[ +V = F(\phi, \psi, \theta, \etc,\ h, e, e', e'', \etc)-k; +\] +$e$, $e'$, $e''$, etc., étant les $n - 1$ constantes arbitraires que l'on aura conservées +avec $h$, et qui seront une partie des constantes $g$, $g'$, +$g''$, etc., ou plus généralement, des fonctions de celles-ci; $F$ désignant +une fonction connue de $2n$ quantités, dont $n$ variables et +$n$ constantes; et en faisant, pour abréger, +\[ +F(\alpha,\beta,\gamma,\etc,\ h,e,e',e'',\etc) = k. +\] + +Les $n$ constantes $h$, $e$, $e'$, $e''$, etc., ne peuvent être que des fonctions +des valeurs initiales $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc., $\alpha'$, $\beta'$, $\gamma'$, etc., de $\phi$, $\psi$, +$\theta$, etc., $\phi'$, $\psi'$, $\theta'$, etc.; les $n$ variables $\phi$, $\psi$, $\theta$, etc., sont aussi des +fonctions de $t$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc., $\alpha'$, $\beta'$, $\gamma'$, etc.; en joignant la valeur +de $k$ à celles de $\phi$, $\psi$, $\theta$, etc., $h$, $e$, $e'$, $e''$, etc., il en résultera $2n + 1$ +équations, entre lesquelles on peut concevoir que l'on ait éliminé $t$, +$\alpha'$, $\beta'$, $\gamma'$, etc., pour en déduire ensuite des valeurs de $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc., +en fonction de $\phi$, $\psi$, $\theta$, etc., $k$, $h$, $e$, $e'$, $e''$, etc. De cette manière, on +pourra considérer la valeur de $V$, représentée plus haut par la fonction $f$, +comme une fonction de ces $2n + 1$ dernières quantités; elle +devra alors être identique avec celle que l'on vient d'écrire; et en égalant, +de part et d'autre, dans les variations complètes de ces deux +expressions de $V$, les coefficients de chacune des variations de $\phi$, $\psi$, +$\theta$, etc., $k$, $h$, $e$, $e'$, $e''$, etc., on obtiendra un nombre $2n + 1$ d'équations +pour remplacer les équations (9). Parmi ces nouvelles équations, +nous aurons seulement besoin de celles qui proviennent des +\marginpage % *** File: 338.png +variations de $h$, $e$, $e'$, $e''$, etc., et qui seront, d'après la formule (8), +\begin{gather*} +\frac{dF}{dh}=t+\epsilon,\quad %[**errata] +\frac{dF}{de}=l,\quad +\frac{dF}{de'}=l',\quad +\frac{dF}{de''}=l'',\ \etc, \tag{13} +\end{gather*} +en faisant, pour abréger, +\begin{alignat*}{4} +&A\frac{d\alpha}{dh} &&+B\frac{d\beta}{dh} &&+C\frac{d\gamma}{dh} &&+\etc=-\epsilon,\\ %[**errata] +&A\frac{d\alpha}{de} &&+B\frac{d\beta}{de} &&+C\frac{d\gamma}{de} &&+\etc=-l,\\ %[**errata] +&A\frac{d\alpha}{de'}&&+B\frac{d\beta}{de'}&&+C\frac{d\gamma}{de'}&&+\etc=-l',\\ +&\etc +\end{alignat*} +Quoique nous considérions $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc., dans ces différentiations, +comme des fonctions de $h$, $e$, $e'$, $e''$, etc., et de $\phi$, $\psi$, $\theta$, etc.; ces +quantités $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc., étant des constantes arbitraires par rapport à $t$, +quelles que soient les valeurs de $h$, $e$, $e'$, $e''$, etc., il s'ensuit que leurs +différences partielles sont également des quantités constantes, aussi +bien que $A$, $B$, $C$, etc., et par conséquent aussi, les $n$ quantités $e$, $l$, +$l'$, $l''$, etc. Maintenant, les équations (12) et (13), dont le nombre +total est $n + i$, seront des intégrales des équations ($n$), en quantités +finies, qui devront se réduire, dans chaque cas, à un nombre $n$ d'équations +distinctes, contenant les variables $t$, $\phi$, $\psi$, $\theta$, etc., et $2n$ +constantes arbitraires. + +\mysection{§ V.} + +Appliquons ces considérations générales au mouvement d'un point +matériel, entièrement libre et soumis à une force dirigée vers un +centre fixe. + +Supposons que ce point soit celui dont $x$, $y$, $z$, sont les trois coordonnées; +plaçons le centre fixe à leur origine; les trois composantes +de la force dirigée vers ce point seront entre elles comme ces coordonnées; +on aura donc +\[ +y\frac{dU}{dx} = x\frac{dU}{dy},\quad +x\frac{dU}{dy} = z\frac{dU}{dx},\quad +z\frac{dU}{dy} = y\frac{dU}{dz}; +\] +\marginpage % *** File: 339.png +et si l'on désigne par $r$ la distance du mobile au centre fixe, de sorte +qu'on ait +\[ +x^2 + y^2 + z^2 = r^2, +\] +on ne pourra satisfaire à ces équations qu'en prenant pour $U$ une +fonction de ce rayon vecteur $r$. En la désignant par $R$, et prenant +aussi la masse du mobile pour unité, les trois équations du mouvement +seront +\[ +\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{dR}{dr}\frac{x}{r},\quad \frac{d^2y}{dt^2}=\frac{dR}{dr}\frac{y}{r},\quad \frac{d^2z}{dt^2}=\frac{dR}{dr}\frac{z}{r}, +\] +On aura, pour l'équation des forces vives,\label{p331eqalpha} +\begin{gather*} +\tfrac{1}{2}(x'^2 + y'^2 + z'^2) = R + h, \tag{$\alpha$} +\end{gather*} +et, pour les trois équations que fournit le principe des aires, +\begin{gather*} +xy' - yx' = g,\quad zx' - xz' = g',\quad yz'-zy' = g''. \tag{$\beta$} +\end{gather*} +Ces quatre intégrales complètes des équations du mouvement s'en +déduisent d'ailleurs immédiatement. Les trois dernières donnent +celle-ci +\begin{gather*} +gz +g'y + g''x = 0,\tag{$\gamma$} +\end{gather*} +qui est une intégrale seconde, et qui montre que la trajectoire du +mobile est comprise dans un plan passant par le centre fixe, ce qu'on +peut aussi regarder comme évident \emph{à priori}. Enfin l'intégrale que $V$ +représente, se réduit à +\[ +V = \tint(x'dx + y'dy + z'dz). +\] + +En joignant l'équation ($\alpha$) aux deux premières équations ($\beta$), on en +déduit +\begin{align*} +x'&=\frac{g'z-gy}{r^2}+\frac{1}{r}\sqrt{(2Rr^2+2hr^2-g^2-g'^2)x^2-(g'y+gz)^2},\\ +y'&=\frac{gx^2+(g'y+gz)z}{xr^2}+\frac{y}{xr}\sqrt{(2Rr^2+2hr^2-g^2-g'^2)x^2-(g'y+gz)^2},\\ +z'&=-\frac{g'x^2+(g'y+gz)y}{xr^2}+\frac{z}{xr}\sqrt{(2Rr^2+2hr^2-g^2-g'^2)x^2-(g'y+gz)^2}, +\end{align*} +\marginpage % *** File: 340.png +Or, ces valeurs de $x'$, $y'$, $z'$, déduites de trois intégrales premières des +équations du mouvement, ne rendent pas la formule $x'dx + y'dy ++ z'dz$ une différentielle exacte à trois variables indépendantes $x$, +$y$, $z$; mais, si l'on suppose ces variables liées entre elles par l'équation +($\gamma$), les valeurs de $x'$, $y'$, $z'$, deviennent +\begin{alignat*}{2} +x'&=\frac{g'z-gy}{r^2} &&+\frac{x}{r^2}\sqrt{2Rr^2+2hr^2-e^2},\\ +y'&=\frac{gx-g''z}{r^2} &&+\frac{y}{r^2}\sqrt{2Rr^2+2hr^2-e^2},\\ +z'&=\frac{g''y-g'x}{r^2}&&+\frac{z}{r^2}\sqrt{2Rr^2+2hr^2-e^2}, +\end{alignat*} +où l'on a fait, pour abréger, +\[ +g^2+g'^2+g''^2=e^2; +\] +et il en résulte d'abord +\begin{align*} +x'dx &+ y'dy + z'dz = \frac{1}{r}\sqrt{2Rr^2+2hr^2-e^2}dr\\ +&+\frac{1}{r^2}[g(xdy - ydx) + g'(zdx - xdz)+ g''(ydz - zdy)]. +\end{align*} +Soit $v$ l'angle que fait le rayon vecteur $r$ avec une ligne fixe, menée par +l'origine des coordonnées, dans le plan de la trajectoire; l'aire décrite +par ce rayon, dans un temps infiniment petit, sera $r^2dv$; les coefficients +de $g$, $g'$, $g''$, exprimeront ses projections sur les trois plans des coordonnées; +et, comme d'après l'équation ($\gamma$), les cosinus des inclinaisons +du plan de la trajectoire sur ces trois plans, sont, $\dfrac{g}{e}$, $\dfrac{g'}{e}$, $\dfrac{g''}{e}$, on en conclura +\[ +xdy - ydx = \frac{gr^2dv}{e},\quad zdx - xdz = \frac{g'r^2dv}{e},\quad ydz - zdy = \frac{g''r^2dv}{e}. +\] +Par conséquent, on aura +\[ +x'dx + y'dy + z'dz = \frac{1}{r}\sqrt{2Rr^2+2hr^2-e^2}dr+edv; +\] +formule qui se trouve ainsi réduite à une différentielle exacte à deux +\marginpage % *** File: 341.png +variables $r$ et $v$, et d'où l'on tire, en intégrant, +\[ +V=\int\frac{1}{r}\sqrt{2Rr^2 +2hr^2-e^2}dr +ev -k; +\] +$k$ étant, comme plus haut, la constante qui rend nulle la valeur de $V$ +relative à $t = 0$. + +Au lieu des coordonnées $x$, $y$, $z$, on peut prendre les trois variables +$z$, $r$, $v$, pour déterminer à chaque instant la position du mobile; +et comme ce point matériel est entièrement libre, on peut aussi +prendre $z$, $r$, $v$, pour les inconnues que nous avons désignées généralement +par $\phi$, $\psi$, $\theta$. Abstraction faite de son dernier terme, la +valeur de $V$ que nous trouvons sera alors la fonction $F$ de l'article +précédent; laquelle, dans le cas particulier dont nous nous occupons, +ne renferme que deux variables $r$ et $v$, et deux constantes arbitraires $h$ +et $e$. Les deux premières équations (13) seront +\begin{align*} +t+\epsilon&=\int\frac{rdr}{\sqrt{2Rr^2+2hr^2-e^2}},\\ %[**errata] +v-l&=\int\frac{edr}{r\sqrt{2Rr^2+2hr^2-e^2}}, %[**errata] +\end{align*} +en mettant dans la seconde $el$ au lieu de $l$, et divisant par $e$. \label{err341}La troisième +se réduira à $l'=0$; et il n'y aura pas lieu de considérer les suivantes. +On pourra d'ailleurs remplacer l'équation ($\gamma$) par celle-ci: +\[ +z = \beta r \sin(v - \alpha), +\] +où l'on désigne par $\alpha$ l'angle que fait l'intersection du plan de la trajectoire +et du plan des $x$ et $y$ avec la ligne fixe d'où l'on compte +l'angle $v$, et par $\beta$ le sinus de l'inclinaison du premier plan sur le +second. De cette manière, ces trois équations seront les intégrales +complètes de celles du mouvement entre les quatre variables $t$, $r$, +$v$, $z$, et les six constantes arbitraires $h$, $e$, $\epsilon$, $l$, $\alpha$, $\beta$; ce qui coïncide +avec les formules connues. + +On aurait pu simplifier le calcul en prenant le plan de la trajectoire +pour l'un des trois plans des coordonnées $x$, $y$, $z$; on a conservé des +directions quelconques aux axes des coordonnées, afin que cet exemple +\marginpage % *** File: 342.png +présentât les principales circonstances de la méthode générale, et +pour montrer que la formule $x'dx + y'dy + z'dz$ n'est une différentielle +exacte qu'en vertu d'une relation particulière entre $x$, $y$, +$z$, qui se trouve remplacée par l'une de ces coordonnées égalée à +zéro, lorsqu'on fait coïncider le plan des deux autres avec celui +de la trajectoire. + +\mysection{§ VI.} + +Considérons encore le cas d'un point matériel entièrement libre, +dont la force motrice ait toujours ses trois composantes exprimées +par les différences partielles d'une même fonction $U$ des coordonnées, +mais ne soit pas dirigée vers un centre fixe, comme dans +l'exemple précédent. Supposons que ce mouvement ait lieu dans un +plan que nous prendrons pour celui des $x$ et $y$; de sorte que les +équations différentielles du second ordre se réduisent à deux, savoir: +\[ +\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{dU}{dx},\quad\frac{d^2y}{dt^2}=\frac{dU}{dy}; +\] +U étant une fonction donnée de $x$ et $y$. L'intégrale que $V$ représente +se réduira aussi à +\[ +V =\tint(x'dx + y'dy); +\] +l'équation des forces vives sera +\begin{gather*} +\tfrac{1}{2}(x'^2 + y'^2) = U + h;\tag{$h$} +\end{gather*} +et si l'on représente par +\begin{gather*} +f(x,y,x',y') = g,\tag{$g$} +\end{gather*} +une intégrale première des deux équations du mouvement, on tirera +de ces deux dernières équations, des valeurs de $x'$ et $y'$, en +fonctions des deux variables $x'$ et $y'$, et des deux constantes arbitraires +$h$ et $g$. Or, pourvu que la fonction donnée $f$ ne soit pas +seulement une fonction de la quantité $x'^2 + y'^2$, et des variables $x$ +et $y$, c'est-à-dire pourvu qu'en éliminant l'une des variables $x'$ ou $y'$, +\marginpage % *** File: 343.png +entre les deux dernières équations, l'autre variable $y'$ ou $x'$ ne disparaisse +pas en même temps, les valeurs de $x'$ et $y'$ tirées de ces +équations rendront la formule $x'dx + y'dy$ une différentielle exacte, +ainsi qu'on le prouvera tout à l'heure. Cela étant, on obtiendra par les +règles ordinaires, l'expression de $V$ en fonction de $x$, $y$, $h$, $g$; et +d'après les équations (13), on en déduira +\begin{align*} +\int\!\!\Big(\frac{dx'}{dh}dx+\frac{dy'}{dh}dy\Big)&=t+\epsilon,\\ %[**errata] +\int\!\!\Big(\frac{dx'}{dg}dx+\frac{dy'}{dg}dy\Big)&=l. +\end{align*} +pour les intégrales, en quantités finies, des deux équations du mouvement; +$h$, $g$, $\epsilon$, $l$, étant les quatre constantes arbitraires. La seconde +de ces intégrales sera l'équation de la trajectoire, et la première déterminera +le temps $t$ en fonction des coordonnées du mobile. + +Ce résultat coïncide avec celui que M.~Jacobi a énoncé dans une lettre +adressée l'an dernier à l'Institut\footnote +{\emph{Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences}; 18 juillet 1836.}. +Il se rapporte, comme on voit, +à la théorie de M.~Hamilton; mais en faisant concourir à la détermination +de la fonction $V$, indépendamment de l'équation des forces +vives, une autre intégrale première des équations du mouvement, +que l'on suppose donnée \emph{à priori}. + +Pour faire voir que les valeurs de $x'$ et $y'$ tirées des équations ($h$) et +($g$), satisfont à la condition d'intégrabilité de la formule $x'dx + y'dy$, +c'est-à-dire à l'équation +\[ +\frac{dx'}{dy}=\frac{dy'}{dx}, +\] +j'observe que ces valeurs doivent rendre identiques les équations d'où +elles sont déduites; en différentiant chacune de ces équations successivement +par rapport à $x$ et par rapport à $y$, on aura donc\label{err343} +\begin{align*} +\frac{df}{dx}+\frac{df}{dx'}\frac{dx'}{dx}+\frac{df}{dy'}\frac{dy'}{dx}=0,\quad x'\frac{dx'}{dx}+y'\frac{dy'}{dx}=\frac{dU}{dx},\\ +\frac{df}{dy}+\frac{df}{dx'}\frac{dx'}{dy}+\frac{df}{dy'}\frac{dy'}{dy}=0,\quad x'\frac{dx'}{dy}+y'\frac{dy'}{dy}=\frac{dU}{dy}; +\end{align*} +\marginpage % *** File: 344.png +par l'élimination de $\dfrac{dx'}{dx}$ et $\dfrac{dy'}{dy}$, entre ces quatre équations, il vient +\begin{align*} +\frac{df}{dx}x' + \frac{df}{dx'}\frac{dU}{dx} + \Big(\frac{df}{dy'}x' - \frac{df}{dx'}y'\Big)\frac{dy'}{dx}&=0,\\ +\frac{df}{dy}y' + \frac{df}{dy'}\frac{dU}{dy} + \Big(\frac{df}{dx'}y' - \frac{df}{dy'}x'\Big)\frac{dx'}{dy}&=0, +\end{align*} +et, par conséquent, +\[ +\frac{df}{dx}x' + \frac{df}{dy}y' + \frac{df}{dx'}\frac{dU}{dx} + \frac{df}{dy'}\frac{dU}{dy} ++\Big(\frac{df}{dy'}x' - \frac{df}{dx'}y'\Big) \Big(\frac{dy'}{dx} - \frac{dx'}{dy}\Big)=0; +\] +or, l'équation ($g$) étant une intégrale premiere des équations du +mouvement, il faut qu'en la différentiant par rapport a $t$, ce qui +fait disparaître la constante $g$, et substituant ensuite pour $\dfrac{dx'}{dt}$ et $\dfrac{dy'}{dt}$ +leurs valeurs $\dfrac{dU}{dx}$ et $\dfrac{dU}{dy}$ données par ces équations, on ait identiquement +\[ +\frac{df}{dx}x' + \frac{df}{dy}y' +\frac{df}{dx'}\frac{dU}{dx} + \frac{df}{dy'}\frac{dU}{dy}=0, +\] +au moyen de quoi l'équation qu'on vient d'écrire se réduit a +\[ +\Big(\frac{df}{dy}x' - \frac{df}{dx}y'\Big)\Big(\frac{dy'}{dx} - \frac{dx'}{dy}\Big)=0, +\] +et comme le premier facteur de celle-ci n'est pas nul, puisqu'on +a supposé que la fonction désignée par $f$ n'est pas une fonction +de $x'^2 + y'^2$, il faut que le second facteur soit zéro; ce qu'il s'agissait +de démontrer. + +\jmpafin + +% *** File: 345.png + +\jmpapaper{THÈSES}{DE MÉCANIQUE ET D'ASTRONOMIE;} +{} +{Par M.~LEBESGUE,} +{Professeur-suppléant à la Faculté des Sciences de Grenoble} +\label{art30}\Gauche + +\begin{center}{\Large PREMIÈRE PARTIE.}\end{center} + +\begin{center} +\emph{Formules pour la transformation des fonctions homogènes du second +degré à plusieurs inconnues.} +\end{center} + +\mysection{I.} + +Le problème dont nous allons nous occuper conduit à certaines +équations déterminées qui se présentent souvent dans les questions de +Mécanique, d'Astronomie et de Physique, et que M.~Jacobi a récemment +étudiées\footnote{% +Journal de M.~Crelle, tome XII, p.~1. +}. D'autres mémoires publiés antérieurement par +divers géomètres se rattachent plus ou moins à notre sujet. On consultera +par exemple les \emph{Exercices mathématiques de M.~Cauchy} +(tome IV, page 140) et surtout le \emph{Bulletin des Sciences mathématiques} +de M.~Férussac (tome XII page 314) où se trouve l'extrait d'un excellent +mémoire de M.~Sturm. Nous nous bornons ici à ces citations générales. +Le lecteur jugera ce qu'il peut y avoir de neuf sinon dans nos +formules, au moins dans la manière de les démontrer. + +\textsc{Problème}. \emph{Étant donnée une fonction homogène du second degré à +plusieurs inconnues, il faut en faire disparaître les rectangles de ces +inconnues, au moyen d'une substitution, qui laisse la fonction homogène +et du second degré entre le même nombre de nouvelles inconnues.} + +\marginpage % *** File: 346.png +Pour simplifier la solution, on fera usage de la notation suivante: + +\primop.~Les inconnues seront $x_1$, $x_2$,\dots, $x_n$ au nombre de $n$. + +\secundop.~Tout terme renfermant le rectangle $x_\alpha x_\beta$, ou le produit de +deux inconnues différentes, aura pour coefficient $A_{\alpha,\beta}$ le premier +indice étant celui du premier facteur du rectangle, et le second +celui du second facteur. On supposera $A_{\alpha,\beta} = A_{\beta,\alpha}$, puisque l'on a +$x_\alpha x_\beta = x_\beta x_\alpha$. Le coefficient d'un carré, tel que $x_\alpha^2 = x_\alpha x_\alpha$, sera +par analogie $A_{\alpha,\alpha}$. + +D'après ces conventions, on remplacera la fonction +\begin{flalign*} +&\text(1)\quad\left\{\quad\begin{alignedat}{4} +A_{1,1}x^2_1 &+ 2A_{1,2}x_1x_2 &&+ 2A_{1,3}x_1x_3 &&+ \dotsb &&+ 2A_{1,n}x_1x_n.\\ +&+\phantom{2}A_{2,2}x_2^2 &&+ 2A_{2,3}x_2x_3 &&+ \dotsb &&+ 2A_{2,n}x_2x_n.\\ +& &&+ \phantom{2}A_{3,3}x_3^2 &&+ \dotsb &&+ 2A_{3,n}x_3x_n.\\[-1ex] +& && && &&\hspace{0.5em}\vdots \\[-1ex] +& && && &&+ \phantom{2}A_{n,n}x_n^2. +\end{alignedat}\right.& +\end{flalign*} +Par la suivante, +\begin{flalign*} +&\text(2)\quad\left\{\quad\begin{alignedat}{4} +& && x_1(A_{1,1}x_1 &&+ A_{1,2}x_2 &&+ \dotsb + A_{1,n}x_n).\\ +&+{}&& x_2(A_{2,1}x_1 &&+ A_{2,2}x_2 &&+ \dotsb + A_{2,n}x_n).\\[-1ex] +&\hspace{0.5em}\vdots\\[-1ex] +&+{}&& x_n(A_{n,1}x_1 &&+ A_{n,2}x_2 &&+ \dotsb + A_{n,n}x_n). +\end{alignedat}\right.& +\end{flalign*} +Si l'on fait +\begin{flalign*} +&\text(3)\quad\left\{\quad\begin{alignedat}{4} +&x_1 && = a_{1,1}y_1 &&+ a_{1,2}y_2 &&+ \dotsb + a_{1,n}y_n.\\ +&x_2 && = a_{2,1}y_1 &&+ a_{2,2}y_2 &&+ \dotsb + a_{2,n}y_n.\\[-1ex] +&\hspace{0.5em}\vdots\\[-1ex] +&x_n && = a_{n,1}y_1 &&+ a_{n,2}y_2 &&+ \dotsb + a_{n,n}y_n.\\ +\end{alignedat}\right.& +\end{flalign*} +ces valeurs, substituées dans la fonction (2), la laisseront homogène +et du second degré, en la réduisant à la forme +\begin{flalign*} +&\text(4)\quad\left\{\quad\begin{alignedat}{4} +& && y_1(B_{1,1}y_1 &&+ B_{1,2}y_2 &&+ \dotsb + B_{1,n}y_n).\\ +&+{}&& y_2(B_{2,1}y_1 &&+ B_{2,2}y_2 &&+ \dotsb + B_{2,n}y_n).\\[-1ex] +&\hspace{0.5em}\vdots\\[-1ex] +&+{}&& y_n(B_{n,1}y_1 &&+ B_{n,2}y_2 &&+ \dotsb + B_{n,n}y_n). +\end{alignedat}\right.& +\end{flalign*} +\marginpage % *** File: 347.png +Si l'on pose pour abréger +\begin{flalign*} +\tag{5} C_{i,\alpha}=A_{i,1}a_{1,\alpha}+A_{i,2}a_{2,\alpha}+ \dotsb +A_{i,n}a_{n,\alpha}, +\end{flalign*} +où $i$ et $\alpha$\ peuvent prendre toutes les valeurs entières de $1$ à $n$, on +trouvera, en faisant la multiplication sans transpositions de facteurs, +pour ne pas confondre les rectangles, tels que $x_\alpha x_\beta$ et $x_\beta x_\alpha$, +\begin{flalign*} +&\text(6)\quad\left\{\quad \begin{alignedat}{3} +B_{\alpha,\alpha}&=a_{1,\alpha}C_{1,\alpha}&&+a_{2,\alpha}C_{2,\alpha}&&+ \dotsb +a_{n,\alpha}C_{n,\alpha},\\ +B_{\beta,\alpha} &=a_{1,\beta} C_{1,\alpha}&&+a_{2,\beta}C_{2,\alpha} &&+ \dotsb +a_{n,\beta}C_{n,\alpha}, \\ +B_{\alpha,\beta} &=a_{1,\alpha}C_{1,\beta} &&+a_{2,\alpha}C_{2,\beta} &&+ \dotsb +a_{n,\alpha}C_{n,\beta}, +\end{alignedat}\right.& +\end{flalign*} +et l'on vérifiera très facilement que l'on a $B_{\alpha,\beta} = B_{\beta,\alpha}$ à cause de +$A_{\alpha,\beta} = A_{\beta,\alpha}$. + +Si l'on veut que la transformée en $y$ soit de la forme +\begin{flalign*} +\tag{7} U_1y^2_1+U_2y^2_2+U_3y^2_3+ \dotsb +U_ny^2_n, +\end{flalign*} +il faudra poser +\begin{flalign*} +&\text(8)\quad\left\{\quad\begin{alignedat}{5} +&B_{1,1} &&= U_1, & B_{1,2}&=0, & B_{1,3}&=0 \ldots\ldots& B_{1,n}&=0,\\ +&B_{2,1} &&= 0, & B_{2,2}&=U_2, & B_{2,3}&=0 \ldots\ldots& B_{2,n}&=0,\\[-1ex] +&\hspace{0.5em}\vdots\\[-1ex] +&B_{n,1} &&= 0,\quad & B_{n,2}&=0,\quad & B_{n,3}&=0 \ldots\ldots& B_{n,n}&=U_n.\\ +\end{alignedat}\right.& +\end{flalign*} +Ces équations, au nombre de $n^2$, se réduisent à $n + \dfrac{n\ldot n-1}{2} = \dfrac{n^2+n}{2}$ +équations distinctes, entre les $n^2+n$ inconnues suivantes: \primop.~les $n^2$ +coefficients $a_{1,1}$, $a_{1,2}$,\dots $a_{n,n}$ de la substitution (3), et, \secundop.,~les $n$ +coefficients $U_1$, $U_2$\dots, $U_n$ de la fonction transformée (7). On doit donc +encore se donner $\dfrac{n^2+n}{2}$ équations entre les inconnues, afin d'ôter au +problème son indétermination. Il est bien des manières d'obtenir ces +nouvelles relations; la plus simple paraît la suivante. On supposera +que l'équation +\[ +\tag{9} +x^2_1+x^2_2+ \dotsb +x^2_n=y^2_1+y^2_2+ \dotsb +y^2_n +\] +soit satisfaite pour toutes les valeurs possibles données à $y_1$, $y_2$\dots, $y_n$. +Mettant dans cette équation les valeurs de $x_1$, $x_2$\dots, $x_n$ données plus +\marginpage % *** File: 348.png +haut (3), et rendant le résultat indépendant de $y_1$, $y_2$\dots, $y_n$, on +trouvera $n$ équations de la forme +\[ +\tag{10} a^2_{1,\alpha}+a^2_{2,\alpha}+ \dotsb +a^2_{n,\alpha}=1, +\] +où $\alpha$ prendra successivement les valeurs 1, 2\dots, $n$. + +On trouvera en outre $\dfrac{n\ldot n-1}{2}$ équations de la forme +\[ +\tag{11} +a_{1,\alpha}a_{1,\beta}+a_{2,\alpha}a_{2,\beta}+ \dotsb a_{n,\alpha}a_{n,\beta}=0, +\] +ou $\alpha$, et $\beta$, essentiellement différents, peuvent d'ailleurs prendre +toutes les valeurs 1, 2\dots, $n$. + +Les $n^2+n$ équations du problème sont donc celles qui portent les +numéros (8), (10) et (11). + +Il est facile de les distribuer en $n$ systèmes partiels de $n + 1$ équations +chacun, le premier contenant uniquement les $n + 1$ inconnues +\[ +\label{err348}U_1,\ a_{1,1},\ a_{2,1},\ a_{3,1}\ldots,\ a_{n,1}; +\] +le second renfermant uniquement les $n + 1$ inconnues +\[ +U_2,\ a_{1,2},\ a_{2,2},\ a_{3,2}\ldots,\ a_{n,2}, +\] +et ainsi des autres jusqu'au $n$\iieme, contenant uniquement les $n + 1$ +dernières inconnues +\[ +U_n,\ a_{1,n},\ a_{2,n},\ a_{3,n}\ldots,\ a_{n,n}. +\] + +Pour faire ce partage, il faut remarquer que les équations (3) +donnent, au moyen des équations (10) et (11), +\begin{flalign*} +&\text(12)\quad\left\{\quad\begin{alignedat}{4} +&y_1&&=a_{1,1}x_1&&+a_{2,1}x_2&&+ \dotsb +a_{n,1}x_n,\\ +&y_2&&=a_{1,2}x_1&&+a_{2,2}x_2&&+ \dotsb +a_{n,2}x_n,\\[-1ex] +&\hspace{0.5em}\vdots\\[-1ex] +&y_n&&=a_{1,n}x_1&&+a_{2,n}x_2&&+ \dotsb +a_{n,n}x_n, +\end{alignedat}\right.& +\end{flalign*} +et que celles-ci donnent à leur tour, en vertu de l'équation (9), les +suivantes: +\marginpage % *** File: 349.png +\begin{align*} +\tag{13} +&a^2_{\alpha,1}+a^2_{\alpha,2}+ \dotsb +a^2_{\alpha,n}=1,\\ +\tag{14} +&a_{\alpha,1}a_{\beta,1}+a_{\alpha,2}a_{\beta,2}+ \dotsb +a_{\alpha,n}a_{\beta,n}=0, +\end{align*} +qui ne diffèrent des équations (10) et (11) que par le renversement des +indices. + +Par exemple, si l'on veut obtenir le système qui donnera la valeur +des $n + 1$ inconnues +\[ +U_\alpha,\ a_{1,\alpha},\ a_{2,\alpha},\ a_{3,\alpha}\ldots\ a_{n,\alpha}, +\] +on prendra les équations +\[ +B_{1,\alpha}=0,\quad B_{2,\alpha}=0\ldots B_{\alpha,\alpha}=U_\alpha\ldots B_{n,\alpha}=0, +\] +auxquelles on joindra l'équation +\[ +a^2_{1,\alpha}+a^2_{2,\alpha}+ \dotsb +a^2_{n,\alpha}=1. +\] +Les $n$ premières équations reviennent à +\begin{alignat*}{4} +&a_{1,1}C_{1,\alpha} &&+ a_{2,1}C_{2,\alpha} &&+ \dotsb + a_{n,1}C_{n,\alpha} &&= 0,\\ +&a_{1,2}C_{1,\alpha} &&+ a_{2,2}C_{2,\alpha} &&+ \dotsb + a_{n,2}C_{n,\alpha} &&= 0,\\[-1ex] +&\hspace{0.5em}\vdots\\[-1ex] +&a_{1,\alpha}C_{1,\alpha} &&+ a_{2,\alpha}C_{2,\alpha} &&+ \dotsb + a_{n,\alpha}C_{n,\alpha} &&= U_\alpha,\\[-1ex] +&\hspace{0.5em}\vdots\\[-1ex] +&a_{1,n}C_{1,\alpha} &&+ a_{2,n}C_{2,\alpha} &&+ \dotsb + a_{n,n}C_{n,\alpha} &&= 0, +\end{alignat*} +d'où l'on tire très facilement +\[ +C_{1,\alpha}=a_{1,\alpha}U_\alpha, \quad C_{2,\alpha}=a_{2,\alpha}U_\alpha \ldots C_{n,\alpha}=a_{n,\alpha}U_\alpha ; +\] +la première $C_{1,\alpha} = a_{1,\alpha}U_\alpha$ s'obtient en multipliant les équations précédentes +par $a_{1,1}$, $a_{1,2}$\dots $a_{1,n}$ (coefficients de $C_{1,\alpha}$) respectivement, +et en faisant la somme des résultats. Les autres s'obtiennent d'une +manière toute semblable. + +Remplaçant $C_{1,\alpha}$, $C_{2,\alpha}$\dots $C_{n,\alpha}$ par leurs valeurs, on aura donc +définitivement le système +\marginpage % *** File: 350.png +\begin{flalign*} +&(15)\quad\left\{\quad +\begin{aligned} +&\begin{alignedat}{2} +(A_{1,1} -U_\alpha)a_{1,\alpha} + A_{1,2}a_{2,\alpha} + \dotsb &+ A_{1,n}a_{n,\alpha} &&=0,\\ +A_{2,1}a_{1,\alpha} + (A_{2,2} -U_\alpha) a_{2,\alpha}+ \dotsb &+ A_{2,n}a_{n,\alpha}&&=0,\\ +\multispan{1}{$A_{3,1}a_{1,\alpha}+ A_{3,2}a_{2,\alpha} + \dotfill$} &+ A_{3,n}a_{n,\alpha}&&=0, +\end{alignedat}\\[-1ex] +&\hspace{0.5em}\vdots\\[-1ex] +&\begin{aligned} +A_{n,1}a_{1,\alpha}+ A_{n,2}a_{2,\alpha} &+ \dotsb \ldots + (A_{n,n}-U_\alpha)a_{n,\alpha}=0,\\ +a^2_{1,\alpha} + a^2_{2,\alpha} &+ \dotsb \ldots + a^2_{n,\alpha} = 1, +\end{aligned} +\end{aligned}\right.& +\end{flalign*} +dont la solution n'offre d'autre difficulté que la simplification des +résultats auxquels conduit l'élimination. + +Les $n-1$ premières équations donnent, par exemple, les rapports +$\dfrac{a_{1,\alpha}}{a_{n,\alpha}}$, +$\dfrac{a_{2,\alpha}}{a_{n,\alpha}}$\dots, +$\dfrac{a_{n-1,\alpha}}{a_{n,\alpha}}$ qui, substitués dans la $n$\iieme, conduisent à une +équation du $n$\iieme\ degré en $U_\alpha$, ou tout simplement en $u$, dont les +racines, toutes réelles, sont les valeurs des $n$ coefficients $U_1$, $U_2$\dots $U_n$. +Ces racines déterminées, les rapports +$\dfrac{a_{1,\alpha}}{a_{n,\alpha}}$, +$\dfrac{a_{2,\alpha}}{a_{n,\alpha}}$\dots, +$\dfrac{a_{n-1,\alpha}}{a_{n,\alpha}}$ sont connus. +La dernière équation, mise sous la forme +\[ +a^2_{n,\alpha}\Big[\Big(\frac{a_{1,\alpha}}{a_{n,\alpha}}\Big)^2 + \Big(\frac{a_{2,\alpha}}{a_{n,\alpha}}\Big)^2 - \dots + \Big(\frac{a_{n-1,\alpha}}{a_{n,\alpha}}\Big)^2 + 1\Big] =1, +\] +donne alors $a^2_{n,\alpha}$, et par suite, au moyen des rapports précédents, on +trouve $a^2_{1,\alpha}$, $a^2_{2,\alpha}$\dots $a^2_{n-1,\alpha}$. Les valeurs de ces coefficients se présentent +sous la forme de fractions qui sont toutes susceptibles de réduction +en vertu d'une propriété de l'équation du $n$\ie\ degré en $u$. Cette +équation s'obtient très facilement encore de la manière suivante: on +résout les $n$ premières équations (15) par rapport à $a_{1,\alpha}$, $a_{2,\alpha}$\dots $a_{n,\alpha}$, +précisément comme si les deuxièmes membres n'étaient pas nuls; on +égale à zéro le dénominateur commun des inconnues $a_{1,\alpha}$, $a_{2,\alpha}$\dots $a_{n,\alpha}$, +et le résultat n'est autre que l'équation en $u$ qu'on peut noter $U = 0$. +Le premier membre de cette équation n'est donc qu'une de ces fonctions +nommées déterminants, fonctions qui, comme le dit M.~Cauchy +(\emph{Journal de l'École Polytechnique}, tome~10, page~51), s'offrent +d'elles-mêmes dans un grand nombre de recherches analytiques. C'est +donc dans les propriétés des déterminants que l'on va chercher le moyen +de simplifier la solution qui vient d'être rapidement indiquée. +\marginpage % *** File: 351.png + +\mysection{II.} + +\begin{center} +\emph{De quelques propriétés des déterminants.} +\end{center} + +\textsc{Définition.} Si l'on considère le système d'équations +\begin{flalign*} +&\text(16)\quad\left\{\quad +\begin{alignedat}{4} +&A_{1,1}t_1 &&+ A_{1,2}t_2 &&+ \dotsb + A_{1,n}t_n &&= m_1,\\ +&A_{2,1}t_1 &&+ A_{2,2}t_2 &&+ \dotsb + A_{2,n}t_n &&= m_2,\\[-1ex] +&\hspace{0.5em}\vdots\\[-1ex] +&A_{n,1}t_1 &&+ A_{n,2}t_2 &&+ \dotsb + A_{n,n}t_n &&= m_n, +\end{alignedat} +\right.& +\end{flalign*} +le dénominateur commun des inconnues $t_1$, $t_2$\dots $t_n$ est ce que l'on +nomme le déterminant du système des nombres +\begin{flalign*} +&\text(17)\quad\left\{\quad +\begin{alignedat}{3} +&A_{1,1} &&A_{1,2}&&\ldots\ldots A_{1,n},\\ +&A_{2,1} &&A_{2,2}&&\ldots\ldots A_{2,n},\\[-1ex] +&\hspace{0.5em}\vdots\\[-1ex] +&A_{n,1}\;&&A_{n,2}&&\ldots\ldots A_{n,n}. +\end{alignedat} +\right.& +\end{flalign*} +Comme ce dénominateur peut changer de signe, selon le mode de +solution qu'on emploiera, on conviendra de le prendre de sorte que +le terme $A_{1,1}\,A_{2,2}\,A_{3,3}\ldots$ $A_{n,n}$, qui en fait partie, soit positif. + +On trouve dans les éléments d'algèbre une règle fort simple pour +former ce déterminant, et l'on en peut voir d'autres dans le mémoire +de M.~Cauchy, cité plus haut. Voici quelques conséquences de ces +règles. + +Le déterminant du système (17) est aussi celui du système suivant. +\begin{flalign*} +&\text(18)\quad\left\{\quad +\begin{alignedat}{3} +&A_{1,1} && A_{2,1}&&\ldots\ldots A_{n,1},\\ +&A_{1,2} && A_{2,2}&&\ldots\ldots A_{n,2},\\[-1ex] +&\hspace{0.5em}\vdots\\[-1ex] +&A_{1,n}\;&& A_{2,n}&&\ldots\ldots A_{n,n}, +\end{alignedat} +\right.& +\end{flalign*} +qui s'obtient en remplaçant la série horizontale supérieure du système +\marginpage % *** File: 352.png +(17) par la première série verticale, puis la deuxième horizontale par +la deuxième verticale, et ainsi de suite jusqu'à la deuxième horizontale +qui sera remplacée par la $n$\ie\ ou dernière verticale. + +Il est un cas ou les systèmes (17) et (18) restent les mêmes, malgré +ce changement; c'est celui pour lequel on aurait $A_{\alpha,\beta} = A_{\beta,\alpha}$. On +peut dire alors que le système est symétrique, puisque les nombres +qui le forment sont placés symétriquement par rapport aux nombres +à indices égaux $A_{1,1}$ $A_{2,2}$\dots $A_{n,n}$ qui forment la diagonale du système. + +Une autre conséquence de la règle pour former le déterminant, +c'est qu'il change de signe: + +\primop.~Quand on change le signe de tous les nombres d'une même +série horizontale ou verticale; + +\secundop.~Quand on change l'ordre de deux séries consécutives horizontales +ou verticales, d'où il suit que si l'on avance ou recule une série +de $k$ rangs, le déterminant se trouve multiplié par $(-1)^k$. + +Ceci rappelé, si l'on représente par $D$ le déterminant du système +(17), par $\dethoriz{g}{i}$ le déterminant du système qui se tire du système (17) +par la suppression de la série horizontale de rang $g$ et de la série +verticale de rang $i$, et semblablement par la notation $\detquad{g,\;i}{h,\;k}$ le déterminant +du système qui résulte de l'omission des séries horizontales de +rangs $g$ et $i$ et des séries verticales de rangs $i$ et $k$ dans le système (17), +on pourra, au moyen des remarques précédentes, établir les proportions +suivantes: + +I.~Dans tout déterminant symétrique on a +\[ +\dethoriz{g}{i} = \dethoriz{i}{g}. +\] +Cela résulte de ce qu'il est permis de changer (17) en (18), sans +déplacer réellement les nombres du système. + +II.~Pour tout déterminant nul on a +\[ +\dethoriz{g}{g}\: \dethoriz{i}{i} = \dethoriz{i}{g}\: \dethoriz{g}{i}, +\] +et par conséquent pour un déterminant à la fois nul et symétrique +\[ +\dethoriz{g}{g}\: \dethoriz{i}{i} = \dethoriz{i}{g}^2 = \dethoriz{g}{i}^2. +\] + +En effet, si dans le système (16) on suppose $m_1=m_2\ldots =m_n=0$, +\marginpage % *** File: 353.png +et qu'on supprime l'équation de rang $g$, on trouvera +\[ +\frac{t_g}{t_i}=(-1)^{g+i} \frac{\dethoriz{g}{g}}{\dethoriz{g}{i}}, +\] +le facteur $(-1)^{g+i}$ provenant du déplacement de séries et du changement +de signe, qui résultent de l'application de la règle pour déduire +le numérateur $\dethoriz{g}{g}$ du dénominateur $\dethoriz{g}{i}$. L'exposant de $-1$ a +été augmenté d'un nombre pair pour simplifier le résultat. Si, dans le +même système (16), on supprime l'équation de rang $i$, on trouvera +pareillement\label{err353} +\[ +\frac{t_i}{t_g}=(-1)^{i+g}\frac{\dethoriz{i}{i}}{\dethoriz{i}{g}}. +\] +Multipliant la valeur de $\dfrac{t_g}{t_i}$ par celle de $\dfrac{t_i}{t_g}$, on a de suite le résultat +de l'énoncé. + +III.~Dans tout déterminant non symétrique on a, quels que soient +les indices du nombre $A_{i,g}$ égaux ou non, +\[ +\frac{dD}{dA_{i,g}}=(-1)^{g+i}\dethoriz{i}{g}. +\] +Le coefficient différentiel de $D$ est pris par rapport à $A_{i,g}$, supposé +différent de tous les nombres $A_{\alpha,\beta}$; ce qui n'arrive pas pour un déterminant +symétrique où l'on a $A_{i,g} = A_{g,i}$. + +IV.~Pour un déterminant symétrique on a toujours +\[ +(19)\quad\frac{dD}{dA_{g,g}}=\dethoriz{g}{g}\qquad +(20)\quad\frac{dD}{dA_{i,g}}=(-1)^{g+i}2\dethoriz{i}{g}. +\] + +Ces deux propositions se déduisent de la formule +\[ +D = A_{n,n} \dethoriz{n}{n} - A_{n,n-1} \dethoriz{n}{n-1} + A_{n,n-2} \dethoriz{n}{n-2} - \dotsb +\] +qui se tire immédiatement des équations (16), où l'on a fait +\[ +m_1 = m_2 \ldots = m_n = 0. +\] +Différentiant la valeur de $D$, en observant que le coefficient $A_{n,n}$ +n'entre que dans le premier terme, sans entrer dans $\dethoriz{n}{n}$, on trouve +\marginpage % *** File: 354.png +$\dfrac{dD}{dA_{n,n}} =\dethoriz{n}{n}$, et cela est vrai pour tout déterminant symétrique ou +non symétrique. Par un déplacement de séries horizontales, et \emph{d'un +même nombre} de séries verticales, on trouve sans changement de +signe, $\dfrac{dD}{dA_{g,g}} = \dethoriz{g}{g}$, en amenant le terme $A_{g,g}$ à la dernière place de +la dernière horizontale. + +Pour un déterminant non symétrique on trouve $\dfrac{dD}{dA_{n,n-1}} = -\dethoriz{n}{n-1}$, +et plus généralement $\dfrac{dD}{dA_{i,g}} = (-1)^{i+g} \dethoriz{i}{g}$, au moyen de déplacements +de séries qui amèneraient $A_{i,g}$ à la place qu'occupait $A_{n,n-1}$, +c'est-à-dire à l'avant-dernière de la dernière horizontale. + +Si le déterminant appartient à un système symétrique, comme on +a $A_{n,n-1} = A_{n-1,n}$, en différentiant $D$, il faudra avoir égard au coefficient +$A_{n-1,n}$ contenu dans les déterminants partiels $\dethoriz{n}{n-1}$, $\dethoriz{n}{n-2}$ etc. +Or, le même calcul, qui a fait tirer la valeur de $D$ du système (17), +fera tirer semblablement +\[ +\dethoriz{n}{i}=A_{n-1,n}\detquad{n\hfill i}{n-1,n} + +A_{n-2,n}\detquad{n\hfill i}{n-2,n} + +A_{n-3,n}\detquad{n\hfill i}{n-3,n}- \dotsb. +\] +du système (18). + +On aura donc $\dfrac{d\dethoriz{n}{i}}{dA_{n,n-1}} %[**errata] += \detquad{n\hfill i}{n-1,n}$, et par suite +\begin{align*} +&\frac{dD}{dA_{n,n-1}}=\frac{dD}{dA_{n-1,n}}\\ +&=-\dethoriz{n}{n-1}- A_{n,n-1}\detquad{n,n-1}{n-1,n} ++ A_{n,n-2}\detquad{n,n-2}{n-1,n} + + A_{n,n-3}\detquad{n,n-3}{n-1,n} + \dotsb \\ +&=-\dethoriz{n}{n-1}- A_{n-1,n}\detquad{n,n-1}{n-1,n} ++ A_{n-2,n}\detquad{n,n-1}{n-2,n} + + A_{n-3,n}\detquad{n,n-1}{n-3,n} + \dotsb \\ +&= -\dethoriz{n}{n-1}-\dethoriz{n}{n-1}=-2\dethoriz{n}{n-1}, +\end{align*} +en remarquant que l'on a $A_{n,\alpha} = A_{\alpha,n}$ et $\detquad{a,\:c}{b,\:d}=\detquad{d,\:b}{c,\:a}$, puisque le système +est symétrique. + +Plus généralement, par un déplacement de séries horizontales et +de séries verticales, \label{err354}on trouvera $\dfrac{dD}{dA_{i,g}}=(-1)^{i+g}\dethoriz{i}{g}$, comme il est +dit dans l'énoncé. + +V.~Dans tout déterminant nul, mais non symétrique, on a +\[ +\Big(\frac{dD}{dA_{i,g}}\Big)\Big(\frac{dD}{dA_{g,i}}\Big)=\frac{dD}{dA_{g,g}}\frac{dD}{dA_{i,i}}; +\] +\marginpage % *** File: 355.png +et dans tout déterminant à la fois nul et symétrique, on trouve +\[ +\tag{21}\Big(\dfrac{dD}{dA_{i,g}}\Big)^2=4\dfrac{dD}{dA_{g,g}}\dfrac{dD}{dA_{i,i}}. +\] +Ces équations ne sont que la traduction de celles de la proposition II. + +Les équations (19), (20) et (21) vont servir à simplifier la résolution +des équations (15). + +\mysection{III.} + +\begin{center}\emph{Développement de la solution des équations} (15).\\ + +\emph{Calcul de l'équation en} $u$.\end{center} + +L'équation en $u$ n'est autre que le déterminant du système +\[ +\begin{array}{@{}l@{\quad}r@{\quad}l} +A_{1,1}-u, &A_{1,2}, & A_{1,3},\ldots\ldots A_{1,n},\\ +A_{1,2} &\llap{$A_{2,2}-u,$} & A_{2,3},\ldots\ldots A_{2,n},\\[-1ex] +\hspace{0.5em}\vdots\\ +A_{1,n} &A_{2,n}, & A_{3,n},\ldots\ldots A_{n,n}-u. +\end{array} +\] +On la représentera donc par +\begin{flalign*} +&(22)\quad U = \text{dét.}[A_{1,1} - u,\; A_{2,2} - u\ldots A_{n,n} - u] = 0. & +\end{flalign*} +Ainsi, pour $n = 2$, on aura +\begin{flalign*} +&(23)\quad U = (A_{1,1} - u) (A_{2,2} - u) -A^2_{1,2}. & +\end{flalign*} +Pour $n = 3$, on aura +\begin{flalign*} +&(24)\quad U = (A_{1,1} - u) (A_{2,2} - u) (A_{3,3} - u) \\ +&\phantom{(24)\quad U} - A^2_{2,3}(A_{1,1}{-}u) {-} A^2_{1,3} (A_{2,2}{-}u) {-} A^2_{1,2} (A_{3,3}{-}u) {+} 2A_{1,2}A_{1,3}A_{2,3} = 0. & +\end{flalign*} +Pour $n=4$, on aura\label{err355} +\begin{flalign*} +&\raisebox{17.3ex}{(25)}\quad +\left.\!\!\! +\begin{aligned} +U &= (A_{1,1} - u) (A_{2,2} - u) (A_{3,3} - u) (A_{4,4} - u) \\ +&- A^2_{3,4}(A_{1,1} - u) (A_{2,2} - u) +2A_{2,3}A_{2,4}A_{3,4}(A_{1,1}-u)\\ +&- A^2_{2,4}(A_{1,1} - u) (A_{3,3} - u) +2A_{1,3}A_{1,4}A_{3,4}(A_{2,2}-u)\\ +&- A^2_{2,3}(A_{1,1} - u) (A_{4,4} - u) +2A_{1,2}A_{1,4}A_{2,4}(A_{3,3}-u)\\ +&- A^2_{1,4}(A_{2,2} - u) (A_{3,3} - u) +2A_{1,2}A_{1,3}A_{2,3}(A_{4,4}-u)\\ +&- A^2_{1,3}(A_{2,2} - u) (A_{4,4} - u) \\ +&- A^2_{1,2}(A_{3,3} - u) (A_{4,4} - u) \\ +&- 2A_{1,2}A_{3,4}A_{1,3}A_{2,4}+A^2_{1,4}A^2_{2,3}\\ +&- 2A_{1,2}A_{3,4}A_{1,4}A_{2,3}+A^2_{1,3}A^2_{2,4}\\ +&- 2A_{1,3}A_{2,4}A_{1,4}A_{2,3}+A^2_{1,2}A^2_{3,4} +\end{aligned} +\quad\right\}=0.& +\end{flalign*} + +\marginpage % *** File: 356.png +A ces exemples particuliers qui suffiront pour les applications, on +peut joindre les remarques générales qui suivent. + +\emph{Première remarque}. Quel que soit le nombre $n$ des inconnues de +la fonction à transformer, si les coefficients $A_{1,n}$, $A_{2,n}$\dots $A_{n-1,n}$, et +par conséquent $A_{n,1}$, $A_{n,2}$\dots, $A_{n,n-1}$ sont nuls, le déterminant, pour +le cas de $n$ inconnues, se trouvera, en multipliant par $A_{n,n}-u$, le +déterminant trouvé pour le cas de $n - 1$. Cela suit de la valeur de $D$ +donnée plus haut. + +\emph{Deuxième remarque}. Le nombre $n$ étant quelconque, si le déterminant +ne renferme que des coefficients à indices égaux, ou dont un +des indices soit $n$, tels sont $A_{\alpha,\alpha}$ et $A_{\alpha,n}$, l'équation en $n$ sera\label{err356} +\begin{flalign*} +(26) +&\begin{alignedat}[t]{2} +&&(A_{1,1}-u)(A_{2,2}-u)&\ldots(A_{n,n}-u)\\ +&-{}&A^2_{1,n}(A_{2,2}-u)(A_{3,3}-u)&\ldots(A_{n-1,n-1}-u)\\ +&-{}&A^2_{2,n}(A_{1,1}-u)(A_{3,3}-u)&\ldots(A_{n-1,n-1}-u)\\[-2ex] +&\hspace{0.5em}\vdots\\[-1ex] +&\rlap{${}-A^2_{n-1,n}(A_{1,1}-u)(A_{2,2}-u)\ldots(A_{n-2,n-2}-u),$\hfill} +\end{alignedat}& +\end{flalign*} +le premier terme contenant les $n$ facteurs $A_{1,1}-u$, $A_{2,2}-u\ldots +A_{n,n}-u$, et les autres, qui sont négatifs, ne contenant que $n - 2$ de +ces coefficients. Ainsi, par exemple, pour le terme où entre $A^2_{\alpha,n}$, les +deux facteurs à omettre sont $A_{\alpha,\alpha}-u$, $A_{n,n}-u$ indiqués par les +indices de $A_{\alpha,n}$. + +\begin{center}\emph{Réalité des racines de l'équation en} $u$.\end{center} + +I.~L'équation $U = 0$ a ses racines réelles pour $n = 2$. En effet, +on a dans ce cas +\[ +u=\dfrac{A_{1,1}+A_{2,2}}{2}\pm \frac{1}{2}\sqrt{(A_{1,1}-A_{2,2})^2+4A^2_{1,2}} %[**errata] +\] +valeurs réelles. + +II.~Quel que soit $n$, si les nombres ou coefficients $A_{\alpha,\beta}$ ont tous +deux indices égaux, ou dont l'un soit $n$, l'équation en $u$ aura toutes +ses racines réelles. + +\marginpage % *** File: 357.png +En effet, dans ce cas, l'équation en $n$ est celle notée (26). Si l'on +suppose que $A_{1,1}$, $A_{2,2}$\dots, $A_{n,n}$ soient rangés par ordre de grandeur, +de sorte que l'on ait +\[ +\infty > A_{1,1} > A_{2,2} > \ldots > A_{n,n} > -\infty, +\] +et que dans cette équation (26) on fasse successivement +\begin{flalign*}& +\begin{array}{@{}r@{\quad}c@{\quad}c@{}c@{\;}c@{\;}c} +u=\infty , & A_{1,1} , & A_{2,2} &\dots A_{n-1,n-1} , & A_{n,n} , & -\infty.\\ +\text{U prendra les signes}\quad + & - & + & - & + & + ,\\ +\text{ou bien} \hfill - & - & + & + & - & + , +\end{array}& +\end{flalign*} +selon que $n$ sera pair ou impair. Ainsi, dans tous les cas, les $n$ racines +sont réelles, puisqu'il y a $n$ changements de signe. + +Si plusieurs des nombres $A_{1,1}$, $A_{2,2}$\dots $A_{n,n}$ étaient égaux, si l'on +avait, par exemple, $A_{1,1} = A_{2,2}$, l'équation (26) prendrait le facteur +$A_{1,1} - u$, d'où la racine $u = A_{1,1}$. Ce facteur supprimé, on +trouverait une équation semblable du $(n-1)$\ie\ degré, dont l'on prouverait +de même que les $n - 1$ racines sont toutes réelles. + +Si les coefficients $A_{1,1}$, $A_{2,2}$\dots, $A_{n,n}$ n'étaient pas rangés par ordre +de grandeur, il suffirait d'un déplacement de termes pour retomber +dans ce cas. Ainsi la démonstration est générale. + +III.~Quels que soient les coefficients $A_{\alpha,\beta}$, si l'équation en $u$ a +toutes ses racines réelles pour $n = m-1$, elle les aura aussi toutes +réelles pour $n = m$. Ceci étant démontré, comme dans tous les cas +les racines sont réelles pour $n = 2$, elles le seront encore toutes pour +$n = 3$, $n = 4$, et en général pour $n$ quelconque. + +En ne considérant que les $m - 1$ inconnues $x_1$, $x_2$\ldots, $x_{m-1}$ qui +entrent dans la fonction homogène du second degré, qui, en outre, +contient $x_m$, on pourra, d'après, l'hypothèse, faire disparaître les rectangles +des $m - 1$ inconnues $x_1$, $x_2$\ldots, $x_{m-1}$, c'est-à-dire avoir une +transformée où tous les coefficients seront nuls, à l'exception de ceux +qui auraient des indices égaux, ou dont l'un des indices serait $m$. +Or, d'après la proposition précédente, par une nouvelle transformation, +celle-ci conduit à une équation en $u$, %[**errata] +dont toutes les racines +sont réelles. Il reste donc à montrer que les deux transformations +pourraient être remplacées par une seule, qui conduirait par conséquent +\marginpage % *** File: 358.png +à une équation en $u$ ayant toutes ses racines réelles. Or, si la +première substitution est exprimée par les équations +\[ +x_1 = a_{1,1}y_1 + a_{1,2}y_2 + \dotsb + a_{1,n}y_n,\quad x_2= a_{2,1}y_1 + \etc, +\] +et si la deuxième substitution est exprimée semblablement par les +équations de même forme +\[ +y_1 = b_{1,1}z_1 + b_{1,2}z_2 + \dotsb + b_{1,n}z_n,\quad y_2= b_{2,1}z_1 + \dotsb \etc, +\] +l'élimination de $y_1$, $y_2$\dots, $y_n$ donnera +\[ +x_1 = c_{1,1}z_1 + c_{1,2}z_2 + \dotsb + c_{1,n}z_n,\quad x_2= c_{2,1}z_1 + \dotsb \etc, +\] +où l'on aura en général +\[ +c_{i,\alpha} = a_{i,1}b_{1,\alpha} + a_{i,2}b_{2,\alpha} + \dotsb + a_{i,n}b_{n,\alpha}. +\] +Or les coefficients ainsi formés satisfont, comme on le vérifie très +facilement aux relations (10), (11), (13) et (14), ce qui d'ailleurs est +une suite des deux équations +\[ +x_1^2+x_2^2+ \dotsb +x_n^2 = y_1^2+y_2^2+ \dotsb +y_n^2,\quad y_1^2+ \dotsb +y_n^2=z_1^2+z_2^2+ \dotsb +z_n^2 +\] +qui entraînent la suivante +\[ +x_1^2+x_2^2+ \dotsb +x_n^2 = z_1^2+z_2^2+ \dotsb +z_n^2. +\] +Ainsi les deux substitutions sont remplacées par une seule qui fait +disparaître tous les rectangles et qui conduit à une équation du +$n$\ie\ degré en $u$, dont toutes les racines sont réelles. Cette démonstration +n'est que le développement de celle que M.~Poisson a donnée +dans son mémoire sur le \emph{Mouvement d'un Corps solide}, pour le cas +de trois variables\footnote{Voyez aussi le mémoire de M.~Jacobi, déjà cité.}. + +\begin{center}\emph{Racines égales.}\end{center} + +Quand l'équation en $u$, $U = 0$, a des racines égales, ou satisfaisant +à l'équation $\dfrac{dU}{du}=0$, ces racines satisfont aussi à l'équation $\dfrac{dU}{dA_{\alpha,\beta}}=0$, +quels que soient les indices $\alpha$ et $\beta$ égaux ou non. + +En raison de la forme de l'équation en $u$, on a +\marginpage % *** File: 359.png +\[ +\tag{27} - \frac{dU}{du} = \frac{dU}{dA_{1,1}} + \frac{dU}{dA_{2,2}} + \dotsb + \frac{dU}{dA_{n,n}}. +\] +Élevant au carré les deux membres de cette équation, les doublant et +les simplifiant au moyen de l'équation (21), on aura +\[ +\tag{28} +\begin{aligned}[t] +2\Big(\frac{dU}{du}\Big)^2 &= 2\Big(\frac{dU}{dA_{1,1}}\Big)^2 + 2\Big(\frac{dU}{dA_{2,2}}\Big)^2 + \dotsb + 2\Big(\frac{dU}{dA_{n,n}}\Big)^2\\ +&+ \Big(\frac{dU}{dA_{1,2}}\Big)^2 + \Big(\frac{dU}{dA_{1,3}}\Big)^2 %[**errata] + + \dotsb + \Big(\frac{dU}{dA_{\alpha,\beta}}\Big)^2 + \dotsb +\end{aligned} +\] +Pour le cas des racines égales, le premier membre devenant nul, il +en sera de même du second, et par conséquent de chaque terme en +particulier, puisque les racines sont toutes réelles. + +\begin{center}\emph{Calcul des coefficients $a_{1,1}$, $a_{1,2}$\dots, $a_{n,n}$ de la substitution} (3).\end{center} + +Pour trouver les coefficients de la substitution (3), il suffit de +remarquer que l'on a, en employant les notations de l'article II, +\[ +\tag{29} \frac{a_{k,\alpha}}{a_{n,\alpha}} = (-1)^{n+k}\frac{\dethoriz{n}{k}}{\dethoriz{n}{n}}. +\] +Alors, au moyen de l'équation +\[ +a^2_{1,\alpha} + a^2_{2,\alpha} + \dotsb a^2_{n,\alpha} = 1, +\] +on trouvera, en mettant pour $\dethoriz{n}{i}^2$ sa valeur $\dethoriz{n}{n}\dethoriz{i}{i}$, +\[ +\tag{30} a^2_{n,\alpha} = \frac{\dethoriz{n}{n}}{\dethoriz{1}{1}+\dethoriz{2}{2}+ \dotsb +\dethoriz{n}{n}}: +\] +il suffira pour cela de supprimer le facteur $\dethoriz{n}{n}$ commun aux deux +termes de la fonction. Par suite on aura +\[ +\tag{31} a^2_{k,\alpha} = \frac{\dethoriz{k}{k}}{\dethoriz{1}{1}+\dethoriz{2}{2}+ \dotsb +\dethoriz{n}{n}}. +\] +Enfin, au moyen des équations (19), (20) et (27), les équations (29) et (31) deviendront +\[ +\tag{32} \frac{a_{k,\alpha}}{a_{n,\alpha}} = \frac{1}{2}\frac{dU}{dA_{k,n}}:\frac{dU}{dA_{n,n}}, +\] +\marginpage % *** File: 360.png +\[ +a_{k,\alpha}^2=-\frac{dU}{dA_{k,k}}:\frac{dU}{du}\tag{33}, +\] +où il faudra changer $u$ en $U\alpha$. + +La remarque faite sur les racines égales montre que $a_{k,\alpha}^2$ peut se +présenter sous la forme $\dfrac{0}{0}$, mais non sous la forme $\dfrac{m}{0}$. + +Dans la formule (33), quand on a mis dans $\dfrac{dU}{du}$, pour $n$ sa valeur +particulière $U_\alpha$, on peut encore remplacer $\dfrac{dU}{du}$ par le produit +\[ +\pm(U_\alpha-U_1)(U_\alpha-U_2)\ldots(U_\alpha-U_{a-1})(U_\alpha-U_{\alpha+1})\ldots(U_\alpha-U_n), +\] +selon que $n$ est pair ou impair, pourvu cependant que toutes +les racines soient inégales. Cela suit de ce qu'en posant $U=(u-U_1)(u-U_2)\ldots(u-U_n)$, +il en résulte +\[ +\frac{dU}{du}=\frac{U}{u-U_1}+\frac{U}{u-U_2}+ \dotsb +\frac{U}{u-U_n}. +\] +Si dans cette équation l'on fait, par exemple, $u = U_1$, le premier +terme se réduit à $(U_1-U_2)(U_1-U_3)\ldots(U_1-U_n)$, et tous les autres +disparaissent à cause du facteur nul $U_1-U_1$. On en dira autant pour +les autres substitutions $u=U_2$, $u=U_3$\dots $u=U_\alpha$\dots $u=U_n$. Cette +transformation pourra, dans certains cas, faciliter la discussion en +déterminant le signe du dénominateur. + +\begin{center} +\emph{Résumé de la solution.} +\end{center} + +La transformation de la fonction (1) en la fonction (7), par le +moyen de la substitution (3), est renfermée uniquement dans les +formules (22), (32) et (33). + +L'équation (22) fait connaître les coefficients $U_1$, $U_2$\dots $U_n$ de la +transformée (7) par le moyen de la résolution d'une équation du +$n$\ie\ degré. + +L'équation (33) fait connaître la valeur absolue des $n^2$ coefficients +de la substitution (3), par l'extraction de la racine carrée du +quotient de deux coefficients différentiels du premier membre $U$ de +l'équation (22). + +\marginpage % *** File: 361.png +Comme ces coefficients peuvent être pris soit avec le signe $+$, soit +avec le signe $-$, l'équation (32) donne le moyen de combiner convenablement +les signes en montrant que les termes de la série +\[ +a_{1,\alpha},\ a_{2,\alpha},\ a_{3,\alpha}\ldots a_{n,\alpha} +\] +ont les mêmes signes que ceux de la série +\[ +\frac{dU}{dA_{1,n}},\ \frac{dU}{dA_{2,n}},\ \frac{dU}{dA_{3,n}}\ldots,\ \frac{dU}{dA_{n,n}}, +\] +où l'on doit faire $u=U_\alpha$. On pourrait encore prendre tous les signes +opposés. Cela tient au signe que l'on donne à $a_{n,\alpha}$. + +\mysection{IV.} +\begin{center} +\emph{Autre transformation de l'équation homogène du second degré à $n$ +inconnues.} +\end{center} + +La transformation précédente est fondée sur la relation +$x_1^2+x_2^2+ \dotsb +x_n^2=y_1^2+y_2^2+ \dotsb +y_n^2$, si l'on prend une autre +équation de condition, la solution du problème aura besoin de modification. +Il est une autre transformation aussi utile que la précédente, +c'est celle fondée sur la relation +\[ +x_1^2+x_2^2+ \dotsb +x_{n-1}^2-x_n^2=y_1^2+y_2^2+ \dotsb +y_{n-1}^2-y_n^2 +\] +Il serait long et d'ailleurs inutile de recommencer le calcul, il suffira +d'indiquer ici les changements à faire dans une partie des équations +des articles I et III. + +Les équations de (1) à (8) inclusivement n'éprouvent aucun changement. + +Dans l'équation (9), il faut changer le signe du dernier terme de +chaque membre, changement qui entraîne tous les suivants. + +Dans les $n - 1$ premières équations (10) il faudra changer le signe +du dernier terme du premier membre, et dans la $n$\ie\ qui répond à +$\alpha=n$, il faudra changer le signe du dernier terme du premier membre +et de plus le signe du second membre. +\marginpage % *** File: 362.png + +Dans toutes les équations (11) le dernier terme changera de signe. + +Dans les équations (12) les derniers termes des seconds membres +changeront de signe, et il en sera de même du premier membre de +la $n$\ie. + +Dans les équations (13) les signes des derniers termes des premiers +membres changeront: de plus dans la $n$\ie\ équation il faudra changer le +signe du deuxième membre. + +Dans les équations (14), les derniers termes changeront de signe. + +Dans les équations (15) il faudra changer $A_{n,n}-U_\alpha$ en $A_{n,n}+U_\alpha$. +De plus si $\alpha=n$, il faudra dans toutes changer $U_n$ en $-U_n$. D'ailleurs +dans la dernière équation (15) il faudra toujours changer le signe du +dernier terme du premier membre, et changer celui du second membre, +seulement pour $\alpha=n$. + +Les équations de (16) à (21) ou de l'article II ne changent point. + +Dans les équations de (22) à (26), il faut seulement changer $A_{n,n}-u$ +en $A_{n,n}+u$, et d'ailleurs changer le signe de la racine $U_n$. + +Dans l'équation (27) il faut changer le signe du dernier terme +$\dfrac{dU}{dA_{n,n}}$. + +Dans l'équation (28) il faudra dans le second membre prendre négativement +les termes tels que $\Big(\dfrac{dU}{dA_{\alpha,n}}\Big)^2$. + +Ce qui a été démontré pour la réalité des racines et sur leur égalité +n'a plus lieu ici même pour le cas de deux inconnues. + +Dans l'équation (29) il n'y a rien à changer dans l'équation (30), et +dans la (31)\ie\ il faudra changer le signe de $\dethoriz{n}{n}$ au dénominateur et +aussi au numérateur pour $\alpha = n$. + +Dans l'équation (32) il n'y a rien à changer: dans la (33)\ie, il faudra +pour le cas de $\alpha = n$, changer le signe du second membre, et de plus +remplacer $U_n$ par $-U_n$. + +Enfin si l'on pose +\begin{alignat*}{3} +x_1&=x_n\cos\theta_1, \quad &x_2&=x_n\cos\theta_2,\ldots &x_{n-1}&=x_n\cos\theta_{n-1},\\ +y_1&=y_n\cos\phi_1, \quad &y_2&=y_n\cos\phi_2, \ldots &y_{n-1}&=y_n\cos\phi_{n-1}, +\end{alignat*} +et d'ailleurs, +\[ +\cos^2\theta_1 + \cos^2\theta_2+ \dotsb +\cos^2\theta_{n-1} =1, +\] +\marginpage % *** File: 363.png +il en résultera +\[ +\cos^2\phi_1 + \cos^2\phi_2 + \dotsb + \cos^2\phi_{n-1} = 1; +\] +et l'on transformera la fonction +\begin{alignat*}{2} +A_{1,1}\cos^2\theta_1 &+ 2A_{1,2}\cos\theta_1\cos\theta_2 + \dotsb &&+ 2A_{1,n-1}\cos\theta_1\cos\theta_{n-1} + 2A_{1,n}\cos\theta_1\\ +&\multispan{1}{${}+ \phantom{2}A_{2,2}\cos^2\theta_2 + \dotfill$} &&+ 2A_{2,n-1}\cos\theta_2\cos\theta_{n-1} + 2A_{2,n}\cos\theta_2\\[-1ex] +& &&\;\;\vdots \\[-1ex] +& &&+ \phantom{2}\!A_{n-1,n-1}\cos^2\theta_{n-1} \begin{aligned}[t]&+ 2A_{n-1,n}\cos\theta_{n-1}\\ +&+ \phantom{2}A_{n,n},\end{aligned} +\end{alignat*} +en +\[ +U_1\cos^2\phi_1 + U_2\cos^2\phi_2 + \dotsb + U_{n-1}\cos^2\phi_{n-1} - U_n, +\] +ou +\[ +(U_1-U_n)\cos^2\phi_1 + (U_2-U_n)\cos^2\phi_2 + \dotsb + (U_{n-1}-U_n)\cos^2\phi_{n-1}, +\] +au dénominateur près, par le moyen de la substitution +\[ +\cos\theta_i=\frac{a_{i,1}\cos\phi_1\,+\,a_{i,2}\cos\phi_2+ \dotsb +a_{i,n-1}\cos\phi_{n-1}\,+\,a_{i,n} } +{a_{n,1}\cos\phi_1+a_{n,2}\cos\phi_2+ \dotsb +a_{n,n-1}\cos\phi_{n-1}+a_{n,n} } +\] +où il faut donner à $i$ toutes les valeurs 1, 2, 3\dots $n$. + +Il serait inutile d'entrer dans de plus longs détails sur cette seconde +transformation. L'application qui en sera faite plus loin, éclaircira ce +qui peut rester d'obscur dans les indications précédentes. + +\jmpafin\newpage\vspace*{1ex}\marginpage\vspace{-5ex} +% *** File: 364.png +\begin{center}{\Large SECONDE PARTIE.}\end{center} + +\begin{center}\rule{1in}{0.5pt}\end{center} + +\mysection{APPLICATIONS.} + +\mysection{I.} + +\begin{center} +\emph{Exemple de la première transformation. Détermination des axes +principaux de rotation.} +\end{center} + +Les équations du mouvement d'un corps solide contiennent les neuf +intégrales définies suivantes: $\tint xdm$, $\tint ydm$, $\tint zdm$; $\tint xydm$, +$\tint xzdm$, $\tint yzdm$; +$\tint x^2dm$, $\tint y^2dm$, $\tint z^2dm$ +étendues à toute la masse du corps +dont l'élément est $dm$, et qui est rapporté à trois axes de coordonnées +rectangulaires $x$, $y$, $z$. + +Il importerait donc de simplifier les équations différentielles du +mouvement par un changement d'axes et d'origine qui fît disparaître +un certain nombre de ces intégrales, quand bien même les nouveaux +axes ne devraient pas jouir de propriétés mécaniques remarquables. + +Les trois premières intégrales disparaissent quand on met l'origine +au centre de gravité du corps. Les trois suivantes peuvent aussi disparaître, +quelle que soit l'origine; il suffit pour cela de choisir convenablement +la direction de trois nouveaux axes rectangulaires de même +origine. + +Pour démontrer cette proposition en faisant usage des formules de la +première partie, on remplacera $x$, $y$, $z$, par $x_1$, $x_2$, $x_3$ et l'on +supposera que pour les axes sur lesquels se comptent ces coordonnées, +on ait trouvé +\begin{alignat*}{3} +\tint x^2_1dm &=A_{1,1}, &\tint x^2_2dm &=A_{2,2}, &\tint x^2_3dm &= A_{3,3},\\ +\tint x_1x_2dm&=A_{1,2}, \quad &\tint x_1x_3dm&=A_{1,3}, \quad &\tint x_2x_3dm &= A_{2,3}: +\end{alignat*} +afin de trouver de nouveaux axes de coordonnées rectangulaires de +même origine et pour lesquels on ait +\marginpage % *** File: 365.png +\begin{alignat*}{3} +\tint y_1^2dm &=U_1, &\tint y_2^2dm &=U_2, &\tint y_3^2dm &=U_3,\\ +\tint y_1y_2dm&=0, \quad &\tint y_1y_3dm&=0, \quad &\tint y_2y_3dm&=0, +\end{alignat*} +on posera les équations +\begin{align*} +x_1&= a_{1,1}y_1 + a_{1,2}y_2 + a_{1,3}y_3,\\ +x_2&= a_{2,1}y_1 + a_{2,2}y_2 + a_{2,3}y_3,\\ +x_3&= a_{3,1}y_1 + a_{3,2}y_2 + a_{3,3}y_3, +\end{align*} +qui, en supposant la relation +\[ +x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = y_1^2 + y_2^2 + y_2^2, +\] +donneront les équations +\begin{align*} +y_1 &= a_{1,1}x_1 + a_{2,1}x_2 + a_{3,1}x_3,\\ +y_2 &= a_{1,2}x_1 + a_{2,2}x_2 + a_{3,2}x_3,\\ +y_3 &= a_{1,3}x_1 + a_{2,3}x_2 + a_{3,3}x_3. +\end{align*} +Les neuf coefficients $a_{1,1}a_{1,2}\ldots a_{3,3}$ représentant les cosinus des angles +que les axes des deux systèmes font entre eux. Ainsi $a_{2,3}$ est le cosinus +de l'angle que l'axe des $x_2$ fait avec l'axe des $y_3$; le premier indice se +rapportant aux $x$ et le second aux $y$. + +Si l'on calcule $\tint y_1^2dm$ et que l'on évite les transpositions de facteurs +et par suite les réductions, on trouvera +\begin{align*} +\tint y_1^2dm=U_1 &= a_{1,1}(A_{1,1}a_{1,1} + A_{1,2}a_{2,1} + A_{1,3}a_{3,1})\\ +&+ a_{2,1}(A_{2,1}a_{1,1} + A_{2,2}a_{2,1} + A_{2,3}a_{3,1})\\ +&+ a_{3,1}(A_{3,1}a_{1,1} + A_{3,2}a_{2,1} + A_{3,3}a_{3,1}) +\end{align*} +ou $A_{2,1}$ représente $\tint x_2x_1dm$, comme $A_{1,2}$ représente $\tint x_1x_2dm$: ainsi +$A_{2,1}=A_{1,2}$. Cette valeur de $U_1$ est précisément celle trouvée dans la +première partie pour $B_{1,1}$. On trouvera pareillement que $U_2$ et $U_3$ +reviennent à $B_{2,2}$ et $B_{3,3}$. + +Si l'on calcule $\tint y_1y_2dm$ avec la même attention d'éviter les transpositions +de facteurs, on obtiendra\label{err365} +\begin{align*} +\tint y_1y_2dm &= a_{1,1}(A_{1,1}a_{1,2} + A_{1,2}a_{2,2} + A_{1,3}a_{3,2})\\ +&+ a_{2,1}(A_{2,1}a_{1,2} + A_{2,2}a_{2,2} + A_{2,3}a_{3,2})\\ +&+ a_{3,1}(A_{3,1}a_{1,2} + A_{3,2}a_{2,2} + A_{3,3}a_{3,2}). +\end{align*} +\marginpage % *** File: 366.png +De même encore, on aurait +\begin{align*} +\tint y_2y_1dm&=a_{1,2}(A_{1,1}a_{1,1}+A_{1,2}a_{2,1}+A_{1,3}a_{3,1})\\ +&+a_{2,2}(A_{2,1}a_{1,1}+A_{2,2}a_{2,1}+A_{2,3}a_{3,1})\\ +&+a_{3,2}(A_{3,1}a_{1,1}+A_{3,2}a_{2,1}+A_{3,3}a_{3,1}). +\end{align*} +Ces deux quantités ne sont autres que celles représentées par $B_{1,2}$ et +$B_{2,1}$ dans la première partie; on reconnaît facilement leur égalité. Le +problème de déterminer les axes principaux, ou des axes pour lesquels +on ait +\[ +\textstyle{\tint}y_1y_2dm=0, +\quad\textstyle{\tint}y_1y_3dm=0, +\quad \textstyle{\tint}y_2y_3dm=0, +\] +dépendra donc des équations +\begin{alignat*}{3} +B_{1,1}&=U_1,\quad &B_{1,2}&=0, &B_{1,3}&=0,\\ +B_{2,1}&=0, &B_{2,2}&=U_2,\quad &B_{2,3}&=0,\\ +B_{3,1}&=0, &B_{3,2}&=0, &B_{3,3}&=U_3. +\end{alignat*} +Ce problème est donc analytiquement le même que celui de faire disparaître +les rectangles de la fonction +\begin{align*} +A_{1,1}x^2_1 &+ 2A_{1,2}x_1x_2+2A_{1,3}x_1x_3\\ +&+ A_{2,2}x^2_2 \begin{aligned}[t]&+ 2A_{2,3}x_2x_3\\ +&+ A_{3,3}x^2_3.\end{aligned} +\end{align*} +L'équation qui détermine $U_1=\tint y^2_1dm$, $U_2=\tint y_2dm$, $U_3=\tint y_3dm$ +sera donc +$U=(A_{1,1}-u)(A_{2,2}-u)(A_{3,3}-u) +-A^2_{2,3}(A_{1,1}-u) +-A^2_{1,3}(A_{2,2}-u) +-A^2_{1,2}(A_{3,3}-u)+ +2A_{1,2}A_{1,3}A_{3,2}=0$, et les neuf cosinus qui déterminent la position des +axes principaux seront donnés, tant pour la valeur absolue que pour +les signes, par les deux équations +\[ +a^2_{k,\alpha}=-\dfrac{dU}{dA_{k,k}}:\dfrac{dU}{du}, \quad \dfrac{a_{k,\alpha}}{a_{3,\alpha}}=\tfrac{1}{2}\dfrac{dU}{dA_{k,3}}:\dfrac{dU}{dA_{3,3}}, +\] + +\marginpage % *** File: 367.png +Si l'on effectue les différentiations indiquées et, qu'en supposant +les racines inégales on remplace $\dfrac{dU}{du}$ par un produit de différences +des racines $U_1$, $U_2$, $U_3$, on aura\label{err367} +\begin{align*} +a^2_{1,1}=\frac{(A_{2,2}-U_1)(A_{3,3}-U_1)-A^2_{2,3}}{(U_{1}-U_{2})(U_{1}-U_{3})},\\ +a^2_{2,1}=\frac{(A_{1,1}-U_1)(A_{3,3}-U_1)-A^2_{1,3}}{(U_{1}-U_{2})(U_{1}-U_{3})},\\ +a^2_{3,1}=\frac{(A_{1,1}-U_1)(A_{2,2}-U_1)-A^2_{1,2}}{(U_{1}-U_{2})(U_{1}-U_{3})},\\ +\end{align*} +Pour avoir les valeurs de $a^2_{1,2}$, $a^2_{2,2}$, $a^2_{3,3}$, il faudra au numérateur +changer $U_1$ en $U_2$ et prendre pour dénominateur le produit $(U_2-U_1),(U_2-U_3)$. + +Pour avoir les valeurs de $a^2_{1,3}$, $a^2_{2,3}$, $a^2_{3,3}$, il faudra au numérateur +changer $U_1$ en $U_3$ et prendre le produit $(U_3-U_1)(U_3-U_2)$ pour +dénominateur. + +Quant aux signes, on prendra ceux des coefficients différentiels +\[ +\frac{dU}{dA_{1,3}},\quad \frac{dU}{dA_{2,3}}, \quad \frac{dU}{dA_{3,3}}, +\] +où il faudra faire $u=U_1$ pour $a_{1,1}$, $a_{2,1}$, $a_{3,1}$; $u=U_2$ pour $a_{1,2}$, $a_{2,2}$, +$a_{3,3}$; et $u=U_3$, pour $a_{1,3}$, $a_{2,3}$, $a_{3,3}$. + +La discussion des formules précédentes ne présente aucune difficulté, +elle a été trop souvent présentée pour qu'il soit nécessaire de +la mettre ici. La conséquence qu'on en tire, c'est qu'en général il n'y +a qu'un système d'axes principaux et qu'il y en a toujours un. Cependant +pour le cas de deux racines égales (pour l'équation en $u$), il +y a une infinité de systèmes ayant un axe commun, et enfin pour le +cas des trois racines égales, tous les systèmes d'axes rectangulaires +passant par l'origine donnée sont des axes principaux. + +Il suffira d'ajouter ici que les formules précédentes ne diffèrent de +celle du §~II du mémoire de M.~Poisson sur le mouvement d'un +corps solide, que par un facteur supprimé aux deux termes des fractions +qui représentent les neuf cosinus, qui fixent la position des axes +principaux. +\marginpage % *** File: 368.png +\mysection{II.} + +\begin{center} +\emph{Exemple de la seconde transformation.} +\end{center} + +\textsc{Problème}. \emph{Trouver l'attraction qu'exercerait une planète sur un +point matériel, si la masse de cette planète était distribuée sur les parties +de son orbite, en raison du temps qu'elle met à les parcourir?} + +Ce problème sera traité ici fort succinctement, mais il serait très +facile de déduire de la solution les diverses formules que M.~Gauss a +exposées dans le mémoire où il s'occupe de la présente question. +(\emph{Determinatio attractionis}, etc. \ldots) + +\emph{Solution.} Soit $a$ le grand axe de l'orbite, $b$ le petit, et $a^2-b^2=a^2e^2$, +de sorte que $e$ soit l'excentricité, si l'on représente par $\theta$ l'anomalie +excentrique, par $T$ le temps de la révolution, et par $\dfrac{2\pi}{T}$ la vitesse +moyenne angulaire de la planète, on aura $ndt=(1-e \cos \theta)d\theta$. La +masse de la planète étant prise pour unité, la partie de cette masse qui +serait distribuée sur le petit arc parcouru pendant l'instant $dt$ sera +\[ +\frac{dt}{T}=\frac{ndt}{nT}=\frac{(1-e\cos \theta)d\theta}{2\pi}. +\] + +Si l'on prend le grand axe de l'ellipse pour axe des $x$, le petit axe +pour celui des $y$, et la perpendiculaire menée par le centre au plan de +l'orbite pour l'axe des $z$, les coordonnées d'un point de l'ellipse seront +$x=a\cos\theta$, $y=b\sin\theta$. Par conséquent, si les coordonnées du point +attiré sont $A$, $B$, $C$, la distance du point de l'ellipse dont les coordonnées +sont $a\cos\theta$, $b\cos\theta$, 0 à ce point, sera donnée, en la représentant +par $r$, par l'équation +\[ +r^2=(A-a\cos\theta)^2+(B-b\sin\theta)^2+C^2, +\] +ou par +\begin{align*} +r^2=a^2\cos^2\theta &+ 2\times 0 \ldot \cos \theta \sin \theta - 2Aa \cos \theta\\ +&+b^2 \sin^2 \theta \begin{aligned}[t]&- 2Bb \sin \theta \\ +&+A^2+B^2+C^2.\end{aligned} +\end{align*} +L'attraction de l'élément de l'orbite sur le point donné sera +\marginpage % *** File: 369.png +$\dfrac{(1-e \cos \theta)d\theta} {2\pi r^2}$ +et ses composantes parallèlement aux trois axes seront +\begin{align*} +X &= \frac{(A - a \cos \theta)(1 - e \cos \theta) d\theta}{2\pi r^3},\\ +Y &= \frac{(B - b \cos \theta)(1 - e \cos \theta) d\theta}{2\pi r^3},\\ +Z &= \frac{C(1 - e \cos \theta)d\theta}{2\pi r^3}. +\end{align*} + +Si l'on posait $V= \dfrac{(1-e \cos \theta) d\theta}{2\pi r}$, il en résulterait $X = -\dfrac{dV}{dA}$, +$Y = -\dfrac{dV}{dB}$, $Z = -\dfrac{dV}{dC}$, mais il vaut mieux traiter directement les +quantités $X$, $Y$, $Z$. + +Pour faciliter l'intégration il faut simplifier le radical, par conséquent +en vertu de la valeur précédente de $r^2$, +si l'on pose +\begin{gather*} +\cos \theta = \cos \theta_1, \quad +\sin \theta = \cos \theta_2, \quad +A_{1,1} =a^2, \quad A_{1,2} = 0, \quad +A_{1,3} = A_{3,1} = -Aa\\ +A_{2,2} = b^2, \quad A_{2,3} = A_{3,2} = -Bb, %[**errata] +\quad A_{3,3}=A^2+ B^2 + C^2 +\end{gather*} +où aura à simplifier l'expression +\begin{align*} +A_{1,1} \cos^2\theta_1 &+ 2A_{1,2} \cos\theta_1 \cos\theta_2 + 2A_{1,3} \cos\theta_1\\ +&+ A_{2,2} \cos^2\theta_2 \begin{aligned}[t]&+ 2A_{2,3} \cos\theta_2\\ +&+ A_{3,3},\end{aligned} +\end{align*} +par le moyen de la substitution +\begin{align*} +\cos\theta_1 &= \frac{a_{1,1} \cos\phi_1 + a_{1,2} \cos\phi_2 + a_{1,3}} +{a_{3,1} \cos\phi_1 + a_{3,2} \cos\phi_2 + a_{3,3}}, +\\ +\cos\theta_2 &= \frac{a_{2,1} \cos\phi_1 + a_{2,2} \cos\phi_2 + a_{2,3}} +{a_{3,1} \cos\phi_1 + a_{3,2} \cos\phi_2 + a_{3,3}}, +\end{align*} +où l'on posera pour abréger, +\[ +v = a_{3,1} \cos\phi_1 + a_{3,2} \cos\phi_2 + a_{3,3}. %[**errata] +\] +cette substitution réduira $r^2$ à la forme +\[ +\left[(U_1 - U_3) \cos^2\phi_1 + (U_2 - U_3) \cos^2\phi_2\right]: v^2. +\] +Les quantités $U_1$, $U_2$, $U_3$ étant les racines de l'équation +\marginpage % *** File: 370.png +\begin{align*} +U = (A_{1,1}-u) (A_{2,2}-u)(A_{3,3}+u) &- A^2_{2,3}(A_{1,1}-u) - A^2_{1,3}(A_{2,2}-u)\\ +&- A^2_{1,2}(A_{3,3}+u) + 2A_{1,2}A_{1,3}A_{2,3} = 0, +\end{align*} +qui revient à +\[ +(a^2-u)(b^2-u)(A^2+B^2+C^2+u) - B^2b^2(a^2-u) - A^2a^2(b^2-u) = U = 0, +\] +ou bien encore à +\[ +u^3 + (A^2+B^2+C^2-a^2-b^2)u^2 + [a^2b^2-a^2(B^2+C^2)-b^2(A^2+C^2)]u + a^2b^2C^2 = 0; %[**errata] +\] +sous cette forme on reconnaît une équation qui se présente dans le +calcul de l'attraction d'un ellipsoïde sur un point extérieur, au moyen +du théorème de M.~Ivory. + +La première forme de l'équation en $u$, montre que les trois racines +sont réelles; en effet si l'on pose +\[ +\begin{array}{lcccl} +u=\dotfill &a^2,&b^2,&0,&-\infty,\\ +U \text{prendra les signes}\ldots &+,&-,&+,&-. +\end{array} +\] +Il aura donc trois racines réelles et inégales, sauf certains cas, où +quelques-uns des nombres $a^2$, $b^2$, $0$ deviendraient racines. Il pourrait +alors y avoir deux racines égales à $b^2$, ou deux racines égales à zéro. +Le premier cas se présente pour $B = 0$ et $A^2b^2 - a^2e^2C^2 = a^2b^2e^2$, +c'est-à-dire pour une suite de points formant une hyperbole dont les +sommets sont les foyers de l'ellipse et dont le second axe est égal +au petit axe de l'ellipse. Pour ce cas $(U_1 - U_3) \cos^2 \phi_1 + (U_2 - U_3) +\cos^2\phi_2=U_1-U_3$, l'irrationalité disparaît et l'intégration ne présente +aucune difficulté. Le second cas ne peut se présenter que quand le +point attiré est sur l'ellipse: il doit par conséquent être mis de côté. + +Pour le cas général, ou des trois racines inégales, on prendra les +deux racines positives pour $U_1$ et $U_2$, l'on supposera $U_1 > U_2$, la racine +négative sera représentée par $U_3$. Au moyen des formules (32) +et (33) modifiées convenablement, on déterminera les neuf coefficients +de la substitution. Cela étant fait, soit en posant +\begin{gather*} +\cos\theta_1 =\cos\theta, \quad \cos\theta_2=\sin\theta,\quad \cos\phi_1 =\cos\phi, \quad \cos\phi_2=\sin\phi,\\ +v= a_{3,1} \cos\phi + a_{3,2} \sin\phi + a_{3,3},\\ %[**errata] +v\cos\theta = a_{1,1} \cos\phi+a_{1,2} \sin\phi+a_{1,3},\\ +v\sin\theta = a_{2,1} \cos\phi+a_{2,2} \sin\phi+a_{2,3}. +\end{gather*} +\marginpage % *** File: 371.png +Différentiant les deux dernières et éliminant $dv$ il vient +\[ +v d \theta=[\cos\theta(-a_{2,1} \sin \phi+a_{2,2}\cos\phi)-\sin\theta(-a_{1,1}\sin\phi+a_{1,2}\cos\phi)]d\phi, +\] +multipliant par $v$ et réduisant, on a +\[ +v^2d\theta{=}[(a_{2,2}a_{1,3}-a_{2,3}a_{1,2})\!\cos\phi+(a_{1,1}a_{2,3}-a_{1,3}a_{2,1})\!\sin\phi+(a_{1,1}a_{2,2}-a_{2,1}a_{1,2})]d\phi; +\] +mais ici l'on a\label{err371} +\begin{align*} +y_1&=a_{1,1}x_1+a_{2,1}x_2-a_{3,1}x_3,\\ +y_2&=a_{1,2}x_1+a_{2,2}x_2-a_{3,2}x_3,\\ +-y_3&=a_{1,3}x_1+a_{2,3}x_2-a_{3,3}x_3;\\ +\intertext{tirant de là la valeur de $x_3$ et la comparant à} +x_3&=a_{3,1}y_1+a_{3,2}y_2+a_{3,3}y_3, +\end{align*} +on trouvera en écrivant, pour abréger, +\[ +E=-a_{3,1}(a_{2,2}a_{1,3}-a_{2,3}a_{1,2})-a_{3,2} %[**errata] +(a_{1,1}a_{2,3}-a_{2,1}a_{1,3})+a_{3,3}(a_{1,1}a_{2,2}-a_{2,1}a_{2,1}), +\] +l'équation +\[ +Ex_3=(a_{2,2}a_{1,3}-a_{2,3}a_{1,2})y_1+(a_{1,1}a_{2,3}-a_{1,3}a_{1,1})y_2+(a_{1,1}a_{2,2}-a_{2,1}a_{1,2})y_3, +\] +et par suite +\[ +Ea_{3,1}{=}(a_{2,2}a_{1,3}-a_{2,3}a_{1,2}), Ea_{3,2}{=}(a_{1,1}a_{2,3}-a_{1,3}a_{2,1}), Ea_{3,3}{=}(a_{1,1}a_{2,2}-a_{2,1}a_{1,2}); +\] +par conséquent, +\[ +v^2d\theta =\ E(a_{3,1} \cos \phi + a_{3,2} \sin \phi + a_{3,3})d\phi, \qtext{ou} v d\theta =\ Ed\phi. +\] +Quant à $E$, on vérifiera très facilement que sa valeur est $+1$ ou $-1$, +c'est-à-dire que l'on a $E^2=1$ en vertu des relations qui existent entre +les coefficients de la substitution. + +Les quantités $A-a\cos\theta$, $B-b\sin\theta$, $1-e\cos\theta$, par la substitution +des valeurs de $\cos\theta$ et $\sin\theta$ se réduisent à +\[ +\label{err371a}(L\cos\phi+M\sin\phi+N){:}v,(L'\cos\phi+M'\sin\phi+N'){:}v,(L''\cos\phi+M''\sin\phi+N''){:}v; %[**errata] +\] +d'où il résulte +\marginpage % *** File: 372.png +\begin{flalign*} +X&=E(L\cos\phi+M\sin\phi+N)(L''\cos\phi+M''\sin\phi+N'')d\phi: \\ +&&\llap{$2\pi[(U_1-U_3)\cos^2\phi+(U_2-U_3)\sin^2\phi]^\frac{3}{2},$} \\ +Y&=E(L'\cos\phi+M'\sin\phi+N')(L''\cos\phi+M''\sin\phi+N'')d\phi: &\emph{idem},\hspace{1.5em}\\ +Z&=CE(a_{3,1}\cos\phi+a_{3,2}\sin\phi+a_{3,3})(L''\cos\phi+M''\sin\phi+N'')d\phi:&\emph{idem}\phantom{,}\hspace{1.5em} +\end{flalign*} +Si l'on observe que les intégrales +\[ +\int\frac{\sin\phi d\phi}{2\pi[(U_1-U_3)\cos^2\phi+(U_2-U_3)\sin^2\phi]^\frac{3}{2}},\quad \int\frac{\cos\phi d\phi}{\emph{idem}},\quad \int\frac{\sin\phi\cos\phi d\phi}{\emph{idem}} +\] +sont nulles quand on les prend depuis $\phi = 0$, jusqu'à $\phi = 360°$, ce +qu'il faut faire ici; il suffira dans les numérateurs de $X$, $Y$ et $Z$ de +conserver les termes renfermant $\cos^2\phi$, $\sin^2\phi$ et ceux indépendants +de $\phi$. Si donc l'on pose +\begin{gather*} +P=\int_0^{2\pi}\frac{\cos^2\phi d\phi}{2\pi[(U_1-U_3)\cos^2\phi+(U_2-U_3)\sin^2\phi]^\frac{3}{2}}, \\ +Q=\int_0^{2\pi}\frac{\sin^2\phi d\phi}{2\pi[(U_1-U_3)\cos^2\phi+(U_2-U_3)\sin^2\phi]^\frac{3}{2}}, +\end{gather*} +on aura entre les mêmes limites +\begin{align*} +E\int X&=(LL''+NN'')P + (MM''+NN'')Q,\\ %[**errata] +E\int Y&=(L'L''+N'N'')P + (M'M''+N'N'')Q,\\ +E\int Z&=(a_{3,1}L''+a_{3,3}N'')CP + (a_{3,2}M''+a_{3,3}N'')CQ. +\end{align*} +Quant aux intégrales $P$ et $Q$, elles se ramènent, ainsi qu'il suit, aux +fonctions elliptiques. + +La quantité $(U_1-U_3)\cos^2\phi + (U_2-U_3)\sin^2\phi$ peut s'écrire +$(U_1-U_3) - (U_1-U_2)\sin^2\phi$; si l'on pose $U_1-U_3 = m^2$, $\dfrac{U_1-U_2}{U_1-U_3}=c^2$, +l'on aura +\[ +P=\frac{1}{2\pi m^3}\int \frac{\cos^2\phi d\phi}{(1-c^2\sin^2\phi)^\frac{3}{2}},\quad Q =\frac{1}{2\pi m^3}\int \frac{\sin^2\phi d\phi}{(1-c^2\sin^2\phi)^\frac{3}{2}}, +\] +or l'intégration par parties donne +\begin{align*} +&\int \frac{\sin^2\phi d\phi}{\sqrt{1-c^2\sin^2\phi}} = -\frac{\sin\phi\cos\phi}{\sqrt{1-c^2\sin^2\phi}} + \int \frac{\cos^2\phi d\phi}{(1-c^2\sin^2\phi)^\frac{3}{2}}, \\ %[**errata] +&\int \frac{\cos^2\phi d\phi}{\sqrt{1-c^2\sin^2\phi}} = +\frac{\sin\phi\cos\phi}{\sqrt{1-c^2\sin^2\phi}} + (1-c^2)\int \frac{\sin^2\phi d\phi}{(1-c^2\sin^2\phi)^\frac{3}{2}}, %[**errata] +\end{align*} +\marginpage % *** File: 373.png +Si l'on représente les premiers membres de ces équations par $P_1$ et $Q_1$, on trouvera d'abord +\[ +P_1 + Q_1 = \int\frac{d\phi}{\sqrt{1-c^2\sin^2\phi}} = F(c, \phi), +\] +puis +\[ +\int\frac{c^2\sin^2\phi d\phi}{\sqrt{1-c^2\sin^2\phi}} = \int\frac{d\phi}{\sqrt{1-c^2\sin^2\phi}} +- \int d\phi\sqrt{1-c^2\sin^2\phi}=F(c, \phi)-E(c, \phi); +\] +de là résulte +\begin{align*} +P_1 &= \int\frac{\sin^2\phi d\phi}{\sqrt{1-c^2\sin^2\phi}}=\frac{1}{c^2}F(c, \phi)-\frac{1}{c^2}E(c, \phi), \\ +Q_1 &= \int\frac{\cos^2\phi d\phi}{\sqrt{1-c^2\sin^2\phi}}=\frac{1}{c^2}E(c, \phi)-\Big(\frac{1-c^2}{c^2}\Big)F(c, \phi), +\end{align*} +et par conséquent +\begin{align*} +2c^2 \pi m^3 P & = c^2\int \!\!\! \frac{\cos^2 \!\!\phi d \phi}{(1-c^2 \sin^2\!\! \phi)^{\frac{3}{2}}}= F(c,\phi)- E(c,\phi)+ \frac{c^2 \sin \phi \cos \phi}{\sqrt{1-c^2 \sin^2\!\! \phi}},\\ %[**errata] +2c^2 \pi m^3 Q & = c^2\int \!\!\! \frac{\sin^2\!\! \phi d \phi}{(1-c^2 \sin^2\!\! \phi)^{\frac{3}{2}}}= \frac{1}{1-c^2} E(c,\phi) +\begin{aligned}[t]&- F(c,\phi)\\&- \frac{c^2 \sin \phi \cos \phi}{(1-c^2)\sqrt{1-c^2 \sin^2 \!\!\phi}}.\end{aligned} +\end{align*} +on aura donc entre les limites 0 et 360° +\begin{align*} +c^2 \pi m^3 P & = 2 \left[ F(c) - E(c) \right],\\ +c^2 \pi m^3 Q & = 2 \Big[ \frac{1}{1-c^2} E(c)-F(c) \Big], +\end{align*} +conformément à la notation des fonctions elliptiques. + +\jmpafin + +% *** File: 374.png + +\jmpapaper{}{}{Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de +Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas;}{Par M.~L. WANTZEL,}{Élève-Ingénieur des Ponts-et-Chaussées.} +\label{art31} + +\mysection{I.} + +Supposons qu'un problème de Géométrie puisse être résolu par des +intersections de lignes droites et de circonférences de cercle: si l'on +joint les points ainsi obtenus avec les centres des cercles et avec les +points qui déterminent les droites on formera un enchaînement de +triangles rectilignes dont les éléments pourront être calculés par les +formules de la Trigonométrie; d'ailleurs ces formules sont des équations +algébriques qui ne renferment les côtés et les lignes trigonométriques +des angles qu'au premier et au second degré; ainsi l'inconnue +principale du problème s'obtiendra par la résolution d'une série d'équations +du second degré dont les coefficients seront fonctions rationnelles +des données de la question et des racines des équations précédentes. +D'après cela, pour reconnaître si la construction d'un problème +de Géométrie peut s'effectuer avec la règle et le compas, il faut chercher +s'il est possible de faire dépendre les racines de l'équation à laquelle il +conduit de celles d'un système d'équations du second degré composées +comme on vient de l'indiquer. Nous traiterons seulement ici le cas où +l'équation du problème est algébrique. + +\mysection{II.} + +Considérons la suite d'équations: +\begin{flalign*} +&(A)\quad\left\{ +\begin{aligned} +x_1^2{+}Ax_1{+}B=0,\;&x_2^2{+}A_1x_2{+}B_1=0\ldots x_{n-1}^2{+}A_{n-2}x_{n-1}{+}B_{n-2}=0,\\ +&x_n^2{+}A_{n-1}x_n{+}B_{n-1}=0, +\end{aligned} +\right.& +\end{flalign*} +dans lesquelles $A$ et $B$ représentent des fonctions rationnelles des +quantités données $p$, $q$, $r$\dots; $A_1$ et $B_1$ des fonctions rationnelles de +$x_1$, $p$, $q$,\dots; et, en général, $A_m$ et $B_m$ des fonctions rationnelles de +$x_m$, $x_{m-1}$,\dots $x_1$, $p$, $q$\dots. + +Toute fonction rationnelle de $x_m$ telle que $A_m$ ou $B_m$, prend la forme +\[\dfrac{C_{m-1}x_m+ D_{m-1}}{E_{m-1}x_m+ F_{m-1}}\] si l'on élimine les puissances de $x_m$ supérieures à la première +\marginpage % *** File: 375.png +au moyen de l'équation $x_m^2 + A_{m-1} %[**errata] +x_m + B_{m-1} = 0$, en désignant +par $C_{m-1}$, $D_{m-1}$, $E_{m-1}$, $F_{m-1}$, des fonctions rationnelles de $x_{m-1}$,\dots $x_1$, $p$, $q$\dots; +elle se ramènera ensuite à la forme $A'_{m-1}x_m+ B'_{m-1}$ en multipliant +les deux termes de $\dfrac{C_{m-1}x_m+ D_{m-1}}{E_{m-1} x_m+ F_{m-1}}$ par $-E_{m-1}(A_{m-1}+x_m) %[**errata] ++F_{m-1}$. + +Multiplions l'une par l'autre les deux valeurs que prend le premier +membre de la dernière des équations (A) lorsqu'on met successivement +à la place de $x_{n-1}$ dans $A_{n-1}$ et $B_{n-1}$ les deux racines de l'équation +précédente: nous aurons un polynome du quatrième degré en $x_n$ dont +les coefficients s'exprimeront en fonction rationnelle de $x_{n-2}$\dots $x_1$, +$p$, $q$,\dots; remplaçons de même successivement dans ce polynome +$x_{n-2}$ par les deux racines de l'équation correspondante, nous obtiendrons +deux résultats dont le produit sera un polynome en $x_n$ de degré +$2^3$, à coefficient rationnel par rapport à $x_{n-3}$\dots $x_1$, $p$, $q$\dots; et, en +continuant de la même manière, nous arriverons à un polynome en $x_n$ +de degré $2^n$ dont les coefficients seront des fonctions rationnelles de +$p$, $q$, $r$\dots. Ce polynome égalé à zéro donnera l'équation finale +$f(x_n) = 0$ ou $f(x) = 0$, qui renferme toutes les solutions de la question. +On peut toujours supposer qu'avant de faire le calcul on a réduit +les équations (A) au plus petit nombre possible. Alors une quelconque +d'entre elles $x_{m+1}^2+ A_{m}x_{m+1}+B_{m}=0$, ne peut pas être satisfaite +par une fonction rationnelle des quantités données et des racines des +équations précédentes. Car, s'il en était ainsi, le résultat de la substitution +serait une fonction rationnelle de $x_m$,\dots $x_1$, $p$, $q$\dots\ qu'on peut +mettre sous la forme $A'_{m-1}x_m+ B'_{m-1}$ et l'on aurait $A'_{m-1}x_m+ B'_{m-1}=0$; +on tirerait de cette relation une valeur rationnelle de $x_m$ qui substituée +dans l'équation du second degré en $x_m$ conduirait à un résultat de la +forme $A'_{m-2}x_{m-1}+ B'_{m-2}=0$. En continuant ainsi, on arriverait à +$A'x_1+B'=0$, c'est-à-dire que l'équation $x_1^2+Ax_1+B=0$ aurait +pour racines des fonctions rationnelles de $p$, $q$\dots; le système des équations +(A) pourrait donc être remplacé par deux systèmes de $n - 1$ équations +du second degré, indépendants l'un de l'autre, ce qui est contre la +supposition. Si l'une des relations intermédiaires $A'_{m-2}x_{m-1}+ B'_{m-2}=0$, +par exemple, était satisfaite identiquement, les deux racines de l'équation +$x^2_{m-1}+A_{m-1}x_m+B_{m-1}=0$ seraient des fonctions rationnelles de +$x_{m-1}$\dots $x_1$, pour toutes les valeurs que peuvent prendre ces quantités, +en sorte qu'on pourrait supprimer l'équation en $x_m$ et remplacer la +racine successivement par ses deux valeurs dans les équations suivantes, +\marginpage % *** File: 376.png +ce qui ramènerait encore le système des équations (A) à deux +systèmes de $n - 1$ équations. + +\mysection{III.} + +Cela posé, l'\emph{équation du degré $2^n$, $f(x) = 0$, qui donne toutes les +solutions d'un problème susceptible d'être résolu au moyen de $n$ équations +du second degré, est nécessairement irréductible}, c'est-à-dire +qu'elle ne peut avoir de racines communes avec une équation de +degré moindre dont les coefficients soient des fonctions rationnelles +des données $p$, $q$\dots. + +En effet, supposons qu'une équation $F(x) = 0$, à coefficients rationnels +soit satisfaite par une racine de l'équation $x^2_n+A_{n-1}x_n+B_{n-1}=0$, +en attribuant certaines valeurs convenables aux quantités $x_{n-1}$, +$x_{n-2}$\dots $x_1$. La fonction rationnelle $F(x_n)$ d'une racine de cette dernière +équation peut se ramener à la forme $A'_{n-1}x_n + B'_{n-1}$, en désignant +toujours par $A'_{n-1}$ et $B'_{n-1}$ des fonctions rationnelles de +$x_{n-1}$\dots $x_1$, $p$, $q$\dots; de même $A'_{n-1}$ et $B'_{n-1}$ peuvent prendre l'un +et l'autre la forme $A'_{n-2}x_{n-1}+B'_{n-2}$, et ainsi de suite; on arrivera +ainsi à $A'_1x_n + B'_1$ où $A'_1$ et $B'_1$ peuvent être mis sous la forme $A'x_1 ++ B'$ dans laquelle $A'$ et $B'$ représentent des fonctions rationnelles +des données $p$, $q$\dots. Puisque $F(x_n) = 0$ pour une des valeurs de $x_n$, +on aura $A'_{n-1} %[**errata] +x_n+B'_{n-1}=0$, et il faudra que $A'_{n-1}$ et $B'_{n-1}$ soient nuls +séparément, sans quoi l'équation $x^2_n+A_{n-1}x_n+B_{n-1}=0$ serait satisfaite +pour la valeur $-\dfrac{B'_{n-1}}{A'_{n-1}}$ qui est une fonction rationnelle de +$x_{n-1}$,\dots $x_1$, $p$, $q$\dots, ce qui est impossible; de même, $A'_{n-1}$ et $B'_{n-1}$ %[**errata] +étant nuls, $A'_{n-2}$, et $B'_{n-2}$ le seront aussi et ainsi de suite jusqu'à $A'$ +et $B'$ qui seront nuls identiquement, puisqu'ils ne renferment que des +quantités données. Mais alors $A'_1$, et $B'_1$, qui prennent également la +forme $A'x_1 + B'$ quand on met pour $x$, chacune des racines de l'équation +$x^2_1 + Ax_1 + B = 0$, s'annuleront pour ces deux valeurs de $x_1$; +pareillement, les coefficients $A'_2$ et $B'_2$ peuvent être mis sous la forme +$A'_1x_2 + B'_1$ en prenant pour $x_2$ l'une ou l'autre des racines de l'équation +$x^2_2 +A_1x_2 +B_1 = 0$, correspondantes à chacune des valeurs de +$x_1$, et par conséquent ils s'annulleront pour les quatre valeurs de $x_2$ et +pour les deux valeurs de $x_1$ qui résultent de la combinaison des deux +premières équations (A). On démontrera de même que $A'_3$ et $B'_3$ seront +nuls en mettant pour $x_3$ les $2^3$ valeurs tirées des trois premières équations +(A) conjointement avec les valeurs correspondantes de $x_2$ et $x_1$; +\marginpage % *** File: 377.png +et continuant de cette manière on conclura que $F(x_n)$ s'annulera pour +les $2^n$ valeurs de $x_n$ auxquelles conduit le système de toutes les +équations (A) ou pour les $2^n$ racines de $f(x) = 0$. Ainsi une équation +$F(x) = 0$ à coefficients rationnels ne peut admettre une racine de $f(x) = 0$ +sans les admettre toutes; donc l'équation $f(x) = 0$ est irréductible. + +\mysection{IV.} + +Il résulte immédiatement du théorème précédent que tout problème +qui conduit à une équation irréductible dont le degré n'est pas une +puissance de $2$, ne peut être résolu avec la ligne droite et le cercle. +Ainsi \emph{la duplication du cube}, qui dépend de l'équation $x^3 - 2a^3 = 0$ +toujours irréductible, ne peut être obtenue par la Géométrie élémentaire. +Le problème \emph{des deux moyennes proportionnelles}, qui conduit +à l'équation $x^3 - a^2b = 0$ est dans le même cas toutes les fois que le +rapport de $b$ à $a$ n'est pas un cube. La \emph{trisection de l'angle} dépend de +l'équation $x^3 -\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}a = 0$; cette équation est irréductible si elle +n'a pas de racine qui soit une fonction rationnelle de $a$ et c'est ce +qui arrive tant que $a$ reste algébrique; ainsi le problème ne peut être +résolu en général avec la règle et le compas. Il nous semble qu'il n'avait +pas encore été démontré rigoureusement que ces problèmes, si +célèbres chez les anciens, ne fussent pas susceptibles d'une solution +par les constructions géométriques auxquelles ils s'attachaient particulièrement. + +La division de la circonférence en parties égales peut toujours se +ramener à la résolution de l'équation $x^m - 1= 0$, dans laquelle $m$ +est un nombre premier ou une puissance d'un nombre premier. Lorsque +$m$ est premier, l'équation $\dfrac{x^m-1}{x-1}=0$ du degré $m - 1$ est irréductible, +comme M.~Gauss l'a fait voir dans ses \emph{Disquisitiones arithmeticæ}, +section VII; ainsi la division ne peut être effectuée par des constructions +géométriques que si $m - 1 = 2^n$. Quand $m$ est de la forme $a^\alpha$, on +peut prouver, en modifiant légèrement la démonstration de M.~Gauss +que l'équation de degré $(a - 1)a^{\alpha-1}$, obtenue en égalant à zéro le +quotient de $x^{a^\alpha}\! - 1$ par $x^{a^{\alpha-1}}\! - 1$, est irréductible; il faudrait donc +que $(a - 1)a^{\alpha-1}$ fût de la forme $2^n$ en même temps que $a-1$, ce qui +est impossible à moins que $a = 2$. Ainsi, \emph{la division de la circonférence +en N parties ne peut être effectuée avec la règle et le compas +que si les facteurs premiers de N différents de $2$ sont de la forme} $2^n + 1$ +\emph{et s'ils entrent seulement à la première puissance dans ce nombre}. Ce +\marginpage % *** File: 378.png +principe est annoncé par M.~Gauss à la fin de son ouvrage, mais il n'en +a pas donné la démonstration. + +Si l'on pose $x=k+A'\sqrt[m']{a'}+A''\sqrt[m'']{a''}+$ etc. $m'$, $m''$\dots\ étant des +puissances de 2, et $k$, $A'$, $A''$\dots $a'$, $a''$\dots\ des nombres commensurables, +la valeur de $x$ se construira par la ligne droite et le cercle, en +sorte que $x$ ne peut être racine d'une équation irréductible d'un degré +$m$ qui ne soit pas une puissance de 2. Par exemple, on ne peut avoir, +$x=A\sqrt[m]{a}$, si $(\sqrt[m]{a})^p$ est irrationnel pour $p < m$; on démontrerait +facilement que $x$ ne peut prendre cette valeur lors même que $m$ serait +une puissance de 2. Nous retrouvons ainsi plusieurs cas particuliers +des théorèmes sur les nombres incommensurables que nous +avons établis ailleurs\footnote{% +\emph{Journal de l'École Polytechnique}, Cahier XXVI. +}. + +\mysection{V.} + +Supposons qu'un problème ait conduit à une équation de degré +$2^n$, $F(x) = 0$ et qu'on se soit assuré que cette équation est irréductible; +il s'agit de reconnaître si la solution peut s'obtenir au moyen d'une +série d'équations du second degré. + +Reprenons les équations (A): +\begin{flalign*}&(A) +\quad\left\{ +\begin{aligned} +&x^2_1+Ax_1+B=0,\quad x^2_2+A_1x_2+B_1=0 \ldots,\\ +&x^2_{n-1}+A_{n-2}x_{n-1}+B_{n-2}=0, \quad x^2_n + A_{n-1}x_n + B_{n-1}=0. +\end{aligned}\right.& +\end{flalign*} +Il faudra construire l'équation $f(x) = 0$, à coefficients rationnels, qui +donne toutes les valeurs de $x_n$ et l'identifier avec l'équation donnée +$F(x) = 0$. Pour faire ce calcul on remarque que $A_{n-1}$ et $B_{n-1}$ se ramènent +à la forme $a_{n-1}x_{n-1} + a'_{n-1}$ et $b_{n-1}x_{n-1} + b'_{n-1}$ en sorte que +l'élimination de $x_{n-1}$ entre les deux dernières équations (A) se fait +immédiatement, ce qui donne une équation du quatrième degré en $x_n$; +on y remplacera ensuite $a_{n-1}$ par $a''_{n-1}x_{n-2} + a'''_{n-1}$, $a'_{n-1}$ par $a_{n-1}\IV x_{n-2} + a_{n-1}\V $, +$b_{n-1}$ par $b''_{n-1}x_{n-2}+b'''_{n-1}$, $b'_{n-1}$ par $b\IV _{n-1}x_{n-2}+b\V _{n-1}$ et $A_{n-2}$, $B_{n-2}$ par +$a_{n-2}x_{n-2} + a'_{n-2}$, $b_{n-2}x_{n-2} + b'_{n-2}$ puis on éliminera $x_{n-2}$ entre l'équation +du 4\ieme\ degré déjà obtenue et l'équation $x^2_{n-2}+A_{n-3}x_{n-2}+B_{n-3}=0$; +et ainsi de suite. Les derniers termes des séries $a_{n-1}$, $a'_{n-1}$, $a''_{n-1}$\dots, +$b_{n-1}$, $b'_{n-1}$\dots, etc., doivent être des fonctions rationnelles des coefficients +de $F(x) = 0$; si l'on peut leur assigner des valeurs rationnelles +qui satisfassent aux équations de condition obtenues en identifiant, on +reproduira les équations (A) dont le système équivaut à l'équation +\marginpage % *** File: 379.png +$F(x) = 0$; si les conditions ne peuvent être vérifiées en donnant des +valeurs rationnelles aux indéterminées introduites, le problème ne +peut être ramené au second degré. + +On peut simplifier ce procédé, en supposant que les racines de chacune +des équations (A) donnent le dernier terme de la suivante; ainsi, +l'on peut prendre $B_{n-1}$ pour l'inconnue de l'avant-dernière équation, +puisque $B_{n-1}= b_{n-1}x_{n-1}+ b'_{n-1}$ d'où $x_{n-1}=\dfrac{B_{n-1}-b'_{n-1}}{b_{n-1}}$; de cette +manière les éliminations se font plus rapidement et l'on introduit +quatre quantités indéterminées dans l'équation du quatrième degré +qui résulte de la première élimination, huit dans l'équation du huitième +degré, etc., en sorte que les conditions obtenues en identifiant, +sont en même nombre que les quantités à déterminer. Mais on écarte +aussi à l'avance le cas où l'une des quantités telle que $b_{n-1}$ serait nulle, +et il faut étudier ce cas séparément. + +Soit, par exemple, l'équation $x^4 + px^2 + qx + r = 0$. Prenons de +suite les équations du second degré sous la forme $x_1^2 + Ax_1 + B = 0$, +et $x^2 + (ax_1 + a') x + x_1 = 0$; en éliminant $x_1$ et identifiant, on aura, +\[ +2a' - Aa = 0,\quad a'^2 - Aaa' - A + a^2B = p,\quad 2aB - a'A = q,\quad B = r, +\] +d'où +\[ +B = r,\quad a= \frac{2q}{4r-A^2},\quad a' = \frac{Aq}{4r-A^2},\quad A^3+pA^2-4rA+q^2-4rp = 0. +\] +Comme $B$, $a$ et $a'$ sont exprimés rationnellement au moyen de $A$, $p$, +$q$, $r$, il faut et il suffit que l'équation du troisième degré en $A$ ait pour +racine une fonction rationnelle des données. La condition est toujours +satisfaite quand $q = 0$, quels que soient $p$ et $r$, car $A = -p$ satisfait +alors à la dernière équation. + +En prenant $x_1$ pour dernier terme de la deuxième équation du second +degré, on a exclu le cas où ce terme serait indépendant de la +racine de la première équation; mais en le traitant directement, on ne +trouve aucune solution de la question qui ne soit comprise dans les +équations ci-dessus. + +Ainsi, par un calcul plus ou moins long, on pourra toujours s'assurer +si un problème donné est susceptible d'être résolu au moyen +d'une série d'équations du second degré, pourvu qu'on sache reconnaître +si une équation peut être satisfaite par une fonction rationnelle +des données, et si elle est irréductible. Une équation de degré $n$ +sera irréductible lorsqu'en cherchant les diviseurs de son premier +\marginpage % *** File: 380.png +membre de degrés 1, 2\dots$\dfrac{n}{2}$, on n'en trouve aucun dont les coefficients +soient fonctions rationnelles des quantités données. + +La question peut donc toujours être ramenée à rechercher si une +équation algébrique $F(x)=0$ à une seule inconnue peut avoir pour +racine une fonction de ce genre. Pour cela, il y a plusieurs cas à considérer. +\primo Si les coefficients ne dépendent que de nombres donnés +entiers ou fractionnaires, il suffira d'appliquer la méthode des racines +commensurables. \secundo Il peut arriver que les données représentées par les +lettres $p$, $q$, $r$ soient susceptibles de prendre une infinité de valeurs, sans +que la condition cesse d'être remplie, comme quand elles désignent +plusieurs lignes prises arbitrairement; alors, après avoir ramené l'équation +$F(x)=0$ à une forme telle que ses coefficients soient des fractions +entières de $p$, $q$, $r$\dots, et que celui du premier terme soit l'unité, on +remplacera $x$ par $a_mp^m + %[**errata] +a_{m-1}p^{m-1} + \dotsb + a_0$, et l'on égalera à zéro +les coefficients des différentes puissances dans le résultat; les équations +obtenues en $a_m$, %[**errata] +$a_{m-1}$\dots\ seront traitées comme l'équation en $x$, +c'est-à-dire qu'on y remplacera ces quantités par des fonctions entières +de $q$, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'ayant épuisé toutes les lettres on +soit arrivé à des équations numériques qui rentreront dans le premier +cas. \tertio Lorsque les données sont des nombres irrationnels, ils doivent +être racines d'équations algébriques qu'on peut supposer irréductibles; +dans ce cas, si l'on remplace $x$ par $a_mp^m + \dotsb + a_0$ dans $F(x) = 0$, +le premier membre de l'équation en $p$, ainsi obtenue, devra être +divisible par celui de l'équation irréductible dont le nombre $p$ est racine; +en exprimant que cette division se fait exactement, on arrivera +à des équations en $a_m$, $a_{m-1}$\dots, que l'on traitera comme l'équation +$F(x)= 0$, jusqu'à ce que l'on parvienne à des équations numériques. +On doit remarquer que $m$ peut toujours être pris inférieur au degré +de l'équation qui donne $p$. + +Ces procédés sont d'une application pénible en général, mais on +peut les simplifier et obtenir des résultats plus précis dans certains cas +très étendus, que nous étudierons spécialement. + +\jmpafin + +% *** File: 381.png + +\jmpapaper{SOLUTION}{} +{D'un problème de Probabilité;} +{Par M.~POISSON.}{} +\label{art32} + +Ayant été chargé, cette année, du cours de Calcul des Probabilités +qui se fait à la Faculté des Sciences, j'ai donné, dans ce cours, les +solutions de plusieurs problèmes, parmi lesquelles je citerai la suivante, +à cause des résultats curieux, et que je ne crois pas connus, +auxquels elle conduit. + +Trois joueurs $A$, $B$, $C$, jouent, deux à deux, une suite de coups; +chaque nouveau coup est joué par le joueur qui a gagné le coup précédent, +avec celui qui n'y a pas joué: le sort désigne les deux joueurs +qui jouent au premier coup. La partie est finie, quand un des trois +joueurs a gagné consécutivement les deux autres, ou deux coups de +suite; et c'est ce joueur qui a gagné la partie. On demande de +déterminer, pour les trois joueurs, les probabilités de gagner la partie, +d'après les chances qu'ils ont de gagner à chaque coup, et selon que +le sort les a désignés pour jouer ou pour ne pas jouer au premier +coup. + +Lorsque $A$ et $B$ jouent l'un contre l'autre, je représente par $\gamma$ la +chance de $A$ pour gagner le coup et, conséquemment, par $1 - \gamma$ celle +de $B$. Lorsque ce sont $C$ et $A$ qui jouent ensemble, je représente de +même par $\beta$ la chance de $C$ et par $1 - \beta$ celle de $A$. Enfin, quand le +coup se joue entre $B$ et $C$, je désigne par $\alpha$ la chance de $B$ et par $1 - \alpha$ +celle de $C$. + +Je suppose que le premier coup soit joué entre $A$ et $B$, et gagné par +$A$. Il est facile de voir que, $n$ étant un nombre entier quelconque, et +tant que la partie ne sera pas finie, tous les coups dont le rang est +\marginpage % *** File: 382.png +marqué par un nombre de la forme $3n - 2$, seront joués entre $A$ +et $B$, et gagnés par $A$; tous ceux dont le rang est marqué par un +nombre de la forme $3n - 1$, seront joués entre $C$ et $A$, et gagnés +par $C$; et tous ceux dont le rang est marqué par un nombre de la +forme $3n$, seront joués entre $B$ et $C$, et gagnés par $B$. + +J'appelle $x_{3n-2}$ la probabilité que la partie ne sera pas encore terminée, +au coup dont le rang est $3n - 2$, et $x'_{3n-2}$ la probabilité +qu'elle se terminera précisément à ce coup. Je désigne de même par +$y_{3n-1}$ la probabilité que la partie ne se terminera pas dans les $3n - 1$ +premiers coups, et par $y'_{3n-1}$ la probabilité qu'elle finira au dernier +de ces coups. Enfin, soient $z_{3n}$ la probabilité que la partie ne +sera pas terminée dans les $3n$ premiers coups, et $z'_{3n}$ la probabilité +qu'elle finira seulement au coup dont le rang est $3n$. + +Ces diverses notations, les rangs des coups auxquels elles répondent, +les joueurs qui jouent à chacun de ces coups, et leurs chances de +gagner, seront faciles à se représenter par ce tableau: +\[\begin{array}{l @{\qquad}|@{\qquad} l @{\qquad}|@{\qquad} l} +3n-2, & 3n-1, & 3n,\\ +x_{3n-2}, & y_{3n-1}, & z_{3n},\\ +x'_{3n-2}, & y'_{3n-1}, & z'_{3n},\\ +A\text{et }B, & C\text{et }A, & B\text{et }C,\\ +\gamma\text{et }1-\gamma,& \beta\text{et }1-\beta,& \alpha\text{et }1-\alpha. +\end{array}\] + +Les valeurs des quantités $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, sont données, et peuvent s'étendre +depuis zéro jusqu'à l'unité. Elles seront toutes trois égales à +$\frac{1}{2}$, lorsque les trois joueurs seront d'égale force. Elles pourront être +toutes trois plus grandes que $\frac{1}{2}$: ce cas aura lieu, quand A jouant +contre $B$ sera le plus fort; que $C$ jouant contre $A$ sera aussi le plus +fort; que $B$ jouant contre $C$ sera encore le plus fort, ce qui n'est +point incompatible avec les deux premières suppositions. Concevons, +par exemple, que l'on ait trois urnes $A'$, $B'$, $C'$, contenant des boules +blanches et des boules noires, et dont chacune renferme plus de boules +de la première couleur que de la seconde. Supposons aussi que le jeu +entre $A$ et $B$, consiste à tirer une boule de $C'$, et que $A$ gagne, si cette +\marginpage % *** File: 383.png +boule est blanche; qu'ensuite, le jeu entre $C$ et $A$ consiste à tirer une +boule de $B'$, et que la chance favorable à $C$ soit l'arrivée d'une boule +blanche; et qu'enfin, le jeu entre $B$ et $C$ soit de tirer une boule de $A'$, +qui fera gagner $B$, quand elle sera blanche: dans ce cas, on aura +\[ +\gamma >\frac{1}{2},\quad \beta >\frac{1}{2},\quad \alpha >\frac{1}{2}. +\] +Il pourra arriver que l'unité ou zéro soit la valeur de l'une de ces +quantités $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, de deux d'entre elles, ou de toutes trois: le cas +de $\gamma = 1$, $\beta = 1$, $\alpha = 1$, par exemple, sera celui où $A$ sera certain +de gagner $B$, $C$ de gagner $A$, et $B$ de gagner $C$. + +Cela posé, pour que la partie ne soit pas finie, au coup dont le rang +est $3n + 1$ ou $3(n + 1) - 2$, joué entre $A$ et $B$, il faut, et il suffit +\primop.~qu'elle ne le soit pas au coup précédent, joué entre $B$ et $C$, et gagné +par $B$; \secundop.~que le coup dont le rang est $3n + 1$ soit gagné par $A$. +La probabilité $x_{3n+1}$ de la partie non terminée à ce coup, sera donc le +produit de la probabilité $\gamma$ qu'il sera gagné par $A$, et de la probabilité +$z_{3n}$ que la partie ne sera pas finie au coup dont le rang est $3n$, de +sorte que l'on aura +\[ +x_{3n+1} = \gamma z_{3n}. +\] +On trouvera de même +\[ +x'_{3n+1} = (1-\gamma)z_{3n}; +\] +car pour que la partie finisse précisément au coup dont le rang est +$3n+1$, il faudra et il suffira qu'elle ne soit pas terminée au coup précédent, +et que le joueur $B$ qui aura gagné celui-ci et dont $1-\gamma$ est la +chance de gagner $A$ au coup dont le rang est $3n+1$, gagne effectivement +ce second coup. Par un raisonnement semblable, appliqué successivement +aux coups dont les rangs sont $3n$ et $3n - 1$, on obtiendra +ces deux autres couples d'équations +\begin{alignat*}{2} +z_{3n}&=\alpha y_{3n-1}, &z'_{3n} &= (1-\alpha) y_{3n-1},\\ +y_{3n-1}&=\beta x_{3n-2},\quad &y'_{3n-1}&= (1-\beta) x_{3n-2}, +\end{alignat*} +qui se déduisent d'ailleurs du couple précédent, par de simples changements +de lettres. +\marginpage % *** File: 384.png + +On tire de ces équations +\[ +x_{3n+1} z_{3n} y_{3n-1} = \alpha\beta\gamma z_{3n} y_{3n-1} x_{3n-2}; +\] +et en faisant, pour abréger, +\[ +\alpha\beta\gamma = k, +\] +il en résulte +\[ +x_{3n+1} = kx_{3n-2}; +\] +équation aux différences finies, dont l'intégrale se trouve en y mettant +successivement 1, 2, 3,\dots $n - 1$, à la place de $n$, multipliant +membre à membre les $n - 1$ équations qui s'obtiendront de cette +manière, et réduisant; ce qui donne +\[ +x_{3n-2} = k^{n-1}x_1. +\] +Le facteur $x_1$ est la constante arbitraire; au premier coup, ou quand +$n = 1$, il est certain que la partie n'est pas terminée; on a donc +$x_{3\ldot 1-2} = x_1 = 1$; et de là, et des équations précédentes, on conclut +ces valeurs +\begin{gather*} +x_{3n-2} = k^{n-1}, \qquad y_{3n-1} = \beta k^{n-1},\qquad z_{3n} = \alpha\beta k^{n-1},\\ +y'_{3n-1} = (1-\beta)k^{n-1}, \quad z'_{3n} = (1-\alpha)\beta k^{n-1},\quad x'_{3n+1} = (1-\gamma)\beta\alpha k^{n-1}. +\end{gather*} + +Ces résultats se vérifieront facilement dans les cas extrêmes où l'une +des quantités $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, sera zéro ou l'unité. Si, par exemple, elles +sont toutes trois l'unité, les trois probabilités $y'_{3n-1}$, $z'_{3n}$, $x'_{3n+1}$, +seront nulles, et il sera certain que la partie ne finira jamais, ce qui +est évident. Si l'une des fractions $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, est zéro, on aura aussi +$k = 0$; ces trois probabilités seront donc nulles, excepté pour $n = 1$; +par conséquent, la partie ne pourra finir qu'au second coup, ou au troisième, +ou au quatrième; les probabilités respectives de ces trois +événements, seront +\[ +y'_2 = 1 - \beta,\quad z'_3 = (1-\alpha)\beta,\quad x'_4 = (1-\gamma)\beta\alpha; +\] +et comme leur somme est l'unité, à cause de $\alpha\beta\gamma = 0$, il s'ensuit +que la partie finira certainement à l'un de ces trois coups. +\marginpage % *** File: 385.png +Dans le cas de $\alpha=\frac{1}{2}$, $\beta=\frac{1}{2}$, $\gamma=\frac{1}{2}$, où les trois joueurs sont +d'égale force, on a $k=(\frac{1}{2})^3$. Quel que soit le nombre entier $m$, +la probabilité que la partie ne sera pas terminée dans les $m$ premiers +coups, devient donc $(\frac{1}{2})^{m-1}$, d'après les trois premières équations +précédentes; et la probabilité qu'elle finira précisément au $m$\iieme\ +coup, devient aussi $(\frac{1}{2})^{m-1}$, d'après les trois dernières. + +Dans le cas général, où $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, sont des fractions quelconques, si +l'on représente par $q_{3n-1}$, la probabilité que la partie finira à l'un des $n$ +coups dont les rangs répondent aux nombres 2, 5, 8, 11,\dots $3n - 1$; +par $r_{3n}$, la probabilité qu'elle se terminera à l'un des $n$ coups dont +les rangs répondront à 3, 6, 9, 12,\dots $3n$; par $p_{3n+1}$ la probabilité +qu'elle se terminera à l'un des $n$ coups dont les nombres 4, 7, 10, +13,\dots $3n + 1$, marquent les rangs, on aura +\begin{alignat*}{5} +q_{3n-1} &={}&y'_2& +{}&y'_5& +{}&y'_8\: & +{}&y'_{11}& + \dotsb + y'_{3n-1},\\ +r_{3n} &={}&z'_3& +{}&z'_6& +{}&z'_9\: & +{}&z'_{12}& + \dotsb + z'_{3n},\\ +p_{3n+1} &={}&x'_4& +{}&x'_7& +{}&x'_{10}& +{}&x'_{13}& + \dotsb + x'_{3n+1}; +\end{alignat*} +et d'après les formules précédentes, on en conclura +\begin{align*} +q_{3n-1} &= \frac{(1-\beta)(1-k^n)}{1-k},\\ +r_{3n} &= \frac{\beta(1-\alpha)(1-k^n)}{1-k},\\ +p_{3n+1} &= \frac{\alpha\beta(1-\gamma)(1-k^n)}{1-k}. +\end{align*} + +Si nous appelons $s_n$ la probabilité que la partie finira dans les $3n$ +premiers coups, à partir du second inclusivement, nous aurons +\[ +s_n = q_{3n-1} + r_{3n} + p_{3n+1}; +\] +et à cause de +\[ +1-\beta+\beta(1-\alpha)+\alpha\beta(1-\gamma)=1-\alpha\beta\gamma=1-k, +\] +il en résultera +\marginpage % *** File: 386.png +en sorte que cette probabilité sera la même, quels que soient les deux +joueurs qui joueront le premier coup, et quel que soit aussi, le joueur +qui le gagnera. Il n'en sera pas de même à l'égard des probabilités que +la partie finira dans les $3n - 1$ ou dans les $3n + 1$ premiers coups, non +compris le premier de tous; probabilités qui se déduiront de $s_n$, en +en retranchant la valeur de $x'_{3n+1}$ ou en y ajoutant celle de $y'_{3n+2}$. Si +l'on exclut le cas où les trois quantités $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, sont l'unité, et où l'on +a $k= 1$, on voit que la probabilité que la partie ne se prolongera pas +au-delà d'un nombre de coups donnés, approchera indéfiniment de +l'unité à mesure que ce nombre deviendra plus grand, mais qu'elle ne +se changerait dans la certitude que si ce nombre devenait infini. Dans +le cas des joueurs d'égale force, en désignant par $m$ un nombre entier +quelconque et par $t_m$ la probabilité que la partie finira dans les $m$ premiers +coups à partir du second inclusivement, on aura +\[ +t_m = 1 - \Big(\frac{1}{2}\Big)^m; +\] +de sorte qu'il suffira, par exemple, qu'on ait $m = 10$, pour que la +probabilité $1 -t_m$ de l'événement contraire, tombe au-dessous d'un +millième. + +Maintenant soient $a$, $b$, $c$, les probabilités que la partie prolongée +à l'infini, s'il le faut sera gagnée respectivement par $A$, $B$, $C$. Pour +que $A$ gagne il est nécessaire et il suffit que la partie se termine à un +coup dont le rang est marqué par un nombre de la forme $3n - 1$; +la valeur de $a$ se déduira donc de celle de $q_{3n-1}$ en y faisant $n = \infty$; +ce qui donne +\[ +a = \frac{1-\beta}{1-k}, +\] +en excluant le cas où l'on a $k = 1$, et où la partie ne finit jamais. On +verra de même que $b$ et $c$ sont les valeurs de $p_{3n+1}$ et $r_{3n}$ qui répondent +à $n = \infty$; en sorte que l'on a +\[ +b = \frac{\alpha\beta(1-\gamma)}{1-k},\quad c = \frac{\beta(1-\alpha)}{1-k}. +\] +Comme il est certain que la partie sera gagnée par un des trois +\marginpage % *** File: 387.png +joueurs, on devra avoir +\[ +a + b + c = 1; +\] +ce qui a lieu effectivement. + +Chacune de ces fractions $a$, $b$, $c$, multipliée par l'\emph{enjeu}, ou la +somme des trois \emph{mises}, sera l'espérance mathématique de l'un des +joueurs; lequel aura de l'avantage ou du désavantage, selon que ce +produit sera plus grand ou plus petit que sa mise. A une époque quelconque +du jeu, où la partie n'est pas finie, et où $A$ vient de gagner +$B$; si les joueurs conviennent de ne point achever, l'enjeu devra être +partagé entre $A$, $B$, $C$, proportionnellement aux fractions $a$, $b$, $c$. + +Il résulte de leurs expressions, que dans le cas même des joueurs +d'égale force, la chance de gagner la partie est inégale pour les joueurs +qui jouent les premiers, et pour celui qui n'entre au jeu qu'au second +coup. En effet, en faisant +\[ +\alpha=\frac{1}{2},\quad\beta=\frac{1}{2}, \quad\gamma=\frac{1}{2}, \quad k=\frac{1}{8}, +\] +on aura +\[ +a=\frac{4}{7},\quad b=\frac{1}{7},\quad c=\frac{2}{7}. +\] +Après le premier coup, le joueur qui l'a gagné a donc droit à $\dfrac{4}{7}$ +de l'enjeu, celui qui l'a perdu n'a droit qu'à $\dfrac{1}{7}$, et celui qui n'a pas +joué a droit à $\dfrac{2}{7}$; mais avant que ce coup ne soit joué, les deux +joueurs que le sort a désigné pour le jouer, ont une égale chance de +le gagner; leur probabilité de gagner la partie est donc alors +$\dfrac{1}{2}(a+b)$, ou $\dfrac{5}{14}$, c'est-à-dire qu'elle surpasse de $\dfrac{1}{14}$ la chance $\dfrac{2}{7}$, ou $\dfrac{4}{14}$ +du joueur qui n'entre qu'au second coup. Si la mise de chaque joueur +est représentée par $\mu$, et que l'on convienne de ne pas jouer la partie, +après que le sort a désigné les deux joueurs qui devaient la commencer, +chacun de ceux-ci devra prendre $\dfrac{15}{14}$ de $\mu$, sur l'enjeu égal à $3\mu$, et le +troisième joueur $\dfrac{12}{14}$ de $\mu$ seulement; ou autrement dit, les trois joueurs +\marginpage % *** File: 388.png +ayant retiré leurs mises, le troisième devra, en outre, donner $\dfrac{1}{14}$ de +$\mu$ à chacun des deux premiers. + +En général, avant que le sort ait désigné les deux joueurs qui doivent +jouer le premier coup, les probabilités de gagner la partie seront +différentes de $a$, $b$, $c$; pour les trois joueurs $A$, $B$, $C$, je les représenterai +respectivement par $f$, $g$, $h$; chacune d'elles dépendra des trois +chances données $\alpha$, $\beta$, $\gamma$; et il suffira de déterminer la valeur de $f$ en +fonction de $\alpha$, $\beta$, $\gamma$: les valeurs de $g$ et $h$ s'obtiendront de la même +manière, ou se déduiront de $f$ par de simples permutations. + +Il pourra arriver que le premier coup soit joué par $A$ et $B$, par $C$ et +$A$, par $B$ et $C$. Ces trois combinaisons étant également probables, la +probabilité de chacune d'elles sera égale à $\dfrac{1}{3}$; de plus, dans la première +combinaison, la probabilité que le premier coup sera gagné par $A$ aura +$\gamma$ pour valeur, et par $B$, elle sera $1 - \gamma$; dans la seconde, la probabilité +que $C$ gagnera le premier coup sera $\beta$, et la probabilité qu'il sera +gagné par $A$ aura $1-\beta$ pour valeur; dans la dernière, il y aura la probabilité +$\alpha$ que le premier coup sera gagné par $B$, et la probabilité $1 - \alpha$ +qu'il le sera par $C$: chacune de ces trois combinaisons donnant +lieu à deux cas différents, il y aura donc six cas possibles, dont les +probabilités respectives seront +\[ +\frac{1}{3}\gamma,\quad \frac{1}{3}(1-\gamma),\quad \frac{1}{3}\beta, \quad \frac{1}{3}(1-\beta), \quad \frac{1}{3}\alpha, \quad \frac{1}{3}(1-\alpha). +\] +Or, il s'agira de déterminer successivement, dans chacun de ces six cas, +la probabilité que $A$ gagnera la partie; en multipliant ensuite chaque +probabilité par celle du cas à laquelle elle répond, et faisant la somme +des six produits, on aura la valeur complète de $f$. + +Dans le premier cas, où le coup est joué par $A$ et $B$, et gagné +par $A$, la probabilité que $A$ gagnera la partie sera la valeur +précédente de $a$; le premier terme de la valeur de $f$ sera donc +$\dfrac{1}{3}\gamma\alpha$, ou +\[ +\frac{\gamma(1-\beta)}{3(1-k)}. +\] +\marginpage % *** File: 389.png +Dans le second cas, où c'est $A$ jouant contre $B$, qui perd le premier +coup, la probabilité que $A$ gagnera la partie sera la valeur précédente +de $b$, dans laquelle on devra changer $\gamma$ en $1 - \gamma$, $\beta$ en +$1 - \alpha$, $\alpha$ en $1 - \beta$; en multipliant le résultat par $\dfrac{1}{3}(1-\gamma)$, on +aura donc +\[ +\frac{k'\gamma}{3(1-k')}, +\] +pour le second terme de $f$, où l'on a fait, pour abréger, +\[ +(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma)=k'. +\] + +Dans le troisième cas, où le premier coup sera joué par $C$ et $A$, +et gagné par $C$, la probabilité de $A$ pour gagner la partie sera ce que +devient l'expression de $b$, relative au joueur qui perd le premier +coup, lorsqu'on y change $\gamma$ en $\beta$, $\beta$ en $\alpha$, $\alpha$ en $\gamma$; en multipliant +ensuite par $\dfrac{1}{3}\beta$, il en résultera +\[ +\frac{k(1-\beta)}{3(1-k)}, +\] +pour le troisième terme de $f$. + +Dans le quatrième cas, où le premier coup est gagné par $A$ jouant +contre $C$, la probabilité que $A$ gagnera la partie sera l'expression de +$a$, dans laquelle il faudra changer $\gamma$ en $1-\beta$, $\beta$ en $1 - \gamma$, $\alpha$ en $1 - \alpha$: +en multipliant le résultat par $\dfrac{1}{3}(1 - \beta)$, on aura ensuite +\[ +\frac{\gamma(1-\beta)}{3(1-k')}, +\] +pour le quatrième terme de $f$. + +Dans le cinquième cas, où le premier coup est joué par $B$ et $C$, et +gagné par $B$, la probabilité que $A$ gagnera la partie sera ce que devient +l'expression de $c$, relative au joueur qui ne joue pas à ce premier +coup, quand on y change $\gamma$ en $\alpha$, $\beta$ en $\gamma$, $\alpha$ en $\beta$; en multipliant +le résultant par $\dfrac{1}{3}\alpha$, il vient +\[ +\frac{\alpha\gamma(1-\beta)}{3(1-k)}, +\] +pour le cinquième terme de $f$. + +\marginpage % *** File: 390.png +Enfin, dans le sixième et dernier cas, où le premier coup est gagné +par $C$ jouant contre $B$, la probabilité que $A$ gagnera la partie se déduira +encore de l'expression de $c$, mais en changeant $\gamma$ en $1 - \alpha$, $\beta$ en +$1 - \beta$, $\alpha$ en $1 - \gamma$; ce qui, après avoir multiplié par $\frac{1}{3}(1-\alpha)$, +donne +\[ +\frac{\gamma(1-\alpha)(1-\beta)}{3(1-k')}, +\] +pour le dernier terme de $f$. + +Si l'on fait actuellement la somme de ces six valeurs partielles de +$f$, on aura, pour sa valeur complète, +\[ +f=\frac{\gamma(1-\beta)(1+\alpha+\alpha\beta)}{3(1-k)} + +\frac{\gamma k'+\gamma(1-\beta)+\gamma(1-\alpha)(1-\beta)}{3(1-k')}. +\] + +La raison des diverses permutations des lettres $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, que nous +venons d'indiquer, est facile à saisir en jetant les yeux sur le tableau +présenté plus haut. On verra de même que pour déduire de l'expression +de $f$, celle de $g$, il suffira de changer $\gamma$ en $\alpha$, $\beta$ en $\gamma$, $\alpha$ +en $\beta$, dans $f$; et pour obtenir ensuite la valeur de $A$, il faudra répéter +encore cette permutation tournante dans la valeur de $g$, ou +bien changer tout de suite $\gamma$ en $\beta$, $\beta$ en $\alpha$, $\alpha$ en $\gamma$, dans la valeur +de $f$. De cette manière, nous aurons +\begin{align*} +g=&\frac{\alpha(1-\gamma)(1+\beta+\beta\gamma)}{3(1-k)} + +\frac{\alpha k'+\alpha(1-\gamma)+\alpha(1-\beta)(1-\gamma)}{3(1-k')},\\ +h=& \frac{\beta(1-\alpha)(1+\gamma+\gamma\alpha)}{3(1-k)} + +\frac{\beta k' +\beta(1-\alpha)+\beta(1-\gamma)(1-\alpha)}{3(1-k')}. +\end{align*} + +Quand les joueurs sont d'égale force, ou qu'on a $\alpha=\beta=\gamma=\frac{1}{2}$, +ces trois probabilités $f$, $g$, $h$, doivent être égales entre elles et à $\frac{1}{3}$; +ce qu'on vérifie aisément. Quelles que soient les chances $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, il +faut qu'on ait +\[ +f + g + h = 1, +\] +puisqu'il est certain que la partie sera gagnée par l'un des trois +joueurs, en excluant, toutefois, le cas où l'on aurait $k= 1$, et où +elle ne finirait pas. C'est aussi ce qu'il est aisé de vérifier, en ayant +égard à ce que $k$ et $k'$ représentent. + +Si les deux joueurs $B$ et $C$ sont d'égale force, soit lorsqu'ils jouent +\marginpage % *** File: 391.png +l'un contre l'autre, soit quand ils jouent contre $A$, il faudra faire +\[ +\alpha = \frac{1}{2},\quad \beta = 1 - \gamma; +\] +la quantité $\gamma$ pourra encore être une fraction quelconque; elle exprimera +la chance de $A$, de gagner chacun des coups où il jouera; et +$A$ sera plus fort ou plus faible que chacun des deux autres joueurs, +selon qu'on aura $\gamma > \frac{1}{2}$ ou $\gamma < \frac{1}{2}$. Pour ces valeurs de $\alpha$ et $\beta$, +on aura, comme cela doit être, +\[ +g = h = \frac{1}{2}(1-f); +\] +et la valeur de $f$ se réduira à +\[ +f = \frac{8\gamma^2 - 2\gamma^3}{3 (2 - \gamma + \gamma^2)}. +\] +Si la mise est la même pour chacun des trois joueurs, et qu'on +la représente par $\mu$, l'enjeu sera $3\mu$, et l'espérance mathématique de +$A$ aura $3\mu f$ pour valeur. Elle serait $2\mu \gamma$, si $A$ jouait toujours à mise +égale, mais en un seul coup, et contre un seul des deux autres +joueurs; dans le cas des mises égales, le joueur $A$ de force inégale, +doit donc préférer de jouer au jeu que nous considérons, contre les +joueurs $B$ et $C$ de forces égales, ou bien il doit choisir de jouer une +partie simple, contre $B$ ou $C$, selon que la différence $3\mu f - 2\mu \gamma$ est positive +ou négative. Or, d'après la valeur précédente de $f$, on a +\[ +3 \mu f - 2 \mu \gamma = \frac{2 \mu \gamma(2 - \gamma)(2\gamma - 1)}{2 - \gamma + \gamma^2}; +\] +quantité positive ou négative, selon que $\gamma$ surpasse $\frac{1}{2}$ ou est moindre. +Il s'ensuit donc que le joueur $A$, s'il est le plus fort, ou +si $\gamma$ surpasse $\frac{1}{2}$, augmentera encore son avantage, en choisissant la +première manière de jouer, et que s'il est le plus faible, ou si l'on a +$\gamma < \frac{1}{2}$, il diminuera son désavantage, en choisissant la seconde. + +Lorsque les joueurs, au lieu de mettre, une fois pour toutes, une +\marginpage % *** File: 392.png +somme au jeu, conviennent d'y mettre une somme $\mu$ à chaque fois +qu'ils y entrent, de sorte que l'enjeu croisse continuellement avec le +nombre des coups, l'espérance mathématique de chacun d'eux ne +sera plus la même que précédemment, et à force égale, par exemple, +l'avantage qui était tout à l'heure pour les joueurs qui jouent le +premier coup, sera maintenant pour celui qui n'entre qu'au second +coup. + +Afin de calculer commodément l'espérance mathématique de chaque +joueur, il faudra la diviser en deux parties: l'une positive, et provenant +des sommes que le joueur pourra recevoir aux différents coups +qui seront joués; l'autre négative, et provenant des sommes qu'il +pourra payer. Pour le joueur $A$ qui gagne le premier coup, je désignerai +par $a'$ la première partie, par $a\subprime$ la seconde, abstraction faite +du signe, et par $\phi$ l'excès de celle-là sur celle-ci. Je représenterai les +quantités analogues par $b'$, $b\subprime$, $\psi$, pour le joueur $B$ qui perd le premier +coup, et par $c'$, $c\subprime$, $\theta$, pour le joueur $C$ qui n'entre qu'au second +coup. De cette manière, on aura +\[ +\phi = a' - a\subprime , \quad\psi = b' - b\subprime ,\quad \theta = c' - c\subprime. +\] +Au $m$\iieme\ coup, si la partie n'est pas finie auparavant, l'enjeu sera +égal à $(m + 1)\mu$. Or, d'après ce qu'on a vu précédemment, les probabilités +que la partie sera finie, et gagnée alors par $A$, au second +coup, au cinquième, au huitième, au onzième, etc., seront +\[ +(1 - \beta),\quad (1 - \beta)k, \quad (1 - \beta)k^2, \quad (1 - \beta)k^3,\quad \etc; +\] +les gains attachés aux arrivées de ces événements étant donc +\[ +3\mu,\quad 6\mu,\quad 9\mu,\quad 12\mu, \quad \etc, +\] +il suit de la règle de l'espérance mathématique, que la valeur complète +de $a'$ sera la somme de ces deux séries multipliées terme à terme +et prolongées jusqu'à l'infini; ce qui donne +\[ +a' = 3 \mu (1 - \beta) \sum ik^{i-1}; +\] +la somme $\sum$ s'étendant à toutes les valeurs du nombre entier $i$, depuis +$i = 1$ jusqu'à $i = \infty$. Mais on a +\[ +\sum k^i = \frac{k}{1-k}; +\] +\marginpage % *** File: 393.png +et en différentiant par rapport à $k$, il vient +\[ +\sum ik^{i-1} = \frac{1 }{(1-k)^2}; +\] +par conséquent, on aura +\[ +a' = \frac{3\mu (1-\beta) }{(1-k)^2}. +\] + +Pour $A$ et $B$, il y a la certitude de jouer au premier coup, et pour +$C$, au second. Pour $A$, les probabilités de rentrer ensuite au jeu, +au quatrième coup, au septième, au dixième, au treizième, etc., +ou, ce qui est la même chose, les probabilités que la partie ne sera +pas terminée au troisième coup, au sixième, au neuvième, au douzième, +etc., seront, comme on l'a trouvé plus haut, +\[ +\alpha \beta,\quad \alpha \beta k,\quad \alpha \beta k^2,\quad \alpha \beta k^3,\quad \etc; +\] +la valeur complète de $a\subprime$ sera donc la somme de cette série infinie +de fractions, multipliée par $\mu$, et augmentée de $\mu$ pour la première +mise de $A$; en sorte que l'on aura +\[ +a\subprime = \mu + \frac{\mu \alpha \beta }{1-k}. +\] + +La probabilité que la partie se terminera au coup dont le rang est +marqué par un nombre de la forme $3n + 1$, auquel cas elle sera +gagnée par $B$, étant +\[ +\alpha \beta (1 - \gamma)k^{n-1}, +\] +et l'enjeu que $B$ recevra alors, ayant $3n\mu + 2\mu$ pour valeur, on en +conclut que la valeur complète de $b'$, sera +\[ +b' = \mu \alpha \beta (1 - \gamma) (3\sum nk^{n-1} + 2\sum k^{n-1}); +\] +les sommes $\sum$ s'étendant depuis n=1 jusqu'à $n=\infty$. Donc, en +ayant égard aux valeurs de ces deux sommes, nous aurons +\[ +b' = \frac{3\mu \alpha \beta (1 - \gamma) }{(1 - k)^2} + +\frac{2\mu \alpha \beta (1 - \gamma) }{1-k}. +\] +Par un raisonnement semblable, on trouvera de même +\marginpage % *** File: 394.png +\[ +c' = \frac{3\mu\beta(1-\alpha)}{(1-k)^2}+ \frac{\mu\beta(1-\alpha)}{1-k}. +\] +On obtiendra aussi, sans difficulté, +\[ +b\subprime = \mu + \frac{\mu\beta}{1-k},\quad c\subprime = \mu + \frac{\mu\alpha\beta\gamma}{1-k}; +\] +et de ces diverses valeurs, il résultera finalement +\begin{align*} +\phi &= \frac{3\mu(1-\beta)}{(1-k)^2} - \mu - \frac{\mu\alpha\beta}{1-k},\\ +\psi &= \frac{3\mu\alpha\beta(1-\gamma)}{(1-k)^2} + \frac{2\mu\alpha\beta(1-\gamma)}{1-k} - \mu - \frac{\mu\beta}{1-k},\\ +\theta &= \frac{3\mu\beta(1-\alpha)}{(1-k)^2} + \frac{\mu\beta(1-\alpha)}{1-k} - \mu - \frac{\mu\alpha\beta\gamma}{1-k}. +\end{align*} + +Puisque tout l'argent mis successivement au jeu pendant la durée de +la partie, est retiré par le joueur qui l'a gagnée, il s'ensuit que la +somme des espérances mathématiques des trois joueurs doit être nulle; +et en effet, d'après ce que $k$ représente, on a identiquement +\[ +\phi+\psi+\theta = 0. +\] + +En prenant $\dfrac{1}{2}$ pour chacune des fractions $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, et en faisant +$k = \dfrac{1}{8}$, on a +\[ +\phi = \frac{33\mu}{49}, \quad \psi=-\frac{39\mu}{49},\quad \theta=\frac{6\mu}{49}, +\] +pour les espérances mathématiques des trois joueurs supposés d'égale +force. Cela signifie, par exemple, qu'avant qu'ils aient rien mis au jeu, +et après que le premier coup a été joué; si l'on convenait de ne pas +continuer la partie, le joueur qui a perdu ce premier coup devrait +payer $\dfrac{39}{49}$ de $\mu$, savoir, $\dfrac{33}{49}$ à celui qui l'a gagné, et $\dfrac{6}{49}$ à celui qui +n'a pas joué. Après que le sort a désigné les deux joueurs qui doivent +jouer le premier coup, et avant que ce coup ne soit joué, chacun d'eux +peut également le gagner; l'espérance mathématique de chacun de ces +joueurs est donc $\dfrac{1}{2}\ldot\dfrac{33\mu}{49}-\dfrac{1}{2}\ldot\dfrac{39\mu}{49}$, ou $-\dfrac{3\mu}{49}$, c'est-à-dire, que si l'on +\marginpage % *** File: 395.png +convenait de ne pas jouer la partie, chacun d'eux devrait donner +$\dfrac{3}{49}$ de $\mu$ au troisième joueur, tandis que dans le cas que nous avons +d'abord examiné, c'était ce premier joueur qui devait, au contraire, +donner $\dfrac{1}{14}$ de $\mu$ à chacun des deux premiers joueurs. Si la partie n'est +pas terminée au $m$\iieme\ coup, et que l'on convienne de ne pas la continuer, +le joueur qui aura perdu ce coup devra, comme on vient de le +dire, payer $\dfrac{33}{49}$ de $\mu$ à celui qui l'aura gagné, et $\dfrac{6}{49}$ au troisième joueur; +et de plus, l'enjeu qui avait lieu au coup précédent, et qui s'élevait à +$m\mu$, devra être partagé entre ces trois joueurs, proportionnellement +à leurs chances $\dfrac{1}{7}$, $\dfrac{4}{7}$, $\dfrac{2}{7}$, d'achever de gagner la partie; en sorte +qu'au $m$\iieme\ coup, si l'on représente par $\phi'$ l'espérance mathématique +du joueur qui gagne ce coup, par $\psi'$ celle du joueur qui le perd, par $\theta'$ +celle du joueur qui n'y joue pas, on aura +\[ +\phi' = \frac{(28m+33)\mu}{49}, \quad \psi' = \frac{(7m-39)\mu}{49}, \quad \theta' = \frac{(14m+6)\mu}{49}. +\] +Lorsque $m$ surpassera cinq, la valeur de $\psi'$ sera positive, comme $\phi'$ et +$\theta'$; le joueur qui perdra le $m$\iieme\ coup n'aura rien à payer aux deux +autres; seulement il aura droit à une moindre part dans l'enjeu qui +avait lieu au coup précédent: si, par exemple, on a $m = 6$, l'enjeu +qui avait lieu au cinquième coup sera égal à $6\mu$; sur quoi le joueur +qui gagne le sixième coup devra prendre $\dfrac{201\mu}{49}$, celui qui le perd n'aura +droit qu'à $\dfrac{3\mu}{49}$, et le troisième joueur à $\dfrac{90\mu}{49}$. + +\jmpafin + +% *** File: 396.png + +\jmpapaperl{MÉMOIRE}{} +{Sur diverses manières de généraliser les propriétés des +diamètres conjugués dans les sections coniques.---Nouveaux +théorèmes de Perspective, pour la transformation +des relations métriques des figures.---Principes de Géométrie +plane analogues à ceux de la Perspective.---Manière +de démontrer dans le cône oblique les propriétés +des foyers des sections coniques;} +{Par M.~CHASLES.}{} +\label{art33} + +1.~Les propriétés des sections coniques, et celles des surfaces du +second degré, relatives aux diamètres conjugués, peuvent être généralisées +sous plusieurs points de vue. Pour les surfaces, cette généralisation +repose sur quelques principes de Géométrie qu'il nous faudrait +exposer préalablement. Mais pour les coniques la question peut être +traitée, en grande partie du moins, par les seules ressources de la +Géométrie élémentaire. Nous allons donc nous occuper seulement, +dans cet écrit, de la généralisation des propriétés des diamètres conjugués +des coniques. + +2.~\emph{Premier mode de généralisation}. Soient $sa$, $sb$ deux demi-diamètres +conjugués d'une conique $c$, on aura +\[ +\overline{sa\vphantom{b}}^2 + \overline{sb}^2 = \text{const}. +\] +Concevons un cercle $c'$ concentrique à la conique, et soient $sa'$, $sb'$ +ses rayons dirigés suivant les demi-diamètres $sa$, $sb$; on aura +\marginpage % *** File: 397.png +\[ +\frac{\overline{sa\vphantom{b}}^2\hfill}{\overline{sa'}^2 } + \frac{\overline{sb}^2\hfill}{\overline{sb'}^2 } += \text{const.} +\] + +Projetons, par des droites parallèles entre elles, la conique et le +cercle, sur un même plan; on aura deux coniques $C$, $C'$ en projection. +Soient $SA$, $SB$, et $SA'$, $SB'$, les demi-diamètres de ces deux courbes, +correspondants respectivement aux demi-diamètres des deux premières; +on aura +\[ +\frac{sa\hfill}{sa'} = \frac{SA\hfill}{SA'},\quad \frac{sb\hfill}{sb'} = \frac{SB\hfill}{SB'}, +\] +et, conséquemment, l'équation +\[ +\frac{\overline{SA}^2\hfill}{\overline{SA'}^2} + \frac{\overline{SB}^2\hfill}{\overline{SB'}^2} =\text{const.} +\] + +Or $sa$ et $sb$ étant conjugués par rapport à la conique $c$, $SA$ et $SB$ +sont conjugués par rapport à la conique $C$, parce que la tangente à la +courbe $c$ au point a est parallèle à $sb$, et que, par conséquent, la tangente +à la courbe $C$, au point $A$, est parallèle à $SB$; ce qui est la condition +pour que $SA$ et $SB$ soient conjugués. L'équation précédente +exprime donc ce théorème: + +\emph{Étant données deux coniques dans un plan, la somme des carrés de +deux demi-diamètres conjugués de la première, divisés respectivement +par les carrés des demi-diamètres de la seconde qui leur sont parallèles, +est constante.} + +3.~Si la première conique est un cercle, on conclut de ce théorème, +le suivant: + +\emph{La somme des valeurs inverses des carrés de deux demi-diamètres +rectangulaires d'une conique est constante.} + +4.~\emph{Second mode de généralisation.} Que l'on ait une section conique +$c$ et plusieurs systèmes de ses diamètres conjugués; qu'on fasse la +perspective de cette figure sur un plan; on aura une seconde section +conique $C$, et plusieurs systèmes de deux droites passant toutes par +un même point fixe. Tous ces systèmes de deux droites jouiront de +propriétés analogues à celles des systèmes de deux diamètres conjugués; +\marginpage % *** File: 398.png +mais ces propriétés seront plus générales que celles des diamètres +conjugués, et celles-ci s'en déduiront, comme cas particuliers, si l'on +suppose que le point fixe devienne le centre de la conique $C$. + +Soit $I$ la droite qui correspond dans le plan de la conique $C$ à la +droite située à l'infini dans le plan de la conique $c$. Cette droite $I$ est +l'intersection du premier plan par un plan parallèle au second, mené +par le point de l'{\oe}il. Soit $s$ le centre de la conique $c$, et $S$ le point +correspondant dans la conique $C$, c'est-à-dire la perspective du point +$s$. La propriété caractéristique du point $s$, c'est que, étant menées deux +tangentes à la courbe $c$, parallèles entre elles, la droite qui joint les +points de contact passe toujours par le point $s$. Pareillement, la propriété +caractéristique du point $S$, c'est que, \emph{étant menées, par un même +point quelconque de la droite $I$, deux tangentes à la conique $C$, la +droite qui joint les deux points de contact passe toujours par le point} $S$. +Ce qui prouve que \emph{le point $S$ est le pôle de la droite} $I$, pris par rapport +à la conique $C$\footnote{% +On appelle \emph{pôle} d'une droite, par rapport à une conique, le point par où +passent toutes les cordes de contact des angles circonscrits à la conique, qui ont +leurs sommets sur la droite. +}. + +La propriété caractéristique de deux diamètres conjugués de la +courbe $c$, c'est que les tangentes à la courbe, menées aux extrémités +d'un des deux diamètres, sont parallèles à l'autre diamètre. On en +conclut que la propriété caractéristique de deux droites correspondantes, +dans le plan de la conique $C$, à deux diamètres conjugués de +la conique $c$, c'est que: \emph{les tangentes à la courbe $C$, aux points où +l'une des deux droites la rencontre, se croisent au point où l'autre +droite rencontre l'axe $I$}. Ce point est précisément le \emph{pôle} de la première +droite. On peut donc dire que \emph{les deux droites sont telles que chacune +d'elles passe par le pôle de l'autre;} ce pôle étant pris par rapport à la +conique $C$. Ces deux droites passent par le point fixe $S$; nous les appellerons +\emph{axes conjugués relatifs au point $S$.} + +Ainsi, aux systèmes de deux diamètres conjugués d'une conique, +correspondent, en perspective, des systèmes de deux \emph{axes conjugués} +d'une nouvelle conique, \emph{relatifs} à \emph{un point fixe}. Et la propriété caractéristique +\marginpage % *** File: 399.png +des deux axes de chaque système, c'est que \emph{le pôle de l'un, +pris par rapport à la conique, est situé sur l'autre.} + +Ce sont ces systèmes de deux \emph{axes conjugués relatifs à un point} +dont nous allons chercher les propriétés; elles seront la généralisation +de celles des diamètres conjugués. + +5.~Nous nous servirons pour cela d'un principe général de la perspective, +dont on n'a pas encore fait usage, et qui sera d'un très utile +secours dans beaucoup d'autres questions. Sa démonstration ne peut +offrir de difficulté; et nous nous bornerons ici à son énoncé: + +\textsc{Principe de perspective.} \emph{Quand deux figures planes sont la perspective +l'une de l'autre, le rapport des distances d'un point quelconque +de la première à deux droites fixes de cette figure, est au rapport des +distances du point homologue de la seconde figure aux deux droites +correspondantes à ces droites fixes, dans une raison constante.} + +6.~Une droite, dans chacune des deux figures, peut être prise à +l'infini; de là résultent deux corollaires du principe, qui nous seront +utiles; nous allons tout de suite les énoncer, pour ne plus revenir sur +ces propositions préliminaires: + +1\ier\ \textsc{Corollaire.} \emph{Quand deux figures planes sont la perspective l'une +de l'autre, la distance d'un point quelconque de la première, à une +droite fixe prise dans le plan de cette figure, est dans une raison constante +avec le rapport des distances du point homologue de la seconde +figure à deux droites fixes, dont la première correspond à la droite +prise dans le plan de la première figure, et la seconde est l'intersection +du plan de la seconde figure par le plan mené par l'{\oe}il parallèlement +au plan de la première figure.} + +7.~2\ieme\ \textsc{Corollaire.} \emph{Quand deux figures planes sont la perspective l'une +de l'autre, si l'on mène dans la première la droite correspondante à +l'infini de la seconde} (c'est-à-dire la droite qui est l'intersection du +plan de la première figure par le plan mené par l'{\oe}il parallèlement à +celui de la seconde), \emph{et dans le plan de la seconde figure la droite +correspondante à l'infini de la première, les distances de deux points +homologues quelconques des deux figures à ces deux droites respectivement, +auront leur produit constant.} + +8.~Cela posé, reprenons nos deux coniques $c$, $C$, qui sont la perspective +\marginpage % *** File: 400.png +l'une de l'autre, et considérons dans le plan de la seconde le +point $S$ qui correspond au centre $s$ de la première. La conique $C$ et le +point $S$ étant donnés, il y aura une infinité de coniques $c$, dans l'espace, +qui auront pour perspective la courbe $C$, et dont les centres $s$ +correspondront au point $S$. Parmi cette infinité de courbes qu'on peut +concevoir, choisissons-en une qui présente cette circonstance particulière, +que deux diamètres quelconques de cette courbe fassent entre +eux un angle égal à celui des deux droites qui leur correspondent dans +le plan de la courbe $C$, lesquelles droites seront deux \emph{axes conjugués +relatifs au point} $S$. Cette relation particulière entre la courbe $c$ et sa +perspective $C$, peut s'obtenir facilement. Pour cela, que par la polaire +du point $S$, prise par rapport à la courbe $C$, on mène un premier plan +quelconque; puis un second qui divise en deux, également, l'angle que le +premier fera avec le plan de la courbe $S$; et que par le point $S$ on mène +une droite perpendiculaire au second plan; elle rencontrera le premier +en un point $s$ qui sera pris pour le lieu de l'\oe il; un plan quelconque +parallèle au premier, fera dans le cône qui aura le point $s$ pour sommet +et la courbe $C$ pour base, une section qui sera la courbe $c$. + +9.~D'après cela, appliquons aux deux courbes $c$, $C$ le principe exprimé +par le premier corollaire, en regardant la courbe $c$ comme la +première figure, et la courbe $C$ comme la seconde. + +Menons par les points $s$, $S$, dans les plans des deux courbes, respectivement, +deux droites correspondantes $sq$, $SQ$; soient $a$, $A$ deux +points correspondants quelconques des deux courbes; $aq$, $AQ$ les +perpendiculaires abaissées de ces points sur les deux droites $sq$, $SQ$; +et $AP$ la perpendiculaire abaissée du second sur la polaire du point $S$; +on aura, d'après l'énoncé du premier corollaire, +\[ +aq=\lambda \frac{AQ}{AP}, +\] +$\lambda$ étant une constante. + +Or $aq$ et $AQ$ étant les perpendiculaires abaissées des deux points +$a$, $A$ sur les droites $sq$, $SQ$, on a +\begin{align*} +aq &= as \ldot \sin asq,\\ +AQ &= AS \ldot \sin ASQ. +\end{align*} + +\marginpage % *** File: 401.png +La droite $sS$, qui passe par le sommet du cône, étant, par hypothèse, +perpendiculaire au plan qui divise en deux également l'angle +des plans des deux courbes $c$, $C$, il s'ensuit que l'angle des deux droites +$sa$, $sq$ est égal à l'angle des deux droites $SA$, $SQ$; de sorte que les +deux équations ci-dessus donnent +\[ +\frac{aq}{AQ} = \frac{as}{AS}. +\] + +L'équation précédente devient donc +\[ +sa=\lambda \ldot\frac{SA}{AP}. +\] + +Cette équation résout la question que nous nous proposions; car +elle sert à appliquer aux \emph{axes} de la conique $C$, \emph{relatifs au point} $S$, +les propriétés des \emph{diamètres} de la conique $c$. + +Il est important de se rappeler que les angles que font entre eux ces +axes, sont égaux aux angles que font entre eux les diamètres correspondants, +comme nous l'avons dit ci-dessus des angles $asq$, $ASQ$. +Cela servira pour transporter diverses propriétés des \emph{diamètres} d'une +conique, aux \emph{axes relatifs à un point.} + +Appliquons cette méthode. + +10.~Dans une conique, il existe un système de deux diamètres conjugués +rectangulaires, et ces diamètres sont maximum et minimum +parmi tous les autres; on en conclut que + +\emph{Dans une conique, parmi les systèmes de deux axes conjugués $SA$, +$SA'$ relatifs à un point $S$, il en existe un où ces axes sont à angle +droit; pour ces deux axes les rapports $\dfrac{SA}{AP}$, $\dfrac{SA'}{A'P'}$ sont, respectivement, +un maximum et un minimum.} + +11.~La somme des valeurs inverses des carrés de deux demi-diamètres +rectangulaires est constante; donc + +\emph{Pour deux axes $SA$, $SA'$ relatifs à un point, menés à angle droit, +la somme des carrés des deux rapports $\dfrac{AP}{SA}$, $\dfrac{A'P'}{SA'}$, est constante.} + +12.~La somme des carrés de deux demi-diamètres conjugués est constante; +donc +\marginpage % *** File: 402.png + +\emph{Pour deux axes conjugués $SA$, $SA'$ relatifs à un point $S$, la somme +des carrés des deux rapports $\dfrac{SA}{AP}$, $\dfrac{SA'}{A'P'}$, est constante.} + +13.~La somme des carrés des projections de deux diamètres +conjugués, sur une droite, est constante; c'est-à-dire que la somme +des carrés de deux demi-diamètres conjugués, multipliés respectivement +par les carrés des cosinus des angles qu'ils font avec une +droite fixe, et constante. On en conclut que, pour deux axes +conjugués $SA$, $SA'$, les carrés des rapports $\dfrac{SA}{AP}$, $\dfrac{SA'}{A'P'}$, multipliés respectivement +par les carrés des cosinus des angles que les deux axes +$SA$, $SA'$ font avec une droite fixe, ont leur somme constante. Ce +théorème peut s'exprimer ainsi: + +\emph{La somme des carrés des perpendiculaires abaissées des extrémités +de deux axes conjugués relatifs à un point, sur une droite menée par +ce point, divisés respectivement par les carrés des distances de ces +points à la polaire du point fixe, est constante.} + +14.~Que la droite menée par le point fixe, soit parallèle à la polaire +de ce point, le théorème prendra cet énoncé: + +\emph{La somme des carrés de deux axes conjugués relatifs à un point, +divisés respectivement par les carrés des segments compris sur ces +axes entre leurs extrémités et la polaire du point, est constante.} + +15.~La somme des carrés des perpendiculaires abaissées des quatre +extrémités de deux diamètres conjugués sur une droite fixe menée arbitrairement, +est constante; on conclut de là, par le principe exprimé +dans le premier corollaire, que + +\emph{Dans une conique, deux axes conjugués relatifs à un point rencontrent +la courbe en quatre points qui sont tels que la somme des carrés +de leurs distances à une droite fixe menée arbitrairement, divisés +respectivement par les carrés des distances de ces points à la polaire +du point fixe, est constante.} + +16.~Si la droite fixe est prise à l'infini, on fera usage du second corollaire, +et l'on aura ce théorème: + +\emph{Dans une conique, deux axes conjugués quelconques relatifs à un +point fixe rencontrent la courbe en quatre points qui jouissent de cette} +\marginpage % *** File: 403.png +\emph{propriété, que la somme des valeurs inverses des carrés de leurs distances +à la polaire du point fixe, est constante.} + +17.~On voit par ce qui précède, comment les propriétés des diamètres +conjugués donnent lieu à des propriétés des systèmes de deux +\emph{axes conjugués relatifs à un point}, qui sont la généralisation des +premières. + +\Needspace*{3\baselineskip}\begin{center} +\emph{Manière de démontrer les propriétés des foyers dans les +sections coniques.} +\end{center} + +18.~La position que nous avons supposée aux deux courbes $c$, $C$ +dans l'espace (8), conduit naturellement à la découverte des \emph{foyers} +des coniques, et se prête aussi à la démonstration de leurs propriétés. +Car si l'on suppose que la courbe c soit un cercle, on aura $sa =$ le +rayon, et par conséquent, $\dfrac{SA}{AP} =$ constante; ce qui est une des propriétés +caractéristiques des \emph{foyers.} + +Ainsi l'on est conduit naturellement à la considération de ces points +qui jouent un si grand rôle dans la théorie des coniques. Les Anciens, +bien qu'ils aient formé et étudié les coniques dans le cône, ou, comme +ils disaient, \emph{dans le solide}, n'ont traité des foyers que par des considérations +de Géométrie plane, sans dire par quelle voie ils ont été +conduits à la découverte de ces points. Les Modernes, en voulant rechercher +l'origine de ces points dans le cône même, n'ont pris que le +cône droit, ou de révolution; et l'on n'avait pas encore indiqué le +moyen de découvrir ces points dans le cône oblique, ni d'y démontrer +leurs propriétés. + +19.~Les considérations précédentes se prêtent avec une grande facilité +à la démonstration de toutes les propriétés des foyers, en les déduisant +de celles du cercle. Nous donnerons ici un seul exemple de +cette méthode. + +Qu'autour d'un point fixe $o$, pris dans le plan d'un cercle, on fasse +tourner une transversale qui rencontre la circonférence en deux points +$a$, $a'$; soient $aq$, $a'q'$, $oq''$ les perpendiculaires abaissées des trois points +$a$, $a'$, $o$ sur la polaire du point fixe, on démontre facilement que l'on +\marginpage % *** File: 404.png +a la relation +\begin{align*} +&\frac{1}{aq}\pm\frac{1}{a'q'}=\frac{2}{oq''}; +\intertext{c'est-à-dire que} +&\frac{1}{aq}\pm\frac{1}{a'q'} = \text{const.}, +\end{align*} +quelle que soit la transversale menée par le point $o$. + +On doit prendre le signe $+$ quand ce point est dans l'intérieur du +cercle, et le signe $-$ quand il est au dehors. + +Dans la conique $C$, qui est la perspective du cercle, à la transversale +$oaa'$ correspondra une transversale $OAA'$ menée par un point fixe $O$; +au centre du cercle correspondra le foyer de la conique; à la droite +située à l'infini dans le plan du cercle, correspondra la \emph{directrice} relative +à ce foyer. Soient $AP$, $AP'$ les perpendiculaires abaissées des +points $A$, $A'$ sur cette directrice et $AQ$, $A'Q'$ les perpendiculaires +abaissées des mêmes points sur la polaire du point $O$; on aura, d'après +le premier corollaire, +\[ +aq=\lambda\frac{AQ}{AP},\quad a'q'=\lambda\frac{A'Q'}{A'P'}. +\] + +L'équation ci-dessus devient donc +\[ +\frac{AP}{AQ}\pm\frac{A'P'}{A'Q'} = \text{const.} +\] +Elle exprime cette propriété générale des coniques: + +\emph{Si autour d'un point fixe, pris dans le plan d'une conique, on fait +tourner une transversale qui rencontre la courbe en deux points, la +somme ou la différence des distances de ces deux points à la directrice +de la conique, divisées respectivement par leurs distances à la polaire +du point fixe, sera constante.} + +Ce sera la \emph{somme} si le point fixe est pris dans l'intérieur de la courbe, +et la \emph{différence} s'il est pris au dehors. + +20.~Maintenant, en observant que la distance d'un point de la +courbe à la directrice est proportionnelle à la distance de ce point au +foyer, on donnera au théorème cet autre énoncé: + +\emph{Si autour d'un point fixe pris dans le plan d'une conique, on fait +tourner une transversale qui la rencontre en deux points; la somme ou} +\marginpage % *** File: 405.png +\emph{la différence des distances de ces deux points au foyer de la courbe, +divisées respectivement par leurs distances à la polaire du point fixe, +sera constante.} + +Ce sera la \emph{somme} si le point fixe est pris dans l'intérieur de la courbe, +et la \emph{différence} s'il est pris au dehors. + +21.~Si le point fixe est le centre de la courbe, sa polaire est à l'infini, +et le théorème devient la propriété connue du foyer, savoir, +que + +\emph{La somme ou la différence des rayons vecteurs menés d'un foyer +d'une conique aux extrémités d'un diamètre est constante.} + +C'est la somme dans l'ellipse, et la \emph{différence} dans l'hyperbole. + +22.~Nous nous bornerons ici à ce seul exemple, qui suffit pour faire +voir comment on démontrera dans le cône oblique les propriétés des +foyers des sections coniques. On obtiendra de cette manière un assez +grand nombre de propriétés nouvelles, que j'aurai occasion de démontrer +ailleurs. + +\begin{center} +\emph{Principes de Géométrie plane analogues à ceux de la +perspective.} +\end{center} + +23.~Les principes et les considérations de perspective dont nous nous +sommes servi peuvent se transformer aisément en considérations de +Géométrie plane, et conduire à une autre méthode, différente dans la +forme, quoique la même au fond, pour étudier les propriétés des +sections coniques. + +Reprenons les deux courbes $c$, $C$ dans l'espace. Puisque deux droites +quelconques $sa$, $sb$, menées par le point $s$, dans le plan de la première, +font entre elles un angle égal à celui des deux droites correspondantes +$SA$, $SB$ dans le plan de la seconde courbe, on voit que si +sur celles-ci on prend des lignes $SA'$, $SB'$,\dots\ égales aux lignes $sa'$, +$sb'$,\dots, leurs extrémités seront sur une conique $C'$ ayant son centre +en $S$, et qui sera égale à la courbe $c$. Ainsi l'on aura entre cette conique +$C'$ et la conique $C$ la relation +\[ +SA'=\lambda\ldot\frac{SA}{AP}. +\] +\marginpage % *** File: 406.png + +On conclut de là ce théorème de Géométrie plane: + +\emph{Étant pris un point fixe $S$ dans le plan d'une conique, si de ce point +on mène une droite à chaque point $A$ de la courbe, et que, $AP$ étant +la distance de ce point à la polaire du point fixe, on prenne sur $SA$ +un segment $SA'$ proportionnel à $\dfrac{SA}{AP}$, le point $A'$ sera sur une section +conique $C'$ qui aura son centre au point fixe.} + +Si le point fixe est un foyer de la conique proposée, la nouvelle +courbe sera un cercle. + +24.~La conique $C'$ peut être regardée comme la projection de la +courbe $c$ sur le plan de la courbe $C$, cette projection étant faite par des +droites parallèles entre elles, et perpendiculaires au plan qui divise +en deux également l'angle des plans des deux courbes $c$, $C$. Et +quelle que soit la figure tracée dans le plan de la courbe $c$, cette projection +produira une figure parfaitement égale, dans le plan de $C$. Il +suit de là que toutes les relations \emph{descriptives} et \emph{métriques} entre la +courbe $c$ et la courbe $C$ auront lieu entre les deux courbes $C'$ et $C$ situées +dans un même plan. + +25.~Les relations descriptives font voir que les deux courbes $C'$ et $C$ +sont \emph{homologiques}, suivant l'expression de M.~Poncelet, c'est-à-dire +que \emph{les points correspondants des deux figures concourent en un même +point fixe} (appelé \emph{centre d'homologie}) qui est le point $S$; \emph{et les droites +correspondantes concourent en des points situés tous sur une même +droite} (appelée \emph{axe d'homologie}), qui est ici la droite d'intersection +des plans des deux courbes. + +26.~Mais, outre ces relations descriptives, il résulte encore de ce +qui précède diverses relations métriques entre deux figures homologiques, +qui n'ont point encore été données et qui doivent jouer un +rôle important dans cette théorie et dans ses nombreuses applications. +Nous nous bornerons, dans ce moment, à cette simple observation, +parce que nous avons traité ailleurs de cette théorie avec tous les développements +dont elle nous a paru susceptible, dans un travail où elle se +présente comme cas particulier d'une méthode plus générale pour la +transformation des figures, méthode propre à la \emph{généralisation} et à la +\emph{démonstration} des vérités géométriques. Cette méthode s'applique aux +figures à trois dimensions, et nous servira par conséquent à donner +aux propriétés des diamètres des surfaces du second degré la même généralisation +\marginpage % *** File: 407.png +que nous venons de donner aux propriétés des diamètres +des sections coniques. Nous avons voulu simplement montrer, dans le +présent article, qu'avec le seul secours de la Géométrie la plus élémentaire, +on pouvait, sans considérations bien savantes ni théories nouvelles, +parvenir à la même généralisation, du moins pour les coniques. + +Nous avons fait usage, pour cela, des seuls principes de la perspective, +méthode facile, avec laquelle on est familiarisé, mais dont on n'a +pas encore tiré, je crois, tous les avantages qu'elle peut procurer, +parce qu'on n'y a considéré, généralement, que les relations \emph{descriptives} +des figures, et nullement les relations \emph{métriques}. Celles-ci cependant +sont plus importantes, plus utiles et plus fécondes, et conduisent +à des résultats plus complets. J'aurai occasion de développer +ailleurs cette idée, et d'en faire l'application à plusieurs résultats des +travaux de Monge et de Carnot, que je regarde comme l'origine et le +fondement des progrès que la Géométrie a faits depuis une trentaine +d'années. + +27.~\emph{Troisième mode de généralisation.} Ce troisième genre de généralisation +consiste à substituer aux systèmes de deux demi-diamètres +conjugués d'une conique, des systèmes d'un plus grand nombre de +demi-diamètres, déterminés suivant des conditions communes, +telles que les propriétés connues des systèmes de deux diamètres +conjugués appartiennent aussi à ces systèmes d'un plus grand nombre +de demi-diamètres. + +En partant de cette idée de généralisation, nous sommes parvenu à +l'expression commune des systèmes d'un nombre quelconque de demi-diamètres +d'une conique, jouissant de toutes les propriétés des systèmes +de deux demi-diamètres conjugués; ces propriétés mêmes pouvant +être énoncées dans une plus grande généralité. Cette matière, +pour être exposée complétement, exigerait un article assez étendu; +nous y reviendrons ailleurs: nous allons simplement considérer ici les +systèmes de trois demi-diamètres, parce que nous pouvons traiter ce +cas par une méthode particulière, qui n'exige aucunes considérations +préalables. + +Nous supposerons que la conique soit une ellipse; et, au lieu de considérer +trois demi-diamètres de cette courbe, nous considérerons les +\marginpage % *** File: 408.png +trois points qui sont les extrémités de ces demi-diamètres. Cela est absolument +la même chose; mais nous pourrons par là énoncer un plus +grand nombre de théorèmes. Ainsi nous allons considérer plusieurs +systèmes de trois points pris d'une certaine manière sur une ellipse. + +28.~Concevons une sphère, et trois de ses rayons rectangulaires: +par leurs extrémités, menons un plan qui coupera la sphère suivant +un cercle; concevons le diamètre qui passe par le pôle de ce cercle; si +autour de ce diamètre on fait tourner le système des trois demi-rayons +rectangulaires, il est évident que leurs extrémités se mouvront sur le +cercle, ce qui prouve qu'il y aura une infinité de systèmes de trois +rayons rectangulaires qui s'appuieront sur le cercle passant par les +extrémités des trois premiers rayons. + +Maintenant supposons que la sphère étant rapportée à trois axes +coordonnés, à chacun de ses points ayant pour coordonnées $x$, $y$, $z$, +corresponde dans l'espace un point qui ait pour coordonnées, suivant +les mêmes axes respectivement, ces trois premières multipliées par +trois constantes, c'est-à-dire $\lambda x$, $\mu y$, $\nu z$. Ce nouveau point appartiendra +à un ellipsoïde; et l'on reconnaît aisément que, à trois rayons +rectangulaires de la sphère correspondront trois demi-diamètres conjugués +de l'ellipsoïde; et qu'à une section plane de la sphère correspondra +une section plane de l'ellipsoïde. + +Il résulte de là, que + +\emph{Le plan mené par les extrémités de trois demi-diamètres conjugués +d'un ellipsoïde coupe cette surface suivant une ellipse $E$, sur laquelle on +peut prendre une infinité d'autres systèmes de trois points qui seront +aussi les extrémités de trois demi-diamètres conjugués.} + +29.~Ce sont là les systèmes de trois points que nous allons considérer; +mais il nous faut caractériser et définir les trois points par quelque +propriété prise dans la nature seule de la courbe $E$, sans être obligé de +faire usage d'une surface du second degré. Pour cela, soient $A$, $B$, $C$ +les trois points, considérés comme les extrémités de trois demi-diamètres +$OA$, $OB$, $OC$ d'un ellipsoïde; concevons le plan tangent à cette +surface au point $A$; il sera parallèle au plan des deux demi-diamètres +$OB$, $OC$: la trace de ce plan tangent sur celui de la conique $E$, c'est-à-dire +la tangente à cette courbe, sera donc parallèle à la corde $BC$. Il +\marginpage % *** File: 409.png +suit de là que le diamètre de la courbe qui aboutit au point $A$ passe par +le milieu de la corde $BC$. Pareillement les droites menées du centre de +la courbe aux points $B$, $C$ passent, respectivement, par les milieux +des cordes $AC$, $AB$. On en conclut que \emph{le centre de la courbe est le +centre des moyennes distances des trois points} $A$, $B$, $C$. + +Réciproquement, \emph{trois points pris sur la conique, de manière que +leur centre des moyennes distances soit le centre de la courbe, sont les +extrémités de trois diamètres conjugués de l'ellipsoïde.} Car l'un de ces +trois points étant pris arbitrairement, les deux autres sont parfaitement +déterminés. Le point $A$, par exemple, étant donné, pour déterminer +les deux autres points $B$, $C$, on mènera par le centre $O'$ de la conique +$E$ le demi-diamètre $O'A$ qu'on prolongera d'une quantité $O'a$ égale à la +moitié de $O'A$, et par le point $a$ on mènera une parallèle à la tangente +à la courbe au point $A$; les intersections de la courbe par cette parallèle +seront les points $B$, $C$. + +Ainsi les systèmes de trois points pris sur la conique sont définis par +la condition que \emph{le centre des moyennes distances des trois points de +chaque système est le centre de figure de la courbe.} Nous appellerons +ces trois points, pour abréger, points \emph{conjugués}. + +Passons à la démonstration des propriétés des systèmes de trois points +\emph{conjugués}. Il nous suffira, le plus souvent, de rappeler une propriété +de trois diamètres conjugués de l'ellipsoïde, pour en conclure immédiatement +la propriété correspondante du système de trois points \emph{conjugués}. + +30.~Le tétraèdre formé par trois demi-diamètres conjugués est constant; +donc \emph{l'aire du triangle formé par trois points conjugués est constante.} + +31.~Quand on a deux systèmes de demi-diamètres conjugués, le +tétraèdre construit sur un demi-diamètre du premier système et deux +demi-diamètres du second, a le même volume que le tétraèdre construit +sur les trois autres demi-diamètres; donc + +\emph{Étant pris deux systèmes de trois points conjugués, l'aire du triangle +formé par un point du premier système et deux points du second, est +égale à l'aire du triangle formé par les trois autres points.} + +32.~La somme des carrés de trois diamètres conjugués de l'ellipsoïde +\marginpage % *** File: 410.png +est constante; or ici le centre de l'ellipsoïde est indéterminé; on +peut donc dire que: + +\emph{La somme des carrés des rayons menés d'un point fixe de l'espace +à trois points conjugués est constante.} + +Notre démonstration ne s'applique ici qu'à un point pris au dehors +du plan de la courbe, puisqu'un point pris dans son plan ne peut pas +être le centre d'un ellipsoïde ayant pour diamètres conjugués les droites +menées de ce point aux trois points conjugués. Mais du cas général +d'un point pris dans l'espace on conclut la démonstration pour le cas +d'un point pris dans le plan de la courbe. Car soient $A$, $B$, $C$ les trois +points conjugués, et $O$ un point de l'espace, on aura +\[ +\overline{OA}^2 + \overline{OB}^2 + \overline{OC}^2 = \text{constante}. +\] + +Soit $O''$ la projection du point $O$ sur le plan de la courbe, on aura +\[ +\overline{OA}^2 = \overline{OO''}^2 + \overline{O''A}^2,\quad \overline{OB}^2 = \overline{OO''}^2 + \overline{O''B}^2,\quad \overline{OC}^2 = \overline{OO''}^2 + \overline{O''C}^2. +\] +Donc +\[ +3\overline{OO''}^2 + \overline{O''A}^2 + \overline{O''B}^2 + \overline{O''C}^2 = \text{constante}; +\] +d'où +\[ +\overline{O''A}^2 + \overline{O''B}^2 + \overline{O''C}^2 = \text{constante}. +\] +Ainsi le théorème énoncé est général, quelle que soit la position du +point $O$. + +33.~La somme des carrés des perpendiculaires abaissées des extrémités +de trois demi-diamètres conjugués sur un plan diamétral, est constante; +qu'on prenne le plan diamétral perpendiculaire au plan de la +conique, on en conclut que + +\emph{La somme des carrés des perpendiculaires abaissées de trois points +conjugués d'une ellipse sur une droite fixe menée dans le plan de cette +courbe, est constante.} + +34.~La somme des carrés des trois faces au sommet du tétraèdre +formée par trois demi-diamètres conjugués est constante; + +On conclut de là, que + +\emph{Dans le tétraèdre qui a pour sommet un point fixe de l'espace et} +\marginpage % *** File: 411.png +\emph{pour base le triangle formé par trois points conjugués quelconques, +la somme des carrés des trois faces au sommet est constante.} + +Et comme le triangle qui sert de base au tétraèdre a lui-même son +aire constante, on peut dire que + +\emph{La somme des carrés des quatre faces du tétraèdre est constante.} + +35.~La somme des carrés des projections des trois faces au sommet +du tétraèdre formé par trois demi-diamètres conjugués, sur un plan +fixe, est constante; on conclut de là et du théorème (30) que + +\emph{Le tétraèdre qui a pour sommet un point fixe de l'espace, et pour +base le triangle formé par trois points conjugués, jouit de cette propriété +que la somme des carrés des projections de ses faces sur un plan +fixe est constante.} + +36.~Si la projection est faite sur le plan de la figure, on en conclura, +en ayant égard encore au théorème (30), que + +\emph{Un point fixe pris dans le plan d'une conique étant le sommet +commun à trois triangles ayant pour bases les trois côtés du triangle +formé par trois points conjugués quelconques, la somme des carrés +des aires de ces trois triangles sera constante.} + +37.~Les plans tangents à une surface du second degré, aux extrémités +de trois demi-diamètres conjugués, font sur une droite diamétrale +fixe trois segments dont la somme des valeurs inverses des carrés +est constante. + +Supposons que les extrémités des trois demi-diamètres conjugués +soient toujours sur une même section plane de la surface; les trois +plans tangents passeront par un point fixe $S$, qui sera le sommet du +cône circonscrit à la surface suivant cette courbe; ce point $S$, le centre +$O'$ de la courbe et le centre $O$ de la surface sont, comme on sait, en +ligne droite. Supposons que la transversale $OD$, menée par le centre +de la surface, soit parallèle au plan de la courbe; et par le centre $O'$ +de cette courbe, menons dans son plan, une seconde transversale $O'D'$ +parallèle à cette première; un plan tangent à la surface, en un des +points de la courbe, rencontrera les deux transversales $OD$, $O'D'$ en +deux points $T$, $T'$ qui seront en ligne droite avec le point $S$, puisque +ce plan tangent passe par ce point; il s'ensuit que les deux segments +$OT$, $O'T'$ sont entre eux dans le rapport +$\dfrac{OS}{O'S}$; c'est-à-dire que le segment +\marginpage % *** File: 412.png +$O'T'$ est au segment $OT$ dans une raison constante, quel que soit +le point de la courbe, par lequel on a mené le plan tangent; on conclut +donc du théorème énoncé ci-dessus, que + +\emph{Les tangentes à une conique, menées par trois points conjugués quelconques, +font sur une droite fixe menée par le centre de la courbe, trois +segments dont la somme des valeurs inverses des carrés est constante.} + +38.~Concevons deux plans fixes menés par le centre d'une surface du +second degré, et un système quelconque de trois demi-diamètres +conjugués; que de l'extrémité de chaque demi-diamètre on abaisse +des perpendiculaires sur les deux plans, et qu'on fasse leur produit; +la somme des trois produits ainsi faits sera constante, quel que soit le +système des trois demi-diamètres conjugués\footnote{% +J'admets ce théorème comme connu, quoiqu'il n'ait pas encore été donné; +je le démontrerai dans un autre moment, avec quelques autres propriétés nouvelles +des diamètres conjugués. +}. + +Supposons que les deux plans fixes soient perpendiculaires au plan +de la courbe sur laquelle s'appuient les trois demi-diamètres conjugués; +on en conclura ce théorème: + +\emph{Étant menées dans le plan d'une conique deux droites fixes, et +étant pris sur cette courbe trois points conjugués quelconques, si de +chacun de ces points on abaisse sur les deux droites des perpendiculaires, +et qu'on fasse leur produit, la somme des trois produits ainsi +faits sera constante.} + +Si les deux droites fixes se confondent, on a le théorème (33). + +Nous n'avons pas besoin de montrer l'analogie qu'il y a entre les +diverses propriétés des systèmes de \emph{trois} points conjugués d'une conique, +que nous venons de démontrer, et les propriétés des systèmes +de \emph{deux} diamètres conjugués: ces analogies sont évidentes. + +39.~Les deux modes de généralisation que nous avons appliqués +précédemment aux propriétés des diamètres conjugués, par voie de +projection et de perspective, s'appliquent aussi aux propriétés des +systèmes de trois points conjugués. + +Ainsi, par exemple, le théorème (32) donnera le suivant: + +\marginpage % *** File: 413.png +\emph{Étant données deux coniques dans un plan, si sur la première on +prend trois points conjugués quelconques, et que du centre, de la +seconde on mène des rayons à ces trois points, la somme des carrés de +ces trois rayons, divisés respectivement par les carrés des demi-diamètres +de la seconde conique compris sur ces rayons, sera constante.} + +40.~Si les deux coniques sont concentriques, et que la première soit +un cercle, les trois points conjugués diviseront la circonférence en trois +parties égales, et les trois rayons diviseront l'espace angulaire autour +du centre en trois parties égales; on a donc ce théorème: + +\emph{Si par le centre d'une conique on mène trois demi-diamètres divisant +l'espace angulaire en trois parties égales, la somme des valeurs inverses +des carrés de ces trois demi-diamètres sera constante.} + +Nous n'insisterons pas davantage sur la généralisation dont les propriétés +des systèmes de trois points conjugués sont susceptibles, parce +que nous reviendrons sur cet objet en traitant d'une manière générale +des propriétés d'un système d'un nombre quelconque de points, pris +d'une certaine manière sur une conique. + +41.~\emph{Quatrième mode de généralisation.} Plusieurs des propriétés exprimées +pour les carrés des distances conviennent aux cubes. + +Ainsi, la somme des cubes des perpendiculaires abaissées des quatre +extrémités de deux diamètres conjugués sur une droite fixe est constante. + +Cette observation s'applique aussi à diverses propriétés des systèmes +de trois points conjugués que nous venons de faire connaître. + +Mais je reviendrai dans un autre moment sur cet objet en traitant, +d'une manière générale, des propriétés de certains systèmes de points, +en nombre quelconque, situés sur une section conique, où l'on aura à +considérer non pas seulement les carrés et les cubes des lignes, mais +aussi des puissances plus élevées. + +42.~Dans un autre article, nous appliquerons aux propriétés des sections +coniques, relatives à leurs foyers, les quatre modes de généralisation +que nous venons d'appliquer aux propriétés des diamètres +conjugués: nous obtiendrons de cette manière plusieurs théorèmes +nouveaux relatifs aux foyers des sections coniques. + +\jmpafin + +% *** File: 414.png + +\jmpapaper{NOTE}{} +{Sur la variation des constantes arbitraires dans les problèmes +de Mécanique;} +{Par M.~Aug. CAUCHY\footnotemark.}{} +\label{art34} +\footnotetext{Cet article fait partie d'un très long mémoire sur la Mécanique céleste qui +a été présenté à l'Académie de Turin le 11 octobre 1831 et dont on peut voir +un extrait dans le \emph{Bulletin universel des Sciences} de M.~Férussac. +\signit{(\textsc{J. Liouville.})}} + +1.~Soient données, entre la variable $t$, $n$ fonctions de $t$ désignées +par $x$, $y$, $z$\dots, et $n$ autres fonctions de $t$ designées par $u$, $v$, $w$\dots, +$2n$ équations différentielles du premier ordre et de la forme +\begin{flalign*} +&(1)\quad\left\{\quad +\begin{alignedat}{3} +\frac{dx}{dt}&\;=\;\frac{dQ}{du}, &\frac{dy}{dt}&\;=\;\frac{dQ}{dv}, &\frac{dz}{dt}&\;=\;\frac{dQ}{dw}\ldots,\\ +\frac{du}{dt}&=-\frac{dQ}{dx},\quad &\frac{dv}{dt}&=-\frac{dQ}{dy},\quad &\frac{dw}{dt}&=-\frac{dQ}{dz}\ldots, +\end{alignedat}\right.& +\end{flalign*} +$Q$ représentant une fonction de $x$, $y$, $z$\dots, $u$, $v$, $w$\dots, $t$. On +pourra supposer les inconnues $x$, $y$, $z$\dots, $u$, $v$, $w$\dots, exprimées en +fonction de $t$ et de $2n$ constantes arbitraires $a$, $b$, $c$\dots; et l'on aura, +dans cette hypothèse, +\[ +\frac{dQ}{da}=\frac{dQ}{dx}\frac{dx}{da} + \frac{dQ}{dy}\frac{dy}{da}+ \dotsb ++ \frac{dQ}{du}\frac{du}{da} + \dotsb ; +\] +\marginpage % *** File: 415.png +par conséquent +\begin{flalign*} +&(2)\quad\left\{\quad\begin{aligned} +&\frac{dQ}{da}=-\frac{du}{dt}\frac{dx}{da} - \frac{dv}{dt}\frac{dy}{da} - +\dotsb + \frac{dx}{dt}\frac{du}{da} + \dotsb , \\[1ex] +&\text{on trouvera de même} \\[1ex] +&\frac{dQ}{db}=-\frac{du}{dt}\frac{dx}{db} - \frac{dv}{dt}\frac{dy}{db} - +\dotsb + \frac{dx}{dt}\frac{du}{db} + \dotsb , +\end{aligned}\right.& +\end{flalign*} +Si de la seconde des équations (2), différentiée par rapport à la quantité +$a$, on retranche la première différentiée par rapport à $b$, on +obtiendra la suivante, +\[ +\frac{d\ldot\dethoriz{a}{b}}{dt} = 0,\tag{3} +\] +la valeur de $\dethoriz{a}{b}$ étant +\[ +\dethoriz{a}{b} = \frac{dx}{da}\frac{du}{db} - \frac{dx}{db}\frac{du}{da} + +\frac{dy}{da}\frac{dv}{db} - \frac{dy}{db}\frac{dv}{da} + \dotsb ,\tag{4} +\] +puis, en intégrant l'équation (3), on trouvera +\[ +\dethoriz{a}{b} = \text{constante.}\tag{5} +\] +Donc, les quantités représentées par les symboles $\dethoriz{a}{b}$, $\dethoriz{a}{c}$,\dots +$\dethoriz{b}{c}$,\dots\ seront indépendantes de $t$. Observons d'ailleurs qu'en +vertu de la formule (4), on aura généralement +\[ +\dethoriz{a}{a} = 0,\qtext{et} \dethoriz{a}{b} = - \dethoriz{b}{a}. +\] +Soient maintenant +\[ +A = a,\quad B = b,\quad C = c,\quad \etc\ldots +\] +les intégrales générales des équations (1), $A$, $B$, $C$,\dots\ désignant des +fonctions déterminées des seules variables $x$, $y$, $z$,\dots\ $u$, $v$, $w$,\dots\ $t$. +\marginpage % *** File: 416.png +Faisons de plus +\[ +(A,B) = \frac{dA}{dx}\frac{dB}{du} - \frac{dA}{du}\frac{dB}{dx} + +\frac{dA}{dy}\frac{dB}{dv} - \frac{dA}{dv}\frac{dB}{dy} + \dotsb ,\tag{7} +\] +on aura encore +\[ +(A, A) = 0,\quad (A,B) = - (B,A). +\] +D'ailleurs, si, dans l'équation qui détermine $x$ en fonction de $a$, $b$, +$c$,\dots $t$, on substitue $A$, $B$, $C$,\dots\ au lieu de $a$, $b$, $c$,\dots, on obtiendra +une formule identique, qui, différentiée successivement par +rapport à $x$, $y$, $z$,\dots\ $u$,\dots\ donnera +\[ +1 = \frac{dx}{da}\frac{dA}{dx} + \frac{dx}{db}\frac{dB}{dx} + \dotsb ,\quad +0 = \frac{dx}{da}\frac{dA}{dy} + \frac{dx}{db}\frac{dB}{dy} + \dotsb ,\quad 0 = \etc\ldots,\tag{8} +\] +et, si l'on ajoute entre elles les valeurs de $(A, A)$, $(A, B)$, $(A, C)$,\dots{} +respectivement multipliées par $\dfrac{dx}{da}$, $\dfrac{dx}{db}$, $\dfrac{dx}{dc}$,\dots\ on trouvera, en +ayant égard aux formules (8), +\begin{flalign*} +&(9)\quad\left\{\quad +\begin{aligned} +&(A,A)\frac{dx}{da} + (A,B)\frac{dx}{db} + (A,C)\frac{dx}{dc} + \dotsb = -\frac{dA}{du};\\[1ex] +&\text{on trouvera de même},\\[1ex] +&(A,A)\frac{dy}{da} + (A,B)\frac{dy}{db} + (A,C)\frac{dy}{dc} + \dotsb = -\frac{dA}{dv},\\[1ex] +&\qquad\etc\ldots +\end{aligned}\right.& +\end{flalign*} +Pareillement, si l'on ajoute entre elles les valeurs de $(A, A)$, $(A, B)$, +$(A, C)$,\dots\ respectivement multipliées par $\dfrac{du}{da}$, $\dfrac{du}{db}$, $\dfrac{du}{dc}$,\dots\ on +trouvera +\begin{flalign*} +&(10)\quad\left\{\quad +\begin{aligned} +&(A,A)\frac{du}{da} + (A,B)\frac{du}{db} + (A,C)\frac{du}{dc} + \dotsb = \frac{dA}{dx};\\ +&\text{on aura de même} \\ +&(A,A)\frac{dv}{da} + (A,B)\frac{dv}{db} + (A,C)\frac{dv}{dc} + \dotsb = \frac{dA}{dy}, \\ +&\qquad\etc\ldots +\end{aligned}\right.& +\end{flalign*} +\marginpage % *** File: 417.png +D'autre part, si l'on différentie successivement la première des formules +(6) par rapport à chacune des quantités $a$, $b$, $c$,\dots\ en considérant +$x$, $y$, $z$,\dots $u$, $v$, $w$,\dots\ comme des fonctions de $a$, $b$, $c$,\dots $t$, +on en tirera +\renewcommand\minalignsep{0pt}\begin{flalign*} +&(11)\;\begin{aligned}[t] +&1=\frac{dA}{dx}\frac{dx}{da} + \frac{dA}{dy}\frac{dy}{da} + \dotsbsmall + +\frac{dA}{du}\frac{du}{da} + \dotsbsmall,\, 0=\frac{dA}{dx}\frac{dx}{db} + +\dotsbsmall, \, 0=\frac{dA}{dx}\frac{dx}{dc} + \dotsbsmall,\\ +&\etc\end{aligned}& +\end{flalign*}\renewcommand\minalignsep{0pt} +Cela posé, si l'on combine par voie d'addition les formules (9) et (10), +après avoir multiplié respectivement les formules (9) par $-\dfrac{du}{da}$, +$-\dfrac{dv}{da}$, $-\dfrac{dw}{da}$,\dots\ et les formules (10) par +$\dfrac{dx}{da}$, $\dfrac{dy}{da}$, $\dfrac{dz}{da}$,\dots, on trouvera, +en ayant égard à la première des équations (11), +\begin{flalign*} +&(12)\quad\left\{\quad +\begin{alignedat}{4} +&(A, A) \dethoriz{a}{a} &&+ (A, B) \dethoriz{a}{b} &&+ (A, C) \dethoriz{a}{c} &&+ \dotsb = 1;\\[1ex] +&\rlap{on aura de même,}\\[1ex] +&(A, A) \dethoriz{b}{a} &&+ (A, B) \dethoriz{b}{b} &&+ (A, C) \dethoriz{b}{c} &&+ \dotsb = 0,\\ +&(A, A) \dethoriz{c}{a} &&+ (A, B) \dethoriz{c}{b} &&+ (A, C) \dethoriz{c}{c} &&+ \dotsb = 0,\\[1ex] +&\qquad\etc +\end{alignedat}\right.& +\end{flalign*} +Les équations (12) suffisent pour déterminer les valeurs des quantités +$(A, B)$, $(A, C)$, etc.\dots, quand on connaît celles des quantités constantes +$\dethoriz{a}{b}$, $\dethoriz{a}{c}$,\dots, $\dethoriz{b}{c}$. Des équations semblables détermineront +les valeurs de $(B, A)$, $(B, C)$,\dots\ etc.\dots\ Donc les quantités $(A,B)$, +$(A, C)$,\dots $(B, C)$, etc.\dots\ sont elles-mêmes const\-antes, et ne dépendent +pas de la variable $t$. + +Il est bon d'observer que, si, dans les équations (6) différentiées +par rapport à $t$, on substitue les valeurs de $\dfrac{dx}{dt}$, $\dfrac{dy}{dt}$,\dots\ $\dfrac{du}{dt}$,\dots\ tirées +des équations (1), les formules ainsi obtenues, savoir, +\[ +0 = \frac{dA}{dx}\frac{dQ}{du} + \frac{dA}{dy}\frac{dQ}{dv} + \dotsb +- \frac{dA}{du}\frac{dQ}{dx} - \dotsb ,\; 0=\frac{dB}{dx}\frac{dQ}{du} + \dotsb +-\frac{dB}{du}\frac{dQ}{dx} - \dotsb ,\tag{13} +\] +\marginpage % *** File: 418.png +auront pour seconds membres des fonctions identiquement nulles de +$x$, $y$, $z$,\dots $u$, $v$, $w$,\dots $t$. Car, s'il en était autrement, il existerait entre +les valeurs générales de $x$, $y$, $z$,\dots $u$, $v$, $w$,\dots $t$, et par conséquent +aussi entre les valeurs initiales de $x$, $y$, $z$,\dots $u$, $v$, $w$,\dots\ correspondantes +à $t = 0$, des équations qui ne renfermeraient aucune constante +arbitraire; ce qui est absurde, puisque ces valeurs initiales peuvent +être choisies arbitrairement. + +Supposons maintenant qu'il s'agisse d'intégrer non plus les équations +(1), mais les suivantes: +\begin{align*}\tag{14} +\left\{ +\begin{aligned} +\frac{dx}{dt}=&\frac{dQ}{du}+\frac{dR}{du},\quad\frac{dy}{dt}=\frac{dQ}{dv}+\frac{dR}{dv}, +\quad \frac{dz}{dt}=\frac{dQ}{dw}+\frac{dR}{dw}, \text{etc\dots},\\ +\frac{du}{dt}=&-\frac{dQ}{dx}-\frac{dR}{dx},\quad \frac{dv}{dt}=-\frac{dQ}{dy}- +\frac{dR}{dy}, \quad \frac{dw}{dt}=-\frac{dQ}{dx}-\frac{dR}{dz}, \text{etc\dots}, +\end{aligned}\right. +\end{align*} +on pourra supposer encore les valeurs de $x$, $y$, $z$,\dots $u$, $v$, $w$,\dots{} +déterminées par les équations (6), pourvu que l'on y considère $a$, $b$, $c$,\dots{} +comme devenant fonctions de $t$. Alors, si, dans la première des équations +(6), différentiée par rapport à $t$, on substitue les valeurs de +$\dfrac{dx}{dt}$, $\dfrac{dy}{dt}$,\dots$\dfrac{du}{dt}$,\dots\ tirées des équations (14), si d'ailleurs on a égard +à la première des formules (13), qui subsiste, quelles que soient les +valeurs de $x$, $y$, $z$,\dots $u$, $v$, $w$,\dots $t$, on trouvera +\[ +\frac{da}{dt}=\frac{dA}{dx}\frac{dR}{du}+\frac{dA}{dy}\frac{dR}{dv}+ \dotsb +-\frac{dA}{du}\frac{dR}{dx}- \dotsb ,\tag{15} +\] +Enfin, si, après avoir exprimé $R$ en fonction de $a$, $b$, $c$,\dots $t$, on y +substitue, au lieu de $a$, $b$, $c$,\dots\ les fonctions de $x$, $y$, $z$,\dots $u$, $v$, $w$,\dots $t$ +représentées par $A$, $B$, $C$,\dots, on retrouvera identiquement la première +valeur de $R$; et l'on aura, par suite, +\begin{align*} +\frac{dR}{dx}=\frac{dR}{da}\frac{dA}{dx}+\frac{dR}{db}\frac{dB}{dx}&+ \dotsb ,\; +\frac{dR}{dy}=\frac{dR}{da}\frac{dA}{dy}+\frac{dR}{db}\frac{dB}{dy}+ \dotsb , \etc\dots, \tag{16} \\ +\frac{dR}{du}=\frac{dR}{da}\frac{dA}{du}&+ \dotsb ,\; \etc +\end{align*} +\marginpage % *** File: 419.png +Cela posé, la formule (15) donnera +\begin{flalign*}\tag{17} +&\quad\left\{\quad +\begin{aligned} +&\frac{da}{dt}=(A,B)\frac{dR}{db}+(A,C)\frac{dR}{dc}+ \dotsb ; \text{on trouvera de même}\\ +&\frac{db}{dt}=(B,A)\frac{dR}{da}+(B,C)\frac{dR}{dc}+ \dotsb ,\\ +&\qquad\text{etc\dots} +\end{aligned} \right.& +\end{flalign*} +Telles sont les équations différentielles qui devront servir à déterminer +$a$, $b$, $c$,\dots\ en fonction de $t$. Les coefficients de +$\dfrac{dR}{da}$, $\dfrac{dR}{db}$, etc.,\dots\ dans ces équations, seront, d'après les remarques +précédemment faites, des fonctions des seules quantités $a$, $b$, $c$,\dots; +et la variable $t$ n'y entrera pas d'une manière explicite. + +\begin{center} +\emph{Application à la Mécanique céleste.} +\end{center} + +2.~Soient $\gothicM$ la masse du Soleil, $m$, $m'$, $m''$\dots\ les masses des planètes: +prenons pour origine des coordonnées le centre du Soleil, et +soient +\[ +x,\; y,\; z,\quad x',\; y',\; z', \ldots +\] +les coordonnées des planètes dans leurs mouvements relatifs autour +de cet astre. En choisissant convenablement l'unité de masse, désignant +par $u$, $v$, $w$ les vitesses de $m$ mesurées parallèlement aux +axes des $x$, $y$, $z$, et faisant pour abréger +\begin{gather*} +M = \gothicM + m,\\ +r = (x^2+y^2+z^2)^\frac{1}{2},\quad r'=(x'^2+y'^2+z'^2)^\frac{1}{2},\text{etc}.,\\ +\scriptr'=[(x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2]^\frac{1}{2},\\ +R=\frac{m'(xx' +yy' +zz')}{r'^3} + \dotsb - \frac{m'}{\scriptr'} - \dotsb , +\end{gather*} +\marginpage % *** File: 420.png +on trouvera pour les équations différentielles du mouvement de $m$, +\begin{gather*} +\frac{dx}{dt}=u, \qquad\qquad \frac{dy}{dt}=v,\qquad\qquad \frac{dz}{dt}=w,\\ +\frac{du}{dt}=- \frac{Mx}{r^3}-\frac{dR}{dx},\quad \frac{dv}{dt}=-\frac{My}{r^3}-\frac{dR}{dy},\quad \frac{dw}{dt}= -\frac{Mz}{r^3}-\frac{dR}{dz}. +\end{gather*} +Pour déduire ces dernières formules des équations (14) du numéro +précédent, il suffira de prendre +\[ +Q = \frac{u^2+v^2+w^2}{2}-\frac{M}{r} +\] +et d'admettre que $R$ est fonction seulement de $x$, $y$, $z$, $x'$, $y'$, $z'$,\dots. +Ainsi la théorie générale exposée ci-dessus s'applique sans difficulté +aux équations différentielles du mouvement des planètes. + +\jmpafin + +% *** File: 421.png + +\jmpapaper{}{} +{Sur quelques Propriétés générales des Surfaces gauches;} +{Par M.~CHASLES.}{} +\label{art35} + +\textsc{Théorème.} \emph{Tout plan mené par une génératrice d'une surface +gauche touche la surface en un point, et lui est normal en un +autre point;} + +\emph{Ces deux points ont entre eux la relation suivante:} + +\emph{Le produit de leurs distances à un certain point fixe, situé sur la +génératrice, est constant.} + +Tout plan mené par une génératrice coupe la surface suivant une +courbe; et le point où cette courbe rencontre la génératrice est le +\emph{point de contact} du plan et de la surface. Pour déterminer le point +où le plan est \emph{normal} à la surface, il faut mener, par la même génératrice, +un second plan qui soit perpendiculaire au premier, et prendre +le point où ce second plan touchera la surface; ce sera le point où le +premier plan lui sera normal. Nous aurions donc pu énoncer le théorème +de cette manière: + +\emph{Étant menés, par une même génératrice d'une surface gauche, deux +plans rectangulaires, les points où ces deux plans touchent la surface +auront entre eux cette relation, que, le produit de leurs distances à +un certain point fixe, situé sur la génératrice, sera constant.} + +On peut mener d'une infinité de manières un hyperboloïde à une +nappe tangent à une surface gauche suivant toute l'étendue d'une génératrice; +tout plan mené par la génératrice touchera la surface et +l'hyperboloïde au même point; il suffit donc de démontrer le théorème +pour un hyperboloïde. + +Concevons trois systèmes de deux plans rectangulaires menés par +une génératrice $D$ d'un hyperboloïde. Soient $A$, $A'$ les plans du premier +système, $B$, $B'$ ceux du second, et $C$, $C'$ ceux du troisième. +\marginpage % *** File: 422.png +Ces six plans donnent lieu à la relation d'\emph{involution} entre les sinus de +leurs inclinaisons mutuelles; c'est-à-dire qu'on a +\[ +\frac{\sin C,\hfill A\ \ldot \sin C,\hfill A'}{\sin C', A\ \ldot \sin C', A'} = \frac{\sin C,\hfill B \ldot \sin C,\hfill B' }{\sin C', B \ldot \sin C', B'}. +\] + +Cette équation se vérifie aisément; car les angles qui y entrent sont +égaux, deux à deux. Ainsi, par exemple, l'angle $\widehat{C, A}$ est égal à l'angle +$C', A'$, puisque les deux plans $C'$, $A'$ sont perpendiculaires, respectivement, +aux deux plans $C$, $A$. Il s'ensuit que les facteurs des numérateurs +sont égaux, un à un, aux facteurs des dénominateurs, et qu'ainsi +l'équation est vérifiée. + +Cette équation est une de celles qui subsistent quand on y remplace +les sinus des inclinaisons des plans par les segments que ces plans font +sur une transversale quelconque. Soit donc une transversale menée +arbitrairement dans l'espace, et soient $a$, $a'$, $b$, $b'$, $c$, $c'$ les points où +les six plans $A$, $A'$, $B$, $B'$, $C$, $C'$ la rencontrent; on aura entre ces +points la relation +\[ +\frac{ca \ldot ca'}{c'a \ldot c'a'} = \frac{cb \ldot cb'}{c'b \ldot c'b'}. +\] + +Supposons que la transversale soit une génératrices $D'$ de l'hyperboloïde, +et soient $\alpha$, $\alpha'$, $\beta$, $\beta'$, $\gamma$, $\gamma'$ les points où les six plans sont +tangents à l'hyperboloïde; alors les six droites $\alpha a$, $\alpha' a'$, $\beta b$, $\beta' b'$, $\gamma c$, +$\gamma' c'$ seront six génératrices du second mode de génération de l'hyperboloïde. + +Considérons le quadrilatère formé par les quatre génératrices $D$, $D'$, +$\gamma c$, $\gamma' c'$, dont les sommets, pris consécutivement, sont $\gamma$, $c$, $c'$, $\gamma'$. +On sait que pour une génératrice quelconque qui s'appuie en $\mu$ et $m$ +sur les deux côtés opposés $\gamma \gamma'$, $cc'$, on a la relation constante +\[ +\frac{mc}{mc'} = k \ldot \frac{\mu \gamma}{\mu \gamma'}, +\] +où $k$ est une constante\footnote{J'ai démontré ce théorème dans le tome II de la \emph{Correspondance sur l'École +Polytechnique}, p.~446. Depuis il a été reproduit dans plusieurs traités de Géométrie +descriptive.}. +\marginpage % *** File: 423.png + +Prenant successivement, pour la génératrice $\mu m$, les quatre droites +$\alpha a$, $\alpha'a'$, $\beta b$, $\beta'b'$, on aura +\begin{alignat*}{2} +&\frac{ac}{ac'} = k \ldot \frac{\alpha \gamma}{\alpha \gamma'},\qquad&& \frac{a'c}{a'c'} = k \ldot\frac{\alpha' \gamma}{\alpha'\gamma'},\\ +&\frac{bc}{bc'} = k \ldot \frac{\beta \gamma}{\beta \gamma'}, && \frac{b'c}{b'c'} = k \ldot\frac{\beta'\gamma}{\beta'\gamma'}. +\end{alignat*} + +D'après ces relations, l'équation ci-dessus devient celle-ci: +\[ +\frac{\gamma \alpha \hfill\ldot\hfill \gamma \alpha' }{\gamma' \alpha \ldot \gamma' \alpha'} = \frac{\gamma \beta \hfill\ldot\hfill \gamma \beta' }{\gamma' \beta \ldot \gamma' \beta'}. +\] +$\alpha$, $\alpha'$, $\beta$, $\beta'$, $\gamma$, $\gamma'$ sont les points de contact des six plans $A$, $A'$, $B$, +$B'$, $C$, $C'$ avec l'hyperboloïde, et par conséquent avec la surface gauche. +Et si l'on ne considère que les trois plans $A$, $B$, $C$ qui sont menés +arbitrairement par la génératrice $D$, nous dirons que $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ sont les +points où ils touchent la surface, et $\alpha'$, $\beta'$, $\gamma'$ les points où ils lui +sont normaux. L'équation ci-dessus exprime donc une propriété générale +de la surface, relative aux trois plans $A$, $B$, $C$. Cette équation +est celle qu'on appelle \emph{involution de six points}; nous pouvons donc +dire que + +\emph{Si l'on mène trois plans quelconques par une génératrice d'une surface\break +gauche, les trois points où ils seront tangents à la surface, et les +trois points où ils lui seront normaux seront six points en involution.} + +Maintenant supposons que le plan $C$ soit mené parallèlement à +la génératrice de la surface qui est infiniment voisine de la génératrice +$D$; alors le point de contact du plan $C$ avec la surface sera +à l'infini; ou, en d'autres termes, la courbe d'intersection de la surface +par le plan $C$ ne rencontrera la génératrice $D$ qu'à l'infini, +puisque ce plan rencontre la génératrice infiniment voisine à l'infini. +Ainsi le point $\gamma$ est à l'infini, et l'équation ci-dessus se réduit à +\[ +\gamma' \alpha \ldot \gamma' \alpha' = \gamma' \beta \ldot \gamma' \beta'. +\] + +Donc le produit des distances des deux points $\alpha$, $\alpha'$ au point $\gamma'$ est +égal au produit des distances des deux points $\beta$, $\beta'$ au même point $\gamma'$. + +\emph{Ce qui démontre le théorème énoncé.} + +\emph{Observations}. Le point $\gamma'$ est, comme on voit, celui où le plan +mené par la génératrice $D$, parallèlement à la génératrice infiniment +\marginpage % *** File: 424.png +voisine, est \emph{normal} à la surface. Appelons $O$ ce point, au lieu de $\gamma'$. +Ce point $O$ jouit de quelques propriétés géométriques. + +Pour déterminer ce point, il faut concevoir le plan mené par la génératrice +$D$ parallèlement à la génératrice infiniment voisine $D'$, et +mener par la droite $D$ un second plan perpendiculaire à ce premier; +puis chercher le point où ce second plan touchera la surface: ce point +de contact sera le point $O$. Or le second plan passera par la droite qui +mesure la plus courte distance des deux génératrices $D$, $D'$. Cette +droite, qui est infiniment petite, est située sur la surface; le point où +elle s'appuie sur la génératrice $D$ est donc le point de contact du second +plan avec la surface. C'est donc le point $O$. + +Ainsi, \emph{le point $O$ est le point où la droite qui mesure la plus courte +distance entre la génératrice $D$ et la génératrice infiniment voisine, +s'appuie sur la première}. + +Que par tous les points de la génératrice $D$ on mène des plans perpendiculaires +à cette droite, et des tangentes aux courbes d'intersection +de la surface par ces plans; ces tangentes s'appuieront sur la +génératrice infiniment voisine $D'$, et formeront un paraboloïde hyperbolique +tangent à la surface suivant la génératrice $D$. + +\emph{Le sommet de ce paraboloïde est le point $O$.} + +En effet, ce qui caractérise le sommet d'un paraboloïde, c'est que +le plan tangent en ce point est perpendiculaire aux deux plans \emph{directeurs} +du paraboloïde\footnote{Les plans \emph{directeurs} d'un paraboloïde sont les deux plans auxquels les génératrices +des deux modes de génération du paraboloïde sont respectivement +parallèles.}. Or le premier plan directeur du paraboloïde +est perpendiculaire à la génératrice $D$; le plan tangent en $O$ lui est donc +perpendiculaire. Le second plan directeur est parallèle aux deux génératrices +$D$, $D'$; et, par conséquent, perpendiculaire à la droite qui +mesure la plus courte distance de ces deux génératrices; donc le plan +tangent en $O$, qui passe par cette droite, est perpendiculaire à ce second +plan directeur. Donc \emph{le point $O$ est le sommet du paraboloïde}. + +Maintenant supposons que le paraboloïde tourne autour de la génératrice +$D$, et fasse un quant de conversion; ses génératrices qui étaient +perpendiculaires à la droite $D$ lui seront restées perpendiculaires et +\marginpage % *** File: 425.png +seront devenues normales à la surface, puisqu'elles étaient situées auparavant +dans ses plans tangents. On conclut de là que + +\emph{Les normales à une surface gauche, menées par les différents points +d'une de ses génératrices, forment un paraboloïde qui a son sommet +au point $O$ déterminé ci-dessus.} + +De ces considérations résulte la construction suivante du point $O$: + +Qu'en trois points de la génératrice $D$ on mène les normales à la +surface; qu'on cherche une droite qui s'appuie sur ces trois normales, +et qu'on mène la droite qui mesure la plus courte distance entre cette +droite et la génératrice $D$; \emph{le point où cette plus courte distance s'appuiera +sur la génératrice $D$ sera le point $O$}. + +Enfin, l'équation +\[ +O \alpha \ldot O \alpha' = O \beta \ldot O \beta' +\] +donne un autre moyen pour construire le point $O$; car les points $\alpha$, $\alpha'$, +$\beta$, $\beta'$ étant connus, cette équation fait connaître le point $O$. + +Sur chaque génératrice d'une surface gauche il existe un pareil +point $O$, qu'on peut définir aussi comme étant le sommet du paraboloïde +normal à la surface suivant la génératrice. Tous ces points +forment sur la surface une ligne courbe qui jouit de diverses propriétés +que nous examinerons dans un autre article. Nous nous bornerons +à dire ici que, sur un paraboloïde, cette courbe est l'ensemble +de deux paraboles qui ont pour axe commun celui du paraboloïde. + +\jmpafin + +% *** File: 426.png + +\jmpapaperl{TROISIÈME MÉMOIRE}{} +{Sur le développement des fonctions ou parties de fonctions +en séries dont les divers termes sont assujétis à satisfaire à +une même équation différentielle du second ordre, contenant +un paramètre variable;} +{Par J. LIOUVILLE\footnotemark.} +{(Présenté à l'Académie des Sciences. --- Août 1837.)} +\label{art36} +\footnotetext{\emph{Voyez} le tome I\ier\ de ce Journal, page 253 et le tome II, page 16 \pdf{art4}.} + +\mysection{I.} + +1.~Dans ce troisième mémoire, comme dans les deux précédents, +je considère les fonctions $V$ qui satisfont à l'équation différentielle +\[ +\tag{1} \frac {d\Big(k \dfrac{dV}{dx}\Big)}{dx} + (gr -l)V = 0, +\] +et aux conditions définies +\begin{alignat*}{2} +\tag{2} \frac{dV}{dx} &- \,hV = 0 \quad&&\text{pour } x = \x,\\ +\tag{3} \frac{dV}{dx} &+ HV = 0 \quad&&\text{pour } x = X: +\end{alignat*} +$x$ est une variable réelle qui peut croître depuis x jusqu'à $X$: $h$, $H$ +sont deux coefficients positifs, et $g$, $k$, $l$ trois fonctions positives +de $x$. Pour que les équations (1), (2), (3) aient lieu en même +temps, il faut que le paramètre $r$ soit choisi parmi les racines (réelles +et positives) $r_1$, $r_2$, $r_3$,\dots\ d'une certaine équation transcendante +\marginpage % *** File: 427.png +$\varpi(r)=0$. Cela posé, on veut démontrer la convergence et trouver +la somme de la série +\[ +\tag{4} \sum\left\{\frac{V {\dint_\x^X} gVf(x)dx}{{\dint_\x^X} gV^2dx}\right\}, +\] +dans laquelle le signe $\sum$ s'applique aux valeurs de $r$ dont il vient +d'être question et où $f(x)$ représente une fonction réelle\footnote +{Si la fonction $f(x)$ était imaginaire et de la forme $f_1(x)+\sqrt{-1} f_2(x)$, +on décomposait la série (4) en deux autres séries semblables, relatives aux deux +autres fonctions réelles $f_1(x)$, $f_2(x)$.} +de $x$. Cette fonction $f(x)$ est arbitraire: elle peut changer de forme ou +d'expression analytique dans l'étendue des valeurs de la variable; +mais nous supposerons en général que pour chaque valeur déterminée +de $x$ elle prend une valeur unique et déterminée, et que, de +plus, elle croît infiniment peu lorsque la variable $x$ elle-même subit +un accroissement infiniment petit. J'ai démontré le premier la convergence +de la série (4), dans un mémoire imprimé à la page 16 \pdf{art4} de +ce volume; mais l'analyse dont j'ai fait usage alors, quoique simple +et élégante, n'est pas encore assez générale. En effet, elle exige que +les dérivées premières et secondes des fonctions $g$, $k$, $f(x)$ ne deviennent +jamais infinies lorsque $x$ croît de x à $X$, et que, de plus, +$f(x)$ vérifie les deux conditions suivantes: +\[ +\tag{5}\left\{\quad\begin{alignedat}{2} +&\frac{df(x)}{dx}-hf(x) = 0 \quad&&\text{pour } x = \x,\\ +&\frac{df(x)}{dx}+Hf(x) = 0 \quad&&\text{pour } x = X. +\end{alignedat}\right. +\] + +Je me propose ici de faire disparaître, autant qu'il me sera possible, +ces restrictions diverses, et surtout celles relatives à la fonction +$f(x)$. Il me suffira, pour cela, de modifier un peu la méthode +dont je me suis servi précédemment, ce qui, je dois l'avouer, en altérera +l'élégance. Mais la démonstration nouvelle qui résultera de ce +changement sera aussi rigoureuse que l'ancienne et beaucoup plus +complète. En l'exposant j'admettrai, pour plus de simplicité, que +des deux nombres $h$, $H$ aucun n'est infini. +\marginpage % *** File: 428.png + +2.~Il faut d'abord, comme dans mon second mémoire, changer +de variable indépendante et remplacer la fonction $V$ par une autre +fonction $U$. Posons +\[ +z = \int_\x^x\sqrt{\frac{g}{k}}\ldot dx,\quad \theta =\frac{1}{\sqrt[4]{gk}},\quad V=\theta U,\quad r=\rho^2: +\] +l'équation (1) deviendra +\[ +\tag{6} \frac{d^2U}{dz^2} + \rho^2 U = \lambda U, +\] +$\lambda$ représentant la quantité +\[ +\frac{1}{\theta\sqrt{gk}} \Big( l\sqrt{\frac{k}{g}}\ldot \theta - \frac{d\sqrt{gk}}{dz}\ldot \frac{d\theta}{dz} - \sqrt{gk}\ldot\frac{d^2\theta}{dz^2}\Big). +\] +Quant aux équations (3), (4), si on leur applique les mêmes transformations, +elles prendront la forme +\begin{alignat*}{2} +\tag{7} &\frac{dU}{dz} - h' U = 0 \quad&&\text{pour }z = 0,\\ +\tag{8} &\frac{dU}{dz} + H' U = 0 \quad&&\text{pour }z = Z, +\end{alignat*} +$Z$ étant la valeur de $z$ qui répond à $x = X$ : $h'$, $H'$ désignent +deux constantes différentes de $h$, $H$, et qui ne sont pas assujéties, +comme ces dernières, à la condition d'être positives. + +On aura en même temps, par un calcul très simple, +\[ +\int_\x^X gV^2 dx = \int_0^Z U^2dz. +\] +En faisant +\[ +f(x) \sqrt[4]{gk} = \f(z), +\] +on aura aussi +\[ +\int_\x^X gVf(x) dx = \int_0^Z U\f(z)dz. +\] +Représentons par $\theta T$ le terme général de la série (4): cette série sera +\marginpage % *** File: 429.png +exprimée par $\theta\sum T$, et la valeur de $T$ pourra se mettre sous la forme +\[ +\tag{9} T = \frac{U{\dint^Z_0} U\f(z)dz}{{\dint^Z_0} U^2dz}, +\] +que nous lui attribuerons désormais exclusivement. Nous considérerons, +dans les numéros qui suivent, les termes de la série $\sum T$ qui répondent +à des valeurs de $\rho$ très grandes, et nous démontrerons la +convergence de cette série, quelle que soit la fonction $f(x)$. Pour +l'exactitude de nos raisonnements, il suffira que la valeur absolue +$\sqrt{\lambda^2}$ de la fonction $\lambda$ soit tellement composée en $z$ que l'intégrale +${\dint_0^Z} \sqrt{\lambda^2}\ldot dz$ ait une valeur finie et puisse être regardée comme équivalente +à la somme de ses éléments. Cette condition est remplie, +dans certains cas, même par une fonction $\lambda$ qui devient infinie pour +une ou plusieurs valeurs de $z$ comprises entre $0$ et $Z$. Quand la convergence +de la série (4) aura été ainsi démontrée, on pourra conclure +de la méthode développée dans mon premier mémoire, que la +somme de cette série est $f(x)$ depuis $ x = \x$ jusqu'à $x = X$. Pour +l'exactitude de l'équation $f(x) = \theta\sum T$, il n'est pas du tout nécessaire +que la fonction $f(x)$ satisfasse aux conditions (5): ces conditions, +que j'ai imposées mal à propos à la fonction $f(x)$ dans +mes deux premiers mémoires, sont inutiles et doivent être absolument +mises de côté. + +\mysection{II.} + +3.~Désignons, comme dans mon second mémoire, par $\lambda'$, $U'$, +ce que deviennent $\lambda$ et $U$ lorsqu'on y remplace $z$ par $z'$: nous +tirerons de l'équation (6) l'équation nouvelle +\[ +\tag{10} U = \cos\rho z + \frac{h'\sin\rho z}{\rho} + \frac{1}{\rho}\int_0^z\lambda' U'\sin\rho (z-z')dz', +\] +qui a été donnée déjà à la page 24 \pdf{p24eq14} +de ce volume. Cette valeur +de $U$ satisfait à la fois à l'équation indéfinie (6) et à la condition définie +(7): elle suppose que l'on ait pris pour unité la valeur arbitraire +de $U$ relative à $z= 0$. On peut s'en servir pour trouver une +limite supérieure de la plus grande valeur absolue que $U$ puisse +\marginpage % *** File: 430.png +prendre lorsque $z$ croît de $0$ à $Z$. Soit en effet $Q$ cette valeur \emph{maxima}. +Si la quantité $\sqrt{\lambda^2}$ est telle que l'intégrale ${\dint_0^Z} \sqrt{\lambda^2}\ldot dz$ puisse être +regardée comme équivalente à la somme de ses éléments, il en +sera de même \emph{à fortiori} de l'intégrale +\[ +\int_0^Z\!\lambda'U'\sin\rho(z - z')dz': +\] +la valeur de cette dernière intégrale augmentera donc en remplaçant +$\lambda'$ par $\sqrt{\lambda'^2}$, $U'$ par $Q$, $\sin \rho(z - z')$ par l'unité et $z$ par $Z$: d'un +autre côté, le maximum de $\cos \rho z+\dfrac{h'\sin\rho z}{\rho} $ est $\sqrt{1+\Big(\dfrac{h'}{\rho}\Big)^2}$: donc +le second membre de l'équation (10) est constamment plus petit que +\[ +\sqrt{1+\Big(\frac{h'}{\rho}\Big)^2} + \frac{Q}{\rho}\int_0^Z\!\sqrt{\lambda^2}\ldot dz, +\] +et comme, d'un autre côté, il peut devenir égal à $Q$, cela exige +que l'on ait +\[ +Q < \sqrt{1+\Big(\frac{h'}{\rho}\Big)^2} + \frac{Q}{\rho}\int_0^Z\!\sqrt{\lambda^2}\ldot dz. +\] +Ainsi, pour des valeurs de $\rho$ supérieures à ${\dint_0^Z} \sqrt{\lambda^2}\ldot dz$, il vient +\[ +Q < \frac{\sqrt{1+\Big(\dfrac{h'}{\rho}\Big)^2}}{1-\dfrac{1}{\rho}{\dint_0^Z} \!\sqrt{\lambda^2}\ldot dz}. +\] +On peut donc trouver une limite indépendante de $\rho$ au-dessous de +laquelle $Q$ et $U$ tomberont toujours, pour des valeurs de $\rho$ de plus +en plus grandes: afin de mieux préciser cette limite, nous dirons +que l'on a par exemple $U < 2$ lorsque le paramètre $\rho$ est suffisamment +grand. Ce théorème a été démontré, mais d'une manière moins +générale, dans mon second mémoire. + +\mysection{III.} + +4.~En différenciant l'équation (10) par rapport à $z$, on obtient +\marginpage % *** File: 431.png +la valeur de $\dfrac{dU}{dz}$: il est aisé d'en déduire ensuite celle de $\dfrac{dU}{dz} + H'U$ +relative $z = Z$, et par conséquent de former, d'après la condition (8), +l'équation dont les valeurs de $\rho$ dépendent. En posant, comme dans +le mémoire déjà cité, +\begin{alignat*}{2} +&P &&= h' + H' + \int_0^Z \!\lambda'U'\Big(\cos\rho z' - \frac{H'\sin\rho z'}{\rho}\Big)dz',\\ +&P' &&= \frac{H'h'}{\rho} + \int_0^Z \!\lambda'U'\Big(\frac{H'\cos\rho z'}{\rho} ++\sin\rho z'\Big)dz', +\end{alignat*} +cette équation sera +\[ +\tang\rho Z=\frac{P}{\rho-P'}.\tag{11} +\] + +D'après la composition des fonctions $P$ et $P'$, on voit que pour +de grandes valeurs de $\rho$ elles ne peuvent jamais dépasser un certain +maximum absolu indépendant de ce paramètre et facile à calculer : +en se rappelant que l'on a $U < 2$, on trouve en effet +\begin{alignat*}{2} +&P &&< \sqrt{(h'+H')^2} + 2\sqrt{1+\Big(\frac{H'}{\rho}\Big)^2}\ldot \int_0^Z\!\sqrt{\lambda^2}\ldot dz,\\ +&P' &&< \sqrt{\frac{H'^2h}{\rho^2}}+2\sqrt{1+\Big(\frac{H'}{\rho}\Big)^2}\ldot \int_0^Z\!\sqrt{\lambda^2}\ldot dz, +\end{alignat*} +d'où résulte +\begin{alignat*}{2} +&P &&< \sqrt{(h'+H')^2} + 2\sqrt{2}\ldot \int_0^Z\! \sqrt{\lambda^2}\ldot dz,\\ +&P' &&< 1 + 2\sqrt{2}\ldot \int_0^Z\! \sqrt{\lambda^2}\ldot dz, +\end{alignat*} +dès que le paramètre $\rho$ a une valeur numérique supérieure à celle des +deux quantités $H'$, $H'h'$: il est inutile d'avertir que dans ces inégalités +les radicaux sont tous pris positivement. + +On trouvera de même une limite indépendante de $\rho$ pour les +deux dérivées $\dfrac{dP}{d\rho}$, $\dfrac{dP'}{d\rho}$. On peut conclure de là que pour des valeurs +\marginpage % *** File: 432.png +de $\rho$ très grandes, le second membre de l'équation (11) et sa +dérivée prise par rapport à deviennent de très petits nombres. + +5.~Maintenant mettons l'équation (11) sous la forme +\[ +\tang \rho Z - \frac{P}{\rho-P'} = 0.\tag{12} +\] +Désignons par $n$ un nombre entier très grand et substituons au lieu +de $\rho$ les deux quantités +\[ +\frac{1}{Z}\Big(n\pi-\frac{\pi}{4}\Big),\quad +\frac{1}{Z}\Big(n\pi+\frac{\pi}{4}\Big) +\] +dans la fonction +\[ +\tang \rho Z - \frac{P}{\rho-P'}: +\] +par ces substitutions, le terme $\tang \rho Z$ deviendra successivement +$-1$, $+1$: le second terme au contraire sera très petit. Donc, la +fonction dont il s'agit (fonction qui reste évidemment continue entre +les limites citées) passera du négatif au positif, d'où l'on doit conclure +que entre les limites +\[ +\frac{1}{Z}\Big(n\pi-\frac{\pi}{4}\Big),\quad +\frac{1}{Z}\Big(n\pi+\frac{\pi}{4}\Big) +\] +il existe une racine de l'équation (12) ou de l'équation (11). Je dis +de plus qu'il n'y en a qu'une; car, dans le cas contraire, il faudrait +que la dérivée prise par rapport à $\rho$ de la fonction +\[ +\tang \rho Z - \frac{P}{\rho-P'} +\] +pût devenir égale à zéro entre ces limites, ce qui n'est pas, puisque +lorsque $\rho Z$ varie depuis $n\pi - \dfrac{\pi}{4}$ jusqu'à $n\pi + \dfrac{\pi}{4}$, la dérivée de +$\tang \rho Z$ est toujours $>Z$, tandis que celle de $\dfrac{P}{\rho-P'}$ est très petite. + +Il y a de même une seule racine entre +\[ +\frac{1}{Z}\Big[(n+1)\pi-\frac{\pi}{4}\Big]\qtext{et} +\frac{1}{Z}\Big[(n+1)\pi+\frac{\pi}{4}\Big], +\] +\marginpage % *** File: 433.png +entre +\[ +\frac{1}{Z}\Big[(n+2)\pi-\frac{\pi}{4}\Big]\qtext{et} +\frac{1}{Z}\Big[(n+2)\pi+\frac{\pi}{4}\Big],\ \etc, +\] +Mais il n'en existe aucune entre +\[ +\frac{1}{Z}\Big(n\pi+\frac{\pi}{4}\Big)\qtext{et} +\frac{1}{Z}\Big[(n+1)\pi-\frac{\pi}{4}\Big],\ \etc, +\] +entre +\[ +\frac{1}{Z}\Big[(n+1)\pi+\frac{\pi}{4}\Big]\qtext{et} +\frac{1}{Z}\Big[(n+2)\pi-\frac{\pi}{4}\Big],\ \etc, +\] +comme on peut s'en assurer en observant que, pour les valeurs +de $\rho$ comprises dans chacun de ces intervalles, on a $\tang^2 \rho Z > 1$. + +6.~La racine $\rho$ comprise entre +\[ +\frac{1}{Z}\Big(n\pi-\frac{\pi}{4}\Big)\qtext{et} +\frac{1}{Z}\Big(n\pi+\frac{\pi}{4}\Big) +\] +s'obtient du reste sans difficulté puisque l'équation (11) résolue donne +\[ +\rho Z = n\pi + \arctang \frac{P}{\rho - P'}: +\] +en remplaçant $\arctang \dfrac{P}{\rho - P'}$ par $\dfrac{P}{\rho - P'}$ ou par $\dfrac{P}{\rho}$, et ensuite $\rho$ par +$\dfrac{n\pi}{Z}$ dans la fraction $\dfrac{P}{\rho}$, on aura une expression de $\rho$ très approchée. On +voit par là que la valeur de $\rho$ est de la forme +\[ +\tag{13}\rho = \frac{n\pi}{Z} + \frac{B_n}{n}, +\] +$B_n$ étant une fonction de $n$ dont la valeur absolue restera toujours +inférieure à une certaine limite, indépendante de $n$, que l'on +pourrait assigner. + +7.~Les racines qui viennent après celles-là par ordre de grandeur +s'en déduiront en augmentant successivement le nombre $n$ d'une +unité. En les élevant au carré, on obtiendra les valeurs correspondantes +du paramètre $r$: on pourrait même démontrer que la $(n+1)$\iieme\ +\marginpage % *** File: 434.png +des racines $r_1$, $r_2$, etc., est précisément exprimée par +\[ +\Big(\frac{n \pi }{Z} + \frac{B_n}{n}\Big)^2: +\] +c'est ce que j'ai fait voir à la page 30 \pdf{p30eqrn} de ce volume et ce sur quoi +il est inutile d'insister ici. Il suffit d'observer que la partie principale +des racines $\rho$ fournies par la formule +\[ +\rho = \frac{n \pi }{Z } + \frac{B_n }{n} +\] +croît proportionnellement au nombre $n$. + +Dans la suite de ce mémoire, nous désignerons par la caractéristique +$\Psi$ (et aussi par $\Psi'$, $\Psi''$, $\Psi'''$,\dots) toute fonction de $n$ qui ne +dépassera jamais un certain maximum absolu $N$: $\dfrac{\beta}{n}$ sera par exemple une +de ces fonctions, d'où il est aisé de conclure que les séries ayant +pour terme général $\dfrac{\Psi}{n\rho}$ ou $\dfrac{\Psi}{\rho^2}$ sont convergentes, puisqu'en remplaçant +$\rho$ par $n\Big(\dfrac{\rho}{n}\Big)$ elles se ramènent à la forme $\sum \Big\{\dfrac{\Psi'}{n^2}\Big\}$. + +\mysection{IV.} + +8.~Considérons les deux intégrales +\[ +\tag{14} \int_0^z \f(z)\sin\rho zdz, \quad \int_0^z \f(z)\cos\rho zdz, +\] +$\f(z)$ désignant la fonction de $z$ qui se trouve au numérateur de la fraction +(9) ou plus généralement une fonction déterminée de $z$ qui ne devienne +jamais infinie. Je dis que ces deux intégrales, considérées comme +fonctions de $\rho$, sont de la forme $\dfrac{\Psi}{\rho}$. Pour établir ce théorème très utile et, +je crois, déjà connu, il suffira de montrer que la valeur de chacune +d'elles est inférieure à +\[ +\frac{2(p+q+1)\ldot \f_1}{\rho}, +\] +$\f_1$ étant le maximum absolu de $\f(z)$, $p$ le nombre de fois où la +fonction $\f(z)$ change de signe entre les limites 0, $z$, et $q$ le nombre +de fois où (sans changer de signe) elle cesse d'être croissante ou +\marginpage % *** File: 435.png +constante pour devenir décroissante, ou bien cesse au contraire d'être +décroissante ou constante pour devenir croissante. + +Or, soient $z'$, $z''$,\dots, $z^{(p+q)}$ les valeurs pour lesquelles s'effectue +ainsi un changement dans l'état de la fonction, en sorte que +de l'une de ces valeurs à la suivante cette fonction ait un signe +invariable et soit toujours croissante ou toujours décroissante, ces +derniers mots n'excluant pas toutefois les cas où elle resterait constante. +Chacune des intégrales (14) se partagera en $(p + q + 1)$ autres +intégrales prises, la première entre les limites 0, $z'$, la seconde +entre les limites $z'$, $z''$,\dots, la dernière entre les limites $z^{(p+q)}$ et $z$. +Désignons par $a$ une quelconque des quantités 0, $z'$, $z''$,\dots, et par $b$ +celle qui la suit immédiatement dans l'ordre des indices. Si je prouve +que la valeur numérique de chaque intégrale partielle +\[ +M = \int_a^b \f(z)\sin\rho zdz, \quad M' = \int_a^b \f(z)\cos\rho zdz +\] +est inférieure à $\dfrac{2\f_1}{\rho}$, il sera prouvé \emph{à fortiori} que les intégrales (14) +sont toutes deux plus petites que $\dfrac{2(p+q+1)\ldot \f_1}{\rho}$, conformément +au théorème énoncé. + +Soit $m'$ le nombre entier immédiatement supérieur à $\dfrac{\rho a}{\pi}$, et +$(m + m')$ le nombre entier immédiatement inférieur à $\dfrac{\rho b}{\pi}$. Depuis +$z = a$ jusqu'à $z = \dfrac{m'\pi}{\rho}$, $\f(z) \sin \rho zdz$ conservera toujours +le même signe: pour fixer les idées, admettons que ce soit le +signe $+$: entre les limites $z = \dfrac{m'\pi}{\rho}$, $z = \dfrac{(m'+1)\pi}{\rho}$, il est clair +que la valeur de $\f(z) \sin \rho zdz$ sera au contraire négative, puis elle +redeviendra positive depuis $z = \dfrac{(m'+1)\pi}{\rho}$ jusqu'à $z = \dfrac{(m'+2)\pi}{\rho}$ et +ainsi de suite. Partageons l'intégrale $M$ en un certain nombre d'autres +intégrales prises, la première depuis $z = a$ jusqu'à $z = \dfrac{m'\pi}{\rho}$, la seconde +depuis $z = \dfrac{m'\pi}{\rho}$ jusqu'à $z = \dfrac{(m'+1)\pi}{\rho}$,\dots, la dernière depuis +$z = \dfrac{(m+m')\pi}{\rho}$ jusqu'à $z = b$. Ces diverses intégrales, dont +\marginpage % *** File: 436.png +nous désignerons par $D_0$, $D_1$, $D_2$,\dots, $D_{m-1}$, $D_m$, $D$, les valeurs absolues %[** errata through line 12] +seront alternativement positives et négatives. De plus, si la +valeur absolue de $\f(z)$ est décroissante, il est aisé de voir qu'on aura +\[ +D_1 > D_2\ldots > D_{m-1} > D_m > D, +\] +tandis qu'il viendra au contraire +\[ +D_m > D_{m-1} \ldots > D_2 > D_1 > D_0, +\] +si la valeur absolue de $\f(z)$ est croissante. Dans le premier cas, l'intégrale +$M$ sera comprise entre $D_0$ et $D_0 - D_1$ et par conséquent sa valeur +numérique sera inférieure au plus grand des deux nombres $D_0$, $D_1$: +dans le second cas, cette valeur numérique sera inférieure au plus +grand des deux nombres $D$, $D_m$. Or, toutes les quantités $D_0$, $D_1$\dots, +$D_m$, $D$ grandissent lorsqu'on remplace $\f(z)$ par son maximum +$\f_1$: de plus $D_0$ et $D$ peuvent grandir encore si, après ce changement, +on remplace $a$ par $\dfrac{(m'-1)\pi}{\rho}$ et $b$ par $\dfrac{(m+m'+1)\pi}{\rho}$. Or, quand +on a effectué ces diverses opérations, ces intégrales deviennent toutes +égales entre elles et à $\dfrac{2\f_1}{\rho}$ +donc auparavant elles étaient $< \dfrac{2\f_1}{\rho}$: %[** errata] +donc à \emph{fortiori} la valeur numérique de $M$ +est $< \dfrac{2\f_1}{\rho}$. Une démonstration semblable s'appliquera à l'intégrale $M'$. + +\mysection{V.} + +9.~Il est aisé de trouver à quelle forme on peut réduire l'intégrale +${\dint_0^z} U\f(z)dz$. Puisque l'on a +\[ +U = \cos \rho z + \frac{h'\sin \rho z}{\rho} + +\frac{1}{\rho} \int_0^z \lambda'U'\sin\rho(z-z')dz', +\] +ou, ce qui est la même chose, +\begin{align*} +U = \cos \rho z &- \frac{\cos\rho z}{\rho}\int_0^z \lambda U\sin \rho zdz \\ +&+ \frac{\sin \rho z}{\rho}\Big(h' + \int_0^z \lambda U\cos \rho zdz\Big), +\end{align*} +l'intégrale en question est composée de trois parties distinctes: la première, +\marginpage % *** File: 437.png +savoir ${\dint_0^z} \f(z) \cos\rho z dz$, est de la forme $\dfrac{\Psi}{\rho}$, d'après ce qu'on +vient de démontrer. Je vais montrer que les autres sont de la forme +$\dfrac{\Psi'}{\rho^2}$. En effet l'intégrale double +\[ +\int_0^z \f(z)\cos\rho zdz \int_0^z \lambda U\sin \rho zdz, +\] +à l'aide d'une intégration par parties et en posant +\[ +\int_0^z \f(z) \cos \rho z dz = \frac{\Psi}{\rho}, +\] +devient +\[ +\frac{\Psi}{\rho} \int_0^z \sin \rho z dz - \frac{1}{\rho}\int_0^z \lambda U\Psi \sin \rho z dz: +\] +par suite elle prend la forme $\dfrac{\Psi'}{\rho^2}$ lorsqu'on la multiplie par $-\dfrac{1}{\rho}$. De +même l'intégrale +\[ +\int_0^z \f(z) \sin \rho z dz \Big(h' + \int_0^z \lambda U \cos \rho z dz\Big), +\] +à l'aide d'une intégration par parties et en posant +\[ +\int_0^z \f(z) \sin \rho z dz = \frac{\Psi}{\rho}, +\] +devient +\[ +\frac{\Psi}{\rho}\Big(h' + \int_0^z \lambda U \cos \rho z dz\Big) - +\frac{1}{\rho}\int_0^z \lambda U\Psi \cos \rho z dz: +\] +par suite elle prend la forme $\dfrac{\Psi'}{\rho^2}$ lorsqu'on la multiplie par $\dfrac{1}{\rho}$. + +10.~La propriété de l'intégrale ${\dint_0^z} \f(z)U dz$ que nous venons de démontrer +subsiste encore lorsque sa limite supérieure devient égale a +$Z$. On en conclut que le numérateur du terme général $T$ de la série +$\sum T$ est de la forme +\[ +\frac{\Psi}{\rho}+\frac{\Psi'}{\rho^2}, +\] +la valeur de $\dfrac{\Psi}{\rho}$ étant précisément +\marginpage % *** File: 438.png +\[ +\cos \rho z \int_0^Z \f(z)\cos \rho zdz: +\] +quant au dénominateur ${\dint_0^Z} U^2dz$, il est égal à +\[ +\int_0^Z \cos^2\rho zdz + \frac{2}{\rho}\int_0^Z \cos \rho z\ldot Rdz ++ \frac{1}{\rho^2}\int_0^Z R^2dz, +\] +$R$ représentant la quantité +\[ +h'\sin \rho z + \int_0^z \lambda'U'\sin \rho(z-z')dz'. +\] +Or, +\[ +\int_0^Z \cos^2\rho zdz = \frac{Z}{2} + \frac{\sin2\rho Z}{4\rho}: +\] +on voit donc qu'abstraction faite des termes divisés par $\rho$ la valeur +de ${\dint_0^Z} U^2dz$ se réduit à $\dfrac{Z}{2}$. D'après cela on peut écrire +\[ +\int_0^Z U^2dz = \frac{Z}{2}\Big(1+\frac{\Psi''}{\rho}\Big) +\] +ce qui donne +\[ +T = \Big(\frac{\Psi}{\rho} + \frac{\Psi'}{\rho^2}\Big)\ldot +\frac{2}{Z\Big(1+\dfrac{\Psi''}{\rho}\Big)}. +\] + +Mais cette valeur de $T$ peut elle-même se mettre sous la forme, +\[ +T=\frac{2\Psi}{\rho Z} + \frac{\Psi''}{\rho^2}, +\] +et la série $\sum \dfrac{\Psi''}{\rho^2}$ est convergente. Donc, pour prouver la convergence +de la série $\sum T$, il suffit d'établir celle de la série plus simple +\[ +\sum \frac{\Psi}{\rho}\qtext{ou} \sum\cos\rho z\int_0^Z \f(z)\cos\rho zdz +\] +que nous désignerons par $\sum Y$. + +11.~La formule +\[ +\rho=\frac{n\pi}{Z} + \frac{B_n}{n} +\] +\marginpage % *** File: 439.png +donne +\[ +\cos\rho z=\cos\frac{n\pi z}{Z}\cos\frac{zB_n}{n} - +\sin\frac{n\pi z}{Z}\sin\frac{zB_n}{n}. +\] +On a $\sin \dfrac{zB_n}{n}=0$ aux quantités près de la forme $\dfrac{\Psi}{n}$ ou $\dfrac{\Psi}{\rho}$ et +$\cos \dfrac{zB_n}{n}=1$ aux quantités près de la forme $\dfrac{\Psi}{\rho^2}$. Il est donc permis de +poser +\[ +\cos\rho z=\cos\frac{n\pi z}{Z} + \frac{\Psi'}{\rho} +\] +et l'on pourrait écrire aussi +\[ +\cos\rho z=\cos\frac{n\pi z}{Z} - \frac{zB_n}{n}\sin\rho z + \frac{\Psi''}{\rho^2} +\] +On a donc d'abord +\[ +Y=\Big(\cos\frac{n\pi z}{Z}+\frac{\Psi'}{\rho}\Big)\int_0^Z \f(z)\cos\rho zdz, +\] +valeur qu'il est aisé de réduire à la forme +\[ +Y=\cos\frac{n\pi z}{Z}\int_0^Z \f(z)\cos\rho zdz + \frac{\Psi''}{\rho^2}, +\] +en se rappelant que l'intégrale ${\dint_0^Z} \f(z)\cos\rho zdz$ est de la forme $\dfrac{\Psi}{\rho}$. +En remplaçant $\cos \rho z$ par $\cos\dfrac{n\pi z}{Z} - \dfrac{zB_n}{n}\sin\rho z + \dfrac{\Psi''}{\rho^2}$, et observant +que l'intégrale ${\dint_0^Z} z\f(z)\sin\rho zdz$ est aussi de la forme $\dfrac{\Psi}{\rho}$, on a ensuite +\[ +Y=\cos\frac{\pi nz}{Z}\int_0^Z \f(z)\cos\frac{n\pi z}{Z}dz +\frac{\Psi\IV }{\rho^2}. +\] +Or la série $\sum\dfrac{\Psi\IV }{\rho^2}$ est convergente, et il en est de même de la série +périodique +\[ +\sum\cos\frac{n\pi z}{Z}\int_0^Z \f(z)\cos\frac{n\pi z}{Z}dz +\] +\marginpage % *** File: 440.png +dont les géomètres se sont beaucoup occupés\footnote +{Pour tout ce qui regarde la convergence des séries périodiques, \emph{voyez} +les ouvrages de M.~Cauchy et surtout l'excellent Mémoire de M.~Lejeune Dirichlet +(\emph{Journal de M.~Crelle}, tome~IV, 2\ieme\ cahier).}. +Donc la convergence +de la série $\sum Y$ (et par conséquent de la série $\sum T$) est incontestable. + +\mysection{VI.} + +11.~Nous avons dit que nous regardions en général la fonction +$f(x)$ comme assujétie à prendre un accroissement infiniment petit +lorsque $x$ croît infiniment peu: cependant la démonstration précédente +de la convergence de la série $\sum T$ est indépendante de cette +restriction: elle ne cesserait pas d'être exacte si, pour une ou +plusieurs valeurs de $x$, la fonction $f(x)$ (qui ne devient jamais +infinie) passait tout-à-coup d'une valeur $A$ à une autre valeur très +différente $B$. Mais pour prouver que la somme $F(x)$ de la série (4) +est égale à $f(x)$ depuis $x = \mathrm x$ jusqu'à $x = X$, il faut exclure le cas +où les valeurs de $f(x)$ peuvent varier brusquement, ou du moins, si +ce cas a lieu, il ne faut pas étendre l'équation $F(x)= f(x)$ aux abscisses +$x$ pour lesquelles l'ordonnée de la courbe représentée par l'équation +$y=f(x)$ devient ainsi discontinue. Bornons-nous donc aux +fonctions $f(x)$ jouissant des propriétés indiquées \no 1. Alors, comme +nous l'avons déjà dit, l'équation $F(x)= f(x)$ se démontrera par la +méthode indiquée dans mon premier Mémoire et subsistera même aux +limites $x = \mathrm x$, $x= X$. Toutefois cela suppose que des deux nombres +$h$, $H$, aucun ne soit infini. Si l'on a par exemple $h=\infty$ l'équation~(2) +deviendra +\begin{align*} +V &= 0 \qtext{pour} x = \mathrm x: +\intertext{on aura donc aussi dans ce cas} +F(x) &= 0 \qtext{pour} x = \mathrm x; +\end{align*} +et l'équation $F(x) =f(x)$ ne pourra subsister à la limite $x= \mathrm x$ que si +la fonction $f(x)$ vérifie la condition $f(x)=0$. De même si $H=\infty$, +l'équation $F(x)=f(x)$ ne pourra subsister à la limite $x= X$ que si +\marginpage % *** File: 441.png +l'on a $f(X)=0$. Au reste ces cas d'exception sont indiqués par notre +démonstration même. En effet pour que l'intégrale +\[ +\int_\x^X g[F(x) - f(x)]V_m(x)dx, +\] +dont on fait usage à la page 263 de tome I\ier\ de ce journal, soit égale +à zéro quel que soit l'indice $m$, il est nécessaire que l'on ait en général +$F(x) = f(x)$; mais cette nécessité disparaît pour les valeurs de $x$ qui +donnent $V_m(x) = 0$ quel que soit $m$, puisque, pour ces valeurs, l'élément +$g[F(x)-f(x)]V_m(x)dx$ est nul de lui-même indépendamment +du facteur $F(x) - f(x)$. + +\mysection{VII.} + +12.~En terminant ce troisième Mémoire, je ne puis m'empêcher de +faire observer combien est directe et générale la méthode dont je me +suis servi pour sommer la série (4). Cette méthode s'applique non seulement +aux fonctions $V$ définies par une équation différentielle du +second ordre, mais encore à une foule de fonctions données par des +équations différentielles d'ordre supérieur. C'est ce que l'on peut +voir par l'exemple simple que j'ai développé dans mon mémoire sur +l'intégration de l'équation $\dfrac{du}{dt} = \dfrac{d^3u}{dx^3}$\footnote{% +Voyez le dernier cahier du \emph{Journal de l'École Polytechnique.} +}. + +Au reste, voici quelques théorèmes que je me contenterai d'énoncer +et dont le lecteur trouvera aisément la démonstration. Ils serviront +à bien montrer la généralité de mes principes quoi qu'ils soient +fort loin d'embrasser tous les cas où ces principes sont applicables. Dans +tout ce qui va suivre, $x$ désignera une variable réelle comprise +entre $\x$ et $X$: $f(x)$, $\phi(x)$, $\Phi(x)$, $V_1$, $V_2$\dots, $V_n$\dots, $U_1$, $U_2$\dots, $U_n$\dots, +seront des fonctions de $x$. Pour éviter tout embarras, je supposerai +que ces fonctions ont, pour chaque valeur de $x$, une valeur réelle +unique et déterminée, et qu'elles croissent infiniment peu lorsque $x$ +éprouve un accroissement infiniment petit: toutefois cette condition +de continuité ne sera pas toujours indispensable. Cela posé, + +\marginpage % *** File: 442.png +\primop.~Si les fonctions $V_1$, $V_2$,\dots, $U_1$, $U_2$,\dots\ sont telles que, pour +deux indices $m$ et $n$ différents, on ait toujours +\[ +\int_\x^X V_mU_ndx=0 +\] +et si la série +\[ +\sum\left\{\frac{V_n{\dint_\x^X} U_nf(x)dx}{{\dint_\x^X} U_nV_ndx}\right\} +\] +est convergente, la somme $F(x)$ de cette série devra satisfaire à la +condition +\[ +\int_\x^X U_n[F(x)-f(x)]dx=0, +\] +l'indice $n$ étant quelconque. + +\secundop.~Si donc on désigne par $A_1$, $A_2$,\dots\ des quantités choisies arbitrairement, +mais indépendantes de $x$, et si l'on pose +\[ +P = A_1U_1 + A_2U_2 + \etc +\] +on aura aussi +\[ +\int_\x^X P[F(x)-f(x)]dx=0. +\] + +\tertiop.~Si par une détermination convenable des quantités $A_1$, $A_2$,\dots, +on peut faire en sorte que $P$ change de signe pour des valeurs quelconques +de $x$, données d'avance et ne change de signe que pour celles-là, +on aura $F(x) = f(x)$. + +\quartop.~Toutefois si les fonctions $U_1$, $U_2$, etc., s'évanouissent toutes pour +une même valeur de $x$ telle que $x =\alpha$, il pourra arriver que l'équation +$F(x) =f(x)$ cesse d'avoir lieu pour $x=\alpha$. Dans le cas où +l'équation $F(\alpha)=f(\alpha)$ sera ainsi inexacte, la dérivée $F'(\alpha)$ sera nécessairement +infinie. + +5\up{o}.~Si la fonction $P$ jouit de la propriété énoncée (\tertiop.) et si l'équation +\[ +\int_\x^X \phi(x)U_ndx=0 +\] +a lieu quel que soit l'indice $n$, on aura nécessairement $\phi(x)=0$. +\marginpage % *** File: 443.png + +6\up{o}.~La propriété énoncée (\tertiop.) appartient à la fonction P quand la +fonction $U_n$ est constamment égale à un polynome entier de degré +$(n - 1)$. + +7\up{o}.~Elle a lieu encore dans une foule d'autres cas, et spécialement +quand l'équation +\[ +A_1U_1+A_2U_2+ \dotsb +A_nU_n=0 +\] +a tout au plus $(n- 1)$ %[** errata] +racines tant égales qu'inégales, quel que soit +l'indice n et quels que soient les coefficients $A_1$, $A_2$,\dots, $A_n$. + +8\up{o}.~Si la condition précédente est remplie et si l'équation +\[ +\int^X_\x \phi(x)U_ndx=0 +\] +a lieu pour toutes les valeurs de $n$ comprises dans la série 1, 2,\dots, $m$, +la fonction $\phi(x)$ changera de signe au moins $m$ fois entre les limites +$x = \x$, $x = X$. + +9\up{o}.~Soit $\varpi(r) = 0$ une équation transcendante, et $r_1$, $r_2$, $r_3$,\dots{} +des racines de cette équation. Admettons que la fonction $\Phi(x, r)$ ne +devienne identiquement nulle pour aucune des racines $r$ de $\varpi(r) = 0$, +tant que $x$ reste indéterminée. Si l'équation +\[ +\int^X_\x \Phi(x, r)U_ndx=0, +\] +dans laquelle l'indice $n$ est quelconque, a lieu pour la fonction particulière +$\Phi$ toutes les fois que la racine $r$ est différente de $r_1$, $r_2$, etc., +et si de plus la fonction $P$ jouit de la propriété énoncée (\tertiop.), je dis +que la racine réelle ou imaginaire dont il s'agit n'existera pas, c'est-à-dire +que l'équation $\varpi(r) = 0$ ne pourra avoir aucune racine, réelle +ou imaginaire, différente de $r_1$, $r_2$, etc. + +13.~Il serait aisé, je le répète, de généraliser encore beaucoup ces +théorèmes. Mais nos énoncés deviendraient alors trop vagues. C'est +dans les considérations exposées ci-dessus que rentrent les résultats +obtenus dans les deux notes imprimées page 1 \pdf{art1} et page 107 \pdf{art9} +de ce volume. +Dans la première de ces notes, on se propose de prouver que +l'équation +\[ +\int^X_\x x^n \phi(x)dx=0, +\] +\marginpage % *** File: 444.png +quand elle a lieu toutes les fois que $n$ est zéro ou un nombre entier +positif, entraîne la suivante $\phi(x) = 0$. Le moyen que j'ai employé +pour atteindre ce but est, à mon sens, le plus élégant dont on +puisse faire usage. Ici l'on a $U_n = x^{n-1}$: la fonction $P$ est égale à +$A_1 + A_2x + A_3x^2 +$ etc.\ et jouit évidemment de la propriété énoncée +(\tertiop.). On peut donc appliquer le théorème indiqué (5\up{o}), et c'est +ce que j'ai fait. Mais il est bon d'observer que si l'on prenait $A_1 = 1$, +$A_2=\dfrac{y}{1}$, $A_3=\dfrac{y^2}{1\ldot2}$, etc., on aurait +\[ +P=1+\frac{yx}{1}+\frac{y^2x^2}{1\ldot2} + \dotsb = e^{yx}: +\] +l'équation +\[ +\int_\x^X P\phi(x)=0, +\] +donnerait donc +\[ +\int_\x^X e^{yx}\phi(x)=0, +\] +et, à cause de l'indéterminée $y$, on en tirerait $\phi(x) = 0$, ce qu'il +fallait démontrer. Ici se révèle un nouvel artifice qui consiste à introduire +dans $A_1$, $A_2$, etc.\ une indéterminée $y$. On peut rattacher à cet +artifice la méthode dont nous avons fait usage, M.~Sturm et moi, +dans un mémoire encore inédit dont l'extrait se trouve à la page 220 \pdf{art20} +de ce volume. + +\jmpafin + +% *** File: 445.png + +\jmpapaper{NOTE}{} +{Sur une propriété des sections coniques;} +{Par M.~E. PAGÈS.}{} +\label{art37}\Droit + +Si, par un point quelconque d'une section conique, on mène les +deux rayons vecteurs et une normale terminée à l'axe des foyers, la +projection de cette normale sur l'un quelconque des deux rayons vecteurs +sera égale au demi-paramètre. Considérons d'abord une ellipse: soient %[** errata et seqq.] +$z$ et $z'$ les deux rayons vecteurs, $n$ la normale, $p$ sa projection sur chacun +des deux rayons vecteurs, $h$ et $k$ les distances du pied de cette +normale aux deux foyers: soient de plus $2a$ le grand axe, $2b$ le petit +axe et $2c$ la distance des foyers, de telle manière que $z+z'=2a$, +$h+k = 2c$, $a^2- c^2=b^2$. On aura, d'après les propriétés des triangles +obliquangles, +\begin{align*} +h^2 &= z^2 + n^2 - 2pz,\\ +k^2 &= z'^2 + n^2 - 2pz'; +\end{align*} +retranchant ces deux équations membre à membre, il vient +\[ +(h+k)(h - k) = (z - z') (z+z'-2p), +\] +ou, ce qui est la même chose, +\[ +c(h-k) = (z-z')(a-p). +\] +De cette équation on déduit +\begin{gather*} +c: a - p :: z - z' : h - k.\tag{1} +\end{gather*} +La propriété qu'a la normale de partager l'angle des rayons vecteurs +\marginpage % *** File: 446.png +en deux parties égales, donne la proportion +\[ +z : z':: h : k, +\] +on en déduit +\begin{align*} +z + z': h + k &:: z - z' : h - k, +\intertext{ou} +a : c &:: z - z' : h - k. +\end{align*} +Cette proportion combinée avec la proportion (1) donne +\[ +c : a - p :: a : c, +\] +d'où +\[ +p = \frac{a^2-c^2}{a} = \frac{b^2}{a} = \text{demi-paramètre.} +\] +Le même mode de démonstration s'applique à l'hyperbole. + +Dans le cas de la parabole, l'un des foyers se transportant à l'infini, +le rayon vecteur correspondant devient parallèle à l'axe, et la projection +sur ce rayon est égale à la projection sur l'axe; ce qui explique +pourquoi dans cette courbe la sous-normale est constante. + +En rapprochant le théorème que nous avons démontré de la propriété +qu'a le rayon de courbure d'être proportionnel au cube de la +normale, on trouve que le produit +\[ +r \cos^3 i = \text{demi-paramètre,} +\] +$r$ et $i$ désignant le rayon de courbure et l'angle qu'il fait avec le +rayon vecteur. De cette formule, on déduit une construction géométrique +du rayon de courbure donnée par M.~Abel Transon dans le +tome premier de ce journal. + +\jmpafin + +% *** File: 447.png + +\jmpapaper{SOLUTION NOUVELLE}{} +{D'un Problème d'Analyse, relatif aux phénomènes +thermo-mécaniques;} +{Par Joseph LIOUVILLE.} +{(Présentée à l'Académie des Sciences le 23 octobre 1837.)} +\label{art38}\Gauche + +Ce problème qui consiste à intégrer l'équation +\[ +\frac{du}{dt} = \frac{d^2u}{dx^2} - b^2x \int_0^1 x \frac{du}{dt} dx, +\] +de telle manière que l'on ait +\begin{alignat*}{2} +u =\ &&0 &\qtext{pour} x = 0,\\ +\frac{du}{dx} + hu =\ &&0 &\qtext{pour} x = 1,\\ +u = f(x)\qtext{pour} t =\ &&0, &\quad\text{depuis}\;\; x = 0 \;\;\text{jusqu'à}\;\; x = 1, +\end{alignat*} +a été traité déjà de deux manières différentes par M.~Duhamel, dans +son second mémoire sur les Phénomènes thermo-mécaniques\footnote{% +Voyez le \emph{Journal de l'École Polytechnique}. +}. +L'auteur a d'abord fait usage d'une méthode assez compliquée, mais +très ingénieuse, que M.~Poisson a donnée dans ses premières recherches +sur la théorie de la chaleur. Reprenant ensuite la question d'une +autre manière, il a, dans une seconde solution, suivi la méthode si +connue qui consiste à représenter la valeur complète de $u$ par la +somme d'un nombre infini de termes dont chacun satisfait aux trois +\marginpage % *** File: 448.png +premières équations et renferme implicitement une constante arbitraire, +ce qui permet de satisfaire aussi à la condition $u= f(x)$ +pour $t=0$. On est ainsi conduit à développer la fonction $f(x)$ en une +série de la forme +\[ +f(x) = H_1V_1 + H_2V_2 + \dotsb + H_nV_n + \dotsb +\] +$H_1$, $H_2$,\dots $H_n$,\dots\ étant des constantes, et $V_1$, $V_2$,\dots $V_n$,\dots\ des +fonctions connues de $x$. On détermine $H_n$ en multipliant les deux +membres de l'équation précédente par un facteur convenable et en intégrant +ensuite entre les limites $x=0$, $x=1$, de manière à faire +disparaître tous les coefficients $H_1$, $H_2$,$\ldots$ excepté $H_n$. M.~Duhamel +semble regarder cette détermination de $H_n$ comme offrant la difficulté +principale qu'il avait à vaincre pour résoudre le problème proposé. +Mais il ne s'est occupé ni de démontrer la convergence de la série dans +laquelle $f(x)$ se développe, ni même d'établir d'une manière incontestable +que cette série supposée convergente a pour somme $f(x)$, du +moins entre les limites $x = 0$, $x=1$. J'ai donc cru pouvoir reprendre +ici le problème en son entier, afin d'en donner une solution +tout-à-fait rigoureuse. Cette solution du reste n'est fondée que sur des +principes déjà développés dans d'autres mémoires que j'ai publiés seul +ou en commun avec M.~Sturm: elle servira, je l'espère, à faire reconnaître +la supériorité de nos méthodes. + +1.~Soient $b$, $h$ deux constantes, $x$ une variable indépendante comprise +entre zéro et l'unité, $t$ une autre variable comprise entre 0 et +$\infty$, et $f(x)$ une fonction de $x$ qui ne devienne jamais infinie lorsque +$x$ croît depuis 0 jusqu'à 1: par la nature physique du problème que +nous voulons résoudre, la quantité $(h+1)$ est essentiellement positive. +On propose de trouver une fonction $u$ des deux variables $x$, $t$, +qui satisfasse à la fois à l'équation indéfinie +\[ +\tag{1}\frac{du}{dt} = \frac{d^2u}{dx^2} - b^2x\int^1_0x \frac{du}{dt} dx +\] +et aux conditions définies +\[ +\tag{2}u = 0\qtext{pour} x = 0, +\] +\marginpage % *** File: 449.png +\begin{align*} +\frac{du}{dx} &+ hu = 0\qtext{pour} x = 1,\tag{3}\\ +u &= f(x)\qtext{pour} t = 0.\tag{4} +\end{align*} +La fonction $u$ qui vérifie les quatre équations précédentes est tout-à-fait +déterminée, et il s'agit d'en trouver la valeur. + +2.~D'après la méthode ordinairement suivie par les géomètres pour +l'intégration des équations différentielles partielles, nous chercherons +d'abord une valeur de $u$ qui satisfasse aux équations (1), (2), (3), +mais non pas à l'équation (4). A cet effet nous poserons +\[ +u = V e^{-rt}, +\] +$r$ étant un paramètre inconnu, et $V$ une fonction de $x$ que l'on obtiendra +en intégrant l'équation différentielle du second ordre +\[ +\frac{d^2 V }{dx^2} + r \Big(V + b^2x \int_0^1 xVdx\Big) = 0,\tag{5} %[** errata] +\] +de manière à satisfaire aux conditions particulières +\begin{align*} +V &= 0\quad \text{pour}\quad x = 0,\tag{6}\\ +\frac{dV}{dx} &+ hV = 0\quad \text{pour}\quad x = 1.\tag{7} +\end{align*} +L'intégrale ${\dint_0^1} xVdx$ étant une constante que l'on peut représenter +par $C$, l'équation (5) s'écrira ainsi +\[ +\frac{d^2V}{dx^2} + r(V + b^2Cx)=0, +\] +et son intégrale complète sera +\[ +V = A \sin(x\sqrt{r}) + B \cos(x\sqrt{r}) - b^2Cx, +\] +$A$ et $B$ désignant deux constantes arbitraires. + +La constante $B$ est nulle en vertu de l'équation (6). De plus on doit +avoir +\[ +\int_0^1 xVdx = C: +\] +\marginpage % *** File: 450.png +or si l'on développe cette condition et si l'on fait +\[ +\alpha = \frac{3b^2 }{b^2 + 3} \ldot \frac{\sin(\sqrt{r}) - \sqrt{r} \cos(\sqrt{r}) }{r}, +\] +on trouve +\[ +C = \frac{A\alpha}{b^2}. +\] +Quant à la constante $A$ qui reste arbitraire, nous la prendrons égale +à $\dfrac{1}{\sqrt{r}}$. Ayant donc +\[ +B = 0,\qquad A = \frac{1}{\sqrt{r}},\qquad C = \frac{\alpha }{b^2\sqrt{r}}, +\] +nous en conclurons +\[ +V = \frac{\sin (x\sqrt{r}) - \alpha x }{\sqrt{r}}.\tag{8} +\] +Il importe d'observer que cette valeur de $V$ ne devient identiquement +nulle pour aucune valeur déterminée de $r$, tant que $x$ reste indéterminée. +En effet si le paramètre $r$ est différent de zéro, il est impossible +que la fonction transcendante $\sin(x\sqrt{r})$ soit égale à la fonction +algébrique $\alpha x$, et si ce paramètre est nul $\dfrac{\sin (x\sqrt{r})}{\sqrt{r}}$ se réduit à $x$, +$\dfrac{\alpha }{\sqrt{r}}$ se réduit à $\dfrac{b^2 }{b^2 + 3}$, et l'on a $V = \dfrac{3x }{b^2+3}$ quantité qui n'est pas +identiquement nulle. + +3.~En différentiant la valeur de $V$ il vient +\[ +\frac{dV}{dx} = \cos(x\sqrt{r}) - \frac{\alpha}{\sqrt{r}}, +\] +de sorte que, pour $x = 1$, on obtient +\begin{align*} +V &= \frac{\sin(\sqrt{r}) - \alpha}{\sqrt{r}},\\ +\frac{dV}{dx} &= \cos(\sqrt{r}) - \frac{\alpha }{\sqrt{r}}. +\end{align*} +\marginpage % *** File: 451.png +En portant ces valeurs dans la formule (7), on aura l'équation à laquelle +le paramètre $r$ doit satisfaire. Cette équation sera +\[ +\cos(\sqrt{r}) - \frac{\alpha}{\sqrt{r}} + h \ldot \frac{\sin(\sqrt{r}) - \alpha}{\sqrt{r}} = 0, +\] +ou +\[ +\tag{9} \cos(\sqrt{r}) + \frac{h \sin (\sqrt{r}) }{\sqrt{r}} - \frac{\alpha (h + 1) }{\sqrt{r}} = 0. +\] +Nous représenterons toujours par $\varpi(r)$ on premier membre, en sorte +que l'on aura +\[ +\varpi(r)= \frac{dV}{dx} + hV\quad \text{pour}\quad x = 1. +\] +L'équation (9) possède une infinité de racines, toutes réelles, positives +et inégales entre elles. Soient $r_1$, $r_2$,\dots $r_n$,\dots\ ces racines rangées +par ordre de grandeur, $r_1$ étant la plus petite: en faisant dans la +fonction $V$ successivement $r = r_1$, $r = r_2$,\dots $r=r_n$,\dots\ on aura +une suite de fonctions $V_1$, $V_2$,\dots $V_n$,\dots\ dont chacune fournira une +intégrale particulière de l'équation (1). Avant de montrer comment, +en réunissant ces intégrales particulières, on forme la valeur complète +de $u$, nous allons démontrer les propriétés des racines de l'équation +(9) dont nous venons de faire mention. + +4.~Je vais prouver d'abord que les racines réelles de l'équation (9) +ne peuvent jamais être négatives. A cet effet je développe $\varpi(r)$ en série +convergente. On a par les formules connues +\begin{align*} +\cos(\sqrt{r})& = 1 -\frac{r}{2} + \frac{r^2 }{2\ldot 3\ldot 4} -\etc,\\ +\sin(\sqrt{r}) &= \sqrt{r}\Big(1 - \frac{r}{2\ldot 3} + \frac{r^2}{2\ldot 3\ldot 4\ldot 5} -\etc\Big), +\end{align*} +et par suite +\begin{gather*} +\cos(\sqrt{r}) +\frac{h \sin (\sqrt{r})}{\sqrt{r}} = (1 + h) - \frac{r}{2}\Big(1 + \frac{h}{3}\Big) + \frac{r^2}{2\ldot 3\ldot 4}\Big (1 + \frac{h}{5}\Big) -\etc,\\ +\frac{\alpha (h+1)}{\sqrt{r}} = \frac{3b^2(h+1)}{b^3+3} \Big(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\ldot \frac{r}{2\ldot 3} + \frac{1}{7}\ldot \frac{r^2}{2\ldot 3\ldot 4\ldot 5} -\etc\Big). +\end{gather*} +\marginpage % *** File: 452.png +Cela étant, il vient +\begin{align*} +\varpi(r) = (1+h)&-\frac{r}{2}\Big(1+\frac{h}{3}\Big) + \frac{r^2}{2\ldot3\ldot4} \Big(1 + \frac{h}{5}\Big) - \dotsb \\ +&- \frac{3b^2(h+1)}{b^2+3}\Big(\frac{1}{3} - \frac{1}{5} \ldot \frac{r}{2\ldot3} + \frac{1}{7} \ldot \frac{r^2}{2\ldot3\ldot4\ldot5} - \dotsb \Big). +\end{align*} +Si donc il y avait une racine réelle et négative $- R$ de l'équation (9), +les deux séries +\begin{align*} +\multispan{1}{$\displaystyle(1+h) + \frac{R}{2} \Big(1+\frac{h}{3}\Big) + \frac{R^2}{2\ldot3\ldot4} \Big(1+\frac{h}{5}\Big) + \dotsb ,$}\\ +\gamma(1+h) + \frac{3\gamma R }{2\ldot3} \Big(\frac{1+h}{5}\Big) + \frac{3\gamma R^2 }{2\ldot3\ldot4\ldot5} \Big(\frac{1+h}{7}\Big) + \dotsb , +\end{align*} +(dans lesquelles on a représenté par $\gamma$ le rapport $\dfrac{b^2}{b^2+3}$ qui est $< 1$) +seraient égales entre elles, et cela ne se peut puisqu'en les comparant +terme à terme on trouve que chacun des termes de la seconde +série est plus petit que le terme correspondant de la première, du +moins quand le coefficient $h$ est compris (comme on le suppose) entre +$- 1$ et $+ \infty$. + +5.~Pour démontrer en second lieu que les racines de l'équation (9) +sont toutes réelles et inégales, il faut s'appuyer sur une formule dont +nous aurons souvent besoin dans la suite. + +Désignons par $V'$ ce que devient la valeur (8) de $V$ lorsqu'on y remplace +$r$ par une indéterminée $r'$. La fonction $V'$ satisfera aux équations +(5), (6), et l'on aura +\begin{align*} +\frac{dV^2}{dx^2} + r'(V' &+b^2 x \int_0^1 xV' dx) = 0,\\ +V' &= 0\quad \text{pour}\quad x = 0. +\end{align*} +Mais l'équation (7) ne sera satisfaite par cette même fonction que dans +le cas particulier où l'on prendra $r' =$ une des racines de l'équation +(9), ce que l'on ne fera pas d'abord. Maintenant je multiplie par +les facteurs respectifs $V$, $V'$ les deux équations +\marginpage % *** File: 453.png +\begin{alignat*}{3} +r' &(V' &&+ b^2 x \int_0^1 &x V' dx ) &= - \frac{d^2 V' }{dx^2},\\ +r &(V &&+ b^2 x \int_0^1 &x V dx) &= - \frac{d^2 V }{dx^2}, +\end{alignat*} +après quoi je les retranche et j'intègre entre les limites $x = +0$, $x= 1$: en divisant par $(r' - r)$ les deux membres de +l'équation à laquelle ce calcul conduit, et nommant $Q$ la valeur +de $V' \dfrac{dV}{dx} - V \dfrac{dV'}{dx}$ pour $x=1$, j'obtiens +\[ +\int_0^1 VV' dx + b^2 \int_0^1 xV dx \int_0^1 xV' dx = +\frac{Q}{r'-r}. +\] +Mais $r$ étant racine de l'équation (9), on a, pour $x=1$, +$\dfrac{dV}{dx} = -hV$; on a aussi $\dfrac{dV'}{dx} + hV' = +\varpi(r')$ et par conséquent $\dfrac{dV'}{dx} = \varpi(r') - hV'$; +la valeur de $Q$ se réduit donc à $- V\varpi(r')$, ce qui donne +\[ +\frac{Q}{r' -r} = -\frac{V \varpi(r')}{r' - r} \qtext{pour} x=1. +\] +Supposons actuellement que $r'$ soit racine de l'équation (9), en +sorte que l'on ait $\varpi(r') = 0$: on trouvera +\[ +\frac{Q}{r'-r} = 0 +\] +si les racines $r$, $r'$ sont inégales, et +\[ +Q = -V\frac{d\varpi(r)}{dr} \qtext{pour} x = 1, +\] +si elles sont égales entre elles. Dans le premier cas il viendra +\[ +\tag{10} \int_0^1VV'dx + b^2 \int_0^1 xVdx \int_0^1 xV'dx = 0, +\] +tandis que l'on aura dans le second +\marginpage % *** File: 454.png +\[ +\tag{11} \int_0^1V^2dx + +b^2\Big(\int_0^1xVdx\Big)^2=-\frac{V(1)d\varpi(r)}{dr}, +\] +$V(1)$ désignant la valeur de $V$ qui répond à $x = 1$. + +D'après un raisonnement connu, la formule (10) prouve que +l'équation (9) n'a pas de racine de la forme +$\lambda+\mu\sqrt{-1}$: en effet si cette racine existait, la +racine conjuguée $\lambda-\mu\sqrt{-1}$ existerait aussi: on +pourrait donc prendre $r=\lambda+\mu\sqrt{-1}$, +$r'=\lambda-\mu\sqrt{-1}$; en posant $r= \lambda+\mu\sqrt{-1}$, +$V$ prendra la forme $M + N\sqrt{-1}$, $M$ et $N$ désignant deux +quantités réelles qui ne peuvent être à la fois identiquement +nulles (tant que $x$ reste indéterminée) puisque la fonction $V$ +est en général différente de zéro: il est aisé de voir que l'on +aura de même $V' = M - N\sqrt{-1}$: par suite la formule (10) nous +donnera ce résultat absurde +\[ +\int_0^1(M^2 + N^2)dx + b^2\Big(\int_0^1xMdx\Big)^2 + +b^2\Big(\int_0^1xNdx\Big)^2= 0. +\] +Donc il est impossible d'admettre que l'équation (9) ait une +racine de la forme $\lambda+\mu\sqrt{-1}$. + +Les racines réelles de cette équation sont d'ailleurs inégales en +vertu de la formule (11), car si la racine $r$ était multiple, la +dérivée $\dfrac{d\varpi(r)}{dr}$ s'évanouirait en même temps que +$\varpi(r)$ et le second membre de l'équation (11) se réduirait à +zéro tandis que le premier est essentiellement positif. + +6.~Les racines de l'équation (9) sont donc réelles, positives et +inégales entre elles. Pour se convaincre que le nombre de ces +racines est infini, il suffit de mettre l'équation (9) sous la +forme +\[ +\cos(\sqrt{r}) = -\frac{h\sin(\sqrt{r})}{\sqrt{r}} + +\frac{\alpha(h+1)}{\sqrt{r}}, +\] +puis de regarder $r$ comme une abscisse variable entre les limites +0, $\infty$, et de construire les deux courbes ayant pour +équations respectives +\[ +y = \cos(\sqrt{r}), \quad y = -\frac{h\sin(\sqrt{r})}{\sqrt{r}} + +\frac{\alpha(h+1)}{\sqrt{r}}; +\] +\marginpage % *** File: 455.png +ces deux courbes se coupent en un nombre infini de points dont les +abscisses répondent aux racines de l'équation (9). + +Pour démontrer analytiquement le même théorème, faisons $r=\rho^2$ +l'équation proposée deviendra +\[ +\tag{12} \cos\rho +\frac{h \sin\rho}{\rho} - \frac{\alpha(h+1)}{\rho} = 0; +\] +et il suffira de considérer les valeurs positives de $\rho$. Maintenant +soit $i$ un nombre entier et positif très grand. Si, dans le premier +membre de l'équation (12), nous faisons $\rho = (2i+1)\dfrac{\pi}{2} -\dfrac{\pi}{4}$, puis +$\rho = (2i+1)\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{4}$, le terme $\cos \rho$ prendra successivement deux +valeurs égales et de signes contraires dont le carré sera $\tfrac{1}{2}$: les autres +termes seront très petits. Donc le premier membre de l'équation (12) +changera de signe en passant d'une de ces substitutions à l'autre, ce +qui exige que l'équation proposée ait une racine comprise entre les +deux limites $(2i+1)\dfrac{\pi}{2} -\dfrac{\pi}{4}$, $(2i+1)\dfrac{\pi}{2} +\dfrac{\pi}{4}$. Cette racine est du +reste unique; car, dans le cas contraire, il faudrait que la dérivée +prise par rapport à $\rho$ de la fonction +\[ +\cos\rho +\frac{h \sin\rho}{\rho} - \frac{\alpha(h+1)}{\rho} +\] +devînt égale à zéro une ou plusieurs fois lorsque $\rho$ croît depuis +$(2i+1)\dfrac{\pi}{2} -\dfrac{\pi}{4}$ jusqu'à $(2i+1)\dfrac{\pi}{2} +\dfrac{\pi}{4}$; et cela ne se peut puisque, +dans l'intervalle cité, tous les termes de cette dérivée sont très +petits à l'exception du premier $-\sin \rho$ qui ne change pas de signe et +conserve toujours une valeur numérique supérieure à $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. + +En augmentant $i$ d'une unité, on verra qu'une seconde racine est +comprise entre les limites $(2i+3)\dfrac{\pi}{2} -\dfrac{\pi}{4}$, $(2i+3)\dfrac{\pi}{2} +\dfrac{\pi}{4}$; une +troisième racine existe de même entre les limites $(2i+5)\dfrac{\pi}{2} -\dfrac{\pi}{4}$, +$(2i+5)\dfrac{\pi}{2} +\dfrac{\pi}{4}$, et ainsi de suite. Mais il n'en existe aucune entre +\marginpage % *** File: 456.png +$(2i+1)\dfrac{\pi}{2} +\dfrac{\pi}{4}$ et $(2i+3)\dfrac{\pi}{2} -\dfrac{\pi}{4}$, entre $(2i+3)\dfrac{\pi}{2} +\dfrac{\pi}{4}$ et +$(2i+5)\dfrac{\pi}{2} -\dfrac{\pi}{4}$, etc., comme on peut s'en convaincre en observant +que, dans chacun de ces intervalles, le terme principal $\cos \rho$ du premier +membre de l'équation (12) ne change jamais de signe et a toujours +une valeur absolue supérieure à $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. + +7.~La racine $\rho$ comprise entre les limites $(2i+1)\dfrac{\pi}{2} -\dfrac{\pi}{4}$, +$(2i+1)\dfrac{\pi}{2} +\dfrac{\pi}{4}$ s'obtient du reste sans difficulté puisque si l'on pose +\[ +\alpha(h+1) - h \sin\rho = \f(\rho),\quad \rho = (2i+1)\frac{\pi}{2} + \sigma +\] +l'équation (12), savoir +\[ +\cos\rho = \frac{\f(\rho)}{\rho}, +\] +devient +\[ +\sin(2i+1)\frac{\pi}{2} \sin\sigma = -\frac{\f\Big((2i +1)\dfrac{\pi}{2} + \sigma\Big)}{(2i+1)\dfrac{\pi}{2} + \sigma}; +\] +d'où l'on tire à très peu près +\[ +\tag{13}\sigma = \frac{h}{i\pi}, +\] +valeur d'autant plus approchée que $i$ est plus grand. On pourrait pousser +plus loin l'approximation; mais nous nous contenterons d'observer +que, d'après nos calculs, les racines $\rho$ très grandes sont de la forme +\[ +\tag{14}\rho = (2i+1)\frac{\pi}{2} +\frac{B_i}{i}, +\] +$i$ désignant un nombre entier qui croît successivement d'une unité. +et $B_i$ une fonction de l'indice $i$ dont la valeur absolue ne dépasse jamais +un certain \emph{maximum} que l'on assignerait facilement. La partie +principale de ces racines croît proportionnellement au nombre $i$, d'où +il est aisé de conclure que toutes les séries dont le terme général est +\marginpage % *** File: 457.png +$\dfrac{\Psi}{\rho^2}$ ou $\dfrac{\Psi}{i\rho}$ sont convergentes, si $\Psi$ désigne une fonction de $\rho$ ou de $i$ qui +ne surpasse jamais un certain \emph{maximum} absolu $L$, indépendant de +l'indice $i$. + +8.~Chacune des intégrales particulières +\[ +V_1e^{-r_1t},\quad V_2e^{-r_2t},\ldots\quad V_ne^{-r_nt},\ldots +\] +dans lesquelles $V_n$ désigne ce que devient $V$ lorsqu'on y pose $r = r_n$, +satisfait à la fois aux équations (1), (2), (3). Si donc on désigne par +$H_1$, $H_2$,\dots $H_n$\dots\ des constantes arbitraires et si l'on fait +\[ +u = H_1V_1e^{-r_1t} + H_2V_2e^{-r_2t} + \dotsb + H_nV_ne^{-r_nt} + \dotsb , +\] +cette valeur de $u$ vérifiera aussi les équations (1), (2), (3). Mais pour +qu'elle vérifie la condition (4), il faudra que l'on ait +\[ +f(x) = H_1V_1 + H_2V_2 + \dotsb + H_nV_n + \dotsb. +\] +Il s'agit maintenant de savoir si (la fonction $f(x)$ étant quelconque) +on peut, par une détermination convenable des constantes $H_1$, $H_2$,\dots $H_n$\dots\ +rendre identique cette dernière équation, du moins pour des +valeurs de $x$ comprises entre 0 et 1. + +D'abord, si l'on admet que la fonction $f(x)$ puisse se développer +sous la forme +\[ +\tag{15} f(x) = H_1V_1 + H_2V_2 + \dotsb + H_nV_n + \dotsb , +\] +il sera facile de former la valeur de $H_n$. On se servira pour cela de la +formule (10) qui peut s'écrire ainsi +\[ +\int^1_0V\Big(V' + b^2x\int^1_0 xV'dx\Big)dx = 0. +\] +On a +\[ +r'(V' + b^2x\int^1_0 xV'dx) %[** errata] += -\frac{d^2V'}{dx^2}= \sqrt{r' }\sin(x\sqrt{r'}): +\] +\marginpage % *** File: 458.png +la formule en question devient donc +\[ +\tag{16}\int^1_0 V \sin(x\sqrt{r'})dx = 0. +\] +Maintenant multiplions par $\sin(x\sqrt{r_n})$ les deux membres de l'équation +(15) et intégrons ensuite entre les limites $x = 0$, $x= 1$: il est +aisé de voir qu'en vertu de la formule (16) tous les coefficients $H_1$, +$H_2$,\dots\ disparaîtront excepté celui qui porte l'indice $n$, de sorte qu'il restera simplement +\[ +\int^1_0f(x) \sin(x\sqrt{r_n})dx = H_n\int^1_0V_n \sin(x\sqrt{r_n})dx, +\] +d'où l'on tire +\[ +H_n=\frac{{\dint^1_0} f(x) \sin(x\sqrt{r_n})dx}{{\dint^1_0} V_n \sin(x\sqrt{r_n})dx}. +\] +En adoptant cette valeur de $H_n$, on aura +\[ +\tag{17}f(x) = \sum \left\{\frac{V_n{\dint^1_0} f(x) \sin(x\sqrt{r_n})dx}{{\dint^1_0} V_n \sin(x\sqrt{r_n})dx}\right\}, +\] +et par conséquent, +\[ +\tag{18} u = \sum \left\{\frac{V_ne^{-r_nt}{\dint^1_0} f(x) \sin(x\sqrt{r_n})dx}{{\dint^1_0} V_n \sin(x\sqrt{r_n})dx}\right\}. +\] + +La formule (18) renferme la solution complète du problème que +nous voulions résoudre. Mais elle se déduit de la formule (17) dont +l'exactitude jusqu'ici n'est pas suffisamment démontrée. Nous allons +donc considérer en elle-même la série placée au second membre de la +formule (17). Nous représenterons sa valeur par $F(x)$ et nous prouverons +\primop.~que la série $F(x)$ est convergente, \secundop.~que l'on a $F(x)=f(x)$ +pour toutes les valeurs de $x$ comprises entre 0 et 1. + +\marginpage % *** File: 459.png +9.~Représentons par $T$ le terme général de la série $F(x)$, ou, +autrement dit, posons +\[ +T =\frac{(\sin \rho x-\alpha x){\dint^1_0} f(x)\sin\rho x dx}{{\dint^1_0} \sin\rho x(\sin \rho x -\alpha x)dx}, +\] +$\rho^2$ étant une quelconque des racines de l'équation (9), et contentons-nous +de considérer les valeurs de $\rho$ très grandes, les seules dont nous +ayons besoin pour constater la convergence de la série $\sum T$: ces valeurs +de $\rho$ sont de la forme +\[ +\rho=(2i+1)\frac{\pi}{2}+\frac{B_i}{i}, +\] +comme on l'a vu \no 7: $i$ désigne un nombre entier qui croît successivement +d'une unité et $B_i$ une fonction de l'indice $i$ qui ne dépasse jamais +un certain \emph{maximum} absolu indépendant de $i$. Nous désignerons généralement +par les lettres $\Psi$, $\Psi'$, $\Psi''$,\dots\ les fonctions qui jouissent comme $B_i$ +de la propriété dont nous venons de parler. Toute série dont le terme général +sera de la forme $\dfrac{\Psi}{i^q}$, $q$ étant un nombre $>1$, sera convergente: +il en résulte qu'on peut au numérateur de la fraction $T$ et à son dénominateur +(dont la valeur très approchée est $\tfrac{1}{2}$) négliger les termes de +la forme $\dfrac{\Psi}{i^2}$, %[** errata] +car ces termes ne produisent dans la série $\sum T$ qu'une +partie de la forme $\sum\dfrac{\Psi'}{i^2}$, et par conséquent ne peuvent en aucune +manière nuire à sa convergence. D'après cela, on peut d'abord +faire abstraction des termes multipliés par $\alpha$, car en remplaçant +$\surd r$ ou $\rho$ par sa valeur, on trouve que $\alpha$ est de la forme $\dfrac{\Psi}{i^2}$. De +plus l'intégrale ${\dint^1_0} \sin^2\rho x dx$ étant égale à $\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sin 2\rho}{4\rho}$ se réduit à $\dfrac{1}{2}$ +quand, après avoir mis pour $\rho$ sa valeur, on néglige les termes réductibles +à la forme $\dfrac{\Psi}{i^2}$. Ainsi à ces termes près on a +\[ +\int^1_0\sin\rho x (\sin\rho x - \alpha x)dx = \frac{1}{2}. +\] +\marginpage % *** File: 460.png +La valeur simplifiée de $T$ est donc +\[ +T = 2\sin\rho x \int_0^1 f(x) \sin\rho x dx. +\] +On peut même la simplifier encore en se rappelant que, par un théorème +dont j'ai donné ailleurs la démonstration\footnote{% +\emph{Voyez mon troisième mémoire sur le développement des fonctions ou parties +de fonctions}, etc., page 418 \pdf{art36} du présent volume. +}, l'intégrale ${\dint_0^1} f(x)\sin\rho x dx$ +est de la forme $\dfrac{\Psi}{\rho}$ ou $\dfrac{\Psi}{i}$: on peut donc négliger le produit de cette +intégrale par la partie du facteur +\[ +\sin\rho x\Big[\text{égal à }\sin\frac{(2i+1)\pi x}{2} \cos\frac{B_ix}{i} + +\cos\frac{(2i+1)\pi x}{2}\sin\frac{B_ix}{i}\Big] +\] +qui est aussi de la forme $\dfrac{\Psi}{i}$, ou, ce qui revient au même, on peut, +hors du signe $\int$, réduire $\sin\rho x$ à sa partie principale $\sin\dfrac{(2i+1)\pi x}{2}$: +de plus en négligeant sous le signe $\int$ des termes divisés par $i^2$, on +a le droit de remplacer +\[ +\sin\rho x\text{par }\sin\frac{(2i+1)\pi x}{2} + \frac{B_ix}{i}\cos\rho x. +\] +Nous aurons ainsi +\[ +T = 2\sin\frac{(2i+1)\pi x}{2}\int_0^1 f(x) \Big(\sin\frac{(2i+1)\pi x}{2} ++ \frac{B_ix}{i}\cos\rho x\Big)dx. +\] +D'après cette valeur de $T$, la sérié $\sum T$ se décompose en deux autres, +savoir +\begin{align*} +2\sum\sin\frac{(2i+1)\pi x}{2}&\int_0^1 f(x) \sin\frac{(2i+1)\pi x}{2}dx,\\ +2x\sum \frac{B_i}{i} \sin\frac{(2i+1)\pi x}{2}&\int_0^1 f(x) \cos\rho xdx. +\end{align*} +La première de ces deux séries est convergente, comme les géomètres +l'ont démontré depuis long-temps, et pour constater la convergence de +\marginpage % *** File: 461.png +la seconde dont tous les termes sont déjà divisés par $i$, il suffit d'observer +que l'intégrale ${\dint_0^1} f(x) \cos\rho xdx$ est de la forme $\dfrac{\Psi}{\rho}$ ou $\dfrac{\Psi}{i}$, +conformément à ce que j'ai fait voir dans le mémoire cité plus haut. + +10.~Pour prouver que l'on a $F(x) = f(x)$ entre les limites $x = 0$, +$x = 1$, reprenons l'équation +\[ +F(x) = \sum \left\{\frac{V_n{\dint_0^1} f(x)\sin(x\sqrt{r_n})dx}{{\dint_0^1} V_n\sin(x\sqrt{r_n})dx} \right\}. +\] +Multiplions par $\sin(x\sqrt{r_n})dx$ les deux membres de cette équation, +et intégrons ensuite entre les limites $x = 0$, $x = 1$. En vertu de la +formule (16) cette intégration fera disparaître tous les termes du second +membre à l'exception d'un seul et donnera +\[ +\int_0^1 F(x) \sin(x\sqrt{r_n})dx = \int_0^1 f(x) \sin(x\sqrt{r_n})dx, +\] +ou bien +\[ +\int_0^1 [F(x)-f(x)]\sin(x\sqrt{r_n})dx = 0. +\] +Mais si l'on désigne par $z$ une variable indépendante et si l'on considère +la fraction $\dfrac{\sin(x\sqrt{z})}{\sqrt{z}\varpi(z)}$, qui est fonction de $z$, on s'assure aisément +(tant que $x$ reste comprise entre 0 et 1) que cette fraction est +décomposable en une infinité de fractions simples: par la théorie +connue et en représentant par $\varpi'(r_n)$ la dérivée $\dfrac{d\varpi(r_n)}{dr_n}$, on trouve +\[ +\frac{\sin(x\sqrt{z})}{\sqrt{z}\varpi(z)}=\sum\left\{\frac{\sin(x\sqrt{r_n})}{(z-r_n)\sqrt{r_n}\varpi'(r_n)}\right\}. +\] +Soit $R$ le terme général de la série placée au second membre de l'équation +que nous venons d'écrire. Nous aurons +\[ +R = \frac{\sin(x\sqrt{r})}{(z-r)\sqrt{r}\varpi'(r)}, +\] +\marginpage % *** File: 462.png +$r$ désignant une quelconque des racines de l'équation (9). Si l'on se +borne aux racines $r$ très grandes, on a, par la formule du \no 7, +\[ +\sqrt{r} = \frac{(2i+1)\pi}{2} + \frac{B_i}{i}; +\] +d'où l'on conclut sans difficulté que $R$ est de la forme $\dfrac{\Psi}{i^2}$ et que par +conséquent la série $\sum R$ est convergente. Maintenant il vient +\[ +\sin(x\sqrt{z}) = \sqrt{z}\varpi(z)\sum\left\{\frac{\sin(x\sqrt{r_n})}{(z-r_n)\sqrt{r_n}\varpi'(r_n)}\right\}. +\] +L'intégrale +\[ +\int_0^1 [F(x)-f(x)] \sin(x\sqrt{z})dx +\] +est donc égale à +\[ +\sqrt{z}\varpi(z)\sum\Big\{\frac{1}{(z-r_n)\sqrt{r_n}\varpi'(r_n)}\ldot\int_0^1 [F(x)-f(x)] \sin(x\sqrt{r_n})dx\Big\}, +\] +et chacun des termes dont elle se compose est égal à zéro. Ainsi l'on +est conduit à l'équation générale +\[ +\int_0^1 [F(x)-f(x)] \sin(x\sqrt{z})dx = 0; +\] +et, à cause de l'indéterminée $z$, celle-ci ne peut subsister qu'autant +que l'on a +\[ +[F(x) - f(x)]\sin(x\sqrt{z})dx = 0\qtext{depuis} x = 0\qtext{jusqu'à} x = 1, +\] +ce qui donne généralement +\[ +F(x) = f(x)\qtext{depuis} x=0\qtext{jusqu'à} x=1:\tag{20} +\] +toutefois comme le facteur $\sin(x\sqrt{z})$ est nul pour $x = 0$, il pourra +arriver que l'on n'ait pas $F(0) =f(0)$: cette dernière équation dont +le premier membre est toujours nul ne sera vérifiée que si la quantité +$f(0)$ est égale à zéro, ce que nous admettons effectivement. + +\marginpage % *** File: 463.png +11.~Pour bien voir comment l'équation (19) entraîne l'équation (20), +il suffit de donner à $\sqrt{z}$ une valeur de la forme $Z \sqrt{-1}$, ce qui +transforme le sinus de $x \sqrt{z}$ en exponentielles. On peut aussi remplacer +$\sin (x \sqrt{z})$ par la série $x\sqrt{z} - \dfrac{x^2z\sqrt{z}}{2\ldot3} +$ etc., et en égalant à +zéro le coefficient de chacune des puissances de l'indéterminée $z$ dans +l'équation (19), on a généralement +\[ +\int_0^1 x[F(x) - f(x)]x^{2q} dx = 0,\tag{21} +\] +$q$ étant zéro ou un nombre entier positif. Or, si la fonction +$x[F(x) - f(x)]$ n'est pas identiquement nulle depuis $x=0$ jusqu'à +$x=1$, l'équation (21) ne peut pas subsister à moins que cette +fonction ne change de signe un certain nombre $m$ de fois: sans cela +en effet les éléments de l'intégrale placée au premier membre seraient +tous de même signe et ne pourraient avoir zéro pour somme. Soient +donc $x_1$, $x_2$,\dots$x_m$ les $m$ valeurs de $x$ pour lesquelles $F(x)-f(x)$ +change de signe; et représentons par +\[ +A + B x^2 + C x^4 + \dotsb + x^{2m} +\] +le développement du produit +\[ +(x^2 - x_1^2)(x^2 - x_2^2)\ldots(x^2 - x_m^2). +\] +Si dans l'équation (21) on pose successivement $q=0$, $q=1$,\dots $q=m$, +et si l'on ajoute entre elles toutes les équations ainsi obtenues, après les +avoir multipliées par les facteurs respectifs $A$, $B$, etc., on aura +\[ +\int_0^1 x[F(x) - f(x)](x^2 - x_1^2)(x^2 - x_2^2)\ldots(x^2 - x_m^2)dx = 0, +\] +équation absurde, puisque la quantité placée sous le $\int$ ne change +jamais de signe entre les limites de l'intégrale. On est donc obligé de +reconnaître que l'équation (21) donne +\[ +x[F(x) - f(x)] = 0\qtext{depuis} x = 0\quad \text{jusqu'à}\quad x= 1. +\] + +12.~Il nous reste enfin à montrer que la série placée au second +\marginpage % *** File: 464.png +membre de l'équation (18) est convergente pour toute valeur positive +de $t$. Adoptons les notations du \no 9: le terme général de la série dont +nous parlons sera $Te^{-\rho^2t}$: de plus pour établir la convergence de la +série $\sum Te^{-\rho^2t}$, on pourra, comme on l'a vu ci-dessus dans un cas +semblable, négliger les termes de la forme $\dfrac{\Psi}{i^2}$ et prendre simplement +\[ +T = 2 \sin\rho x \int_0^1 f(x) \sin\rho x dx. +\] +La valeur numérique de $T$ qui résulte de l'équation que je viens d'écrire +est plus petite que $2f_1$, $f_1$ étant le \emph{maximum} absolu de $f(x)$. +Par conséquent celle de $Te^{-\rho^2t}$ est inférieure à $2f_1e^{-\rho^2t}$. Or la série +qui a pour terme général $2f_1 e^{-\rho^2t}$ est évidemment convergente +donc \emph{à fortiori} la série $\sum Te^{-\rho^2t}$ est aussi convergente. + +\jmpafin + +% *** File: 465.png + +\jmpapaperl{NOTE}{} +{Sur l'intégration d'un système d'équations différentielles du +second ordre, entre un nombre quelconque de variables, +analogues à celles du mouvement d'un point libre autour +d'un centre fixe, sollicité par une force fonction de la +distance au centre;} +{Par M.~BINET,} +{Professeur au Collège de France.} +\label{art39} + +[1] Les équations dont on va s'occuper ici sont de la forme +\[ +\frac{d^2u}{dt^2} = \frac{dR}{du},\quad \frac{d^2v}{dt^2} = \frac{dR}{dv}, +\quad \frac{d^2x}{dt^2} = \frac{dR}{dx},\quad \etc: +\] +$u$, $v$, $x$,\dots\ sont les variables principales à déterminer en fonction +de $t$; $R$ est une fonction de la quantité $r= \sqrt{u^2 + v^2 + x^2 + y^2 + \etc}$, +en sorte que $\dfrac{dR}{du} = \dfrac{dR}{dr} \dfrac{u}{r}$,\quad +$\dfrac{dR}{dv} = \dfrac{dR}{dr} \dfrac{v}{r}$, etc. + +Lorsque leur nombre ne surpasse pas trois, ces équations se rapportent +au mouvement d'un point attiré vers un centre fixe, par une +force dont l'expression est $\dfrac{dR}{dr}$, et l'intégration présente peu de difficultés, +ainsi qu'on peut le voir dans plusieurs traités de mécanique +et dans un mémoire récent de M.~Poisson, pages 331 \pdf{p331eqalpha} et 332 du second +volume de ce recueil. Je citerai encore, pour son élégance, la solution +donnée par M.~Gabrio Piola, dans un mémoire sur la Mécanique analytique +couronné en 1824 par l'Académie de Turin. Pour le cas de +trois variables, afin d'achever l'intégration, on a recours ordinairement +\marginpage % *** File: 466.png +à des considérations géométriques. Je suis loin de blâmer l'emploi +de ces considérations dans des questions de Mécanique, qui ne +sont en grande partie que des problèmes de Géométrie: les résultats +obtenus y trouvent souvent une interprétation naturelle et simple, +et l'analyse y puise, par fois, des ressources précieuses. Mais dès que +le nombre des variables principales est au-dessus de trois, l'analyste +ne peut plus guère compter sur les secours de la Géométrie proprement +dite. Il convient alors qu'il se crée une marche purement algébrique. +Celle que nous allons suivre pour intégrer les équations dont +il s'agit conduit à ce résultat remarquable que, quel que soit le nombre +des variables, leurs expressions ne dépendent que d'une seule fonction +différentielle de la variable $r$ à intégrer, pour chaque forme assignée +à la fonction $R$. D'autres voies peuvent fournir le même résultat; +mais elles m'ont paru présenter une assez grande complication, lorsque +le nombre des variables est supérieur à trois. + +[2]. Considérons donc les $n$ équations différentielles du second +ordre de la forme +\[ +\frac{d^2u}{dt^2} = \frac{dR}{dr} \frac{u}{r},\quad +\frac{d^2v}{dt^2} = \frac{dR}{dr} \frac{v}{r},\quad \etc,\tag{1} +\] +entre les $n$ quantités $u$, $v$, $x$, $y$, etc.\ et la variable $t$. + +En les combinant deux à deux, on formera, par l'élimination de +$\dfrac{dR}{dr}$, des équations telles que +\[ +\frac{vd^2u - ud^2v}{dt^2} = 0,\quad \frac{xd^2u - ud^2x}{dt^2} = 0,\quad \etc +\] +d'où l'on tire les intégrales premières, en nombre $n\ldot\dfrac{n-1}{2}$, +\begin{alignat*}{2} +&vu' - uv' &&= \text{constante},\\ +&xu' - ux' &&= \text{const.},\\ +&xv' - vx' &&= \text{const.},\\ +&\etc: +\end{alignat*} +selon la notation ordinaire, nous avons désigné, pour abréger, +\marginpage % *** File: 467.png +dans ces formules, par $u'$, $v'$, $x'$, etc.\ les quantités +différentielles $\dfrac{du}{dt}$, $\dfrac{dv}{dt}$, etc. + +La somme des carrés de ces équations donnera +\[ +\tag{2} (vu' - uv')^2 + (xu'- ux')^2 + \etc + (xv'- +vx')^2 + \etc = A^2, +\] +$A^2$ représentant une constante positive. En vertu d'un théorème +d'algèbre, on sait que cette somme de carrés peut être mise sous +la forme +\[ +(u^2+v^2+x^2+ \etc)(u'^2+v'^2+x'^2+ \etc)-(uu'+vv'+xx'+ \etc)^2 = A^2. +\] + +En multipliant respectivement par $du$, $dv$, $dx$\dots, les équations +proposées et les ajoutant, le premier membre du $\dfrac{dud^2u + +dvd^2v + \etc}{dt^2}$ sera la différentielle de +$\dfrac{u'^2 + v'^2 + x'^2 + y'^2 + \etc }{2}$, et le +second membre sera aussi la différentielle $\dfrac{dR}{dr}dr = dR$; on +aura donc en intégrant, et prenant $B$ pour une constante +arbitraire, +\[ +u'^2 + v'^2 + x'^2 + y'^2 + \etc = 2(R + B). +\] +Substituant dans le premier membre de l'équation (2), cette +valeur, et pour $u^2 + v^2 + \etc$ la quantité $r^2$, +on en déduira +\begin{gather*} +(uu' + vv' + xx' + \etc)^2 = 2r^2(R + B) - A^2; \\ +\tag*{mais} uu' + vv' + \etc = rr' = r\frac{dr}{dt}; \\ +\tag*{partant} r^2 \frac{dr^2 }{dt^2} = 2r^2 (R + B) - A^2; +\end{gather*} +d'où l'on tire +\[ +\tag{3} dt = \frac{rdr }{\sqrt{2r^2(R+B)-A^2}}. +\] +De la même équation l'on déduit encore +\[ +\frac{dr^2}{dt^2} = 2R + 2B - \frac{A^2}{r^2}; +\] +\marginpage % *** File: 468.png +étant différentiée, et divisée par $2dr$, elle devient +\[ +\frac{d^2r}{dt^2} = \frac{dR}{dr} + \frac{A^2}{r^3}. +\] +On peut à l'aide de cette formule éliminer $\dfrac{dR}{dr}$ de la +première des équations (1); elle donnera, après avoir été +multipliée par $r$, +\[ +\frac{rd^2u}{dt^2} - \frac{ud^2r}{dt^2} + \frac{A^2}{r^2} \ldot +\frac{u}{r} = 0; +\] +mais +\[ +rd^2u - ud^2r = d[rdu - udr] = d\Big[ +r^2d\Big(\frac{u}{r}\Big)\Big]. +\] +Cette équation pourra donc être mise sous la forme +\[ +\frac{d}{dt}\Big[\frac{r^2d}{dt}\Big(\frac{u}{r}\Big)\Big] + +\frac{A^2}{r^2}\frac{u}{r} = 0; +\] +ou bien, en la multipliant par $\dfrac{r^2}{A^2}$, +\[ +\frac{r^2d}{Adt} +\Big[\frac{r^2d}{Adt}\Big(\frac{u}{r}\Big)\Big] + +\frac{u}{r} = 0. +\] +Elle deviendra plus simple en y employant une variable auxiliaire +$\phi$, telle que +\[ +\tag{4} d\phi = \frac{Adt}{r^2} = +\frac{Adr}{r\sqrt{2r^2(R+B)-A^2}}; +\] +car elle se change en celle-ci: +\[ +\frac{d\,d(u:r) }{d\phi\hfill d\phi\hfill} + \frac{u}{r} = 0, +\] +dans laquelle $\dfrac{u}{r}$ peut être considéré comme une variable +principale à déterminer en fonction de $\phi$. On aura de la +même manière +\[ +\frac{d^2(v:r)}{d\phi^2} + \frac{v}{r} = 0,\quad +\frac{d^2(x:r)}{d\phi^2} + \frac{x}{r} = 0, \;\etc +\] + +\marginpage % *** File: 469.png +[3]. Ces équations s'intègrent séparément, et en désignant par +$g$, $h$, $g\subprime$, $h\subprime$, $g\subdprime$, $h\subdprime$,\dots\ des constantes arbitraires en nombre $2n$, +on aura +\begin{flalign*} +&\text{(5)}\quad\left\{\quad\begin{alignedat}{3} +&\frac{u}{r} = g &&\cos \phi + h &&\sin \phi,\\ +&\frac{v}{r} = g\subprime &&\cos \phi + h\subprime &&\sin \phi,\\ +&\frac{x}{r} = g\subdprime \!&&\cos \phi + h\subdprime \!&&\sin \phi,\\ +&\etc +\end{alignedat}\right.& +\end{flalign*} +De l'équation (3), on tire par l'intégration +\[ +\tag{6} +t + \alpha = \int \frac{r dr} {\sqrt{2r^2 (R + B) - A^2}}. +\] +Le second membre étant une fonction de $r$, on aura par cette équation +la valeur de $r$ en fonction de $t+\alpha$. L'intégration de la formule (4) +donnera +\[ +\tag{7} +\phi + \beta = \int \frac{A dr} {r \sqrt{2r (R+B) - A^2}} , +\] +au moyen de laquelle on obtiendra $\phi$ en fonction de $r$, et par suite en +fonction de $t+\alpha$. Ayant ainsi $r$ et $\phi$ en fonctions de $t+\alpha$, les +équations (5) donneront les valeurs des $n$ variables $u$, $v$, $x$, $y$,\dots\ +en fonctions de $t+\alpha$, de $\beta$, de $A$, $B$, et des $2n$ constantes, +$g$, $g\subprime$, $g\subdprime$,\dots\ $h$, $h\subprime$, $h\subdprime$\dots; c'est-à-dire que dans ces expressions +il entrera $2n+4$ arbitraires. On doit en conclure qu'il existe entre +ces quantités plusieurs relations, car le problème n'admet que $2n$ arbitraires. + +[4]. En premier lieu, on voit que la constante $\beta$ ne fera que modifier +les arbitraires $g$, $h$, $g\subprime$, $h\subprime$, etc., et que par suite on peut +n'y avoir aucun égard en la traitant comme déjà comprise dans +ces arbitraires. Ainsi le nombre des constantes ne doit plus compter +que pour $2n+3$. De l'équation $r^2 = u^2 + v^2 + x^2 + y^2 + \etc$, +on tire $1 = \dfrac{u^2}{r^2} + \dfrac{v^2}{r^2} + \dfrac{x^2}{r^2} + \etc$; substituant les valeurs du $\dfrac{u}{r}$, +$\dfrac{v}{r}$, etc., données par les équations (5), et représentant +$g^2 + g\subprime ^2 + g\subdprime ^2 + \etc$ +\marginpage % *** File: 470.png +par $\sum g^2$, $gh + g\subprime h\subprime + \etc$, par $\sum gh$, etc., on aura +\[ +1 = \cos^2\phi \sum g^2 + \sin^2\phi\sum h^2 + 2\sin\phi\cos\phi \sum gh. +\] +Cette équation devant avoir lieu pour toute valeur de $\phi$, elle entraîne +les trois suivantes: +\[ +\tag{8} 1 = \sum g^2, \quad 1 = \sum h^2, \quad 0 = \sum gh. +\] +Ces égalités limitent les $2n + 3$ arbitraires qui entrent dans les +expressions de $u$, $v$, $x$, $y$\dots\ en fonctions de la variable $t$, à $2n$ +constantes indépendantes. + +Pour satisfaire à ces conditions, on pourra donner aux arbitraires +$g$, $g\subprime$, $g\subdprime$, etc., $h$, $h\subprime$, $h\subdprime$ etc., une forme particulière que nous +allons indiquer pour le cas de quatre variables $u$, $v$, $x$, $y$: cet +exemple suffira pour faire comprendre un mode de composition qui +s'étend à un nombre quelconque de quantités $g$, $h$, etc., etc. +Nous poserons donc +\begin{align*} +g = \cos\gamma,\quad g\subprime = \sin\gamma \cos\gamma\subprime ,\quad & g\subdprime \,= \sin\gamma \sin\gamma\subprime \cos \gamma\subdprime ,\\ +& g_{\prime\prime\prime} = \sin\gamma \sin\gamma\subprime \sin\gamma\subdprime : +\end{align*} +quels que soient les angles $\gamma$, $\gamma\subprime$, $\gamma\subdprime$ qui, sont en nombre $4- 1 = 3$, +on a manifestement +\[ +g^2 + g^2\subprime + g^2\subdprime + g^2_{\prime\prime\prime} = 1. +\] +On posera aussi +\begin{align*} +h = \cos\eta,\quad h\subprime = \sin\eta \cos\eta\subprime ,\quad & h\subdprime \, = \sin\eta \sin\eta\subprime \cos\eta\subdprime , \\ +&h_{\prime\prime\prime} = \sin\eta \sin\eta\subprime \sin\eta\subdprime , +\end{align*} +et les trois nouvelles arbitraires $\eta$, $\eta\subprime$, $\eta\subdprime$ donneront identiquement +aussi $\sum h^2 = 1$; il ne restera plus qu'à satisfaire à l'égalité $\sum gh = 0$, +ou bien à l'équation, +\begin{align*} +0 = \cos\gamma \cos\eta +\sin\gamma \sin\eta \cos\gamma\subprime \cos\eta\subprime &+ \sin\gamma \sin\eta \sin\gamma\subprime \sin\eta\subprime \cos\gamma\subdprime \cos\eta\subdprime \\ +&+ \sin\gamma \sin\eta \sin\gamma\subprime \sin\eta\subprime \sin\gamma\subdprime +\sin\eta\subdprime , +\end{align*} +laquelle déterminera un des angles, par exemple $\gamma$, au moyen des +cinq autres $\gamma\subprime$, $\gamma\subdprime$, $\eta$, $\eta\subprime$, $\eta\subdprime$. + +\marginpage % *** File: 471.png +Si le nombre des constantes $g$, $g\subprime$,\dots\ eût été cinq, on les eût composées +ainsi avec quatre arbitraires $\gamma$, $\gamma\subprime$, $\gamma\subdprime$, $\gamma_{\prime\prime\prime}$: +\begin{align*} +g=\cos\gamma,\; g\subprime =\sin\gamma\cos\gamma\subprime ,\; +g\subdprime = \sin\gamma\sin\gamma\subprime \cos\gamma\subdprime ,\; +&g_{\prime\prime\prime}= \sin\gamma\sin\gamma\subprime \sin\gamma\subdprime \cos\gamma_{\prime\prime\prime},\\ +&g_{\text{\tiny IV}}= \sin\gamma\sin\gamma\subprime \sin\gamma\subdprime \sin\gamma_{\prime\prime\prime}, +\end{align*} +et de même pour $h$, $h\subprime$, etc. Cette manière de satisfaire à une équation +de la forme $\sum g^2 = 1$ a quelque analogie avec la formule que +M.~Poisson a donnée dans sa \emph{Théorie de la Chaleur}, page 38. +Les $2n$ quantités $g$, $g\subprime$,\dots\ $h$, $h\subprime$,\dots\ seront donc exprimées au +moyen de $2n - 2$ arbitraires, liées entre elles par une équation, +qui réduit le nombre des constantes indépendantes à $2n - 3$; les +constantes $\alpha$, $A$, $B$ complètent le nombre $2n$. + +[5]. Nous avons fait voir que l'intégration des équations proposées +entre les variables $u$, $v$, $x$,\dots\ dépend des deux intégrales +\begin{align*} +t+\alpha&= \int\frac{rdr}{\sqrt{2r^2(R+B)-A^2}},\tag{6}\\ +\phi+\beta&= \int\frac{Adr}{r\sqrt{2r^2(R+B)-A^2}}.\tag{7} +\end{align*} +Ces deux fonctions, qui semblent indépendantes, peuvent néanmoins +être ramenées à une origine commune. En effet, soit $S$ une fonction +de $r$ telle que +\[ +S = \int\frac{dr}{r}\sqrt{2r^2(R+B)-A^2}, +\] +il est évident que l'on aura par des différentiations partielles: +\[ +t+\alpha=\frac{dS}{dB},\quad \phi+\beta=-\frac{dS}{dA}.\tag{9} +\] + +[6]. Les formules que nous venons d'exposer montrent que les +variables $u$, $v$, $x$\dots\ fournies par des équations de la forme +\[ +\frac{d^2u}{dt^2}=\frac{dR}{dr}\frac{u}{r},\quad \frac{d^2v}{dt^2}=\frac{dR}{dr}\frac{v}{r},\quad \etc, +\] +ne dépendent que de la détermination de la seule intégrale $S$, et de +\marginpage % *** File: 472.png +ses deux différentielles relatives à $A$ et à $B$. Ces différentiations, le +plus communément, s'effectueront sans difficultés et sans introduire +de transcendantes supérieures à celles dont $S$ sera composé: nous +disons \emph{le plus communément}, car il y a des cas où cet énoncé ne sera +pas exact, et où le calcul de la différentielle d'une fonction introduira +des fonctions d'un ordre de difficulté ou de complication autre que +celui des fonctions différentiées. + +Des recherches sur la théorie de la variation des arbitraires dans les +questions de Mécanique, appliquées au problème d'un point attiré +vers un centre fixe par une force $\dfrac{dR}{dr}$, m'avaient conduit aux équations +(9) pour le cas de trois variables $u$, $v$, $x$ seulement. Mais il me +fut facile d'y reconnaître un corollaire d'une proposition générale +énoncée par M.~Jacobi, et relative à l'intégration des deux équations +du mouvement d'un point qui doit demeurer dans un plan. Ce résultat +reçoit ici une extension de généralité notable, en ce qu'il s'applique +à un nombre quelconque d'équations différentielles du second +ordre de la forme particulière dont nous nous occupons. + +[7]. Nous avons trouvé ci-dessus que l'équation $\dfrac{d^2u}{dt^2}=\dfrac{dR}{dr}\ldot\dfrac{u}{r}$ se +transforme en $\dfrac{r^2}{A}\dfrac{d}{dt} \Big[\dfrac{r^2d (u:r)}{Adt}\Big]+\dfrac{u}{r}=0$, par cela seul qu'il existe +entre $r$ et $t$ la relation $t + \alpha = {\dint} \dfrac{r dr}{\sqrt{2r^2(R+B)-A^2}}$, c'est-à-dire +que $r$ est une fonction de $t + \alpha$ déterminée par cette équation (6); +et qu'en employant la variable auxiliaire $\phi$ de la formule (7), la même +équation devient +\[ +\frac{d^2 (u:r)}{d \phi^2}+ \frac{u}{r}=0, +\] +dont l'intégrale est +\[ +u = r [g \cos \phi + h \sin \phi]. +\] +Il en résulte que cette dernière équation doit être considérée comme +l'intégrale générale de l'équation $\dfrac{d^2u}{dt^2}=\dfrac{dR}{dr}\dfrac{u}{r}$ dans laquelle la quantité +$\dfrac{dR}{rdr}$ sera une fonction donnée de $t + \alpha$, $A$ et $B$. Alors $g$ et $h$ seront +\marginpage % *** File: 473.png +les deux constantes arbitraires exigées par l'ordre de l'équation. + +Afin de donner un exemple, nous supposerons $R = \dfrac{m}{r}$ et l'équation +à intégrer sera $\dfrac{d^2u}{dt^2} + \dfrac{mu}{r^3} = 0$, $r$ étant donnée en fonction de $t$ par l'équation +$t + \alpha = {\dint}\dfrac{rdr}{\sqrt{2r^2\Big(\dfrac{m}{r}+B\Big)-A^2}}$. Pour rentrer dans des formules +usuelles, nous écrirons $B = -\dfrac{m}{a}$, et $A^2 = ma(1 - e^2)$; +l'équation d'où dépend $r$ sera alors $t + \alpha = {\dint}\dfrac{rdr}{\sqrt{\dfrac{m}{a}[a^2e^2-(a-r)^2]}}$. On +posera ici, à l'ordinaire, +\[ +a - r = ea \cos\psi,\qtext{ou} r = a(1 - e \cos\psi), +\] +$\psi$ étant une nouvelle quantité auxiliaire, connue des géomètres sous +le nom d'\emph{anomalie excentrique}, dans la théorie du mouvement elliptique; +de là il suit que +\[ +t + \alpha =\int\frac{a^\frac{3}{2}}{\sqrt{m}}d\psi(1-e\cos\psi),\qtext{ou} +\psi-e\sin\psi=(t+\alpha)\sqrt{\frac{m}{a^3}}; +\] +équation dont on devra tirer la valeur de $\psi$ pour la substituer dans +celles de $r$, et de $\phi$ exprimée en $r$. Mais +\[ +d\phi=\frac{A}{r^2}\ldot dt=\frac{\sqrt{ma(1-e^2)}a^\frac32 d\psi(1-e\cos\psi)}{\surd{m}\ldot a^2(1-e\cos\psi)^2}=\frac{\sqrt{1-e^2}\ldot d\psi}{1-e\cos\psi}; +\] +il s'ensuit que $\tang\dfrac{\phi}{2} = \sqrt{\dfrac{1+e}{1-e}}\ldot\tang\dfrac{\psi}{2}$, en négligeant la constante +que l'intégration aurait pu introduire. D'après cette formule, +on aura +\begin{align*} +\cos\phi &= \frac{\cos\psi - e}{1-e\cos\psi} = \frac{a(\cos\psi-e)}{r},\\ +\sin\phi &= \frac{\sin\psi\sqrt{1-e^2}}{1-e\cos\psi} = \frac{a\sin\psi\sqrt{1-e^2}}{r}. +\end{align*} +\marginpage % *** File: 474.png +L'intégrale de l'équation proposée étant +\[ +u = r(g \cos \phi + h \sin \phi), +\] +pourra encore être écrite ainsi: +\[ +u = ag(\cos \psi - e) + ah \sin \psi \sqrt{1-e^2}; +\] +où l'on n'a plus qu'à remplacer $\psi$ par sa valeur en $t$. Celte substitution +exigerait la résolution de l'équation +\[ +\psi - e \sin \psi = (t + \alpha) \sqrt{\frac{m}{a^3}}, +\] +que l'on ne peut obtenir que par la voie des séries et sous de certaines +conditions limitatives de la grandeur de $e$. Néanmoins on obtiendra +l'intégrale ou la relation cherchée entre $t$ et la fonction $u$, +de la manière suivante. Remplaçons d'abord les constantes $g$ et $h$ +par deux nouvelles arbitraires $\gamma$, $\eta$ telles que $ag = \gamma \cos \eta$, +$ah\sqrt{1-e^2} = \gamma \sin \eta$; et par suite, nous pourrons écrire ainsi +l'équation entre $\psi$ et $u$, +\[ +\cos (\psi - \eta) = e \cos \eta + \frac{u}{\gamma}. +\] +De celle-ci on tire +\[ +\psi = \eta + \arc\Big(\cos = \frac{u}{\gamma} + e \cos \eta\Big). +\] +Cette valeur de $\psi$ mise dans l'équation en $\psi$ et $t$ lui donne cette +autre forme +\begin{align*} +(t + \alpha)\sqrt{\frac{m}{a^3}} = \eta + \arc\Big(\cos = \frac{u}{\gamma} + e \cos \eta\Big) +- e \sin \eta\Big(\frac{u}{\gamma} + e \cos \eta\Big)\\ +-e \cos \eta \sqrt{1-\Big(\frac{u}{\gamma}+e \cos \eta\Big)^2}. +\end{align*} +De cette égalité il sera facile de faire disparaître la fonction +$\arc\Big(\cos = \dfrac{u}{\gamma} + e \cos \eta\Big)$ en l'isolant dans un seul membre, puis en +prenant les cosinus des deux membres: ce résultat sera l'intégrale générale +\marginpage % *** File: 475.png +de l'équation différentielle du second ordre $\dfrac{d^2u}{dt^2} + \dfrac{mu}{r} = 0$, +$r$ étant une fonction de $t$ donnée par les formules +\[ +r = a(1 - e \cos\psi),\quad \psi - e \sin\psi = (t + \alpha)\sqrt{\frac{m}{a^3}}, +\] +dont on doit éliminer la quantité auxiliaire $\psi$: les constantes $\gamma$ et $\eta$ +seront les deux arbitraires de l'intégration. + +[8]. Nous venons de trouver l'intégrale de l'équation linéaire du +second ordre $\dfrac{d^2u}{dt^2} = \dfrac{dR}{dr}\ldot\dfrac{u}{r}$, où $r$ représente une fonction de $t$ dépendante +de la résolution de l'équation +\[ +t+\alpha = \int\frac{rdr}{\sqrt{2r^2(R+B)-A^2}}:\tag{6} +\] +dans cette dernière formule la quantité $A^2$ semble devoir être essentiellement +positive pour que $\psi$ ne soit pas imaginaire. L'équation différentielle +s'intègre néanmoins, mais avec quelques modifications +dans la forme des résultats, lorsque la formule (6) est remplacée +par la suivante où l'on supprime $B$ qui peut être compris dans $R$, +\[ +t+\alpha = \int\frac{rdr}{\sqrt{2r^2R+A^2}}.\tag{$6'$} +\] +En effet, de celle-ci, on tire +\[ +\frac{dr^2}{dt^2} = 2R+\frac{A^2}{r^2}; +\] +par la différentiation, et après avoir divisé par $2dr$, on aura +\[ +\frac{d^2r}{dt^2} = \frac{dR}{dr}-\frac{A^2}{r^3}. +\] +En éliminant $\dfrac{dR}{dr}$ de l'équation proposée, à l'aide de la précédente, +elle deviendra +\[ +r\frac{d^2u}{dt^2}-u\frac{d^2r}{dt^2}-\frac{A^2}{r^2}\ldot\frac{u}{r}=0, +\] +\marginpage % *** File: 476.png +à laquelle on donnera, comme ci-dessus (\ ), la forme +\[ +\frac{r^2}{A^2}\ldot \frac{d}{dt}\Big[ \frac{r^2d}{dt} \Big(\frac{u}{r}\Big) \Big]-\frac{u}{r}=0; +\] +\begin{flalign*} +&\text{ou bien, en posant encore}\quad d\phi_1 = \frac{Adt}{r^2}=\frac{Adr}{r\sqrt{2r^2R+A^2}}; &\\ +&\text{l'équation se change en}\quad \frac {dd(u:r)}{d\phi^2_1}-\frac{u}{r}=0; +\end{flalign*} +alors elle a pour intégrale +\[ +\frac{u}{r}=ge^{\phi_1}+he^{-\phi_1}, +\] +$g$ et $h$ étant deux arbitraires, $e$ la base hyperbolique; et la quantité +auxiliaire $\phi_1$ étant donnée par l'égalité +\[ +\phi_1=\int\frac{Adr}{r \sqrt{2r^2R+A^2}}. +\] +On serait arrivé au même résultat en passant du réel a l'imaginaire +dans les formules du cas que nous avons traité en premier lieu, et où +$A^2$\ avait le signe $-$ sous le radical: il aurait fallu pour cela remplacer, +dans les formules, $r$ par $r\sqrt[4]{-1}$, $R$ par $R\sqrt{-1}$, $\phi$ par $\phi \sqrt{-1}$, +et enfin changer $\sin(\phi \sqrt{-1})$ et $\cos(\phi \sqrt{-1})$ en exponentielles +réelles. + +On ne connaît qu'un petit nombre d'équations différentielles du +second ordre intégrables. J'ai cru devoir appeler l'attention des géomètres +sur l'équation linéaire $\dfrac{d^2u}{dt^2}=\dfrac{dR}{rdr}u$, où $r$ dépend de $t$ selon la +formule $t = {\dint}\dfrac{rdr}{\sqrt{2r^2R+A^2}}$, parce que cette classe est fort étendue, $R$ +étant une fonction indéterminée de $r$: elle comprend l'équation linéaire +à coefficient constant. + +\jmpafin + +% *** File: 477.png + +\jmpapaper{SOLUTION}{} +{D'un Problème de Probabilité, relatif au Jeu de rencontre;} +{Par E. CATALAN,} +{Ancien élève de l'École Polytechnique.} +\label{art40}\Droit + +1.~\emph{Une urne contient m boules marquées $a$, $b$, $c$, $d$,\dots, que l'on +tire toutes successivement, pour les remettre ensuite. Quelle est la +probabilité que, dans deux tirages consécutifs, $n$ boules sortiront +dans le même ordre}? + +Supposons que l'on fasse le premier tirage, et qu'à mesure que les +boules sortent de l'urne, on écrive leurs noms sur une même ligne; +supposons aussi que la même chose ait lieu pour le second tirage, +et que la seconde ligne soit écrite au-dessous de la première. On obtiendra +de la sorte, deux suites composées chacune de $m$ lettres, et +qui seront par exemple: + +\begin{flalign*} +&&\begin{array}{l@{\ }p{6em}*{8}{@{\ }c}} +1\ier & \text{tirage}\dotfill & g, & a, & h, & l, & i, & c, & e, & d,\ldots \\ +2\ieme & \text{tirage}\dotfill & i, & l, & h, & g, & b, & d, & e, & f,\ldots +\end{array}&& +\begin{array}{l@{}} +(1) \\ +(2) +\end{array} +\end{flalign*} + +J'appellerai \emph{correspondance} la rencontre, au même rang, de deux +lettres semblables: ainsi, les lettres $h$, $e$ forment deux correspondances. + +La question revient alors à celle-ci: + +\emph{Quelle est la probabilité qu'en écrivant au hasard les suites {\rm(1)} et +{\rm(2)}, composées des mêmes lettres, on obtiendra $n$ correspondances}? + +Écrivons arbitrairement la première ligne; puis, pour former la +seconde, commençons par faire correspondre $n$ lettres; nous devrons +ensuite écrire les autres $m-n$ lettres, de manière qu'elles ne présentent +\marginpage % *** File: 478.png +aucune correspondance: je désigne pour un instant par $X_{m-n}$ le nombre +de solutions dont cette question est susceptible. + +Nous aurons alors, pour $n$ correspondances \emph{désignées}, $X_{m-n}$ systèmes. +Et comme les $n$ lettres, au lieu d'êtres désignées, sont quelconques, +le nombre $X_{m-n}$ doit être multiplié par le nombre des combinaisons +de $m$ lettres, prises $n$ à $n$; quantité que je désignerai par +$C_{m,n}$. + +Ainsi, pour un arrangement quelconque des lettres de la première +ligne, il y en a $C_{m,n}\times X_{m-n}$ des lettres de la seconde, pour lesquels +$n$ lettres correspondent. De plus, les lettres de la première ligne +pouvant être disposées d'autant de manières que l'indique le nombre +des permutations de $m$ lettres, prises toutes ensemble, il s'ensuit que +le nombre des chances favorables à l'événement demandé, est +\begin{gather*} +P_m\ldot C_{m,n}\ldot X_{m-n}. \tag{3} +\end{gather*} +Le nombre total des chances est évidemment $(P_m)^2$: donc la probabilité +cherchée a pour expression +\begin{gather*} +p = \frac{C_{m,n}\ldot X_{m-n}}{P_m}; \tag{4} +\end{gather*} +ou bien, en mettant pour $C_{m,n}$ et $P_m$ leurs valeurs connues, +\begin{gather*} +p = \frac{X_{m-n}}{1\ldot 2\ldot 3\ldots n\ldot 1\ldot 2\ldot 3\ldots (m-n)}\ldot \tag{5} +\end{gather*} + +2.~Déterminons $X_{m-n}$. + +En remplaçant $m - n$ par $\mu$, la question peut être posée de cette +manière: + +\emph{Les} $\mu$ \emph{lettres $a$, $b$, $c$, $d$,\dots $h$, $i$ étant écrites sur une même ligne, +trouver de combien de manières l'on peut former une seconde ligne de +ces mêmes lettres, avec la condition qu'aucune d'elles n'occupe le +même rang dans ces deux lignes}. + +Cette quantité sera désignée par $X_\mu$. + +Supposons cette opération déjà effectuée pour les $\mu - 1$ lettres +$a$, $b$, $c$,\dots $h$; et considérons l'un quelconque de ces systèmes: +\begin{gather*} +\left.\begin{array}{l@{\ }p{5em}*{3}{l@{\ }}} +1\iere & \text{ligne}\dotfill & a, & b, & c,\ldots h, \\ +2\ieme & \text{ligne}\dotfill & g, & d, & a,\ldots e. +\end{array}\right\}\tag{6} +\end{gather*} +\marginpage % *** File: 479.png +Apportons la $\mu$\ie\ lettre $i$ à la fin de chaque ligne; puis, dans la seconde, +changeons successivement chacune des $\mu - 1$ lettres qui y +entrent, en $i$, et réciproquement. + +Il est visible que nous obtiendrons de la sorte, $\mu - 1$ systèmes, +qui feront partie des $X_\mu$ systèmes demandés. + +Considérons encore deux lignes de $\mu - 1$ lettres, parmi lesquelles il +y ait 1 correspondance; par exemple: +\begin{gather*} +\left.\begin{array}{l@{\ }p{5em}*{4}{l@{\ }}} +1\iere & \text{ligne}\dotfill & a, & b, & c, & d,\ldots h, \\ +2\ieme & \text{ligne}\dotfill & a, & f, & d, & b,\ldots e. +\end{array}\right\}\tag{7} +\end{gather*} + +Écrivons la $\mu$\ie\ lettre $i$ à la fin de chaque ligne; puis, dans la seconde, +changeons $i$ en $a$; nous aurons encore un des arrangements +cherchés. Nous pourrons faire la même chose pour chacune des $\mu - 1$ +lettres $a$, $b$, $c$,\dots $h$; et comme, pour une lettre qui correspond, il +en reste $\mu - 2$, que l'on peut intervertir d'autant de manières que +l'indique $X_{\mu-2}$, il s'ensuit que +\begin{gather*} +X_\mu = (\mu - 1)(X_{\mu-1} + X_{\mu-2}).\tag{8} +\end{gather*} +Il est évident que $X_1 = 0$, et $X_2 = 1$. On a ensuite $X_3= 2\ldot 1 = 2$, +$X_4 = 3(2+1) = 9$, $X_5 = 4(9+2) = 44$, etc. + +On voit donc que la suite des termes $X_1$, $X_2$, $X_3$,\dots $X_{\mu-2}$, $X_{\mu-1}$, +$X_\mu$,\dots\ forme une série dans laquelle \emph{un terme quelconque est égal à +la somme des deux précédents, multipliée par le rang du terme qui +précède celui que l'on cherche}. + +3.~On peut transformer la formule (8) en une autre plus simple: + +D'abord, pour la symétrie du calcul, posons $X_0 = 1$: cette valeur +satisfait à la loi générale, car alors $X_2 = 1(X_1 + X_0)$. + +Ensuite, en changeant dans la formule ci-dessus, $\mu$ en $\mu-2$, +$\mu-4$,\dots\ et supposant $\mu$ \emph{pair}, nous aurons +\begin{align*}\tag{9} +\left. \begin{aligned} +X_\mu &= (\mu - 1)(X_{\mu-1} + X_{\mu-2}),\\ +X_{\mu-2} &= (\mu - 3)(X_{\mu-3} + X_{\mu-4}),\\ +\multispan2\quad\leaderfill\\ +X_4 &= 3(X_3 + X_2),\\ +X_2 &= 1(X_1 + 1). +\end{aligned} +\quad\right\} +\end{align*} +\marginpage % *** File: 480.png +La somme de toutes ces équations est +\begin{gather*} +X_\mu=(\mu-1)X_{\mu-1} + (\mu-2)X_{\mu-2} + \dotsb + 3X_3 + 2X_2 + 1X_1 + 1.\tag{10} +\end{gather*} +Changeant $\mu$ en $(\mu - 1)$, nous aurons, $(\mu - 1)$ étant \emph{impair}, +\begin{gather*} +X_{\mu-1} = (\mu - 2)X_{\mu-1} + \dotsb + 3X_3 + 2X_2 + 1X_1;\tag{11} +\end{gather*} +d'où +\[ +X_\mu = \mu X_{\mu-1} + 1. +\] +$\mu$ étant \emph{impair}, nous obtiendrions de même +\[ +X_\mu = \mu X_{\mu-1} - 1. +\] + +La formule générale est donc +\begin{gather*} +X_\mu = \mu X_{\mu-1} \pm 1,\tag{12} +\end{gather*} +en prenant le signe supérieur si $\mu$ est pair. + +On voit donc, que, \emph{pour obtenir un terme quelconque, il suffit de +multiplier son rang par le terme précédent, et d'ajouter ou de retrancher +l'unité}. + +La valeur de $X_\mu$ croît très rapidement avec $\mu$: on a $X_1 = 0$, +$X_2=1$, $X_3=2$, $X_4=9$, $X_5=44$, $X_6=265$, $X_7=1854$, $X_8=14\,833$, +$X_9=133\,496$, $X_{10}=1\,334\,961$, $X_{11}=14\,684\,570$, $X_{12}=176\,214\,841$, +$X_{13}=2\,290\,792\,932$, $X_{14}=32\,071\,101\,049$, $X_{15}=481\,066\,515\,734$, etc. + +4.~Déterminons le terme général $X_\mu$, seulement en fonction de $\mu$. + +En changeant dans l'équation (12), $\mu$ en $\mu-1$, $\mu-2$,\dots\ nous +obtiendrons les $\mu + 1$ équations, +\begin{align*}\tag{13} +\left. \begin{aligned} +&\begin{alignedat}{2} +&X_\mu &&= \mu X_{\mu-1} \pm 1,\\ +&X_{\mu-1} &&= (\mu - 1)X_{\mu-2} \mp 1,\\ +&X_{\mu-2} &&= (\mu - 2)X_{\mu-3} \pm 1,\\ +\multispan4\leaderfill\\ +\end{alignedat}&\\ +&\begin{aligned} +X_3 &= 3X_2 - 1,\\ +X_2 &= 2X_1 + 1,\\ +X_1 &= 1X_0 - 1,\\ +X_0 &= 1. +\end{aligned}& +\end{aligned} +\quad\right\} +\end{align*} +\marginpage % *** File: 481.png + +Multipliant alors la 2\ieme\ équation par $\mu$, la 3\ieme\ par $\mu(\mu-1)$, etc.; +il vient, en ajoutant les produits: +\begin{align*}\tag{14} +\left.\begin{aligned} +X_\mu=\pm 1\mp\mu\pm \mu(\mu-1)\mp\mu(\mu-1)(\mu-2)\pm \ldots&\\ +-\mu(\mu-1)\ldots3\ldot 2+\mu(\mu-1)\ldots3\ldot 2\ldot 1& +\end{aligned} +\quad\right\} +\end{align*} +Donc $X_\mu$ \emph{est égal à la différence entre le nombre des permutations de +$\mu$ lettres prises en nombre pair, et celui des permutations de ces +mêmes lettres prises en nombre impair}. + +5.~La valeur de $X_\mu$ peut se mettre sous la forme +\begin{gather*} +X_\mu = 1. 2. 3\ldots(\mu-1)\mu\Big[1-\frac{1}{1}+\frac{1}{1. 2}- +\frac{1}{1. 2. 3}+\dotsb\pm \frac{1}{1. 2. 3\dots(\mu-1)\mu}\Big].\tag{15} +\end{gather*} + +La série entre parenthèses a une analogie remarquable avec le développement +de la base des logarithmes népériens: on sait que ce développement +a pour valeur la limite de $\Big(1 + \dfrac{1}{n}\Big)^n$. De même, la série +ci-dessus a pour valeur la somme des $\mu + 1$ premiers termes du développement +de $\Big(1 - \dfrac{1}{n}\Big)^n$, après qu'on y a fait $n$ infini. + +En négligeant les puissances supérieures à la première, on a +$\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{n}} = 1 - \dfrac{1}{n}$: il s'ensuit qu'en désignant à l'ordinaire par $e$ la base +des logarithmes népériens, la série ci-dessus est le développement de +$\dfrac{1}{e}$, limité aux $\mu + 1$ premiers termes. C'est ce qui devient évident si +l'on prend la relation +\begin{gather*} +e^x=1+\dfrac{x}{1}+\dfrac{x^2}{1\ldot 2}+\dfrac{x^3}{1\ldot 2\ldot 3}+ \dotsb \tag{16} +\end{gather*} +et si l'on y pose $x = -1$. + +Il s'ensuit aussi que la valeur \emph{limite} de $X_\mu$ est +\begin{gather*} +\frac{1\ldot 2\ldot 3\ldot 4\ldots(\mu-1)\mu}{e}.\tag{17} +\end{gather*} +Comme la série (15) est très convergente, la valeur (17) est très approchée, +\marginpage % *** File: 482.png +dès que $\mu$ dépasse une certaine limite, qui n'est pas élevée. +En faisant le calcul, on trouve que, pour $\mu > 13$, +\begin{gather*} +\frac{1}{e} = 0{,}367\,879\,441\,19\ldots\tag{18} +\end{gather*} +Donc aussi, pour $\mu > 13$, +\begin{gather*} +X_\mu = 0{,}367\,879\,441\,19 \times 1\ldot 2\ldot 3\ldots(\mu-1)\mu.\tag{19} +\end{gather*} +Enfin, si l'on met pour le produit des $\mu$ premiers nombres naturels, +sa valeur approchée, on aura, à fort peu près, +\begin{gather*} +X_\mu= \frac{\mu^\mu\sqrt{2\pi\mu}}{e^{\mu+1}}\Big( +1+\frac{1}{12\mu}+\frac{1}{288\mu^2}+ \dotsb \Big)\tag{20} +\end{gather*} + +5.~Revenant au problème qui fait l'objet de cette note, nous aurons, +en remplaçant $X_{m-n}$ par sa valeur, dans la formule (5), +\begin{gather*} +p = \frac{1}{1. 2. 3\ldots(n-1)n}\Big[ +1-\frac{1}{1}+\frac{1}{1. 2}-\dotsb\pm \frac{1}{1. 2. 3\ldots(m-n-1)(m-n)}\Big],\tag{21} +\end{gather*} +pour l'expression exacte de la probabilité. Lorsque $m-n$ dépasse 13, +la valeur très approchée est +\begin{gather*} +p = \frac{0{,}367\,879\,441\,19}{1\ldot 2\ldot 3\ldots(n-1)n}.\tag{22} +\end{gather*} +Prenons pour exemple $m = 20$, $n = 5$, $m - n = 15$; les formules +(21) ou (22) donnent également +\[ +p = 0{,}003\,065\,662. +\] + +6.~Cherchons la probabilité que, dans les deux tirages, aucune +lettre ne sortira au même rang. Posant $n = 0$ dans la formule (21), il +vient pour la probabilité demandée, +\begin{gather*} +p'=1-\frac{1}{1}+\frac{1}{1\ldot 2}- \dotsb \pm \frac{1}{1\ldot 2\ldot 3\ldots(m-1)m}.\tag{23} +\end{gather*} +Et si $m$ est infini, +\begin{gather*} +p' = \frac{1}{e}\tag{24} +\end{gather*} +\marginpage % *** File: 483.png +Telle est la probabilité que, dans deux séries des mêmes événements +\label{err483}indépendants les uns des autres, et en nombre infini, aucun événement +n'arrivera dans le même ordre. + +Si de l'unité nous retranchons $p'$, nous obtiendrons, pour la probabilité +\emph{d'au moins} une correspondance dans les deux tirages successifs, +\begin{gather*} +p'' = \frac{e-1}{e}. \tag{25} +\end{gather*} +Cette probabilité est celle du \emph{jeu de rencontre}, qui consiste en +ceci: + +Deux joueurs ont chacun un jeu de cartes, complet; chacun d'eux +tire successivement une carte de son jeu, jusqu'à ce que la même carte +sorte en même temps, des deux côtés. L'un des joueurs parie qu'il y +aura \emph{rencontre}; l'autre parie le contraire. En supposant le nombre +des cartes infini, il est clair que la probabilité du premier est $p''$, et +celle du second, $p'$. + +On a +\[ +p'' = 0{,}632\ldots \quad p' = 0{,}368\ldots; +\] +et comme ces valeurs sont fort approchées lorsque $m$ est plus grand +que 13, il s'ensuit qu'on peut les regarder comme exactes, même pour +un jeu de 32 cartes\footnote{% +Le problème dont je m'occupe ici, m'avait été proposé, il y a plus de deux +ans, à l'École Polytechnique. Ce n'est qu'après en avoir envoyé la solution à +M.~Liouville, que j'ai appris qu'Euler s'était occupé du problème des rencontres, +qui est, comme on le voit, un cas très particulier du mien. + +On trouvera la solution d'Euler dans les \emph{Mémoires de l'Académie de Berlin}, +année 1751. On pourra consulter aussi le \emph{Calcul des Probabilités} de Laplace, +p.~217, et le tome XII \emph{des Annales de Mathématiques}. Je n'ai eu connaissance +de tout cela que depuis peu de temps.} + +7.~Le problème (1) présente une circonstance assez remarquable: +la valeur (22) ne contient en dénominateur que la variable $n$. Quant +au numérateur, on vient de voir qu'aussitôt que $m-n$ dépasse 13, +il reste, à fort peu près, constant. Donc aussi, la probabilité demandée +est, presque rigoureusement, indépendante du nombre de boules que +\marginpage % *** File: 484.png +contient l'urne: elle dépend seulement de la quantité de boules qui +doivent sortir aux mêmes rangs, dans les deux tirages. + +8.~Dans la formule (22), faisons varier $n$ de 0 à $m$, et ajoutons +tous les résultats: la somme est évidemment l'unité, qui est le symbole +de la certitude. Donc +\begin{gather*} +1 = \sum_0^m \dfrac{1-\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{1\ldot 2}- \dotsb \pm +\dfrac{1}{1\ldot 2\ldot 3\ldots(m-n)}}{1\ldot 2\ldot 3\ldots n}.\tag{26} +\end{gather*} +Cette équation peut se mettre sous la forme +\begin{align*} +1 = 1\Big(1+&\frac{1}{1}+\frac{1}{1\ldot 2}+ \dotsb +\frac{1}{1\ldot 2\ldot 3\ldots m}\Big)\\ +&-\frac{1}{1}\Big(1+\frac{1}{1}+\frac{1}{1\ldot 2}+ \dotsb +\frac{1}{1\ldot 2\ldots(m-1)}\Big)\\ +&+\frac{1}{1\ldot 2}\Big(1+\frac{1}{1}+\frac{1}{1\ldot 2}+ \dotsb +\frac{1}{1\ldot 2\ldots(m-2)}\Big)- \dotsb \\ +&\mp\frac{1}{1\ldot 2\ldot 3\ldot 4\ldots(m-1)}\Big(1+\frac11\Big)\pm \frac{1}{1\ldot 2\ldot 3\ldots(m-1)m}. +\end{align*} +Multipliant les deux membres par $1\ldot 2\ldot 3\ldots(m - 1)m$, elle devient +\begin{align*} +\multispan2{$1. 2. 3\dotsbsmall(m-1)m = [1+m+m(m-1)+\dotsbsmall+m(m-1)(m-2)\dotsbsmall 3. 2. 1]$}\\ +&\multispan1{$-\dfrac{m}{1}[1+(m-1)+(m-1)(m-2)+\dotsbsmall+(m-1)(m-2)\dotsbsmall 3. 2. 1]$}\\ +&+\dfrac{m}{1}\dfrac{m-1}{2}[1+(m-2)+(m-2)(m-3)+\dotsbsmall+(m-2)(m-3)\dotsbsmall 3. 2. 1]\\ +&\multispan1\leaderfill\hspace{5.5em}\\ +\hspace{2.0em}&\mp\dfrac{m}{1}\dfrac{m-1}{2}\dotsbsmall\dfrac{2}{m-1} [1 + 1] \pm 1.\tag{27} % 2.7 = 6.03136 +\end{align*} +Si l'on représente par $S_n$ la somme des nombres de permutations de +$n$ lettres, prises 0 à 0, 1 à 1, 2 à 2,$\ldots n$ à $n$, cette équation peut +se mettre sous la forme +\begin{gather*} +1. 2. 3\dots(m-1)m = S_m - C_{m,1}. S_{m-1} + C_{m,2}. S_{m-2} - +\dotsb\mp C_{m,1}. S_1 \pm 1.\tag{28} +\end{gather*} +L'équation (27) exprime un théorème sur les nombres, l'équation (28) +un théorème sur les combinaisons. + +9.~Je supposerai maintenant qu'au lieu d'extraire toutes les boules +\marginpage % *** File: 485.png +de l'urne, on n'en tire qu'un nombre $t$. Le problème 1 se change en +cet autre, plus général: + +\emph{Quelle est la probabilité que, dans deux tirages consécutifs d'une +urne contenant $m$ boules marquées $a$, $b$, $c$,\dots $h$, $i$, dont il en sort +$t$ à chaque tirage, $n$ lettres sortiront dans le même ordre?} + +En suivant la même marche que précédemment, l'on voit que, +après avoir fait correspondre $n$ lettres dans un système de deux lignes, +il reste à placer dans chacune d'elles, $t - n$ autres lettres, prises +parmi les $m - n$ restantes; et cela, avec la condition qu'il ne se présente +plus aucune correspondance. Supposons pour un instant que +cette opération a été effectuée de toutes les manières possibles, et +désignons par $Y_{m-n,t-n}$ le nombre des systèmes ainsi obtenus. + +Actuellement, les $n$ lettres correspondantes pouvant être quelconques, +et pouvant occuper $t$ places, il s'ensuit que le nombre ci-dessus +doit être multiplié par $C_{m,n}\ldot P_{t,n}$. Les chances favorables à l'événement +demandé sont donc en nombre $C_{m,n}\ldot P_{t,n}\ldot Y_{m-n,t-n}$. Le nombre des +chances possibles est $(P_{m,t})^2$. La probabilité cherchée a donc pour +expression +\begin{gather*} +p = \frac{C_{m,n}\ldot P_{t,n}\ldot Y_{m-n,t-n}}{(P_{m,t})^2}.\tag{29} +\end{gather*} + +10.~Déterminons $Y_{m-n,t-n}$. + +En remplaçant $m - n$ par $\mu$ et $t - n$ par $\alpha$, la question revient à +ceci: + +\emph{De combien de manières peut-on former deux lignes composées de +$\alpha$ lettres, prises parmi $\mu$ lettres données, avec la condition qu'aucune +lettre n'occupe le même rang dans les deux lignes?} Ce nombre sera +représenté par $Y_{\mu,\alpha}$. + +Soient les $\mu$ lettres $a$, $b$, $c$, $d$\dots $g$, $h$. Considérons l'un quelconque +des systèmes de deux lignes formées seulement de $\alpha - 1$ lettres, +système qui n'a aucune correspondance, et qui sera, pour fixer les +idées: +\begin{gather*} +\begin{array}[b]{*{6}{c@{\ }}} +a, &f, &i, &b &\ldots &e,\\ +g, &i, &a, &h &\ldots &d. +\end{array}\tag{30} +\end{gather*} +A la fin de chacune de ces deux lignes, apportons l'une quelconque +des $\mu - (\alpha - 1)$ lettres qui n'y entrent pas: par exemple, $g$ pour la +\marginpage % *** File: 486.png +première, et $c$ pour la seconde. Nous aurons alors deux lignes de $\alpha$ +lettres; savoir +\begin{gather*} +\begin{array}[b]{*{7}{c@{\ }}} +a, & f, & i, & b & \dots & e, & g,\\ +g, & i, & a, & h & \dots & d, & c. +\end{array} +\tag{31} +\end{gather*} +Il est visible que ce système sera l'un de ceux demandés, sauf le cas +où les deux lettres introduites seraient semblables: nous reviendrons +sur cette circonstance. + +En n'en tenant pas compte, nous voyons que, pour un système de +$(\alpha - 1)$ lettres, nous en obtenons $(\mu - \alpha + 1)^2$ de $\alpha$ lettres. Et +comme le nombre des systèmes de $\alpha - 1$ lettres est représenté par +$Y_{\mu, \alpha-1}$, celui des systèmes de $\alpha$ lettres le sera par $(\mu - \alpha + 1)^2\ldot Y_{\mu, \alpha-1}$, +dont il faut actuellement retrancher le nombre des systèmes composés +de lignes terminées par une même lettre. + +Or, si nous avons placé une même lettre a à la fin de deux lignes +de $\alpha - 1$ lettres, c'est parce qu'elle n'y entrait pas encore: ces deux +lignes peuvent donc être considérées comme composant l'un des +systèmes de $\alpha - 1$ lettres, prises seulement parmi les $\mu - 1$ autres +lettres $b$, $c$, $d$,\dots $h$. Donc, parmi les systèmes obtenus tout-à-l'heure, +il y en a $Y_{\mu-1, \alpha-1}$ terminés par $a$, $a$, autant par $b$, $b$, etc.; en tout, +$\mu\ldot Y_{\mu-1, \alpha-1}$ systèmes à rejeter. Nous avons donc +\begin{gather*} +Y_{\mu, \alpha} = (\mu - \alpha + 1)^2 Y_{\mu, \alpha-1} - \mu\ldot Y_{\mu-1, \alpha-1}.\tag{32} +\end{gather*} + +11.~Avant d'aller plus loin, remarquons que, pour la symétrie des +calculs, on peut supposer $Y_{\mu, 0} = Y_{\mu-1, 0 }= 1$: car alors, en faisant +$\alpha = 1$ dans la formule, il vient +\[ +Y_{\mu, 1} = \mu^2 - \mu =\mu(\mu - 1). +\] +Il est évident en effet que, si chaque ligne ne contient qu'une lettre, +le nombre des systèmes est égal au nombre des permutations de $\mu$ +lettres, prises 2 à 2. + +Maintenant, changeons $\alpha$ en $\alpha - 1$, $\alpha - 2$,\dots\ 3, 2, 1, nous +obtiendrons les $\alpha$ équations +\marginpage % *** File: 487.png +\begin{align*}\tag{33}\left. +\begin{aligned} +Y_{\mu,\alpha} &= (\mu - \alpha + 1)^2 \ldot Y_{\mu,\alpha-1} - \mu\ldot Y_{\mu-1, \alpha-1},\\ +Y_{\mu,\alpha-1} &= (\mu-\alpha + 2)^2 \ldot Y_{\mu,\alpha-2} - \mu \ldot Y_{\mu-1, \alpha-2},\\ +Y_{\mu,\alpha-2} &= (\mu -\alpha + 3)^2 \ldot Y_{\mu,\alpha-3} - \mu \ldot Y_{\mu-1,\alpha-3},\\ +\multispan{2}{\quad\leaderfill\quad}\\ +Y_{\mu,2} &= (\mu - 1)^2 \ldot Y_{\mu,\alpha} - \mu \ldot Y_{\mu-1, 1},\\ +Y_{\mu,1} &= \mu^2\ldot 1 - \mu \ldot 1. +\end{aligned} +\quad\right\} +\end{align*} +Multiplions la seconde équation par $(\mu - \alpha + 1)^2$, la troisième par +$(\mu - \alpha + 1)^2 \ldot (\mu - \alpha + 2)^2$, etc., puis ajoutons. Il vient +\begin{align*}\tag{34}\left. +\begin{aligned} +Y_{\mu,\alpha} =(\mu\ldot\mu-1\ldot\mu-2\ldots\mu-\alpha+1)^2-\mu\ldot[Y_{\mu-1,\alpha-1}\\ ++(\mu-\alpha+1)^2 Y_{\mu-1,\alpha-2} + (\mu-\alpha+1)^2 (\mu-\alpha+2)^2 Y_{\mu-1,\alpha-3}\\ ++ \dotsb + (\mu-\alpha+1)^2 \ldot(\mu-\alpha+2)^2 \ldots (\mu - 1)^2] +\end{aligned} +\quad\right\}\quad +\end{align*} +Cette équation aux différences finies, est plus compliquée que l'équation +(32); mais elle va nous conduire facilement à l'expression générale +de $Y_{\mu, \alpha}$. + +Pour cela, posons successivement $\alpha = 1$, 2, 3, \dots\ dans cette +équation, et dans celle que l'on en déduit en changeant $\mu$ en $\mu - 1$; +nous obtiendrons:\label{err487} +\begin{flalign*} +&\text{pour\ } \alpha=1, &Y_{\mu,1} &= \mu^2-\mu,\quad Y_{\mu,1} = \mu(\mu-1)&\hspace{1em}\\ +& & &\qquad\text{et}\quad Y_{\mu-1, 1} = (\mu-1)[(\mu-1)-1], \\ +&\phantom{pour\ } \alpha=2, &Y_{\mu,2} &= \mu^2(\mu-1)^2 - \mu[(\mu-1)^2 - (\mu-1) + (\mu-1)^2]\\ +& & &= \mu^2 (\mu-1)^2 - \mu[2(\mu-1)^2 - (\mu-1)]\\ +&\multispan{1}{\hfill ou} &Y_{\mu,2} &=\mu (\mu-1) [\mu (\mu-1) - 2(\mu-1) + 1],\\ +& &\llap{$Y_{\mu-1,2}$} &= (\mu-1)(\mu-2)[(\mu-1)(\mu-2) - 2(\mu-2) +1],\\ +&\phantom{pour\ } \alpha=3, &Y_{\mu,3} &= \mu^2(\mu-1)^2(\mu-2)^2 - \mu[(\mu-1)^2(\mu-2)^2\\ +& & &-2(\mu-1)(\mu-2)^2 + (\mu-1)(\mu-2) + (\mu-1)^2(\mu-2)^2\\ +& & &- (\mu-1)(\mu-2)^2 + (\mu-2)^2(\mu-1)^2]\\ +& & &= \!\begin{aligned}[t]\mu^2 (\mu&-1)^2(\mu-2)^2 - \mu[3(\mu-1)^2(\mu-2)^2\\ +&- 3(\mu-1)(\mu-2)^2 + (\mu-1)(\mu-2)]\end{aligned}\\ +& &\llap{$Y_{\mu-1,3}$} &= \!\begin{aligned}[t]\mu(\mu-1)(\mu-2)[\mu(\mu-1)(\mu-2) &- 3(\mu-1)(\mu-2)\\ +&+ 3(\mu-2) - 1],\end{aligned}\\ +&\phantom{pour\ } \alpha=4, & Y_{\mu, 4} &= \mu(\mu-1)(\mu-2)(\mu-3)[\mu(\mu-1)(\mu-2)(\mu-3)\\ +& & &- 4(\mu-1)(\mu-2)(\mu-3) + 6(\mu-2)(\mu-3) - 4(\mu-3) + 1].\\ +& &\etc +\end{flalign*} +\marginpage % *** File: 488.png +La loi est actuellement évidente, et nous sommes en droit de poser, +\emph{sauf vérification} +\begin{gather*} +\left.\begin{aligned} +Y_{\mu, \alpha} = \mu \ldot (\mu - 1) \ldots (\mu &- \alpha +1)\Big[\mu \ldot (\mu-1) \ldots (\mu - \alpha + 1) \\ +- \frac{\alpha }{1}(\mu-1)(\mu-2) \ldots (\mu &- \alpha + 1) + \frac{\alpha}{1} \ldot \frac{\alpha - 1 }{2} \ldot (\mu-2) \ldots (\mu - \alpha + 1) \\ +&- \dotsb \pm \frac{\alpha}{1} (\mu - \alpha + 1) \mp 1\Big]. +\end{aligned}\right\} \tag{35} +\end{gather*} +En employant les mêmes relations que ci-dessus, cette formule peut +se mettre sous la forme plus simple +\begin{gather*} +\left.\begin{aligned} +Y_{\mu, \alpha} = P_{\mu, \alpha} [P_{\mu, \alpha} &- C_{\alpha, 1} \ldot P_{\mu-1, \alpha-1} + C_{\alpha, 2} \ldot P_{\mu-2, \alpha-2}\\ +&- \dotsb \pm C_{\alpha, 1} \ldot P_{\mu-\alpha+1, 1} \mp 1]. +\end{aligned}\quad\right\}\tag{36} +\end{gather*} + +L'intégrale de l'équation (32) ayant été obtenue par voie d'induction, +il est essentiel de la vérifier. Pour cela, changeons d'abord $\alpha$ +en $\alpha - 1$ dans (36), puis $\mu$ en $\mu - 1$ et $\alpha$ en $\alpha - 1$; nous aurons +\begin{gather*} +\begin{aligned}Y_{\mu, \alpha-1} = P_{\mu, \alpha-1} [P_{\mu, \alpha-1} &- C_{\alpha-1, 1} \ldot P_{\mu-1, \alpha-2} + C_{\alpha-1, 2} \ldot P_{\mu-2, \alpha-3}\\ +&- \dotsb \mp C_{\alpha-1, 1} \ldot P_{\mu-\alpha+2, 1} \pm 1],\end{aligned}\\ +\begin{aligned}Y_{\mu-1, \alpha-1} = P_{\mu-1, \alpha-1} [P_{\mu-1, \alpha-1} &- C_{\alpha-1, 1} \ldot P_{\mu-2, \alpha-2} + C_{\alpha-1, 2} \ldot P_{\mu-3, \alpha-3}\\ +&- \dotsb \pm C_{\alpha-1, 1} \ldot P_{\mu-\alpha+1, 1} \mp 1].\end{aligned} +\end{gather*} +Multiplions la première de ces deux équations par $(\mu - \alpha + 1)^2$, +puis retranchons-en la seconde multipliée par $\mu$, En remarquant que +l'on a en général, $P_{m,n} = (m - n + 1)\ldot P_{m,n-1}$ et $P_{m,n} = m\ldot P_{m-1,n-1}$, +nous obtiendrons d'abord +\begin{align*} +(\mu-\alpha+1)^2 \ldot Y_{\mu,\alpha-1} - \mu \ldot Y_{\mu-1, \alpha-1} = P_{\mu, \alpha} [P_{\mu, \alpha} - (C_{\alpha-1, 1 }+ 1) P_{\mu-1, \alpha-1}\\ ++ (C_{\alpha-1, 2} + C_{\alpha-1,1}) \ldot P_{\mu-2, \alpha-2} - \dotsb \pm (1 + C_{\alpha-1,1}) P_{\mu- \alpha+1, 1} \mp 1]. +\end{align*} +\marginpage % *** File: 489.png +Mais l'on sait aussi que $C_{m,p} + C_{m, p-1} = C_{m+1,p}$: donc le second +membre devient +\[ += P_{\mu, \alpha} [P_{\mu, \alpha }- C_{\alpha, 1} \ldot P_{\mu-1, \alpha-1} + C_{\alpha,2} \ldot P_{\mu-2, \alpha-2} - \dotsb \pm C_{\alpha, 1} \ldot P_{\mu - \alpha+1, 1} \mp 1]: +\] +expression identique avec celle que nous avons trouvée pour $Y_{\mu, \alpha}$. + +12.~Si dans la formule (35), nous posons $\mu - \alpha = \delta$, le développement +deviendra +\[ +\left.\begin{aligned} +Y_{\mu, \alpha} = [\mu(\mu{-}1)(\mu{-}2)\ldots(\delta{+}1)]^2 \Big[1 - \frac{1}{1}\Big(1-\frac{\delta}{\mu}\Big) + \frac{1}{1. 2}\Big(1-\frac{\delta}{\mu}\Big)\Big(1 - \frac{\delta}{\mu{-}1}\Big)\\ +\begin{aligned}&- \dotsb \pm \frac{1}{1. 2. 3\ldots(\alpha{-}1)} \Big(1- \frac{\delta}{\mu}\Big) \Big(1 - \frac{\delta}{\mu{-}1}\Big) \dotsb \Big(1 - \frac{\delta}{\delta{+}2}\Big)\\ +&\mp \frac{1}{1. 2. 3\dotsb(\alpha{-}1)\alpha} \Big(1- \frac{\delta}{\mu}\Big) \Big(1 - \frac{\delta}{\mu{-}1}\Big) \dotsb \Big(1 - \frac{\delta}{\delta{+}1}\Big)\Big].\end{aligned} +\end{aligned}\;\right\}\] +Comparant cette expression avec la formule (15), on voit que si $\alpha = \mu$, +\begin{gather*} +Y_{\mu,\mu} = 1\ldot 2\ldot 3 \ldots (\mu-1)\ldot\mu\ldot X_\mu, \tag{38} +\end{gather*} +ce qui est d'ailleurs évident. + +La série entre parenthèse est très convergente: car ses termes décroissent +plus rapidement que ceux du développement de $e^{-1}$. Si $\alpha$, +$\mu$ et $\delta$ sont de grands nombres, on pourra remplacer ce développement +par celui-ci: +\begin{gather*} +1- \frac{1}{1}\Big(1 - \frac{\delta}{\mu}\Big) + \frac{1}{1\ldot 2} \Big(1 - \frac{\delta}{\mu}\Big)^2 - \frac{1}{1\ldot 2\ldot 3} \Big(1 - \frac{\delta}{\mu}\Big)^3 + \dotsb \tag{38} +\end{gather*} +qui a pour valeur $e^{-\big(1-\tfrac{\delta}{\mu}\big)} = \dfrac{1}{e^{\tfrac{\alpha}{\mu}}}$. + +Il serait peut-être assez difficile de déterminer \emph{à priori} le degré d'approximation +que l'on pourra obtenir, attendu que plus on avance +dans les séries (37) et (38), et plus les termes du même ordre différent. +Dans les cas où la série (38) pourra être employée avec avantage, +on aura donc pour valeur approchée de $Y_{\mu, \alpha}$, +\begin{gather*} +Y'_{\mu,\alpha} = \frac{[\mu (\mu-1) (\mu-2) \ldots (\mu - \alpha +1)]^2 }{e^{\tfrac{\alpha}{\mu}}}, \tag{39} +\end{gather*} + +\marginpage % *** File: 490.png +13.~En mettant dans la formule (29), les valeurs des lettres qui y +entrent, il vient +\begin{align*}\tag{40}\left. +\begin{aligned} +p &= \frac{t(t-1)(t-2)\ldots(t-n+1)}{1\ldot2\ldot3\ldots n\times m(m-1)\ldots(m-n+1)} +\Big[1-\frac11\Big(1-\frac{\delta}{\mu}\Big)\Big.\\ +&\qquad\Big.+\frac{1}{1\ldot2}\Big(1-\frac{\delta}{\mu}\Big)\Big(1-\frac{\delta}{\mu-1}\Big) +- \dotsb \Big]. +\end{aligned} +\quad\right\}\quad +\end{align*} +ou bien +\begin{align*}\tag{41}\left. +\begin{aligned} +\label{err490}p = \frac{t(t-1)(t-2)\ldots(t-n+1)}{1\ldot2\ldot3\ldots n\times m(m-1)\ldots(m-n+1)} +\Big(1-\frac11\frac{t-n}{m-n}\Big.\\ +\Big.+\frac{1}{1\ldot2}\ldot\frac{t-n}{m-n}\ldot\frac{t-n-1}{m-n-1}- \dotsb.\Big) +\end{aligned} +\quad\right\} +\end{align*} +La série entre parenthèses a $\alpha + 1 = t - n + 1$ termes: le dernier a +pour expression +\begin{multline*} +\frac{1}{1\ldot2\ldot3\ldots(t-n)}\ldot\frac{t-n}{m-n}\ldot\frac{t-n-1}{m-n-1}\ldots\frac{1}{m-t+1}\\ +=\frac{1}{(m-n)(m-n-1)\ldots(m-t+1)}. +\end{multline*} + +14.~Si l'on suppose $t = n$, la probabilité devient +\begin{gather*} +p'=\frac{1}{m(m-1)\ldots(m-n+1)}.\tag{42} +\end{gather*} +Il est évident en effet, que si toutes les lettres que l'on tire de l'urne +doivent sortir dans le même ordre aux deux tirages, la probabilité a +pour expression $\dfrac{P_{m,n}}{(P_{m,n})^2}$. + +Enfin, si nous supposons $n=0$, la valeur de $p$ devient +\begin{align*} +\frac{1}{m(m-1)\ldots(t+1)}\Big[1-\frac11\frac{t}{m}+\frac{1}{1\ldot2} +\frac{t}{m}\ldot\frac{t-1}{m-1}- \dotsb \pm\frac{1}{1\ldot2\ldot3\ldots t} +\frac{t}{m}\ldot\frac{t-1}{m-1}\\ +\ldots\frac{2}{m-t+2}\ldot\frac{1}{m-t+1}\Big]. +\end{align*} + +C'est la probabilité du \emph{jeu de rencontre}, en supposant que l'on +arrête ce jeu au $t$\iieme\ coup. + +\jmpafin + +% *** File: 491.png + +\jmpapaper{}{} +{Sur la Formule de Taylor;} +{Par J. LIOUVILLE.}{} +\label{art41} + +Soit $f(x)$ une fonction réelle de $x$, dont nous représenterons par +$f'(x)$, $f''(x)$, etc.\ les dérivées successives. La formule de Taylor +consiste, comme on sait, dans l'équation +\[ +f(x+y) = f(x) + \frac{y}{1}f'(x)+ \dotsb +\frac{y^n}{1\ldot 2\ldots n}f^n(x)+R, +\] +dans laquelle $R$ désigne le reste de la série. Lagrange a trouvé pour ce +reste l'expression suivante: +\[ +R = \frac{y^{n+1}}{1\ldot 2\ldots{n+1}}f^{n+1}(x+\theta y), +\] +où $\theta$ est un certain nombre positif, plus petit que l'unité. Et il s'en +est servi pour démontrer (en excluant le cas particulier où $f^n(x)=0$), +que, pour des valeurs de $y$ suffisamment petites, la valeur numérique +de $R$ devient inférieure à celle du terme $\dfrac{y^n}{1\ldot 2\ldots n}f^n(x)$ auquel on +s'arrête. + +Ce théorème, très utile dans le calcul différentiel, peut subsister +encore lors même que la dérivée de l'ordre $(n + 1)$ devient infinie; +et il y a, je crois, quelque inconvénient à introduire cette dérivée +dans les calculs. Mais il est aisé d'en éviter l'emploi. En effet, au +lieu de +\[ +f(x+y) = f(x) + \frac{y}{1}f'(x)+ \dotsb +\frac{y^{n-1}}{1\ldot 2\ldots(n-1)}f^{n-1}(x) ++\frac{y^n}{1\ldot 2\ldots n}f^n(x+\theta y), +\] +\marginpage % *** File: 492.png +on peut évidemment poser +\[ +f(x+y) = f(x) + \frac{y}{1}f'(x)+ \dotsb +\frac{y^{n-1}}{1\ldot 2\ldots(n-1)}f^{n-1}(x) ++\frac{y^n}{1\ldot 2\ldots n}f^n(x) + R, +\] +pourvu que l'on prenne cette fois +\[ +R = \frac{y^n}{1\ldot 2\ldots n}\left[f^n(x+\theta y) - f^n(x)\right]. +\] +Le rapport de $R$ à $\dfrac{y^n}{1\ldot 2\ldots n}f^n(x)$ se trouvant maintenant égal à +\[ +\frac{f^n(x+\theta y)-f^n(x)}{f^n(x)}, +\] +on comprend sans peine dans quels cas, pour de très petites valeurs +de $y$, ce rapport demeure $< 1$. Cela a lieu par exemple lorsque la +fonction $f^n(x)$ est continue pour la valeur actuelle de $x$; et même +il est visible qu'alors on rendra le rapport dont nous parlons infiniment +petit, en attribuant à $y$ une valeur infiniment petite. + +\begin{center} +FIN DU TOME DEUXIÈME. +\end{center} +\newpage % *** File: 493.png +\mysection{ERRATA.} +\label{art42} + +\scriptsize \noindent \textsc{Transcriber's Note:} These errata have all been corrected in this edition. Page and line numbers +refer to the original printed copy.\normalsize + +\noindent\begin{tabular}{@{}r@{\;}r@{}l} +Page 16,& ligne 12,& \emph{~au lieu de} l'équation, \emph{lisez} à l'équation\\ +21,& 3,& \emph{~au lieu de} $(x - \text{x})$, \emph{lisez} $(x - \text{x})^{2n}$\\ +32,& 11,& \emph{~au lieu de} $\dfrac{f(x)}{dx}$, \emph{lisez} $\dfrac{df(x)}{dx}$\\ +65,& 24,& \emph{~au lieu de} $y$, \emph{lisez} $u$\\ +70,& 21,& \emph{~au lieu de} $\dfrac{dp}{dp}$, \emph{lisez} $dp$\\ +72,& 5,& \emph{~au lieu de} $e^y$, \emph{lisez} $e^x$\\ +79,& 16,& \emph{~au lieu de} $(u - \log\lambda$, \emph{lisez} $(u - \log \lambda)$\\ +95,& 13\phantom{,}& et 15, \emph{au lieu de} $\phi(x,\theta)$, \emph{en dénominateur}, \emph{lisez} $\phi(x,\mu+\theta)$\\ +107,& 15,& \emph{~au lieu de} n'étant plus de degré $(n - 1)$, \emph{lisez} n'étant plus\\ +&& \quad que de degré $(n - 1)$\\ +121,& 8,& \emph{~au lieu de} devra être perpendiculaire à la, \emph{lisez} devra\\ +&& \quad rencontrer la\\ +122,& 27,&\: \emph{après ce mot } l'autre \emph{ajoutez}: la normale commune en $a$\\ +&& \quad aux deux dents se confond aussi sensiblement, dans le\\ +&& \quad même cas, avec $am$ et $Aa$\\ +122,& 29,& \emph{~au lieu de} dans l'hypothèse que $z$, \emph{lisez} dans l'hypothèse\\ +&& \quad que la normale commune\\ +132,& 5,& \emph{~au lieu de} $x_1 - n_0$, \emph{lisez} $x_1 - x_0$\\ +136,& \emph{L}&\emph{a dernière ligne doit être écrite comme ceci}: \\ +&& ~${\dint_{-1}^{+1}} X_0X_3\,dx=0$,\quad ${\dint_{-1}^{+1}} X_1X_3\,dx=0,\quad {\dint_{-1}^{+1}} X_2X_3\,dx=0$\\ +139,& 6,& \emph{~au lieu de} $(x^2-1)^2$, \emph{lisez} $(x^2-1)^n$\\ +146,& 14,& \emph{~au lieu de} haberi, \emph{lisez} habere\\ +256,& 1&\: en remont., \emph{au lieu de} $a^\frac{p-1}{d}$\!\!\!, \emph{en dénominateur lisez} $a^\frac{p-1}{d} \!{-} 1$\\ +260,& 8& \phantom{\:\,en remont.,\: }\emph{au lieu de} $-a_2x_1^{m-1}$, \emph{lisez} $-a^2a_1^{m-1}$\\ +261,& 4&\: en remont. \label{errerr261}\\ +&& \qquad \emph{au lieu de} $A_{g+1} \equiv (-1)^hA_g$, \emph{lisez} $A_{g+1} \equiv (-1)^hA_{m-g}$\\ +262,& 5&\: et 6 en remont.\ \emph{au lieu de} $A$, \emph{lisez} $A_1$\\ +262,& 6&\: en remont. \emph{au lieu de} $y^{m(kh-k)}$, \emph{lisez} $y^{m(kh-h)}$\\ +265,& 15& \phantom{en remont.,\: }\emph{après} $P+Q =\Pi\equiv0 \moddot{p.}$, \emph{ajoutez} quand\\ +&& \qquad\qquad\qquad $h$ sera pair\\ +\end{tabular} + +\newpage % *** File: 494.png +\noindent\begin{tabular}{@{}l@{\ }l@{\ }l@{\ }r@{\ }l@{\ }l} +Page\ &268,& ligne &1& en remont. &\emph{au lieu de} $N'_{k-1}$, \emph{lisez} $N_{k-1}$\\ +&272,& &12& &\emph{au lieu de} $+B$, \emph{lisez} $-B$\\ +&273,& & 1& en remont. &\emph{au lieu de} $2N'_k$, \emph{lisez} $2N_k$\\ +&273,& & 6& en remont. &\emph{au lieu de} $-h$, \emph{lisez} $+h$\\ +&274,& & 4& &\emph{au lieu de} de deux, \emph{lisez} des deux\\ +&282,& & 1& &\emph{au lieu de} $A \equiv -3-3Q$, \emph{lisez} $A\equiv -3 -Q$\\ +&282,& & 7& &\emph{au lieu de} $D''\equiv 1+Q$, \emph{lisez} $D'' \equiv 1 - Q$\\ +&283,& & 2& et 3 en rem. &\emph{au lieu de} $\nu$, lisez $v$\\ +&285,& & 3& &\emph{au lieu de} $D'''$, \emph{lisez} $B'''$\\ +&286,& &19& &\emph{au lieu de} $10+56u+64u^2$, \emph{lisez} $6u+4u^2$ \\ +& & & & &\quad(V. le § suivant)\\ +&291,& & 4& en remont. &\emph{au lieu de} $+_{m-1}$, \emph{lisez} $+y_{m-1}$\\ +&317.&\multispan{4}{\ \parbox[t]{28em}{Cette page est la première du cahier de septembre. Les sept feuilles +qui composent ce cahier sont les feuilles 41, 42,\dots 47 et non pas +42, 43,\ldots 48 comme on l'a imprimé mal à propos: de plus, il y a +un grand nombre de fautes dans la pagination. En indiquant les +corrections relatives au Mémoire de M.~Poisson, nous citerons toujours +les n\up{os} que les pages devraient porter, mais en ayant soin +d'ajouter entre parenthèses ceux qu'on leur a donnés par erreur.}} \\ +Pages &\multispan{5}{\parbox[t]{31em}{323 (331), 324, 330 (338): \emph{dans les équations} (7), (8), (9), (13), \emph{le signe}\\ +\hspace*{12em} \emph{de $t$ doit être changé.}}}\\ +& \multispan{5}{% +\begin{minipage}[t]{31em} +\begin{tabular}{@{\hspace*{-0.7em}}l@{\ }l@{}r@{\ }l} +330 (338),& ligne & 4, & \emph{~au lieu de} $\dfrac{d\beta}{de}, \dfrac{d\gamma}{de}$, \emph{lisez} $\dfrac{d\beta}{dh}, \dfrac{d\gamma}{dh}$\\ +330 (338),& & 5, & \emph{~au lieu de} $\dfrac{d\beta}{dh}, \dfrac{d\gamma}{dh}$, \emph{lisez} $\dfrac{d\beta}{de}, \dfrac{d\gamma}{de}$\\ +333, & &14, &\emph{~au lieu de} $t-1 = -{\dint}\dfrac{rdr}{r\sqrt{2Rr^2+2hr^2-e^2}}$, \emph{lisez}\\ +& & & $t+1 = {\dint}\dfrac{rdr}{\sqrt{2Rr^2+2hr^2-e^2}}$\\ +333, & &15, &\emph{~au lieu de} $v-l = {\dint}\dfrac{dr}{r\sqrt{2Rr^2+2hr^2-e^2}}$, \emph{lisez}\\ +& & & $v-l = {\dint}\dfrac{edr}{r\sqrt{2Rr^2+2hr^2-e^2}}$\\ +\end{tabular} +\end{minipage}}\\ +&335,& & 7, &\multispan{2}{\emph{au lieu de} $-t+\epsilon$, \emph{lisez} $t+\epsilon$\hfill}\\ +&346,& &17, &\multispan{2}{\emph{au lieu de} $dD$, \emph{lisez} $d[n,i]$\hfill}\\ +&348,& & 5, &en remont., &\emph{au lieu de} $A_{\;,1}$ \emph{lisez} $A_{1,1}$\\ +&349,& & 3, &en remont., &\emph{au lieu de} $n$, \emph{lisez} $u$\\ +&351,& & 5, &\multispan{2}{\emph{au lieu de} $2\Big(\dfrac{dU}{dA_{1,3}}\Big)^2$, \emph{lisez} $\Big(\dfrac{dU}{dA_{1,3}}\Big)^2$\hfill}\\ +&361,& &11, &\multispan{2}{\emph{au lieu de} $A_{2,3} = -A_{3,2}$, \emph{lisez} $A_{2,3} = A_{3,2} = -Bb$\hfill}\\ +&361,& & 4, &en remont. &\emph{au lieu de} $\gamma$, \emph{lisez} $\nu$ +\end{tabular} + +\newpage % *** File: 495.png +\noindent\begin{tabular}{@{}r@{\;}r@{}l} +Page 362,& lignes 1,&2,3 en remont., \emph{au lieu de} $\gamma$, \emph{lisez} $\nu$\\ +362,& 6,&\: au coefficient de $u$, ajoutez $-b^2(A^2+C^2)$\\ +363,& 12,&\: \emph{au lieu de} $-a_{1,2}(\ldots)$, \emph{lisez} $-a_{3,2}(\ldots)$\\ +363,& 2,&\ en remont., \emph{au lieu de} :$\nu(L'' \cos\phi\ldots):V$, \emph{lisez}\\ +&& :$\nu(L'' \cos\phi\ldots):\nu$\\ +364,& 13,&14,15, \emph{au lieu de} $EX$, $EY$, $EZ$, \emph{lisez} $\displaystyle E\!\int\! X,\ E\!\int\! Y,\ E\!\int\! Z$\\ +364,& 1,&\: en remont., \emph{au lieu de} $=-$, \emph{lisez} $=+$\\ +364,& 2,&\: en remont., \emph{au lieu de} $-\sin\phi \cos^2\phi$, \emph{lisez} $-\sin\phi \cos\phi$\\ +365,& 10,&\qquad\qquad \emph{effacez} $\dfrac{1}{p}$\\ +365,& 10\phantom{,}&\, et 11, \emph{au lieu de} ${\dint}$, \emph{lisez} $c^2{\dint}$\\ +367,& 1,& \emph{~au lieu de} $a_{m-1}$, \emph{lisez} $A_{m-1}$\\ +367,& 4,& \emph{~au lieu de} $D_m$, \emph{lisez} $x_m$\\ +368,& 23,& \emph{~au lieu de} $A'_{-1}$, \emph{lisez} $A'_{n-1}$\\ +372,& 14,& \emph{~au lieu de} $-$ \emph{lisez} $+$\\ +372,& 16,& \emph{~au lieu de} $a^m$, \emph{lisez} $a_m$\\ +428,& 1,&4,6, \emph{au lieu de} $D_m$, \emph{lisez} $D_{m-1}$\\ +428,& 1,&4,6,11,12, \emph{au lieu de} $D_{m+1}$, \emph{lisez} $D_n$\\ +428,& 16,& \emph{~après ces mots} et à $\dfrac{2\f_1}{\rho}$, \emph{ajoutez} donc auparavant elles\\ +&& étaient $< \dfrac{2\f_1}{\rho}$\\\label{errerr428} +435,& 7,& \emph{~au lieu de} $(in-1)$, \emph{lisez} $(n - 1)$\\ +437,&et 438, \emph{a}&\!\emph{u lieu de} paramètre, \emph{lisez partout} demi-paramètre\\ +441,& 12,& \emph{~au lieu de} $\dfrac{d^2V}{dx^2} \quad (V+b^2x {\dint_{r0}^1} xV\, dx)$, lisez\\ +&& $\dfrac{d^2V}{dx^2}+r(V+b^2x {\dint_0^1} xV\, dx)$\\ +449,& ligne der&nière, \emph{au lieu de} $V'+b^2x{\dint_0^1} xV'\, dx$, \emph{lisez}\\ +&& $r'(V'+b^2x{\dint_0^1} xV'\, dx)$\\ +451,& ligne 17,& \emph{~au lieu de} $\dfrac{\Psi}{^2}$, \emph{lisez} $\dfrac{\Psi}{i^2}$ +\end{tabular} + +\begin{center} +FIN DU DEUXIÈME VOLUME. +\end{center} + +\newpage % *** File: 496.png +%%[Blank Page] + +\begin{center}\textsc{Typographical Errors corrected in Project Gutenberg edition}\end{center} + +\scriptsize \noindent \textsc{Transcriber's Note:} These errors have all been corrected in this edition. Page numbers +refer to the PDF pages.\normalsize + +Page \pageref{err015}.~Equation for $\dfrac{1}{N}A_b$: subscript $b$ not printed. + +Page \pageref{err018}.~Expressions following ``écrire la série ainsi qu'il suit'', end of last numerator on second line, +term $[n-(p-b+q)]$ was printed as $[n-(p-b+-1)]$. + +Page \pageref{err022}.~First $\Big( \dfrac{d^{2}\Omega}{dpdq} \Big)^2$, squared sign not printed. + +Page \pageref{err040}.~Expression following ``cette même quantité'' $V \dfrac{df(x)}{dx}$ printed as $V \dfrac{f\;(x)}{dx}$. + +Page \pageref{err042}.~``de la forme $f(x) + \sqrt{-1}\ldot F(x)$'' -- the root sign is printed too long, +like $\sqrt{-1\ldot F(}x)$. + +Page \pageref{err059}.~Equation following ``A cet effet, nous l'écrirons sous la forme'' +$\dfrac{(m^2+n^2)^2}{(m^2-n^2)^2}$ printed $\dfrac{(m^2+n^2)^2}{(m^2+n^2)^2}$. + +Page \pageref{err090}.~``d'autres exponentielles monomes'' corrects typo ``expronentielles''. + +Page \pageref{err101}.~Second equation after ``En posant, pour abreger'' +$A\beta + B\beta_1 + \dotsb + C\beta_i = P$ printed as $A\beta + B\beta_1 + \dotsb + B\beta_i = P$. + +Page \pageref{err104}.~``à cause de$ \dfrac{{dy}}{{ydx}} = \dfrac{\alpha }{x}$'' printed $\dfrac{{dx}}{{ydx}} = \dfrac{\alpha }{x}$ +(see ``Mais l'équation'' on Page \pageref{nonerr103}. + +Page \pageref{err105}.~Equation $\phi (x,i) = \dfrac{\phi (x,i_0)}{i_0 ^m }\ldot i^m$ the final ${}\ldot i^m$ is missing +(compare $e^{mu}$ in the next equation). + +Page \pageref{err113}.~``$x$ et $z$ sont deux variables comprises entre $-1$ et $+1$'' printed as ``$y$ et $z$'', +there is no $y$ at this point and it seems clear from the following discussion that $x$ must be meant. + +Page \pageref{err120}.~``la vitesse angulaire de la roue'' corrects typo ``augulaire''. + +Page \pageref{err145}.~``pour $x =1$. En d'autres termes si l'on pose'' the ``${}=1$'' was not printed. + +Page \pageref{err146}.~Equation after ``ne peut être que de la forme'', limits on the first integral were missing. + +Page \pageref{err151}.~``Les lignes de courbures de Monge'' corrects typo ``coubures''. + +Page \pageref{err153}.~``l'on peut ajouter à celles du contact'' corrects typo ``conctact''; and so also +in ``le contact de l'ellipsoïde ne saurait être élevé''. + +Page \pageref{err155}.~Heading ``PREMIÈRE PARTIE.'': typo ``PRMIÈRE''. + +Page \pageref{err164}.~``ou $(\mu, \nu, \rho)$,'': $\nu$ not printed. + +Page \pageref{err168}.~Second line after ``on trouve'' $p^2 = -\dfrac{1}{2\mu}p'$: $\mu$ not printed. + +Page \pageref{err179}.~``des surfaces de révolution des deux autres systèmes'' corrects typo ``antres''. + +Page \pageref{err180}.~``des longueurs finies'' corrects typo ``longuenrs''. + +Page \pageref{err180b}.~``des hyperboloïdes à une et à deux nappes'' corrects typo ``napes''. + +Page \pageref{err184}.~First line after ``en sorte que l'on doit poser'', second group, +$\dfrac{d\mu}{dx}\ldot\dfrac{d\nu} {dx}$ printed as $\dfrac{d\nu}{dy}\ldot\dfrac{d\nu} {dy}$. + +Page \pageref{err186}.~penultimate line in (16), $\dfrac{d\sqrt{\mu^2-c^2}}{d\epsilon}$ printed as $\dfrac{d\sqrt{\mu^2-c^2}}{d\xi}$. + +Page \pageref{err188}.~Second equation in (17)\emph{bis} $\dfrac{d^2Y}{d\eta^2} + \dotsb $ printed as $\dfrac{d^2Y}{d\eta^2} =\ldots$. + +Page \pageref{err190}.~In § XXVI. ``d'équations aux différences ordinaires'' last word printed ``or-naires'' on line break. + +Page \pageref{err195}.~After ``d'où l'on conclut'' last term $-\dfrac{a^2}{3}\dint_0^{\tfrac{1}{2}\pi}\dfrac{d\theta}{\sqrt{1-\alpha^2\sin^2\theta}}$ +printed $-\dfrac{a^2}{3}-\dint_0^{\tfrac{1}{2}\pi}\dfrac{a\theta}{\sqrt{1-\alpha^2\sin^2\theta}}$. + +Page \pageref{err198}.~``le parabole de osculateur'' corrects typo ``parabolo''. + +Page \pageref{err211}.~Equation (V) term $\beta S' \Delta y_i$ subscript ${}_i$ missing. + +Ibid.~``représentées par $\Delta^2 y_1$,'' superscript ${}^2$ missing. + +Page \pageref{err235}.~Second equation in (5) $\dfrac{\pi\sqrt{c}}{p(p^2-a)\sqrt{c} -2c}$ printed as\\ $\dfrac{\pi\sqrt{c}}{p(p^2-x)\sqrt{c} -2c}$. + +Page \pageref{err235a}.~``se réduira à $u^4 - 8u = 0$'': $u^6 - 8u = 0$ in original. + +Page \pageref{err235b}.~Equation after ``déduirait de la formule connue'' $\dfrac{\pi}{n\sin\dfrac{m\pi}{n}}$ printed as $\dfrac{\pi}{n\sin\dfrac{mx}{n}}$. + +Page \pageref{err239}.~After ``laquelle résultera des équations successives'' second equation +$y^1_2 = y^1_1 + f(x^1_1, y^1_1)\Delta^1 x,$ +printed +$y^1_2 = y^1_1 + f(x_r, y^1_1)\Delta^1 x,$. + +Page \pageref{err240}.~Equation after ``on aura évidemment'' the final $x_{r+1}$ printed $x_{r-1}$. + +Page \pageref{err246}.~Equation after ``on aura pour l'erreur totale sur $y_n$''\\ +$\delta y_n < \dfrac{\Delta x^2}{4} \Big[\dfrac{A''}{3}\ldots$ printed +$\delta y\ \ < \dfrac{\Delta x^2}{4} \Big[\dfrac{A''}{8}\ldots$. + +Page \pageref{err247}.~After ``dans l'intérieur du rectangle, par''; $Q,\ A_1''\ldots$ primes on $A_1''$ not visible. In the +next equation $A_2''$ was printed for $A_1''$. + +Page \pageref{err251}.~After ``on peut donc poser'' the end of the numerator $[1+e^{Q \Delta x}(Q+AT) \Delta x]^{n}-1$ appear as $\ldots \Delta x-1]^{n}$ + +Page \pageref{err258}.~After ``Prenons donc un nombre'', first equation the B is not printed. + +Page \pageref{err259}.~After ``Dans cette formule identique'', first equation first term $\dfrac{a}{K-A}$ printed as $-\dfrac{a\hfill}{KA}$. + +Page \pageref{err267}.~In \tertiop.~and 5\up{o}.~``les racines de \dots\ $x^h$'' was printed $x^m$. +In \quartop. $\rho^{(h-1)m+2}$ was printed $\rho^{(m-2)m+2}$. + +Page \pageref{err270}.~Term $\dfrac{A_{m-1}A_{m-2}}{A_1A_2} a^{(m-3)h} b^{2h}$ printed as $\dfrac{A_{m-1}A_{m-2}}{A_1A_2} a^{(m-3)h} b^{h}$. + +Page \pageref{err271}.~Equation (5) second line $b^{2h}$ printed as $a^{2h}$. + +Page \pageref{err274}.~Equation after ``si l'on prend d'abord la congruence'' the 0 is not printed. + +Page \pageref{err275}.~$y^2_1 + y^2_2 + \dotsb + y^2_f \equiv n(z^2_1 + z^2_2 + \dotsb z^2_i) \moddot{p}$ printed +$z^2_1 + z^2_1 + \dotsb $ + +Pages \pageref{err277}, \pageref{err283}, \pageref{err288b}.~``la congruence (4)\dots'' printed ``la congruence (3)\dots''. + +Page \pageref{err281}.~``\emph{Deuxième cas}. $p = 4q+1$'' The $p$ is printed $P$. So also in ``\emph{Troisième cas}. $p=4q-1$'' +on page \pageref{err282a}. + +Page \pageref{err282}.~First term $N'_k$ only the $N$ is printed. + +Page \pageref{err286}.~``Soit $L^2+27M^2=4p$, où $L$ et $M$ sont positifs'' printed $4^2+27M^2=4p$. + +Page \pageref{err287}.~In footnote: +\begin{flalign*} +&\qquad\primop. \;(LL'-27MM')^2+27(LM'+L'M)^2=16p^2.&\\ +&\qquad\secundop. \;(LL'+27MM')^2+27(LM'-L'M)^2=16p^2.&\\ +&\qquad\tertiop. \;(LM'+L'M)(LM'-L'M)=4p(M'^2-M^2).& +\end{flalign*} +were printed +\begin{flalign*} +&\qquad\primop. \;(LL'-27MM')^2+27(LM'+L'M)=16p^2.&\\ +&\qquad\secundop. \;(LL'+27MM')+27(LM'-L'M)=16p^2.&\\ +&\qquad\tertiop. \;(LM'+L'M)(LM'-L'M)=4p^2(M'^2-M^2).& +\end{flalign*} + +Page \pageref{err287b}.~In \textsc{Théoreme.} $L^2+27M^2=4p$ printed $L^2+27M=4p$. + +Page \pageref{err288}.~In Section VII heading $a_1x_1^4+a_2x_2^4$ printed $a_1x^4+a_2^2x_2^4$. + +Page \pageref{err288b}.~after ``qui devient ici'' +\[-S_2\equiv a^h+\Big(a^{2h}+\frac{A_2}{A_1}b^ha^h\Big) +a^3h + \frac{A_3}{A_1}a^{2h}b^h + +\frac{A_3}{A_1}a^hb^{2h}\moddot{p}.\] +printed as +\[-S_2\equiv a^h+\Big(a^{2h}+\frac{A}{A_1}b^ha^h\Big) +a^3h + \frac{A_3}{A}a^{2h}b^h + +\frac{A_3}{A_1}a^hb^{2h}\moddot{p}.\] + +Page \pageref{err289}.~The entries $y^4_1-a^2y^4_2\equiv a^2, \; C''$ and $y^4_1-a^2y^4_2\equiv a^3, \; D''$ were printed as $y^2_1\ldots$. + +Page \pageref{err293}.~Equations (36), third line $A''+B'''= 2(p+1)$ RHS printed $Q(p+1)$ + +Page \pageref{err295}.~$A_m = ((m-1)h + 1)\ldots mh$ printed as $A_{mh} = (m-1)(h + 1)\ldots mh$. + +Page \pageref{err295b}.~Section VIII. heading, $A_k x_k^m$ printed as $A_k^m x_k^m$. + +Page \pageref{err296}.~Expression for $y_2$ final term $R^{\rho^{(k-1)m+2}}$ printed as $R^{\rho^{(k-1)m-1}}$. + +Page \pageref{err298}.~Before (41) $b = c \ldots = g = 0$ printed $b = c \ldots = y = 0$. + +Page \pageref{err298a}.~Before (42) $a = f + \dfrac{m}{2}$ printed $a = f + \dfrac{a}{2}$. + +Page \pageref{err299}.~Expression for $pN_1$ term $y_2(1 + my_2)$ printed $y_2(1 + my_1)$. + +Page \pageref{err303}.~In paragraph ``Il est facile de vérifier\dots'' +$(m + 1) (n + 1) - 1$ +printed +$(m + 1) (n - 1) - 1$. + +Page \pageref{err313}.~Line after ``satisfont à la condition que les coefficients différentiels'' +$\dfrac{d^2z}{dy^2}$ printed as $\dfrac{d^2x}{dy^2}$. + +Page \pageref{err318}.~``ce qui n'est pas possible'' printed ``pas pas'' over line break. + +Page \pageref{err330}.~Expression after ``en retranchant \dots'', term $dx\delta x'-dx'\delta x$ printed as $dx\delta x'-dx\delta x$. + +Page \pageref{err331}.~Equation afer ``Mais, en vertu'' the term $dz'\delta z$ was printed $\delta z'\delta z$. + +Page \pageref{err331b}.~Equation before (7), $+ t\delta h$ printed as $- t\delta h$, corrected in line with errata to equation (7) etc. + +Page \pageref{err334}.~In ``la formule $Xd\phi+Yd\psi + Zd\theta + \etc$'', second term printed $Vd\psi$. + +Page \pageref{err335}.~After ``en effet\dots'' $\delta V =\int (Xd\ldot\delta\phi +Yd\ldot\delta\psi +Zd\ldot\delta\theta +\etc)$ +printed $\delta V =\int (Xd\ldot\phi +Yd\ldot\delta\psi +Zd\ldot\delta z +\etc)$ + +Page \pageref{err341}.~``La troisième se réduira'': typo ``troiisème''. + +Page \pageref{err343}.~First equation after ``on aura donc'' $\dfrac{df}{dy'}\dfrac{dy'}{dx}$ +printed $\dfrac{df}{dy'}\dfrac{dy'}{y}$. + +Page \pageref{err348}.~In the lists headed $U_1$ and $U_2$ the $U_1$ and $U_2$ were interchanged. + +Page \pageref{err353}.~After ``on trouvera pareillement'' $\dfrac{t_i}{t_g}$ printed $\dfrac{t_g}{t_i}$. + +Page \pageref{err354}.~``on trouvera $\dfrac{dD}{dA_{i,g}}=(-1)^{i+g}\dethoriz{i}{g}$'' +printed $\dfrac{dD}{dA}$. + +Page \pageref{err355}.~Equation (25):\\ +\qquad 4th line $2A_{1,2}A_{1,4}A_{2,4}(A_{3,3}-u)$ printed $2A_{1,2}A_{2,4}A_{2,4}(A_{3,3}-u)$.\\ +\qquad 6th line $A^2_{1,3}(A_{2,2} - u) (A_{4,4} - u)$ printed $A^2_{1,4}(A_{2,2} - u) (A_{4,4} - u)$. + +Page \pageref{err356}.~Equation (26):\\ +\qquad start of 3rd line $-{}A^2_{2,n}(A_{1,1}-u)$ printed $-{}A^2_{2,n}(A_{1,4}-u)$.\\ +\qquad 4th line last term $(A_{n-2,n-2}-u)$ printed $(A_{n-2,n-1}-u)$. + +Page \pageref{err365}.~Equation for $\tint y_1y_2dm$ last term $A_{3,3}a_{3,2}$ printed $A_{3,3}a_{3,3}$. + +Page \pageref{err367}.~Equation for $a^2_{3,1}$, $(A_{2,2}-U_1)$ printed $(U_{2,2}-U_1)$. + +Page \pageref{err371}.~$x_3 =a_{3,1}y_1\ldots$ printed $x_3 =a_{0,1}y_1\ldots$. + +Page \pageref{err371a}.~After ``se réduisent à'', term $(L'\cos\phi+M'\sin\phi+N')$ printed $(L\cos\phi+M'\sin\phi+N')$. + +Page \pageref{err483}.~``indépendants les uns des autres'' typo ``Ies uns''. + +Page \pageref{err487}.~$Y_{\mu,3}$, second line at end, $(\mu-1)^2(\mu-2)^2$ final $^2$ not printed; fifth line, final $]$ not printed. +$Y_{\mu-1,3}$ subscripts not printed. + +Page \pageref{err490}.~Equation (41) numerator starting $t(t-1)(t-2)$ printed $t(t-2)(t-2)$. + +Page \pageref{errerr261}.~Errata, page 261, $(-1)^hA_{m-g}$ the $g$ is not printed. + +Page \pageref{errerr428}.~Errata, page 428, $\dfrac{2\f_1}{\rho}$ printed $\dfrac{2f_1}{\rho}$ (twice). + +\newpage +\small +\pagestyle{plain} +\pagenumbering{Roman} +\begin{verbatim} +End of the Project Gutenberg EBook of Journal de Mathématics Pures et +Appliquées Tome II: 1837, by Various + +*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK JOURNAL DE MATHÉMATICS PURES *** + +***** This file should be named 31295-pdf.pdf or 31295-pdf.zip ***** +This and all associated files of various formats will be found in: + http://www.gutenberg.org/3/1/2/9/31295/ + +Produced by Paul Murray, Keith Edkins and the Online +Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This +file was produced from images generously made available +by the Bibliothèque nationale de France (BnF/Gallica) at +http://gallica.bnf.fr) + + +Updated editions will replace the previous one--the old editions +will be renamed. + +Creating the works from public domain print editions means that no +one owns a United States copyright in these works, so the Foundation +(and you!) can copy and distribute it in the United States without +permission and without paying copyright royalties. Special rules, +set forth in the General Terms of Use part of this license, apply to +copying and distributing Project Gutenberg-tm electronic works to +protect the PROJECT GUTENBERG-tm concept and trademark. Project +Gutenberg is a registered trademark, and may not be used if you +charge for the eBooks, unless you receive specific permission. If you +do not charge anything for copies of this eBook, complying with the +rules is very easy. You may use this eBook for nearly any purpose +such as creation of derivative works, reports, performances and +research. They may be modified and printed and given away--you may do +practically ANYTHING with public domain eBooks. Redistribution is +subject to the trademark license, especially commercial +redistribution. + + + +*** START: FULL LICENSE *** + +THE FULL PROJECT GUTENBERG LICENSE +PLEASE READ THIS BEFORE YOU DISTRIBUTE OR USE THIS WORK + +To protect the Project Gutenberg-tm mission of promoting the free +distribution of electronic works, by using or distributing this work +(or any other work associated in any way with the phrase "Project +Gutenberg"), you agree to comply with all the terms of the Full Project +Gutenberg-tm License (available with this file or online at +http://gutenberg.org/license). + + +Section 1. General Terms of Use and Redistributing Project Gutenberg-tm +electronic works + +1.A. By reading or using any part of this Project Gutenberg-tm +electronic work, you indicate that you have read, understand, agree to +and accept all the terms of this license and intellectual property +(trademark/copyright) agreement. If you do not agree to abide by all +the terms of this agreement, you must cease using and return or destroy +all copies of Project Gutenberg-tm electronic works in your possession. +If you paid a fee for obtaining a copy of or access to a Project +Gutenberg-tm electronic work and you do not agree to be bound by the +terms of this agreement, you may obtain a refund from the person or +entity to whom you paid the fee as set forth in paragraph 1.E.8. + +1.B. "Project Gutenberg" is a registered trademark. It may only be +used on or associated in any way with an electronic work by people who +agree to be bound by the terms of this agreement. There are a few +things that you can do with most Project Gutenberg-tm electronic works +even without complying with the full terms of this agreement. See +paragraph 1.C below. There are a lot of things you can do with Project +Gutenberg-tm electronic works if you follow the terms of this agreement +and help preserve free future access to Project Gutenberg-tm electronic +works. See paragraph 1.E below. + +1.C. The Project Gutenberg Literary Archive Foundation ("the Foundation" +or PGLAF), owns a compilation copyright in the collection of Project +Gutenberg-tm electronic works. Nearly all the individual works in the +collection are in the public domain in the United States. If an +individual work is in the public domain in the United States and you are +located in the United States, we do not claim a right to prevent you from +copying, distributing, performing, displaying or creating derivative +works based on the work as long as all references to Project Gutenberg +are removed. Of course, we hope that you will support the Project +Gutenberg-tm mission of promoting free access to electronic works by +freely sharing Project Gutenberg-tm works in compliance with the terms of +this agreement for keeping the Project Gutenberg-tm name associated with +the work. You can easily comply with the terms of this agreement by +keeping this work in the same format with its attached full Project +Gutenberg-tm License when you share it without charge with others. + +1.D. The copyright laws of the place where you are located also govern +what you can do with this work. Copyright laws in most countries are in +a constant state of change. If you are outside the United States, check +the laws of your country in addition to the terms of this agreement +before downloading, copying, displaying, performing, distributing or +creating derivative works based on this work or any other Project +Gutenberg-tm work. The Foundation makes no representations concerning +the copyright status of any work in any country outside the United +States. + +1.E. Unless you have removed all references to Project Gutenberg: + +1.E.1. The following sentence, with active links to, or other immediate +access to, the full Project Gutenberg-tm License must appear prominently +whenever any copy of a Project Gutenberg-tm work (any work on which the +phrase "Project Gutenberg" appears, or with which the phrase "Project +Gutenberg" is associated) is accessed, displayed, performed, viewed, +copied or distributed: + +This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with +almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or +re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included +with this eBook or online at www.gutenberg.org + +1.E.2. If an individual Project Gutenberg-tm electronic work is derived +from the public domain (does not contain a notice indicating that it is +posted with permission of the copyright holder), the work can be copied +and distributed to anyone in the United States without paying any fees +or charges. If you are redistributing or providing access to a work +with the phrase "Project Gutenberg" associated with or appearing on the +work, you must comply either with the requirements of paragraphs 1.E.1 +through 1.E.7 or obtain permission for the use of the work and the +Project Gutenberg-tm trademark as set forth in paragraphs 1.E.8 or +1.E.9. + +1.E.3. If an individual Project Gutenberg-tm electronic work is posted +with the permission of the copyright holder, your use and distribution +must comply with both paragraphs 1.E.1 through 1.E.7 and any additional +terms imposed by the copyright holder. Additional terms will be linked +to the Project Gutenberg-tm License for all works posted with the +permission of the copyright holder found at the beginning of this work. + +1.E.4. Do not unlink or detach or remove the full Project Gutenberg-tm +License terms from this work, or any files containing a part of this +work or any other work associated with Project Gutenberg-tm. + +1.E.5. Do not copy, display, perform, distribute or redistribute this +electronic work, or any part of this electronic work, without +prominently displaying the sentence set forth in paragraph 1.E.1 with +active links or immediate access to the full terms of the Project +Gutenberg-tm License. + +1.E.6. You may convert to and distribute this work in any binary, +compressed, marked up, nonproprietary or proprietary form, including any +word processing or hypertext form. However, if you provide access to or +distribute copies of a Project Gutenberg-tm work in a format other than +"Plain Vanilla ASCII" or other format used in the official version +posted on the official Project Gutenberg-tm web site (www.gutenberg.org), +you must, at no additional cost, fee or expense to the user, provide a +copy, a means of exporting a copy, or a means of obtaining a copy upon +request, of the work in its original "Plain Vanilla ASCII" or other +form. Any alternate format must include the full Project Gutenberg-tm +License as specified in paragraph 1.E.1. + +1.E.7. Do not charge a fee for access to, viewing, displaying, +performing, copying or distributing any Project Gutenberg-tm works +unless you comply with paragraph 1.E.8 or 1.E.9. + +1.E.8. You may charge a reasonable fee for copies of or providing +access to or distributing Project Gutenberg-tm electronic works provided +that + +- You pay a royalty fee of 20% of the gross profits you derive from + the use of Project Gutenberg-tm works calculated using the method + you already use to calculate your applicable taxes. The fee is + owed to the owner of the Project Gutenberg-tm trademark, but he + has agreed to donate royalties under this paragraph to the + Project Gutenberg Literary Archive Foundation. Royalty payments + must be paid within 60 days following each date on which you + prepare (or are legally required to prepare) your periodic tax + returns. Royalty payments should be clearly marked as such and + sent to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation at the + address specified in Section 4, "Information about donations to + the Project Gutenberg Literary Archive Foundation." + +- You provide a full refund of any money paid by a user who notifies + you in writing (or by e-mail) within 30 days of receipt that s/he + does not agree to the terms of the full Project Gutenberg-tm + License. You must require such a user to return or + destroy all copies of the works possessed in a physical medium + and discontinue all use of and all access to other copies of + Project Gutenberg-tm works. + +- You provide, in accordance with paragraph 1.F.3, a full refund of any + money paid for a work or a replacement copy, if a defect in the + electronic work is discovered and reported to you within 90 days + of receipt of the work. + +- You comply with all other terms of this agreement for free + distribution of Project Gutenberg-tm works. + +1.E.9. If you wish to charge a fee or distribute a Project Gutenberg-tm +electronic work or group of works on different terms than are set +forth in this agreement, you must obtain permission in writing from +both the Project Gutenberg Literary Archive Foundation and Michael +Hart, the owner of the Project Gutenberg-tm trademark. Contact the +Foundation as set forth in Section 3 below. + +1.F. + +1.F.1. Project Gutenberg volunteers and employees expend considerable +effort to identify, do copyright research on, transcribe and proofread +public domain works in creating the Project Gutenberg-tm +collection. Despite these efforts, Project Gutenberg-tm electronic +works, and the medium on which they may be stored, may contain +"Defects," such as, but not limited to, incomplete, inaccurate or +corrupt data, transcription errors, a copyright or other intellectual +property infringement, a defective or damaged disk or other medium, a +computer virus, or computer codes that damage or cannot be read by +your equipment. + +1.F.2. LIMITED WARRANTY, DISCLAIMER OF DAMAGES - Except for the "Right +of Replacement or Refund" described in paragraph 1.F.3, the Project +Gutenberg Literary Archive Foundation, the owner of the Project +Gutenberg-tm trademark, and any other party distributing a Project +Gutenberg-tm electronic work under this agreement, disclaim all +liability to you for damages, costs and expenses, including legal +fees. YOU AGREE THAT YOU HAVE NO REMEDIES FOR NEGLIGENCE, STRICT +LIABILITY, BREACH OF WARRANTY OR BREACH OF CONTRACT EXCEPT THOSE +PROVIDED IN PARAGRAPH F3. YOU AGREE THAT THE FOUNDATION, THE +TRADEMARK OWNER, AND ANY DISTRIBUTOR UNDER THIS AGREEMENT WILL NOT BE +LIABLE TO YOU FOR ACTUAL, DIRECT, INDIRECT, CONSEQUENTIAL, PUNITIVE OR +INCIDENTAL DAMAGES EVEN IF YOU GIVE NOTICE OF THE POSSIBILITY OF SUCH +DAMAGE. + +1.F.3. LIMITED RIGHT OF REPLACEMENT OR REFUND - If you discover a +defect in this electronic work within 90 days of receiving it, you can +receive a refund of the money (if any) you paid for it by sending a +written explanation to the person you received the work from. If you +received the work on a physical medium, you must return the medium with +your written explanation. The person or entity that provided you with +the defective work may elect to provide a replacement copy in lieu of a +refund. If you received the work electronically, the person or entity +providing it to you may choose to give you a second opportunity to +receive the work electronically in lieu of a refund. If the second copy +is also defective, you may demand a refund in writing without further +opportunities to fix the problem. + +1.F.4. Except for the limited right of replacement or refund set forth +in paragraph 1.F.3, this work is provided to you 'AS-IS' WITH NO OTHER +WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO +WARRANTIES OF MERCHANTIBILITY OR FITNESS FOR ANY PURPOSE. + +1.F.5. Some states do not allow disclaimers of certain implied +warranties or the exclusion or limitation of certain types of damages. +If any disclaimer or limitation set forth in this agreement violates the +law of the state applicable to this agreement, the agreement shall be +interpreted to make the maximum disclaimer or limitation permitted by +the applicable state law. The invalidity or unenforceability of any +provision of this agreement shall not void the remaining provisions. + +1.F.6. INDEMNITY - You agree to indemnify and hold the Foundation, the +trademark owner, any agent or employee of the Foundation, anyone +providing copies of Project Gutenberg-tm electronic works in accordance +with this agreement, and any volunteers associated with the production, +promotion and distribution of Project Gutenberg-tm electronic works, +harmless from all liability, costs and expenses, including legal fees, +that arise directly or indirectly from any of the following which you do +or cause to occur: (a) distribution of this or any Project Gutenberg-tm +work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any +Project Gutenberg-tm work, and (c) any Defect you cause. + + +Section 2. Information about the Mission of Project Gutenberg-tm + +Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of +electronic works in formats readable by the widest variety of computers +including obsolete, old, middle-aged and new computers. It exists +because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from +people in all walks of life. + +Volunteers and financial support to provide volunteers with the +assistance they need, are critical to reaching Project Gutenberg-tm's +goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will +remain freely available for generations to come. In 2001, the Project +Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure +and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations. +To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation +and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4 +and the Foundation web page at http://www.pglaf.org. + + +Section 3. Information about the Project Gutenberg Literary Archive +Foundation + +The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit +501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the +state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal +Revenue Service. The Foundation's EIN or federal tax identification +number is 64-6221541. Its 501(c)(3) letter is posted at +http://pglaf.org/fundraising. Contributions to the Project Gutenberg +Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent +permitted by U.S. federal laws and your state's laws. + +The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S. +Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered +throughout numerous locations. Its business office is located at +809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email +business@pglaf.org. Email contact links and up to date contact +information can be found at the Foundation's web site and official +page at http://pglaf.org + +For additional contact information: + Dr. Gregory B. Newby + Chief Executive and Director + gbnewby@pglaf.org + + +Section 4. Information about Donations to the Project Gutenberg +Literary Archive Foundation + +Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide +spread public support and donations to carry out its mission of +increasing the number of public domain and licensed works that can be +freely distributed in machine readable form accessible by the widest +array of equipment including outdated equipment. Many small donations +($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt +status with the IRS. + +The Foundation is committed to complying with the laws regulating +charities and charitable donations in all 50 states of the United +States. Compliance requirements are not uniform and it takes a +considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up +with these requirements. We do not solicit donations in locations +where we have not received written confirmation of compliance. To +SEND DONATIONS or determine the status of compliance for any +particular state visit http://pglaf.org + +While we cannot and do not solicit contributions from states where we +have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition +against accepting unsolicited donations from donors in such states who +approach us with offers to donate. + +International donations are gratefully accepted, but we cannot make +any statements concerning tax treatment of donations received from +outside the United States. U.S. laws alone swamp our small staff. + +Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation +methods and addresses. Donations are accepted in a number of other +ways including checks, online payments and credit card donations. +To donate, please visit: http://pglaf.org/donate + + +Section 5. General Information About Project Gutenberg-tm electronic +works. + +Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm +concept of a library of electronic works that could be freely shared +with anyone. For thirty years, he produced and distributed Project +Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support. + + +Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed +editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S. +unless a copyright notice is included. Thus, we do not necessarily +keep eBooks in compliance with any particular paper edition. + + +Most people start at our Web site which has the main PG search facility: + + http://www.gutenberg.org + +This Web site includes information about Project Gutenberg-tm, +including how to make donations to the Project Gutenberg Literary +Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to +subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks. +\end{verbatim} +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % +% % +% End of the Project Gutenberg EBook of Journal de Mathématics Pures et % +% Appliquées Tome II: 1837, by Various % +% % +% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK JOURNAL DE MATHÉMATICS PURES ***% +% % +% ***** This file should be named 31295-t.tex or 31295-t.zip ***** % +% This and all associated files of various formats will be found in: % +% http://www.gutenberg.org/3/1/2/9/31295/ % +% % +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % + +\end{document} + +### lprep configuration +@ControlwordReplace = ( + ['\x',"x"], + ['\f',"f"], + ['\d',"d"], + ['\etc',"etc."] + ); +@ControlwordArguments = ( + ['\\pdf',1,0,'',''], + ['\\Needspace\\*',1,0,'',''], + ['\\pngcent',1,0,'','',1,0,'',''], + ['\\tabentry',1,1,'','',1,0,'','',1,0,'',''], + ['\\jmpapaper',1,1,'',"\n",1,1,'',"\n",1,1,'',"\n",1,1,'',"\n",1,1,'',"\n"], + ['\\jmpapaperl',1,1,'',"\n",1,1,'',"\n",1,1,'',"\n",1,1,'',"\n",1,1,'',"\n"] +); + +### +This is pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6) (format=pdflatex 2009.12.9) 16 FEB 2010 09:46 +entering extended mode + %&-line parsing enabled. +**31295-t.tex +(./31295-t.tex +LaTeX2e <2005/12/01> +Babel <v3.8h> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh +yphenation, arabic, farsi, croatian, ukrainian, russian, bulgarian, czech, slov +ak, danish, dutch, finnish, basque, french, german, ngerman, ibycus, greek, mon +ogreek, ancientgreek, hungarian, italian, latin, mongolian, norsk, icelandic, i +nterlingua, turkish, coptic, romanian, welsh, serbian, slovenian, estonian, esp +eranto, uppersorbian, indonesian, polish, portuguese, spanish, catalan, galicia +n, swedish, ukenglish, pinyin, loaded. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/book.cls +Document Class: book 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/bk10.clo +File: bk10.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option) +) +\c@part=\count79 +\c@chapter=\count80 +\c@section=\count81 +\c@subsection=\count82 +\c@subsubsection=\count83 +\c@paragraph=\count84 +\c@subparagraph=\count85 +\c@figure=\count86 +\c@table=\count87 +\abovecaptionskip=\skip41 +\belowcaptionskip=\skip42 +\bibindent=\dimen102 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.sty +Package: babel 2005/11/23 v3.8h The Babel package +(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/greek.ldf +Language: greek 2005/03/30 v1.3l Greek support from the babel system +(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.def +File: babel.def 2005/11/23 v3.8h Babel common definitions +\babel@savecnt=\count88 +\U@D=\dimen103 +) Loading the definitions for the Greek font encoding (/usr/share/texmf-texlive +/tex/generic/babel/lgrenc.def +File: lgrenc.def 2001/01/30 v2.2e Greek Encoding +)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.ldf +Language: french 2005/02/06 v1.6g French support from the babel system +Package babel Info: Making : an active character on input line 219. +Package babel Info: Making ; an active character on input line 220. +Package babel Info: Making ! an active character on input line 221. +Package babel Info: Making ? an active character on input line 222. +LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding T1 on input line 299. +\parindentFFN=\dimen104 +\std@mcc=\count89 +\dec@mcc=\count90 +************************************* +* Local config file frenchb.cfg used +* +(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.cfg))) (/usr/share/texmf-te +xlive/tex/latex/base/fontenc.sty +Package: fontenc 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1enc.def +File: t1enc.def 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file +LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding T1 on input line 43. +)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty +Package: inputenc 2006/05/05 v1.1b Input encoding file +\inpenc@prehook=\toks14 +\inpenc@posthook=\toks15 +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/latin1.def +File: latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file +)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty +Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features +\@mathmargin=\skip43 +For additional information on amsmath, use the `?' option. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty +Package: amstext 2000/06/29 v2.01 +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty +File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 +\@emptytoks=\toks16 +\ex@=\dimen105 +)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty +Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d +\pmbraise@=\dimen106 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty +Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names +) +\inf@bad=\count91 +LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211. +\uproot@=\count92 +\leftroot@=\count93 +LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307. +\classnum@=\count94 +\DOTSCASE@=\count95 +LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379. +LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382. +LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467. +\Mathstrutbox@=\box26 +\strutbox@=\box27 +\big@size=\dimen107 +LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OML on input line 567. +LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OMS on input line 568. +\macc@depth=\count96 +\c@MaxMatrixCols=\count97 +\dotsspace@=\muskip10 +\c@parentequation=\count98 +\dspbrk@lvl=\count99 +\tag@help=\toks17 +\row@=\count100 +\column@=\count101 +\maxfields@=\count102 +\andhelp@=\toks18 +\eqnshift@=\dimen108 +\alignsep@=\dimen109 +\tagshift@=\dimen110 +\tagwidth@=\dimen111 +\totwidth@=\dimen112 +\lineht@=\dimen113 +\@envbody=\toks19 +\multlinegap=\skip44 +\multlinetaggap=\skip45 +\mathdisplay@stack=\toks20 +LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666. +LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667. +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty +Package: amssymb 2002/01/22 v2.2d +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty +Package: amsfonts 2001/10/25 v2.2f +\symAMSa=\mathgroup4 +\symAMSb=\mathgroup5 +LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold' +(Font) U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 132. +)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphicx.sty +Package: graphicx 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR) +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/keyval.sty +Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC) +\KV@toks@=\toks21 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphics.sty +Package: graphics 2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR) +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/trig.sty +Package: trig 1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC) +) (/etc/texmf/tex/latex/config/graphics.cfg +File: graphics.cfg 2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive +) +Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 90. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pdftex-def/pdftex.def +File: pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX +\Gread@gobject=\count103 +)) +\Gin@req@height=\dimen114 +\Gin@req@width=\dimen115 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ltxmisc/needspace.sty +Package: needspace 2003/02/18 v1.3a reserve vertical space +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/rotating/rotating.sty +Package: rotating 1997/09/26, v2.13 Rotation package +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ifthen.sty +Package: ifthen 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC) +) +\c@r@tfl@t=\count104 +\rot@float@box=\box28 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/yfonts/yfonts.sty +Package: yfonts 2003/01/08 v1.3 (WaS) +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/fundus/calligra.sty +Package: calligra 1996/07/18 v1.8 LaTeX package calligra +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/verbatim.sty +Package: verbatim 2003/08/22 v1.5q LaTeX2e package for verbatim enhancements +\every@verbatim=\toks22 +\verbatim@line=\toks23 +\verbatim@in@stream=\read1 +) +\c@originalpage=\count105 +\Zw=\count106 +\symupletters=\mathgroup6 +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `upletters' in version `bold' +(Font) T1/cmr/m/n --> T1/cmr/b/n on input line 181. +(./31295-t.aux) +\openout1 = `31295-t.aux'. + +LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 245. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 245. +LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/lmr/m/n on input line 245. +LaTeX Font Info: Try loading font information for T1+lmr on input line 245. +(/usr/share/texmf/tex/latex/lm/t1lmr.fd +File: t1lmr.fd 2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern +) +LaTeX Font Info: ... okay on input line 245. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 245. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 245. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 245. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 245. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 245. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 245. +LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 245. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 245. +LaTeX Font Info: Checking defaults for LGR/cmr/m/n on input line 245. +LaTeX Font Info: Try loading font information for LGR+cmr on input line 245. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/lgrcmr.fd +File: lgrcmr.fd 2001/01/30 v2.2e Greek Computer Modern +) +LaTeX Font Info: ... okay on input line 245. +LaTeX Font Info: Checking defaults for LY/yfrak/m/n on input line 245. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 245. +LaTeX Font Info: Checking defaults for LYG/ygoth/m/n on input line 245. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 245. +LaTeX Info: Redefining \dots on input line 245. +(/usr/share/texmf/tex/context/base/supp-pdf.tex +[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).] +\scratchcounter=\count107 +\scratchdimen=\dimen116 +\scratchbox=\box29 +\nofMPsegments=\count108 +\nofMParguments=\count109 +\everyMPshowfont=\toks24 +\MPscratchCnt=\count110 +\MPscratchDim=\dimen117 +\MPnumerator=\count111 +\everyMPtoPDFconversion=\toks25 +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for T1+cmtt on input line 250. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1cmtt.fd +File: t1cmtt.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions +) [1 + + +{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msa on input line 387. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd +File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msb on input line 387. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd +File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions +) [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] +[19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] +[35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] <images/img001.png, id=178, 143.5764pt x 105 +.7551pt> +File: images/img001.png Graphic file (type png) +<use images/img001.png> [42 <./images/img001.png (PNG copy)>] +File: images/img001.png Graphic file (type png) +<use images/img001.png> [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] +[54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] +[70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] +[86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] + +Package frenchb.ldf Warning: Degrees would look better in TS1-encoding: +(frenchb.ldf) add \usepackage{textcomp} to the preamble. +(frenchb.ldf) Degrees used on input line 5165. + +[97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110 +] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] +[124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [ +137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [1 +50] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [16 +3] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176 +] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] +[190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [ +203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [2 +16] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [22 +9] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242 +] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] +[256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [ +269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [2 +82] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293] [294] [29 +5] [296] [297] [298] [299] [300] [301] [302] [303] [304] [305] [306] [307] [308 +] [309] [310] [311] [312] [313] [314] [315] [316] [317] [318] +LaTeX Font Info: Font shape `T1/calligra/m/n' will be +(Font) scaled to size 21.99997pt on input line 17095. +LaTeX Font Info: Font shape `T1/calligra/m/n' will be +(Font) scaled to size 15.39998pt on input line 17095. +LaTeX Font Info: Font shape `T1/calligra/m/n' will be +(Font) scaled to size 10.99998pt on input line 17095. +[319] [320] [321] +LaTeX Font Info: Font shape `T1/calligra/m/n' will be +(Font) scaled to size 17.59998pt on input line 17190. +LaTeX Font Info: Font shape `T1/calligra/m/n' will be +(Font) scaled to size 13.19998pt on input line 17190. +[322] [323] [324] [325] [326] [327] [328] [329] [330] [331] [332] [333] [334] [ +335] [336] [337] [338] [339] [340] [341] [342] [343] [344] [345] [346] [347] [3 +48] [349] [350] [351] [352] [353] [354] [355] [356] [357] [358] [359] [360] [36 +1] [362] [363] [364] [365] [366] [367] [368] [369] [370] [371] [372] [373] [374 +] [375] [376] [377] [378] [379] [380] [381] [382] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [ +8] (./31295-t.aux) + + *File List* + book.cls 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class + bk10.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option) + babel.sty 2005/11/23 v3.8h The Babel package + greek.ldf 2005/03/30 v1.3l Greek support from the babel system + lgrenc.def 2001/01/30 v2.2e Greek Encoding + frenchb.ldf + frenchb.cfg + fontenc.sty + t1enc.def 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file +inputenc.sty 2006/05/05 v1.1b Input encoding file + latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file + amsmath.sty 2000/07/18 v2.13 AMS math features + amstext.sty 2000/06/29 v2.01 + amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 + amsbsy.sty 1999/11/29 v1.2d + amsopn.sty 1999/12/14 v2.01 operator names + amssymb.sty 2002/01/22 v2.2d +amsfonts.sty 2001/10/25 v2.2f +graphicx.sty 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR) + keyval.sty 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC) +graphics.sty 2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR) + trig.sty 1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC) +graphics.cfg 2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive + pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX +needspace.sty 2003/02/18 v1.3a reserve vertical space +rotating.sty 1997/09/26, v2.13 Rotation package + ifthen.sty 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC) + yfonts.sty 2003/01/08 v1.3 (WaS) +calligra.sty 1996/07/18 v1.8 LaTeX package calligra +verbatim.sty 2003/08/22 v1.5q LaTeX2e package for verbatim enhancements + t1lmr.fd 2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern + lgrcmr.fd 2001/01/30 v2.2e Greek Computer Modern +supp-pdf.tex + t1cmtt.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions + umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions + umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions +images/img001.png +images/img001.png + *********** + + +LaTeX Font Warning: Size substitutions with differences +(Font) up to 5.0pt have occurred. + + ) +Here is how much of TeX's memory you used: + 3304 strings out of 94074 + 39600 string characters out of 1165153 + 106468 words of memory out of 1500000 + 6497 multiletter control sequences out of 10000+50000 + 37607 words of font info for 85 fonts, out of 1200000 for 2000 + 645 hyphenation exceptions out of 8191 + 26i,21n,24p,258b,293s stack positions out of 5000i,500n,6000p,200000b,5000s + </home/widger/.texmf-var/fonts/pk/ljfour/public/calligra/callig15.880pk>{/us +r/share/texmf/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc}</usr/share/texmf-texliv +e/fonts/type1/bluesky/cm/cmex10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/blues +ky/cm/cmmi10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi12.pfb></ +usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi5.pfb></usr/share/texmf-texl +ive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi6.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/blue +sky/cm/cmmi7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi8.pfb></u +sr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr10.pfb></usr/share/texmf-texli +ve/fonts/type1/bluesky/cm/cmr12.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/blues +ky/cm/cmr5.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr6.pfb></usr/ +share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr7.pfb></usr/share/texmf-texlive/f +onts/type1/bluesky/cm/cmr8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm +/cmsy10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy5.pfb></usr/sh +are/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy6.pfb></usr/share/texmf-texlive/fo +nts/type1/bluesky/cm/cmsy7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm +/cmsy8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/cmex/fmex7.pfb></usr/sh +are/texmf-texlive/fonts/type1/public/cmex/fmex8.pfb></usr/share/texmf-texlive/f +onts/type1/bluesky/ams/msam10.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super +/sfbi0900.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx0900.pfb></usr/ +share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/ty +pe1/public/cm-super/sfbx1440.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/ +sfbx2074.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx2488.pfb></usr/s +hare/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfcc0700.pfb></usr/share/texmf/fonts/typ +e1/public/cm-super/sfcc0800.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/s +fcc0900.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfcc1000.pfb></usr/sh +are/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfcc1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/type +1/public/cm-super/sfrm0500.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sf +rm0600.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm0700.pfb></usr/sha +re/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm0800.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1 +/public/cm-super/sfrm0900.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfr +m1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1200.pfb></usr/shar +e/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1440.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/ +public/cm-super/sfrm1728.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm +2074.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm2488.pfb></usr/share +/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfti0600.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/p +ublic/cm-super/sfti0700.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfti0 +800.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfti1000.pfb></usr/share/ +texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfti1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/pu +blic/cm-super/sftt0900.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfxc06 +00.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfxc0900.pfb></usr/share/t +exmf/fonts/type1/public/cm-super/sfxc1000.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/t +ype1/public/gothic/ygoth.pfb> +Output written on 31295-t.pdf (390 pages, 1983837 bytes). +PDF statistics: + 1475 PDF objects out of 1728 (max. 8388607) + 0 named destinations out of 1000 (max. 131072) + 18 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000) + diff --git a/31295-t/images/img001.png b/31295-t/images/img001.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..4f02e54 --- /dev/null +++ b/31295-t/images/img001.png diff --git a/LICENSE.txt b/LICENSE.txt new file mode 100644 index 0000000..6312041 --- /dev/null +++ b/LICENSE.txt @@ -0,0 +1,11 @@ +This eBook, including all associated images, markup, improvements, +metadata, and any other content or labor, has been confirmed to be +in the PUBLIC DOMAIN IN THE UNITED STATES. + +Procedures for determining public domain status are described in +the "Copyright How-To" at https://www.gutenberg.org. + +No investigation has been made concerning possible copyrights in +jurisdictions other than the United States. Anyone seeking to utilize +this eBook outside of the United States should confirm copyright +status under the laws that apply to them. diff --git a/README.md b/README.md new file mode 100644 index 0000000..aa65577 --- /dev/null +++ b/README.md @@ -0,0 +1,2 @@ +Project Gutenberg (https://www.gutenberg.org) public repository for +eBook #31295 (https://www.gutenberg.org/ebooks/31295) |
