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You may copy it, give it away or % +% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included % +% with this eBook or online at www.gutenberg.org % +% % +% % +% Title: Die Potentialfunction und das Potential % +% % +% Author: Rudolf Clausius % +% % +% Release Date: June 1, 2010 [EBook #32634] % +% % +% Language: German % +% % +% Character set encoding: ISO-8859-1 % +% % +% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK DIE POTENTIALFUNCTION *** % +% % +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % + +\def\ebook{32634} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%% %% +%% Packages and substitutions: %% +%% %% +%% book: Required. %% +%% inputenc: Standard DP encoding. Required. %% +%% %% +%% ifthen: Logical conditionals. Required. %% +%% %% +%% babel: German spacing and hyphenation paterns. Required. %% +%% %% +%% amsmath: AMS mathematics enhancements. Required. %% +%% amssymb: Additional mathematical symbols. 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Stephan, Joshua Hutchinson, + Project Gutenberg Online Distributed Proofreading Team, + Cornell University Library: Historical Mathematics + Monographs collection}, + pdfstartview=Fit, % default value + pdfstartpage=1, % default value + pdfpagemode=UseNone, % default value + bookmarks=true, % default value + linktocpage=false, % default value + pdfpagelayout=\PDFPageLayout, + pdfdisplaydoctitle, + pdfpagelabels=true, + bookmarksopen=true, + bookmarksopenlevel=1, + colorlinks=true, + linkcolor=\HLinkColor]{hyperref}[2007/02/07] + +% Re-crop screen-formatted version, accommodating wide displays +\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}} + {} + {\hypersetup{pdfpagescrop= 30 30 400 675}} + +%%%% Global space/size parameters %%%% +\emergencystretch 1.5em +\hyphenation{nicht-umkehrbare Ver-theilung Wer-the}% These are getting badly hyphenated + +%%%% Fixed-width environment to format PG boilerplate %%%% +% 9.2pt leaves no overfull hbox at 80 char line width +\newenvironment{PGtext}{% +\begin{alltt} +\fontsize{9.2}{10.5}\ttfamily\selectfont}% +{\end{alltt}} + + +%%%% Table of contents %%%% +\AtBeginDocument{% + \renewcommand{\contentsname}{% + \protect\centering\protect\LARGE% + Inhalt.\protect\\\protect\tb[0.375in]\protect\\[-24pt] + } +} + +\newcommand{\TableofContents}{% + \cleardoublepage + \phantomsection\pdfbookmark[0]{Inhaltsverzeischnis}{Inhalt} + \thispagestyle{empty} + \fancyhead[C]{Inhalt.} + \footnotesize + \tableofcontents + \ctb + \normalsize +} + +\newcommand{\ToCBox}[1]{% + \ifthenelse{\equal{#1}{Zusatz I.}\or\equal{#1}{Zusatz II.}}{% + \settowidth{\TmpLen}{§9999}% + \addtolength{\TmpLen}{8pt}% + \hspace*{\TmpLen}% Leave empty space + }{% + \settowidth{\TmpLen}{9999}% + §\makebox[\TmpLen][r]{#1}\hspace*{8pt}% + }% +} +\newcommand{\ToCAnchor}{}% Used for internal bookkeeping + +\newcommand{\ToCChap}[1]{\subsection*{\centering\normalsize\textbf{#1}}} + +\newcommand{\ToCSect}[2]{% +% If we're on a new page, print "Seite" heading + \label{toc:#1}% + \ifthenelse{\not\equal{\pageref{toc:#1}}{\ToCAnchor}}{% + \renewcommand{\ToCAnchor}{\pageref{toc:#1}}% + \noindent\makebox[\linewidth][c]{\footnotesize\null\hfill Seite}\\[6pt]% + }{}% +% Set the ToC entry + \settowidth{\TmpLen}{\,999}% + \noindent\parbox[b]{\linewidth - \TmpLen}{% + \hangindent4.5em\ToCBox{#1}#2\dotfill}\hfill\pageref{sect:#1}% + \vspace{6pt plus 2pt minus 4pt}% +} + +%% Running heads +\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} +\newcommand{\SetPageNumbers}{% + \ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{% + \fancyhead[RO,LE]{\thepage}% End of ForPrinting + }{% + \fancyhead[R]{\thepage}% + }% +} + +\newcounter{Chapter} +\setcounter{Chapter}{0} + +% \Chapter[ToC entry]{Title} -- for numbered chapters +\newcommand{\Chapter}[1]{% + \clearpage\pagestyle{fancy}\fancyhf{}% + \setlength{\headheight}{14.5pt}% + \cleardoublepage + \phantomsection + \refstepcounter{Chapter}% + \label{chap:\theChapter}% + \pdfbookmark[0]{#1}{\theChapter}% + \ifthenelse{\not\equal{#1}{Vorwort.}}{% + \addtocontents{toc}{\protect\ToCChap{#1}}% + }{}% + \section*{\centering\large #1} + \thispagestyle{empty} + \fancyhead[C]{#1}% [** TN: Discarding section-title running heads] + \SetPageNumbers% +} + +\newcommand{\Section}[2]{% + \subsection*{\normalfont\normalsize\centering§ #1\break\Emphasis{#2}} + \label{sect:#1}% + \addtocontents{toc}{\protect\ToCSect{#1}{#2}}% + \ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{% + \fancyhead[RE,LO]{§ #1}% End of ForPrinting + }{% + \fancyhead[L]{§ #1}% + }% +} + +\newcommand{\Subsection}[2]{% + \pagebreak[3]\par% + #1)\ \Emphasis{#2}% + \pagebreak[0]\par +} + +\newcommand{\Appendix}[2]{% + \ifthenelse{\equal{#1}{Zusatz I.}}{% + \clearpage\pagestyle{fancy}\fancyhf{}% + \setlength{\headheight}{14.5pt}% + \cleardoublepage% + }{}% + \phantomsection% + \refstepcounter{Chapter}% + \label{chap:\theChapter}% + \pdfbookmark[0]{#1}{\theChapter}% + \addtocontents{toc}{\protect\ToCChap{#1}}% + + \section*{\centering\large #1} + \ifthenelse{\equal{#1}{Zusatz I.}}{% + \thispagestyle{empty} + }{}% + \fancyhead[C]{#1}% + \SetPageNumbers% + \subsection*{\normalfont\small\centering#2} + \label{sect:#1}% + \addtocontents{toc}{\protect\ToCSect{#1}{#2}}% +} + +% Adjust footnote markers +\makeatletter +\renewcommand\@makefnmark% + {\mbox{\,\upshape\@textsuperscript{\normalfont\@thefnmark})}} + +\renewcommand\@makefntext[1]% + {\noindent\makebox[2.4em][r]{\@makefnmark\;}#1} +\makeatother + +% Miscellaneous abbreviations +\renewcommand{\dh}{d.\;h.} +\newcommand{\zB}{z.\;B.} + +\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} +\newcommand{\frakq}{\mathfrak{q}} +\newcommand{\frakr}{\mathfrak{r}} + +%% **** May need reviewing +\newcommand{\Title}[1]{\textit{#1}} +\newcommand{\Person}[1]{\textsc{#1}} +\newcommand{\Place}[1]{\textit{#1}} +\newcommand{\Emphasis}[1]{\textbf{#1}} + +% For corrections: \DPtypo{txet}{text}, \DPnote{[** Text of note]} +\newcommand{\DPtypo}[2]{#2} +\newcommand{\DPnote}[1]{} + +\newlength{\TmpLen} +\newcommand{\PadTxt}[3][c]{% + \settowidth{\TmpLen}{\text{#2}}% + \makebox[\TmpLen][#1]{#3}% +} + +\newcommand{\ds}{\displaystyle} +\newcommand{\Ditto}{,,} + +\newcommand{\tb}[1][0.75in]{\rule{#1}{0.5pt}} +\newcommand{\ctb}{{\vfill\centering\tb\vfill\vfill}} + +\DeclareInputText{176}{\ifmmode{{}^\circ}\else\textdegree\fi} +\DeclareInputText{183}{\ifmmode\mathbin{.}\else\textperiodcentered\fi} + + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% START OF DOCUMENT %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\begin{document} + +\pagestyle{empty} +\pagenumbering{alph} + +%%%% PG BOILERPLATE %%%% +\phantomsection +\pdfbookmark[0]{PG Titelblatt}{PG Titelblatt} + +\begin{center} +\begin{minipage}{\textwidth} +\small +\begin{PGtext} +The Project Gutenberg EBook of Die Potentialfunction und das Potential, by +Rudolf Clausius + +This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with +almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or +re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included +with this eBook or online at www.gutenberg.org + + +Title: Die Potentialfunction und das Potential + +Author: Rudolf Clausius + +Release Date: June 1, 2010 [EBook #32634] + +Language: German + +Character set encoding: ISO-8859-1 + +*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK DIE POTENTIALFUNCTION *** +\end{PGtext} +\end{minipage} +\end{center} + +\clearpage + + +%%%% Credits and transcriber's note %%%% +\begin{center} +\begin{minipage}{\textwidth} +\begin{PGtext} +Produced by Andrew D. Hwang, R. Stephan, Joshua Hutchinson +and the Online Distributed Proofreading Team at +http://www.pgdp.net (This file was produced from images +from the Cornell University Library: Historical Mathematics +Monographs collection.) +\end{PGtext} +\end{minipage} +\end{center} +\vfill + +\begin{minipage}{0.85\textwidth} +\small +\phantomsection +\pdfbookmark[0]{Anmerkungen zur Transkription}{Anmerkungen zur Transkription} +\subsection*{\centering\normalfont\scshape% +\normalsize\MakeLowercase{\TransNote}}% + +\raggedright +\TransNoteText +\end{minipage} + + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FRONT MATTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\frontmatter +\pagenumbering{Roman} + +%% -----File: 001.png---Folio xx------- +%[Blank page] +%% -----File: 002.png---Folio xx------- +%[Blank Page] +%% -----File: 003.png---Folio xx------- +% [Library stamp] +%% -----File: 004.png---Folio xx------- +%[Blank Page] +%% -----File: 005.png---Folio xx------- +\cleardoublepage +\null\vfill +\setlength{\TmpLen}{18pt}% +\begin{center} +\footnotesize DIE \\[\TmpLen] +\LARGE \textbf{POTENTIALFUNCTION} \\[\TmpLen] +\footnotesize UND DAS \\[\TmpLen] +\Large \textbf{POTENTIAL.} +\end{center} +\vfill +%% -----File: 006.png---Folio xx------- +%[Blank Page] +%% -----File: 007.png---Folio xx------- +% Title page +\cleardoublepage +\begin{center} +DIE \\[\TmpLen] +\huge \textbf{POTENTIALFUNCTION} \\[\TmpLen] +\footnotesize UND DAS \\[\TmpLen] +\LARGE \textbf{POTENTIAL.} \\ +\tb \\[0.5\TmpLen] +\footnotesize EIN \\[\TmpLen] +\normalsize BEITRAG ZUR MATHEMATISCHEN PHYSIK \\[\TmpLen] +\footnotesize VON \\[\TmpLen] +\large \textbf{R.~CLAUSIUS.} \\ +\tb \\[0.5\TmpLen] +%[** TN: Poor man's gesperrt] +\footnotesize V\,I\,E\,R\,T\,E\quad A\,U\,F\,L\,A\,G\,E. +\vfill +%[** Illustration: Publisher's device] +\includegraphics[width=1.5in]{./images/pubmark.pdf} +\vfill +\normalsize LEIPZIG \\[\TmpLen] +\footnotesize JOHANN AMBROSIUS BARTH. \\[\TmpLen] +1885. +\end{center} +%% -----File: 008.png---Folio xx------- +% Verso +\newpage\null\vfill +\begin{center} +\scriptsize Leipzig. Druck von Grimme \& Trömel. +\end{center} +\newpage +%% -----File: 009.png---Folio V------- + + +\Chapter{Vorwort.} + +Die vorliegende Schrift beschäftigt sich mit der schon von +\Person{Laplace} und \Person{Poisson} angewandten und später von \Person{Green}\footnote + {\Title{An Essay on the Application of mathematical Analysis to the theories + of Electricity and Magnetism}; by \Person{George Green}. Nottingham 1828. --- Wieder + abgedruckt in \Person{Crelle}'s Journ.\ Bd.~44 u.~47.} und +\Person{Gauss}\footnote + {\Title{Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnisse + des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstossungskräfte. + Resultate aus den Beobachtungen des magnetischen Vereins im Jahre~1839.}} +speciell behandelten Function, welcher \Person{Green} den Namen +\Emphasis{Potentialfunction} gegeben hat, und sie hat den Zweck, den +Leser auf möglichst einfache Art mit dieser Function vertraut zu +machen. + +Sie giebt daher eine von den Grundgleichungen der Mechanik +ausgehende, zusammenhängende Auseinandersetzung von der Bedeutung +dieser Function, von den Bedingungen, unter denen sie +anwendbar ist, und von den wichtigsten über ihr Verhalten geltenden +Sätzen. Daran schliesst sich zugleich die Behandlung einer +anderen Grösse an, welche von \Person{Green} gar nicht und von \Person{Gauss} +nur gelegentlich und unvollständig besprochen ist, nämlich des aus +der Potentialfunction durch Integration hervorgehenden \Emphasis{Potentials}, +welches als Ausdruck der von Naturkräften gethanen mechanischen +Arbeit in der mathematischen Physik eine grosse Rolle spielt. +%% -----File: 010.png---Folio VI------- + +Die gegenwärtige vierte Auflage entspricht der dritten und +unterscheidet sich von den beiden ersten vorzugsweise durch eine +beträchtliche Vermehrung des Inhaltes. In dem ursprünglichen +und bei den ersten Auflagen eingehaltenen Plane des Buches lag +es nur, diejenigen Gleichungen und Sätze, welche für das eigentliche +Wesen der Potentialfunction und des Potentials characteristisch +sind, zu entwickeln und unter Berücksichtigung aller in Betracht +kommenden Fälle zu beweisen, und demgemäss wurde von der Aufnahme +weiterer, die Potentialfunction betreffender Gleichungen und +Sätze, wie sie in den Schriften von \Person{Green}, \Person{Gauss} und \Person{Dirichlet} +vorkommen, abgesehen. Bei der Bearbeitung der neuen Auflagen +hat es mir aber doch zweckmässig geschienen, auch von diesen +Gleichungen und Sätzen die wichtigsten, welche nicht blos Anwendungen +auf specielle Körperclassen enthalten, sondern von allgemeiner +Bedeutung für die Potentialtheorie sind, mit aufzunehmen +und dadurch der Auseinandersetzung eine grössere Vollständigkeit +zu geben, und ich zweifele nicht daran, dass dieses von den Lesern +als eine Verbesserung anerkannt werden wird. +\bigskip + +\Place{Bonn}, März 1885. +\begin{flushright} +\textbf{R.~Clausius.}\qquad\break +\end{flushright} +%% -----File: 011.png---Folio VII------- +\TableofContents +% +\iffalse %[**start TOC] +\chapter*{Inhalt.} + +I. Die Potentialfunction. + +Seite + +§ 1. Ausgangspunkt der Betrachtungen 1 + +§ 2. Bedingungen, welche als erfüllt vorauszusetzen sind 1 + +§ 3. Einfache Bestimmung der auf die Kraft bezüglichen Grössen durch +die Function U 2 + +§ 4. Geometrische Darstellung mit Hülfe der Niveauflächen. Benennung +der Function U 4 + +§ 5. Hauptfall, in welchem eine Kraftfunction existirt 6 + +§ 6. Beschränkung auf solche Kräfte, welche dem Quadrate der Entfernung +umgekehrt proportional sind, und Beziehung der Kräfte +auf Agentien 9 + +§ 7. Annahmen, unter denen die Kraftfunction zur Potentialfunction +wird 12 + +§ 8. Messung der Agentien und Festsetzung des Coefficienten \epsilon 13 + +§ 9. Ueber den Namen Potentialfunction und das bei der Bestimmung +dieser Function angewandte Vorzeichen 15 + +§ 10. Das Potentialniveau 17 + +§ 11. Bestimmung der Potentialfunction für den Fall, wo der Punct p +sich innerhalb des von dem wirksamen Agens stetig erfüllten +Raumes befindet 18 + +§ 12. Bestimmung der Potentialfunction einer Kugelschicht, in welcher +die Dichtigkeit eine Function des Radius ist 21 + +§ 13. Bestimmung der Kraftcomponenten für einen im Innern des wirksamen +Körpers liegenden Punct 26 + +§ 14. Bestimmung der Differentialcoefficienten der Potentialfunction für +einen im Innern des wirksamen Körpers liegenden Punct 27 +%% -----File: 012.png---Folio VIII------- + +Seite + +§ 15. Satz in Bezug auf die zweiten Differentialcoefficienten der Potentialfunction 30 + +§ 16. Gestaltung des vorigen Satzes für den Fall, wo der betrachtete +Punct sich innerhalb des wirksamen Körpers befindet 32 + +§ 17. Beweis des Satzes für den Fall eines homogenen Körpers 35 + +§ 18. Veränderte Form der Gleichung (II.) und vorläufige Beschränkung 37 + +§ 19. Umgestaltung der Ausdrücke der Kraftcomponenten 38 + +§ 20. Beweis der Gleichung (IIa.) für homogene Körper 41 + +§ 21. Beweis der Gleichung (IIa.) für nicht homogene Körper 44 + +§ 22. Erweiterte Anwendbarkeit der auf homogene Körper bezüglichen +Formeln 48 + +§ 23. Erweiterte Anwendbarkeit der auf nicht homogene Körper bezüglichen +Formeln 53 + +§ 24. Specielle Betrachtung des Falles, wo der Punct p sich in unmittelbarer +Nähe der Oberfläche befindet 57 + +§ 25. Einfluss des Umstandes, wenn die Krümmung der Oberfläche an der +betreffenden Stelle unendlich gross ist 63 + +§ 26. Zurückführung des Falles, wo in der Nähe von p eine sprungweise +Aenderung der Dichtigkeit stattfindet, auf den vorigen 65 + +§ 27. Anhäufung eines Agens auf einer Fläche 67 + +§ 28. Bestimmung der Potentialfunction für eine gleichförmig mit dem +Agens bedeckte ebene Figur 68 + +§ 29. Verhalten der Differentialcoefficienten erster Ordnung der Potentialfunction 72 + +§ 30. Formeln, zu welchen man gelangt, wenn man den in Gleichung (95) +gegebenen Ausdruck der Potentialfunction differentiirt 76 + +§ 31. Verhalten der Differentialcoefficienten zweiter Ordnung der Potentialfunction 79 + +§ 32. Betrachtung einer gleichförmig mit Agens bedeckten Kugelfläche 81 + +§ 33. Betrachtung einer beliebig gekrümmten Fläche, in welcher die +Dichtigkeit des Agens nicht constant zu sein braucht 83 + +§ 34. Verhalten der Grösse E 86 + +§ 35. Verhalten der Grössen F und G 87 + +§ 36. Specieller Fall, wo an der betreffenden Stelle die Krümmung der +Fläche unendlich gross ist, oder die Dichtichkeit[**Dichtigkeit, s. §33] sich unendlich +schnell ändert 94 + +§ 37. Potentialfunction einer gleichförmig mit Agens bedeckten geraden +Linie 96 + +§ 38. Beweis der characteristischen Gleichungen für eine gekrümmte und +ungleichförmig mit Agens bedeckte Linie 98 + +§ 39. Characteristische Gleichungen für eine in einem Puncte concentrirt +gedachte Menge des Agens 102 +%% -----File: 013.png---Folio IX------- + +Seite + +§ 40. Satz von \Person{Green} 103 + +§ 41. Erweiterung der vorstehenden Gleichungen 107 + +§ 42. Satz über den nach der Normale einer geschlossenen Fläche genommenen +Differentialcoefficienten der Potentialfunction 113 + +§ 43. Bestimmung der Potentialfunction eines durch eine Fläche von dem +betreffenden Raume getrennten Agens 114 + +§ 44. Betrachtung des Falles, wo nur die Potentialfunction selbst in der +Fläche gegeben ist 117 + +§ 45. \Person{Green's} Nachweis von der Existenz der Function $u$ 119 + +§ 46. Beweis einer Verallgemeinerung des vorstehenden Satzes von +\Person{Dirichlet} 121 + +§ 47. Flächenbelegung, deren Potentialfunction in der Fläche selbst vorgeschriebene +Werthe hat 125 + +§ 48. Ersetzung des durch einen Raum verbreiteten Agens durch Agens, +welches sich nur auf der Grenzfläche des Raumes befindet 126 + +§ 49. Bestimmung einer Function V, welche die Gleichung $\Delta V = -4\pi\epsilon k$ +erfüllt 127 + +§ 50. Ausnahmestellen und deren Absonderung 129 + +§ 51. Bestimmung der Function $V$ unter Berücksichtigung der Absonderungsflächen 131 + + +II. Das Potential. + +§ 52. Ausgangspuncte für die Auseinandersetzung 137 + +§ 53. Begriff der virtuellen Bewegungen und Unterscheidung zweier +Fälle 137 + +§ 55[**54]. Begriff der virtuellen Momente und Ausdruck des betreffenden +Satzes 139 + +§ 55. Ausdruck desselben Satzes unter Anwendung des Begriffes der +Arbeit 141 + +§ 56. Das \Person{D'Alembert}'sche Princip 142 + +§ 57. Satz von der Aequivalenz von lebendiger Kraft und Arbeit, und +Bedingung, welche für seine Gültigkeit erfüllt sein muss 145 + +§ 58. Unterschied in Bezug auf die Ausführbarkeit des die Arbeit darstellenden +Integrals und Einführung des Ergals 149 + +§ 59. Veränderter Ausdruck der Gleichgewichtsbedingung 151 + +§ 60. Die Energie 152 + +§ 61. Ein Fall, in welchem die Kräfte ein Ergal haben 153 + +§ 62. Ein anderer Fall, in welchem die Kräfte ein Ergal haben 155 + +§ 63. Potential eines entweder in einzelnen Puncten concentrirten oder +durch einen Raum stetig verbreiteten Agens auf ein anderes 158 +%% -----File: 014.png---Folio X------- + +Seite + +§ 64. Potential eines Systemes von Puncten, welche mit Agens versehen +sind, oder eines durch einen Raum stetig verbreiteten Agens auf +sich selbst 160 + +§ 65. Anwendung der Potentiale zur Bestimmung der Arbeit 164 + + +Zusatz I. + +Ableitung der in § 17 erwähnten Form der Potentialfunction eines +homogenen Körpers 166 + + +Zusatz II. + +Beweis des in § 29 angeführten Satzes 175 + +\fi %% End of commented material %% +%% -----File: 015.png---Folio 1------- +\mainmatter +\pagestyle{fancy} + + +\Chapter{I. Die Potentialfunction.} + +\Section{1.}{Ausgangspunct der Betrachtungen.} + +Um die Bedeutung der Potentialfunction und den Grund ihrer +Einführung in die Mechanik und mathematische Physik klar zu +erkennen, wird es zweckmässig sein, ein Wenig zurückzugreifen +und zuerst eine allgemeinere Grösse zu betrachten. Bei der Behandlung +der Kräfte, welche ein beweglicher Punct erleiden kann, +und der von ihnen ausgeübten Wirkungen stellt es sich nämlich +heraus, dass bei einer grossen und wichtigen Classe von Kräften +die sämmtlichen zu ihrer Bestimmung nothwendigen Grössen sich +in einfacher Weise aus einer und derselben Function ableiten lassen. +Wenn wir diese Function zunächst in möglichster Allgemeinheit +betrachten und sie dann durch besondere Annahmen über die Kräfte +specialisiren, so werden wir auf naturgemässem Wege von selbst zu +dem Begriffe der Potentialfunction gelangen. + + +\Section{2.}{Bedingungen, welche als erfüllt vorauszusetzen sind.} + +Es sei ein beweglicher Punct~$p$ im Raume mit den Coordinaten +$x$,~$y$ und~$z$ gegeben, auf welchen beliebige Kräfte wirken, +die wir uns in eine Gesammtkraft~$P$ zusammengesetzt denken wollen. +Diese Kraft wird, abgesehen davon, dass sie an einer bestimmten +Stelle des Raumes mit der Zeit veränderlich sein kann, auch für +eine bestimmte Zeit im Allgemeinen an verschiedenen Stellen des +Raumes verschieden sein. Um sie zu einer bestimmten Zeit für +alle Stellen des Raumes vollständig zu bestimmen, müssen drei +Functionen der Raumcoordinaten gegeben sein, eine für die Grösse +der Kraft und zwei für ihre Richtung. Denken wir uns die Gesammtkraft~$P$ +%% -----File: 016.png---Folio 2------- +in drei nach den Coordinatenrichtungen wirkende +Componenten $X$,~$Y$ und~$Z$ zerlegt, so können wir auch sagen: zur +vollständigen Bestimmung der Kraft müssen die drei Componenten +als Functionen der Raumcoordinaten bekannt sein. + +Diese drei Functionen können, wenn man nur von Kräften im +Allgemeinen spricht, als ganz von einander unabhängig angesehen +werden, indem sich aus jeden drei Componenten eine Kraft zusammensetzen +lässt. Betrachtet man aber die in der Wirklichkeit +vorkommenden Kräfte, so findet man, dass deren Componenten sehr +häufig in einer eigenthümlichen Beziehung zu einander stehen, indem +sie nämlich durch die drei partiellen Differentialcoefficienten +einer und derselben Function der drei Raumcoordinaten dargestellt +werden. Für die Bezeichnung stellt es sich in solchen Fällen, wie +weiter unten ersichtlich werden wird, als zweckmässig heraus, nicht +die Function selbst, sondern ihren negativen Werth durch einen +Buchstaben darzustellen, als welchen wir $U$ wählen wollen. Dann +ist zu setzen: +\[ +\tag{1} +X = -\frac{\partial U}{\partial x};\quad +Y = -\frac{\partial U}{\partial y};\quad +Z = -\frac{\partial U}{\partial z}. +\] + +Damit dieses möglich sei, müssen bekanntlich die Functionen +$X$,~$Y$ und~$Z$ folgende Bedingungsgleichungen erfüllen: +\[ +\tag{2} +\frac{\partial X}{\partial y} = \frac{\partial Y}{\partial x};\quad +\frac{\partial Y}{\partial z} = \frac{\partial Z}{\partial y};\quad +\frac{\partial Z}{\partial x} = \frac{\partial X}{\partial z}. +\] +Demnach bilden die Functionen dieser Art unter allen mathematisch +möglichen Functionen nur einen sehr speciellen Fall. Dessenungeachtet +ist dieser Fall bei der Betrachtung der Naturerscheinungen +von der grössten Wichtigkeit, weil er, wie wir weiter unten +sehen werden, eine Art von Kräften umfasst, welche schon bisher +eine sehr bedeutende Rolle in der Physik spielten, und wahrscheinlich +noch eine viel allgemeinere Bedeutung haben, als früher angenommen +wurde. + + +\Section{3.}{Einfache Bestimmung der auf die Kraft bezüglichen +Grössen durch die Function~$U$.} + +Wenn diese Beziehung zwischen den Componenten der Kraft +stattfindet, so wird dadurch die Betrachtung der Kraft und ihrer +%% -----File: 017.png---Folio 3------- +Wirkungen ausserordentlich erleichtert. Während man sonst drei +einzeln gegebene Functionen in Rechnung zu bringen hat, hat man +es jetzt nur mit \Emphasis{einer} Function zu thun, aus welcher alle auf die +Kraft bezüglichen Grössen auf einfache Weise abgeleitet werden +können. + +Wie man leicht sieht, wird unter Voraussetzung der Gleichungen~(1) +die ganze auf den Punct~$p$ wirkende Kraft~$P$ dargestellt +durch: +\[ +\tag{3} +P = \sqrt{\Big(\frac{\partial U}{\partial x}\Big)^2 + + \Big(\frac{\partial U}{\partial y}\Big)^2 + + \Big(\frac{\partial U}{\partial z}\Big)^2}, +\] +und die Winkel, welche diese Kraft mit den Coordinatenrichtungen +bildet, und deren Cosinus $a$,~$b$ und~$c$ heissen mögen, werden bestimmt +durch die Gleichungen: +\[ +\tag{4} +a = -\frac{\;\dfrac{\partial U}{\partial x}\;}{P};\quad +b = -\frac{\;\dfrac{\partial U}{\partial y}\;}{P};\quad +c = -\frac{\;\dfrac{\partial U}{\partial z}\;}{P}. +\] + +Will man ferner von der Kraft~$P$ die in irgend eine vorgeschriebene +Richtung~$s$ fallende Componente~$S$ haben, so lässt sich +diese ebenfalls sehr einfach ausdrücken. Sei nämlich $\phi$ der Winkel, +welchen die Richtung~$s$ mit der Richtung der Kraft bildet, +so ist: +\[ +S = P \cos \phi, +\] +wofür man, wenn $\alpha$,~$\beta$ und~$\gamma$ die Cosinus der Winkel sind, welche +die Richtung~$s$ mit den Coordinatenrichtungen bildet, schreiben +kann: +\[ +S = P (a\alpha + b\beta + c\gamma). +\] +Die drei Cosinus $a$,~$b$ und~$c$ sind schon durch die Gleichungen~(4) +bestimmt, und die drei anderen Cosinus lassen sich ebenfalls leicht +ausdrücken. Bilden wir nämlich für den in der Richtung~$s$ beweglich +gedachten Punct~$p$ die Differentialcoefficienten $\dfrac{\partial x}{\partial s}$, $\dfrac{\partial y}{\partial s}$, $\dfrac{\partial z}{\partial s}$, +in denen die Zähler die Veränderungen bezeichnen, welche die Coordinaten +des Punctes erleiden, wenn er in der Richtung~$s$ um ein +Wegelement verschoben wird, so können wir setzen: +\[ +\tag{5} +\alpha = \frac{\partial x}{\partial s};\quad +\beta = \frac{\partial y}{\partial s};\quad +\gamma = \frac{\partial z}{\partial s}. +\] +%% -----File: 018.png---Folio 4------- +Durch Einsetzung der in (4)~und~(5) gegebenen Werthe der sechs +Cosinus geht die Gleichung für~$S$ über in: +\[ +S = - \left( \frac{\partial U}{\partial x}·\frac{\partial x}{\partial s} + + \frac{\partial U}{\partial y}·\frac{\partial y}{\partial s} + + \frac{\partial U}{\partial z}·\frac{\partial z}{\partial s} \right), +\] +und in dieser Gleichung lässt sich die ganze rechte Seite durch +den einfachen Differentialcoefficienten~$\dfrac{\partial U}{\partial s}$ ersetzen. Man erhält +also: +\[ +\tag{6} +S = - \frac{\partial U}{\partial s} +\] +\dh\ es gilt für die beliebige Richtung~$s$ eine ebensolche Gleichung, +wie diejenigen, welche unter~(1) für die drei Coordinatenrichtungen +angenommen wurden. + + +\Section{4.}{Geometrische Darstellung mit Hülfe der Niveauflächen. +Benennung der Function~$U$.} + +Die Function~$U$ kann ferner dazu dienen, die Richtung und +Grösse der Kraft an verschiedenen Stellen des Raumes geometrisch +anschaulich darzustellen. + +Schreiben wir: +\[ +\tag{7} +U = A, +\] +worin $A$ irgend eine Constante bedeutet, so ist dieses die Gleichung +einer Fläche. Durch Differentiation dieser Gleichung kommt: +\[ +\frac{\partial U}{\partial x}\, dx + +\frac{\partial U}{\partial y}\, dy + +\frac{\partial U}{\partial z}\, dz = 0. +\] +Hierin sind $dx$,~$dy$ und~$dz$ die Componenten einer kleinen Verschiebung~$ds$, +welche der Punct~$p$, wenn er gezwungen ist, in jener +Fläche zu bleiben, in derselben erleiden kann. Denken wir uns +$dx$,~$dy$,~$dz$ ersetzt durch $\dfrac{\partial x}{\partial s}\, ds$, $\dfrac{\partial y}{\partial s}\, ds$, $\dfrac{\partial \DPtypo{x}{z}}{\partial s}\, ds$, und dividiren +dann die Gleichung durch $P$~und~$ds$, so kommt: +\[ +\tag{8} +\frac{\;\dfrac{\partial U}{\partial x}\;}{P} · \frac{\partial x}{\partial s} + +\frac{\;\dfrac{\partial U}{\partial y}\;}{P} · \frac{\partial y}{\partial s} + +\frac{\;\dfrac{\partial U}{\partial z}\;}{P} · \frac{\partial z}{\partial s} = 0. +\] +Wenn man die Vorzeichen dieser Gleichung umkehrt, so stellen +die beiden Factoren jedes der drei Glieder, aus welchen hier die +%% -----File: 019.png---Folio 5------- +linke Seite besteht, nach den Gleichungen (4)~und~(5) die Cosinus +der Winkel dar, welche die Kraft~$P$ und die Verschiebung~$ds$ mit +einer der Coordinatenrichtungen bilden. Demnach bedeutet dann +die ganze linke Seite den Cosinus des Winkels zwischen der Kraft +und der Verschiebung, und da dieser Cosinus der Gleichung zufolge +Null ist, so ist der Winkel ein rechter. + +Dasselbe gilt für jede Verschiebung, welche der Punct~$p$ von +seiner Anfangslage aus innerhalb der Fläche erleiden kann, und +es folgt daraus, dass die an dieser Stelle wirkende Kraft auf der +Fläche senkrecht ist; und ebenso verhält es sich natürlich auch an +allen anderen Stellen der Fläche. Demnach hat die durch Gleichung~(7) +dargestellte Fläche die Eigenschaft, dass sie für alle in +ihr gelegenen Punkte durch ihre Normalen die Richtungen der +Kraft anzeigt. Sie spielt also in Bezug auf die betrachtete Kraft +dieselbe Rolle, wie die Oberfläche einer ruhenden Flüssigkeit in +Bezug auf die Schwerkraft, und man nennt sie daher eine \Emphasis{Niveaufläche}. + +Fügt man zu der Constanten~$A$ noch eine unendlich kleine +constante Grösse~$\alpha$ hinzu, so stellt die dadurch entstehende neue +Gleichung +\[ +U = A + \alpha +\] +eine zweite Fläche dar, welche der ersten im Allgemeinen unendlich +nahe liegt, und dieselben Eigenschaften hat, wie jene. Bezeichnen +wir den senkrechten Abstand dieser beiden Flächen von einander +an irgend einer Stelle mit~$\epsilon$, so ist der Bruch~$\dfrac{\alpha}{\epsilon}$ offenbar nichts +anderes als der Differentialcoefficient~$\dfrac{\partial U}{\partial n}$, wenn $n$~die an der betrachteten +Stelle auf der ersten Fläche nach der zweiten hin errichtete +Normale bedeutet. Der negative Werth dieses Differentialcoefficienten +stellt die in die Richtung der Normale fallende Componente +der Kraft dar, und da dem Vorigen nach die \Emphasis{ganze} Kraft +auf der Fläche senkrecht ist, so stellt der Bruch~$\dfrac{\alpha}{\epsilon}$, abgesehen vom +Vorzeichen, die an dieser Stelle wirkende ganze Kraft dar, und wir +können daher, wenn wir den absoluten Werth einer Formel durch +Vorsetzung von v.~n.\ (valor numericus) andeuten, setzen: +\[ +\tag{9} +P = \text{v.~n.}~\frac{\alpha}{\epsilon}. +\] +%% -----File: 020.png---Folio 6------- +Ob die Kraft nach der Seite der positiven oder negativen Normale +geht, hängt davon ab, ob die Grösse $\alpha$ negativ oder positiv ist, +indem die Regel gilt, \Emphasis{dass die Kraft nach der Seite geht, +nach welcher $U$ abnimmt}. Was die Grösse der Kraft anbetrifft, +so ist zu bemerken, dass in dem Bruche~$\dfrac{\alpha}{\epsilon}$ nur $\epsilon$ von der Lage +des betrachteten Punctes in der Fläche abhängt, während $\alpha$ constant +ist, und es folgt daher, \Emphasis{dass die Kraft an den verschiedenen Stellen der ersten Fläche dem Abstande der zweiten +Fläche umgekehrt proportional ist}. + +Zugleich sieht man, dass, wenn die Kraft in der Fläche überall +endlich ist, die beiden Flächen sich nicht schneiden können, weil +für die Durchschnittslinie $\epsilon = 0$ und somit $P$ unendlich werden +müsste. + +Denkt man sich nun ein ganzes System solcher Flächen construirt, +von denen jede sich von der vorhergehenden nur dadurch +unterscheidet, dass die Constante um einen, in allen Fällen gleichen, +unendlich kleinen Werth vergrössert ist, so lassen diese Flächen an +jeder Stelle des Raumes durch ihre Richtung und ihren gegenseitigen +Abstand die Richtung und Grösse der Kraft erkennen. + +Für die Function~$U$, welche dem Vorigen nach alle Elemente +zur Bestimmung der Kraft auf eine so einfache Weise liefert, hat +Hamilton den Namen »force function« eingeführt, welcher im Deutschen +als \Emphasis{Kraftfunction} oder \Emphasis{Kräftefunction} gebräuchlich geworden +ist. + +\Section{5.}{Hauptfall, in welchem eine Kraftfunction existirt.} + +Unter den Fällen, in welchen eine Kraftfunction existirt, ist +der wichtigste der, wo die Kraft, welche auf den gegebenen Punct +wirkt, sich zerlegen lässt in \Emphasis{Centralkräfte, \dh\ in anziehende +oder abstossende Kräfte, welche von bestimmten Puncten +des Raumes ausgehen, und um diese herum nach allen +Seiten gleich stark wirken, so dass ihre Stärke nur von +der Entfernung abhängt}. + +Sei $p'$ mit den Coordinaten $x'$,~$y'$ und~$z'$ ein solcher Punct, +und bezeichnen wir den Abstand zwischen $p$~und~$p'$ mit~$r$, indem +wir setzen: +\[ +\tag{10} +r = \sqrt{(x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2}, +\] +%% -----File: 021.png---Folio 7------- +so muss die Stärke der Kraft sich durch eine Function von~$r$ darstellen +lassen, und sie sei mit $f(r)$ bezeichnet, wobei vorausgesetzt +sein soll, dass ein \Emphasis{positiver} Werth dieser Function eine auf Vergrösserung +von~$r$ hinwirkende, also \Emphasis{abstossende} und ein \Emphasis{negativer} +Werth eine \Emphasis{anziehende} Kraft bedeute. Die Richtung der +Kraft ist bestimmt durch die Lage der beiden Puncte zu einander, +und zwar haben die Cosinus der Winkel, welche die positive Kraftrichtung +mit den drei Coordinatenrichtungen bildet, folgende Werthe: +\[ +\frac{x-x'}{r},\quad \frac{y-y'}{r},\quad \frac{z-z'}{r}. +\] + +Hieraus ergeben sich sofort die in die drei Coordinatenrichtungen +fallenden Componenten der Kraft. Beschränken wir uns +zunächst auf die in die $x$-Richtung fallende Componente, so ist +diese: +\[ +X = f(r)\, \frac{x-x'}{r}. +\] +Nun ist aber nach~(10): +\[ +\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x-x'}{r}, +\] +und dadurch geht die vorige Gleichung über in: +\[ +X = f(r)\, \frac{\partial r}{\partial x}. +\] +Wir wollen nun eine neue Function von~$r$ einführen, welche das +negative Integral der vorigen ist, indem wir setzen: +\[ +\tag{11} +F(r) = - \int f(r)\, dr, +\] +woraus folgt: +\[ +\frac{dF(r)}{dr} = -f(r). +\] +Dadurch, dass die Grösse~$r$ von den Coordinaten $x$,~$y$,~$z$ des Punctes~$p$ +abhängt, ist auch $F(r)$ mittelbar eine Function dieser drei +Grössen, und wir können schreiben: +\[ +\frac{\partial F(r)}{\partial x} + = \frac{dF(r)}{dr}·\frac{\partial r}{\partial x} + = - f(r)\, \frac{\partial r}{\partial x}. +\] +%% -----File: 022.png---Folio 8------- +Der letzte Ausdruck unterscheidet sich von dem, welchen wir vorher +für die Componente~$X$ gefunden haben, nur durch das entgegengesetzte +Vorzeichen. Dasselbe, was für diese Componente gilt, +gilt natürlich auch für die beiden anderen, und wir erhalten somit +die Gleichungen: +\[ +\tag{12} +X = - \frac{\partial F(r)}{\partial x};\quad +Y = - \frac{\partial F(r)}{\partial y};\quad +Z = - \frac{\partial F(r)}{\partial z}. +\] + +Man sieht hieraus, dass~$F(r)$, als Function von $x$,~$y$,~$z$ betrachtet, +die Kraftfunction für den vorliegenden Fall ist. + +Dieses Resultat lässt sich sogleich erweitern auf den Fall, wo +gleichzeitig mehrere Puncte auf den gegebenen Punct~$p$ wirken. +Sei $p'_1$ ein zweiter Punct, sein Abstand vom Puncte~$p$ heisse $r_1$ +und die von ihm ausgehende Kraft werde ihrer Stärke nach durch +die Function~$f_1(r_1)$ ausgedrückt; so bilden wir zunächst die +Function: +\[ +F_1(r_1) = -\int f_1(r_1)\, dr_1 +\] +und können dann die nach der $x$-Axe gehende Componente dieser +Kraft durch $- \dfrac{\partial F_1(r_1)}{\partial x}$ darstellen. Dasselbe gilt für einen dritten, +vierten etc.\ Punct, und man erhält daher, wenn eine beliebige Anzahl +von Puncten wirkt, für die nach der $x$-Axe gehende Componente +der Gesammtkraft einen Ausdruck von folgender Form: +\begin{align*} +X &= - \frac{\partial F(r)}{\partial x} + - \frac{\partial F_1(r_1)}{\partial x} + - \frac{\partial F_2(r_2)}{\partial x} - \text{etc.}\\ + &= - \frac{\partial}{\partial x} \left[F(r) + F_1(r_1) + F_2(r_2) + \text{etc.}\right] +\end{align*} +oder wenn man die Summe von Functionen unter ein Summenzeichen +zusammenfasst: +\[ +%[** TN: Many "\sum"s are \textstyle in original, not marking.] +X = - \frac{\partial}{\partial x} \sum F(r). +\] + +Ganz entsprechende Ausdrücke gelten natürlich für die beiden +anderen Componenten, wobei die Summe von Functionen für alle +drei Fälle dieselbe bleibt. Von den in dieser Summe vorkommenden +%% -----File: 023.png---Folio 9------- +Grössen $r$,~$r_1$, $r_2$~etc.\ enthält jede die Coordinaten eines der wirksamen +Puncte, und ausserdem enthalten alle die Coordinaten $x$,~$y$ +und~$z$ des Punctes~$p$, welcher die Wirkung erleidet. Wir können +also, ebenso wie jede einzelne der Functionen, so auch ihre Summe +als eine Function von $x$,~$y$ und~$z$ betrachten, und wollen zur Abkürzung +setzen: +\[ +\tag{13} +U = \sum F(r). +\] +Dann ist: +\[ +\tag{14} +X = -\frac{\partial U}{\partial x};\quad +Y = -\frac{\partial U}{\partial y};\quad +Z = -\frac{\partial U}{\partial z}, +\] +und $U$ ist somit die Kraftfunction. + + +\Section{6.}{Beschränkung auf solche Kräfte, welche dem Quadrate +der Entfernung umgekehrt proportional sind, und +Beziehung der Kräfte auf Agentien.} + +Wir wollen nun unsere Annahmen über die Kraft noch weiter +specialisiren. + +Die Abstossungs- und Anziehungskräfte, von welchen vorher +nur vorausgesetzt wurde, dass sie sich durch irgend welche Functionen +der Entfernungen darstellen lassen, sollen \Emphasis{den Quadraten +der Entfernungen umgekehrt proportional} sein. + +Ferner wollen wir nicht blos von Puncten sprechen, welche +anziehend oder abstossend auf einander wirken, sondern annehmen, +dass sich in diesen Puncten irgend etwas befinde, was die Wirkung +ausübe und erleide. Es kann dieses \zB\ ponderable Masse sein, +welche nach dem gewöhnlichen Gravitationsgesetze anziehend wirkt, +oder Electricität, oder Magnetismus. Da wir über die Natur der +letzteren nichts Zuverlässiges wissen, und es ausserdem zweckmässig +ist, der Darstellung eine solche Allgemeinheit zu geben, dass sie +auch andere noch unbekannte Fälle umfassen kann, wollen wir die +Benennung so wählen, dass nichts Hypothetisches darin liegt, sondern +nur die Fähigkeit eine Wirkung auszuüben, darin angedeutet +ist. Dazu scheint mir das auch sonst gebräuchliche Wort \Emphasis{Agens} +sehr geeignet. Von einem Agens soll nur vorausgesetzt werden, +dass es sich der Quantität nach bestimmen lasse, und dass die +%% -----File: 024.png---Folio 10------- +Kraft, welche eine gewisse Menge eines Agens ausübt, unter sonst +gleichen Umständen der Menge proportional sei. + +Soweit es bis jetzt bekannt ist, üben nur Agentien von \Emphasis{gleicher +Art} eine solche Abstossung oder Anziehung, wie sie den obigen +Gesetzen entspricht, auf einander aus. So wirkt ponderable Masse +auf ponderable Masse, Electricität auf Electricität, Magnetismus auf +Magnetismus, und in solchen Fällen, wo scheinbar ungleichartige +Agentien in derselben Weise auf einander wirken, oder wo über +den eigentlichen Ursprung der Kräfte Zweifel herrschen, bleibt, +nach allem, was bis jetzt bekannt ist, für die mathematische Behandlung +der Sache wenigstens immer noch die Möglichkeit vorhanden, +solche Annahmen über die wirksamen Agentien zu machen, +dass man nur zwischen gleichartigen Agentien Kräfte der genannten +Art als vorhanden zu betrachten braucht. Dessenungeachtet +ist es nicht nothwendig, unsere Formeln von vorn herein auf gleichartige +Agentien zu beschränken, denn diese Beschränkung kann +sehr leicht nachträglich hinzugefügt werden. + +Es seien also irgend zwei Mengen\footnote + {Ich vermeide absichtlich das Wort \Emphasis{Masse}, weil man mit diesem Begriffe + die Vorstellung des Beharrungsvermögens verbindet, und die Grösse des + Beharrungsvermögens als Maass der Masse nimmt, während mit dem Begriffe + eines wirksamen Agens das Beharrungsvermögen nicht nothwendig verbunden + zu sein braucht, und in den Fällen, wo es vorhanden ist, die Einheit des Beharrungsvermögens + eine andere sein kann, als diejenige, nach welcher man + misst, wenn es sich um die Bestimmung der ausgeübten Kraft handelt.} +von auf einander wirkenden +Agentien gegeben, von denen vorläufig angenommen werden +soll, dass sie in bestimmten Puncten $p$~und~$p'$ concentrirt seien. +Die im Puncte~$p$ befindliche Menge, nach irgend einer Einheit gemessen, +heisse~$q$, und die im Puncte~$p'$ befindliche Menge, welche, +wenn sie demselben Agens angehört, natürlich auch nach derselben +Einheit gemessen wird, im anderen Falle aber eine besondere Einheit +hat, heisse~$q'$. Die Kraft, welche diese beiden Mengen auf +einander ausüben, lässt sich den gemachten Annahmen nach darstellen +durch die Formel: +\[ +\tag{15} +f(r) = e\, \frac{q · q'}{r^2}, +\] +worin $e$ eine Grösse ist, die von der Natur der Agentien, und von +den gewählten Einheiten abhängt. Dadurch, dass dieser Coefficient +%% -----File: 025.png---Folio 11------- +positiv oder negativ sein kann, wird der Unterschied zwischen Abstossung +und Anziehung ausgedrückt. Führt man diese Formel in +die zur Bestimmung der Kraftfunction dienende Gleichung~(11) ein, +so kommt: +\[ +\tag{16} +F(r) = -\int e\, \frac{q · q'}{r^2}\, dr = e\, \frac{q · q'}{r}. +\] + +Denken wir uns nun, dass auf die Menge~$q$ nicht blos Eine +sondern mehrere Mengen $q'$,~$q'_1$, $q'_2$~etc.\ wirken, welche unter sich +gleichartig oder ungleichartig sein können, so ist, wenn wir zunächst +der Allgemeinheit wegen das Letztere voraussetzen, und daher +die Coefficienten~$e$ als ungleich betrachten, die gesammte Kraftfunction: +\begin{align*} +U &= q\left(e\, \frac{q'}{r} + e_1\, \frac{q'_1}{r_1} + + e_2\, \frac{q'_2}{r_2} + \text{etc.}\right)\\ +\tag{17} + &= q \sum e\, \frac{q'}{r}. +\end{align*} + +Sind dagegen die wirksamen Mengen unter sich gleichartig, +so hat $e$ für alle denselben Werth und kann daher aus dem +Summenzeichen herausgenommen werden, also: +\[ +\tag{18} +U = qe \sum \frac{q'}{r}. +\] + +Wenn das wirksame Agens nicht, wie bisher angenommen +wurde, in einzelnen Puncten concentrirt ist, sondern einen Raum +stetig ausfüllt, so denken wir es uns in Elemente~$dq'$ zertheilt, und +beziehen den Abstand~$r$ auf jedes Element, oder, strenger ausgedrückt, +auf irgend einen Punct jedes Elementes, wodurch die Summe +in ein Integral übergeht, nämlich: +\[ +\tag{19} +U = qe \int \frac{dq'}{r}. +\] +Dass diese Umwandlung des vorigen Ausdrucks zulässig ist, ohne +dass er dadurch seine Bedeutung als Kraftfunction verliert, ist unmittelbar +klar, solange sich der Punct~$p$ ausserhalb des von dem +wirksamen Agens ausgefüllten Raumes befindet, so dass für kein +Element~$dq'$ der Abstand~$r$ gleich Null oder auch nur mit den +Dimensionen des Elementes vergleichbar wird. In diesem Falle +%% -----File: 026.png---Folio 12------- +kann man sich nämlich jedes Element des Agens, welches ein Raumelement +ausfüllt, in irgend einem Puncte dieses Raumelementes +concentrirt denken, ohne dass dadurch die Wirkung, welche das +Element auf das im Puncte~$p$ concentrirt gedachte Agens ausübt, +merklich verändert wird. Für den anderen Fall, wo $p$ sich innerhalb +jenes Raumes befindet, soll die Gültigkeit des Ausdruckes~(19) +als Kraftfunction weiterhin noch besonders bewiesen werden, und +wir wollen ihn vorläufig auch für diesen Fall als richtig gelten +lassen. + +Der Ausdruck~(19) ist allgemeiner als der Ausdruck~(18), und +umfasst den letzteren, indem die Integration sich auch dann ausführen +lässt, wenn endliche Mengen in einzelnen Puncten concentrirt +sind. + + +\Section{7.}{Annahmen, unter denen die Kraftfunction zur Potentialfunction +wird.} + +Fügen wir nun endlich zu den bisher gemachten Annahmen +noch folgende zwei hinzu: 1)~dass auch das im Puncte~$p$ befindliche +Agens, welches die Wirkung erleidet, von derselben Art sei, +wie das, welches die Wirkung ausübt, und 2)~dass die Menge desselben +nicht beliebig, sondern eine \Emphasis{Einheit} sei, so ist die so vereinfachte +Kraftfunction diejenige, welche wir \Emphasis{Potentialfunction} +nennen. Bezeichnen wir diese zum Unterschiede mit~$V$, und wählen +wir für den im Vorigen mit $e$~bezeichneten Coefficienten in diesem +Falle den Buchstaben~$\epsilon$, so ist, jenachdem das wirksame Agens in +einzelnen Puncten concentrirt oder stetig durch einen Raum verbreitet +ist, zu setzen: +\begin{align*} +\tag{I.} +V &= \epsilon \sum \frac{q'}{r}\\ +\tag{Ia.} +V &= \epsilon \int \frac{dq'}{r}. +\end{align*} + +Wir können demnach den Begriff der Potentialfunction folgendermaassen +definiren: \Emphasis{Die Kraftfunction eines Agens, welches +nach dem umgekehrten Quadrate der Entfernung +anziehend oder abstossend wirkt, bezogen auf eine in +einem Puncte concentrirt gedachte Einheit desselben +Agens, heisst Potentialfunction.} +%% -----File: 027.png---Folio 13------- + +Hieraus folgt, dass die negativen Differentialcoefficienten +\[ +- \frac{\partial V}{\partial x},\quad +- \frac{\partial V}{\partial y},\quad +- \frac{\partial V}{\partial z} +\] +die drei Componenten derjenigen Kraft darstellen, welche das Agens +auf eine im Puncte $x$,~$y$,~$z$ gedachte Einheit desselben Agens ausüben +würde. Befindet sich in diesem Puncte wirklich die Menge~$q$ +des Agens, so sind die Componenten der auf diese ausgeübten +Kraft: +\[ +-q\, \frac{\partial V}{\partial x},\quad +-q\, \frac{\partial V}{\partial y},\quad +-q\, \frac{\partial V}{\partial z}. +\] +Man sieht, dass zwischen diesen drei Grössen und den vorigen der +Unterschied stattfindet, welchen man bei ponderablen Massen mit +den Worten \Emphasis{beschleunigende} und \Emphasis{bewegende} Kraft ausdrückt. + + +\Section{8.}{Messung der Agentien und Festsetzung des +Coefficienten~$\epsilon$.} + +Um mit Hülfe der Gleichungen (I.)~und~(Ia.)\ die Potentialfunction +für die verschiedenen Fälle, auf welche sie Anwendung +findet, berechnen zu können, braucht nur noch angegeben zu werden, +wie bei verschiedenen Agentien die Mengen gemessen werden +müssen, und wie sich die Grösse~$\epsilon$ dabei verhält. + +Bei ponderablen Massen, welche sich nach dem Gravitationsgesetze +anziehen, ist $\epsilon$ negativ, und der numerische Werth von $\epsilon$ +muss so gewählt werden, dass er die Anziehungskraft darstellt, +welche zwei Masseneinheiten in der Einheit der Entfernung auf +einander ausüben. + +Bei der Electricität unterscheidet man bekanntlich zwei Arten, +welche die Eigenschaft haben, dass Mengen derselben Art sich unter +einander abstossen, dagegen Mengen verschiedener Art sich anziehen. +Ob die beiden Electricitäten wirklich als zwei verschiedene +für sich bestehende Agentien zu betrachten sind, oder ob die Erscheinungen +sich auch aus dem Vorhandensein eines einzigen Agens +erklären lassen, ist für unsere jetzigen Untersuchungen gleichgültig. +In ihnen kommt es nur darauf an, die Electricität in solcher Weise +in die Formeln einzuführen, dass dadurch die von ihr ausgeübten +Kräfte richtig dargestellt werden. Die so gebildeten mathematischen +%% -----File: 028.png---Folio 14------- +Ausdrücke behalten ihre Gültigkeit, auch wenn man die Vorstellung +über das Wesen der Electricität ändert. Um alle in der Electrostatik +vorkommenden Kräfte, obwohl sie in manchen Fällen anziehend +und in anderen abstossend sind, doch unter eine gemeinsame +Formel zusammenfassen zu können, in welcher $\epsilon$ immer dasselbe +Vorzeichen behält, hat man den Unterschied des Vorzeichens auf +die Electricitätsmengen selbst übertragen, indem man die Mengen +der einen Electricität als positive und die der anderen als negative +Grössen in Rechnung bringt. Dann wird die Kraft, welche irgend +zwei in zwei Puncten concentrirte Electricitätsmengen $q$~und~$q'$ auf +einander ausüben, durch die Formel: +\[ +\epsilon \,\frac{q · q'}{r^2} +\] +dargestellt, worin $\epsilon$ eine unveränderliche Grösse ist, und zwar eine +\Emphasis{positive} Grösse, weil in dem Falle, wo $q$~und~$q'$ gleiche Vorzeichen +haben, der ganze Ausdruck positiv werden muss, wie es der +Abstossung entspricht. + +Bei dieser Art die Mengen der beiden verschiedenen Electricitäten +in Rechnung zu bringen, kann man die Electricität im Ganzen +ein \Emphasis{abstossendes} Agens nennen, weil bei der Benennung das +Verhalten positiver Mengen maassgebend ist, und die Aenderungen, +welche die Kraft dadurch erleidet, dass eine oder beide Mengen +negativ werden, sich von selbst verstehen. Will man für irgend +welche, theils positive, theils negative Electricitätsmengen die Potentialfunction +bestimmen, so kann man das in der Gleichung~(Ia.)\ +vorkommende Integral über alle gegebenen Electricitätsmengen ausdehnen, +indem man die Elemente~$dq'$ je nach der Art der betreffenden +Electricitätsmengen positiv oder negativ nimmt. Die so erhaltene +Potentialfunction bezieht sich dann auf eine im Puncte~$p$ +gedachte Einheit \Emphasis{positiver} Electricität. + +Bei der Bestimmung \Emphasis{magnetischer} Kräfte kann man ebenfalls, +ohne über die wirkliche Natur des Magnetismus irgend eine +Annahme zu machen, Nordmagnetismus und Südmagnetismus als +zwei Agentien betrachten, die sich in Bezug auf ihre gegenseitigen +Einwirkungen wie die beiden Electricitäten verhalten. Wir bringen +die Mengen des einen, \zB\ des Nordmagnetismus, als positive und +die des anderen als negative Grössen in Rechnung; dann behält $\epsilon$ +einen unveränderlichen Werth, und die Potentialfunction, welche +%% -----File: 029.png---Folio 15------- +wir bekommen, bezieht sich auf eine im Puncte~$p$ gedachte Einheit +von Nordmagnetismus. + +Die Grösse $\epsilon$ ist in diesen Fällen die \Emphasis{Abstossungskraft, +welche zwei positive Einheiten des betreffenden Agens +in der Einheit der Entfernung auf einander ausüben}, was +auch für die ponderable Masse gilt, wenn Anziehungskraft als negative +Abstossungskraft gerechnet wird. Wenn bei einem Agens +die Einheit, welche als Maass dient, nicht im Voraus gegeben ist, +sondern willkürlich gewählt werden kann, so lässt sich dadurch +noch eine Vereinfachung erreichen. Wählt man nämlich als Einheit +des Agens \Emphasis{diejenige Menge, welche auf eine gleich +grosse Menge desselben Agens in der Einheit der Entfernung +die Einheit der Kraft ausübt}, so ist der absolute +Werth von $\epsilon$ \Emphasis{gleich Eins}, und was das Vorzeichen antrifft, so +ist bei ponderabler Masse zu setzen $\epsilon = -1$, dagegen bei Electricität +und Magnetismus $\epsilon = +1$. Wir wollen indessen vorläufig +über die Einheiten der Agentien keine bestimmten Annahmen machen, +und daher das allgemeine Zeichen~$\epsilon$ beibehalten. + + +\Section{9.}{Ueber den Namen Potentialfunction und das bei der +Bestimmung dieser Function angewandte +Vorzeichen.} + +Bevor wir zur weiteren Behandlung unserer Function schreiten, +müssen noch erst ein paar Bemerkungen über den Namen und +das Vorzeichen derselben eingeschaltet werden. + +Der Name \Emphasis{Potentialfunction} ist von \Person{Green} eingeführt. \Person{Gauss}, +welcher später dieselbe Function ebenfalls einer speciellen Betrachtung +unterwarf, nannte sie kürzer \Emphasis{Potential}. Ich habe aber die ältere +Benennung, Potentialfunction, beibehalten, weil das Wort Potential +noch für einen anderen Begriff gebraucht wird, der dem vorigen zwar +verwandt aber nicht gleich ist. Ich glaube, dass diese Unterscheidung +sich im zweiten Abschnitte dieser Schrift, welcher vom Potential +handelt, hinlänglich rechtfertigen wird, und in der That ist sie auch +schon von mehreren hervorragenden Autoren, wie \Person{Betti},\footnote + {Teorica delle forze che agiscono secondo la legge di Newton, Pisa~1865.} +\Person{Riemann},\footnote + {Schwere, Electricität und Magnetismus, nach den Vorlesungen von + \Person{Bernh.\ Riemann}, bearbeitet von \Person{Hattendorff}. Hannover~1876.} +%% -----File: 030.png---Folio 16------- +\Person{Kötteritzsch}\footnote + {Lehrbuch der Electrostatik von \Person{Th.~Kötteritzsch}. Leipzig 1872.} +und \Person{von~Bezold}\footnote + {Physikalische Bedeutung der Potentialfunction, von \Person{W.~von Bezold}. + München 1861, und mehrere Aufsätze in Pogg.\ Ann.} +als sachgemäss anerkannt. + +Was ferner das Vorzeichen der Potentialfunction anbetrifft, +so macht \Person{Gauss} bei der Bildung der letzteren zwischen anziehenden +und abstossenden Agentien keinen Unterschied, indem er in +seinen Ausdruck der Potentialfunction den Factor~$\epsilon$, welcher positiv +oder negativ sein kann, und dadurch jene beiden Fälle unterscheidet, +nicht aufgenommen hat. Dadurch wird es aber nothwendig, +jene Unterscheidung an einer anderen Stelle, nämlich bei der Ableitung +der Kraftcomponenten aus der Potentialfunction zu machen, +indem man nicht in allen Fällen die negativen Differentialcoefficienten +der Potentialfunction als Ausdrücke der Kraftcomponenten betrachten +darf, sondern diese Differentialcoefficienten bald mit dem +negativen, bald mit dem positiven Vorzeichen versehen muss, jenachdem +das wirksame Agens ein abstossendes oder anziehendes ist. +Dieses scheint mir aber nicht zweckmässig zu sein. Da die eigentliche +Bedeutung der Potentialfunction darin liegt, Alles, was zur +Bestimmung der Kraft nöthig ist, auf eine einfache Weise darzustellen, +und sie nur ein specieller Fall der allgemeineren Kraftfunction +ist, so halte ich es für angemessener, den Unterschied, ob +das wirksame Agens ein abstossendes oder anziehendes ist, schon +bei der Bildung der Potentialfunction selbst zu berücksichtigen, so +dass die Ableitung der Kraftcomponenten aus der Potentialfunction +immer in einer und derselben Weise geschehen kann. + +Wird dieses als zweckmässig zugestanden, so bleibt nur noch +die Frage zu entscheiden, ob man es so einrichten soll, dass man, +um die Componenten der Kraft, welche die im Puncte~$p$ gedachte +positive Einheit des Agens erleidet, auszudrücken, nur die einfachen +Differentialcoefficienten oder ihre negativen Werthe anzuwenden +hat. Das erstere ist natürlich einfacher, und ich habe daher in +den beiden ersten Auflagen dieses Buches das Vorzeichen der Potentialfunction +in diesem Sinne gewählt, habe jedoch schon damals +darauf aufmerksam gemacht, dass auch für die andere Wahl des +Vorzeichens gewichtige Gründe sprechen. Seitdem bin ich nun zu +der Ueberzeugung gelangt, dass die letzteren Gründe überwiegen, +besonders wenn man das Princip von der Erhaltung der Energie +%% -----File: 031.png---Folio 17------- +in der für die Anwendung bequemsten Form darstellen will, und +ich habe daher in der dritten und ebenso in der vorliegenden Auflage +schon bei der Kraftfunction und demgemäss auch bei der einen +speciellen Fall derselben bildenden Potentialfunction das Vorzeichen +so gewählt, dass die Kraftcomponenten durch die \Emphasis{mit dem negativen +Vorzeichen versehenen} Differentialcoefficienten dieser +Functionen dargestellt werden. + + +\Section{10.}{Das Potentialniveau.} + +Was weiter oben in §~4 bei Betrachtung der Kraftfunction~$U$ +über die Niveauflächen gesagt ist, gilt natürlich in gleicher Weise +auch für die Potentialfunction~$V$. + +Die Gleichung +\[ +\tag{20} +V = A, +\] +worin $A$ eine Constante bedeutet, ist die Gleichung einer Niveaufläche, +und eine in irgend einem Puncte dieser Fläche gedachte +positive Einheit des Agens erleidet eine Kraft, welche auf der +Fläche senkrecht ist, und zwar ist die Kraft von der Fläche aus +nach der Seite hin gerichtet, nach welcher die Potentialfunction +abnimmt. + +Denkt man sich eine unendliche Menge solcher Flächen construirt, +deren Gleichungen sich nur dadurch von einander unterscheiden, +dass die an der rechten Seite stehende Constante bei +jeder folgenden um einen gewissen unendlich kleinen Werth grösser +ist, als bei der vorhergehenden, dann lässt dieses System von +Flächen an jeder Stelle des Raumes die Kraft, welche eine dort +gedachte positive Einheit des Agens erleiden würde, nach Richtung +und Grösse erkennen. Die Grösse der Kraft ist dem Abstande +je zweier auf einander folgender Flächen umgekehrt proportional. + +Man kann den Werth, welchen die Potentialfunction an irgend +einer Stelle des Raumes hat, und durch welchen diejenige Niveaufläche, +in der diese Stelle sich befindet, bestimmt wird, kurz das +\Emphasis{Potentialniveau} dieser Stelle nennen. + +An verschiedenen Stellen des Raumes sind die Potentialniveaux +%% -----File: 032.png---Folio 18------- +im Allgemeinen verschieden, und die Verschiedenheit kann sich +nicht nur auf den absoluten Werth, sondern auch auf das Vorzeichen +beziehen. Bei Agentien, welche nur anziehend wirken (wie +die ponderable Masse), kommen nur negative Potentialniveaux vor. +Bei solchen Agentien dagegen, welche theils anziehend, theils abstossend +wirken (wie die Electricität), können in verschiedenen +Theilen des Raumes negative und positive Potentialniveaux vorkommen, +und diese Theile des Raumes werden von einander getrennt +durch eine Fläche mit dem Potentialniveau Null. + +Wenn der Punct~$p$, in welchem wir uns die Einheit des +Agens concentrirt denken, sich von der Stelle, wo er sich ursprünglich +befand, nach verschiedenen Richtungen bewegt, so +hängt die Kraft, welche bei dieser Bewegung fördernd oder hemmend +wirkt, davon ab, wie schnell in der betreffenden Richtung +das Potentialniveau sich ändert. Nach Richtungen, in welchen +das Potentialniveau constant bleibt, wirkt keine Kraft, und nach +anderen Richtungen wirken um so stärkere Kräfte, je schneller in +ihnen die Aenderung des Potentialniveaus stattfindet, und zwar ist +die auf irgend eine Richtung bezogene Kraft positiv oder negativ, +jenachdem das Potentialniveau in dieser Richtung abnimmt oder +zunimmt. + + +\Section{11.}{Bestimmung der Potentialfunction für den Fall, wenn +der Punct~$p$ sich innerhalb des von dem wirksamen +Agens stetig erfüllten Raumes befindet.} + +In §~6 wurde gesagt, dass es nicht unmittelbar klar sei, ob +die durch Gleichung~(19) bestimmte Function~$U$ auch für den +Fall, \Emphasis{wenn der Punct~$p$ sich innerhalb des von dem wirksamen +Agens stetig erfüllten Raumes befindet}, die Eigenschaft +habe, durch ihre negativen Differentialcoefficienten die +Kraftcomponenten darzustellen, und dasselbe gilt natürlich auch +von der in §~7 betrachteten, durch die Gleichung~(Ia.)\ bestimmten +Function~$V$. Wir wollen daher diesen Fall jetzt näher untersuchen, +wobei wir uns aber, da die beiden Functionen sich in dieser +Beziehung ganz gleich verhalten müssen, auf Eine von ihnen +beschränken können, wozu wir die Potentialfunction~$V$ wählen +wollen. +%% -----File: 033.png---Folio 19------- + +In der unter~(Ia.)\ gegebenen Formel der Potentialfunction: +\[ +\epsilon \int \frac{1}{r}\, dq' +\] +ist die zu integrirende Function~$\dfrac{1}{r}$ für diejenigen Elemente~$dq'$, +welche den betrachteten Punct unmittelbar umgeben, unendlich +gross, weil der Abstand~$r$ für dieselben unendlich klein ist, und +derselbe Umstand findet, wie wir gleich nachher sehen werden, in +noch höherem Grade bei den Formeln statt, welche man erhält, +wenn man die \Emphasis{Kraftcomponenten} entweder direct oder durch +Differentiation der Potentialfunction bestimmen will. Nun ist freilich +daraus, dass die zu integrirende Function für gewisse Elemente +unendlich gross wird, noch nicht zu schliessen, dass auch das Integral +selbst unendlich gross oder unbestimmt werden müsse, denn +es kann sein, dass die Summe derjenigen Elemente, für welche die +zu integrirende Function einen unendlich grossen Werth von einer +gewissen Ordnung annimmt, selbst eine unendlich kleine Grösse von +noch höherer Ordnung ist, so dass der Einfluss dieser Elemente +verschwindet, und das ganze Integral einen bestimmten endlichen +Werth behält. Indessen darf man ein solches Verhalten doch nicht +ohne Weiteres voraussetzen, sondern muss bei jedem derartigen Integrale, +bevor man es zu weiteren Rechnungen anwendet, durch +besondere Betrachtungen darüber entscheiden, ob die Integration in +der Weise ausführbar ist, dass sie einen bestimmten endlichen +Werth liefert. Dazu dient besonders das Verfahren, durch Einführung +anderer Veränderlicher das Integral so umzuformen, dass +die nun zu integrirende Function für alle Elemente dieser neuen +Veränderlichen endlich bleibt, wodurch dann die bestimmte Ausführbarkeit +der Integration ausser Zweifel gesetzt ist. + +Dieses Verfahren wollen wir zunächst auf die Potentialfunction, +und dann auf die Kraftcomponenten und die Differentialcoefficienten +der Potentialfunction anwenden. + +Wir wollen dabei der Kürze wegen den von dem Agens stetig +erfüllten Raum einen \Emphasis{Körper} nennen, wobei wir aber unter dem +Inhalte des Körpers nur dasjenige Agens verstehen, für welches +wir die Potentialfunction bestimmen wollen, und alles, was sonst +noch in dem Körper sein mag, unberücksichtigt lassen. Sei $k'$ die +\Emphasis{Dichtigkeit} des Körpers bei dem Puncte $x'$,~$y'$,~$z'$, mit der Bedeutung, +%% -----File: 034.png---Folio 20------- +dass, wenn $d\tau$~ein Raumelement vorstellt und~$dq'$ die +Menge des darin enthaltenen wirksamen Agens ist, man hat: +\[ +\tag{21} +dq' = k'\, d\tau, +\] +wobei wir annehmen wollen, dass die Grösse~$k'$, welche eine Function +von $x'$,~$y'$,~$z'$ ist, nirgends unendlich gross werde. Dadurch +geht der unter~(Ia.)\ gegebene Ausdruck der Potentialfunction +über in: +\[ +\tag{22} +V = \epsilon \int \frac{k'}{r}\, d\tau. +\] + +Um für das Raumelement einen für unsern Zweck passenden +Ausdruck zu gewinnen, wollen wir folgende räumliche Bestimmungsweise +einführen. Wir theilen zunächst den Raum in unendliche +schmale Pyramiden ein, welche ihre Spitzen sämmtlich in dem +Puncte~$p$ haben. Denken wir uns um $p$ als Mittelpunkt eine +Kugelfläche mit der Längeneinheit als Radius beschrieben, so schneidet +jede Elementarpyramide aus derselben ein Flächenelement aus, +welches $d\sigma$ heissen möge. Die Grösse dieses Flächenelementes bestimmt +die Grösse des körperlichen Winkels, welchen die Elementarpyramide +an ihrer Spitze bildet, und wir wollen daher dieses mit +$d\sigma$ bezeichnete Element kurz \Emphasis{das Element des körperlichen +Winkels} nennen. Die dabei geltende Einheit ergiebt sich daraus, +dass der ganze Winkelraum um den Punct gleich $4\pi$ zu setzen ist, +indem der Flächeninhalt einer mit der Längeneinheit als Radius +geschlagenen Kugelfläche bekanntlich durch $4\pi$ dargestellt wird. + +Betrachten wir nun in einer Elementarpyramide ein unendlich +kurzes Stück, welches zwischen zwei um $p$ geschlagenen Kugelflächen +mit den Radien $r$~und~$r+dr$ liegt, so können wir dieses +Stück als das Raumelement~$d\tau$ annehmen. Da dasselbe als kleines +Prisma mit der Grundfläche~$r^2\, d\sigma$ und der Höhe~$dr$ anzusehen +ist, so kommt: +\[ +\tag{23} +d\tau = r^2\, dr\, d\sigma. +\] +Demnach ist: +\[ +\tag{24} +dq' = k' r^2\, dr\, d\sigma, +\] +und dadurch geht der obige Ausdruck von~$V$ über in: +\[ +\tag{25} +V = \epsilon \iint k' r\, dr\, d\sigma. +\] +%% -----File: 035.png---Folio 21------- + +Hierin ist die zu integrirende Function~$k'r$ für die ersten Elemente~$dr$ +nicht nur nicht unendlich gross, sondern im Gegentheil +unendlich klein, und die oben erwähnte Schwierigkeit fällt somit +fort, indem man ohne Weiteres sieht, dass das Integral einen bestimmten +endlichen Werth haben muss. + + +\Section{12.}{Bestimmung der Potentialfunction einer Kugelschicht, +in welcher die Dichtigkeit eine Function +des Radius ist.} + +Ich glaube, dass es zweckmässig sein wird, für einen speciellen +Fall die Bestimmung der Potentialfunction wirklich auszuführen, +weil die im Folgenden zu behandelnden Sätze durch Anwendung +auf einen concreten Fall besonders anschaulich werden. Dazu ist +besonders der Fall geeignet, wo der wirksame Körper eine Kugelschicht +ist, in welcher die Dichtigkeit innerhalb jeder concentrischen +Kugelfläche constant ist, aber von einer solchen Kugelfläche zur +anderen variiren kann. Für eine Kugelschicht dieser Art hat nämlich +die Potentialfunction eine sehr einfache Gestalt, und ausserdem +ist auch die Kenntniss dieses Falles für manche andere Betrachtungen +nützlich. + +Es sei also ein Raum gegeben, welcher zwischen zwei concentrischen +Kugelflächen mit den Radien $a$~und~$A$ liegt, und von dem +wirksamen Agens in der Weise erfüllt ist, dass die Dichtigkeit~$k'$ +nur eine Function des Radius ist. + +Wir gehen zur Bestimmung der Potentialfunction von der +Gleichung~(22) aus, nämlich: +\[ +V = \epsilon \int \frac{k'}{r}\, d\tau. +\] +Um das hierin vorkommende Integral zu berechnen, wollen wir +Polarcoordinaten um den Mittelpunkt der Kugelschicht einführen. +Die vom Mittelpuncte aus durch den Punct~$p$ gezogene Gerade +möge die Axe des Systems sein. Denken wir uns nun vom Mittelpuncte +aus nach dem Puncte der Schicht, wo sich das Raumelement~$d\tau$ +befindet, einen Leitstrahl gezogen, so soll die Länge dieses +Leitstrahles mit~$\rho$, der Winkel, welchen der Leitstrahl mit der +Axe bildet, mit~$\theta$, und endlich der Winkel, welchen die durch die +Axe und den Leitstrahl gelegte Ebene mit irgend einer durch die +Axe gehenden festen Ebene bildet, mit~$\phi$ bezeichnet werden. Führen +%% -----File: 036.png---Folio 22------- +wir dann noch für den Abstand des in der Axe liegenden Punctes~$p$ +vom Mittelpuncte den Buchstaben~$l$ ein, so erhalten wir für die +Grösse~$r$, die Entfernung des Raumelementes~$d\tau$ vom Puncte~$p$, +den Ausdruck: +\[ +r = \sqrt{\rho^2 + l^2 - 2\rho l \cos \theta}, +\] +und können zugleich für das Raumelement~$d\tau$ die bekannte Formel: +\[ +d\tau = \rho^2 \sin \theta\, d\rho\, d\theta\, d\phi +\] +anwenden. Dadurch geht die obige Gleichung über in: +\[ +\tag{26} +V = \epsilon \iiint \frac{k'\rho^2 \sin \theta}{\sqrt{\rho^2 + l^2 - 2\rho l \cos\theta}}\, d\rho\, d\theta\, d\phi, +\] +worin die Integration nach~$\phi$ von $0$ bis~$2\pi$, nach~$\theta$ von $0$ bis~$\pi$ +und nach~$\rho$ von $a$ bis~$A$ auszuführen ist. + +Die Integrationen nach $\phi$~und~$\theta$ lassen sich sofort ausführen +und geben: +\[ +\tag{27} +V = \frac{2\pi\epsilon}{l} \int_a^A + k'\rho(\sqrt{\rho^2 + l^2 + 2\rho l} + - \sqrt{\rho^2 + l^2 - 2\rho l})\, d\rho. +\] +Die hierin unter den beiden Wurzelzeichen befindlichen Ausdrücke +sind vollständige Quadrate, und die Quadratwurzeln lassen sich daher +ausziehen; indessen ist dabei noch eine besondere Bemerkung +zu machen. Jede der beiden Quadratwurzeln kann, an sich genommen, +sowohl positiv als negativ sein; im vorliegenden Falle +aber, wo die Quadratwurzeln specielle Werthe der Entfernung~$r$ +sind, welche eine absolute Grösse ist, dürfen wir von den beiden +Werthen jeder Wurzel nur den positiven anwenden. Wir haben +also zu setzen: +\begin{align*} +\sqrt{\rho^2 + l^2 + 2\rho l} &= \rho + l \\ +\sqrt{\rho^2 + l^2 - 2\rho l} &= \rho - l,\ \text{wenn $\rho > l$} \\ +&= l-\rho,\ \text{wenn $\rho < l$}. +\end{align*} +Hierdurch nimmt die unter dem Integralzeichen stehende Differenz +der beiden Wurzeln folgende zwei verschiedene Formen an. Wenn +$\rho > l$, so ist: +\[ +\tag{28} +\sqrt{\rho^2 + l^2 + 2\rho l} - \sqrt{\rho^2 + l^2 - 2\rho l} + = \rho + l - (\rho-l) = 2 l. +\] +%% -----File: 037.png---Folio 23------- +Wenn $\rho < l$, so ist: +\[ +\tag{28a.} +\sqrt{\rho^2 + l^2 + 2\rho l} - \sqrt{\rho^2 + l^2 - 2\rho l} + = \rho + l - (l-\rho) = 2\rho. +\] + +Wegen dieser Verschiedenheit des zu integrirenden Ausdruckes +müssen wir nun in Bezug auf die Lage des Punctes~$p$ drei Fälle +unterscheiden. + + +\Subsection{1}{Der Punct~$p$ liege innerhalb des Hohlraumes der +Kugelschicht.} + +In diesem Falle ist $l < a$, und somit müssen alle bei der Integration +vorkommenden Werthe von~$\rho$ grösser als~$l$ sein, woraus +folgt, dass von den beiden Gleichungen (28)~und~(28a.)\ die erstere +anzuwenden ist. Dadurch nimmt der Ausdruck der Potentialfunction, +welche wir für diesen Fall mit~$V_i$ bezeichnen wollen, folgende +Form an: +\[ +V_i = \frac{2 \pi \epsilon}{l} \int_a^A k' \rho · 2 l\, d\rho +\] +oder: +\[ +\tag{29} +V_i = 4 \pi \epsilon \int_a^A k' \rho\, d\rho. +\] +Dieser Ausdruck ist von $l$ unabhängig, und es folgt daraus, dass +innerhalb des Hohlraumes die Potentialfunction constant ist. Die +Kraft, welche das in der Kugelschicht befindliche Agens auf eine +irgend wo im Hohlraume gedachte Menge des Agens ausüben würde, +muss also Null sein. + +Nimmt man speciell an, die Dichtigkeit~$k'$ sei constant und +somit die Kugelschicht homogen, so kann man auch die Integration +nach~$\rho$ ausführen und erhält: +\[ +\tag{30} +V_i = 2 \pi \epsilon k'(A^2 - a^2). +\] + +\Subsection{2}{Der Punct~$p$ liege ausserhalb der Kugelschicht.} + +In diesem Falle ist $l > A$, und somit können nur solche +Werthe von~$\rho$ bei der Integration vorkommen, die kleiner als $l$ +sind, und man hat daher die Gleichung~(28a.)\ anzuwenden. Die +Potentialfunction, welche für diesen Fall mit~$V_e$ bezeichnet werden +möge, nimmt also folgende Form an: +\[ +V_e = \frac{2 \pi \epsilon}{l} \int_a^A k' \rho · 2 \rho\, d\rho + = \frac{4 \pi \epsilon}{l} \int_a^A k' \rho^2\, d\rho. +\] +%% -----File: 038.png---Folio 24------- +Schreiben wir diesen Ausdruck in der Gestalt +\[ +V_e = \frac{\epsilon}{l} \int_a^A k' · 4 \pi \rho^2\, d\rho, +\] +so stellt das Product $4 \pi \rho^2\, d\rho$ das Volumen einer unendlich dünnen +Kugelschicht zwischen zwei Kugelflächen mit den Radien $\rho$~und~$\rho + d\rho$ +dar, und das Product $k' · 4 \pi \rho^2\, d\rho$ bedeutet die in dieser +unendlich dünnen Kugelschicht enthaltene Menge des Agens. Demnach +ist die Grösse, welche man durch die Integration erhält, nichts +weiter, als die in der ganzen gegebenen Kugelschicht enthaltene +Menge des Agens. Bezeichnen wir diese Menge mit~$Q$, so lautet +die Gleichung: +\[ +\tag{31} +V_e = \epsilon \frac{Q}{l}. +\] + +Da $l$ der Abstand des Punctes~$p$ vom Mittelpuncte der Kugelschicht +ist, so sieht man, dass für jeden im äusseren Raume gelegenen +Punct die Potentialfunction denselben Werth hat, und demnach +auch die Kraft, welche die Kugelschicht auf eine in dem +Puncte gedachte Menge des Agens ausübt, in derselben Weise +stattfindet, wie wenn die ganze in der Kugelschicht enthaltene +Menge des Agens im Mittelpuncte concentrirt wäre. + +Für den speciellen Fall, wo die Dichtigkeit~$k'$ constant ist, +kann man die vorige Gleichung auch so schreiben: +\[ +\tag{32} +V_e = \frac{4 \pi}{3} \epsilon k'\, \frac{A^3 - a^3}{l}. +\] + +\Subsection{3}{Der Punct~$p$ liege in der Kugelschicht selbst.} + +In diesem Falle liegt der Werth von $l$ zwischen $a$~und~$A$, +und demnach sind die bei der Integration vorkommenden Werthe +von~$\rho$ zum Theil kleiner, zum Theil grösser als~$l$. Wir müssen +daher das in der Gleichung~(27) vorkommende Integral in zwei +Integrale zerlegen. Das erste ist von $a$ bis~$l$ zu nehmen, und in +ihm ist die Gleichung~(28a.)\ anzuwenden; das zweite ist von $l$ bis~$A$ +zu nehmen, und in ihm ist die Gleichung~(28) anzuwenden. Es +kommt also, wenn wir die Potentialfunction für diesen Fall mit~$V_m$ +bezeichnen: +%% -----File: 039.png---Folio 25------- +\begin{align*} +V_m &= \frac{2 \pi \epsilon}{l} \left( \int_a^l k' \rho · 2 \rho\, d\rho + + \int_l^A k' \rho · 2 l\, d\rho \right)\\ +\intertext{oder:} +\tag{33} +V_m &= 4 \pi \epsilon + \left( \frac{1}{l} \int_a^l k' \rho^2\, d\rho + \int_l^A k' \rho\, d\rho \right). +\end{align*} + +Für den Fall, wo $k'$~constant ist, also durchweg den beim +Puncte~$p$ geltenden Werth~$k$ hat, lassen sich die Integrationen +ausführen und man erhält: +\[ +\tag{34} +V_m = 2 \pi \epsilon k + \left(A^2 - \frac{1}{3}\, l^2 - \frac{2}{3}\, \frac{a^3}{l}\right). +\] + +In den vorstehenden Gleichungen können die Radien $a$~und~$A$ +der inneren und äusseren Grenzfläche der Kugelschicht beliebige +Werthe haben, und es mögen in dieser Beziehung noch zwei specielle +Fälle besonders hervorgehoben werden. + +Wenn man es, statt mit einer Kugelschicht, mit einer Vollkugel +zu thun hat, so braucht man nur den Radius~$a$ der inneren +Grenzfläche gleich Null zu setzen, dann findet die mit $V_i$~bezeichnete, +auf den inneren Hohlraum bezügliche Potentialfunction keine +Anwendung, und die Ausdrücke für $V_m$ und~$V_e$ vereinfachen sich +in so leicht ersichtlicher Weise, dass es nicht nöthig sein wird, sie +in der vereinfachten Form noch einmal anzuführen. + +Der zweite specielle Fall, welcher besonders für die Electricitätslehre +von Interesse ist, ist der, wenn man die Schicht als +unendlich dünn annimmt, und dabei zugleich die Dichtigkeit~$k'$ als +unendlich gross, so dass die in der Schicht enthaltene Menge des +Agens eine endliche Grösse bleibt. Wir wollen für diesen Fall die +auf eine homogene Kugelschicht bezüglichen Formeln (30)~und~(32) +in folgender Weise schreiben: +\begin{align*} +V_i &= 2 \pi \epsilon k' (A-a)(A+a)\\ +V_e &= \frac{4 \pi \epsilon}{3} k' (A-a) \frac{A^2 + A a + a^2}{l}. +\end{align*} +Nehmen wir nun an, dass die Dicke $A - a$ unendlich abnehme, +und zugleich die Dichtigkeit~$k'$ in demselben Verhältnisse unendlich +zunehme, so dass das Product $k'(A - a)$ eine bestimmte endliche +%% -----File: 040.png---Folio 26------- +Grösse bleibe, welche $h$ heissen möge, so nähern sich beide Ausdrücke +bestimmten Grenzwerthen, welche dieselben sind, die man +erhält, wenn man von vorn herein nur eine einzelne mit dem Agens +bedeckte Kugelfläche betrachtet, und unter $h$ die \Emphasis{Flächendichtigkeit} +versteht, in dem Sinne, dass auf dem Flächenelemente~$d\omega$ +die Menge~$h\, d\omega$ des Agens befindlich ist. Zur Bildung dieser Grenzwerthe +hat man in den Summen $A + a$ und $A^2 + Aa +a^2$ zu +setzen $A = a$, und die Formeln lauten daher: +\[ +\tag{35} +\left\{\begin{aligned} +V_i &= 4 \pi \epsilon h a\\ +V_e &= 4 \pi \epsilon h \frac{a^2}{l}. +\end{aligned} +\right. +\] + +Will man in allen in diesem~§ betrachteten Fällen die Potentialfunction +als Function rechtwinkliger Coordinaten haben, so +braucht man in den gewonnenen Formeln nur für die Grösse~$l$ den +Ausdruck zu setzen, welcher sie in rechtwinkligen Coordinaten darstellt. +Sind nämlich $x_0$,~$y_0$,~$z_0$ die Coordinaten des Mittelpunctes +der Kugelschicht, so hat man zu setzen: +\[ +l = \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2}. +\] + + +\Section{13.}{Bestimmung der Kraftcomponenten für einen im Innern +des wirksamen Körpers liegenden Punct.} + +Wir wollen nun in derselben Weise, wie wir in §~11 die Potentialfunction +behandelt haben, \Emphasis{die Componenten der Kraft}, +welche der Körper auf den Punct~$p$ ausübt, behandeln, und zwar +wollen wir, da die nach verschiedenen Richtungen gehenden Componenten +in gleicher Weise zu behandeln sind, die nach der $x$-Richtung +gehende Componente als Beispiel wählen. + +Die von einem Elemente~$dq'$, dessen Coordinaten $x'$,~$y'$,~$z'$ sind, +und dessen Abstand von $p$ durch $r$ dargestellt wird, auf $p$ ausgeübte +Kraft ist $\epsilon\, \dfrac{dq'}{r^2}$, und die in die $x$-Richtung fallende Componente +dieser Kraft ist $\epsilon\, \dfrac{dq'}{r^2} · \dfrac{x-x'}{r}$, und man erhält daher für die $x$-Componente +der ganzen Kraft den Ausdruck: +\[ +\tag{36} +X = \epsilon \int \frac{x-x'}{r^3}\, dq'. +\] +%% -----File: 041.png---Folio 27------- +Hierin wird für unendliche kleine Werthe von $r$ die zu integrirende +Function sogar ein unendlich Grosses von der \Emphasis{zweiten} +Ordnung; dessenungeachtet genügt auch hier die Einführung der +obigen Differentiale, um diesem Uebelstande auszuweichen. Setzen +wir nämlich für~$dq'$ wieder den in~(24) gegebenen Ausdruck, so +kommt: +\[ +\tag{37} +X = \epsilon \iint k'\, \frac{x - x'}{r}\, dr\, d\sigma. +\] +Da die Länge $x-x'$ stets kleiner oder höchstens ebensogross als $r$ +ist, so bleibt die hier zu integrirende Function $k'\, \dfrac{x-x'}{r}$ für alle +Elemente~$dr$ eine endliche Grösse, und die Integration muss also +einen bestimmten endlichen Werth geben. + +Im vorigen Ausdrucke bedeutet der Bruch $\dfrac{x-x'}{r}$ den negativen +Werth des Cosinus des Winkels, welchen der von $p$ nach dem +Puncte $x'$,~$y'$,~$z'$ hinführende Leitstrahl mit der $x$-Axe bildet. +Nennt man diesen Winkel~$\vartheta$, so kann man schreiben: +\[ +\tag{38} +X = - \epsilon \iint k' \cos \vartheta\, dr\, d\sigma. +\] +In dieser Form ist der Ausdruck auch auf die Kraftcomponenten +nach beliebigen anderen Richtungen anwendbar, wenn man festsetzt, +dass $\vartheta$ den Winkel des veränderlichen Leitstrahles mit derjenigen +Richtung, für welche man die Kraftcomponente bestimmen +will, bedeuten soll. + + +\Section{14.}{Bestimmung der Differentialcoefficienten der Potentialfunction +für einen im Innern des wirksamen Körpers +liegenden Punct.} + +Es fragt sich nun, ob die ebengefundene Formel für die Kraftcomponente~$X$ +mit dem negativen Differentialcoefficienten der Potentialfunction +$- \dfrac{\partial V}{\partial x}$ übereinstimmt. + +Bei dieser Untersuchung entsteht eine neue Schwierigkeit. Wir +haben in §~11 die Potentialfunction in eine Form gebracht, welche +zeigt, dass sie stets einen bestimmten endlichen Werth hat. Diese +%% -----File: 042.png---Folio 28------- +Form ist aber nicht brauchbar, wenn es sich darum handelt, die +Potentialfunction nach den Coordinaten des Punctes~$p$ zu differentiiren, +denn in diesem Falle darf man dem Puncte~$p$ nicht von +vorn herein eine feste Lage zuschreiben, und darf ihn daher auch +nicht zum Mittelpuncte von Polarcoordinaten machen. Man kann +zwar denjenigen Punct, für welchen man den Differentialcoefficienten +kennen will, zum Mittelpuncte der Polarcoordinaten wählen, +muss dann aber die Potentialfunction so bestimmen, dass sie sich +nicht auf diesen Mittelpunct bezieht, sondern auf irgend einen in +seiner Nähe liegenden Punct, für welchen man die Coordinate, nach +der man differentiiren will, noch als veränderlich betrachten kann. +Wenn man einen solchen Ausdruck für die Potentialfunction gewonnen +hat, so kann man ihn differentiiren, und erst nachdem dieses +geschehen ist, darf man in dem dadurch erhaltenen Ausdrucke des +Differentialcoefficienten der Coordinate einen bestimmten Werth beilegen, +welchen man dann für unseren Fall so zu wählen hat, dass +er dem Mittelpuncte der Polarcoordinaten entspricht. + +Es kommt also darauf an, es so einzurichten, dass in dem +Ausdrucke der \Emphasis{Potentialfunction} die zu integrirende Function +für alle Elemente endlich bleibt, auch wenn der Punct~$p$ nicht im +Mittelpuncte der Polarcoordinaten liegt, und dass in dem Ausdrucke +des \Emphasis{Differentialcoefficienten der Potentialfunction} +die zu integrirende Function wenigstens dann für alle Elemente +endlich bleibt, wenn der Punct~$p$ im Mittelpunct der Polarcoordinaten +liegt. + +Demgemäss denken wir uns, wenn wir nach $x$ differentiiren +wollen, durch den im Voraus gegebenen Punct, für welchen wir +den Differentialcoefficienten $\dfrac{\partial V}{\partial x}$ kennen wollen, eine gerade Linie +parallel der $x$-Richtung gezogen, und für einen beliebigen Punct +dieser Geraden wollen wir die Potentialfunction bestimmen. Die +rechtwinkligen Coordinaten jenes im Voraus gegebenen Punctes +seien $x_1$,~$y_1$,~$z_1$ und die Coordinaten des beweglichen Punctes~$p$ +seien $x$,~$y_1$,~$z_1$. Wir nehmen nun jenen ersteren Punct zum Mittelpuncte +von folgendem Systeme von Polarcoordinaten. Die genannte, +mit der $x$-Axe parallele Gerade bilde die Axe dieses Systemes. Die +Länge des vom Mittelpuncte nach dem Elemente~$dq'$ gezogenen +Leitstrahles heisse~$l$, der Winkel, welchen der Leitstrahl mit der +Axe bildet,~$\theta$, und der Winkel, welchen die durch die Axe und +den Leitstrahl gelegte Ebene mit irgend einer anderen durch die +%% -----File: 043.png---Folio 29------- +Axe gehenden festen Ebene bildet,~$\varphi$. Dann ist der Ausdruck des +Raumelementes: +\[ +d\tau = l^2 \sin \vartheta\, dl\, d\vartheta\, d\varphi. +\] +Um den Abstand~$r$ dieses Elementes von dem beweglichen Puncte~$p$ +zu bestimmen, wissen wir, dass $p$ in der Axe liegt, um die Strecke +$x-x_1$ vom Mittelpuncte entfernt, und zwar nach der positiven +oder negativen Seite, je nachdem diese Differenz positiv oder negativ +ist. Daraus folgt: +\begin{align*} +r &= \sqrt{l^2 - 2l(x - x_1) \cos\vartheta + (x - x_1)^2\vphantom{\big|}}\\ + &= \sqrt{l^2 \sin^2 \vartheta + (l \cos \vartheta + x_1 - x)^2}. +\end{align*} +Demnach ist die Potentialfunction: +\[ +\tag{39} +V = \epsilon \iiint + \frac{ k'l^2 \sin \vartheta} + {\sqrt{l^2 \sin^2 \vartheta + (l\cos \vartheta + x_1 - x)^2}}\, dl\, d\vartheta\, d\varphi. +\] +Hierin ist die zu integrirende Function offenbar für alle Werthe +der Veränderlichen $l$,~$\vartheta$ und~$\varphi$ endlich, da der Zähler den Factor +$l \sin \vartheta$ enthält, welcher niemals grösser als der Nenner werden +kann. + +Differentiiren wir diesen Ausdruck nach~$x$, so kommt zunächst: +\[ +\frac{\partial V}{\partial x} + = \epsilon \iiint + \frac{k'l^2 \sin \vartheta (l \cos \vartheta + x_1 - x)} + {[l^2 \sin^2 \vartheta + (l \cos \vartheta + x_1 - x)^2]^{\tfrac{3}{2}}}\, dl\, d\vartheta\, d\varphi, +\] +und wenn wir hierin, dem Obigen gemäss, für $x$ den bestimmten +Werth $x_1$ setzen, welcher dem Mittelpuncte der Polarcoordinaten +entspricht, so erhalten wir: +\[ +\tag{40} +\frac{\partial V}{\partial x} + = \epsilon \iiint k' \sin \vartheta \cos \vartheta\, dl\, d\vartheta\, d\varphi. +\] +Man sieht, dass in dieser Formel wiederum die zu integrirende +Function für alle bei der Integration vorkommenden Elemente +endlich bleibt. Demnach sind die oben gestellten Bedingungen +erfüllt, und die letzte Formel kann als der richtige Ausdruck des +Differentialcoefficienten $\dfrac{\partial V}{\partial x}$ an dem gegebenen Puncte betrachtet +werden. +%% -----File: 044.png---Folio 30------- + +Vergleicht man diesen Ausdruck von $\dfrac{\partial V}{\partial x}$ mit dem in Gleichung~(38) +für $X$ gefundenen, so ist klar, dass das Product +$\sin \vartheta\, d\vartheta\, d\varphi$ das Flächenelement darstellt, welches die durch die +beiden Winkelelemente $d\vartheta$~und~$d\varphi$ bestimmte Elementarpyramide +aus der um den Mittelpunct der Coordinaten beschriebenen Kugelfläche +mit dem Radius~$1$ ausschneidet, und wir können daher dieses +Product in der Gleichung~(40) durch $d\sigma$ ersetzen; ferner können +wir in der Gleichung~(40), in welcher vorausgesetzt ist, dass +der Punct~$p$ im Mittelpuncte der Polarcoordinaten liege, $dr$ statt $dl$ +schreiben. Wenn dann endlich noch die Gleichung~(40) an beiden +Seiten mit $-1$~multiplicirt wird, so wird der in ihr an der rechten +Seite stehende Ausdruck mit dem in~(38) an der rechten Seite +stehenden identisch, und man erhält also: +\[ +X = - \frac{\partial V}{\partial x}. +\] + +Es versteht sich auch hier wieder von selbst, dass ganz ebenso, +wie der Differentialcoefficient nach~$x$, auch die Differentialcoefficienten +nach $y$~und~$z$ oder nach irgend einer beliebigen Richtung~$s$ +sich behandeln lassen, und wir können daher als gewonnenes Resultat +aussprechen: \Emphasis{sowohl ausserhalb als auch innerhalb +des Raumes, welcher von dem wirksamen Agens erfüllt +ist, werden durch die mit dem negativen Vorzeichen versehenen +ersten Differentialcoefficienten der Potentialfunction +die Kraftcomponenten dargestellt}. + + +\Section{15.}{Satz in Bezug auf die zweiten Differentialcoefficienten +der Potentialfunction.} + +Wenden wir uns nun zur Betrachtung der \Emphasis{zweiten} Differentialcoefficienten, +so finden wir wieder eine wichtige Eigenschaft der +Potentialfunction. + +Da nach Gleichung~(10) ist: +\[ +r = \sqrt{(x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2}, +\] +so erhält man, wenn man den Bruch $\dfrac{1}{r}$ zweimal nach derselben +Veränderlichen differentiirt: +%% -----File: 045.png---Folio 31------- +\[ +\tag{41} +\left\{ +\begin{aligned}%[** TN: Explicit vertical space] +\frac{\partial^2\left(\dfrac{1}{r}\right)}{\partial x^2} + &= -\frac{1}{r^3} + 3 \frac{(x-x')^2}{r^5} \\[2ex] +\frac{\partial^2\left(\dfrac{1}{r}\right)}{\partial y^2} + &= -\frac{1}{r^3} + 3 \frac{(y-y')^2}{r^5} \\[2ex] +\frac{\partial^2\left(\dfrac{1}{r}\right)}{\partial z^2} + &= -\frac{1}{r^3} + 3 \frac{(z-z')^2}{r^5} +\end{aligned} +\right. +\] +Durch Addition dieser drei Gleichungen kommt: +\[ +\tag{42} +\frac{\partial^2\left(\dfrac{1}{r}\right)}{\partial x^2} + +\frac{\partial^2\left(\dfrac{1}{r}\right)}{\partial y^2} + +\frac{\partial^2\left(\dfrac{1}{r}\right)}{\partial z^2} = 0. +\] + +Um dieses Resultat auf die Potentialfunction anzuwenden, betrachten +wir die allgemeine in~(Ia.)\ gegebene Form derselben: +\[ +V = \epsilon \int \frac{1}{r}\, dq'. +\] +Für den Fall, dass $r$ für alle vorkommenden~$dq'$ eine endliche +Grösse bleibt, können wir die doppelte \DPtypo{Differentation}{Differentiation} sofort unter +dem Integralzeichen vornehmen. Wir erhalten also für den auf~$x$ +bezüglichen Differentialcoefficienten die Gleichung: +\[ +\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + = \epsilon \int \frac{\partial^2\left(\dfrac{1}{r}\right)}{\partial x^2}\, dq' + = \epsilon \int \left(-\frac{1}{r^3} + 3 \frac{(x-x')^2}{r^5}\right) dq'. +\] +Der unter dem letzten Integralzeichen in Klammer stehende Ausdruck +kann offenbar unter der gemachten Voraussetzung, dass~$r$ +nicht unendlich klein wird, keinen unendlich grossen Werth annehmen, +und die für die bestimmte Ausführbarkeit der Integration +nothwendige Bedingung ist daher ohne Weiteres erfüllt. In entsprechender +Weise erhalten wir für die auf $y$~und~$z$ bezüglichen +Differentialcoefficienten die Gleichungen: +%% -----File: 046.png---Folio 32------- +\begin{align*} +\frac{\partial^2 V}{\partial y^2} + &= \epsilon \int \frac{\partial^2\left(\dfrac{1}{r}\right)}{\partial y^2}\, dq' + = \epsilon \int \left(-\frac{1}{r^3} + 3 \frac{(y-y')^2}{r^5}\right) dq'\\ +\frac{\partial^2 V}{\partial z^2} + &= \epsilon \int \frac{\partial^2\left(\dfrac{1}{r}\right)}{\partial z^2}\, dq' + = \epsilon \int \left(-\frac{1}{r^3} + 3 \frac{(z-z')^2}{r^5}\right) dq'. +\end{align*} + +Wenn wir die in diesen drei Gleichungen vorkommenden Integrale +addiren, so heben sie sich natürlich ebenso auf, wie die +Ausdrücke~(41), und wir bekommen: +\[ +\tag{43} +\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + +\frac{\partial^2 V}{\partial y^2} + +\frac{\partial^2 V}{\partial z^2} = 0. +\] + +Diese Summe der drei zweiten Differentialcoefficienten kommt +in der Potentialtheorie so häufig vor, dass es zweckmässig ist, sie +durch ein kurzes Zeichen darzustellen, und wir wollen dieses, ähnlich +wie \Person{Green}, durch ein vor die Function geschriebenes~$\Delta$ thun,\footnote + {\Person{Green} hat das Zeichen~$\delta V$ gebraucht, da aber der Buchstabe~$\delta$ auch + zur Bezeichnung der Variationen angewandt wird, so ist es zweckmässig, statt + dessen ein anderes Zeichen anzuwenden, wozu $\Delta$ sehr geeignet ist. Noch will + ich bemerken, dass \Person{Betti} in seiner oben citirten werthvollen Schrift die in~(43) + vorkommende Summe nicht durch~$\Delta V$, sondern durch $\Delta^2 V$ bezeichnet.} +so dass die vorige Gleichung in dieser Abkürzung lautet: +\[ +\tag{43a.} +\Delta V = 0. +\] + +Da bei der Bildung dieser Gleichung vorausgesetzt wurde, +dass $r$ für alle Elemente~$dq'$ endlich bleibe, so folgt daraus, dass, +wenn das wirksame Agens einen körperlichen Raum stetig ausfüllt, +die Gleichung nur für den Fall bewiesen ist, \Emphasis{dass der Punct~$p$ +ausserhalb dieses Körpers liegt}, und vorläufig müssen wir +sogar annehmen, dass $p$ in \Emphasis{endlichem} Abstände von der Oberfläche +des Körpers entfernt liege. + + +\Section{16.}{Gestaltung des vorigen Satzes für den Fall, wenn der +betrachtete Punct sich innerhalb des wirksamen +Körpers befindet.} + +Befindet sich $p$ innerhalb des Körpers, so ist für die nächsten +Elemente~$dq'$ der Abstand~$r$ unendlich klein und die in~(41) +%% -----File: 047.png---Folio 33------- +gegebenen zu integrirenden Ausdrücke werden daher unendlich gross. +Man könnte nun vielleicht meinen, dass dieser Umstand auch hier, +wie in den früheren Fällen, weil er sich nur auf eine unendlich +kleine Menge des Agens bezieht, kein wesentliches Hinderniss für +die Anwendbarkeit der Formeln bilde; bei näherer Betrachtung findet +man jedoch, dass die Sache sich in diesem Falle anders verhält, +weil die zu integrirenden Functionen unendliche Grössen von zu +hoher Ordnung werden. + +Bilden wir nämlich den Differentialcoefficienten $\dfrac{\partial^2 V}{\partial x^2}$ in der +vorher angegebenen Weise, und setzen darin für das Element~$dq'$ +den in Gleichung~(24) gegebenen Ausdruck $k'r^2\, dr\, d\sigma$, so kommt: +\[ +\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + = \epsilon \iint \frac{k'}{r}\left(-1 + 3 \frac{(x-x')^2}{r^2}\right) dr\, d\sigma, +\] +und wenn wir hierin noch für $\dfrac{x-x'}{r}$, wie in §~13, schreiben $-\cos\vartheta$, +und dem entsprechend das Element~$d\sigma$ durch $\sin\vartheta\, d\vartheta\, d\varphi$ ersetzen, +so lautet die Formel: +\[ +\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + = \epsilon \iiint \frac{k'}{r}\, (-1 + 3\cos^2\vartheta)\sin\DPtypo{\varphi}{\vartheta}\, dr\, d\vartheta\, d\varphi. +\] + +Man sieht, dass selbst in dieser durch Einführung von Polarcoordinaten +umgestalteten Formel wegen des~$r$, welches im Nenner +geblieben ist, die zu integrirende Function für die ersten Elemente~$dr$ +unendlich gross wird. Auf den ersten Blick könnte es sogar +scheinen, als ob auch das ganze Integral unendlich gross werden +müsste, weil das Integral $\ds\int \frac{dr}{r}$, wenn es von $r = 0$ bis zu einem +endlichen Werthe von $r$ genommen wird, unendlich gross wird. +Wenn man jedoch auch die Integrationen nach den beiden Winkeln +und insbesondere diejenige nach $\vartheta$ berücksichtigt, so findet +man, dass allerdings, wenn diese Integrationen nur auf einen Theil +des körperlichen Winkelraumes um $p$ ausgedehnt werden, im Allgemeinen +unendliche Werthe entstehen, dass aber bei Ausdehnung +auf den ganzen Winkelraum, wobei nach $\vartheta$ von $0$ bis~$\pi$ integrirt +werden muss, das Integral sich in die Gestalt einer algebraischen +Summe bringen lässt, welche unendlich grosse Glieder enthält, die +aber verschiedene Vorzeichen haben, und sich der Form nach gegenseitig +aufheben. Diese Summe ist nicht als unendlich gross zu +%% -----File: 048.png---Folio 34------- +betrachten, aber auf der andern Seite kann man ihr auch keinen +bestimmten endlichen Werth zuschreiben, weil die algebraische +Summe zweier mit entgegengesetzten Vorzeichen versehener unendlicher +Grössen, welche der Form nach gleich sind, nicht ohne +Weiteres gleich Null zu setzen ist, sondern einen unbestimmten +Werth hat. + +Ohne auf das Verhalten derartiger Ausdrücke mit unendlich +werdenden Gliedern hier näher einzugehen, können wir jedenfalls +soviel sagen, dass der obige Ausdruck von $\dfrac{\partial^2 V}{\partial x^2}$ (welcher dadurch +entstanden ist, dass in der unter~(Ia.)\ gegebenen Formel von~$V$, +worin die Integration noch ganz unausgeführt ist, die zweifache +Differentiation unter dem Integralzeichen vorgenommen wurde), zur +Bestimmung des wahren Werthes von $\dfrac{\partial^2 V}{\partial x^2}$ nicht geeignet ist, weil +selbst nach Einführung von Polarcoordinaten die zu integrirende +Function nicht für alle vorkommenden Werthe der Veränderlichen +endlich bleibt. Wir müssen also die Werthe der zweiten Differentialcoefficienten +von~$V$ und ihrer Summe~$\Delta V$ auf andere Weise zu +bestimmen suchen. + +Es wird zweckmässig sein, hier gleich im Voraus anzugeben, +welches Resultat man bei der richtigen Bestimmungsweise jener +Grössen erhält. Sei nämlich $k$ die Dichtigkeit des Agens in dem +betrachteten Puncte~$p$, mit den Coordinaten $x$,~$y$,~$z$, so ist: +\[ +\tag{II.} +\left\{ +\begin{aligned} +&\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2} = -4 \pi \epsilon k\\ +&\Delta V = -4 \pi \epsilon k. +\end{aligned} +\right. +\] + +Diese Gleichung, welche die früher unter (43)~und~(43a.)\ mitgetheilte +Gleichung als speciellen Fall umfasst, indem ausserhalb +des Körpers $k=0$ ist, drückt die zweite Haupteigenschaft der Potentialfunction +aus, nämlich die, \Emphasis{dass man aus der Potentialfunction +eines Agens auch seine Dichtigkeit~$k$ als Function +der Raumcoordinaten ableiten, und somit die Art, +wie das Agens durch den Raum vertheilt ist, bestimmen +kann}. + +Bevor wir dazu übergehen, diesen Satz in voller Allgemeinheit +zu beweisen, möge des leichteren Verständnisses wegen zuerst ein +einfacher specieller Fall betrachtet und für diesen eine oft angewandte +Behandlungsart angeführt werden. +%% -----File: 049.png---Folio 35------- + + +\Section{17.}{Beweis des Satzes für den Fall eines homogenen +Körpers.} + +Der zur vorläufigen Behandlung gewählte specielle Fall ist derjenige, +wo die \Emphasis{Dichtigkeit des Agens in dem ganzen Körper +gleich} oder, mit anderen Worten, \Emphasis{der Körper in Bezug +auf das Agens homogen ist}, und wo ferner \Emphasis{der betrachtete +Punct~$p$ sich in endlicher Entfernung von der Oberfläche +befindet}. + +In diesem Falle ist die Grösse~$k'$ constant und hat den bei $p$ +geltenden Werth~$k$, und man kann daher, nachdem man in der +Gleichung~(Ia.)\ das Mengenelement~$dq'$ durch das Product~$k\, d\tau$ ersetzt +hat, worin $d\tau$ das Raumelement bedeutet, den Coefficienten~$k$ +aus dem Integralzeichen herausnehmen und schreiben: +\[ +\tag{44} +V = \epsilon k \int \frac{1}{r}\, d\tau. +\] + +Man denke sich nun um einen in der Nähe des betrachteten +Punctes~$p$ liegenden Punct eine ganz im Innern des Körpers liegende +Kugelfläche geschlagen, welche den Punct~$p$ umschliesst und +überall in endlicher Entfernung von demselben bleibt, welches +Letztere bei der angenommenen Lage des Punctes~$p$ möglich ist. +Durch diese Kugelfläche wird der gegebene Körper in zwei Theile +getheilt, nämlich in den, welcher innerhalb, und in den, welcher +ausserhalb der Kugelfläche liegt. Demgemäss wollen wir auch das +in der Gleichung~(44) vorkommende Integral in zwei Theile theilen, +welche äusserlich durch die an die Integralzeichen gesetzten Indices +1~und~2 unterschieden werden sollen. Die Gleichung~(44) +geht dann über in: +\[ +\tag{45} +V = \epsilon k \int_1 \frac{1}{r}\, d\tau + \epsilon k \int_2 \frac{1}{r}\, d\tau. +\] +worin das erste Integral sich über den Rauminhalt der Kugel und +das zweite sich über den ausserhalb der Kugel liegenden Theil des +Körpers erstreckt. + +Die erste Integration lässt sich sogleich wirklich ausführen. +Die dazu nöthige Rechnung ist schon oben in §~12, welcher sich +%% -----File: 050.png---Folio 36------- +auf eine von zwei concentrischen Kugelflächen begrenzte Kugelschicht, +(worin als specieller Fall auch die Vollkugel inbegriffen +ist), bezieht, auseinandergesetzt, und aus der dort unter~(34) gegebenen +Gleichung, in welcher für eine Vollkugel $a = 0$ zu setzen +ist, ergiebt sich, wenn der Radius der Kugel mit $A$ und der Abstand +des betrachteten Punctes~$p$ vom Mittelpuncte der Kugel mit +$l$ bezeichnet wird: +\[ +\int_1 \frac{1}{r}\, d\tau = 2\pi \left(A^2 - \frac{1}{3}\, l^2\right). +\] +Nennen wir noch die Coordinaten des Mittelpunctes der Kugel $x_0$, +$y_0$, $z_0$, so ist: +\[ +l^2 = (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2, +\] +wodurch die vorige Gleichung übergeht in: +\[ +\int_1 \frac{1}{r}\, d\tau + = 2\pi \left\{A^2 - \frac{1}{3}\, + \left[(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2\right]\right\}. +\] + +Setzen wir diesen Werth des ersten Integrals in die Gleichung~(45) +ein, so erhalten wir: +{\small% +\[ +\tag{46} +V = 2 \pi \epsilon k + \left\{A^2 - \frac{1}{3}\, + \left[(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2\right]\right\} + + \epsilon k \int_2 \frac{1}{r}\, d\tau. +\]}% + +Diese Gleichung lässt sich nun differentiiren, denn im zweiten +Integrale, in welchem nur endliche Werthe von $r$ vorkommen, kann +man die Differentiation ohne Weiteres unter dem Integralzeichen +vornehmen. Wir erhalten dadurch: +\[ +\tag{47} +\left\{ +\begin{aligned} +\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + &= -\frac{4}{3} \pi \epsilon k + + \epsilon k \int_2 \frac{\partial^2\left(\dfrac{1}{r}\right)}{\partial x^2}\, d\tau\\[2ex] +\frac{\partial^2 V}{\partial y^2} + &= -\frac{4}{3} \pi \epsilon k + + \epsilon k \int_2 \frac{\partial^2\left(\dfrac{1}{r}\right)}{\partial y^2}\, d\tau\\[2ex] +\frac{\partial^2 V}{\partial z^2} + &= -\frac{4}{3} \pi \epsilon k + + \epsilon k \int_2 \frac{\partial^2\left(\dfrac{1}{r}\right)}{\partial z^2}\, d\tau. +\end{aligned} +\right. +\] +%% -----File: 051.png---Folio 37------- + +Addirt man diese drei Gleichungen, so geben die drei noch +unausgeführten Integrale, gemäss der Gleichung~(42), als Summe +Null, und es kommt: +\[ +\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + +\frac{\partial^2 V}{\partial y^2} + +\frac{\partial^2 V}{\partial z^2} = -4\pi\epsilon k\DPtypo{.}{,} +\] +oder: +\[ +\Delta V = -4\pi\epsilon k, +\] +welches die zu beweisende Gleichung ist. + +Eine eigenthümliche Form der Potentialfunction eines homogenen +Körpers, mittelst deren die vorstehende Gleichung sich noch +leichter beweisen lässt, deren Ableitung aber hier den Gang der +Betrachtungen mehr, als zweckmässig ist, unterbrechen würde, wird +noch in einem am Ende dieses Buches anzuschliessenden Zusatze\footnote{Siehe \Emphasis{Zusatz}~I.} +mitgetheilt werden. + + +\Section{18.}{Veränderte Form der Gleichung~(II.) und vorläufige +Beschränkung.} + +Was nun den allgemeinen, auch für nicht homogene Körper +geltenden Beweis anbetrifft, so bietet dieser einige Schwierigkeiten +dar, welche man in verschiedenen Weisen zu heben gesucht hat. +Ich will hier einen Beweis mittheilen, welchen ich zuerst im +Jahre 1858 in \Person{Liouville's} Journal (Ser.~II, T.~III) veröffentlicht +habe, und welcher, wie es mir scheint, in einfachster Weise das +Unendlichwerden von Gliedern unter den Integralzeichen vermeidet. + +Er bezieht sich nicht direct auf die Potentialfunction, sondern +auf die mit $X$,~$Y$,~$Z$ bezeichneten Kraftcomponenten, indem er für +folgende Gleichung gilt: +\[ +\tag{IIa.} +\frac{\partial X}{\partial x} + +\frac{\partial Y}{\partial y} + +\frac{\partial Z}{\partial z} = 4\pi\epsilon k. +\] +Diese Gleichung lässt sich aber mittelst der oben allgemein bewiesenen +Gleichungen +\[ +X = -\frac{\partial V}{\partial x}; \quad +Y = -\frac{\partial V}{\partial y}; \quad +Z = -\frac{\partial V}{\partial z} +\] +leicht auf die Gleichung~(II.) zurückführen. +%% -----File: 052.png---Folio 38------- + +Um es bei dem Beweise nicht von vorn herein mit einem zu +complicirten Falle zu thun zu haben, wollen wir vorläufig annehmen, +der betrachtete Punct~$p$ befinde sich in endlicher Entfernung +von der Oberfläche des gegebenen Körpers, und es komme +in der unmittelbaren Nähe des Punctes auch keine sprungweise +Aenderung der Dichtigkeit~$k$ des Körpers vor. Dann können wir +uns um den Punct eine geschlossene Fläche beschrieben denken, +welche überall um eine endliche Strecke von ihm entfernt ist, und +innerhalb deren nur \Emphasis{stetige} Dichtigkeitsänderungen stattfinden, +und auf den von dieser Fläche eingeschlossenen Theil des Körpers +können wir unsere Betrachtung beschränken, da aus §~15 bekannt +ist, dass der Theil des Körpers, welcher ausserhalb dieser Fläche +liegt, und dessen Elemente sich daher alle in endlicher Entfernung +von $p$ befinden, nichts zu dem Werthe der linken Seite der Gleichung~(IIa.)\ +beitragen kann. + +Der Fall, wo der Punct~$p$ unendlich nahe an der Oberfläche +des gegebenen Körpers oder an einer Stelle, wo die Dichtigkeit +des Körpers sich \DPtypo{sprungsweise}{sprungweise} ändert, gelegen ist, soll weiter unten +einer besonderen Betrachtung unterworfen werden. + + +\Section{19.}{Umgestaltung der Ausdrücke der Kraftcomponenten.} + +Zur Bestimmung der Kraftcomponente~$X$ gilt die unter~(38) +gegebene Gleichung, welche wir, wenn wir die Cosinus der Winkel, +welche der von $p$ ausgehende Leitstrahl~$r$ mit den Coordinatenrichtungen +bildet, von jetzt an durch die einfachen Buchstaben $a$,~$b$ +und~$c$ bezeichnen, so schreiben können: +\[ +\tag{48} +X = -\epsilon \iint k' a\, dr\, d\sigma. +\] +Hierin ist die Integration nach $r$ für den Theil des Leitstrahles +auszuführen, welcher innerhalb des betrachteten Körperstückes liegt. +Da die Gestalt der geschlossenen Fläche, welche dieses Körperstück +einschliesst, und welche wir kurz die Oberfläche des betrachteten +Körpers nennen wollen, beliebig gewählt werden kann, so wollen +wir annehmen, diese Fläche sei so geformt, dass jeder von $p$ ausgehende +Leitstrahl sie nur Einmal treffe. Bezeichnen wir dann +den Werth, welchen $r$ am Durchschnittspuncte hat, mit~$R$, so ist +%% -----File: 053.png---Folio 39------- +die Integration von $0$ bis~$R$ auszuführen. Da ferner der mit $a$ +bezeichnete Cosinus von $r$ unabhängig ist, und nur $k'$ von $r$ abhängt, +so können wir die vorige Gleichung auch so schreiben: +\[ +\tag{49} +X = -\epsilon \int d\sigma\, a \int_0^R k'\, dr. +\] + +Hierin wollen wir nun das auf den körperlichen Winkel bezügliche +Integral in ein auf die Oberfläche des betrachteten Körpers +bezügliches verwandeln. Sei $d\omega$ das Flächenelement, welches +die dem körperlichen Winkel~$d\sigma$ entsprechende Elementarpyramide +aus der Oberfläche ausschneidet, und sei $i$ der Cosinus des Winkels, +welchen die auf diesem Oberflächenelemente nach Aussen hin +errichtete Normale mit einem von $p$ nach dem Elemente gezogenen +und darüber hinaus verlängerten Leitstrahle bildet, so gilt die +Gleichung: +\[ +i\, d\omega = R^2\, d\sigma +\] +oder anders geschrieben: +\[ +\tag{50} +d\sigma = \frac{i}{R^2}\, d\omega. +\] +Durch Einsetzung dieses Werthes von $d\sigma$ geht~(49) über in +\[ +\tag{51} +X = -\epsilon \int d\omega\, a\, \frac{i}{R^2} \int_0^R k'\, dr, +\] +worin die durch das erste Integralzeichen angedeutete Integration +über die ganze Oberfläche des betrachteten Körpers zu nehmen ist. + +Nachdem für das Element des körperlichen Winkels dasjenige +der Oberfläche eingeführt ist, ist es zweckmässig, auch das Integral +$\ds\int k'\, dr$ etwas abzuändern. Dieses Integral bezieht sich auf die +den Punct~$p$ mit dem Oberflächenelement~$d\omega$ verbindende Gerade, +und seiner bisherigen Form liegt die Anschauung zu Grunde, dass +die Gerade von $p$ nach $d\omega$ hin gehe, und in dieser Richtung auch +die Integration auszuführen sei. Da nun aber das Oberflächenelement~$d\omega$ +eine feste Lage hat, während die Lage des Punctes~$p$ +%% -----File: 054.png---Folio 40------- +als veränderlich angesehen werden muss, indem nach seinen Coordinaten +differentiirt werden soll, so ist es für die folgenden Betrachtungen +angemessener, uns die Gerade von $d\omega$ nach $p$ hin +gehend zu denken und in dieser Richtung die Integration auszuführen. +Während wir den Abstand irgend eines auf der Geraden +gewählten Punctes vom Puncte~$p$ mit $r$ bezeichnet haben, wollen +wir den Abstand desselben Punctes von dem anderen Endpuncte der +Geraden, wo $d\omega$ liegt, mit $\rho$ bezeichnen. Dann ist\DPtypo{.}{} +\begin{align*} +r &= R - \rho\\ +dr &= -d\rho. +\end{align*} +Setzen wir demnach in jenem Integrale~$-d\rho$ an die Stelle von~$dr$, +und bedenken zugleich, dass dem Grenzwerthe $r = 0$ der Grenzwerth +$\rho = R$ und dem anderen Grenzwerthe $r = R$ der Grenzwerth +$\rho = 0$ entspricht, so kommt: +\[ +\int_0^R k'\, dr = -\int_R^0 k'\, d\rho = \int_0^R k'\, d\rho. +\] +Durch diese kleine Veränderung nimmt die Gleichung~(51) folgende +für unseren Zweck bequemere Form an: +\[ +\tag{52} +X = -\epsilon \int d\omega\, a\, \frac{i}{R^2} \int_0^R k'\, d\rho. +\] + +Aus dieser für die Componente~$X$ gefundenen Formel können +wir sofort auch diejenigen für die Componenten $Y$~und~$Z$ ableiten. +Da nämlich $a$ die einzige in der Formel vorkommende Grösse ist, +welche auf die $x$-Axe Bezug hat, so brauchen wir für diese nur +die entsprechenden auf die beiden anderen Axen bezüglichen Grössen +$b$~und~$c$, (die Cosinus der Winkel, welche der Leitstrahl mit der +$y$- und $z$-Axe bildet), zu substituiren. Dabei wollen wir zur Abkürzung +noch für das auf $\rho$ bezügliche Integral einen einfachen +Buchstaben einführen, indem wir setzen: +\[ +\tag{53} +H = \int_0^R k'\, d\rho. +\] +%% -----File: 055.png---Folio 41------- +Dann lauten die Ausdrücke für die drei Kraftcomponenten: +\[ +\tag{54} +\left\{ +\begin{aligned} +X &= -\epsilon \int \frac{ai}{R^2}\, H\, d\omega\\ +Y &= -\epsilon \int \frac{bi}{R^2}\, H\, d\omega\\ +Z &= -\epsilon \int \frac{ci}{R^2}\, H\, d\omega. +\end{aligned} +\right. +\] + +In diesen Ausdrücken kann man, da das Oberflächenelement~$d\omega$, +nach welchem integrirt werden soll, von den Coordinaten $x$,~$y$,~$z$ +des Punctes~$p$ ganz unabhängig ist, die Differentiation nach +diesen Grössen unter den Integralzeichen vornehmen, und da die +im Nenner stehende Grösse~$R$ für alle Oberflächenelemente endlich +ist, so ist es schon aus diesem Grunde selbstverständlich, dass die +durch die Differentiation entstehenden Ausdrücke nicht unendlich +gross werden können. + + +\Section{20.}{Beweis der Gleichung (IIa.)\ für homogene Körper.} + +Obwohl es gar keine Schwierigkeit hat, mittelst der eben gewonnenen +Ausdrücke der Kraftcomponenten die Gleichung~(IIa.)\ +sofort für nicht homogene Körper zu beweisen, wollen wir der +leichteren Anschauung wegen zunächst den Beweis für homogene +Körper einschalten, was auch insofern zweckmässig ist, als wir dabei +zu Gleichungen gelangen, welche uns weiterhin nützlich sein +werden. + +Für einen homogenen Körper, in welchem $k'$ constant den beim +Puncte~$p$ stattfindenden Werth~$k$ hat, nimmt die zur Bestimmung +von $H$ dienende Gleichung~(53) folgende einfache Gestalt an: +\[ +\tag{55} +H = k \int_0^R d\rho = kR, +\] +und dadurch gehen die Gleichungen~(54) über in +%% -----File: 056.png---Folio 42------- +\[ +\tag{56} +\left\{ +\begin{aligned} +X &= -\epsilon k \int \frac{ai}{R}\, d\omega\\ +Y &= -\epsilon k \int \frac{bi}{R}\, d\omega\\ +Z &= -\epsilon k \int \frac{ci}{R}\, d\omega. +\end{aligned} +\right. +\] + +Um diese Ausdrücke für die Differentiation nach $x$,~$y$ und~$z$ +geeignet zu machen, wollen wir sie so umformen, dass diese Grössen +nicht implicite, sondern explicite in ihnen vorkommen. Seien $\xi$,~$\eta$,~$\zeta$ +die Coordinaten des Oberflächenelementes~$d\omega$, dann gilt für $R$ die +Gleichung: +\[ +\tag{57} +R = \sqrt{(\xi-x)^2 + (\eta-y)^2 + (\zeta-z)^2} +\] +und die durch $a$,~$b$ und~$c$ bezeichneten Cosinus werden bestimmt +durch die Gleichungen: +\[ +\tag{58} +a = \frac{\xi-x}{R};\quad b = \frac{\eta-y}{R};\quad c = \frac{\zeta-z}{R}. +\] +Führt man ferner für die Cosinus der Winkel, welche die auf dem +Oberflächenelemente~$d\omega$ nach Aussen hin errichtete Normale mit +den Coordinatenaxen bildet, die Zeichen $\alpha$,~$\beta$,~$\gamma$ ein, so wird der +mit $i$ bezeichnete Cosinus bestimmt durch +\[ +\tag{59} +\begin{aligned} +i &= a\alpha + b\beta + c\gamma\\ + &= \frac{(\xi-x)\alpha + (\eta-y)\beta + (\zeta-z)\gamma}{R}. +\end{aligned} +\] +Durch diese Gleichungen geht die erste der Gleichungen~(56) +über in: +\[ +\tag{60} +X = -\epsilon k + \int \frac{(\xi-x)[(\xi-x)\alpha + (\eta-y)\beta + (\zeta-z)\gamma]} + {[(\xi-x)^2 + (\eta-y)^2 + (\zeta-z)^2]^{\tfrac{3}{2}}}\, d\omega. +\] + +Indem man diese Gleichung nach $x$ differentiirt, erhält man +zunächst: +%% -----File: 057.png---Folio 43------- +\[ +\tag{61} +\begin{split} +\frac{\partial X}{\partial x} = \epsilon k \int \left\{ + \frac{(\xi-x)\alpha + (\eta-y)\beta + (\zeta-z)\gamma + (\xi-x)\alpha} + {[(\xi-x)^2 + (\eta-y)^2 + (\zeta-z)^2]^{\tfrac{3}{2}}}\right.\\ +% + -3 \left.\frac{(\xi-x)^2[(\xi-x)\alpha + (\eta-y)\beta + (\zeta-z)\gamma]} + {[(\xi-x)^2 + (\eta-y)^2 + (\zeta-z)^2]^{\tfrac{5}{2}}}\right\}\, d\omega. +\end{split} +\] +Hierin kann man nun wieder die Zeichen $R$,~$a$ und~$i$ einführen, +und wenn man dann auch für die beiden anderen Coordinatenrichtungen +die entsprechenden Gleichungen bildet, so erhält man: +\[ +\tag{62} +\left\{ +\begin{aligned} +\frac{\partial X}{\partial x} + &= \epsilon k \int \frac{a\alpha - (3a^2-1)i}{R^2}\, d\omega\\ +% +\frac{\partial Y}{\partial y} + &= \epsilon k \int \frac{b\beta - (3b^2-1)i}{R^2}\, d\omega\\ +% +\frac{\partial Z}{\partial z} + &= \epsilon k \int \frac{c\gamma - (3c^2-1)i}{R^2}\, d\omega. +\end{aligned} +\right. +\] + +Durch Addition dieser drei Gleichungen unter Berücksichtigung +der Gleichungen +\begin{gather*} +a^2 + b^2 + c^2 = 1\\ +a\alpha + b\beta + c\gamma = i +\end{gather*} +ergiebt sich: +\[ +\tag{63} +\frac{\partial X}{\partial x} + +\frac{\partial Y}{\partial y} + +\frac{\partial Z}{\partial z} = \epsilon k \int \frac{i}{R^2}\, d\omega. +\] +Hierin kann man nun wieder mit Hülfe von~(50) statt des Oberflächenelementes~$d\omega$ +das Element des körperlichen Winkels~$d\sigma$ einführen, +wodurch entsteht: +\[ +\tag{64} +\frac{\partial X}{\partial x} + +\frac{\partial Y}{\partial y} + +\frac{\partial Z}{\partial z} = \epsilon k \int d\sigma. +\] +Die hierin angedeutete Integration lässt sich sofort ausführen und +giebt einfach den ganzen körperlichen Winkelraum um~$p$, also den +Werth~$4\pi$, und wir erhalten somit die zu beweisende Gleichung: +\[ +\frac{\partial X}{\partial x} + +\frac{\partial Y}{\partial y} + +\frac{\partial Z}{\partial z} = 4 \pi \epsilon k. +\] +%% -----File: 058.png---Folio 44------- + + +\Section{21.}{Beweis der Gleichung~(IIa.) für nicht homogene Körper.} + +Wir gehen nun wieder zurück zu den unter~(54) gegebenen +allgemeineren Ausdrücken von $X$,~$Y$ und~$Z$, von denen der erste +lautete: +\[ +X = -\epsilon \int \frac{ai}{R^2}\, H\, d\omega. +\] +Durch Differentiation dieser Gleichung erhält man zunächst: +\[ +\tag{65} +\frac{\partial X}{\partial x} + = -\epsilon \int \left[ \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{ai}{R^2}\right) · H + + \frac{ai}{R^2} · \frac{\partial H}{\partial x}\right] d\omega. +\] +Wendet man nun wieder für $R$,~$a$ und~$i$ die im vorigen §~unter +(57),~(58) und~(59) gegebenen Ausdrücke an, so findet man: +\[ +\frac{ai}{R^2} + = \frac{(\xi-x)[(\xi-x)\alpha + (\eta-y)\beta + (\zeta-z)\gamma]} + {[(\xi-x)^2 + (\eta-y)^2 + (\zeta-z)^2]^2}\DPtypo{}{.} +\] +Differentiirt man diesen Ausdruck nach $x$ und führt dann wieder +die Grössen $R$,~$a$ und~$i$ ein, so kommt: +\[ +\tag{66} +\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{ai}{R^2}\right) + = \frac{-a\alpha + (4a^2-1)i}{R^3}\DPtypo{}{.} +\] +Diesen Werth hat man in~(65) einzusetzen. Bildet man dann +auch noch die entsprechenden Gleichungen für die beiden anderen +Coordinatenrichtungen, so erhält man: +\[ +\tag{67} +\left\{ +\begin{aligned} +\frac{\partial X}{\partial x} + &= \epsilon \int \left[\frac{a\alpha - (4a^2-1)i}{R^3}\, H + - \frac{ai}{R^2} · \frac{\partial H}{\partial x}\right] d\omega\\ +% +\frac{\partial Y}{\partial y} + &= \epsilon \int \left[\frac{b\beta - (4b^2-1)i}{R^3}\, H + - \frac{bi}{R^2} · \frac{\partial H}{\partial y}\right] d\omega\\ +% +\frac{\partial Z}{\partial z} + &= \epsilon \int \left[\frac{c\gamma - (4c^2-1)i}{R^3}\, H + - \frac{ci}{R^2} · \frac{\partial H}{\partial z}\right] d\omega.\\ +\end{aligned} +\right. +\] + +Addirt man diese drei Gleichungen, und bedenkt dabei wieder, +dass man zu setzen hat: +\begin{align*} +a^2 + b^2 + c^2 &= 1\\ +a\alpha + b\beta + c\gamma &= i, +\end{align*} +%% -----File: 059.png---Folio 45------- +so heben sich die Glieder, welche $H$ als Factor haben, gegenseitig +auf, und es bleibt: +\[ +\tag{68} +\frac{\partial X}{\partial x} + +\frac{\partial Y}{\partial y} + +\frac{\partial Z}{\partial z} + = -\epsilon \int + \left( a \frac{\partial H}{\partial x} + + b \frac{\partial H}{\partial y} + + c \frac{\partial H}{\partial z} \right) \frac{i}{R^2}\, d\omega. +\] + +Es kommt nun noch darauf an, die Differentialcoefficienten +von $H$ näher zu betrachten. Da das mit $H$ bezeichnete Integral, +nämlich: +\[ +\int_0^R k'\, d\rho, +\] +sich über eine Gerade erstreckt, welche in dem Oberflächenpuncte +$\xi$,~$\eta$,~$\zeta$ beginnt und in unserem Puncte mit den Coordinaten $x$,~$y$,~$z$ +endet, so können wir es als eine Function der sechs Grössen +$\xi$,~$\eta$,~$\zeta$, $x$,~$y$,~$z$ ansehen. Die drei letzten dieser Grössen können +den obigen Gleichungen gemäss durch folgende Formeln dargestellt +werden: +\begin{align*} +x &= \xi - aR\\ +y &= \eta - bR\\ +z &= \zeta - cR. +\end{align*} +Hierin könnten wir noch eine der drei Grössen $a$,~$b$,~$c$ durch die +beiden übrigen ausdrücken, oder wir könnten alle drei durch zwei +andere Grössen, welche die Richtung der von dem Oberflächenpuncte +nach $p$ gehenden Geraden bestimmen, darstellen; indessen +ist es für unseren gegenwärtigen Zweck bequemer, einfach die drei +Grössen $a$,~$b$,~$c$ beizubehalten. Denken wir uns nun die drei vorigen +Formeln in dem Ausdrucke von H für $x$,~$y$ und~$z$ substituirt, so +erhalten wir einen Ausdruck, welcher die Grössen $\xi$,~$\eta$,~$\zeta$, $a$,~$b$,~$c$, +$R$ enthält. + +Wenn wir nun die Grösse~$H$ nach $x$,~$y$ und~$z$ differentiiren +sollen, so sind dabei die Coordinaten $\xi$,~$\eta$,~$\zeta$ des Oberflächenpunctes +als constant anzusehen, und wir können daher die Differentiationen +in der Weise ausführen, dass wir uns $H$ durch einen +Ausdruck, welcher $a$,~$b$,~$c$ und~$R$ als Veränderliche enthält, dargestellt +denken, und dann diese vier Veränderlichen wiederum als +Functionen von $x$,~$y$,~$z$ betrachten. Auf diese Weise erhalten wir +%% -----File: 060.png---Folio 46------- +\zB\ für den nach $x$ genommenen Differentialcoefficienten folgenden +Ausdruck: +\[ +\frac{\partial H}{\partial x} + = \frac{\partial H}{\partial a} · \frac{\partial a}{\partial x} + + \frac{\partial H}{\partial b} · \frac{\partial b}{\partial x} + + \frac{\partial H}{\partial c} · \frac{\partial c}{\partial x} + + \frac{\partial H}{\partial R} · \frac{\partial R}{\partial x}. +\] +Nun ist in Folge der obigen Werthe von $a$,~$b$,~$c$ und~$R$ zu setzen: +\[ +\frac{\partial a}{\partial x} = \frac{-1+a^2}{R};\quad +\frac{\partial b}{\partial x} = \frac{ab}{R};\quad +\frac{\partial c}{\partial x} = \frac{ac}{R};\quad +\frac{\partial R}{\partial x} = -a, +\] +wodurch die vorige Gleichung übergeht in: +\[ +\frac{\partial H}{\partial x} + = \frac{\partial H}{\partial a} · \frac{-1+a^2}{R} + + \frac{\partial H}{\partial b} · \frac{ab}{R} + + \frac{\partial H}{\partial c} · \frac{ac}{R} + - \frac{\partial H}{\partial R}\, a, +\] +oder anders geordnet: +\[ +\tag{69} +\frac{\partial H}{\partial x} + = \frac{1}{R} \left[-\frac{\partial H}{\partial a} + + a \left(a\, \frac{\partial H}{\partial a} + + b\, \frac{\partial H}{\partial b} + + c\, \frac{\partial H}{\partial c} \right) \right] + - a\, \frac{\partial H}{\partial R}. +\] + +Der in dieser Gleichung am Ende stehende Differentialcoefficient +$\dfrac{\partial H}{\partial R}$ hat eine sehr einfache Bedeutung. Es ist nämlich: +\[ +\tag{70} +\frac{\partial H}{\partial R} = \frac{\partial}{\partial R} \int_0^R k'\, d\rho, +\] +worin $k'$ die Dichtigkeit an derjenigen Stelle des Körpers bezeichnet, +welche in der betrachteten, den Oberflächenpunct $\xi$,~$\eta$,~$\zeta$ mit +dem Punct~$p$ verbindenden Geraden vom ersteren Puncte um die +Strecke~$\rho$ entfernt ist. Die Lage dieser Stelle und dadurch auch +die dort stattfindende Dichtigkeit~$k'$ ist, wenn der Oberflächenpunct +als gegeben vorausgesetzt wird, durch die Grössen $a$,~$b$,~$c$ und~$\rho$ +bestimmt. Da ferner bei der Integration nach $\rho$ die Grössen $a$,~$b$,~$c$, +welche die Richtung der Geraden bestimmen, als constant vorausgesetzt +werden, und nur $\rho$ veränderlich ist, so kann man in dem +vorstehenden Integrale~$k'$ einfach als Function von $\rho$ ansehen. Nun +gilt aber bekanntlich von dem nach der oberen Grenze eines Integrales +genommenen Differentialcoefficienten der durch die folgende +Gleichung ausgedrückte Satz: +\[ +\frac{d}{dR} \int^R f(\rho)\, d\rho = f(R). +\] +%% -----File: 061.png---Folio 47------- +Wenden wir dieses auf unseren Fall an, so ist $f(R)$ der Werth, +welchen die Dichtigkeit~$k'$ an derjenigen Stelle der Geraden hat, +welche um die Strecke~$R$ von der Oberfläche entfernt ist, \dh\ in +unserem Puncte~$p$. Indem wir diesen speciellen Werth von $k'$ einfach +mit $k$ bezeichnen, können wir die vorige Gleichung so schreiben: +\[ +\frac{\partial}{\partial R} \int_0^R k'\, d\rho = k, +\] +und dadurch geht die Gleichung~(70) über in: +\[ +\tag{71} +\frac{\partial H}{\partial R} = k. +\] + +Setzen wir diesen Werth in die Gleichung~(69) ein, und bilden +zugleich die entsprechenden Gleichungen für die beiden anderen +Differentialcoefficienten $\dfrac{\partial H}{\partial y}$ und~$\dfrac{\partial H}{\partial z}$, so kommt: +\[ +\tag{72} +\left\{ +\begin{aligned} +\frac{\partial H}{\partial x} + &= \frac{1}{R}\left[-\frac{\partial H}{\partial a} + + a \left(a\, \frac{\partial H}{\partial a} + + b\, \frac{\partial H}{\partial b} + + c\, \frac{\partial H}{\partial c}\right)\right] - ak\\ +% +\frac{\partial H}{\partial y} + &= \frac{1}{R}\left[-\frac{\partial H}{\partial b} + + b \left(a\, \frac{\partial H}{\partial a} + + b\, \frac{\partial H}{\partial b} + + c\, \frac{\partial H}{\partial c}\right)\right] - bk\\ +% +\frac{\partial H}{\partial z} + &= \frac{1}{R}\left[-\frac{\partial H}{\partial c} + + c \left(a\, \frac{\partial H}{\partial a} + + b\, \frac{\partial H}{\partial b} + + c\, \frac{\partial H}{\partial c}\right)\right] - ck +\end{aligned} +\right. +\] +Multipliciren wir diese Gleichungen, die erste mit~$a$, die zweite mit~$b$ +und die dritte mit~$c$, und addiren sie, so heben sich an der rechten +Seite alle in den eckigen Klammern stehenden Glieder gegenseitig +auf, und die drei übrigen Glieder lassen sich in eines zusammenziehen, +nämlich: +\[ +\tag{73} +a\, \frac{\partial H}{\partial x} + +b\, \frac{\partial H}{\partial y} + +c\, \frac{\partial H}{\partial z} = -k. +\] + +Durch Anwendung dieser Gleichung geht die Gleichung~(68) +über in: +\[ +\frac{\partial X}{\partial x} + +\frac{\partial Y}{\partial y} + +\frac{\partial Z}{\partial z} = \epsilon \int k \frac{i}{R^2}\, d\omega. +\] +%% -----File: 062.png---Folio 48------- +Da $k$ eine Grösse ist, welche sich, wenn man von einem Oberflächenelemente +zu einem anderen übergeht, nicht ändert, welche +also für unsere Integration constant ist, so kann sie aus dem Integralzeichen +herausgenommen werden, also: +\[ +\tag{74} +\frac{\partial X}{\partial x} + +\frac{\partial Y}{\partial y} + +\frac{\partial Z}{\partial z} = \epsilon k \int \frac{i}{R^2}\, d\omega. +\] + +Nun wollen wir wieder statt des Oberflächenelementes~$d\omega$ das +Element des körperlichen Winkels~$d\sigma$ einführen, indem wir abermals +von der in §~19 gegebenen Gleichung~(50), nämlich +\[ +d\sigma = \frac{i}{R^2}\, d\omega, +\] +Gebrauch machen. Dadurch erhalten wir: +\[ +\tag{75} +\frac{\partial X}{\partial x} + +\frac{\partial Y}{\partial y} + +\frac{\partial Z}{\partial z} = \epsilon k \int d\sigma. +\] +Die hierin vorgeschriebene Integration ist über den ganzen körperlichen +Winkelraum auszuführen, und giebt daher~$4\pi$, wodurch die +Gleichung übergeht in: +\[ +\tag{76} +\frac{\partial X}{\partial x} + +\frac{\partial Y}{\partial y} + +\frac{\partial Z}{\partial z} = 4\pi\epsilon k. +\] + +Wir sind somit auch für nicht homogene Körper durch eine +Reihe ganz einfacher und nur auf den Grundprincipien der Differential- +und Integralrechnung beruhender mathematischer Operationen +zu der zu beweisenden Gleichung gelangt. + + +\Section{22.}{Erweiterte Anwendbarkeit der auf homogene Körper +bezüglichen Formeln.} + +Im vorstehenden Beweise, in welchem vorausgesetzt wurde, +dass der Punct~$p$ sich in endlicher Entfernung von der Oberfläche +des gegebenen Körpers befinde, haben wir die Annahme machen können, +der zu betrachtende Körper sei so gestaltet, dass jeder von $p$ +ausgehende Leitstrahl die Oberfläche nur einmal schneide. Wenn +nämlich die Oberfläche des gegebenen Körpers dieser Bedingung +nicht entsprach, so brauchten wir nicht den ganzen Körper zu betrachten, +%% -----File: 063.png---Folio 49------- +sondern konnten uns aus demselben durch eine den Punct~$p$ +in endlicher Entfernung umgebende, der Bedingung entsprechende +Fläche einen kleineren Körper ausgeschnitten denken, und konnten +dann die Betrachtung auf diesen letzteren beschränken, indem für +den ausserhalb dieser Fläche liegenden Theil des gegebenen Körpers +jedenfalls die in~(IIa.)\ vorkommende Summe gleich Null sein muss. + +Wenn wir nun aber auch den speciellen Fall, wo der Punct~$p$ +der Oberfläche unendlich nahe liegt, untersuchen wollen, so müssen +wir dabei wenigstens den dem Puncte~$p$ zunächst liegenden Theil +der Oberfläche des gegebenen Körpers in seiner eigenen Gestalt beibehalten. +Es möge daher, bevor wir zur Untersuchung dieses speciellen +Falles übergehen, der Nachweis geführt werden, dass die in +den vorigen~§§ entwickelten Formeln auch gültig bleiben, wenn +der betrachtete Körper eine beliebige Gestalt hat. Dabei wird sich +zugleich herausstellen, dass die Formeln nicht blos auf einen innerhalb +des Körpers, sondern auch auf einen ausserhalb desselben liegenden +Punct anwendbar sind. + +Der leichteren Anschauung wegen möge auch diese Betrachtung +zunächst für einen \Emphasis{homogenen} Körper angestellt werden. + +Für die Kraftcomponente~$X$ gilt allgemein der unter~(48) gegebene +Ausdruck, welcher sich bei einem homogenen Körper, bei +dem $k'$~constant gleich~$k$ zu setzen ist, in folgender Gestalt schreiben +lässt: +\[ +\tag{77} +X = -\epsilon k \int d\sigma\, a \int dr. +\] +Hierin ist die durch das zweite Integralzeichen angedeutete Integration +sofort auszuführen, und giebt als allgemeines Integral einfach~$r$. +Es handelt sich aber noch darum, auch die Grenzwerthe +so zu wählen, wie es der Lage des Punctes~$p$ und der Gestalt des +Körpers entspricht. + +Befindet sich $p$ \Emphasis{innerhalb} des Körpers, so muss jeder von $p$ +ausgehende Leitstrahl, sofern der Körper endlich und daher seine +Oberfläche ganz geschlossen ist, wenigstens Einmal die Oberfläche +schneiden, und wenn der Körper so gestaltet ist, dass nach manchen +Richtungen hin die Leitstrahlen die Oberfläche mehr als Einmal +schneiden, so muss die Anzahl der Durchschnitte jedenfalls +eine \Emphasis{ungerade} sein. Betrachten wir eine nach einer solchen Richtung +gehende Elementarpyramide, so liegt diese von der Spitze bis +zum ersten Durchschnitte innerhalb des Körpers, vom ersten bis +%% -----File: 064.png---Folio 50------- +zum zweiten Durchschnitte ausserhalb, vom zweiten bis zum dritten +innerhalb u.~s.~f. Da für unsere Kraftcomponente nur die Theile +in Betracht kommen, welche innerhalb des Körpers liegen, so haben +wir, wenn $R_1$,~$R_2$, $R_3$~etc.\ die vom Puncte~$p$ aus gerechneten Abstände +der aufeinander folgenden Durchschnitte sind, die Integration +nach $r$ von $0$ bis~$R_1$, von $R_2$ bis~$R_3$ u.~s.~f.\ auszuführen, und bekommen +dadurch: +\[ +\tag{78} +X = -\epsilon k \int(R_1 - R_2 + R_3 - \text{etc.})\, a\, d\sigma. +\] +Die hierin noch angedeutete Integration nach $\sigma$ hat sich über den +ganzen körperlichen Winkelraum um $p$ zu erstrecken. + +Befindet sich $p$ \Emphasis{ausserhalb} des Körpers, so muss für jeden +Leitstrahl, welcher den Körper überhaupt trifft, die Anzahl der +Durchschnitte mit der Oberfläche eine \Emphasis{gerade} sein, und das Integral +nach $r$ ist in diesem Falle, wie man leicht sieht, von $R_1$ +bis~$R_2$, dann, (falls noch weitere Durchschnitte vorkommen), von +$R_3$ bis~$R_4$ u.~s.~f.\ zu nehmen. Es kommt also: +\[ +\tag{78a.} +X = -\epsilon k \int(-R_1 + R_2 - \text{etc.})\, a\, d\sigma. +\] +Das Integral nach $\sigma$ bezieht sich in diesem Falle natürlich nur +auf den Theil des körperlichen Winkelraumes um~$p$, in welchem +der gegebene Körper liegt. Denkt man sich also von $p$ aus um +den Körper einen Berührungskegel gelegt, so erstreckt sich das +Integral nach $\sigma$ über die Oeffnung dieses Kegels. Sollte der Körper +die Gestalt einer ganz geschlossenen Schaale haben, und $p$ in +dem eingeschlossenen Hohlraume liegen, so würde das Integral +wieder über den ganzen körperlichen Winkelraum~$4\pi$ auszudehnen +sein. + +Befindet sich $p$ gerade \Emphasis{in der Oberfläche} des Körpers, so +ist es gleichgültig, welche der beiden letzten Gleichungen man anwendet, +um das Resultat abzuleiten, wenn man nur die Richtungen, +nach welchen $R_1 = 0$ gesetzt werden muss, in entsprechender +Weise wählt. + +In den vorstehenden Ausdrücken von $X$ ist nun, wie in den +früher gegebenen, statt des Elementes des körperlichen Winkels~$d\sigma$ +das Oberflächenelement $d\omega$ einzuführen. Dazu dürfen wir aber +jetzt nicht ein für allemal die Gleichung~(50) anwenden, sondern +%% -----File: 065.png---Folio 51------- +wir müssen zwei Fälle danach unterscheiden, ob der Leitstrahl, indem +er wächst, aus dem Körper heraustritt, oder in ihn hineintritt, +und ob daher der mit $i$ bezeichnete Cosinus positiv oder negativ +ist. Im ersteren Falle hat man, wie in~(50), zu setzen: +\[ +d\sigma = \frac{i}{R^2}\, d\omega, +\] +im letzteren Falle dagegen muss gesetzt werden: +\[ +d\sigma = - \frac{i}{R^2}\, d\omega. +\] + +Sehen wir nun, wie sich hierdurch die obigen Integrale gestalten. +Wenn eine Elementarpyramide die Oberfläche mehrmals +schneidet, so gehören zu demselben Elemente~$d\sigma$ des körperlichen +Winkels mehrere Oberflächenelemente $d\omega_1$,~$d\omega_2$~etc., jedes mit seinem +besonderen Werthe von~$i$, so dass der Reihe von Producten +$R_1\, d\sigma$, $R_2\, d\sigma$~etc., welche in den Integralen vorkommen, ebensoviele +Producte $\dfrac{i_1}{R_1}\, d\omega_1$, $\dfrac{i_2}{R_2}\, d\omega_2$~etc.\ entsprechen. Untersucht man +die unter den Integralzeichen vor den einzelnen $R$ stehenden Vorzeichen, +so findet man, dass in den Fällen, wo das betreffende $R$ +das Pluszeichen hat, die erste der beiden vorigen Gleichungen anzuwenden +ist, während dagegen in den Fällen, wo das $R$ das Minuszeichen +hat, die zweite Gleichung, in welcher das Minuszeichen +vorkommt, anzuwenden ist, so dass durch das doppelte Minuszeichen +wieder das Pluszeichen entsteht. Es erhalten also alle Producte +$\dfrac{i}{R}\, d\omega$ äusserlich das Pluszeichen, und da alle durch das +vorige Verfahren in Rechnung kommenden Elemente~$d\omega$ zusammen +gerade die ganze Oberfläche des Körpers ausmachen, so entsteht +aus jeder der beiden Gleichungen (78)~und~(78a.)\ die einfache +Gleichung: +\[ +X = -\epsilon k \int\frac{ai}{R}\, d\omega, +\] +worin die Integration über die Oberfläche des gegebenen Körpers +auszuführen ist. Diese Gleichung stimmt mit der ersten der Gleichungen~(56) +überein, ist aber nach den vorstehenden Betrachtungen +nicht mehr blos auf Körper von besonderer Gestalt und auf innerhalb +derselben gelegene Puncte, sondern auf Körper von beliebiger +%% -----File: 066.png---Folio 52------- +Gestalt und auf innerhalb und ausserhalb gelegene Puncte anwendbar. +Ebenso verhält es sich natürlich auch mit den beiden letzten +der Gleichungen~(56), welche sich auf die Componenten $Y$~und~$Z$ +beziehen. + +Demnach können auch die in §~20 aus den Gleichungen~(56) +abgeleiteten Gleichungen~(62), und die aus diesen durch Addition +hervorgehende Gleichung +\[ +\frac{\partial X}{\partial x} + +\frac{\partial Y}{\partial y} + +\frac{\partial Z}{\partial z} = \epsilon k \int \frac{i}{R^2}\, d\omega +\] +ohne Weiteres auf beliebig gestaltete Körper und auf innerhalb +und ausserhalb derselben gelegene Puncte angewandt werden. + +Bei der mit dieser letzteren Gleichung vorzunehmenden Umformung +dagegen, bei welcher statt des Oberflächenelementes~$d\omega$ +wieder das Element des körperlichen Winkels~$d\sigma$ eingeführt werden +soll, muss das in §~20 angewandte Verfahren etwas vervollständigt +werden. Die Transformationsgleichung kann die doppelte +Form +\[ +\frac{i}{R^2}\, d\omega = ± d\sigma +\] +haben, und da zu Einem Elemente~$d\sigma$ soviele Elemente~$d\omega$ gehören, +wie die betreffende Elementarpyramide Durchschnitte mit +der Oberfläche hat, so ist jedes $d\sigma$ auch in der Formel eben so +oft zu setzen, und zwar mit dem Plus- oder Minuszeichen, jenachdem +der Leitstrahl an der betreffenden Stelle aus dem Körper +heraus- oder in ihn hineintritt. In Bezug auf die Anzahl der vorkommenden +Durchschnitte sind die beiden Fälle, wo der Punct~$p$ +ausserhalb oder innerhalb des Körpers liegt, von einander zu unterscheiden. + +Liegt $p$ \Emphasis{ausserhalb} des Körpers, so schneidet jede Elementarpyramide, +welche überhaupt den Körper trifft, seine Oberfläche eine +gerade Anzahl von Malen, und eben so oft kommt das dazugehörige +$d\sigma$ in dem Integrale vor, und zwar abwechselnd mit dem +negativen und positiven Vorzeichen. Unsere Gleichung nimmt also +folgende Form an: +\[ +\frac{\partial X}{\partial x} + +\frac{\partial Y}{\partial y} + +\frac{\partial Z}{\partial z} = \epsilon k \int (-1 + 1 - \text{etc.})\, d\sigma, +\] +%% -----File: 067.png---Folio 53------- +worin die unter dem Integralzeichen stehende Klammer offenbar +Null wird, indem sie eine gerade Anzahl von Gliedern enthält, +welche den absoluten Werthen nach gleich, und den Vorzeichen +nach je zwei entgegengesetzt sind. Wir erhalten somit das mit +der in §~15 bewiesenen Gleichung~(43) übereinstimmende Resultat: +\[ +\frac{\partial X}{\partial x} + +\frac{\partial Y}{\partial y} + +\frac{\partial Z}{\partial z} = 0. +\] + +Liegt $p$ dagegen \Emphasis{innerhalb} des Körpers, so kommt jedes Element +des körperlichen Winkels eine ungerade Anzahl von Malen +vor, das erste Mal positiv, und dann abwechselnd negativ und positiv. +Unsere Gleichung nimmt also in diesem Falle folgende Form an: +\[ +\frac{\partial X}{\partial x} + +\frac{\partial Y}{\partial y} + +\frac{\partial Z}{\partial z} = \epsilon k \int (1 - 1 + 1 - \text{etc.})\, d\sigma, +\] +worin die unter dem Integralzeichen stehende Klammer eine \Emphasis{ungerade} +Anzahl gleicher, aber abwechselnd mit entgegengesetzten +Vorzeichen versehener Glieder enthält. Diese Glieder heben sich +soweit gegenseitig auf, dass nur das erste übrig bleibt, und die +Gleichung sich somit auf folgende einfachere reducirt: +\[ +\frac{\partial X}{\partial x} + +\frac{\partial Y}{\partial y} + +\frac{\partial Z}{\partial z} = \epsilon k \int d\sigma, +\] +welche ganz dieselbe ist, wie die in §~20 gegebene Gleichung~(64), +und durch Ausführung der Integration giebt: +\[ +\frac{\partial X}{\partial x} + +\frac{\partial Y}{\partial y} + +\frac{\partial Z}{\partial z} = 4\pi\epsilon k. +\] + + +\Section{23.}{Erweiterte Anwendbarkeit der auf nicht homogene +Körper bezüglichen Formeln.} + +Um nun auch die auf nicht homogene Körper bezüglichen +Formeln auf beliebig gestaltete Körper und auf Puncte innerhalb +und ausserhalb derselben anwendbar zu machen, möge, dem Vorigen +entsprechend, folgende Betrachtungsweise eingeführt werden. + +Innerhalb des gegebenen Körpers wird, wie wir voraussetzen, +die Dichtigkeit~$k'$ durch eine sich nur stetig ändernde Function +%% -----File: 068.png---Folio 54------- +der Raumcoordinaten dargestellt. Wir wollen uns nun diese Function +in irgend einer stetigen Weise auch über die Grenzen des +Körpers hinaus fortgesetzt denken, so dass $k'$ eine überall stetige +Function bedeute, welche nicht nur innerhalb, sondern auch ausserhalb +des Körpers gültig ist. Demnach soll also in einem ausserhalb +des Körpers liegenden Puncte unter $k'$ nicht die dort wirklich +stattfindende Dichtigkeit Null, sondern diejenige Dichtigkeit verstanden +werden, welche dort stattfinden würde, wenn der Körper +mit der durch dieselbe Function ausgedrückten Dichtigkeit bis zu +diesem Puncte reichte. + +Um nun für irgend einen innerhalb oder ausserhalb des gegebenen +Körpers liegenden Punct~$p$ die in die $x$-Richtung fallende +Kraftcomponente~$X$ zu bestimmen, gehen wir wieder von der Gleichung~(48) +aus, welche wir in folgender Form schreiben wollen: +\[ +X = -\epsilon \int d\sigma\, a \int k'\, dr. +\] +Hierin denken wir uns zuerst die Integration nach~$r$, nämlich: +\[ +\int k'\, dr +\] +ausgeführt. In diesem Integrale müssen nun wieder die Grenzen +in der Weise gewählt werden, wie es der Gestalt des Körpers und +der Lage des Punctes~$p$ entspricht. + +Befindet sich $p$ \Emphasis{innerhalb} des Körpers, so dass jeder Leitstrahl +die Oberfläche eine \Emphasis{ungerade} Anzahl von Malen schneidet, +so zerfällt das Integral in folgende Theile: +\[ +\int_0^{R_1} k'\, dr + \int_{R_2}^{R_3} k'\, dr + \text{etc}. +\] +Statt die Summe in dieser Form zu schreiben, wollen wir uns eine +Reihe von Integralen gebildet denken, deren jedes von Null bis zu +einem der Durchschnitte mit der Oberfläche geht. Dabei setzen +wir für die Theile des Leitstrahles, welche ausserhalb des Körpers +liegen, nicht $k' = 0$, sondern wenden die Werthe von $k'$ an, welche +der angenommenen sowohl ausserhalb als innerhalb des Körpers +gültigen Function entsprechen. Die so erhaltenen Integrale haben +wir abwechselnd mit dem positiven und negativen Vorzeichen zu +%% -----File: 069.png---Folio 55------- +versehen, und erhalten dadurch statt der vorigen Summe die folgende +gleichbedeutende Summe: +\[ +\int_0^{R_1} k'\, dr - \int_0^{R_2} k'\, dr + \int_0^{R_3} k'\, dr - \text{etc}. +\] + +Befindet sich $p$ \Emphasis{ausserhalb} des Körpers, so dass jeder Leitstrahl +die Oberfläche eine \Emphasis{gerade} Anzahl von Malen schneidet, so +zerfällt das Integral in folgende Theile: +\[ +\int_{R_1}^{R_2} k'\, dr + \int_{R_3}^{R_4} k'\, dr + \text{etc}. +\] +oder wenn wir wieder ebenso, wie vorher, verfahren: +\[ +- \int_0^{R_1} k'\, dr + \int_0^{R_2} k'\, dr +- \int_0^{R_3} k'\, dr + \int_0^{R_4} k'\, dr - \text{etc}. +\] + +Durch Einsetzung dieser Ausdrücke nimmt die zur Bestimmung +von $X$ dienende Gleichung folgende Formen an. Wenn $p$ innerhalb +des Körpers liegt: +\[ +\tag{79} +X = -\epsilon \int d\sigma\, + a\left(\int_0^{R_1} k'\, dr + - \int_0^{R_2} k'\, dr + + \int_0^{R_3} k'\, dr - \text{etc}.\right). +\] +Wenn $p$ ausserhalb des Körpers liegt: +\[ +\tag{79a.}%[** TN: No equation (80) in original] +X = -\epsilon \int d\sigma\, + a\left(-\int_0^{R_1} k'\, dr + + \int_0^{R_2} k'\, dr - \text{etc}. \right). +\] + +Hierin führen wir nun wieder statt des Elementes des körperlichen +Winkels~$d\sigma$ das Element der Oberfläche~$d\omega$ ein, nach der +Gleichung: +\[ +d\sigma = ± \frac{i}{R^2}\, d\omega. +\] +Dabei ist, ganz so, wie im vorigen~§ auseinandergesetzt wurde, zu +bemerken, dass zu jedem Elemente~$d\sigma$ so viele Elemente~$d\omega$ gehören, +wie der betreffende Leitstrahl Durchschnitte mit der Oberfläche +hat, also gerade so viele, wie in den beiden vorstehenden +Gleichungen innerhalb der Klammern Integrale nach $r$ stehen; +%% -----File: 070.png---Folio 56------- +ferner, dass von den beiden Vorzeichen dann das positive anzuwenden +ist, wenn das betreffende Integral das positive Vorzeichen +hat, und dann das negative, wenn das Integral das negative Vorzeichen +hat. Dadurch vereinfachen sich die Ausdrücke, und nehmen +beide eine und dieselbe Form an, nämlich: +\[ +X = -\epsilon \int d\omega\, a\, \frac{i}{R^2} \int_0^R k'\, dr, +\] +worin $R$ die Länge des Leitstrahles nach dem betreffenden Oberflächenelemente +bedeutet, und die durch das erste Integralzeichen +angedeutete Integration über die ganze Oberfläche auszuführen ist. + +Statt des Integrales nach $r$ können wir, wie es in §~19 geschehen +ist, das entsprechende Integral nach $\rho = R - r$ setzen, und +zur Abkürzung möge für dieses Integral wieder ein einfacher Buchstabe +eingeführt werden, indem wir setzen: +\[ +H = \int_0^R k'\, dr = \int_0^R k'\, d\rho. +\] +Wenn wir dann noch neben dem für die Componente~$X$ gefundenen +Ausdrucke die entsprechenden auf die Componenten $Y$~und~$Z$ +bezüglichen Ausdrücke bilden, so erhalten wir: +\begin{align*} +X &= -\epsilon \int \frac{ai}{R^2}\, H\, d\omega\\ +Y &= -\epsilon \int \frac{bi}{R^2}\, H\, d\omega\\ +Z &= -\epsilon \int \frac{ci}{R^2}\, H\, d\omega. +\end{align*} + +Dieses sind die im §~19 unter~(54) gegebenen Gleichungen, +welche aber durch die hier ausgeführte Entwickelung eine erweiterte +Bedeutung gewonnen haben, indem sie auf Körper von beliebiger +Gestalt anwendbar sind, und ausserdem nicht nur für den +Fall gelten, wenn $p$ sich innerhalb des Körpers befindet, sondern +auch für den Fall, wenn $p$ ausserhalb desselben liegt. + +Mit diesen Ausdrücken können wir nun dieselben Rechnungen +%% -----File: 071.png---Folio 57------- +anstellen, wie im §~21, und gelangen dadurch zu der unter~(74) +angeführten Gleichung: +\[ +\frac{\partial X}{\partial x} + +\frac{\partial Y}{\partial y} + +\frac{\partial Z}{\partial z} = \epsilon k \int \frac{i}{R^2}\, d\omega. +\] + +Bei der weiteren Behandlung dieser letzteren Gleichung ist +dann ebenso zu verfahren, wie es am Schlusse des vorigen~§ auseinandergesetzt +wurde, und wir erhalten dadurch wieder für einen +ausserhalb des Körpers liegenden Punct: +\[ +\frac{\partial X}{\partial x} + +\frac{\partial Y}{\partial y} + +\frac{\partial Z}{\partial z} = 0 +\] +und für einen innerhalb des Körpers gelegenen Punct: +\[ +\frac{\partial X}{\partial x} + +\frac{\partial Y}{\partial y} + +\frac{\partial Z}{\partial z} = 4\pi\epsilon k, +\] +welche beiden Gleichungen, wie zum Schlusse dieser Auseinandersetzung +noch einmal bemerkt werden möge, sich auch so schreiben +lassen: +\begin{align*} +\Delta V &= 0\\ +\Delta V &= -4\pi\epsilon k. +\end{align*} + + +\Section{24.}{Specielle Betrachtung des Falles, wenn der Punct~$p$ sich +in unmittelbarer Nähe der Oberfläche befindet.} + +Es bleibt nun noch zu untersuchen, wie die in den vorigen~§§ +betrachteten Differentialcoefficienten der Kraftcomponenten sich verhalten, +wenn~$p$, sei es innerhalb, sei es ausserhalb des Körpers, +sich der Oberfläche unendlich nähert, ob sie auch dann stets bestimmte +endliche Werthe behalten, deren Summe entweder $0$ oder +$4\pi\epsilon k$ ist, oder ob sie in unendlicher Nähe der Oberfläche unendlich +grosse Werthe annehmen, wodurch dann über den Werth ihrer +Summe Zweifel entstehen könnten. + +Wir gehen von den unter~(54) gegebenen Ausdrücken von $X$,~$Y$,~$Z$ +aus, deren erweiterte Gültigkeit im vorigen~§ nachgewiesen +ist. Durch Differentiation derselben erhält man die schon unter~(67) +angeführten Gleichungen, welche hier noch einmal wiederholt +werden mögen: +%% -----File: 072.png---Folio 58------- +\begin{align*} +\frac{\partial X}{\partial x} + &= \epsilon \int\left[\frac{a\alpha - (4a^2-1)i}{R^3}\, H + - \frac{ai}{R^2}·\frac{\partial H}{\partial x}\right] d\omega\\ +% +\frac{\partial Y}{\partial y} + &= \epsilon \int\left[\frac{b\beta - (4b^2-1)i}{R^3}\, H + - \frac{bi}{R^2}·\frac{\partial H}{\partial y}\right] d\omega\\ +% +\frac{\partial Z}{\partial z} + &= \epsilon \int\left[\frac{c\gamma - (4c^2-1)i}{R^3}\, H + - \frac{ci}{R^2}·\frac{\partial H}{\partial z}\right] d\omega. +\end{align*} +Die hierin unter den Integralzeichen stehenden Ausdrücke enthalten +Potenzen der Grösse~$R$, nämlich des Abstandes des betreffenden +Oberflächenelementes $d\omega$ vom Puncte~$p$, in den Nennern. Da nun, +wenn der Punct~$p$ der Oberfläche unendlich nahe ist, für die ihm +zunächst liegenden Elemente der Oberfläche~$R$ unendlich klein +wird, so kann die Frage entstehen, ob dessenungeachtet alle Integrale +bestimmte endliche Werthe behalten, oder ob vielleicht einzelne +derselben unendlich gross werden. + +Um diese Frage zu entscheiden, wollen wir wieder untersuchen, +ob die Integralausdrücke sich so umgestalten lassen, dass für alle +Elemente derjenigen Grösse, nach welcher integrirt werden soll, +die zu integrirende Function endlich bleibt. + +In dieser Beziehung lassen sich alle diejenigen Glieder der +obigen Ausdrücke, welche die Grösse~$i$ als Factor haben, sehr kurz +abmachen. Nämlich dadurch, dass wir das Oberflächenelement $d\omega$, +welches wir in die Ausdrücke von $X$,~$Y$,~$Z$ statt des körperlichen +Winkels~$d\sigma$ eingeführt haben, um unter den Integralzeichen nach +$x$,~$y$,~$z$ differentiiren zu können, nach geschehener Differentiation +wieder durch das Element des körperlichen Winkels ersetzen, indem +wir die bekannte Gleichung +\[ +d\sigma = ± \frac{i}{R^2}\, d\omega +\] +anwenden. Die drei Gleichungen lauten dann: +\[ +\tag{81}%[** TN: No equation (80) in original] +\left\{ +\begin{aligned} +\frac{\partial X}{\partial x} + &= \epsilon \int \frac{H}{R} · \frac{a\alpha}{R^2}\, d\omega + - \epsilon \int ± \left[(4a^2-1)\frac{H}{R} + a\, \frac{\partial H}{\partial x}\right] d\sigma\\ +% +\frac{\partial Y}{\partial y} + &= \epsilon \int \frac{H}{R} · \frac{b\beta}{R^2} \, d\omega + - \epsilon \int ± \left[(4b^2-1)\frac{H}{R} + b\, \frac{\partial H}{\partial y}\right] d\sigma\\ +% +\frac{\partial Z}{\partial z} + &= \epsilon \int \frac{H}{R} · \frac{c\gamma}{R^2} \,d\omega + - \epsilon \int ± \left[(4c^2-1)\frac{H}{R} + c\, \frac{\partial H}{\partial z}\right] d\sigma, +\end{aligned} +\right. +\] +%% -----File: 073.png---Folio 59------- +wobei in den auf $d\sigma$ bezüglichen Integralen von den in den eckigen +Klammern stehenden Ausdrücken so viele Werthe zu nehmen sind, +wie Durchschnitte des betreffenden Leitstrahles mit der Oberfläche +vorkommen, und zwar mit dem $+$~oder~$-$ Zeichen, je nachdem +der Leitstrahl an der Durchschnittsstelle, indem er wächst, aus dem +Körper heraus- oder in den Körper hineintritt. + +Die in den eckigen Klammern stehenden Ausdrücke bleiben +nun offenbar für alle vorkommenden Elemente~$d\sigma$ endlich. Da +nämlich~$H$ die Bedeutung +\[ +H = \int_0^R k'\, d\rho +\] +hat, so sieht man leicht, dass der Bruch~$\dfrac{H}{R}$ endlich bleiben muss, +sofern die Grösse~$k'$ in dem zu betrachtenden Raume nirgends +unendlich gross wird, was wir voraussetzen. Ebenso ist klar, dass +die Differentialcoefficienten $\dfrac{\partial H}{\partial x}$, $\dfrac{\partial H}{\partial y}$, $\dfrac{\partial H}{\partial z}$ endlich bleiben müssen, +sofern die Grösse~$k'$ in dem zu betrachtenden Raume keine sprungweisen +Aenderungen erleidet, welche Bedingung ebenfalls bei der +Art, wie im vorigen~§ die Grösse~$k'$ definirt wurde, erfüllt ist, +selbst für Puncte, welche sich gerade in der Oberfläche befinden. +Im Uebrigen kommen nur die Grössen $a$,~$b$ und~$c$ vor, welche Cosinus +von Winkeln bedeuten, und also nicht unendlich gross werden +können. Demnach ist von denjenigen in den Gleichungen~(81) +vorkommenden Integralen, welche sich auf $d\sigma$ beziehen, ohne Weiteres +klar, dass sie die oben gestellte Bedingung, dass die zu integrirenden +Ausdrücke für alle Elemente~$d\sigma$ endlich bleiben, erfüllen. + +Es bleiben also nur noch die drei Integrale: +\[ +\int \frac{H}{R}·\frac{a\alpha}{R^2}\, d\omega;\quad +\int \frac{H}{R}·\frac{b\beta}{R^2}\, d\omega;\quad +\int \frac{H}{R}·\frac{c\gamma}{R^2}\, d\omega +\] +zu betrachten. Von diesen kann noch eines auf die beiden anderen +zurückgeführt werden, \zB\ das letzte auf die beiden ersten. +Wir können nämlich, gemäss der Gleichung +\[ +i = a\alpha + b\beta + c\gamma, +\] +in dem letzten Integrale statt $c\gamma$ schreiben: +\[ +i - a\alpha - b\beta, +\] +%% -----File: 074.png---Folio 60------- +und dann wieder $\dfrac{i}{R^2}\, d\omega$ durch $± d\sigma$ ersetzen, wodurch kommt: +\[ +\tag{82} +\int \frac{H}{R}·\frac{c\gamma}{R^2}\, d\omega + = \int ±\frac{H}{R} · \frac{a\alpha}{R^2}\, d\omega + - \int \frac{H}{R} · \frac{b\beta}{R^2}\, d\omega. +\] +Hierin bedarf das auf $d\sigma$ bezügliche Integral nach dem schon vorhin +Gesagten keiner weiteren Besprechung, und die übrigen an der +rechten Seite stehenden Integrale sind die beiden ersten der drei +oben genannten Integrale. + +Die nähere Untersuchung dieser Integrale wollen wir hier, um +nicht zu weitläufig zu werden, nur in der Weise ausführen, dass +wir für die Coordinatenaxen bestimmte, bei der Betrachtung bequeme +Richtungen wählen. Wir denken uns von dem zu betrachtenden +Puncte~$p$ eine Normale auf die Oberfläche gefällt, und wählen +dann die Richtung der $z$-Axe dieser Normale parallel. Da der +Anfangspunct der Coordinaten beliebig angenommen werden kann, +ohne dass dadurch die Allgemeinheit der Untersuchung eine weitere +Beschränkung erleidet, so wollen wir den Fusspunct der Normale +als Anfangspunct der Coordinaten und demnach die Normale selbst +als $z$-Axe und die im Fusspuncte an die Oberfläche gelegte Tangentialebene +als $xy$-Ebene nehmen. Unter diesen Umständen sind die +Coordinaten $x$~und~$y$ des Punctes~$p$ gleich Null, und die unter~(58) +§~20 zur Bestimmung von $a$~und~$b$ gegebenen Ausdrücke lauten +daher für einen Punct der Oberfläche, dessen Coordinaten $\xi$,~$\eta$,~$\zeta$ +sind: +\[ +\tag{83} +a = \frac{\xi}{R};\quad b = \frac{\eta}{R}, +\] +welche Ausdrücke in unsere Integrale einzusetzen sind. + +Was die Ausdehnung der Integrationen betrifft, so können wir +dieselbe auf den Theil der Oberfläche beschränken, dessen Elemente +sehr nahe an $p$ liegen, denn für alle entfernteren Elemente der +Oberfläche, für welche~$R$ nicht mehr unendlich klein ist, können +die unter den Integralzeichen stehenden Ausdrücke nicht unendlich +gross werden, und die den entfernteren Theilen der Oberfläche entsprechenden +Theile der Integrale bedürfen daher keiner besonderen +Untersuchung. Die so beschränkten Integrale wollen wir mit $A$ +und~$B$ bezeichnen, so dass wir nach Einführung der vorher gegebenen +Werthe von $a$~und~$b$ schreiben können: +%% -----File: 075.png---Folio 61------- +\[ +\tag{84} +A = \int \frac{H}{R} · \frac{\xi\alpha}{R^3}\, d\omega;\quad +B = \int \frac{H}{R} · \frac{\eta\beta}{R^3}\, d\omega\DPtypo{.}{,} +\] +worin die Integrale sich über ein sehr kleines Flächenstück um den +Anfangspunct der Coordinaten erstrecken sollen. + +Wenn nun die Gleichung der Oberfläche in der Form +\[ +\tag{85} +\zeta = f(\xi, \eta) +\] +gegeben ist, so sind die Cosinus der Winkel, welche die an irgend +einem Puncte der Fläche errichtete Normale mit den Coordinatenaxen +bildet, durch folgende Formeln bestimmt: +\[ +\tag{86} +\left\{ +\begin{aligned} %[** TN: Aligning on = signs] +\alpha + &= - \frac{\dfrac{\partial\zeta}{\partial\xi}} + {\sqrt{1 + \left(\dfrac{\partial\zeta}{\partial\xi}\right)^2 + + \left(\dfrac{\partial\zeta}{\partial\eta}\right)^2}}\\ +% +\beta + &= - \frac{\dfrac{\partial\zeta}{\partial\eta}} + {\sqrt{1 + \left(\dfrac{\partial\zeta}{\partial\xi}\right)^2 + + \left(\dfrac{\partial\zeta}{\partial\eta}\right)^2}}\\ +% +\gamma + &= \frac{1} + {\sqrt{1 + \left(\dfrac{\partial\zeta}{\partial\xi}\right)^2 + + \left(\dfrac{\partial\zeta}{\partial\eta}\right)^2}}. +\end{aligned} +\right. +\] +Mit Hülfe der letzten dieser drei Gleichungen gehen die beiden +ersten über in: +\[ +\tag{87} +\left\{ +\begin{aligned} +\alpha = - \frac{\partial\zeta}{\partial\xi}\, \gamma\\ +\beta = - \frac{\partial\zeta}{\partial\eta}\, \gamma. +\end{aligned} +\right. +\] +Setzen wir den Werth von $\alpha$ in die erste der Gleichungen~(84) ein, +so kommt: +\[ +\tag{88} +A = - \int \frac{H}{R} + · \frac{\xi\, \dfrac{\partial\zeta}{\partial\xi}}{R^3}\, \gamma\, d\omega. +\] +%% -----File: 076.png---Folio 62------- +Das Product $\gamma\, d\omega$ ist die Projection des Elementes~$d\omega$ auf die +$xy$-Ebene, oder, wenn wir uns das ganze betrachtete Flächenstück +auf die $xy$-Ebene projicirt denken, so können\DPtypo{}{ wir} $\gamma\, d\omega$ als ein Element +dieser Projection ansehen, und dann die Integration auf die letztere +beziehen. Wir führen dazu Polarcoordinaten in der $xy$-Ebene um +den Anfangspunct der rechtwinkligen Coordinaten ein, indem wir +den nach irgend einem Puncte der Ebene gezogenen Leitstrahl mit~$u$, +und den Winkel, welchen dieser mit der $x$-Axe bildet, mit $\phi$ +bezeichnen. Dann wird ein Element der Ebene dargestellt durch: +\[ +u\, du\, d\phi +\] +und diesen Ausdruck können wir daher für $\gamma\, d\omega$ setzen. Wenn +wir dabei zugleich berücksichtigen, dass +\[ +\xi = u \cos \phi +\] +ist, so geht~(88) über in: +\[ +\tag{89} +A = \iint \frac{H}{R} + · \frac{\cos\phi\, \dfrac{\partial\zeta}{\partial\xi}\, u^2}{R^3}\, du\, d\phi. +\] + +Hierin müssen wir endlich noch den Differentialcoefficienten +$\dfrac{\partial\zeta}{\partial\xi}$ näher betrachten. Im Anfangspuncte der Coordinaten sind, da +die $xy$-Ebene in diesem Puncte Tangentialebene ist, die beiden +Differentialcoefficienten $\dfrac{\partial\zeta}{\partial\xi}$ und~$\dfrac{\partial\zeta}{\partial\eta}$ gleich Null, und für die Umgebung +dieses Punctes können wir, \Emphasis{wenn die hier stattfindende +Krümmung der Oberfläche als endlich vorausgesetzt wird}, +setzen: +\[ +\tag{90} +\DPnote{** TN: [sic] product, not \mu, \nu} +\frac{\partial\zeta}{\partial\xi} = mu;\quad +\frac{\partial\zeta}{\partial\eta} = nu, +\] +worin $m$~und~$n$ zwei Functionen von $u$~und~$\phi$ sind, welche für +kleine Werthe von $u$ nicht unendlich gross werden. Die Gleichung~(89) +lässt sich also schreiben: +\[ +\tag{91} +A = \iint \frac{H}{R} · \frac{m \cos \phi \mathbin{.} u^3}{R^3}\, du\, d\phi. +\] +%% -----File: 077.png---Folio 63------- +In derselben Weise kann man auch das Integral~$B$ behandeln, und +erhält dadurch +\[ +\tag{92} +B = - \iint \frac{H}{R} · \frac{n \sin \phi \mathbin{.} u^3}{R^3}\, du\, d\phi. +\] + +Da nun die Grösse~$R$, welche durch die Gleichung +\[ +R = \sqrt{u^2 + (\zeta-z)^2} +\] +bestimmt ist, nicht kleiner als $u$ werden kann, so kann der Bruch +$\dfrac{u^3}{R^3}$ nicht unendlich gross werden, und dasselbe gilt auch, wie schon +erwähnt, von dem Bruche $\dfrac{H}{R}$. Demnach sind die Integrale $A$~und~$B$ +in eine Form gebracht, in welcher sie der Bedingung genügen, +dass die zu integrirende Function für alle vorkommenden Werthe +der Veränderlichen, nach welchen integrirt werden soll, endlich +bleibt. + +Nachdem gezeigt ist, dass die Differentialcoefficienten $\dfrac{\partial X}{\partial x}$, $\dfrac{\partial Y}{\partial y}$, +$\dfrac{\partial Z}{\partial z}$, auch bei unendlicher Annäherung an die Oberfläche immer +bestimmte endliche Werthe behalten, kann auch kein Zweifel darüber +entstehen, dass die mit $-\Delta V$ bezeichnete Summe dieser drei +Differentialcoefficienten im äusseren und inneren Raume die Werthe +$0$ und~$4 \pi \epsilon k$ bis dicht an die Oberfläche behält. Im Momente, wo +der Punct~$p$ die Oberfläche durchschreitet, und aus dem äusseren +leeren Raume in den Körper hineintritt, ändern die Elemente~$d\sigma$ +zum Theil plötzlich ihr Vorzeichen, und dadurch entsteht die sprungweise +Aenderung des Werthes von~$\Delta V$. + + +\Section{25.}{Einfluss des Umstandes, wenn die Krümmung der Oberfläche +an der betreffenden Stelle unendlich gross ist.} + +Bei der vorigen Auseinandersetzung wurde vorausgesetzt, dass +die Krümmung an der betreffenden Stelle endlich sei; aber auch +diese Voraussetzung ist keine durchaus nothwendige. Nehmen wir +an, dass statt der Gleichungen~(90) die folgenden Gleichungen +gelten: +%% -----File: 078.png---Folio 64------- +\[ +\tag{93} +\frac{\partial \zeta}{\partial \xi} = m u^\mu;\quad +\frac{\partial \zeta}{\partial \eta} = n u^\nu, +\] +so ist, wenn die Exponenten $\mu$~und~$\nu < 1$ sind, die Krümmung an +dem betreffenden Puncte, welcher zugleich der Anfangspunct der +Coordinaten ist, unendlich gross. Dessenungeachtet behalten die +Integrale $A$~und~$B$ bestimmt angebbare endliche Werthe, so lange +nur die Exponenten \Emphasis{angebbare positive} Werthe haben. + +Setzen wir nämlich in~(89) für $\dfrac{\partial \zeta}{\partial \xi}$ die obengegebene Formel +ein, so kommt statt der Gleichung~(91), wenn wir zugleich für $R$ +seinen Werth substituiren: +\[ +A = - \iint \frac{H}{R} + · \frac{m \cos \phi\, u^{2+\mu}} + {\left[ u^2 + (\zeta - z)^2 \right]^{\tfrac{3}{2}}}\, du\, d\phi. +\] +Hierin wollen wir die neue Veränderliche~$u'$ einführen mit der Bedeutung: +\[ +u' = u^{\mu}, +\] +woraus folgt: +\begin{align*} +u &= u'^{\tfrac{1}{\mu}}\\ +du &= \frac{1}{\mu} u'^{\tfrac{1}{\mu}-1}\, du'. +\end{align*} +Dadurch geht der Ausdruck über in: +\[ +\tag{94} +A = \frac{1}{\mu} \iint \frac{H}{R} + · \frac{m \cos \phi\, u'^{\tfrac{3}{\mu}}} + {\left[ u'^{\tfrac{2}{\mu}} + (\zeta - z)^2 \right]^{\tfrac{3}{2}}}\, du'\, d\phi. +\] +Hierin kann der Nenner des zweiten unter den Integralzeichen +stehenden Bruches nicht kleiner als $u'^{\tfrac{3}{\mu}}$ werden, und die zu integrirende +Function bleibt also endlich. Dasselbe gilt natürlich auch +von dem Integrale~$B$, welches sich vom vorigen nur dadurch unterscheidet, +dass $n$ an die Stelle von $m$,~$\nu$ an die Stelle von $\mu$ und +$\sin \phi$ an die Stelle von $\cos \phi$ tritt. + +Nur dann hören diese Schlüsse auf gültig zu sein, wenn die +Körper-Oberfläche an der Stelle, wo der Punct~$p$ sich befindet, so +%% -----File: 079.png---Folio 65------- +gestaltet ist, dass auch die Gleichungen~(93) mit angebbaren positiven +Werthen von $\mu$~und~$\nu$ nicht mehr angewandt werden können, +wenn also, wie \Person{Gauss} es bei einer anderen Gelegenheit ausdrückt,\footnote + {Allgemeine Lehrsätze u.~s.~w.\ S.~25.} +die Differentialcoefficienten $\dfrac{\partial \zeta}{\partial \xi}$ und~$\dfrac{\partial \zeta}{\partial \eta}$ mit keiner Potenz von $u$ mehr +zu einerlei Ordnung gehören. Dieses ist insbesondere der Fall bei +absolut scharfen Spitzen und Kanten, bei denen es gar keine bestimmte +Tangentialebene giebt. Indessen sind auch Fälle denkbar, +wo noch eine bestimmte Tangentialebene vorhanden ist, und doch +die Gleichungen~(93) nicht gelten. \Person{Gauss} führt als ein Beispiel +der Art an, wenn die Differentialcoefficienten von der Ordnung +$\dfrac{1}{\log \dfrac{1}{u}}$ wären. Solche Fälle können in Bezug auf die vorliegende +Frage denen zugesellt werden, wo die Fläche wirkliche Spitzen und +Kanten bildet. Was diese letzteren Fälle anbetrifft, so kann man +sich leicht davon überzeugen, dass bei unendlicher Annäherung an +eine Spitze oder Kante die Differentialcoefficienten $\dfrac{\partial X}{\partial x}$, $\dfrac{\partial Y}{\partial y}$ und +$\dfrac{\partial Z}{\partial z}$ einzeln unendlich gross werden; und wenn in ihrer Summe +die unendlich grossen Glieder sich der Form nach auch gegenseitig +aufheben, so kann man doch einer algebraischen Summe, in der +unendlich grosse Glieder vorkommen, nicht ohne Weiteres einen +bestimmten endlichen Werth zuschreiben. + + +\Section{26.}{Zurückführung des Falles, wo in der Nähe von $p$ eine +sprungweise Aenderung der Dichtigkeit stattfindet, +auf den vorigen.} + +Auf den in den beiden vorigen~§§ betrachteten Fall, wo der +Punct~$p$ sich in der Nähe der Oberfläche befindet, lässt sich auch +der Fall zurückführen, wo $p$ zwar tief im Innern des Körpers liegt, +aber die Dichtigkeit des Körpers in der Nähe dieses Punctes eine +sprungweise Aenderung erleidet. + +Es sei ein Körper gegeben, der durch eine innere Fläche in +zwei Theile getheilt wird, welche sich in Bezug auf ihre Dichtigkeit +%% -----File: 080.png---Folio 66------- +verschieden verhalten. Die Dichtigkeit des einen sei durch $k_1$ dargestellt, +welches Zeichen eine Function der Raumcoordinaten bedeuten +soll, die sich nur stetig ändert. Die Dichtigkeit des andern +sei $k_1 + k_2$, worin $k_1$ dieselbe Function ist, wie vorher, und $k_2$ +eine andere Function, die sich, soweit sie gilt, ebenfalls nur stetig +ändert, die aber von jener Fläche an, obwohl sie in derselben noch +einen endlichen Werth hat, nach der einen Seite hin ungültig wird, +so dass also der Werth, welchen $k_2$ in der Fläche hat, die Grösse +des Sprunges darstellt. Dann denken wir uns in dem Raume, wo +die Dichtigkeit $k_1 + k_2$ ist, zwei Körper so über einander gelagert, +dass sie beide denselben Raum ausfüllen, einen mit der Dichtigkeit~$k_1$ +und den anderen mit der Dichtigkeit~$k_2$. Der erstere bildet mit +dem an der entgegengesetzten Seite der Fläche befindlichen Körpertheile +einen zusammenhängenden Körper, dessen Dichtigkeit überall +durch die stetige Function~$k_1$ dargestellt wird, und welchen wir $C_1$ +nennen wollen. Den letzteren dagegen, mit der Dichtigkeit~$k_2$, +betrachten wir als einen für sich bestehenden Körper, welcher $C_2$ +heisse, und welcher jene Trennungsfläche als einen Theil seiner +Oberfläche hat. + +Hiernach kann man sich die Potentialfunction~$V$ des ganzen +gegebenen Körpers in die Potentialfunctionen $V_1$~und~$V_2$ der beiden +Körper $C_1$ und~$C_2$ zerlegt denken. Dann hat man: +\[ +V = V_1 + V_2 +\] +und daraus folgt: +\[ +\Delta V = \Delta V_1 + \Delta V_2. +\] +Die erste der beiden rechts stehenden Grössen ändert sich, wenn +der Punct~$p$ die Trennungsfläche durchschreitet, nur stetig, weil +der Punct dabei im Innern des Körpers~$C_1$ bleibt, und sie wird an +beiden Seiten der Fläche durch $-4 \pi \epsilon k_1$ dargestellt. Die zweite +Grösse dagegen ändert sich sprungweise. An der einen Seite der +Fläche (\dh\ ausserhalb des Körpers~$C_2$), bis dicht an die Fläche +hinan, ist sie $= 0$; an der anderen Seite (\dh\ innerhalb des Körpers~$C_2$) +ebenfalls bis dicht an die Fläche hinan, ist sie $= -4 \pi \epsilon k_2$. +Wir erhalten also im Ganzen: +\begin{align*} +\text{an der einen Seite der Fläche}\quad \Delta V &= - 4 \pi \epsilon k_1\\ +\PadTxt{an }{\Ditto}\PadTxt{der}{\Ditto} +\PadTxt{Einen Seite}{andern\quad\Ditto}\ +\PadTxt{der}{\Ditto}\ +\PadTxt{Fläche}{\Ditto}\quad +\Delta V &= - 4 \pi \epsilon (k_1 + k_2). +\end{align*} +%% -----File: 081.png---Folio 67------- +Bezeichnen wir, wie früher, die ganze Dichtigkeit mit~$k$, wobei $k$ +aber jetzt eine Function darstellt, die eine Unterbrechung der Stetigkeit +erleidet, indem an der einen Seite der Fläche $k = k_1$, und an +der andern $k = k_1 + k_2$ ist, so können wir die beiden vorigen +Gleichungen in Eine überall gültige Gleichung zusammenfassen: +\[ +\Delta V = -4\pi \epsilon k, +\] +welches wieder unsere Gleichung~(II) ist. Die Grösse~$\Delta V$ ist also +überall ganz so bestimmt, wie die Dichtigkeit~$k$, und erleidet auch +mit dieser die gleichen, entweder stetigen oder sprungweisen Aenderungen. + +Nur in dem Falle, wo in unmittelbarer Nähe des Punctes~$p$ +eine sprungweise Aenderung der Dichtigkeit stattfindet, und zugleich +die Fläche, in welcher sie stattfindet, an der betreffenden +Stelle eine Spitze oder Kante bildet, tritt eine Unbestimmtheit ein, +gerade so, wie in dem entsprechenden Falle in der Nähe der Oberfläche. + + +\Section{27.}{Anhäufung eines Agens auf einer Fläche.} + +Es kommt zuweilen der Fall vor, dass man eine Quantität +eines Agens zu betrachten hat, von welcher man annimmt, dass sie +nicht einen Raum stetig ausfüllt, sondern nur \Emphasis{über eine Fläche +stetig verbreitet ist}. So ist es \zB\ bekannt, dass Electricität, +welche einem leitenden Körper mitgetheilt wird, im Gleichgewichtszustande +nicht das Innere des Körpers erfüllt, sondern nur an der +Oberfläche desselben angehäuft ist. Es kann zwar in der Wirklichkeit +nicht eine mathematische Fläche sein, welche die Electricitätsmenge +enthält, sondern man muss sich eine Schicht von sehr geringer +Dicke denken; indessen in der Rechnung wird bei den +meisten Untersuchungen diese Dicke vernachlässigt, und man denkt +sich die ganze Electricitätsmenge in einer mathematischen Fläche +befindlich. + +Wir müssen nun untersuchen, ob unter dieser Bedingung die +Potentialfunction und ihre Differentialcoefficienten neue bemerkenswerthe +Eigenschaften zeigen. +%% -----File: 082.png---Folio 68------- + + +\Section{28.}{Bestimmung der Potentialfunction für eine gleichförmig +mit dem Agens bedeckte ebene Figur.} + +Wir wollen zunächst wieder einen einfachen speciellen Fall +zur Betrachtung auswählen, welcher besonders geeignet ist, die mit +dieser Bedingung verknüpften Eigenthümlichkeiten klar hervortreten +zu lassen, und nach dessen Behandlung dann die allgemeine Betrachtung +kürzer gefasst werden kann, als es sonst ohne Beeinträchtigung +der Verständlichkeit möglich wäre. Wir wollen nämlich +vorläufig annehmen, \Emphasis{dass die mit dem Agens bedeckte +Fläche ein Stück einer Ebene, und dass die Vertheilung +des Agens über dieselbe gleichförmig sei}. + +Wenn die auf einem Elemente~$d\omega$ der Fläche befindliche Menge +des Agens $h\, d\omega$ ist, so nennen wir $h$ die Dichtigkeit des Agens, +und wo es zur Unterscheidung nothwendig ist, können wir, wie es +schon in §~12 geschehen ist, diese Dichtigkeit, welche sich auf eine +Fläche bezieht, im Gegensatze zu der gewöhnlichen, welche sich +auf den körperlichen Raum bezieht, \Emphasis{Flächendichtigkeit} nennen. +Ist nun $r$ der Abstand des Elementes~$d\omega$ von dem Puncte~$p$, so +haben wir zur Bestimmung der Potentialfunction die Gleichung: +\[ +\tag{95} +V = \epsilon h \int \frac{d\omega}{r}, +\] +worin die Integration über den Flächeninhalt der ebenen Figur, +welche mit dem Agens bedeckt ist, ausgeführt werden muss. + +Um das Integral in eine für unseren Zweck geeignete Form +zu bringen, nehmen wir die Ebene, welche die Figur enthält, zur +$xy$-Ebene unseres Coordinatensystemes. Wenn wir dann vom Puncte~$p$ +mit den Coordinaten $x$,~$y$ und~$z$ ein Perpendikel auf diese Ebene +fällen, und dessen Fusspunct betrachten, so hat dieser ebenfalls die +Coordinaten $x$~und~$y$, während seine dritte Coordinate Null ist. +Diesen Fusspunct wollen wir nun zum Mittelpuncte eines Systemes +von Polarcoordinaten in der Ebene nehmen, in welchem der Leitstrahl~$u$, +und der Winkel desselben mit der $x$-Axe $\phi$ heissen soll. +Dann können wir setzen: +\[ +d\omega = u\, du\, d\phi, +\] +%% -----File: 083.png---Folio 69------- +und zugleich haben wir, wenn $\xi$~und~$\eta$ die rechtwinkligen Coordinaten +dieses Flächenelementes sind: +\begin{align*} +u &= \sqrt{(\xi - x)^2 + (\eta - y)^2}\\ +r &= \sqrt{(\xi - x)^2 + (\eta - y)^2 + z^2}\\ + &= \sqrt{u^2 + z^2} +\end{align*} +und die Gleichung für~$V$ geht daher über in: +\[ +\tag{96} +V = \epsilon h \iint \frac{u\, du\, d\phi}{\sqrt{u^2 + z^2}}. +\] + +Hierin lässt sich die Integration nach $u$ sogleich ausführen. +Man hat nämlich allgemein: +\[ +\int \frac{u\, du}{\sqrt{u^2 + z^2}} = \sqrt{u^2 + z^2} +\] +und es kommt nur darauf an, die den Umständen entsprechenden +Grenzwerthe in diese Formel einzusetzen. Dabei macht es einen +wesentlichen Unterschied, ob der Fusspunct des von $p$ auf die Ebene +gefällten Perpendikels \Emphasis{innerhalb} oder ausserhalb der mit dem Agens +bedeckten Figur liegt. Für unsere weiteren Betrachtungen ist nur +der Fall von Interesse, wo er innerhalb liegt, und diesen Fall +wollen wir daher voraussetzen. + +Dann ist das Integral vom Anfangspuncte des Leitstrahles bis +zu seinem Durchschnittspuncte mit dem Umfange der Figur zu +nehmen, und wenn die Figur so gestaltet ist, dass der Leitstrahl +den Umfang mehrmals schneidet, was dann jedenfalls eine ungerade +Anzahl von Malen geschehen muss, so kommen noch die Stücke +vom zweiten bis zum dritten Durchschnitte, dann vom vierten bis +zum fünften Durchschnitte u.~s.~f.\ in Betracht. Nennen wir also +die den einzelnen Durchschnitten entsprechenden Werthe von $u$ der +Reihe nach $U_1$,~$U_2$~etc.\ und setzen ferner zur Abkürzung: +\[ +R_1 = \sqrt{U_1^2 + z^2};\quad R_2 = \sqrt{U_2^2 + z^2} \text{ etc.} +\] +so kommt: +\[ +v = \epsilon h \int (-\sqrt{z^2} + R_1 - R_2 + R_3 - \text{etc.})\, d\phi. +\] +%% -----File: 084.png---Folio 70------- +In dem ersten Gliede innerhalb der Klammer dürfen wir nicht einfach +$z$ an die Stelle von $\sqrt{z^2}$ setzen, weil diese Wurzel, welche +ein specieller Werth des Abstandes~$r$ ist, stets \Emphasis{positiv} sein muss, +während $z$ positive und negative Werthe haben kann. Ich werde +daher, um dieses anzudeuten, den Wurzelausdruck in der Formel +beibehalten. + +Da die Grösse~$\sqrt{z^2}$ von~$\phi$ unabhängig ist, so können wir bei +diesem Gliede auch die zweite Integration ohne Weiteres ausführen, +und erhalten dadurch, indem das Integral von $0$ bis~$2\pi$ zu nehmen +ist: +\[ +\tag{97} +V = -2\pi \epsilon h \sqrt{z^2} + + \epsilon h \int(R_1 - R_2 + R_3 - \text{etc.})\, d\phi. +\] + +Das hierin noch vorkommende Integral können wir in eine andere +Gestalt bringen, in welcher es für die beabsichtigten Differentiationen +geeignet ist. Wir führen dazu statt des Winkelelementes +$d\phi$ das zwischen seinen Schenkeln liegende Element~$ds$ des Umfanges +ein. Ist $i'$ der Cosinus des Winkels, welchen die auf $ds$ +errichtete Normale mit dem Leitstrahle bildet, wobei die Normale +nach der Aussenseite des Umfanges, und der Leitstrahl nach der +Seite hin, wohin er wächst, betrachtet wird, so hat man: +\[ +\tag{98} +\frac{i'}{U}\, ds = ± d\phi, +\] +worin, sofern die Elemente $ds$~und~$d\phi$ beide als positiv vorausgesetzt +werden, das obere oder das untere Vorzeichen zu nehmen +ist, jenachdem der Leitstrahl, indem er wächst, den Umfang von +innen nach aussen oder umgekehrt schneidet. Diese Vorzeichen +sind dieselben, wie die, mit welchen die in dem Integrale vorkommenden +Grössen $R_1$,~$R_2$, $R_3$~etc.\ behaftet sind. Wenn man daher +für irgend eins der Producte $±R\, d\phi$ das Product $\dfrac{R}{U}\, i'\, ds$ substituirt, +so muss man diesem letzteren äusserlich immer das Pluszeichen +geben. Da ferner in dem Integrale für jedes Winkelelement $d\phi$ +gerade so viele verschiedene Werthe von $R$ vorkommen, als zu dem +Winkelelemente verschiedene Bogenelemente gehören, so bilden alle +Bogenelemente, die durch jene Substitution eingeführt werden, +%% -----File: 085.png---Folio 71------- +zusammen den ganzen Umfang der Figur. Demnach kann man +schreiben: +\[ +\tag{99} +V = -2\pi \epsilon h \sqrt{z^2} + \epsilon h \int \frac{R}{U}\, i'\, ds, +\] +worin das Integral über den ganzen Umfang auszudehnen ist.\footnote + {Der Vollständigkeit wegen will ich auch anführen, wie die Formel sich + gestaltet, wenn der Fusspunct des von $p$ auf die Ebene gefällten Perpendikels + ausserhalb der mit dem Agens bedeckten Figur liegt. In diesem Falle muss + für jeden Leitstrahl, welcher die Figur überhaupt trifft, die Anzahl der Durchschnitte + mit dem Umfange eine gerade sein, und die Integration nach $u$ in + der Gleichung~(96) bezieht sich auf das Stück vom ersten bis zum zweiten + Durchschnitte, dann, falls noch mehr Durchschnitte vorkommen, vom dritten + bis zum vierten u.~s.~f. Man erhält daher statt der Gleichung~(97): + \[ + \tag{a} + V = \epsilon h \int(-R_1 + R_2 - \text{etc.})\, d\phi, + \] + worin die Integration nach $\phi$ sich nur über den Winkelraum erstreckt, welcher + die Figur einschliesst. Wenn man in dieser Gleichung für das Winkelelement + $d\phi$ das Bogenelement $ds$ einführt, so erhält man statt~(99): + \[ + \tag{b} + V = \epsilon h \int \frac{R}{U}\, i'\, ds. + \] + + Sollte der Fusspunct in unmittelbarer Nähe des Umfanges liegen, so dass + für gewisse Bogenelemente die Grösse~$U$ unendlich klein wird, so ist (mit + Ausnahme des Falles, wo $z = 0$ ist, so dass $R$ mit $U$ zugleich verschwindet) + die in den Ausdrücken (99)~und~(b) vorkommende Form des Integrals zur + Ausführung der Rechnung nicht geeignet. Um sich jedoch einen Ueberblick + davon zu verschaffen, welche Werthe das Integral in solchen Fällen annimmt, + kann man die ursprünglichen Formen des Integrals, welche in (97)~und~(a) + enthalten sind, betrachten. Wenn man sich dann den Fusspunct so bewegt + denkt, dass er den Umfang der Figur von aussen nach innen durchschreitet, + so findet man, dass der Werth, welchen das in~(97) vorkommende Integral an + der Innenseite unendlich nahe am Umfange hat, um $2\pi \sqrt{z^2}$ grösser ist, als + der Werth, welchen das in~(a) vorkommende Integral an der Aussenseite unendlich + nahe am Umfange hat, und dass folglich der mit dem Durchschreiten + des Umfanges verbundene plötzliche Uebergang von dem einen Integral zum + anderen einer sprungweisen Werthzunahme des Integrals um $2\pi \sqrt{z^2}$ entspricht. + Dadurch wird der Umstand, dass in der Gleichung~(97) das Product $2\pi \epsilon h \sqrt{z^2}$ + als ein mit dem Minuszeichen versehenes besonderes Glied vorkommt, während + es in der Gleichung~(a) fehlt, ausgeglichen, so dass der ganze Werth von $V$ + keine sprungweise Aenderung erleidet.} +%% -----File: 086.png---Folio 72------- + + +\Section{29.}{Verhalten der Differentialcoefficienten erster Ordnung +der Potentialfunction.} + +Wir wollen nun mit Hülfe der letzten Gleichung die Differentialcoefficienten +der Potentialfunction bilden. + +Da die Grösse~$s$, nach welcher integrirt werden soll, von den +Coordinaten $x$,~$y$ und~$z$ des Punctes~$p$ unabhängig ist, so können +wir unter dem Integralzeichen differentiiren. Die Formeln von $U$, +$R$ und~$i'$, welche dazu angewandt werden müssen, lassen sich ohne +Weiteres hinschreiben. Bezeichnen wir die Coordinaten des Bogenelementes +$ds$ mit $\xi'$ und~$\eta'$ und die Cosinus der Winkel, welche die +auf dem Elemente errichtete Normale mit der $x$-~und $y$-Axe bildet, +mit $\alpha'$ und~$\beta'$, so kommt: +\[ +\tag{100} +\left\{ +\begin{aligned} +U &= \sqrt{(\xi'-x)^2 + (\eta'-y)^2}\\ +R &= \sqrt{(\xi'-x)^2 + (\eta'-y)^2 + z^2}\\ +i' &= \frac{(\xi'-x)\alpha' + (\eta'-y)\beta'}{U} +\end{aligned} +\right. +\] +Wenn man, wie wir es im Folgenden thun wollen, voraussetzt, dass +der Fusspunct des von $p$ gefällten Perpendikels in endlicher Entfernung +vom Umfange der Figur liegt, so sind $U$ und~$R$ für alle +bei der Integration vorkommenden Elemente \Emphasis{endliche} Grössen. + +Differentiiren wir nun unter Berücksichtigung der vorigen +Gleichungen die Gleichung~(99) zuerst nach~$z$, so bekommen wir: +\[ +\tag{101} +\frac{\partial V}{\partial z} + = -2\pi\epsilon h\, \frac{z}{\sqrt{z^2}} + + \epsilon h z \int \frac{i'}{RU}\, ds, +\] +worin der Bruch $\dfrac{z}{\sqrt{z^2}}$ gleich $+1$~oder~$-1$ ist, jenachdem $z$~positiv +oder negativ ist. + +Die Hauptfrage in Bezug auf den für $\dfrac{\partial V}{\partial z}$ gefundenen Ausdruck +ist die, wie sich derselbe in unmittelbarer Nähe der mit dem +Agens bedeckten Fläche verhält. Lassen wir $z$ unendlich klein und +Null werden, so wird das zweite Glied des Ausdruckes, welches den +Factor~$z$ und ausserdem nur solche Factoren hat, die endlich bleiben, +ebenfalls unendlich klein und Null. Anders ist es mit dem +ersten Gliede. Dieses ist an der Seite der Fläche, wo $z$~positiv ist, +constant gleich $-2\pi \epsilon h$, und an der anderen Seite, wo $z$~negativ +%% -----File: 087.png---Folio 73------- +ist, constant $+2\pi\epsilon h$. Es ändert also seinen Werth in dem Moment, +wo $p$ die Fläche durchschreitet, sprungweise um~$4\pi\epsilon h$. Bezeichnen +wir die Grenzwerthe, denen $\dfrac{\partial V}{\partial z}$ sich nähert, wenn $p$ von +der positiven oder von der negativen Seite aus unendlich nahe an die +Fläche heranrückt, resp.\ mit $\left(\dfrac{\partial V}{\partial z}\right)_{+0}$ und $\left(\dfrac{\partial V}{\partial z}\right)_{-0}$\footnote + {Man könnte gegen diese von mir angewandte und auch von \Person{Kötteritzsch}, + \Person{Riemann} u.~A. adoptirte Bezeichnung vielleicht einwenden, dass es + sich nicht um den Fall handelt, wo der Abstand absolut Null und der Punct + daher in der Fläche selbst gelegen ist, sondern um den, wo der Abstand unendlich + klein wird; indessen glaube ich, dass schon das vor der Null stehende + $+$~oder~$-$ Zeichen deutlich genug erkennen lässt, dass nicht einfach der Abstand + Null gemeint ist, bei welchem das Vorzeichen keinen Sinn haben würde, + sondern dass die Annäherung an den Abstand Null, welche von der positiven + oder negativen Seite aus stattfinden kann, angedeutet werden soll. Diese Andeutung + glaubte ich auf andere Art nicht eben so einfach machen zu können.} +so kommt: +\begin{align*} +\tag{102} +\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)_{+0} + &= -2\pi\epsilon h;\quad +\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)_{-0} + = +2\pi\epsilon h \\ +% +\tag{103} +\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)_{+0} + &- \left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)_{-0} = -4\pi\epsilon h. +\end{align*} + +Die letztere Gleichung lässt sich, wie wir weiterhin sehen werden, +auch auf den allgemeinen Fall, wo die Fläche gekrümmt, und +die Vertheilung des Agens über dieselbe ungleichförmig ist, ausdehnen, +und bildet eine neue wichtige Eigenschaft der Potentialfunction. + +Wir können nun die Gleichung~(99) ebenso unter Berücksichtigung +der Gleichungen~(100) nach $x$ und~$y$ differentiiren. Führen +wir dieses zuerst nach $x$ aus, so erhalten wir: +\[ +\tag{104} +\frac{\partial V}{\partial x} + = \epsilon h \int + \left[\frac{(R^2 + z^2)(\xi' - x)}{RU^3}i' - \frac{R}{U^2}\, \alpha' \right] ds. +\] +Dieser Ausdruck lässt sich in eine einfachere Form bringen. Es +ist nämlich: +\[ +\frac{R}{U^2} = \frac{R^2}{RU^2} + = \frac{U^2 + z^2}{RU^2} = \frac{1}{R} + \frac{z^2}{RU^2}, +\] +und wenn man dieses in dem zweiten unter dem Integralzeichen +stehenden Gliede einsetzt, so kann man schreiben: +%% -----File: 088.png---Folio 74------- +\[ +\tag{105} +\frac{\partial V}{\partial x} + = -\epsilon h \int \frac{\alpha'}{R}\, ds + + \epsilon h \int + \left[\frac{(R^2 + z^2)(\xi' - x)}{RU^3}i' - \frac{z^2}{RU^2}\alpha'\right] ds. +\] + +Es lässt sich nun der Satz beweisen, dass das hierin vorkommende +zweite Integral \Emphasis{für jede geschlossene Curve Null +ist}. Da dieser Beweis nicht ganz kurz ist, und daher den Gang +der Auseinandersetzung an dieser Stelle in einer die Uebersichtlichkeit +störenden Weise unterbrechen würde, so will ich ihn in einem +Zusatze führen.\footnote + {Siehe \Emphasis{Zusatz}~II. am Ende des Buches.} +Unter Voraussetzung dieses Satzes bleibt von +der rechten Seite der vorstehenden Gleichung nur das erste Glied +übrig. Da der Differentialcoefficient nach $y$ ganz dieselbe Behandlungsweise +zulässt, so können wir die beiden sich ergebenden Ausdrücke +gleich zusammenschreiben: +\[ +\tag{106} +\left\{ +\begin{aligned} +\frac{\partial V}{\partial x} &= -\epsilon h \int \frac{\alpha'}{R}\, ds\\ +\frac{\partial V}{\partial y} &= -\epsilon h \int \frac{\beta'}{R}\, ds. +\end{aligned} +\right. +\] + +Man sieht sogleich, dass diese Ausdrücke sich, wenn $p$ an die +Fläche heranrückt und sie durchschreitet, nirgends sprungweise +ändern, und dass sie daher auch anwendbar sind, wenn $p$ in der +Fläche selbst liegt. + +Nachdem für die drei Coordinatenrichtungen, deren eine als +senkrecht zur Ebene und die beiden anderen als parallel der Ebene +vorausgesetzt wurden, die Differentialcoefficienten bestimmt sind, +kann man sofort auch den Differentialcoefficienten nach irgend +einer anderen Richtung bilden. + +Es sei durch $p$ eine beliebige Gerade gezogen, in welcher wir +uns $p$ beweglich denken wollen. Der Abstand des Punctes~$p$ von +demjenigen Puncte, wo die Gerade die Ebene schneidet, und zwar +nach der einen Seite positiv und nach der andern negativ gerechnet, +sei mit $l$ bezeichnet, dann ist es der Differentialcoefficient $\dfrac{\partial V}{\partial l}$, +um den es sich handelt. Die Beziehung zwischen diesem Differentialcoefficienten +$\dfrac{\partial V}{\partial l}$ und den auf die Coordinatenrichtungen bezüglichen +Differentialcoefficienten $\dfrac{\partial V}{\partial x}$, $\dfrac{\partial V}{\partial y}$, $\dfrac{\partial V}{\partial z}$ bestimmt sich ebenso, +%% -----File: 089.png---Folio 75------- +wie die in §~3 besprochene Beziehung zwischen $\dfrac{\partial U}{\partial s}$ und $\dfrac{\partial U}{\partial x}$, $\dfrac{\partial U}{\partial y}$, +$\dfrac{\partial U}{\partial z}$. Wir schreiben nämlich zunächst: +\[ +\frac{\partial V}{\partial l} + = \frac{\partial V}{\partial x}\, \frac{\partial x}{\partial l} + + \frac{\partial V}{\partial y}\, \frac{\partial y}{\partial l} + + \frac{\partial V}{\partial z}\, \frac{\partial z}{\partial l}. +\] +Nun ist aber, wenn $\phi$,~$\psi$,~$\theta$ die Winkel bedeuten, welche die Gerade~$l$ +mit den Coordinatenrichtungen bildet, zu setzen: +\[ +\frac{\partial x}{\partial l} = \cos{\phi};\quad +\frac{\partial y}{\partial l} = \cos{\psi};\quad +\frac{\partial z}{\partial l} = \cos{\theta}, +\] +und dadurch geht die vorige Gleichung über in: +\[ +\tag{107} +\frac{\partial V}{\partial l} + = \frac{\partial V}{\partial x}\cos{\phi} + + \frac{\partial V}{\partial y}\cos{\psi} + + \frac{\partial V}{\partial z}\cos{\theta}, +\] +und es lässt sich somit, nachdem die drei Differentialcoefficienten +$\dfrac{\partial V}{\partial x}$, $\dfrac{\partial V}{\partial y}$ und $\dfrac{\partial V}{\partial z}$ bestimmt sind, der auf eine beliebige andere Richtung +bezügliche Differentialcoefficient ohne Weiteres hinschreiben. + +Fragen wir insbesondere, wie der Differentialcoefficient $\dfrac{\partial V}{\partial l}$ +sich ändert, wenn der Punct~$p$ die Fläche durchschreitet, so können +wir folgende Gleichung bilden: +\[ +\left(\frac{\partial V}{\partial l}\right)_{+0} - +\left(\frac{\partial V}{\partial l}\right)_{-0} = +\left\{ +\begin{aligned} + & \left[ \left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)_{+0} + - \left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)_{-0}\right] \cos{\phi}\\ +% ++& \left[ \left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)_{+0} + - \left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)_{-0}\right] \cos{\psi}\\ +% ++& \left[ \left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)_{+0} + - \left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)_{-0}\right] \cos{\theta}\\ +\end{aligned} +\right\} +\] +Nun haben wir vorher gesehen, \DPtypo{das}{dass} die Differentialcoefficienten +$\dfrac{\partial V}{\partial x}$ und $\dfrac{\partial V}{\partial y}$ beim Durchschreiten der Fläche keine sprungweise +Aenderung erleiden, und demgemäss sind die in den beiden ersten +eckigen Klammern stehenden Differenzen gleich Null. Die in der +dritten eckigen Klammer stehende Differenz haben wir zu $-4\pi \epsilon h$ +bestimmt. Wir erhalten also für den Differentialcoefficienten, welcher +nach einer Richtung genommen ist, die mit der auf der Fläche +errichteten Normale den Winkel~$\theta$ bildet, folgende Gleichung: +\[ +\tag{108} +\left(\frac{\partial V}{\partial l}\right)_{+0} - +\left(\frac{\partial V}{\partial l}\right)_{-0} = -4\pi \epsilon h \cos{\theta}. +\] +%% -----File: 090.png---Folio 76------- + + +\Section{30.}{Formeln, zu welchen man gelangt, wenn man den in +Gleichung~(95) gegebenen Ausdruck der +Potentialfunction differentiirt.} + +Im vorigen~§ sind die Differentialcoefficienten der Potentialfunction +einer gleichförmig mit dem Agens bedeckten ebenen Figur +nicht unmittelbar aus dem ersten, in Gleichung~(95) gegebenen +Ausdrucke der Potentialfunction abgeleitet, sondern vielmehr aus +dem in Gleichung~(99) gegebenen, welcher aus jenem ersten dadurch +entstanden war, dass wir die Integration nach $u$ vollzogen, +und dann statt des Winkelelementes $d\phi$ das Element des Umfanges +$ds$ eingeführt hatten. + +Wir wollen nun aber noch einmal zu der Gleichung~(95), +nämlich: +\[ +V = \epsilon h \int \frac{d\omega}{r}, +\] +zurückkehren, um zu sehen, zu was für Formeln wir gelangen, +wenn wir diese Gleichung differentiiren. Berücksichtigt man, dass +zu setzen ist: +\[ +r = \sqrt{(\xi - x)^2 + (\eta - y)^2 + z^2}, +\] +so erhält man durch die Differentiationen: +\[ +\tag{109} +\left\{ +\begin{aligned} +\frac{\partial V}{\partial x} + &= \epsilon h \int \frac{\xi-x}{r^3}\, d\omega\\ +\frac{\partial V}{\partial y} + &= \epsilon h \int \frac{\eta-y}{r^3}\, d\omega\\ +\frac{\partial V}{\partial z} + &= -\epsilon h \int \frac{z}{r^3}\, d\omega.\\ +\end{aligned} +\right. +\] +Zu denselben Formeln, nur mit entgegengesetzten Vorzeichen, gelangt +man auch, wenn man direct die Kraftcomponenten $X$,~$Y$ und~$Z$ +bestimmt. + +Denken wir uns nun in diesen Formeln den durch die Coordinate~$z$ +bestimmten Abstand des Punctes~$p$ von der Ebene unendlich +klein und Null werdend, so wird für diejenigen Flächenelemente, +welche den Fusspunct des von $p$ auf die Ebene gefällten Perpendikels +%% -----File: 091.png---Folio 77------- +zunächst umgeben, für welche also die Grössen $\xi-x$ und +$\eta-y$ unendlich klein werden, auch die in den Nennern stehende +Grösse~$r$ unendlich klein. Da nun $r$ in den Nennern in der dritten +Potenz vorkommt, während die Zähler die Grössen $\xi-x$, $\eta-y$ +und~$z$ nur in der ersten Potenz enthalten, so werden die Brüche +unendlich gross, und die Integrale sind somit in der vorstehenden +Form für den Fall, wo $z$ unendlich klein oder Null ist, nicht anwendbar. +Es fragt sich nun, ob wir die Integrale so umgestalten +können, dass die zu integrirende Function endlich bleibt. + +Bei dem letzten Integrale, durch welches der Differentialcoefficient +$\dfrac{\partial V}{\partial z}$ bestimmt wird, ist dieses leicht ausführbar, und wir +können dadurch die schon im vorigen~§ gefundene Gleichung~(103) +in anderer Weise, als dort geschehen ist, ableiten. Es wird vielleicht +nicht ohne Nutzen sein, die Ableitung auch auf diesem Wege +durchzuführen, weil der in jener Gleichung ausgesprochene wichtige +Satz dadurch noch anschaulicher wird. + +Die Grösse $-\dfrac{z}{r}$ stellt den Cosinus des Winkels dar, welchen +der von $p$ nach dem Flächenelemente $d\omega$ gezogene Leitstrahl mit +der $z$-Axe bildet. Da nun die Normale des Elementes mit der +$z$-Axe parallel ist, so können wir auch sagen, $-\dfrac{z}{r}$ sei der Cosinus +des Winkels zwischen Leitstrahl und Normale. Bezeichnen wir +diesen Cosinus, wie der in §~19 u.~f.\ geschehen ist, mit~$i$, so lautet +die letzte der Gleichungen~(109): +\[ +\frac{\partial V}{\partial z} = \epsilon h \int \frac{i}{r^2}\, d\omega. +\] +Bezeichnen wir ferner, wie es ebenfalls in jenen~§§ geschehen ist, +den körperlichen Winkel der unendlichen schmalen Pyramide, welche +den Punct~$p$ als Spitze und das Flächenelement $d\omega$ als Grundfläche +hat, mit~$d\sigma$, so gilt die Gleichung: +\[ +d\sigma = ± \frac{i}{r^2}\, d\omega. +\] +Hierin ist das $+$~Zeichen zu setzen, wenn $p$ an der negativen Seite +der Ebene liegt, und der von $p$ ausgehende Leitstrahl somit die +Ebene von der negativen zur positiven Seite durchschneidet, so +%% -----File: 092.png---Folio 78------- +dass der mit $i$ bezeichnete Cosinus positiv ist; \DPtypo{dagen}{dagegen} das $-$~Zeichen, +wenn $p$ an der positiven Seite der Ebene liegt. + +Im ersteren Falle, wo $p$ an der negativen Seite der Ebene +liegt, geht durch Einführung von $d\sigma$ die obige Gleichung über in +\[ +\tag{110} +\frac{\partial V}{\partial z} = \epsilon h \int d\sigma, +\] +und hierin stellt das Integral den ganzen körperlichen Winkel dar, +unter welchem die gegebene Figur vom Puncte~$p$ aus erscheint. +Im zweiten Falle, wo $p$ an der positiven Seite der Ebene liegt, +erhält man: +\[ +\tag{110a.} +\frac{\partial V}{\partial z} = -\epsilon h \int d\sigma, +\] +worin wiederum das Integral den körperlichen Winkel darstellt, +unter welchem die Figur von der jetzigen Lage des Punctes~$p$ aus +erscheint. Denkt man sich nun, dass der Punct~$p$ an der einen +oder anderen Seite unendlich nahe an die Ebene heranrücke, so +nimmt in beiden Fällen der körperliche Winkel den Werth~$2\pi$ an, +und wir haben also zu setzen: +\[ +\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)_{-0} = 2\pi\epsilon h;\quad +\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)_{+0} = -2\pi\epsilon h, +\] +woraus sich durch Subtraction ergiebt: +\[ +\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)_{+0} - +\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)_{-0} = -4\pi\epsilon h. +\] + +Weniger einfach macht sich die Sache bei den ersten beiden +der drei Gleichungen~(109). Wollten wir, wie vorher, statt des +Flächenelementes $d\omega$ das Element des körperlichen Winkels~$d\sigma$ +einführen, so würden wir erhalten: +\[ +\frac{\partial V}{\partial x} = \epsilon h \int ±\frac{\xi - x}{ri}\, d\sigma;\quad +\frac{\partial V}{\partial y} = \epsilon h \int ±\frac{\eta- y}{ri}\, d\sigma, +\] +welche Ausdrücke für den Fall, wo $z$ endlich klein oder Null ist, +unbrauchbar sind, weil dann unter den Elementen~$d\sigma$ solche vorkommen, +für welche die im Nenner stehende Grösse~$i$ unendlich +klein oder Null wird. Wollten wir andererseits, wie es in §~28 +%% -----File: 093.png---Folio 79------- +geschehen ist, die Polarcoordinaten $u$~und~$\phi$ um den Fusspunct des +Perpendikels einführen, so würden wir erhalten: +\[ +\frac{\partial V}{\partial x} = \epsilon h \iint \frac{u^2\cos\phi}{r^3}\, du\, d\phi; \quad +\frac{\partial V}{\partial y} = \epsilon h \iint \frac{u^2\sin\phi}{r^3}\, du\, d\phi, +\] +worin zugleich zu setzen wäre: +\[ +r = \sqrt{u^2 + z^2}. +\] +In diesen Ausdrücken wird, wenn $z$ unendlich klein oder Null ist, +für unendlich kleine Werthe von $u$ der Nenner ein unendlich kleines +von höherer Ordnung, als Zähler, und die Ausdrücke sind daher +ebenfalls für unseren Zweck nicht dienlich. + +Aus diesen Gründen habe ich den unter~(95) gegebenen Ausdruck +der Potentialfunction in den unter~(99) gegebenen umgeformt, +in welchem nur noch ein nach dem Umfange zu nehmendes +Integral vorkommt, und dann erst habe ich die Differentiationen +ausgeführt. + + +\Section{31.}{Verhalten der Differentialcoefficienten zweiter Ordnung +der Potentialfunction.} + +Es ist noch von Interesse, zu erfahren, wie sich unter der gemachten +Voraussetzung, dass das wirksame Agens nur über eine +\Emphasis{Fläche} verbreitet ist, die Gleichung $\Delta V=0$ verhält. Da sich +unter dieser Voraussetzung auf einer endlichen Fläche eine endliche +Menge des Agens befindet, die mathematische Fläche aber, wenn +man ihre Grösse so bestimmen will, dass man sie als einen Theil +des körperlichen Raumes betrachtet, gleich Null zu setzen ist, so +folgt daraus, dass die Dichtigkeit des Agens, wenn man sie nicht +als Flächendichtigkeit, sondern in dem gewöhnlichen Sinne als +Raumdichtigkeit auffasst, unendlich gross ist, und es entsteht daher +die Frage, ob unter diesen Umständen jene Gleichung bis in +unmittelbarer Nähe der Fläche gültig bleibt. + +Wir bilden dazu die zweiten Differentialcoefficienten der Potentialfunction, +welche in $\Delta V$ vorkommen. Aus Gleichung~(101) +ergiebt sich, da der Bruch~$\dfrac{z}{\sqrt{z^2}}$ an der einen oder anderen Seite +der Ebene bis an diese selbst hinan constant ist: +%% -----File: 094.png---Folio 80------- +\begin{align*} +\tag{111} +\frac{\DPtypo{\partial}{\partial^2} V}{\partial z^2} + &= \epsilon h \int \frac{i'}{RU}\, ds + - \epsilon h z^2 \int \frac{i'}{R^3U}\, ds \\ + &= \epsilon h \int \frac{R^2 - z^2}{R^3U}\, i'\, ds \\ + &= \epsilon h \int \frac{U}{R^3}\, i'\, ds. +\end{align*} +Ferner ergiebt sich aus den Gleichungen~(106): +\[ +\tag{112} +\left\{ +\begin{aligned} +\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + &= -\epsilon h \int \frac{\xi' - x}{R^3}\, \alpha'\, ds \\ +\frac{\partial^2 V}{\partial y^2} + &= -\epsilon h \int \frac{\eta' - y}{R^3}\, \beta'\, ds. +\end{aligned} +\right. +\] +und somit: +\begin{align*} +\tag{113} +\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} + &= -\epsilon h \int \frac{(\xi' - x)\alpha'+(\eta' - y)\beta'}{R^3}\, ds\\ + &= -\epsilon h \int \frac{U}{R^3}\, i'\, ds. +\end{align*} +Dieser letzte Ausdruck ist dem in~(111) für $\dfrac{\partial^2 V}{\partial z^2}$ gefundenen gleich +und entgegengesetzt, und beide heben sich somit bei der Addition +auf, und man erhält: +\[ +\Delta V = 0. +\] + +Diese Gleichung gilt hiernach an beiden Seiten der Fläche bis +dicht an sie hinan. + +Will man statt des bisher benutzten Coordinatensystems $x$,~$y$,~$z$, +dessen $z$-Axe auf der Ebene senkrecht steht, ein anderes rechtwinkliges +Coordinatensystem $x_1$,~$y_1$,~$z_1$ anwenden, so kann man +durch eine ähnliche Betrachtung, wie sie am Ende des §~29 vorkam, +jeden der drei Differentialcoefficienten +\[ +\frac{\partial^2 V}{\partial x_1^2},\quad +\frac{\partial^2 V}{\partial y_1^2},\quad +\frac{\partial^2 V}{\partial z_1^2} +\] +durch die sechs Differentialcoefficienten +%% -----File: 095.png---Folio 81------- +\[ +\frac{\partial^2 V}{\partial x^2},\quad +\frac{\partial^2 V}{\partial y^2},\quad +\frac{\partial^2 V}{\partial z^2},\quad +\frac{\partial^2 V}{\partial x\, \partial y},\quad +\frac{\partial^2 V}{\partial x\, \partial z},\quad +\frac{\partial^2 V}{\partial y\, \partial z} +\] +ausdrücken, von denen auch die drei letzten endliche Grössen sind, +welche sich leicht aus~(106) ableiten lassen. Durch Addition der +Ausdrücke ergiebt sich dann sofort, dass +\[ +\frac{\partial^2 V}{\partial x_1^2} + +\frac{\partial^2 V}{\partial y_1^2} + +\frac{\partial^2 V}{\partial z_1^2} += +\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + +\frac{\partial^2 V}{\partial y^2} + +\frac{\partial^2 V}{\partial z^2} +\] +sein muss. Der Schluss, dass die Gleichung $\Delta V = 0$ auch bei unendlicher +Annäherung an die Fläche gültig bleibt, ist also von der +Wahl des Coordinatensystemes unabhängig. + +In der Fläche selbst ist die Gleichung nicht anwendbar, weil +hier die Grösse~$\dfrac{z}{\sqrt{z^2}}$ eine sprungweise Aenderung erleidet. + + +\Section{32.}{Betrachtung einer gleichförmig mit Agens bedeckten +Kugelfläche.} + +Es wird vielleicht nicht unzweckmässig sein, an die gleichförmig +mit Agens bedeckte ebene Figur noch einen anderen speciellen +Fall, nämlich die gleichförmig mit Agens bedeckte Kugelfläche +anzuschliessen, weil diese sich besonders leicht behandeln lässt. + +Für eine solche Kugelfläche haben wir nämlich schon in §~12 +die innere und äussere Potentialfunction $V_i$~und~$V_e$ bestimmt. Wenn +$a$ den Radius der Kugelfläche und $\rho$ den Abstand des Punctes~$p$ +von ihrem Mittelpuncte bedeutet, so können wir gemäss der dort +unter~(35) gegebenen Gleichungen setzen: +\begin{align*} +V_i &= 4 \pi \epsilon h a \\ +V_e &= 4 \pi \epsilon h \frac{a^2}{\rho}. +\end{align*} +Da nun die Gerade, deren Länge durch $\rho$ dargestellt wird, auf der +Kugelfläche senkrecht ist, so ist, wenn wir die Normale auf der +Fläche nach Aussen hin als positiv rechnen, der nach $\rho$ genommene +Differentialcoefficient zugleich der nach der Normale genommene +Differentialcoefficient, und zwar haben wir an der für die Normale +positiven Seite den Differentialcoefficienten von $V_e$ und an der +%% -----File: 096.png---Folio 82------- +negativen Seite den von $V_i$ zu nehmen. Betrachten wir von diesen +beiden Differentialcoefficienten die in unmittelbarer Nähe der Fläche +geltenden Werthe, so können wir, wenn wir die Normale mit $n$ +bezeichnen, setzen: +\[ +\left(\frac{\partial V}{\partial n}\right)_{+0} + = \left(\frac{dV_e}{d\rho}\right)_{\rho=a};\quad +% +\left(\frac{\partial V}{\partial n}\right)_{-0} + = \left(\frac{dV_i}{d\rho}\right)_{\rho=a}. +\] +Der letztere Differentialcoefficient ist Null, weil $V_i$ constant ist, +der erstere dagegen giebt: +\[ +\left(\frac{dV_e}{d\rho}\right)_{\rho=a} + = -4\pi\epsilon h\left(\frac{a^2}{\rho^2}\right)_{\rho=a} + = -4\pi\epsilon h. +\] +Folglich erhält man: +\[ +\left(\frac{\partial V}{\partial n}\right)_{+0} - +\left(\frac{\partial V}{\partial n}\right)_{-0} = -4\pi\epsilon h, +\] +welches die in §~29 unter~(103) gegebene Gleichung ist. + +Um nun auch nach anderen Richtungen, \zB\ nach den Coordinatenrichtungen +eines beliebigen rechtwinkligen Coordinatensystems +differentiiren zu können, brauchen wir nur zu berücksichtigen, dass +für $\rho$ folgender Ausdruck gilt: +\[ +\rho = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2}, +\] +worin $x_0$,~$y_0$,~$z_0$ die Coordinaten des Mittelpunctes der Kugelfläche +bedeuten. Dann erhalten wir: +\[ +\frac{\partial V_e}{\partial x} + = \frac{dV_e}{d\rho}\, \frac{\partial \rho}{\partial x} + = -4\pi\epsilon h\, \frac{a^2}{\rho^2}\, \frac{x - x_0}{\rho}. +\] +Setzen wir hierin $\rho = a$ und bezeichnen zugleich den Winkel zwischen +der $x$-Richtung und der Richtung von~$\rho$, welche zugleich die +Richtung der Normale ist, mit~$\theta$, so kommt: +\[ +\left(\frac{\partial V_e}{\partial x}\right)_{\rho=a} = - 4 \pi \epsilon h \cos \theta. +\] +Um diese Gleichung mit der früher gegebenen entsprechenden Gleichung +auch der Form nach in Uebereinstimmung zu bringen, denken +wir uns durch den betreffenden Punct der Oberfläche, dessen Coordinaten +$\xi$,~$\eta$,~$\zeta$ heissen mögen, eine Gerade parallel der $x$-Axe gezogen, +und bezeichnen für einen auf dieser Geraden beweglichen +Punct die Differenz $x - \xi$ mit~$l$. Dann können wir, indem wir +%% -----File: 097.png---Folio 83------- +die Aussenseite der Fläche als die positive betrachten, setzen: +\[ +\left(\frac{\partial V}{\partial l}\right)_{+0} + = \left(\frac{\partial V_e}{\partial x}\right)_{\rho=a} + = -4\pi\epsilon h \cos \vartheta. +\] +Zugleich ist: +\[ +\left(\frac{\partial V}{\partial l}\right)_{-0} + = \left(\frac{\partial V_i}{\partial x}\right)_{\rho=a} + = 0, +\] +und es kommt somit +\[ +\left(\frac{\partial V}{\partial l}\right)_{+0} - +\left(\frac{\partial V}{\partial l}\right)_{-0} + = -4\pi\epsilon h \cos\vartheta, +\] +welches die in §~29 unter~(108) gegebene Gleichung ist. + +Was ferner die Differentialcoefficienten zweiter Ordnung nach +den Coordinaten anbetrifft, so erkennt man sofort, dass innerhalb +und ausserhalb bis dicht an die Fläche hinan die Gleichungen +$\Delta V_i = 0$ und $\Delta V_e = 0$ gelten. + + +\Section{33.}{Betrachtung einer beliebig gekrümmten Fläche, in +welcher die Dichtigkeit des Agens nicht +constant zu sein braucht.} + +Wir wenden uns nun zur Betrachtung des allgemeinen Falles, +\Emphasis{wo die Fläche welche das Agens enthält, beliebig gekrümmt +und die Vertheilung des Agens ungleichförmig +ist}; indessen wollen wir nicht alle für die einfacheren Fälle gemachten +Entwickelungen auch hier durchführen, sondern uns darauf +beschränken, den in §~29 und im vorigen~§ gefundenen, durch +die Gleichung~(103) ausgedrückten Satz allgemein zu beweisen. +Wir können denselben folgendermaassen aussprechen. In irgend +einem Puncte~$P$ der Fläche sei eine Normale errichtet; in dieser +denken wir uns den Punct~$p$ beweglich und bezeichnen seinen Abstand +vom Fusspuncte~$P$ der Normale mit~$n$, wobei diese Grösse +an der einen Seite der Fläche als positiv und an der anderen als +negativ gerechnet wird. Dann ist: +\[ +\tag{III.} +\left(\frac{\partial V}{\partial n}\right)_{+0} - +\left(\frac{\partial V}{\partial n}\right)_{-0} + = -4\pi\epsilon h, +\] +%% -----File: 098.png---Folio 84------- +worin die Indices $+0$~und~$-0$ die Grenzwerthe andeuten sollen, +denen $\dfrac{dV}{dn}$ sich nähert, wenn der Punct~$p$ von der positiven oder +negativen Seite aus unendlich nahe an die Fläche hinanrückt, und +$h$ den Werth bedeutet, welchen die für einen beliebigen Punct mit +$h'$ bezeichnete Flächendichtigkeit in dem Puncte~$P$ hat, wo die +Normale errichtet ist. + +Die Entwickelungen, welche für den Beweis dieses Satzes +nöthig sind, sind in vieler Beziehung den in §~24 enthaltenen ähnlich. +Wir legen wieder im Puncte~$P$ an die Fläche eine Tangentialebene, +und nehmen diese zur $xy$-Ebene unseres Coordinatensystemes, +und die Normale zur $z$-Axe, so dass $\dfrac{\partial V}{\partial n}$ und~$\dfrac{\partial V}{\partial z}$ gleichbedeutend +sind. Wir brauchen auch hier von der Fläche nur ein +sehr kleines aber endliches Stück um $P$ speciell zu betrachten. +Nennen wir nämlich die Potentialfunction dieses kleinen Stückes +für sich allein $V_1$ und die Potentialfunction der gesammten übrigen +Fläche~$V_2$, so dass +\[ +V = V_1 + V_2 +\] +ist, so sind für $\dfrac{\partial V_2}{\partial n}$ die in der vorigen Gleichung enthaltenen Grenzwerthe +unter einander gleich, da dieser Differentialcoefficient im +Puncte~$P$ keine Unterbrechung der Stetigkeit erleiden kann. Es +ist also: +\[ +\left(\frac{\partial V_2}{\partial n}\right)_{+0} - +\left(\frac{\partial V_2}{\partial n}\right)_{-0} = 0, +\] +und wenn daher bewiesen werden kann, dass die Gleichung: +\[ +\tag{114} +\left(\frac{\partial V_1}{\partial n}\right)_{+0} - +\left(\frac{\partial V_1}{\partial n}\right)_{-0} + = -4\pi\epsilon h +\] +gilt, so ist damit auch die Gleichung~(III.) bewiesen. + +Wenn für ein Flächenelement $d\omega$ bei dem Puncte $(\xi, \eta, \zeta)$, +wo die Dichtigkeit~$h'$ stattfindet, der Abstand vom Puncte~$p$ mit $r$ +bezeichnet wird, indem +\[ +r = \sqrt{\xi^2 + \eta^2 + (\zeta-z)^2} +\] +ist, so hat man: +%% -----File: 099.png---Folio 85------- +\[ +\tag{115} +V_1 = \epsilon \int \frac{h'}{r}\, d\omega, +\] +worin die Integration über das betrachtete kleine Flächenstück auszudehnen +ist. Hierin wollen wir statt $h'$ den gleichbedeutenden +Ausdruck: +\[ +h\gamma + \left(\frac{h'}{\gamma} - h\right)\gamma +\] +schreiben, worin~$\gamma$, wie in §~24, den Cosinus des Winkels bedeutet, +welchen die auf $d\omega$ errichtete Normale mit der $z$-Axe bildet, eine +Grösse, die bei $P$ selbst gleich~$1$ und in der Nähe von $P$ wenig +von $1$ abweichend ist. Dadurch kommt: +\[ +V_1 = \epsilon h \int \frac{\gamma}{r}\, d\omega + + \epsilon \int \left(\frac{h'}{\gamma} - h\right) \frac{\gamma}{r}\, d\omega, +\] +woraus wir durch Differentiation erhalten: +\[ +\frac{\partial V_1}{\partial z} + = \epsilon h \int \frac{(\zeta-z)\gamma}{r^3}\, d\omega + + \epsilon \int \left(\frac{h'}{\gamma} - h\right) \frac{(\zeta-z)\gamma}{r^3}\, d\omega. +\] +Ferner ist, wenn die Cosinus der Winkel, welche die vorher erwähnte +Normale auf $d\omega$ mit der $x$-~und $y$-Axe und mit dem Leitstrahl~$r$ +bildet, $\alpha$,~$\beta$ und~$i$ heissen: +\begin{align*} +i &= \frac{\xi\alpha + \eta\beta + (\zeta-z)\gamma}{r}\\ +\frac{(\zeta-z)\gamma}{r} &= i - \frac{\xi\alpha + \eta\beta}{r}, +\end{align*} +und die vorige Gleichung geht daher über in: +{\small% +\[ +\tag{116} +\frac{\partial V_1}{\partial z} + = \epsilon h \int \frac{i}{r^2}\, d\omega + + \epsilon h \int \frac{-\xi\alpha - \eta\beta}{r^3}\, d\omega + + \epsilon \int \left(\frac{h'}{\gamma} - h\right) \frac{(\zeta-z)\gamma}{r^3}\, d\omega. +\]}% +Die drei hierin vorkommenden Integrale wollen wir zur Abkürzung +durch die Buchstaben $E$,~$F$ und~$G$ bezeichnen, so dass die Gleichung +lautet: +\[ +\tag{116a.} +\frac{\partial V_1}{\partial z} + = \epsilon h\, E + \epsilon h\, F + \epsilon\, G. +\] +%% -----File: 100.png---Folio 86------- +Die beiden letzten dieser Integrale erlauben eine andere Behandlung, +als das erste, weil in ihnen die zu integrirenden Functionen +Factoren enthalten, welche beim Puncte~$P$ gleich Null werden, was +in dem ersten nicht der Fall ist. Wir wollen daher das Integral~$E$ +gesondert und dann die Integrale $F$~und~$G$ gemeinsam betrachten. + + +\Section{34.}{Verhalten der Grösse $E$.} + +Wir führen in $E$ statt des Flächenelementes $d\omega$, wie in §~24, +das Element~$d\sigma$ des körperlichen Winkels ein, und erhalten: +\[ +E = \int ± d\sigma. +\] +Um die Wahl des Vorzeichens einfach ausdrücken zu können, wollen +wir die beiden Seiten der Fläche, nach welchen die Normale~$n$ positiv +und negativ gerechnet wird, kurz die positive und negative +Seite der Fläche nennen. Dann ist, wenn der von $p$ nach $d\omega$ gezogene +Leitstrahl, indem er wächst, die Fläche von der negativen +zur positiven Seite durchschneidet, $d\sigma$ mit dem Pluszeichen zu nehmen, +im anderen Falle mit dem Minuszeichen. + +Wenn daher p sich in dem \Emphasis{negativen} Theile der Normale~$n$ +befindet, so gilt für den ersten Durchschnitt irgend einer Elementarpyramide +mit der Fläche das Pluszeichen, für den zweiten, +falls die Fläche so gekrümmt ist, dass zwei Durchschnitte vorkommen, +das Minuszeichen u.~s.~f. Daraus folgt, wie man leicht sieht, +dass das ganze Integral \Emphasis{den körperlichen Winkel darstellt, +unter welchem der Umfang des betrachteten Flächenstückes +von $p$ aus erscheint}, und zwar ist von den beiden +körperlichen Winkeln, in welche der ganze Winkelraum durch die +von $p$ aus durch den Umfang gelegte Kegelfläche getheilt wird, +derjenige zu nehmen, in welchem der Fusspunct~$P$ der Normale +liegt. + +Befindet sich $p$ in dem \Emphasis{positiven} Theile der Normale, so ist +bei jeder Elementarpyramide für den ersten Durchschnitt das Minuszeichen, +für den zweiten das Pluszeichen u.~s.~f.\ anzuwenden, wodurch +das ganze Integral eine \Emphasis{negative} Grösse wird. Der absolute +Werth dieser Grösse stellt wieder den körperlichen Winkel dar, +unter welchem der Umfang des Flächenstückes von $p$ aus erscheint, +und zwar ebenfalls denjenigen der beiden in Betracht kommenden +%% -----File: 101.png---Folio 87------- +Winkel, in welchem der Fusspunct~$P$ liegt. Aus dem letzteren +Umstande folgt, dass in diesem Falle der körperliche Winkel nach +der entgegengesetzten Seite zu nehmen ist, als im vorigen. Denkt +man sich also zwei Lagen von $p$ zu beiden Seiten des Fusspunctes~$P$, +aber beide unendlich nahe demselben, und somit auch unter +einander unendlich nahe, so erhält man für diese beiden Lagen +zwei körperliche Winkel, welche sich zu $4\pi$ ergänzen. Demnach +können wir, wenn wir für den Fall, wo der Punct~$p$ an der negativen +Seite liegt, den körperlichen Winkel mit $\sigma_1$ bezeichnen, +schreiben: +\begin{align*} +E_{-0} &= \sigma_1\\ +E_{+0} &= -(4\pi-\sigma_1). +\end{align*} + +Bilden wir nun die Differenz $E_{+0} - E_{-0}$, so hebt sich darin +die einmal mit dem $+$~Zeichen und einmal mit dem $-$~Zeichen vorkommende +Grösse~$\sigma_1$ auf, und es bleibt: +\[ +\tag{117} +E_{+0} - E_{-0} = -4\pi. +\] + + +\Section{35.}{Verhalten der Grössen $F$~und~$G$.} + +Wir betrachten nun die beiden anderen in der Gleichung~(116) +vorkommenden Integrale $F$~und~$G$. Diese lauten: +\[ +\tag{118} +\left\{ +\begin{aligned} +F &= \int \frac{-\xi\alpha - \eta\beta}{r^3}\, d\omega\\ +G &= \int \left( \frac{h'}{\gamma} - h \right) \frac{\zeta-z}{r^3}\, \gamma\, d\omega. +\end{aligned} +\right. +\] +Es soll nun bewiesen werden, dass diese Integrationen bestimmt +ausführbar sind und dass, wenn $z$ von einem kleinen negativen +Werthe durch Null zu einem positiven übergeht, die Integrale dabei +keine sprungweise Aenderung erleiden. + +In dem ersten können wir, wie in §~24, setzen: +\[ +\alpha = - \frac{\partial \zeta}{\partial \xi}\, \gamma;\quad +\beta = - \frac{\partial \zeta}{\partial \eta}\, \gamma, +\] +wodurch es übergeht in: +%% -----File: 102.png---Folio 88------- +\[ +F = \int \frac{\dfrac{\partial \zeta}{\partial \xi}\, \xi + + \dfrac{\partial \zeta}{\partial \eta}\, \eta}{r^3}\, \gamma\, d\omega +\] +Ferner wollen wir in der $xy$-Ebene statt der rechtwinkligen Coordinaten +$\xi$~und~$\eta$ um denselben Anfangspunct die Polarcoordinaten +$u$~und~$\varphi$ einführen, dann ist: +\[ +\xi = u \cos{\varphi},\quad \eta = u \sin{\varphi} +\] +und somit: +\[ +\frac{\partial \xi}{\partial u} = \cos{\varphi};\quad +\frac{\partial \eta}{\partial u} = \sin{\varphi}, +\] +und wenn wir mittelst dieser Gleichungen $\cos{\varphi}$ und~$\sin{\varphi}$ aus den +vorigen eliminiren: +\[ +\xi = \frac{\partial \xi}{\partial u}\, u;\quad +\eta = \frac{\partial \eta}{\partial u}\, u. +\] +Dadurch nimmt der in $F$ vorkommende Zähler eine einfachere Form +an, nämlich: +\[ +\frac{\partial \zeta}{\partial \xi}\, \xi + +\frac{\partial \zeta}{\partial \eta}\, \eta + = \left( \frac{\partial \zeta}{\partial \xi} + · \frac{\partial \xi}{\partial u} + + \frac{\partial \zeta}{\partial \eta} + · \frac{\partial \eta}{\partial u} \right) u + = \frac{\partial \zeta}{\partial u}\, u. +\] +Endlich können wir in beiden Integralen für das Product $\gamma\, d\omega$, +welches die Projection des Elementes~$d\omega$ auf die $xy$-Ebene darstellt, +ein Element dieser Ebene setzen, und dann die Integration +über die Projection des betrachteten Flächenstückes auf die Ebene +ausführen. Das Element der Ebene, in Polarcoordinaten ausgedrückt, +ist $u\, du\, d\varphi$, und die Gleichungen~(118) gehen somit über in: +\[ +\tag{119} +\left\{ +\begin{aligned} +F &= \iint \frac{\partial \zeta}{\partial u} · \frac{u^2}{r^3}\, du\, d\varphi \\ +G &= \iint \left( \frac{h'}{\gamma} - h \right) \frac{(\zeta - z)u}{r^3}\, du\, d\varphi. +\end{aligned} +\right. +\] + +Nehmen wir nun zunächst an, dass die Fläche an der betrachteten +Stelle nur eine \Emphasis{endliche Krümmung} habe, und dass +auch die Dichtigkeit~$h$ sich in der Nähe derselben nur allmälig +ändere, dass also \Emphasis{ihre Differentialcoefficienten endliche +%% -----File: 103.png---Folio 89------- +Grössen} seien, so können wir, da die $xy$-Ebene im Puncte~$P$ +Tangentialebene ist, setzen: +\[ +\tag{120} +\left\{ +\begin{aligned} +&\zeta = mu^2\\ +&\frac{\partial \zeta}{\partial u} = m'u\\ +&\frac{h'}{\gamma} - h = nu, +\end{aligned} +\right. +\] +worin $m$,~$m'$ und~$n$ Functionen von $u$~und~$\varphi$ sind, welche für kleine +Werthe von $u$ nicht unendlich gross werden. Durch Einsetzung der +beiden letzten Formeln in die Ausdrücke~(119) gehen diese über in: +\[ +\tag{121} +\left\{ +\begin{aligned} +F &= \iint m'\, \frac{u^3}{r^3}\, du\, d\varphi\\ +G &= \iint n\, \frac{(\zeta-z)u^2}{r^3}\, du\, d\varphi. +\end{aligned}\right. +\] +Bedenkt man hierbei, dass +\[ +r = \sqrt{u^2 + (\zeta-z)^2} +\] +ist, so sieht man leicht, dass die zu integrirenden Functionen für keine +Werthe von $u$~und~$z$ unendlich gross werden können, und dass somit +die Integrationen bestimmt ausführbar sind. + +Um noch zu zeigen, dass die Ausdrücke beim Durchgange von +$z$ durch Null keine sprungweise Aenderung erleiden, wollen wir die +Grösse~$\dfrac{1}{r^3}$ in eine Reihe entwickeln. Die Formel von $r$ lautet, +wenn man darin für $\zeta$ seinen in~(120) gegebenen Werth setzt: +\[ +r = \sqrt{u^2 + z^2 - 2mzu^2 + m^2 u^4}. +\] +Hierin wollen wir die Grösse~$t$ mit der Bedeutung +\[ +\tag{122} +t = \sqrt{u^2 + z^2} +\] +einführen, dann kommt: +\begin{align*} +r &= \sqrt{t^2 - 2mzu^2 + m^2 u^4}\\ + &= t \sqrt{1 - 2m\, \frac{zu^2}{t^2} + m^2 \frac{u^4}{t^2}} +\end{align*} +%% -----File: 104.png---Folio 90------- +und daraus folgt weiter: +\[ +\frac{1}{r^3} = \frac{1}{t^3} \left( 1 + 3m\, \frac{zu^2}{t^2} - \frac{3}{2}m^2\, \frac{u^4}{t^2} + \text{etc.} \right). +\] +Wenn man diese Reihe, welche stark convergirt, weil $u$ nur kleine +Werthe haben kann, in die Ausdrücke~(121) einsetzt, und im letzteren +derselben auch im Zähler für $\zeta$ seinen Werth aus~(120) setzt, +so kann man schreiben: +\[ +\tag{123} +\left\{ +\begin{aligned} +F &= \iint m' \frac{u^3}{t^3}\, du\, d\varphi + + \iint 3mm'\, \frac{zu^5}{t^5}\, du\, d\varphi - \text{etc.}\\ +G &= - \iint n \frac{zu^2}{t^3}\, du\, d\varphi + + \iint mn\, \frac{u^4}{t^3}\, du\, d\varphi - \text{etc.} +\end{aligned} +\right. +\] + +Auf diese Weise ist jede der Grössen $F$~und~$G$ in eine Reihe +von Gliedern zerlegt, von denen das erste unter den Integralzeichen +einen Bruch enthält, der im Zähler in Bezug auf $z$~und~$u$ von +demselben Grade ist, wie im Nenner in Bezug auf~$t$, während die +folgenden Glieder Brüche enthalten, die im Zähler von höherem +Grade als im Nenner sind. Diese letzteren Glieder lassen sich kurz +abmachen. Wenn man von einem derselben den Differentialcoefficienten +nach $z$ bilden will, so kann man unter den Integralzeichen +differentiiren, wodurch dort ein Bruch entsteht, dessen Zähler noch +von gleichem oder höherem Grade als der Nenner ist, und da ein +solcher Bruch für keine Werthe von $z$~und~$u$ unendlich gross werden +kann, so muss auch das Integral für alle Werthe von $z$ endlich +bleiben. Da somit der Differentialcoefficient des betrachteten +Gliedes endlich bleibt, so kann das Glied selbst beim Durchgange +von $z$ durch Null keine sprungweise Aenderung erleiden. Es bleibt +also in jedem der beiden obigen Ausdrücke nur das erste Glied besonders +zu behandeln, um auch an ihm dieselbe Eigenschaft nachzuweisen. +Wir wollen diese Grössen mit $F'$~und~$G'$ bezeichnen, +indem wir setzen: +\[ +\tag{124} +\left\{ +\begin{aligned} +F' &= \iint m' \frac{u^3}{(u^2 + z^2)^{\tfrac{3}{2}}}\, du\, d\varphi\\ +G' &= - \iint n \frac{zu^2}{(u^2 + z^2)^{\tfrac{3}{2}}}\, du\, d\varphi. +\end{aligned} +\right. +\] +%% -----File: 105.png---Folio 91------- +Statt der ersten dieser beiden Grössen wollen wir noch eine andere +bilden. Wir bezeichnen den Werth, welchen $F'$ für $z = 0$ annimmt, +mit~$A$, nämlich: +\[ +A = \iint m'\, du\, d\varphi +\] +und bilden dann die Differenz: +\[ +\tag{125} +F' - A = -\iint m'\, \frac{(u^2+z^2)^{\tfrac{3}{2}} - u^3}{(u^2+z^2)^{\tfrac{3}{2}}}\, du\, d\varphi. +\] + +Von den beiden Grössen $F'-A$ und~$G'$ lässt sich nun leicht +beweisen, \Emphasis{dass sie, wenn $z$ unendlich klein und Null wird, +ebenfalls unendlich klein und Null werden müssen}. Setzt +man nämlich in den unter den Integralzeichen stehenden Brüchen +für $z$ einen unendlich kleinen Werth, so werden die Brüche für +alle endlichen Werthe von $u$ unendlich klein, und nur für unendlich +kleine Werthe von $u$ nehmen sie endliche Werthe an, die man +leicht näher bestimmen kann. Der erste Bruch: +\[ +\frac{(u^2 + z^2)^{\tfrac{3}{2}} - u^3}{(u^2 + z^2)^{\tfrac{3}{2}}} +\] +geht, wenn $u$ bis Null abnimmt, in den Grenzwerth~$1$ über. Der +zweite Bruch: +\[ +\frac{zu^2}{(u^2+z^2)^{\tfrac{3}{2}}} +\] +zeigt ein etwas complicirteres Verhalten. Wenn $u$ soweit abnimmt, +dass es ein unendlich Kleines von derselben Ordnung wie $z$ wird, +so wird dadurch der Bruch endlich, und wenn $u$ noch weiter abnimmt, +so dass es ein unendlich Kleines von höherer Ordnung als +$z$ wird, so wird der Bruch wieder unendlich klein. Sei nämlich $\delta$ +eine unendlich kleine Grösse, und setzen wir: +\[ +z = a\delta,\quad u = b\delta, +\] +worin $a$~und~$b$ endliche Coefficienten sind, so geht dadurch der +vorige Bruch über in: +\[ +\frac{a\delta · b^2\delta^2} + {(b^2\delta^2 + a^2\delta^2)^{\tfrac{3}{2}}} + = \frac{ab^2}{(b^2 + a^2)^{\tfrac{3}{2}}}; +\] +%% -----File: 106.png---Folio 92------- +setzen wir dagegen: +\[ +z = a\delta;\quad u = b\delta^2, +\] +so geht der Bruch über in: +\[ +\frac{a\delta \mathbin{.} b^2 \delta^4}{(a^2 \delta^2)^{\tfrac{3}{2}}} + = \frac{b^2}{a^2}\, \delta^2. +\] +Das Wesentliche aber, worauf es für unsere Betrachtung ankommt, +gilt für den einen Bruch so gut, wie für den anderen, nämlich +dass das Intervall von~$u$, innerhalb dessen der Bruch einen endlichen +Werth hat, nur unendlich klein ist, und dass ferner, wenn +man sich denkt, dass der schon unendlich kleine Werth von $z$ noch +immer kleiner bis Null werde, dann auch einerseits jenes Intervall +von~$u$, innerhalb dessen der Bruch endlich ist, und andererseits die +ausserhalb dieses Intervalles stattfindenden unendlich kleinen Werthe +des Bruches immer kleiner bis Null werden. Daraus folgt, dass, +wenn man die in $F'-A$ und~$G'$ angedeutete Integration nach $u$ +von $u=0$ bis zu einem beliebigen endlichen Werthe von $u$ ausführt, +man dadurch Grössen erhalten muss, die mit $z$ zugleich unendlich +klein und Null werden. + +Man kann dieses letztere Resultat auch noch auf eine andere +Art beweisen, welche vielleicht noch klarer ist. Betrachten wir +zuerst die Grösse $F'-A$, so ist darin der vorher besprochene Bruch +mit dem Factor~$m'$ behaftet, welcher von $u$ abhängt. Wenn nun +die Integration nach $u$ zwischen irgend zwei Grenzen ausgeführt +werden soll, so kann man sicher sein, dass das dadurch entstehende +Integral seinem Werthe nach zwischen denjenigen beiden Integralen +liegt, welche man erhält, wenn man statt der veränderlichen Grösse~$m'$ +ein Mal den grössten Werth, welchen sie zwischen jenen beiden +Grenzen von $u$ hat, und das andere Mal den kleinsten Werth setzt, +und dann die Integration ausführt. Wenn man daher findet, dass +diese beiden letzten Integrale unendlich klein oder Null werden, +so muss man schliessen, dass dasselbe auch mit jenem ursprünglich +gegebenen Integrale der Fall ist. Ebenso verhält es sich mit der +Grösse~$G'$ in Bezug auf den Factor~$n$. Nun lässt sich aber in beiden +Ausdrücken, wenn man für $m'$~und~$n$ constante Werthe setzt, +die Integration nach $u$ sofort wirklich ausführen. Bezeichnen wir +die constanten Werthe zum Unterschiede mit $m'_1$~und~$n_1$ und integriren +%% -----File: 107.png---Folio 93------- +von $u = 0$ bis $u = U$, wo $U$ irgend einen endlichen Werth +bedeuten soll, so kommt: +\begin{align*} +& m'_1 \int_{0}^{U} \frac{(u^2 + z^2)^{\tfrac{3}{2}} - u^3}{(u^2 + z^2)^{\tfrac{3}{2}}}\, du + = m'_1 \left( U - \frac{U^2 + 2z^2}{\sqrt{U^2 + z^2}} + 2 \sqrt{z^2} \right)\\ +% +& n_1 \int_{0}^{U} \frac{zu^2}{(u^2 + z^2)^{\tfrac{3}{2}}}\, du \\ +&\quad + = n_1 \left[ - \frac{zU}{\sqrt{U^2 + z^2}} + + z\log{(U + \sqrt{U^2 + z^2})} - z \log{\sqrt{z^2}} \right]. +\end{align*} +Man sieht sogleich aus der Form dieser Ausdrücke, dass sie mit $z$ +zugleich unendlich klein und Null werden, und zwar für alle beliebigen +Werthe der constanten Factoren $m'_1$~und~$n_1$, und somit +auch für die oben erwähnten grössten und kleinsten Werthe. Demnach +muss dasselbe Resultat auch gültig bleiben, wenn statt der +constanten Werthe wieder die veränderlichen Factoren $m'$~und~$n$ +eingeführt werden, und daraus folgt weiter, dass auch die ganzen +Grössen $F'-A$ und~$G'$ mit $z$ zugleich unendlich klein und Null +werden müssen, und dass daher die Grössen $F'$~und~$G'$ beim Durchgange +von $z$ durch Null keine sprungweise Aenderung erleiden +können. + +Da dasselbe, was hier von $F'$~und~$G'$ gefunden ist, sich dem +oben Gesagten nach auch auf die vollständigen in~(123) gegebenen +Ausdrücke von $F$~und~$G$ ausdehnen lässt, so können wir schreiben: +\[ +\tag{126} +\left\{ +\begin{aligned} +F_{+0} - F_{-0} &= 0\\ +G_{+0} - G_{-0} &= 0. +\end{aligned} +\right. +\] + +Gehen wir nun zu der Gleichung~(116a.)\ zurück, und berücksichtigen +dabei die Gleichung~(117), so erhalten wir: +\[ +\left( \frac{\partial V_1}{\partial z} \right)_{+0} - +\left( \frac{\partial V_1}{\partial z} \right)_{-0} + = \epsilon h (E_{+0} - E_{-0}) = - 4 \pi \epsilon h. +\] +Da die $z$-Axe in der Richtung der Normale genommen ist, so +%% -----File: 108.png---Folio 94------- +kann man statt des Differentialcoefficienten nach $z$ auch den nach +$n$ schreiben, also: +\[ +\left( \frac{\partial V_1}{\partial n} \right)_{+0} - +\left( \frac{\partial V_1}{\partial n} \right)_{-0} = - 4\pi \epsilon h. +\] +Hieraus ergieht sich nach dem, was in §~33 gesagt ist, sofort auch +die zu beweisende Gleichung~(III.): +\[ +\left( \frac{\partial V}{\partial n} \right)_{+0} - +\left( \frac{\partial V}{\partial n} \right)_{-0} = - 4\pi \epsilon h. +\] + + +\Section{36.}{Specieller Fall, wenn an der betreffenden Stelle die +Krümmung der Fläche unendlich gross ist, oder die Dichtigkeit +sich unendlich schnell ändert.} + +Bei dem vorigen Beweise wurde vorausgesetzt, dass die Krümmung +der Fläche an der betreffenden Stelle endlich sei, und auch +$h$ sich in der Nähe dieser Stelle nur allmälig ändere. Wir wollen +nun diese Voraussetzung fallen lassen, und statt der Gleichungen~(120) +schreiben: +\[ +\tag{127} +\left\{ +\begin{aligned} +& \zeta = mu^{1+\mu}\\ +& \frac{\partial \zeta}{\partial u} = m'u^{\mu}\\ +& \frac{h'}{\gamma} - h = nu^{\nu}, +\end{aligned} +\right. +\] +worin $m$,~$m'$ und~$n$ dieselbe Bedeutung haben, wie früher, und $\mu$ +und~$\nu$ irgend welche positive Grössen sind. Wenn $\mu < 1$ ist, so +wird der Differentialcoefficient $\smash[b]{\dfrac{\partial^2 \zeta}{\partial u^2}}$, und mit ihm die Krümmung +der Fläche für $u = 0$ unendlich gross. Ist $\nu < 1$, so wird $\dfrac{\;\partial \dfrac{h'}{\gamma}\;}{\partial u}$ +und daher im Allgemeinen auch $\dfrac{\partial h'}{\partial u}$ für $u = 0$ unendlich gross. +Dessenungeachtet lässt sich beweisen, dass die Gleichung~(III.) gültig +bleibt, so lange die Grössen $\mu$~und~$\nu$ nur angebbare positive +Werthe haben. +%% -----File: 109.png---Folio 95------- + +Wir können dabei wieder, nachdem wir die Grössen $F$~und~$G$ +in Reihen entwickelt haben, unsere Aufmerksamkeit auf das erste +Glied jeder Reihe beschränken, denn man erkennt leicht, dass, wenn +sich für dieses Glied die fraglichen Eigenschaften nachweisen lassen, +(nämlich dass die Integration bestimmt ausführbar ist, und das Integral +beim Durchgange von $z$ durch Null keine sprungweise Aenderung +erleidet), dann dieser Nachweis bei den höheren Gliedern +um so weniger Schwierigkeiten haben kann. Wir erhalten daher +statt~(124) die Ausdrücke: +\[ +\tag{128} +\left\{ +\begin{aligned} +F' &= \iint m'\, \frac{u^{2+\mu}}{(u^2 + z^2)^{\tfrac{3}{2}}}\, du\, d\phi \\ +G' &= - \iint n\, \frac{zu^{1+\nu}}{(u^2 + z^2)^{\tfrac{3}{2}}}\, du\, d\phi. +\end{aligned} +\right. +\] +In den hier vorkommenden Brüchen sind, wenn $\mu$~und~$\nu$ kleiner +als $1$ sind, die Zähler von niedrigerem Grade als die Nenner, und +die Brüche bleiben daher nicht für alle Werthe von $z$~und~$u$ endlich. +Indessen lässt sich diese Schwierigkeit durch die schon in +§~25 angewandte Art der Umformung beseitigen. Führen wir nämlich +statt der Veränderlichen~$u$ die beiden Veränderlichen $u'$~und~$u''$ +ein mit der Bedeutung: +\[ +u' - u^{\mu} \text{ und } u'' = u^{\nu}, +\] +so kommt: +\[ +\tag{129} +\left\{ +\begin{aligned} +F' &= \iint \frac{m'}{\mu} · \frac{u'^{\tfrac{3}{\mu}}}{(u'^{\tfrac{2}{\mu}} + z^2)^{\tfrac{3}{2}}}\, du'\, d\phi\\ +G' &= -\iint \frac{n}{\nu} · \frac{zu''^{\tfrac{2}{\nu}}}{(u''^{\tfrac{2}{\nu}} + z^2)^{\tfrac{3}{2}}}\, du''\, d\phi. +\end{aligned} +\right. +\] +Bei dieser Form der Ausdrücke bleiben die zu integrirenden Functionen +für alle Werthe von $z$ und von $u'$~und~$u''$ endlich, und es +lassen sich auf diese Ausdrücke dieselben Betrachtungen anwenden, +wie auf die Ausdrücke~(124) im vorigen~§, und man erhält daher +wieder als Resultat die Gleichung~(III.). + +Diese Gleichung hört erst dann auf gültig zu sein, wenn die +%% -----File: 110.png---Folio 96------- +Gleichungen~(127) für keine angebbaren positiven Werthe von $\mu$ +und~$\nu$ anwendbar sind. Dabei ist aber zu bemerken, dass die +meisten Fälle dieser Art schon von selbst von dem durch die Gleichung~(III.) +ausgedrückten Satze ausgeschlossen sind. Bildet die +Fläche an der betreffenden Stelle eine scharfe Spitze oder Kante, +so dass es dort keine bestimmte Tangentialebene giebt, so giebt +es auch keine bestimmte Normale, und der Differentialcoefficient +$\dfrac{\partial V}{\partial n}$ hat daher keinen Sinn. Erleidet ferner die Dichtigkeit~$h'$ gerade +an der betreffenden Stelle eine sprungweise Aenderung, so +hat $h$ keinen bestimmten Werth und die Gleichung verliert dadurch +ihre Bedeutung. Es bleiben also nur solche Fälle übrig, wie zu +Ende des §~25 einer als Beispiel angeführt ist, welche aber zu speciell +sind, um sich hier einer besonderen Betrachtung zu verlohnen. + + +\Section{37.}{Potentialfunction einer gleichförmig mit Agens +bedeckten geraden Linie.} + +An den in den §§~27 bis~36 betrachteten Fall, wo das Agens +sich auf einer Fläche befindet, schliesst sich, bei geometrischem Fortschreiten +der practisch freilich weniger wichtige Fall an, wo das +Agens über eine Linie stetig verbreitet ist, so dass sich auf einem +endlichen Linienstücke eine endliche Menge des Agens befindet. + +Der einfachste Fall dieser Art ist der, wo ein Stück einer +\Emphasis{geraden} Linie so mit dem Agens bedeckt ist, \Emphasis{dass sich auf +gleichen Längenabschnitten gleich viel davon befindet}, +und da dieser Fall die hier in Betracht kommende Eigenschaft der +Potentialfunction besonders bequem erkennen lässt, so möge er zuerst +behandelt werden. + +Die mit dem Agens bedeckte Gerade möge als $z$-Axe eines +rechtwinkligen Coordinatensystemes genommen werden. Ein Element +derselben heisse $dz'$ und die darauf befindliche Menge des +Agens werde mit $g\, dz'$ bezeichnet, worin $g$ die als constant vorausgesetzte +Liniendichtigkeit bedeutet. Die dem Anfangs- und Endpuncte +der Geraden entsprechenden Werthe von $z'$ sollen $a$ und~$b$ +heissen. Der Punct~$p$ mit den Coordinaten $x$,~$y$,~$z$, für welchen +die Potentialfunction zu bestimmen ist, soll eine solche Lage haben, +dass der Werth von $z$ zwischen $a$~und~$b$ liegt. +%% -----File: 111.png---Folio 97------- + +Die für die Potentialfunction geltende Gleichung ist: +\[ +V = \epsilon g \int_{a}^{b} \frac{dz'}{\sqrt{x^2 + y^2 + (z'-z)^2}}, +\] +oder, wenn wir den Abstand des Punctes~$p$ von der Geraden mit $\rho$ +bezeichnen, und demgemäss setzen: +\[ +\rho = \sqrt{x^2 + y^2} +\] +so kommt: +\[ +\tag{130} +V = \epsilon g \int_{a}^{b} \frac{dz'}{\sqrt{\rho^2 + (z'-z)^2}}. +\] +Hierin lässt sich die Integration ausführen, und giebt: +\[ +V = \epsilon g + \log \frac{b - z + \sqrt{\rho^2 + (b-z)^2}} + {a - z + \sqrt{\rho^2 + (a-z)^2}}. +\] +Multipliciren wir den unter dem \DPtypo{Lagarithmuszeichen}{Logarithmuszeichen} stehenden +Bruch in Zähler und Nenner mit $z - a + \sqrt{\rho^2 + (z-a)^2}$, so wird +der Nenner einfach~$\rho^2$, und der Ausdruck lässt sich dann so +schreiben: +\[ +\tag{131} +\begin{aligned} +V = -2 \epsilon g \log \rho + &+ \epsilon g \log \left[ b - z + \sqrt{\rho^2 + (b-z)^2} \right] \\ + &+ \epsilon g \log \left[ z - a + \sqrt{\rho^2 + (z-a)^2} \right]. +\end{aligned} +\] +Setzt man hierin wieder für $\rho$ seinen Werth $\sqrt{x^2 + y^2}$, so hat +man $V$ als Function von $x$,~$y$,~$z$ und kann nach jeder der drei +Coordinaten differentiiren. + +Von besonderem Interesse sind die Werthe, welche die Potentialfunction +$V$ und ihr nach $\rho$ genommener Differentialcoefficient +annehmen, wenn $\rho$ unendlich klein und Null wird, wenn also der +betrachtete Punct sich der mit Agens bedeckten Linie unendlich +nähert und sie erreicht. Dividirt man die vorige Gleichung durch +$\log \rho$, und lässt dann $\rho$ bis Null abnehmen, so verschwinden die +beiden letzten Glieder an der rechten Seite, weil der Nenner $\log \rho$ +unendlich gross wird, während die Zähler endlich bleiben, und es +kommt somit, wenn man den auf $\rho = 0$ bezüglichen Grenzwerth +durch den beigesetzten Index~$0$ andeutet: +%% -----File: 112.png---Folio 98------- +\[ +\tag{132} +\left( \frac{V}{\log \rho} \right)_0 = -2 \epsilon g. +\] +Differentiirt man ferner die obige Gleichung nach~$\rho$, multiplicirt +sie darauf mit $\rho$ und lässt dann $\rho$ zu Null werden, so verschwinden +wieder die beiden letzten Glieder, und es bleibt: +\[ +\tag{133} +\left( \rho\, \frac{\partial V}{\partial \rho}\right)_0 = -2 \epsilon g. +\] +Diese Gleichungen sind für die Potentialfunction einer nur auf einer +Linie befindlichen Menge des Agens characteristisch. + + +\Section{38.}{Beweis der characteristischen Gleichungen für eine +gekrümmte und ungleichförmig mit Agens +bedeckte Linie.} + +Wir wollen nun statt der geraden Linie, auf welcher die Dichtigkeit +constant ist, eine beliebig gekrümmte Linie mit veränderlicher +Dichtigkeit betrachten, wobei wir nur voraussetzen wollen, +dass die Krümmung überall endlich sei, und die Dichtigkeit sich +nur stetig ändere. Bei der Behandlung dieses allgemeinen Falles +wollen wir uns aber darauf beschränken, zu beweisen, dass auch +für ihn die obigen characteristischen Gleichungen gelten. + +In irgend einem zur Betrachtung ausgewählten Puncte der mit +dem Agens bedeckten Linie denken wir uns die Tangente an dieselbe +gelegt, und nehmen diese als $z$-Axe und zwei beliebige durch +den Berührungspunct gehende, auf ihr und unter einander senkrechte +Gerade als $x$-~und $y$-Axe eines Coordinatensystems. Den +Punct~$p$ denken wir uns im positiven Arme der $x$-Axe liegend, so +dass die Coordinate~$x$ zugleich der senkrechte Abstand des Punctes +von der Linie ist. + +Ist nun $ds$ irgend ein Element der Linie mit den Coordinaten +$x'$,~$y'$,~$z'$ und wird die darauf befindliche Menge des Agens mit +$g'\, ds$ bezeichnet, so ist die Potentialfunction: +\[ +V = \epsilon \int \frac{g'\, ds}{\sqrt{(x-x')^2 + y'^2 + z'^2}}, +\] +woraus folgt: +\[ +\frac{\partial V}{\partial x} + = - \epsilon \int \frac{g'(x-x')\, ds}{[(x-x')^2 + y'^2 + z'^2]^{\tfrac{3}{2}}}. +\] +%% -----File: 113.png---Folio 99------- +Diese Ausdrücke sollen nun soweit berechnet werden, dass die +Werthe von $\dfrac{V}{\log x}$ und $x\, \dfrac{\partial V}{\partial x}$ für $x = 0$ bestimmt werden können. + +Dabei braucht die Integration nur für ein sehr kleines Stück +der Linie zu beiden Seiten des Anfangspunctes der Coordinaten +ausgeführt zu werden, denn für die Potentialfunction der entfernteren +Theile versteht es sich von selbst, dass sie und ihr Differentialcoefficient +nach $x$ endlich bleiben, und dass somit die Producte +derselben mit $\dfrac{1}{\log x}$ und~$x$ für $x = 0$ verschwinden. + +Um die Ausdrücke für unsere Betrachtung geeignet zu machen, +müssen sie umgeformt werden. Sei $dz'$ die Projection des Elementes~$ds$ +auf die $z$-Axe und~$\gamma$ der Cosinus des Winkels, welchen $ds$ +mit der $z$-Axe bildet; dann ist: +\[ +ds = \frac{1}{\gamma}\, dz'. +\] +Nach Einführung dieses Werthes für $ds$ betrachten wir die Grösse +$\dfrac{g'}{\gamma}$. Die Dichtigkeit im Anfangspuncte der Coordinaten sei mit $g$ +bezeichnet. Da ferner der mit $\gamma$ bezeichnete Cosinus im Anfangspuncte +der Coordinaten, wo die Linie die $z$-Axe berührt, gleich~$1$ +ist, so hat der ganze Bruch $\dfrac{g'}{\gamma}$, welcher als Function von $z'$ angesehen +werden kann, für $z'= 0$ den Werth~$g$, und für andere +Werthe von $z'$ kann man setzen: +\[ +\frac{g'}{\gamma} = g + lz', +\] +worin $l$ eine Function von $z'$ ist, welche für kleine Werthe von $z'$ +nicht unendlich gross wird. Die Gleichung für $V$ lautet dann: +\[ +V = \epsilon \int \frac{(g + lz')\, dz'}{\sqrt{(x-x')^2 + y'^2 + z'^2}}. +\] +Nun kann man ferner, weil die Linie im Anfangspuncte der Coordinaten +die $z$-Axe berührt, setzen: +\[ +x' = mz'^2;\quad y'=nz'^2, +\] +worin $m$ und~$n$ ebenfalls endliche Functionen von $z'$ sind. Indem +%% -----File: 114.png---Folio 100------- +wir diese Werthe anwenden, und zugleich, ähnlich wie in §~35, +das Zeichen~$t$ mit der Bedeutung +\[ +t = \sqrt{x^2 + z'^2} +\] +einführen, erhalten wir: +\[ +V = \epsilon\int\frac{(g + lz')\, dz'} + {t\sqrt{1 - 2m\,\frac{xz'^2}{t^2} + (m^2 + n^2)\, \frac{z'^4}{t^2}}}, +\] +worin wir den unter dem Integralzeichen stehenden Ausdruck folgendermaassen +in eine Reihe entwickeln können: +\[ +V = \epsilon\int + \left( g\, \frac{1}{t} + l\, \frac{z'}{t} + + gm\, \frac{xz'^2}{t^3} + lm\, \frac{xz'^3}{t^3} - \text{etc.}\right) dz'. +\] + +Integriren wir nun zunächst das erste Glied der Reihe von +irgend einem kleinen negativen Werthe von~$z'$, welcher $-a$ heissen +möge, bis zu einem kleinen positiven Werthe, welcher $b$ heissen +möge, so erhalten wir, ähnlich wie in §~37: +\begin{align*} +\epsilon g \int_{-a}^b \frac{dz'}{\sqrt{x^2 + z'^2}} = +\epsilon g \Bigl[ -2\log x + &+ \log(a + \sqrt{x^2 + a^2}) \\ + &+ \log(b + \sqrt{x^2 + b^2}) \Bigr]. +\end{align*} +Wenn wir diese Gleichung durch $\log x$ dividiren, und dann $x$ gleich +Null werden lassen, so verschwinden die beiden letzten Glieder an +der rechten Seite, und es kommt: +\[ +\epsilon g \left( \frac{1}{\log x} \int_{-a}^b \frac{dz'}{\sqrt{x^2 + z'^2}} \right) + = -2 \epsilon g. +\] +Was nun die übrigen Glieder der in dem Ausdrucke von $V$ unter +dem Integralzeichen stehenden Reihe anbetrifft, so sind diese alle +in Bezug auf $x$,~$z'$ und~$t$ von höherer Ordnung, als das erste, und +man sieht sofort, dass ihre Integrale nicht unendlich gross werden +können, und dass somit die Producte derselben mit $\dfrac{1}{\log x}$ für $x = 0$ +verschwinden müssen. Man erhält also im Ganzen: +%% -----File: 115.png---Folio 101------- +\[ +\tag{134} +\left( \frac{V}{\log x} \right)_0 = -2 \epsilon g. +\] + +In gleicher Weise ist auch der Differentialcoefficient von $V$ +zu behandeln. Durch Differentiation des obigen in eine Reihe entwickelten +Ausdruckes von $V$ erhalten wir: +\begin{align*} +\frac{\partial V}{\partial x} + = \epsilon \int \left( -g\, \frac{x}{t^3} - l\, \frac{xz'}{t^3}\right. + &+ gm\, \frac{z'^2}{t^3} - 3gm\, \frac{x^2z'^2}{t^5} \\ + &+ \left. + lm\, \frac{z'^3}{t^3} - 3lm\, \frac{x^2z'^3}{t^5} + \text{etc.} \right) dz'. +\end{align*} +Die Integration des ersten unter dem Integralzeichen stehenden +Gliedes giebt: +\[ +-\epsilon g \int_{-a}^{b} \frac{x\, dz'}{(x^2 + z'^2)^{\tfrac{3}{2}}} + = -\frac{\epsilon g}{x} + \left( \frac{a}{\sqrt{x^2 + a^2}} + \frac{b}{\sqrt{x^2 + b^2}} \right). +\] +Wenn man diese Gleichung mit $x$ multiplicirt und dann $x$ gleich +Null werden lässt, so geht sie über in: +\[ +-\epsilon g \left( x \int_{-a}^{b} \frac{x\, dz'}{(x^2 + z'^2)^{\tfrac{3}{2}}} \right)_0 + = -2 \epsilon g. +\] +Alle übrigen unter dem Integralzeichen stehenden Glieder geben, +wenn sie integrirt und mit $x$ multiplicirt werden, Grössen, welche +für $x = 0$ verschwinden, und man erhält daher im Ganzen: +\[ +\tag{135} +\left( x\, \frac{\partial V}{\partial x} \right)_0 = -2 \epsilon g. +\] + +Da nun die $x$-Axe irgend eine durch den zur Betrachtung +ausgewählten Punct der Linie gehende, auf der Linie senkrechte +Gerade ist, und der Punct~$p$ der Voraussetzung nach im positiven +Arm der $x$-Axe liegt, so bedeutet $x$ den senkrechten Abstand dieses +Punctes von der Linie, und kann daher, in Uebereinstimmung +mit der im vorigen~§ angewandten Bezeichnung, auch durch $\rho$ dargestellt +werden, wodurch (134)~und~(135) übergehen in: +\[ +\tag{IV.} +\left( \frac{V}{\log \rho} \right)_0 + = \left( \rho\, \frac{\partial V}{\partial \rho} \right)_0 + = - 2 \epsilon g. +\] +%% -----File: 116.png---Folio 102------- + +Es gelten also für den in diesem~§ betrachteten allgemeineren +Fall dieselben Gleichungen, wie die, welche im vorigen~§ für einen +specielleren Fall abgeleitet und dort unter (132)~und~(133) angeführt +wurden. + + +\Section{39.}{Characteristische Gleichungen für eine in einem Puncte +concentrirt gedachte Menge des Agens und Zusammenstellung +der verschiedenen characteristischen +Gleichungen.} + +Wenn man sich eine endliche Menge des Agens in einem +Puncte concentrirt denkt, so ist die Form ihrer Potentialfunction +so einfach, dass es kaum nöthig ist, darüber etwas Weiteres zu +sagen. Indessen der Vollständigkeit wegen mögen auch für diesen +Fall noch die Gleichungen in die Form gebracht werden, in welcher +sie den in den bisher betrachteten Fällen gefundenen characteristischen +Gleichungen entsprechen, damit man die Art, wie diese Gleichungen +sich stufenweise ändern, wenn das Agens entweder stetig +durch einen Raum verbreitet, oder in eine Fläche, oder in eine +Linie, oder endlich in einen Punct zusammengedrängt ist, deutlich +übersehen kann. + +Wenn sich in einem gegebenen Puncte die Menge~$q$ des Agens +befindet, und der Abstand des betrachteten Punctes~$p$ von jenem gegebenen +Puncte mit $\frakr$ bezeichnet wird, so ist die Potentialfunction: +\[ +V = \epsilon\frac{q}{\frakr}, +\] +woraus folgt: +\[ +\frac{\partial V}{\partial \frakr} = -\epsilon\, \frac{q}{\frakr^2}. +\] +Hieraus ergiebt sich, dass man setzen kann: +\[ +\tag{V.} +\frakr V = -\frakr^2\, \frac{\partial V}{\partial \frakr} + = \epsilon q. +\] +Diese Gleichungen bleiben auch, wenn $\frakr$ gleich Null wird, unverändert +gültig, und dann entsprechen sie den früher gefundenen +characteristischen Gleichungen. + +Der Uebersichtlichkeit wegen mögen diese Gleichungen hier +noch einmal zusammengestellt werden. Es sind die folgenden: +%% -----File: 117.png---Folio 103------- +\begin{align*} +\tag{II.} +& \Delta V = -4\pi\epsilon k\\ +% +\tag{III.} +& \left(\frac{\partial V}{\partial n}\right)_{+0} +- \left(\frac{\partial V}{\partial n}\right)_{-0} = -4\pi\epsilon h\\ +% +\tag{IV.} +& \left(\frac{V}{\log \rho}\right)_0 + = \left(\rho\, \frac{\partial V}{\partial \rho}\right)_0 = -2\epsilon g\\ +% +\tag{Va.} +& (\frakr V)_0 = \left(\frakr^2\, \frac{\partial V}{\partial \frakr}\right)_0 + = \epsilon q. +\end{align*} + + +\Section{40.}{Satz von \Person{Green}.} + +Um noch einige weitere Eigenschaften der Potentialfunction +entwickeln zu können, muss zunächst ein geometrischer Satz mitgetheilt +werden, welcher von \Person{Green} in seiner berühmten auf die +Potentialfunction bezüglichen Abhandlung aufgestellt ist. Die diesen +Satz ausdrückenden Gleichungen mögen im Folgenden abgeleitet +werden. + +Es sei ein vollständig begrenzter Raum gegeben, dessen Element +wir mit $d\tau$ bezeichnen wollen. Ferner seien $U$ und~$V$ irgend +zwei Functionen der Raumcoordinaten, von welchen wir vorläufig +annehmen wollen, dass sie selbst und ihre Differentialcoefficienten +erster und zweiter Ordnung in dem ganzen Raume überall endlich +bleiben. Dann betrachten wir zunächst folgendes Integral: +\[ +\int \frac{\partial U}{\partial x}\, \frac{\partial V}{\partial x}\, d\tau, +\] +worin die Integration über den ganzen gegebenen Raum auszuführen +ist. Dieses Integral lässt sich gemäss der Gleichung +\[ +\frac{\partial}{\partial x} \left(U\, \frac{\partial V}{\partial x}\right) + = \frac{\partial U}{\partial x}\, \frac{\partial V}{\partial x} + + U\, \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} +\] +folgendermaassen in zwei Integrale zerlegen: +\[ +\tag{136} +\int \frac{\partial U}{\partial x}\, \frac{\partial V}{\partial x}\, d\tau + = \int \frac{\partial}{\partial x} \left(U\, \frac{\partial V}{\partial x}\right) d\tau + - \int U\, \frac{\partial^2 V}{\partial x^2}\, d\tau. +\] +%% -----File: 118.png---Folio 104------- + +Das erste hierin an der rechten Seite stehende Integral lässt +sich in ein anderes umformen. Wir schreiben dazu statt $d\tau$ das +Product $dx\, dy\, dz$ und führen dann die Integration nach $x$ aus. +Dabei haben wir zur Bestimmung der Grenzwerthe von $x$ diejenigen +Puncte zu betrachten, in welchen eine zwei bestimmten Werthen +von $y$ und~$z$ entsprechende, der $x$-Axe parallele Gerade die Oberfläche +des gegebenen Raumes durchschneidet. Solche Durchschnitte +müssen wenigstens zwei vorkommen, es können aber je nach der +Gestalt der Oberfläche auch vier, sechs etc.\ vorkommen. Die betreffenden +Werthe von $x$ wollen wir mit $x_1$ und~$x_2$, dann weiter, +wenn mehr als zwei Durchschnitte vorkommen, mit $x_3$ und~$x_4$ u.~s.~f.\ +bezeichnen, und durch dieselben Indices wollen wir auch die Werthe, +welche irgend welche Functionen der Coordinaten an den betreffenden +Durchschnittspuncten haben, characterisiren. Dann können wir +schreiben: +\begin{align*} +\tag{137} +\iiint \frac{\partial}{\partial x}\left(U\, \frac{\partial V}{\partial x}\right) dx\, dy\, dz + & = \iint \left[-\left(U\, \frac{\partial V}{\partial x}\right)_1\right.\\ + & + \left.\left(U\, \frac{\partial V}{\partial x}\right)_2 - \text{etc.} \right] dy\, dz. +\end{align*} +Das Product $dy\, dz$ stellt den Querschnitt eines längs der mit der +$x$-Axe parallelen Geraden gedachten unendlich schmalen Prismas +dar. Schneidet dieses aus der Oberfläche die Flächenelemente $d\omega_1$ +und~$d\omega_2$ und, falls noch weitere Durchschnitte vorkommen, die +Flächenelemente $d\omega_3$ und~$d\omega_4$ u.~s.~f.\ aus, so bestehen für diese +Flächenelemente einfache Gleichungen. Betrachten wir zunächst +den ersten Durchschnitt, so ist $dy\, dz$ gleich dem Producte aus $d\omega_1$ +und dem Cosinus des Winkels der auf diesem Flächenelemente nach +Innen zu errichteten Normale mit der $x$-Richtung. Dieser Cosinus +ist aber gleich dem Differentialcoefficienten $\dfrac{\partial x}{\partial n}$, und man kann daher +schreiben: +\[ +dy\, dz = \left(\frac{\partial x}{\partial n}\right)_1 d\omega_1. +\] +Für den zweiten Durchschnitt gilt eine entsprechende Gleichung, +nur dass hier das Minuszeichen angewandt werden muss, weil hier +die der $x$-Axe parallele Gerade, indem sie wächst, die Oberfläche +%% -----File: 119.png---Folio 105------- +nicht von Aussen nach Innen, sondern von Innen nach Aussen +durchschneidet. Es kommt also: +\[ +dy\, dz = -\left( \frac{\partial x}{\partial n} \right)_2 d\omega_2. +\] +Ebenso hat man, wenn noch weitere Durchschnitte vorkommen, zu +setzen: +\begin{align*} +dy\, dz &= \left( \frac{\partial x}{\partial n} \right)_3 d\omega_3\\ +dy\, dz &= -\left( \frac{\partial x}{\partial n} \right)_4 d\omega_4 +\end{align*} +u.~s.~f. Demgemäss erhält man die Gleichung: +\begin{multline*} +\left[ - \left( U\, \frac{\partial V}{\partial x} \right)_1 + + \left( U\, \frac{\partial V}{\partial x} \right)_2 - \text{etc.} \right] dy\, dz \\ + = - \left[ \left( U\, \frac{\partial V}{\partial x}\, \frac{\partial x}{\partial n} \right)_1 d\omega_1 + + \left( U\, \frac{\partial V}{\partial x}\, \frac{\partial x}{\partial n} \right)_2 d\omega_2 + + \text{etc.} \right]. +\end{multline*} +Denkt man sich nun für alle der $x$-Axe parallelen Elementarprismen, +welche den Raum durchschneiden, solche Gleichungen gebildet, +so bilden die sämmtlichen Flächenelemente, welche in allen +diesen Gleichungen an der rechten Seite vorkommen, gerade die +ganze Oberfläche des gegebenen Raumes. Man kann also schreiben: +\[ +\iint \left[ - \left( U\, \frac{\partial V}{\partial x} \right)_1 + + \left( U\, \frac{\partial V}{\partial x} \right)_2 + - \text{etc.} \right] dy\, dz + = - \int U\, \frac{\partial V}{\partial x}\, \frac{\partial x}{\partial n}\, d\omega, +\] +worin die an der rechten Seite angedeutete Integration sich auf +die ganze Oberfläche erstrecken soll. Hierdurch geht die Gleichung~(137) +über in: +\[ +\tag{138} +\iiint \frac{\partial}{\partial x} \left( U\, \frac{\partial V}{\partial x} \right) dx\, dy\, dz + = - \int U\, \frac{\partial V}{\partial x}\, \frac{\partial x}{\partial n}\, d\omega +\] +und demgemäss die Gleichung~(136) in: +\[ +\tag{139} +\int \frac{\partial U}{\partial x}\, \frac{\partial V}{\partial x}\, d\tau + = - \int U\, \frac{\partial V}{\partial x}\, \frac{\partial x}{\partial n}\, d\omega + - \int U\, \frac{\partial^2 V}{\partial x^2}\, d\tau. +\] +%% -----File: 120.png---Folio 106------- + +Eine ganz entsprechende Gleichung, wie diese für die $x$-Richtung +ist, lässt sich natürlich auch für die $y$-~und $z$-Richtung bilden, +und durch Addition aller drei Gleichungen erhalten wir eine +neue Gleichung. Um diese und andere ähnliche Gleichungen bequem +schreiben zu können, wollen wir ein Summenzeichen von folgender +Bedeutung einführen. Wenn ein auf die $x$-Richtung bezüglicher +Ausdruck hingeschrieben und davor das Summenzeichen gesetzt +ist, so soll das eine Summe aus den drei auf die drei Coordinatenrichtungen +bezüglichen Ausdrücken von derselben Form bedeuten, +so dass man \zB\ hat: +\[ +\tag{140} +\sum \frac{\partial U}{\partial x}\, \frac{\partial V}{\partial x} + = \frac{\partial U}{\partial x}\, \frac{\partial V}{\partial x} + + \frac{\partial U}{\partial y}\, \frac{\partial V}{\partial y} + + \frac{\partial U}{\partial z}\, \frac{\partial V}{\partial z}. +\] +Unter Anwendung dieses Summenzeichens kann man die durch die +erwähnte Addition entstehende Gleichung folgendermaassen schreiben: +\[ +\tag{141} +\int \sum \frac{\partial U}{\partial x}\, \frac{\partial V}{\partial x}\, d\tau + = - \int U \sum \frac{\partial V}{\partial x}\, \frac{\partial x}{\partial n}\, d\omega + - \int \sum \frac{\partial^2 V}{\partial x^2}\, d\tau. +\] + +Für die erste hier an der rechten Seite stehende Summe kann +man einen einfacheren Ausdruck setzen. Es ist nämlich: +\[ +\sum \frac{\partial V}{\partial x}\, \frac{\partial x}{\partial n} + = \frac{\partial V}{\partial x}\, \frac{\partial x}{\partial n} + + \frac{\partial V}{\partial y}\, \frac{\partial y}{\partial n} + + \frac{\partial V}{\partial z}\, \frac{\partial z}{\partial n} + = \frac{\partial V}{\partial n}, +\] +und für die zweite an der rechten Seite stehende Summe ist im +Obigen schon das Zeichen $\delta V$ eingeführt. Dadurch geht die Gleichung~(141) +über in: +\[ +\tag{142} +\int \sum \frac{\partial U}{\partial x}\, \frac{\partial V}{\partial x}\, d\tau + = - \int U\, \frac{\partial V}{\partial n}\, d\omega - \int U\, \Delta V\, d\tau. +\] +Neben dieser Gleichung muss natürlich auch die folgende, durch +blosse Vertauschung von $U$ und~$V$ aus ihr entstehende Gleichung +gelten: +\[ +\tag{143} +\int \sum \frac{\partial U}{\partial x}\, \frac{\partial V}{\partial x}\, d\tau + = - \int V\, \frac{\partial U}{\partial n}\, d\omega - \int V\, \Delta U\, d\tau, +\] +und aus der Verbindung dieser beiden Gleichungen ergiebt sich +%% -----File: 121.png---Folio 107------- +\[ +\tag{144} +\int U\, \frac{\partial V}{\partial n}\, d\omega + + \int U\, \Delta V\, d\tau + = \int V\, \frac{\partial U}{\partial n}\, d\omega + \int V\, \Delta U\, d\tau. +\] +Diese drei Gleichungen (142),~(143) und~(144) drücken den \Person{Green}'schen +Satz aus. + + +\Section{41.}{Erweiterung der vorstehenden Gleichungen.} + +Bei der im vorigen~§ gegebenen Ableitung der den \Person{Green}'schen +Satz ausdrückenden Gleichungen wurde vorausgesetzt, dass +die Functionen $U$~und~$V$ ihre Differentialcoefficienten erster und +zweiter Ordnung in dem gegebenen Raume überall endlich seien. +Die Gleichungen können aber unter Umständen auch gültig bleiben, +wenn unendliche Werthe der Functionen und ihrer Differentialcoefficienten +in dem Raume vorkommen, nur muss dann durch besondere +Betrachtungen nachgewiesen werden, dass die in den Gleichungen +vorkommenden Integrale bestimmte endliche Werthe behalten. +Unter den in dieser Beziehung vorkommenden Fällen ist +für uns der wichtigste der, wenn eine der Functionen die Potentialfunction +eines in dem Raume befindlichen, nach dem umgekehrten +Quadrate der Entfernung abstossend und anziehend wirkenden Agens +enthält, und über die Vertheilung dieses Agens keine beschränkende +Bedingung gemacht ist, so dass auch Anhäufungen endlicher Mengen +in Flächen, Linien und Puncten vorkommen können. + +Es möge gleich der äusserste Fall, nämlich die Anhäufung +einer endlichen Menge des Agens in einem Puncte angenommen +werden. Es sei also ein in dem gegebenen Raume gelegener Punct~$p'$ +mit den Coordinaten $x'$,~$y'$,~$z'$ gegeben, welcher die Menge~$q$ des +Agens enthalte, und indem wir annehmen, dass $V$ nur die Potentialfunction +dieses Agens sei, wollen wir setzen: +\[ +\tag{145} +V = \epsilon \frac{q}{r}, +\] +worin $r$ den Abstand irgend eines Punctes~$p$ mit den Coordinaten +$x$,~$y$,~$z$ vom Puncte~$p'$ bedeutet, so dass man hat: +\[ +\tag{146} +r = \sqrt{(x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2}, +\] +woraus folgt: +%% -----File: 122.png---Folio 108------- +\begin{align*} +\frac{\partial\dfrac{1}{r}}{\partial x} &= -\frac{x-x'}{r^3}\\[2ex] +\frac{\partial^2\dfrac{1}{r}}{\partial x^2} &= -\frac{1}{r^3} + 3\frac{(x-x')^2}{r^5}. +\end{align*} +In diesem Falle erhält man bei unendlicher Annäherung an den +Punct~$p'$ für die Function~$V$ und ihre ersten und zweiten Ableitungen +unendlich grosse Werthe von erster, zweiter und dritter +Ordnung, und es fragt sich, wie unter diesen Umständen die in +(142),~(143) und~(144) vorkommenden Integrale sich verhalten. + +Die Integrale, welche nur die Function~$V$ selbst oder ihre +ersten Ableitungen enthalten, lassen sich kurz abmachen. Für diese +genügt es, Polarcoordinaten um den Punct~$p'$ einzuführen, um zu +bewirken, dass unter den Integralzeichen Alles endlich bleibt, wodurch +es selbstverständlich wird, dass auch die Integrale bestimmte +endliche Werthe haben. + +Es handelt sich also nur noch um das Integral +\[ +\int U\, \Delta V\, d\tau. +\] +Dieses lässt sich nach Einsetzung des in~(145) gegebenen Werthes +von $V$ so schreiben: +\[ +\epsilon q \int U + \Biggl( \frac{\partial^2\dfrac{1}{r}}{\partial x^2} + + \frac{\partial^2\dfrac{1}{r}}{\partial y^2} + + \frac{\partial^2\dfrac{1}{r}}{\partial z^2} \Biggr) d\tau +\] +und hiervon wollen wir zunächst nur den Theil +\[ +\epsilon q \int U \frac{\partial^2\dfrac{1}{r}}{\partial x^2} d\tau +\] +betrachten. Gemäss Gleichung~(146) ist: +\[ +\frac{\partial^2\dfrac{1}{r}}{\partial x^2} = +\frac{\partial^2\dfrac{1}{r}}{\partial x'^2} +\] +und man kann daher setzen: +%% -----File: 123.png---Folio 109------- +\[ +\epsilon q \int U\, \frac{\partial^2 \dfrac{1}{r}}{\partial x^2}\, d\tau = +\epsilon q \int U\, \frac{\partial^2 \dfrac{1}{r}}{\partial x'^2}\, d\tau. +\] +Da nun die Function~$U$ von den Coordinaten $x'$,~$y'$,~$z'$\DPtypo{,}{} des Punctes~$p'$ +unabhängig ist, so kann man die vorige Gleichung auch so schreiben: +\[ +\epsilon q \int U\, \frac{\partial^2 \dfrac{1}{r}}{\partial x^2}\, d\tau = +\epsilon q \int \frac{\partial^2 }{\partial x'^2} \left(\dfrac{U}{r}\right) d\tau +\] +und da ferner das Raumelement sich durch das Product $dx\, dy\, dz$ +ersetzen lässt und somit die Integration nach Grössen auszuführen +ist, welche ebenfalls von $x'$,~$y'$,~$z'$ unabhängig sind, so kann man +die Differentiation auch ausserhalb des Integralzeichens andeuten +und somit schreiben: +\[ +\epsilon q \int U\, \frac{\partial^2 \dfrac{1}{r}}{\partial x^2}\, d\tau + = \epsilon q \frac{\partial^2 }{\partial x'^2} \int \frac{U}{r}\, d\tau. +\] + +Denkt man sich nun die entsprechenden Gleichungen auch für +die beiden anderen Coordinatenrichtungen gebildet und alle drei +Gleichungen addirt, so kommt: +\[ +\tag{147} +\int U\, \Delta V\, d\tau + = \epsilon q + \left(\frac{\partial^2 }{\partial x'^2} + + \frac{\partial^2 }{\partial y'^2} + + \frac{\partial^2 }{\partial z'^2}\right) \int \frac{U}{r}\, d\tau. +\] + +Die hierin an der rechten Seite stehende Grösse können wir +nun nach der in §~16 angeführten und in den darauf folgenden~§§ +bewiesenen Gleichung~(II.) leicht bestimmen. Indem wir dort +die Potentialfunction eines durch einen Raum stetig verbreiteten +Agens durch den Ausdruck +\[ +\epsilon \int \frac{k'}{r}\, d\tau +\] +bestimmt hatten, worin $k'$ eine Function der Coordinaten $x'$,~$y'$,~$z'$ +des Raumelementes~$d\tau$, nämlich die beim Puncte $(x', y', z')$ stattfindende +Dichtigkeit bedeutete, haben wir die Gleichung +\[ +\Delta \left( \epsilon \int \frac{k'}{r}\, d\tau \right) + = \DPtypo{=}{-} 4 \pi \epsilon k +\] +%% -----File: 124.png---Folio 110------- +bewiesen, welche wir unter Forthebung von~$\epsilon$, so schreiben können: +\[ +\left(\frac{\partial^2 }{\partial x^2} + + \frac{\partial^2 }{\partial y^2} + + \frac{\partial^2 }{\partial z^2}\right) \int \frac{k'}{r}\, d\tau + = -4 \pi k. +\] +Hierin bedeutet $k$ die Dichtigkeit am Puncte $(x, y, z)$. Natürlich +kann man unter gegenseitiger Vertauschung von $x$,~$y$,~$z$ und $x'$,~$y'$,~$z'$ +auch ebensogut schreiben: +\[ +\left(\frac{\partial^2 }{\partial x'^2} + + \frac{\partial^2 }{\partial y'^2} + + \frac{\partial^2 }{\partial z'^2}\right) \int \frac{k}{r}\, d\tau + = -4 \pi k', +\] +und wenn man hierin $U$ an die Stelle von $k$ setzt, so erhält man: +\[ +\tag{148} +\left(\frac{\partial^2 }{\partial x'^2} + + \frac{\partial^2 }{\partial y'^2} + + \frac{\partial^2 }{\partial z'^2}\right) \int \frac{U}{r}\, d\tau = -4 \pi U', +\] +Hierdurch geht~(147) über in: +\[ +\tag{149} +\int U\, \Delta V\, d\tau = -4 \pi \epsilon q U', +\] +worin $U'$ den Werth der Function~$U$ an dem Puncte~$p'$, wo die +Menge~$q$ des Agens sich befindet, bedeutet. + +Den so gewonnenen Ausdruck wollen wir nun vergleichen mit +demjenigen, welchen man erhalten würde, wenn das Agens, von +welchem $V$ die Potentialfunction ist, nicht in einem Puncte concentrirt, +sondern stetig durch den Raum verbreitet wäre. Dann +könnte man gemäss Gleichung~(II.) $\Delta V$ durch $-4\pi\epsilon k$ ersetzen, +und zugleich könnte man für das Product~$k\, d\tau$, welches die in dem +Raumelemente~$d\tau$ enthaltene Menge des Agens darstellt, $dq$~schreiben. +Dadurch würde man erhalten: +\[ +\int U\, \Delta V\, d\tau = -4\pi\epsilon \int U\, dq. +\] +Diese Gleichung stimmt mit~(149) in der Weise überein, dass sie +die allgemeinere Form hat, und (149) als speciellen Fall umfasst. +Wendet man sie nämlich auf eine im Puncte~$p'$ concentrirte Menge +des Agens an, so hat für alle Elemente~$dq$ dieses Agens die Function~$U$ +einen und denselben Werth~$U'$ und man kann daher setzen: +%% -----File: 125.png---Folio 111------- +\[ +\int U\, dq = U' \int dq = U'q, +\] +wodurch die vorige Gleichung in~(149) übergeht. + +Da nun für die beiden extremen Fälle, wo das Agens stetig +durch den Raum verbreitet, und wo es in einem Puncte concentrirt +ist, eine und dieselbe Gleichung gilt, so kann man es als selbstverständlich +betrachten, dass diese Gleichung auch für die Fälle, +wo das Agens auf Linien und Flächen zusammengedrängt ist, gültig +bleibt. In der That braucht man sich in diesen Fällen nur die +auf den einzelnen Linien- oder Flächenelementen befindlichen unendlich +kleinen Mengen des Agens in Puncten concentrirt zu denken, +um sofort wieder zu derselben Gleichung zu gelangen. Man kann +daher die Gleichung +\[ +\tag{150} +\int U\, \Delta V\, d\tau = -4\pi\epsilon \int U\, dq +\] +für jede Vertheilung des Agens als gültig betrachten, mag es stetig +durch den Raum verbreitet oder auf Flächen, Linien oder Puncte +zusammengedrängt sein. + +Nachdem wir gesehen haben, wie das Integral $\ds\int U\, \Delta v\, d\tau$ sich +gestaltet, wenn $V$ die Potentialfunction eines in dem gegebenen +Raume befindlichen Agens ist, wollen wir annehmen, $V$~sei von der +allgemeineren Gestalt +\[ +\tag{151} +V = v + \epsilon \int \frac{dq}{r}, +\] +worin das letzte Glied an der rechten Seite die genannte Potentialfunction +ist, und $v$ irgend eine andere Function darstellt, welche +aber die Bedingung erfüllt, \Emphasis{dass sie und ihre ersten und zweiten +Ableitungen an keiner Stelle des gegebenen Raumes +unendlich gross werden}. Sollte \zB\ $V$ die Potentialfunction +von Agens, welches sich ausserhalb des gegebenen Raumes befindet, +enthalten, so würde diese in $v$ mit einzubegreifen sein. Die Potentialfunction +von Agens, welches sich innerhalb des gegebenen +Raumes befindet, erfüllt in dem Falle, wo das Agens stetig durch +den Raum verbreitet ist, auch noch die für $v$ gestellten Bedingungen, +und eine solche Potentialfunction kann daher, sofern sie in $V$ vorkommt, +nach Belieben in $v$ oder in das letzte Glied einbegriffen +%% -----File: 126.png---Folio 112------- +werden. Ist dagegen von dem innerhalb des Raumes befindlichen +Agens ein Theil auf Flächen, Linien und Puncte zusammengedrängt, +so muss dessen Potentialfunction durch das letzte Glied dargestellt +werden. Indem wir nun für $V$ diese allgemeinere in~(151) gegebene +Form annehmen, haben wir statt~(150) zu setzen: +\[ +\tag{152} +\int U\, \Delta V\, d\tau = \int U\, \Delta v\, d\tau - 4\pi\epsilon \int U\, dq. +\] + +Alles, was im Vorstehenden über die Function~$V$ gesagt ist, +lässt sich auch auf die Function~$U$ anwenden. Denken wir uns, +$U$~enthalte die Potentialfunction von Agens, welches sich innerhalb +des gegebenen Raumes befinde und ganz oder zum Theil auf Flächen, +Linien oder Puncte zusammengedrängt sei, und dessen Element zum +Unterschiede von dem bei der Betrachtung von $V$ angenommenen +Agens mit $d\frakq$ bezeichnet werden möge, und ausserdem sei in $U$ +eine Function~$u$ enthalten, welche die Bedingung erfüllt, dass sie +und ihre ersten und zweiten Ableitungen in dem gegebenen Raume +nirgends unendlich gross werden, und schreiben wir demgemäss $U$ +in der allgemeineren Form: +\[ +\tag{153} +U = u + \epsilon \int \frac{d\frakq}{r}, +\] +so erhalten wir: +\[ +\tag{154} +\int V\, \Delta U\, d\tau = \int V\, \Delta u\, d\tau - 4\pi\epsilon \int V\, d\frakq. +\] + +Es können auch beide Functionen $U$~und~$V$ gleichzeitig die +in (151) und (153) gegebenen allgemeineren Formen haben; nur +wollen wir in diesem Falle annehmen, dass die Puncte des gegebenen +Raumes, in welchen sie unendlich oder unstetig werden, nicht +gerade zusammenfallen. Setzen wir dann in die am Schlusse des +vorigen~§ angeführten Gleichungen die unter (152)~und~(154) gegebenen +Ausdrücke ein, so kommt: +{\small% +\begin{align*} +\tag{155} +\int \sum \frac{\partial U}{\partial x}\, \frac{\partial V}{\partial x}\, d\tau + &= -\int U\, \frac{\partial V}{\partial n}\, d\omega + - \int U\, \Delta v\, d\tau + 4\pi\epsilon \int U\, dq.\\ +% +\tag{156} +\int \sum \frac{\partial U}{\partial x}\, \frac{\partial V}{\partial x}\, d\tau + &= -\int V\, \frac{\partial U}{\partial n}\, d\omega + - \int V\, \Delta u\, d\tau + 4\pi\epsilon \int V\, d\frakq. +\end{align*}}% +%% -----File: 127.png---Folio 113------- +\begin{align*} +\tag{157} +\int U\, \frac{\partial V}{\partial n}\, d\omega + &+ \int U\, \Delta v\, d\tau - 4\pi\epsilon\int U\, dq\\ + &= \int V\, \frac{\partial U}{\partial n}\, d\omega + + \int V\, \Delta u\, d\tau - 4\pi\epsilon\int U\, d\frakq. +\end{align*} + +Die Grösse~$\epsilon$, deren Einführung in diese Gleichungen nur den +Zweck hatte, dem letzten Gliede der in (151)~und~(153) gegebenen +Ausdrücke von $V$~und~$U$ ganz die von uns für die Potentialfunction +angewandte Form zu geben, kann, wenn es der Einfachheit +wegen zweckmässig scheint, gleich~$1$ gesetzt werden. Damit dann +jenes Glied doch noch die Form einer Potentialfunction behalte, +braucht man nur anzunehmen, die Einheit, nach welcher das Agens +gemessen wird, sei so gewählt, dass zwei Einheiten des Agens in +der Einheit der Entfernung die Einheit der Kraft auf einander +ausüben. + + +\Section{42.}{Satz über den nach der Normale einer geschlossenen +Fläche genommenen Differentialcoefficienten der +Potentialfunction.} + +Indem wir nun zu Anwendungen der vorstehenden Gleichungen +schreiten, wollen wir zunächst für die Grösse~$U$ die einfachste Annahme +machen, dass sie constant und zwar gleich~$1$ sei. Dann ist: +\[ +\frac{\partial U}{\partial x} = 0;\quad +\frac{\partial U}{\partial y} = 0;\quad +\frac{\partial U}{\partial z} = 0, +\] +und die Gleichung~(155) geht somit für diesen Fall über in: +\[ +\tag{158} +\int \frac{\partial V}{\partial n}\, d\omega + + \int \Delta v\, d\tau - 4\pi\epsilon\int dq = 0. +\] +Ferner wollen wir uns denken, $V$ sei die Potentialfunction eines +irgend wie, theils innerhalb, theils ausserhalb des gegebenen Raumes +vertheilten Agens. Indem wir dann $V$ in der unter~(151) gegebenen +Form schreiben, nämlich: +\[ +V = v + \epsilon \int \frac{dq}{r}, +\] +wollen wir unter $v$ die Potentialfunction des ausserhalb des gegebenen +Raumes befindlichen Agens verstehen, während die Potentialfunction +alles innerhalb des Raumes befindlichen Agens durch +%% -----File: 128.png---Folio 114------- +das letzte Glied dargestellt werden soll. Unter diesen Umständen +ist in dem gegebenen Raume überall $\Delta v = 0$, und das Integral $\ds\int dq$ +stellt die ganze in dem gegebenen Raume enthaltene Menge des +Agens dar, welche wir mit $Q$ bezeichnen wollen. Dadurch geht +die Gleichung~(158) über in: +\[ +\tag{159} +\int \frac{\partial V}{\partial n}\, d\omega = 4\pi\epsilon Q. +\] +Diese Gleichung ist der Ausdruck einer sehr einfachen Beziehung +zwischen dem nach der Normale einer geschlossenen Fläche genommenen +Differentialcoefficienten der Potentialfunction, für dessen +negativen Werth man auch die Normalkraft setzen kann, und der +von der Fläche eingeschlossenen Menge des Agens. + +Sollte auf der Fläche selbst eine endliche Menge des Agens +befindlich sein, so würde der Differentialcoefficient $\dfrac{\partial V}{\partial n}$ für zwei +einander unendlich nahe liegende Puncte ausserhalb und innerhalb +der Fläche verschiedene Werthe haben, und man könnte alsdann +in der vorstehenden Gleichung sowohl den äusseren, als auch den +inneren Differentialcoefficienten in Anwendung bringen. Im ersteren +Falle würde die auf der Fläche befindliche Menge des Agens in~$Q$ +mit einbegriffen sein, im letzteren Falle nicht. + + +\Section{43.}{Bestimmung der Potentialfunction eines durch eine +Fläche von dem betreffenden Raume getrennten Agens.} + +Es sei eine geschlossene Fläche gegeben und entweder ausserhalb +derselben Agens in beliebiger Vertheilung vorhanden, für welches +die innere Potentialfunction bestimmt werden soll, oder innerhalb +Agens vorhanden, für welches die äussere Potentialfunction +bestimmt werden soll. Auf der Fläche selbst kann sich in beiden +Fällen ebenfalls eine endliche Menge des Agens befinden. + +Es möge nun zuerst der Fall zur Betrachtung ausgewählt +werden, wo das Agens sich ausserhalb der Fläche befindet, und die +Potentialfunction in dem von ihr eingeschlossenen Raume bestimmt +werden soll. + +Wir nehmen dann diese Potentialfunction als die in der Gleichung~(157) +enthaltene Function~$V$. Dann fällt in dem unter~(151) +%% -----File: 129.png---Folio 115------- +gegebenen allgemeinen Ausdrucke von $V$ das Integral mit $dq$ fort, +so dass $V$ und~$v$ gleichbedeutend werden. Zugleich gilt für den +ganzen von der Fläche eingeschlossenen Raum die Gleichung $\Delta V = 0$. +Demnach geht die Gleichung~(157) über in: +\[ +\tag{160} +\int U\, \frac{\partial V}{\partial n}\, d\omega = +\int V\, \frac{\partial U}{\partial n}\, d\omega + + \int V\, \Delta u\, d\tau - 4 \pi \epsilon \int V\, d\frakq. +\] + +Ferner möge, um den Werth von $V$ für irgend einen in diesem +Raume gelegenen Punct~$p'$ mit den Coordinaten $x'$,~$y'$,~$z'$ zu +bestimmen, gesetzt werden: +\[ +U = \frac{1}{r} +\] +worin $r$ den Abstand des Punctes $(x, y, z)$, auf welchen $U$ sich bezieht, +von jenem Puncte~$p'$ bedeutet. Aus der Vergleichung dieses +Ausdruckes von $U$ mit dem unter~(153) gegebenen allgemeinen +Ausdrucke ergiebt sich, dass man $u = 0$ setzen und das Integral +mit $d\frakq$ auf eine im Puncte~$p'$ concentrirte Menge~$\dfrac{1}{\epsilon}$ von Agens +beziehen muss. Demnach fällt in der obigen Gleichung~(160) das +vorletzte Glied fort, und im letzten ist zu setzen: +\[ +\epsilon \int V\, d\frakq = V' \epsilon \int d\frakq = V' +\] +worin $V'$ den Werth von $V$ im Puncte~$p'$ bedeutet. Die Gleichung +lautet dann also: +\[ +\int \frac{1}{r}\, \frac{\partial V}{\partial n}\, d\omega + = \int V\, \frac{\partial\dfrac{1}{r}}{\partial n}\, d\omega - 4 \pi V', +\] +woraus folgt: +\[ +\tag{161} +V' = \frac{1}{4\pi} + \int \Biggl( V\, \frac{\partial\dfrac{1}{r}}{\DPtypo{d}{\partial} n} + - \frac{1}{r}\, \frac{\partial V}{\partial n} \Biggr) d\omega. +\] +Mittelst dieser Gleichung kann man, wenn in allen Puncten der +gegebenen Fläche der Werth der Potentialfunction und ihres nach +der Normale genommenen Differentialcoefficienten bekannt ist, auch +für jeden Punct des von der Fläche eingeschlossenen Raumes den +Werth der Potentialfunction berechnen, ohne dass man dazu die +Vertheilung des Agens zu kennen braucht. +%% -----File: 130.png---Folio 116------- + +Es möge nun der andere Fall betrachtet werden, wo das Agens +von der Fläche eingeschlossen ist, und die Potentialfunction in dem +äusseren Raume bestimmt werden soll. Damit dieser äussere Raum +allseitig begrenzt sei, wie es zur Anwendung unserer Gleichungen +nöthig ist, denken wir uns um irgend einen im Endlichen liegenden +Punct, \zB\ um den Anfangspunct der Coordinaten, eine Kugelfläche +mit dem unendlich grossen Radius~$R$ geschlagen, und betrachten +nun den zwischen der gegebenen Fläche und der unendlich +grossen Kugelfläche liegenden Raum als denjenigen, innerhalb dessen +die Potentialfunction bestimmt werden soll. + +Dann können wir ebenso verfahren, wie vorher. Wir nehmen +die Potentialfunction als die in den Gleichungen vorkommende +Function~$V$, und um den Werth derselben für irgend einen Punct~$p'$ +zu bestimmen, bezeichnen wir den Abstand des Punctes $(x, y, z)$ +von jenem Puncte mit $r$ und setzen dann $U=\dfrac{1}{r}$. Dadurch erhalten +wir zur Berechnung von $V'$ wieder die Gleichung~(161), +bei deren Behandlung wir aber einige besondere Umstände berücksichtigen +müssen. Erstens ist bei der Bildung der nach der Normale +genommenen Differentialcoefficienten jetzt die Seite der Normale, +welche von der gegebenen geschlossenen Fläche nach Aussen +geht, als positiv zu rechnen, weil diese für den betrachteten \DPtypo{Raume}{Raum} +nach Innen geht. Auch ist, wenn auf der Fläche selbst sich eine +endliche Menge des Agens befindet, unter $\dfrac{\partial V}{\partial n}$ jetzt der äussere +Differentialcoefficient zu verstehen. Ferner muss das Flächenintegral +sich jetzt nicht blos auf die gegebene Fläche, sondern auch auf die +unendlich grosse Kugelfläche erstrecken. + +Dieser letztere Umstand bringt aber keinen Unterschied in dem +Werthe des Integrals hervor. Da nämlich der Radius~$R$ unendlich +gross sein soll, so können gegen ihn alle endlichen Entfernungen +vernachlässigt werden. Demnach kann man für einen auf der +Kugelfläche gelegenen Punct für $\dfrac{1}{r}$ und~$V$ die Werthe setzen, welche +man erhalten würde, wenn der Punct~$p'$ und das ganze von der +gegebenen Fläche eingeschlossene Agens, dessen Menge wir mit $Q$ +bezeichnen wollen, sich im Mittelpuncte der Kugelfläche befände, +nämlich: +\[ +\frac{1}{r} = \frac{1}{R} \text{ und } V = \epsilon\frac{Q}{R}, +\] +%% -----File: 131.png---Folio 117------- +und entsprechend erhält man für die Differentialcoefficienten, wenn +man zugleich berücksichtigt, dass die Normale die Richtung des +nach Innen gehenden Radius hat: +\[ +\frac{\partial\dfrac{1}{r}}{\partial n} = \frac{1}{R^2} \text{ und } +\frac{\partial V}{\partial n} = \epsilon \frac{Q}{R^2}. +\] +Ferner können wir das Flächenelement der Kugelfläche anders ausdrücken, +indem wir das Element~$d\sigma$ des körperlichen Winkels am +Mittelpuncte einführen und dann setzen $d\omega = R^2\, d\sigma$. Durch Einsetzung +dieser Werthe geht das in~(161) vorkommende Integral, +soweit es sich auf die Kugelfläche bezieht, über in: +\[ +\int \left(\epsilon\frac{Q}{R}\, \frac{1}{R^2} + - \frac{1}{R}\, \epsilon\frac{Q}{R^2}\right) R^2\, d\sigma + = \epsilon \int \left(\frac{Q}{R} - \frac{Q}{R}\right) d\sigma. +\] +Hierin ist jedes der beiden in der Klammer stehenden Glieder +unendlich klein, und das Integral würde daher schon aus diesem +Grunde verschwinden, selbst wenn auch nicht noch der andere +Grund hinzukäme, dass die beiden Glieder sich gegenseitig aufheben. +Demnach können wir bei der Ausführung der in~(161) angedeuteten +Integration von der Kugelfläche absehen, und brauchen, +wie im vorigen Falle, nur die gegebene Fläche zu berücksichtigen. + + +\Section{44.}{Betrachtung des Falles, wo nur die Potentialfunction +selbst in der Fläche gegeben ist.} + +Es sei wiederum, wie im vorigen~§, eine geschlossene Fläche +gegeben, und angenommen, dass sich entweder ausserhalb oder innerhalb +derselben Agens in beliebiger Vertheilung befinde. Es möge +aber jetzt nicht der Werth der Potentialfunction und ihres nach +der Normale genommenen Differentialcoefficienten, sondern nur der +Werth der Potentialfunction selbst für jeden Punct der Fläche gegeben +sein. Es fragt sich, was sich in diesem Falle über die im +resp.\ inneren oder äusseren Raum geltenden Werthe der Potentialfunction +schliessen lässt. + +Zu dieser Betrachtung wollen wir die im vorigen~§ für $U$ angenommene +Form~$\dfrac{1}{r}$ noch durch Hinzufügung eines zweiten Gliedes +%% -----File: 132.png---Folio 118------- +vervollständigen, indem wir setzen: +\[ +\tag{162} +U = u + \frac{1}{r}, +\] +worin $u$ eine Function der Coordinaten bedeutet, welche folgende +Eigenschaften haben soll. In der gegebenen Fläche soll $u$ überall +den Werth~$-\dfrac{1}{r}$ haben. In dem ganzen betrachteten resp.\ inneren +oder äusseren Raume soll überall die Gleichung $\Delta u = 0$ gelten. +Endlich soll bei der Betrachtung des äusseren Raumes noch die +Bedingung gestellt werden, dass in unendlichen Entfernungen die +Producte $Ru$ und $R^2\, \dfrac{\partial u}{\partial R}$, worin $R$ den Abstand des betrachteten +unendlich entfernten Punctes von einem im Endlichen gelegenen +Puncte, \zB\ dem Anfangspuncte der Coordinaten, bedeutet, nicht +unendlich gross werden. + +Indem man diese Form von $U$ auf die Gleichung~(160) anwendet, +und im Uebrigen so verfährt, wie im vorigen~§, erhält +man statt der Gleichung~(161) die folgende: +\[ +V' = \frac{1}{4\pi} \int + \Biggr( V \frac{\partial \left( u + \dfrac{1}{r} \right)}{\partial n} + - \left( u + \frac{1}{r} \right) \frac{\partial V}{\partial n} \Biggr) d\omega, +\] +worin auch vom ersten Differentialcoefficienten nach $n$ das von $\dfrac{\partial V}{\partial n}$ +schon oben Gesagte gilt, dass er an der nach dem betrachteten +Raume hin liegenden Seite der Fläche zu nehmen ist, und worin +die Integration wieder nur über die gegebene Fläche ausgeführt zu +werden braucht, weil für die unendlich grosse Kugelfläche, nach +Ersetzung von $d\omega$ durch $R^2\, d\sigma$, in beiden unter dem Integralzeichen +befindlichen Gliedern der Factor von $d\sigma$ unendlich klein wird. +Da nun aber nach unserer Voraussetzung in allen Puncten der gegebenen +Fläche die Summe $u + \dfrac{1}{r}$ den Werth Null hat, so fällt das +zweite unter dem Integralzeichen stehende Glied fort, und es bleibt: +\[ +\tag{163} +V' = \frac{1}{4\pi} \int V \frac{\partial \left( u + \dfrac{1}{r} \right)}{\DPtypo{dn}{\partial n}}\, d\omega. +\] +%% -----File: 133.png---Folio 119------- + +Mit Hülfe dieser Gleichung würde man, wenn die Function~$u$ +bekannt wäre, aus den Werthen, welche $V$ in der gegebenen Fläche +hat, auch für jeden Punct des resp.\ inneren oder äusseren Raumes +den Werth von $V$ berechnen können. Ist die Function~$u$ nicht bekannt, +lässt sich aber nachweisen, \Emphasis{dass es stets eine und auch +nur Eine Function~$u$ giebt, welche den obigen Bedingungen +genügt}, so kann man aus der Gleichung zwar nicht ohne +Weiteres die Werthe von $V$ berechnen, aber man kann aus ihr +schliessen, dass sie vollkommen bestimmt sind, und man erhält dann +also folgenden wichtigen Satz: \Emphasis{durch die Werthe, welche die +Potentialfunction in der gegebenen Fläche hat, sind auch +die Werthe der Potentialfunction in allen Puncten des +resp.\ inneren oder äusseren Raumes vollständig bestimmt}. + +Befindet sich das Agens nur auf der Fläche selbst, so gilt der +vorstehende Satz für den inneren und äusseren Raum gleichzeitig, +und man kann ihn dann so aussprechen: \Emphasis{wenn für ein auf einer +geschlossenen Fläche befindliches Agens die Potentialfunction +auf der Fläche selbst gegeben ist, so ist sie dadurch +auch im ganzen inneren und äusseren Raume bestimmt}. + +Ferner ist für den Fall, wo es sich um die Potentialfunction +in dem äusseren Raume handelt, noch zu bemerken, dass statt Einer +geschlossenen Fläche, welche Agens umgiebt, auch deren mehrere +gegeben sein können, was aber als so selbstverständlich anzusehen +ist, dass es nicht nöthig sein wird, darauf noch ferner besonders +hinzuweisen. + +Es kommt nun darauf an, den oben erwähnten Nachweis von +der eindeutigen Existenz der Function~$u$ zu führen. + + +\Section{45.}{\Person{Green's} Nachweis von der eindeutigen Existenz +der Function~$u$.} + +\Person{Green}, welcher die Function~$u$ zuerst eingeführt hat, stellt, +um sich von ihrer Existenz zu überzeugen, eine eigenthümliche, auf +die Electricität bezügliche Betrachtung an. + +Man nehme an, die gegebene Fläche sei für Electricität vollkommen +leitend, und stehe mit der Erde in leitender Verbindung, +was man sich durch einen unendlich dünnen Draht bewirkt denken +kann. Ferner nehme man an, im Puncte~$p'$ sei die Menge~$\dfrac{1}{\epsilon}$ von +%% -----File: 134.png---Folio 120------- +positiver Electricität concentrirt. Diese Electricität wird durch Influenz +bewirken, dass positive Electricität von der Fläche in die +Erde abströmt, und die Fläche eine negative Ladung annimmt, +welche sich so über dieselbe vertheilen muss, dass die gesammte +Potentialfunction der in $p'$ und der auf der Fläche befindlichen +Electricität auf der ganzen Fläche constant ist, und zwar, wie in +der Erde, den Werth Null hat. Verstehen wir nun unter $u$ die +Potentialfunction der auf der Fläche befindlichen Electricität für +sich allein, und bedenken, dass die Potentialfunction der in $p'$ befindlichen +Electricitätsmenge durch $\dfrac{1}{r}$ dargestellt wird, so erhalten +wir für alle Puncte der Fläche die Gleichung: +\[ +u + \frac{1}{r} = 0. +\] +Dadurch ist die erste Bedingung, dass $u$ in der Fläche überall den +Werth~$-\dfrac{1}{r}$ haben soll, erfüllt. Ferner sieht man sofort, dass die +so bestimmte Function~$u$ sowohl für den inneren als auch für den +äusseren Raum der Bedingung $\Delta u=0$ genügt, und dass in unendlichen +Entfernungen weder $Ru$ noch $R^2\, \dfrac{du}{dR}$ unendlich gross werden. + +Giebt man es also als sicher zu, dass unter den genannten +Umständen immer ein vollkommen bestimmter Gleichgewichtszustand +der Electricität auf der Fläche entstehen muss, so ist damit auch +die Existenz einer bestimmten Function~$u$, welche allen gestellten +Bedingungen genügt, bewiesen. Es ist sogar für weitere Schlüsse +bequem, dass die Function~$u$ auf diese Weise eine so einfache physicalische +Bedeutung gewonnen hat. Aber als ein streng mathematischer +Beweis dafür, dass immer eine und nur Eine Function +existirt, welche den Bedingungen entspricht, kann diese \Person{Green}'sche +Betrachtung nicht wohl gelten. + +Es ist daher dieser Gegenstand später noch von \Person{Gauss}, \Person{Thomson} +und \Person{Lejeune-Dirichlet} behandelt und die Art, wie Letzterer +ihn zum Abschluss zu bringen gesucht hat, möge im folgenden~§ +nach den von \Person{Grube} veröffentlichten \Person{Dirichlet}'schen Vorlesungen +mitgetheilt werden, obwohl auch gegen diese Entwickelung Einwendungen +in Bezug auf ihre mathematische Strenge erhoben sind. +%% -----File: 135.png---Folio 121------- + + +\Section{46.}{\Person{Dirichlet}'sche Verallgemeinerung des vorstehenden +Satzes und Beweis derselben.} + +\Person{Dirichlet} hat dem Satze folgende allgemeinere Form gegeben. + +\Emphasis{Es giebt für einen beliebigen begrenzten Raum immer +eine und nur Eine Function~$u$ von $x$,~$y$,~$z$, die selbst und +deren Differentialcoefficienten erster Ordnung stetig +sind, die innerhalb jenes ganzen Raumes die Gleichung +$\Delta u = 0$ erfüllt, und die endlich in jedem Puncte der Oberfläche +einen vorgeschriebenen Werth hat.} + +Diesen erweiterten Satz nennt man jetzt häufig das \Emphasis{\Person{Dirichlet}'sche +Princip}, indessen darf dabei der Antheil, welchen \Person{Gauss} +und besonders \Person{Green} an der Aufstellung desselben gehabt haben, +nicht ausser Acht gelassen werden. + +Der von \Person{Dirichlet} geführte Beweis ist folgender. + +Man nehme zuerst eine allgemeinere Function~$U$ an, welche +von den drei oben gestellten Bedingungen nur den beiden zu genügen +braucht, dass sie und ihre Differentialcoefficienten erster Ordnung +stetig sind, und dass sie in jedem Puncte der Oberfläche den +vorgeschriebenen Werth hat, und bilde mit dieser Function folgende +Grösse: +\[ +\tag{164} +W = \int \left[ + \left( \frac{\partial U}{\partial x} \right)^2 + + \left( \frac{\partial U}{\partial y} \right)^2 + + \left( \frac{\partial U}{\partial z} \right)^2 \right] d\tau. +\] +Da es nun offenbar unendlich viele Functionen~$U$ geben muss, +welche den beiden genannten Bedingungen genügen, so wird man +unter Anwendung derselben auch für $W$ unendlich viele Werthe +erhalten. Alle diese Werthe müssen positiv sein, da der unter dem +Integralzeichen befindliche Ausdruck wesentlich positiv ist. Demnach +muss für irgend eine der Functionen~$U$ die Grösse~$W$ ein Minimum +werden, und diese specielle Function, welche ausser den oben +genannten Bedingungen noch der Bedingung genügt, dass sie $W$ +zum Minimum macht, möge mit $u$ bezeichnet werden. Es lässt sich +nun beweisen, dass diese Function die Gleichung $\Delta u = 0$ erfüllt. + +Wir können nämlich zwischen der speciellen Function~$u$ und +irgend einer anderen der unendlich vielen Functionen~$U$ folgende +Gleichung bilden: +%% -----File: 136.png---Folio 122------- +\[ +U = u + hs, +\] +worin $h$ eine beliebige Constante ist und $s$ eine Function bedeutet, +welche den beiden Bedingungen zu genügen hat, dass sie und ihre +Differentialcoefficienten erster Ordnung stetig sind, und dass sie in +allen Puncten der Oberfläche den Werth Null hat. Aus der vorigen +Gleichung ergiebt sich: +\begin{align*} +\frac{\partial U}{\partial x} &= \frac{\partial u}{\partial x} + h\, \frac{\partial s}{\partial x} \\ +\frac{\partial U}{\partial y} &= \frac{\partial u}{\partial y} + h\, \frac{\partial s}{\partial y} \\ +\frac{\partial U}{\partial z} &= \frac{\partial u}{\partial z} + h\, \frac{\partial s}{\partial z}. +\end{align*} +Durch Quadrirung und Addition dieser Gleichungen und nachherige +Integration erhalten wir, wenn wir zur Abkürzung wieder das in +§~40 eingeführte Summenzeichen anwenden: +{\footnotesize%[** TN: Wide display] +\[ +\int \sum \left( \frac{\partial U}{\partial x} \right)^2 d\tau + = \int \sum \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)^2 d\tau + + 2h \int \sum \frac{\partial u}{\partial x}\, \frac{\partial s}{\partial x}\, d\tau + + h^2 \int \sum \left( \frac{\partial s}{\partial x} \right)^2 d\tau. +\]}% +Da nun nach der Bedingung, dass $u$ diejenige der Functionen~$U$ +sein soll, für welche $W$ das Minimum wird, die Differenz +\[ +\int \sum \left( \frac{\partial U}{\partial x} \right)^2 d\tau - +\int \sum \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)^2 d\tau +\] +nicht negativ sein kann, so kann nach der vorstehenden Gleichung +auch die Summe +\[ +2h \int \sum \frac{\partial u}{\partial x}\, \frac{\partial s}{\partial x}\, d\tau + + h^2 \int \sum \left( \frac{\partial s}{\partial x} \right)^2 d\tau +\] +nicht negativ sein. Diese Bedingung aber kann für beliebige Werthe +von $h$ nur dadurch erfüllt sein, dass +\[ +\tag{165} +\int \sum \frac{\partial u}{\partial x}\, \frac{\partial s}{\partial x}\, d\tau = 0, +\] +denn, wenn dieses Integral einen angebbaren Werth hätte, so könnte +man das Vorzeichen und die Grösse von $h$ so wählen, dass das +erste Glied der vorstehenden Summe negativ und dem absoluten +%% -----File: 137.png---Folio 123------- +Werthe nach grösser als das zweite Glied wäre, wodurch die ganze +Summe negativ werden würde. + +Nun lässt sich nach dem \Person{Green}'schen Satze für die Functionen +$u$~und~$s$ folgende Gleichung bilden: +\[ +\tag{165a.} +\int \sum \frac{\partial u}{\partial x}\, \frac{\partial s}{\partial x}\, d\tau + = - \int s\, \frac{\partial u}{\partial n}\, d\omega - \int s\, \Delta u\, d\tau. +\] +Das hierin an der linken Seite stehende Integral ist dem oben gesagten +nach gleich Null. Ferner ist auch das erste an der rechten +Seite stehende Integral gleich Null, weil $s$ an der Oberfläche überall +den Werth Null hat. Demnach geht die Gleichung über in +\[ +\tag{166} +\int s\, \Delta u\, d\tau = 0. +\] +Da nun $s$ im Innern des gegebenen Raumes eine beliebige, nur an +die Bedingung der Stetigkeit gebundene Function ist, so kann diese +Gleichung nur dadurch allgemein erfüllt werden, dass $\Delta u$ überall +in dem Raume gleich Null ist, denn, wenn dieses nicht der Fall +wäre, so könnte man $s$ so annehmen, dass es überall mit $\Delta u$ gleiches +Vorzeichen hätte, so dass das Product $s\, \Delta u$ überall positiv wäre +und das Integral daher nicht Null werden könnte. Demnach genügt +die specielle Function~$u$, welche $W$ zum Minimum macht, +neben den beiden für die allgemeine Function~$U$ gestellten Bedingungen +auch noch der dritten, dass $\Delta u = 0$, und da es, wie +schon gesagt, unter den Functionen~$U$ immer eine geben muss, +welche $W$ zum Minimum macht, so muss es auch immer eine Function +geben, welche den drei in dem Satze gestellten Bedingungen +genügt. + +Es bleibt nun noch zu beweisen, dass es nur Eine solche Function +giebt. + +Zunächst ist durch eine Umkehrung der vorigen Betrachtungen +leicht ersichtlich, dass jede Function~$U$, welche die Bedingung +$\Delta U = 0$ erfüllen würde, auch $W$ zu einem Minimum machen müsste, +und es braucht also nur noch bewiesen zu werden, dass ausser jener +bestimmten Function $u$ keine andere der Functionen~$U$ die Grösse~$W$ +zu einem Minimum macht. + +Angenommen nun, es gebe ausser $u$ noch eine zweite Function +$u+s$, welche $W$ zu einem Minimum mache, so wollen wir andere +Functionen~$U$, welche von $u+s$ nur wenig abweichen, durch $u+hs$ +%% -----File: 138.png---Folio 124------- +darstellen, worin $h$ eine Constante sein soll, die sich nur wenig von +$1$ unterscheidet. Es würde dann die Differenz +\[ +\int \sum \left( \frac{\partial(u + hs)}{\partial x} \right)^2 d\tau + - \int \sum \left( \frac{\partial(u + s)}{\DPtypo{dx}{\partial x}} \right)^2 d\tau +\] +nicht negativ werden dürfen. + +Indem wir nun, wie oben, die Differentialcoefficienten der Summen +$u+hs$ und~$u+s$ in die betreffenden Summen von Differentialcoefficienten +zerlegen, und dabei die Gleichung~(165), welche für +jede Function~$s$ gelten muss, berücksichtigen, erhalten wir: +\begin{align*} +\int \sum \left( \frac{\partial(u + hs)}{\partial x} \right)^2 d\tau + &= \int \sum \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)^2 + + h^2 \int \sum \left( \frac{\partial s}{\partial x} \right)^2 d\tau \\ +% +\int \sum \left( \frac{\partial(u + s)}{\partial x}\right)^2 d\tau + &= \int \sum \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)^2 + + \int \sum \left( \frac{\partial s}{\partial x} \right)^2 d\tau +\end{align*} +und die vorige Differenz, welche nicht negativ sein darf, geht daher +über in: +\[ +(h^2 - 1) \int \sum \left( \frac{\partial s}{\partial x} \right)^2 d\tau. +\] +Da nun $h^2$ eben so wohl kleiner, wie grösser als $1$ sein kann, so +kann der Factor $h^2-1$ negativ werden, und somit muss, wenn +das Product nicht negativ werden soll, der andere Factor Null sein, +und wir erhalten daher, wenn wir die angedeutete Summe jetzt +vollständig ausschreiben: +\[ +\tag{167} +\int \left[ \left( \frac{\partial s}{\partial x} \right)^2 + + \left( \frac{\partial s}{\partial y} \right)^2 + + \left( \frac{\partial s}{\partial z} \right)^2 \right] d\tau = 0. +\] +Diese Gleichung kann nur dadurch erfüllt sein, dass für den ganzen +Raum ist: +\[ +\frac{\partial s}{\partial x} = 0;\quad +\frac{\partial s}{\partial y} = 0;\quad +\frac{\partial s}{\partial z} = 0, +\] +und demgemäss muss $s$ constant sein. Da ferner an der Oberfläche, +gemäss den für die Function~$s$ gestellten Bedingungen, $s=0$ sein +muss, so kann $s$ auch im Innern nur den Werth Null haben, und +%% -----File: 139.png---Folio 125------- +die Function $u+s$ ist daher mit $u$ identisch. Folglich ist $u$ die +einzige Function, welche $W$ zu einem Minimum macht und demgemäss +den drei in dem Satze gestellten Bedingungen genügt. + +Den vorstehend mitgetheilten Beweis, welcher sich auf den +allgemeineren Fall, wo die Function~$u$ an jedem Puncte der Oberfläche +irgend einen vorgeschriebenen Werth haben soll, bezieht, +kann man natürlich auch auf den specielleren Fall, wo die Function +den bestimmten Werth~$-\dfrac{1}{r}$ haben soll, anwenden. Auch +für den Fall, wo der äussere Raum betrachtet wird, und wo also +zu der gegebenen Fläche noch die unendlich grosse Kugelfläche +hinzukommt, reichen die für die \Person{Green}'sche Function und ihre +Ableitung nach $R$ in Bezug auf unendliche Entfernungen gestellten +Bedingungen aus, um das Flächenintegral in~(165a.)\ zum Verschwinden +zu bringen und so den \Person{Dirichlet}'schen Beweis anwendbar +zu machen. + + +\Section{47.}{Flächenbelegung, deren Potentialfunction in der Fläche +selbst vorgeschriebene Werthe hat.} + +Für eine geschlossene Fläche \Emphasis{giebt es stets eine und nur +Eine Vertheilung von Agens auf der Fläche selbst, deren +Potentialfunction in jedem Puncte der Fläche einen vorgeschriebenen +Werth hat}. + +In §~44 haben wir gesehen, dass für den Fall, wo das Agens +sich nur auf der Fläche befindet, durch die in der Fläche geltenden +Werthe der Potentialfunction, auch die Potentialfunction im +inneren und äusseren Raume vollkommen bestimmt ist. Ist aber +die Potentialfunction in beiden Räumen bestimmt, so sind es auch +ihre innerhalb und ausserhalb der Fläche nach der Normale genommenen +Differentialcoefficienten. Bezeichnen wir nun, indem wir +die Normale nach einer bestimmten Seite, \zB\ nach Aussen hin, +als positiv rechnen, den äusseren Differentialcoefficienten dicht an +der Fläche mit $\left( \dfrac{\partial V}{\partial n} \right)_{+0}$ und den inneren Differentialcoefficienten +dicht an der Fläche mit $\left( \dfrac{\partial V}{\partial n} \right)_{-0}$, so gilt für die Flächendichtigkeit~$h$ +%% -----File: 140.png---Folio 126------- +die in §~33 unter~(III.) gegebene Gleichung, welche wir in +folgender Form schreiben können: +\[ +h = -\frac{1}{4\pi \epsilon} + \left[ \left( \frac{\partial V}{\partial n} \right)_{+0} + - \left( \frac{\partial V}{\partial n} \right)_{-0} \right]. +\] +Somit ist die Flächendichtigkeit, welche der gestellten Bedingung +genügt, vollständig bestimmt, und dadurch der Satz bewiesen. + +Natürlich kann dieser Satz, welcher im Vorigen nur für Eine +geschlossene Fläche ausgesprochen ist, auch sofort auf beliebig viele +geschlossene Flächen ausgedehnt werden. + + +\Section{48.}{Ersetzung des durch einen Raum verbreiteten Agens +durch Agens, welches sich nur auf der Grenzfläche des +Raumes befindet.} + +Es sei eine Quantität Agens gegeben, welche durch den von +einer geschlossenen Fläche umgrenzten Raum beliebig verbreitet +ist, und sich auch zum Theil auf der Oberfläche befinden kann. +\Emphasis{Dann giebt es stets eine und nur Eine Vertheilung von +Agens auf der Fläche allein, welche im ganzen äusseren +Raume dieselbe Potentialfunction hat, wie das gegebene +Agens.} Ebenso giebt es in dem Falle, wo das Agens sich ausserhalb +der Fläche befindet, \Emphasis{eine und nur Eine Vertheilung auf +der Fläche allein, welche im ganzen inneren Raume dieselbe +Potentialfunction hat, wie das gegebene Agens.} + +Da es nach dem vorigen~§ immer eine und nur Eine Vertheilung +von Agens auf der Fläche giebt, deren Potentialfunction in +jedem Puncte der Fläche einen vorgeschriebenen Werth hat, so +muss es auch eine und nur Eine Vertheilung auf der Fläche geben, +deren Potentialfunction in allen Puncten der Fläche gleich der Potentialfunction +des gegebenen Agens ist. Wenn aber die beiden +Potentialfunctionen an der Fläche überall einander gleich sind, so +müssen sie auch in dem ganzen resp.\ äusseren oder inneren Raume +einander gleich sein. +%% -----File: 141.png---Folio 127------- + + +\Section{49.}{Bestimmung einer Function~$V$, welche die Gleichung +$\Delta V = - 4\pi \epsilon k$ erfüllt.} + +Im Obigen wurde als eine der wichtigsten Eigenschaften der +Potentialfunction die für sie stattfindende Gültigkeit der partiellen +Differentialgleichung $\Delta V = - 4\pi \epsilon k$ bewiesen, worin $k$ die +Dichtigkeit des betreffenden Agens bedeutet, welche natürlich für +die Stellen, wo sich kein Agens befindet, gleich Null zu setzen +ist. Es möge nun noch eine umgekehrte Betrachtung angestellt +werden. + +Es werde nämlich für irgend eine Function~$V$ der Raumcoordinaten, +von der vorausgesetzt werden soll, dass sie und ihre ersten +und zweiten Ableitungen nirgends unendlich gross werden, die Annahme +gemacht, dass die Gleichung +\[ +\Delta V = - 4\pi \epsilon k +\] +gültig sei, worin $k$ irgend eine Function der Coordinaten bedeuten +soll, welche innerhalb eines ganz im Endlichen liegenden Raumes +beliebige endliche Werthe haben kann, ausserhalb dieses Raumes +aber bis in's Unendliche überall Null ist. Ferner möge noch die +Bedingung hinzugefügt werden, dass in unendlich grosser Entfernung~$R$ +vom Anfangspuncte der Coordinaten sowohl $V$ als auch +das Product $R\, \dfrac{\partial V}{\partial R}$ unendlich klein werden. Dann lässt sich beweisen, +\Emphasis{dass durch diese Bedingungen die Function~$V$ vollkommen +bestimmt ist, indem sie durch die Potentialfunction +eines Agens, welches die Raumdichtigkeit~$k$ hat, +dargestellt wird}. + +Wir benutzen dazu die \Person{Green}'sche Gleichung~(157), welche +nach den über $V$ gemachten Annahmen eine vereinfachte Form +erhält. Betrachtet man nämlich die unter~(151) gegebene allgemeine +Form von~$V$, so sieht man, dass darin für den gegenwärtigen +Fall das Integral mit $dq$ fortgelassen und $v$ mit $V$ als gleichbedeutend +angesehen werden kann, weil $V$ die dort für $v$ gestellten +Bedingungen erfüllt. Ferner ist für~$\Delta v$, welches nach dem ebengesagten +mit $\Delta V$ gleichbedeutend ist, der oben gegebene Werth +$-4\pi \epsilon k$ zu setzen. Dadurch geht die Gleichung über in: +%% -----File: 142.png---Folio 128------- +\begin{align*} +\tag{168} +\int U\, \frac{\partial V}{\partial n}\, d\omega - 4\pi \epsilon \int Uk\, d\tau + &= \int V\, \frac{\partial U}{\partial n}\, d\omega \\ + &+ \int V\, \Delta u\, d\tau - 4\pi \epsilon \int V\, d\frakq. +\end{align*} + +Um nun den Werth~$V'$, welchen die Function~$V$ an einem +beliebig gewählten Puncte~$p'$ mit den Coordinaten $x'$,~$y'$,~$z'$ hat, +zu bestimmen, nehmen wir für $U$ dieselbe Form an, wie in §~43, +nämlich: +\[ +U = \frac{1}{r}, +\] +worin $r$ den Abstand des Punctes~$p$ mit den Coordinaten $x$,~$y$,~$z$ +von jenem Puncte~$p'$ bedeutet. Dann folgt, wie in §~43 auseinander +gesetzt wurde, dass man zu setzen hat: +\[ +u = 0 \text{ und } \epsilon \int V\, d\frakq = V', +\] +und die Gleichung~(168) geht daher über in: +\[ +\int \frac{1}{r}\, \frac{\partial V}{\partial n}\, d\omega + - 4\pi\epsilon \int \frac{k}{r}\, d\tau + = \int V \frac{\partial \dfrac{1}{r}}{\partial n}\, d\omega - 4\pi V', +\] +oder anders geordnet: +\[ +\tag{169} +V' = \epsilon \int \frac{k}{r}\, d\tau + + \frac{1}{4\pi} \int + \Biggl( V\frac{\partial \dfrac{1}{r}}{\partial n} + -\frac{1}{r}\, \frac{\partial V}{\partial n} \Biggr) d\omega. +\] + +Diese Gleichung wollen wir auf den ganzen Raum, welcher +von einer um den Anfangspunct der Coordinaten mit dem unendlich +grossen Radius~$R$ geschlagenen Kugelfläche eingeschlossen ist, +anwenden. Dann bezieht sich das in ihr vorkommende Flächenintegral +auf die unendlich grosse Kugelfläche. In diesem Integrale +können wir, wie es in §~43 geschah, das Flächenelement~$d\omega$ durch +$R^2\, d\sigma$ ersetzen, worin $d\sigma$ das Element des körperlichen Winkels +bedeutet, ferner für $\dfrac{1}{r}$ und $\dfrac{\partial \dfrac{1}{r}}{\partial n}$ ihre Werthe $\dfrac{1}{R}$ und~$\dfrac{1}{R^2}$ setzen und +%% -----File: 143.png---Folio 129------- +endlich $\dfrac{\partial V}{\partial n}$ in $-\dfrac{\partial V}{\partial R}$ umformen. Dadurch nimmt das Integral folgende +Form an: +\[ +\int \left( V + R \frac{\partial V}{\partial R} \right) d\sigma. +\] +Da nun gemäss der über $V$ gemachten Annahme die beiden hier +in Klammer stehenden Glieder unendlich klein sind, so verschwindet +das ganze Integral, und die Gleichung~(169) geht über in: +\[ +\tag{170} +V' = \epsilon \int \frac{k}{r}\, d\tau. +\] +Hierdurch ist die Behauptung, dass die Function~$V$, von welcher +$V'$ den auf den Punct $(x', y', z')$ bezüglichen Werth bedeutet, vollkommen +bestimmt ist, und durch die Potentialfunction eines Agens +mit der Dichtigkeit~$k$ dargestellt wird, bewiesen. + + +\Section{50.}{Ausnahmestellen und deren Absonderung.} + +Im vorigen~§ wurde von der Function~$V$ vorausgesetzt, dass +sie und ihre ersten und zweiten Ableitungen nirgends unendlich +gross seien, und dass überall die Gleichung $\Delta V = - 4 \pi \epsilon k$ erfüllt +sei. Wir wollen nun die Betrachtung in der Weise erweitern, +dass wir Ausnahmestellen zulassen, nämlich Flächen, Linien und +Puncte, in welchen $\Delta V$ der obigen Gleichung nicht genügt und +überhaupt keinen endlichen Werth hat, für welche dagegen die +anderen früher besprochenen und in §~39 übersichtlich zusammengestellten +characteristischen Gleichungen in Kraft treten, nämlich +für Flächen die Gleichung~(III.), für Linien die Gleichungen~(IV.) +und für Puncte die Gleichungen~(Va.). + +Um beim Vorhandensein solcher Ausnahmestellen doch die +Gleichung (169) anwenden zu können, umgeben wir die Stellen mit +Flächen, durch welche sie vom übrigen Raume abgesondert werden. + +Wenn als Ausnahmestelle eine Fläche gegeben ist, so legen +wir neben dieselbe zu beiden Seiten zwei unendlich nahe parallele +Flächen und verbinden deren Ränder durch eine unendlich schmale +Fläche, welche so gestaltet ist, dass sie von jeder auf dem Rande +%% -----File: 144.png---Folio 130------- +der gegebenen Fläche senkrecht stehenden Ebene in einem unendlich +kleinen Halbkreise geschnitten wird. Die beiden parallelen +Flächen und die Randfläche zusammen bilden unsere Absonderungsfläche. +Sollte die gegebene Fläche geschlossen sein, so würde natürlich +die Randfläche fortfallen. + +Wenn als Ausnahmestelle eine Linie gegeben ist, so construiren +wir die Absonderungsfläche in folgender Weise. Um jeden Punct +der Linie denken wir uns in einer auf der Linie senkrechten Ebene +einen Kreis mit dem unendlich kleinen Radius~$\rho$ geschlagen. Diese +sämmtlichen Kreise bilden zusammen eine cylinderartige Fläche, +welche wir uns an den Enden durch zwei um die Endpuncte der +Linie geschlagene Halbkugeln mit dem Radius~$\rho$ geschlossen denken. +Sollte die Linie geschlossen sein, so würden die Endflächen +fortfallen. + +Wenn als Ausnahmestelle ein Punct gegeben ist, so nehmen +wir als Absonderungsfläche einfach eine um den Punct geschlagene +unendlich kleine Kugelfläche. + +Nachdem auf diese Weisen alle Ausnahmestellen von Flächen +umgeben sind, können wir die Gleichung~(169), nämlich: +\[ +V' = \epsilon \int \frac{k}{r}\, d\tau + + \frac{1}{4\pi} \int + \Biggl( V\, \frac{\partial \dfrac{1}{r}}{\partial n} + -\frac{1}{r}\, \frac{\partial V}{\partial n} \Biggr) d\omega, +\] +auf denjenigen Raum anwenden, welcher von dem ganzen, innerhalb +der unendlich grossen Kugelfläche liegenden Raume nach Ausschluss +der von den Absonderungsflächen begrenzten unendlich kleinen +Räume übrig bleibt. Dabei ist zu bemerken, dass es für das +erste an der rechten Seite stehende Integral nur einen unendlich +kleinen Unterschied macht, ob die Integration jene von den Absonderungsflächen +begrenzten unendlich kleinen Räume mit umfasst, +oder nicht, da die Grösse~$k$ der Voraussetzung nach auch in diesen +Räumen endlich bleibt. Bei dem zweiten Integrale dagegen entsteht +dadurch, dass die Integration ausser der unendlich grossen +Kugelfläche, welche nur einen verschwindend kleinen Integralwerth +giebt, noch die Absonderungsflächen zu umfassen hat, ein wesentlicher +Unterschied. +%% -----File: 145.png---Folio 131------- + + +\Section{51.}{Bestimmung der Function~$V$ unter Berücksichtigung +der Absonderungsflächen.} + +Indem wir nun dazu schreiten, die auf die verschiedenen Absonderungsflächen +bezüglichen Theile des in~(169) vorkommenden +Flächenintegrals zu bestimmen, wählen wir zunächst eine solche +Absonderungsfläche zur Betrachtung aus, welche eine Fläche einschliesst. +Dabei können wir die Randfläche gegen diejenigen beiden +Flächen, welche der gegebenen Fläche parallel sind, als unendlich +klein vernachlässigen. Um das auf die letzteren beiden Flächen +bezügliche Integral zu bilden, fassen wir immer zwei Flächenelemente +zusammen, welche sich gegenüberliegen und eben so gross sind, wie +das zwischen ihnen liegende Flächenelement~$d\omega$ der gegebenen +Fläche. Dann können wir den Theil des in~(169) vorkommenden +Flächenintegrals, welcher sich auf diese Absonderungsfläche bezieht, +so schreiben: +\[ +\int \left[ \Biggl( V\, \frac{\partial \dfrac{1}{r}}{\partial n} + - \frac{1}{r}\, \frac{\partial V}{\partial n} \Biggr)_1 + + \Biggl( V\, \frac{\partial \dfrac{1}{r}}{\partial n} + - \frac{1}{r}\, \frac{\partial V}{\partial n} \Biggr)_2 \right] d\omega, +\] +worin die Indices $1$~und~$2$ andeuten sollen, dass von dem in Klammer +stehenden Ausdrucke die in den beiden parallelen Flächen geltenden +Werthe zu nehmen sind. Die Integration ist dann einfach +über die gegebene Fläche auszudehnen. + +Nun ist aber, weil die beiden parallelen Flächen unter einander +und der gegebenen Fläche unendlich nahe sind, zu setzen: +\[ +\frac{1}{r_2} = \frac{1}{r_1} = \frac{1}{r} \text{ und } V_2 = V_1 = V, +\] +worin die Buchstaben ohne Index sich auf die gegebene Fläche beziehen. +Man kann daher das vorige Integral auch so schreiben: +\[ +\int \left\{ V \Biggl[ + \Biggl(\frac{\partial \dfrac{1}{r}}{\partial n}\Biggr)_1 + + \Biggl(\frac{\partial \dfrac{1}{r}}{\partial n}\Biggr)_2 \Biggr] + - \frac{1}{r} \Biggl[ \Biggl( \frac{\partial V}{\partial n} \Biggr)_1 + + \Biggl( \frac{\partial V}{\partial n} \Biggr)_2 \Biggr] \right\} d\omega. +\] + +Was nun die Differentialcoefficienten nach $n$ anbetrifft, so ist +zu bemerken, dass im vorstehenden Ausdrucke die Normale nach +%% -----File: 146.png---Folio 132------- +der Seite als positiv zu rechnen ist, welche in Bezug auf den betrachteten +Raum nach Innen geht, was für die beiden parallelen +Flächen nach entgegengesetzten Richtungen stattfindet. Um nun +aber mit unserer früheren, bei Flächen angewandten Bezeichnungsweise +in Uebereinstimmung zu kommen, wollen wir die Normale +auf der gegebenen Fläche, welche zugleich Normale auf den beiden +parallelen Flächen ist, nach einer bestimmten Richtung als positiv +rechnen, nämlich von der parallelen Fläche, auf welche sich der +Index~$1$ bezieht, nach der parallelen Fläche hin, auf welche sich +der Index~$2$ bezieht, und zugleich wollen wir die beiden Werthe, +welche der nach der Normale genommene Differentialcoefficient an +den beiden Seiten der gegebenen Fläche in ihrer unmittelbaren +Nähe hat, durch die Indices $+0$~und~$-0$ von einander unterscheiden. +Dann ist zu setzen: +\begin{gather*} +\Biggl( \frac{\partial \dfrac{1}{r}}{\partial n} \Biggr)_2 + = \Biggl( \frac{\partial \dfrac{1}{r} }{\partial n} \Biggr)_{+0};\quad +\Biggl( \frac{\partial \dfrac{1}{r}}{\partial n} \Biggr)_1 + = - \Biggl( \frac{\partial \dfrac{1}{r} }{\partial n} \Biggr)_{-0} \\ +% +\left( \frac{\partial V}{\partial n}\right)_2 + = \left( \frac{\partial V}{\partial n} \right)_{+0};\quad +\left( \frac{\partial V}{\partial n} \right)_1 + = - \left( \frac{\partial V}{\partial n} \right)_{-0}, +\end{gather*} +wodurch der vorige Ausdruck übergeht in: +\[ +\int \left\{ V \Biggl[ + \Biggl(\frac{\partial \dfrac{1}{r}}{\partial n}\Biggr)_{+0} + - \Biggl(\frac{\partial \dfrac{1}{r}}{\partial n}\Biggr)_{-0} \Biggr] + - \frac{1}{r}\left[ + \left(\frac{\partial V}{\partial n}\right)_{+0} + - \left(\frac{\partial V}{\partial n}\right)_{-0} \right] \right\} d\omega. +\] +Nun erleidet aber der Differentialcoefficient $\dfrac{\partial \dfrac{1}{r}}{\partial n}$ beim Durchgange +durch die gegebene Fläche keine sprungweise Aenderung, und die +beiden Werthe $\Biggl( \dfrac{\partial \dfrac{1}{r}}{\partial n} \Biggr)_{+0}$ und $\Biggl( \dfrac{\partial \dfrac{1}{r}}{\partial n} \Biggr)_{-0}$ können daher nur unendlich +wenig von einander verschieden sein, so dass ihre Differenz, welche +sich in der ersten eckigen Klammer befindet, zu vernachlässigen +ist. Für die in der zweiten eckigen Klammer stehende Differenz +können wir nach~(III.) setzen: $-4\pi\epsilon h$. Demnach nimmt der auf +%% -----File: 147.png---Folio 133------- +diese Absonderungsfläche bezügliche Theil des in~(169) vorkommenden +Flächenintegrals folgende einfache Form an: +\[ +4\pi\epsilon \int \frac{h}{r}\, d\omega. +\] + +Sollten mehrere Ausnahmeflächen vorhanden sein, so könnte +man doch den vorstehenden Ausdruck für sie alle zusammen beibehalten, +wenn man nur festsetzte, dass das Integral sich auf alle +gegebenen Flächen erstrecken soll. + +Wir wählen nun weiter eine solche Absonderungsfläche, welche +eine Linie einschliesst, zur Betrachtung aus. Dabei können wir +uns auf die cylinderartige Fläche beschränken, indem die halbkugelförmigen +Endflächen unendlich klein von höherer Ordnung sind. +Um ein Element der cylinderartigen Fläche auszudrücken, wollen +wir in der durch irgend einen Punct der Linie gelegten Normalebene, +welche die cylinderartige Fläche in einem unendlich kleinen +Kreise mit dem Radius~$\rho$ schneidet, den Winkel eines vom Mittelpuncte +ausgehenden Leitstrahles mit einer durch den Mittelpunct +gehenden festen Geraden mit $\phi$ bezeichnen, so dass das Element +des Kreises durch $\rho\, d\phi$ dargestellt wird. Ferner wollen wir uns +neben der ersten Normalebene noch eine zweite um $ds$ von ihr entfernte +gelegt denken, welche mit ihr zusammen einen unendlich +schmalen Streifen aus der cylinderartigen Fläche ausschneidet. Dann +können wir ein Element dieses Streifens durch $\rho\, d\phi\, ds$ darstellen, +und diesen Ausdruck statt $d\omega$ in Anwendung bringen. Da ferner +der Radius~$\rho$ auf der Oberfläche senkrecht ist, so können wir die +Differentialcoefficienten nach $n$ auch durch Differentialcoefficienten +nach $\rho$ ersetzen. Dadurch nimmt der auf diese Absonderungsfläche +bezügliche Theil des in~(169) vorkommenden Flächenintegrales folgende +Form an: +\[ +\iint \Biggl( V\, \frac{\partial \dfrac{1}{r}}{\partial \rho} + - \frac{1}{r}\, \frac{\partial V}{\partial \rho} \Biggr) \rho\, d\phi\, ds, +\] +oder etwas umgeschrieben: +\[ +\int ds \int \Biggl( \rho\, V\, \frac{\partial \dfrac{1}{r}}{\partial \rho} + - \frac{1}{r}\, \rho\, \frac{\partial V}{\partial \rho} \Biggr) d\phi. +\] +%% -----File: 148.png---Folio 134------- + +Was das erste hier in Klammer stehende Glied anbetrifft, so +ist der Factor~$\rho V$ für unendlich kleine Werthe von~$\rho$, gemäss~(IV.), +unendlich klein. Dazu kommt noch, dass bei je zwei Werthen von~$\phi$, +welche um $\pi$ von einander verschieden sind, und für welche +daher $\rho$ entgegengesetzte Richtungen hat, der Differentialcoefficient +$\dfrac{\partial \dfrac{1}{r}}{\partial \rho}$ bei unendlich nahe gleichen absoluten Werthen entgegengesetzte +Vorzeichen hat, während der andere Factor~$\rho V$ gleiche Vorzeichen +hat, woraus folgt, dass selbst dann, wenn $\rho V$ nicht schon +an sich unendlich klein wäre, das Verschwinden des Gliedes dadurch +eintreten würde, dass in dem von $0$ bis~$2\pi$ zu nehmenden +Integrale nach $\phi$ je zwei Elemente sich aufheben. In dem zweiten +Gliede kann man $\rho\, \dfrac{\partial V}{\partial \rho}$ gemäss~(IV.), durch $-2\epsilon g$ ersetzen, und +unter $r$ können wir statt des auf die Peripherie des unendlich kleinen +Kreises bezüglichen Werthes den auf den Mittelpunct bezüglichen +Werth setzen. Dadurch geht der Ausdruck über in: +\[ +\int ds \frac{2\epsilon g}{r} \int d\phi +\] +und durch Ausführung der Integration nach $\phi$ in: +\[ +4\pi\epsilon \int \frac{g\, ds}{r}. +\] + +Eben diesen Ausdruck kann man auch beibehalten, wenn +mehrere Ausnahmelinien vorhanden sind, indem man festsetzt, dass +das Integral sich auf alle diese Linien beziehen soll. + +Wählen wir endlich eine solche Absonderungsfläche zur Betrachtung +aus, welche einen Ausnahmepunct umgiebt, also eine mit +einem unendlich kleinen Radius, der $\frakr$ heissen möge, um diesen +Punct beschriebene Kugelfläche, so können wir darin das Flächenelement +$d\omega$ durch $\frakr^2\, d\sigma$ darstellen, worin $d\sigma$ das Element des +körperlichen Winkels bedeutet, und können ferner die Differentialcoefficienten +nach $n$ durch Differentialcoefficienten nach $\frakr$ ersetzen. +Der auf diese Fläche bezügliche Theil des in~(169) vorkommenden +Flächenintegrales lautet dann: +%% -----File: 149.png---Folio 135------- +\[ +\int \Biggl( V\, \frac{\partial \dfrac{1}{r}}{\partial \frakr} + - \frac{1}{r}\, \frac{\partial V}{\partial \frakr} \Biggr) \frakr^2 \,d\sigma. +\] + +Hierin gilt vom ersten Gliede im Wesentlichen dasselbe, wie +im vorigen Falle. Das Product $\frakr^2 V$ ist, gemäss~(Va.), unendlich +klein, und selbst, wenn dieses nicht der Fall wäre, so würde das +über den ganzen körperlichen Winkelraum ausgeführte Integral +dadurch unendlich klein werden, dass $\dfrac{\partial \dfrac{1}{r}}{\partial \frakr}$ an je zwei aneinander +gegenüberliegenden Puncten der Kugelfläche bei \DPtypo{unenendlich}{unendlich} nahe +gleichen absoluten Werthen entgegengesetzte Vorzeichen hat. Im +zweiten Gliede ist $-\frakr^2\, \dfrac{\partial V}{\partial \frakr}$, gemäss~(Va.), durch $\epsilon q$ zu ersetzen, +und für $r$ kann statt des auf die Kugelfläche bezüglichen Werthes +der auf den Mittelpunct bezügliche Werth genommen werden, wodurch +der Ausdruck übergeht in: +\[ +\epsilon \frac{q}{r} \int d\sigma +\] +oder nach Ausführung der Integration: +\[ +4\pi \epsilon \frac{q}{r}. +\] + +Sind mehrere Ausnahmepuncte vorhanden, so kann man die +auf sie bezüglichen Theile des Flächenintegrals zusammenfassen in: +\[ +4\pi \epsilon \sum \frac{q}{r}. +\] + +Kehren wir nun zu der Gleichung~(169) zurück, und setzen +für das darin angedeutete Flächenintegral die Summe der für die +drei Arten von Absonderungsflächen gefundenen Ausdrücke, so erhalten +wir statt der Gleichung~(170) die folgende: +\[ +\tag{171} +V' = \epsilon \int \frac{k}{r}\, d\tau + + \epsilon \int \frac{h}{r}\, d\omega + + \epsilon \int \frac{g}{r}\, ds + + \epsilon \sum \frac{q}{r}. +\] +Somit ist auch in diesem allgemeineren Falle, wo Ausnahmestellen +vorkommen, der im Puncte~$p'$ geltende Werth der Function~$V$ vollkommen +bestimmt, und aus der Form des Ausdruckes ist ersichtlich, +dass $V$ nichts anderes ist, als die Potentialfunction eines Agens, +%% -----File: 150.png---Folio 136------- +von welchem ein Theil durch den Raum mit der Raumdichtigkeit +$k$ verbreitet ist, während zugleich auf gegebenen Flächen endliche +Mengen mit der Flächendichtigkeit $h$, auf gegebenen Linien endliche +Mengen mit der Liniendichtigkeit $g$, und in gegebenen Puncten +endliche Mengen $q$,~$q_1$ etc.\ befindlich sind. + +Sollte eine der gegebenen Linien in einer der gegebenen Flächen +liegen, so würde es für das Flächenintegral $\ds\int\frac{h}{r}\,d\omega$ nur einen +unendlich kleinen Unterschied machen, ob es den Theil der Fläche, +welcher von der für die Linie construirten Absonderungsfläche eingeschlossen +wäre, mit umfasste, oder nicht, und das Entsprechende +würde auch für den Fall gelten, wo einer der gegebenen Puncte +in einer der gegebenen Flächen oder Linien läge. + +\ctb +%% -----File: 151.png---Folio 137------- + + +\Chapter{II. Das Potential} + +\Section{52.}{Ausgangspuncte für die Auseinandersetzung.} + + +Um den Begriff des Potentials und die Rolle, welche es bei +physicalischen Untersuchungen spielt, erläutern zu können, muss ich +zwei Fundamentalsätze der Mechanik voraussetzen, nämlich 1)~\Emphasis{den +Satz von den virtuellen Bewegungen oder, wie man gewöhnlich +sagt, von den virtuellen Geschwindigkeiten}, und 2)~\Emphasis{das +\Person{d'Alembert}'sche Princip}. Es ist hier nicht der Ort dazu, +diese Sätze zu entwickeln und zu beweisen, sondern ich will sie +nur anführen, um die weiteren Betrachtungen daran anknüpfen zu +können. Dabei will ich sie aber in etwas vollständigerer Form aussprechen, +als es gewöhnlich geschieht, weil es für physicalische +Untersuchungen von Wichtigkeit ist, genau zu wissen, unter welchen +Bedingungen sie gültig sind, und welche Modificationen sie +erleiden, wenn die Bedingungen sich ändern. + + +\Section{53.}{Begriff der virtuellen Bewegungen und Unterscheidung +zweier Fälle.} + + +Es sei irgend ein System von beweglichen Puncten $p$,~$p_1$, $p_2$~etc. +gegeben, welche entweder ganz frei nach jeder beliebigen Richtung +beweglich oder durch gewisse Bedingungen in ihren Bewegungen +beschränkt seien. Solche beschränkenden Bedingungen können in +dem Systeme selbst liegen, wenn die Puncte irgend wie unter einander +in Verbindung stehen, so dass durch die Bewegung einiger +Puncte die Bewegung anderer ganz oder theilweise mit bestimmt +ist; oder sie können von aussen her gegeben sein, wie \zB\ wenn +ein Punct gezwungen ist, in einer gegebenen festen Fläche oder +Curve zu bleiben, oder ganz fest an einer Stelle zu verharren, +%% -----File: 152.png---Folio 138------- +wodurch dann natürlich auch die anderen Puncte, welche mit diesem +zusammenhängen, entsprechenden Beschränkungen in ihren +Bewegungen unterliegen. + +In Bezug auf die beschränkenden Bedingungen findet noch +ein wesentlicher Unterschied statt. Wenn ein Punct gezwungen +ist, in einer festen Fläche zu bleiben, so kann er sich senkrecht +gegen die Fläche weder nach der einen, noch nach der anderen +Seite bewegen. Denkt man sich aber, der Punct befinde sich an +der Oberfläche eines festen, für ihn undurchdringlichen Körpers, +so kann er sich in der Richtung der Normale nach der einen Seite, +welche nach dem Innern des Körpers geht, nicht bewegen, während +nach der anderen Seite, welche nach aussen geht, seine Bewegung +frei ist. Ebenso verhält es sich mit der Electricität in einem leitenden +Körper, welcher von Nichtleitern umgeben ist, indem ein an +der Oberfläche befindliches Electricitätstheilchen sich wohl nach +dem Innern des Leiters, aber nicht nach Aussen bewegen kann. +Denkt man sich ferner zwei bewegliche Puncte, welche durch eine +starre Linie unter einander verbunden sind, so können sie sich +weder einander nähern, noch von einander entfernen; sind sie dagegen +durch einen biegsamen Faden verbunden, und nimmt man +an, sie seien schon so weit von einander entfernt, dass der Faden +gespannt sei, so können sie sich zwar nicht weiter von einander +entfernen, wohl aber einander nähern. Ich werde solche Bewegungshindernisse, +welche nach einer Richtung hin die Bewegung unmöglich +machen, nach der entgegengesetzten Richtung aber sie frei +lassen, \Emphasis{Bewegungshindernisse mit einseitigem Widerstande} +nennen; solche dagegen, bei denen jede zwei entgegengesetzte Richtungen +sich gleich verhalten, so dass, wenn nach der einen Seite +die Bewegung verhindert ist, sie auch nach der entgegengesetzten +Seite nicht geschehen kann, sollen, wo es zur Unterscheidung nöthig +ist, \Emphasis{Bewegungshindernisse mit beiderseitigem Widerstande} +genannt werden. + +Es möge nun das gegebene System von der Lage aus, in welcher +es ursprünglich betrachtet wurde, eine unendlich kleine Bewegung +machen, so dass die einzelnen Puncte unendlich kleine +Wegstücke zurücklegen. Diese kleinen Wege dürfen dem Vorigen +nach nicht als für jeden Punct beliebig betrachtet werden, sondern +sie müssen so beschaffen sein, dass sie den beschränkenden Bedingungen, +welchen die Bewegungen der Puncte unterworfen sind, +genügen. Man hat daher ein solches System von unendlich kleinen +%% -----File: 153.png---Folio 139------- +Bewegungen, welche jenen Bedingungen nach möglich sind, indem +man ursprünglich vorzugsweise die verschiedenen Geschwindigkeiten +der gleichzeitigen Bewegungen in's Auge gefasst hat, ein System +von \Emphasis{virtuellen Geschwindigkeiten} genannt. Diese Bezeichnung +ist aber nicht ganz zweckmässig, weil durch die Geschwindigkeiten, +mit welchen die Puncte sich gleichzeitig bewegen, nur die verhältnissmässigen +\Emphasis{Längen} der kleinen Wege, nicht aber ihre \Emphasis{Richtungen}, +welche ebenfalls in Betracht kommen müssen, bestimmt +werden. Ich glaube daher, dass es bezeichnender wäre, von \Emphasis{virtuellen +Bewegungen} zu sprechen, denn bei dem Worte Bewegung +denkt man sogleich an Grösse und Richtung, während das Wort +Geschwindigkeit, wenigstens im gewöhnlichen Sprachgebrauche, die +Richtung nicht mit in sich begreift. + +In den meisten Fällen giebt es für dasselbe System von Puncten +unendlich viele Systeme von virtuellen Bewegungen. Wenn +alle vorkommenden Bewegungshindernisse solche mit beiderseitigem +Widerstande sind, so gehört zu jedem Systeme von virtuellen Bewegungen +auch das entgegengesetzte, indem die Puncte sich sowohl +nach der einen, als nach der anderen Seite bewegen können. +Kommen dagegen Bewegungshindernisse mit einseitigem Widerstande +vor, so giebt es Systeme von virtuellen Bewegungen, welche nur +nach der einen Seite, nicht aber nach der entgegengesetzten Seite +stattfinden können. Wir wollen die erste Art von virtuellen Bewegungen +\Emphasis{umkehrbare} und die letzte Art \Emphasis{nichtumkehrbare} +nennen. + + +\Section{54.}{Begriff der virtuellen Momente und Ausdruck des +betreffenden Satzes.} + +Es sei nun weiter angenommen, dass auf die einzelnen beweglichen +Puncte Kräfte wirken. Wenn auf einen Punct mehrere +Kräfte wirken, so kann man diese entweder einzeln betrachten, +oder sie sich auch in eine Resultante zusammengesetzt denken. +Diese Kräfte werden mit den virtuellen Bewegungen in der Weise +verbunden, dass man jede virtuelle Bewegung mit der in die Richtung +der Bewegung fallenden Componente der auf den Punct wirkenden +Kraft multiplicirt, und die dadurch entstehenden Producte +werden die \Emphasis{virtuellen Momente} der Kräfte genannt. Es gehört +also zu jedem Systeme von virtuellen Bewegungen ein System von +%% -----File: 154.png---Folio 140------- +virtuellen Momenten. Die einzelnen Momente können positiv oder +negativ sein, jenachdem die betreffende Kraftcomponente nach der +Seite hin gerichtet ist, wohin die Bewegung geht, oder nach der +entgegengesetzten. + +Mit Hülfe dieser virtuellen Momente kann man die Bedingungen, +welche erfüllt sein müssen, damit das System von Puncten unter +dem Einflusse der auf sie wirkenden Kräfte im Gleichgewichte sei, +auf einfache Weise durch folgenden Satz ausdrücken: \Emphasis{Es ist für +das Gleichgewicht nothwendig und hinreichend, dass für +alle vorkommenden Systeme von virtuellen Bewegungen +die Summe der virtuellen Momente Null oder negativ ist.} + +Es versteht sich hiernach von selbst, dass für ein \Emphasis{umkehrbares} +System von virtuellen Bewegungen das erstere stattfinden +muss, dass die Summe der virtuellen Momente Null ist, denn hätte +sie einen angebbaren negativen Werth, so würde man für die ebenfalls +möglichen umgekehrten Bewegungen einen angebbaren positiven +Werth erhalten, was dem Satze widerspricht. Für solche +Fälle, wo \Emphasis{nur} umkehrbare virtuelle Bewegungen vorkommen, kann +man daher einfach sagen: \Emphasis{es muss für alle Systeme von virtuellen +Bewegungen die Summe der virtuellen Momente +Null sein}. Dieses ist die Form, in welcher man den Satz gewöhnlich +ausgesprochen findet, indem dabei die Fälle, wo nichtumkehrbare +virtuelle Bewegungen vorkommen, ausser Acht gelassen +sind. + +Um den Satz mathematisch auszudrücken, seien $\delta s$,~$\delta s_1$, $\delta s_2$~etc.\ +die kleinen Wege, welche die Puncte bei einem Systeme von virtuellen +Bewegungen zurücklegen; ferner $P$,~$P_1$, $P_2$~etc.\ die Kräfte, +welche auf die einzelnen Puncte wirken, wobei jetzt angenommen +sein möge, dass, wenn auf einen Punct mehrere Kräfte wirken, +diese schon in eine Resultante zusammengefasst seien, endlich seien +$\varphi$,~$\varphi_1$, $\varphi_2$~etc.\ die Winkel zwischen den Kräften und den entsprechenden +virtuellen Bewegungen. Dann werden die virtuellen Momente +durch die Producte $P \cos{\varphi}\mathbin{.}\delta s$, $P_1 \cos{\varphi_1}\mathbin{.}\delta s_1$, $P_2 \cos{\varphi_2}\mathbin{.}\delta s_2$ etc.\ +dargestellt, und man erhält als Ausdruck des vorigen Satzes: +\[ +% %[** TN: In original, \leq is printed "upside-down". Using modern symbol.] +P \cos{\varphi}\mathbin{.}\delta s + + P_1 \cos{\varphi_1}\mathbin{.}\delta s_1 + + P_2 \cos{\varphi_2}\mathbin{.}\delta s_2 + \text{etc.} \leq 0 +\] +oder kürzer: +\[ +\tag{1} +\sum P \cos{\varphi}\mathbin{.}\delta s \leq 0, +\] +%% -----File: 155.png---Folio 141------- +worin für den Fall, dass nur umkehrbare virtuelle Bewegungen +vorkommen, nur das Zeichen ${}={}$ anzuwenden ist, für den Fall aber, +dass auch nichtumkehrbare Bewegungen vorkommen, beide Zeichen +${}={}$ und~${}<{}$ gelten. + +Für die Anwendung ist es bequemer, dem vorigen Ausdrucke +eine etwas andere Gestalt zu geben. Bezeichnen wir die Veränderungen, +welche die Coordinaten $x$,~$y$,~$z$ des Punctes~$p$ durch die +kleine Bewegung~$\delta s$ erleiden, mit $\delta x$,~$\delta y$ und~$\delta z$, und zerlegen +wir die auf den Punct wirkende Kraft~$P$ in ihre drei in die Coordinatenrichtungen +fallenden Componenten $X$,~$Y$ und~$Z$, so ist, wie +sich leicht nachweisen lässt: +\[ +P\cos{\varphi}\mathbin{.}\delta s = X\, \delta x + Y\, \delta y + Z\, \delta z, +\] +und entsprechende Gleichungen gelten auch für die anderen Puncte, +und man erhält daher statt~(1): +\[ +\tag{2} +\sum (X\, \delta x + Y\, \delta y + Z\, \delta z) \leq 0. +\] + + +\Section{55.}{Ausdruck desselben Satzes unter Anwendung des +Begriffes der Arbeit.} + +Die im vorigen Satze mit dem Namen \Emphasis{virtuelles Moment} +bezeichnete Grösse steht in innigem Zusammenhange mit einer anderen +Grösse, welche in der Mechanik eine bedeutende Rolle spielt. +Wenn ein Punct das Wegstückchen~$\delta s$ zurücklegt, und die in die +Richtung des Weges fallende Kraftcomponente $P \cos{\varphi}$ an allen +Puncten des kleinen Weges vollkommen gleich ist, so stellt das +Product $P \cos{\varphi}\mathbin{.}\delta s$ \Emphasis{die bei der Bewegung von der Kraft gethane +Arbeit} dar. Die hierbei gemachte Voraussetzung, dass +$P \cos{\varphi}$ seinen Werth während der Bewegung nicht ändere, ist +aber im Allgemeinen nicht streng erfüllt. Wenn die wirksame +Kraft an verschiedenen Stellen des Raumes nach Grösse und Richtung +verschieden ist, so ist sie auch auf den verschiedenen Theilen +des unendlich kleinen Weges nicht als vollkommen gleich zu betrachten; +und wenn ferner $\delta s$ nicht ein Stück einer geraden Linie, +sondern ein Stück einer Curve ist, so liegt auch darin ein Grund, +weshalb der Winkel~$\varphi$ zwischen Kraft und Weg und die davon abhängige +Kraftcomponente für die verschiedenen Theile des Weges etwas +verschieden sein muss, selbst wenn die Richtung der Kraft überall +dieselbe wäre. Der vollständige Ausdruck der Arbeit ist daher, wenn +man $P \cos{\phi}$ als Function von $s$ betrachtet, so zu schreiben: +%% -----File: 156.png---Folio 142------- +\[ +P\cos{\varphi}\mathbin{.}\delta s + + \frac{1}{2!} · \frac{d(P\cos{\varphi})}{ds}\, \delta s^2 + + \frac{1}{3!} · \frac{d^2(P\cos{\varphi})}{ds^2}\, \delta s^3 + + \text{etc.} +\] +Das erste Glied dieses Ausdruckes ist dasselbe, was im Vorigen das +virtuelle Moment der Kraft genannt wurde, und man sieht also, +dass die von der Kraft bei der kleinen Bewegung gethane Arbeit +sich von dem virtuellen Momente nur durch das Hinzukommen solcher +Grössen unterscheidet, welche in Bezug auf die Weglänge von +höherer als erster Ordnung sind. + +Hiernach kann man den Gleichgewichtssatz auch folgendermaassen +aussprechen: \Emphasis{Für das Gleichgewicht ist es nothwendig +und hinreichend, dass für jedes System von virtuellen +Bewegungen die Summe der von allen Kräften gethanen +Arbeitsgrössen entweder ein unendlich Kleines von höherer +als erster Ordnung in Bezug auf die Weglängen, oder +negativ ist.} + +Wenn alle virtuellen Bewegungen umkehrbar sind, so gilt nur +das Erstere, dass die Gesammtarbeit ein unendlich Kleines von +höherer Ordnung sein muss. Man kann dann bei dieser Art den +Gleichgewichtssatz auszusprechen noch eine weitere Angabe hinzufügen. +Daraus, dass die unendlich kleinen Grössen höherer Ordnung +positiv oder negativ sein können, entsteht der Unterschied +des stabilen und labilen Gleichgewichtes, und zwar in folgender +Weise. Ist für alle Systeme von virtuellen Bewegungen die Gesammtarbeit +aller Kräfte \Emphasis{negativ}, so ist das Gleichgewicht \Emphasis{stabil}; +ist sie für alle Systeme \Emphasis{positiv}, so ist das Gleichgewicht +\Emphasis{labil}; ist sie endlich, was auch vorkommt, für einige Systeme +negativ und für andere positiv, so kann man das Gleichgewicht +weder vollkommen stabil, noch vollkommen labil nennen. + + +\Section{56.}{Das \Person{d'Alembert}'sche Princip.} + +%[** TN: If text block width changes, d'Alembert'schen needs attention] +Aus dem Gleichgewichtssatze lässt sich mit Hülfe des \Person{d'Alembert}\-schen +Principes \Emphasis{der allgemeine Satz der Bewegung} ableiten. + +Dabei müssen wir aber die beschränkenden Bedingungen, welchen +die Bewegungen der Puncte unterworfen sind, zum Theil etwas +anders betrachten, als vorher. Es wurde im Vorigen angenommen, +%% -----File: 157.png---Folio 143------- +dass auch Bewegungshindernisse mit einseitigem Widerstande vorkommen +können, von denen vorausgesetzt wurde, dass sie einem +beliebigen auf sie ausgeübten Drucke widerstehen, ohne dass dabei +die Kraft, mittelst deren sie diesen Widerstand leisten, in Betracht +gezogen wurde. Bei der Bewegung aber lässt sich die Sache häufig +nicht so einfach abmachen, denn wenn man \zB\ annehmen wollte, +dass ein Punct mit einer gewissen Geschwindigkeit gegen eine absolut +feste Wand flöge, so würde daraus eine plötzliche Vernichtung +der Bewegung folgen, wie sie in der Natur nicht vorkommt. +Wenn ein Körper gegen eine feste Wand fliegt, so findet eine +gegenseitige Einwirkung zwischen Wand und Körper statt, welche +von zwar sehr kurzer, aber doch endlicher Dauer ist; während dieser +Zeit erleiden die Bewegungen der Theile des Körpers gewisse +Aenderungen, welche ebenso, wie die sonstigen Bewegungsänderungen, +mit den zugehörigen Kräften in Rechnung gebracht werden +können. Durch dieses Verfahren, welches in anderen ähnlichen +Fällen ebenfalls angewandt werden kann, werden die in Betracht +zu ziehenden Kräfte vermehrt, aber dafür fallen die Bewegungshindernisse +mit einseitigem Widerstande als solche aus der Betrachtung +fort. Will man die Sache ganz vollständig und streng behandeln, +so muss man auch noch berücksichtigen, dass die Wand +nicht ganz in Ruhe bleibt, sondern ebenfalls etwas in Bewegung +geräth und dadurch einen Theil der lebendigen Kraft des Körpers +in sich aufnimmt. Man muss dann also die Wand und die übrigen +mit ihr in Verbindung stehenden Gegenstände auch als aus beweglichen +Theilen bestehende Körper betrachten und ihre Bewegungen +in die Gleichungen mit aufnehmen, so dass also nicht nur die +Kräfte vermehrt werden, sondern das zu betrachtende System von +beweglichen materiellen Puncten selbst vergrössert wird. + +Es giebt freilich Fälle, wo eine Fläche, welche einseitig der +Bewegung widersteht, ohne erheblichen Fehler einfach als absolut +festes Bewegungshinderniss gelten kann; indessen kann man dieses +in den betreffenden Fällen zur Vereinfachung der Rechnung benutzen, +ohne dass es nöthig wäre, in der hier folgenden allgemeinen +Betrachtung darauf Rücksicht zu nehmen. Wir wollen daher +im Folgenden voraussetzen, dass keine Bewegungshindernisse mit +einseitigem Widerstande vorkommen, und dass somit \Emphasis{alle virtuellen +Bewegungen umkehrbar seien}. + +Wir wenden uns nun wieder zu dem früher betrachteten +Systeme von beweglichen Puncten, worunter wir jetzt materielle +%% -----File: 158.png---Folio 144------- +Puncte mit den Massen $m$,~$m_1$, $m_2$~etc.\ verstehen, und deren Coordinaten, +welche der Reihe nach $x$,~$y$,~$z$; $x_1$,~$y_1$, $z_1$~etc.\ heissen +mögen, wir als Functionen der Zeit~$t$ betrachten. Wir bilden nun +für den ersten Punct, auf welchen eine Kraft wirkt, deren Componenten +$X$,~$Y$ und~$Z$ sind, folgende Grössen: +\[ +X - m\, \frac{d^2 x}{dt^2};\quad +Y - m\, \frac{d^2 y}{dt^2};\quad +Z - m\, \frac{d^2 z}{dt^2}, +\] +ebenso für den zweiten Punct die Grössen: +\[ +X_1 - m_1\, \frac{d^2 x_1}{dt^2};\quad +Y_1 - m_1\, \frac{d^2 y_1}{dt^2};\quad +Z_1 - m_1\, \frac{d^2 z_1}{dt^2} +\] +u.~s.~w.\ Diese Grössen, welche man die Componenten der \Emphasis{verlorenen +Kräfte} nennt, müssen in dem Ausdrucke~(2) an die Stelle +der Componenten der gegebenen wirksamen Kräfte gesetzt werden. +Dadurch erhält man, da von den beiden Zeichen $=$ und~$<$ nur +das erstere anzuwenden ist, weil alle virtuellen Bewegungen als +umkehrbar angenommen werden, folgende Gleichung: +{\small% +\[ +\tag{3} +\sum \left[ \left( X - m\, \frac{d^2x}{dt^2} \right) \delta x + + \left( Y - m\, \frac{d^2y}{dt^2} \right) \delta y + + \left( Z - m\, \frac{d^2z}{dt^2} \right) \delta z \right] = 0. +\]}% +Hierin bezieht sich das Summenzeichen auf alle Massen, welche an +der Bewegung theilnehmen, auch wenn darunter solche vorkommen, +auf die keine der gegebenen Kräfte direct einwirkt, während in +dem für das Gleichgewicht geltenden Ausdrucke~(2), wenn mehrere +Puncte untereinander in Verbindung sind, von denen einige unter +der Einwirkung der gegebenen Kräfte stehen und andere nicht, +nur die ersteren unter dem Summenzeichen enthalten sind. + +Dieses ist die allgemeine Bewegungsgleichung, welche bekanntlich +in der Mechanik von grosser Wichtigkeit ist. Sie bleibt auch +gültig, wenn die beweglichen Massen nicht in Puncten concentrirt +sind, sondern Räume stetig ausfüllen, in welchem Falle die Summation +durch eine Integration zu ersetzen ist, was nach gewissen Umformungen +des Ausdruckes geschehen kann. +%% -----File: 159.png---Folio 145------- + + +\Section{57.}{Satz von der Aequivalenz von lebendiger Kraft und +Arbeit, und Bedingung, welche für seine Gültigkeit erfüllt +sein muss.} + +Wir wollen nun die Gleichung~(3) dazu anwenden, \Emphasis{den Satz +von der Aequivalenz von lebendiger Kraft und mechanischer +Arbeit} abzuleiten. + +Dazu müssen wir zunächst wieder über die beschränkenden +Bedingungen, welchen die Bewegungen der Puncte unterworfen sind, +sprechen. Bei den Betrachtungen über das Gleichgewicht konnte +es als von selbst verständlich angesehen werden, dass diese Bedingungen +der Art seien, dass durch sie allein keine Bewegung der +Puncte veranlasst werden könne. Wenn also \zB\ von einem der +Puncte angenommen wurde, dass er gezwungen sei, in einer gegebenen +Fläche zu bleiben, so wurde diese Fläche als fest und unveränderlich +vorausgesetzt, denn wenn die Fläche sich bewegte oder +mit der Zeit ihre Gestalt änderte, so würde dadurch allein schon +eine Bewegung des Punctes bedingt sein, so dass die zum Gleichgewichte +gehörige Ruhe nicht möglich wäre. Bei den Betrachtungen +über die Bewegung dagegen brauchen solche Fälle nicht ausgeschlossen +zu werden, denn man kann sehr wohl die Bewegung eines +Punctes betrachten, welcher sich in einer bewegten Fläche befindet +und deren Bewegung mitmacht, und ausserdem in der Fläche durch +die auf ihn wirkende Kraft noch besonders bewegt wird. + +Mathematisch ist die Bedingung, dass ein Punct, dessen Coordinaten +$x$,~$y$,~$z$ heissen, in einer festen Fläche bleiben muss, darzustellen +durch eine Gleichung von der Form: +\[ +F(x, y, z) = 0; +\] +dagegen die Bedingung, dass der Punct in einer Fläche bleiben +muss, die selbst beweglich oder mit der Zeit veränderlich ist, durch +eine Gleichung von der Form: +\[ +F(x, y, z, t) = 0. +\] +In ähnlicher Weise kann man den Unterschied zwischen den beiden +Fällen, ob in den gegebenen Bedingungen, denen die Bewegungen +der Puncte unterworfen sind, schon der Grund zur Entstehung von +Bewegungen liegt oder nicht, allgemein dahin aussprechen, dass +%% -----File: 160.png---Folio 146------- +die Gleichungen, welche die Bedingungen darstellen, im ersteren +Falle ausser den Coordinaten der gegebenen Puncte noch die Zeit +oder andere von der Zeit abhängige Grössen, im letzteren Falle dagegen +nur die Coordinaten der Puncte als Veränderliche enthalten. + +Diese beiden Fälle unterscheiden sich wesentlich durch die Art, +wie die wirklich stattfindende Bewegung mit den virtuellen Bewegungen +zusammenhängt. Wenn man aus Bedingungsgleichungen, +welche die Zeit enthalten, die virtuellen Bewegungen bestimmen +will, so muss man dieses für einen bestimmten Zeitmoment thun, +und die Zeit ist daher bei dieser Rechnung als eine constante Grösse +zu behandeln. Sei \zB\ eine solche Gleichung, welche die Coordinaten +einer Anzahl von Puncten und ausserdem die Zeit enthält, +in folgender Form gegeben: +\[ +\tag{4} +F(x, y, z, x_1, y_1, z_1 \ldots\ldots t) = 0, +\] +so erhält man daraus für die virtuellen Bewegungen zur Zeit~$t$ +folgende Gleichung: +\begin{align*} +\tag{5} + & \frac{\partial F}{\partial x}\, \delta x + + \frac{\partial F}{\partial y}\, \delta y + + \frac{\partial F}{\partial z}\, \delta z \\ ++ & \frac{\partial F}{\partial x_1}\, \delta x_1 + + \frac{\partial F}{\partial y_1}\, \delta y_1 + + \frac{\partial F}{\partial z_1}\, \delta z_1 + \ldots\ldots = 0, +\end{align*} +worin nur Differentialcoefficienten nach den Coordinaten der Puncte +vorkommen. Betrachtet man dagegen die Bewegungen, welche die +Puncte während der unendlich kleinen Zeit von $t$ bis~$t + dt$ wirklich +ausführen, und deren Projectionen auf die Coordinatenaxen +$dx$,~$dy$,~$dz$, $dx_1$,~$dy_1$, $dz_1$~etc.\ heissen mögen, so muss man für +diese eine Gleichung bilden, in welcher die Veränderung der Zeit +mit herücksichtigt ist, nämlich: +\begin{align*} +\tag{6} + & \frac{\partial F}{\partial x}\, dx + + \frac{\partial F}{\partial y}\, dy + + \frac{\partial F}{\partial z}\, dz \\ ++ & \frac{\partial F}{\partial x_1}\, dx_1 + + \frac{\partial F}{\partial y_1}\, dy_1 + + \frac{\partial F}{\partial z_1}\, dz_1 + \ldots\ldots + + \frac{\partial F}{\partial t}\, dt= 0. +\end{align*} +Hieraus sieht man, dass in einem solchen Falle, wo die gegebenen +Bedingungsgleichungen die Zeit enthalten, die für $dx$,~$dy$,~$dz$, +$dx_1$,~$dy_1$, $dz_1$~etc.\ geltenden Gleichungen verschieden sind von den +für $\delta x$,~$\delta y$,~$\delta z$, $\delta x_1$,~$\delta y_1$, $\delta z_1$~etc.\ geltenden, und dass daher das +%% -----File: 161.png---Folio 147------- +System von Bewegungen, welche die Puncte während der kleinen +Zeit von $t$ bis~$t + dt$ wirklich ausführen, im Allgemeinen mit keinem +der Systeme von virtuellen Bewegungen, welche für die Zeit~$t$ +gelten, identisch sein kann. Enthalten dagegen die gegebenen +Bedingungsgleichungen die Zeit nicht, so fällt in den für $dx$,~$dy$,~$dz$, +$dx_1$,~$dy_1$, $dz_1$~etc.\ geltenden Gleichungen das letzte Glied, +welches den Differentialcoefficienten nach $t$ als Factor hat, fort, +und dann stimmen diese Gleichungen mit den für $\delta x$,~$\delta y$,~$\delta z$, $\delta x_1$,~$\delta y_1$, +$\delta z_1$~etc.\ geltenden überein, und für diesen Fall muss daher +das System der wirklich stattfindenden Bewegungen eins der vielen +Systeme von virtuellen Bewegungen sein. + +Auf den zuletzt genannten Fall bezieht sich nun unser Satz +von der Aequivalenz von lebendiger Kraft und mechanischer Arbeit, +und ich will die Voraussetzung, von welcher wir bei seiner Entwickelung +ausgehen müssen, und auf welcher daher auch seine Gültigkeit +beruht, hier noch einmal aussprechen. \Emphasis{Die Bedingungsgleichungen, +welchen die Bewegungen der Puncte unterworfen +sind, dürfen als Veränderliche nur die Coordinaten +der Puncte enthalten}; oder wie man es dem Vorigen +nach auch ausdrücken kann: in den gegebenen Bedingungen darf +nicht selbst schon der Grund zur Entstehung von Bewegungen +liegen, \dh\ es dürfen in ihnen nicht implicite Kräfte enthalten +sein, welche ebenso, wie die explicite gegebenen Kräfte, Bewegungen +hervorrufen und die vorhandenen Bewegungen beschleunigen oder +verzögern können. + +Unter dieser Voraussetzung muss die obige Gleichung~(3), +welche für jedes System von virtuellen Bewegungen gilt, auch gültig +bleiben, wenn man statt der virtuellen Bewegungen die während +der Zeit~$dt$ wirklich ausgeführten Bewegungen setzt, welche ja +mit einem der Systeme von virtuellen Bewegungen zusammenfallen +müssen. Um bestimmt anzudeuten, dass sich die Bewegungen auf +die Zeit~$dt$ beziehen, wollen wir statt $dx$,~$dy$,~$dz$ vollständiger +schreiben: +\[ +\frac{dx}{dt}\, dt,\quad +\frac{dy}{dt}\, dt,\quad +\frac{dz}{dt}\, dt. +\] +Durch Substitution dieser Grössen an die Stelle von $\delta x$,~$\delta y$,~$\delta z$ +geht~(3) über in: +{\small% +\[ +\sum \left[ + \left(X - m\, \frac{d^2x}{dt^2}\right) \frac{dx}{dt} + + \left(Y - m\, \frac{d^2y}{dt^2}\right) \frac{dy}{dt} + + \left(Z - m\, \frac{d^2z}{dt^2}\right) \frac{dz}{dt} \right] dt = 0, +\]}% +%% -----File: 162.png---Folio 148------- +wofür wir bei etwas anderer Zusammenfassung der Glieder schreiben +können: +\begin{align*} +\tag{7} +& \sum m\left( \frac{dx}{dt} · \frac{d^2x}{dt^2} + + \frac{dy}{dt} · \frac{d^2y}{dt^2} + + \frac{dz}{dt} · \frac{d^2z}{dt^2} \right) dt \\ += & \sum \left( X\, \frac{dx}{dt} + Y\, \frac{dy}{dt} + Z\, \frac{dz}{dt} \right) dt. +\end{align*} + +Hierin können wir die linke Seite einfacher ausdrücken. Bezeichnen +wir die Geschwindigkeit des ersten Punctes zur Zeit~$t$ mit +$v$, so ist: +\[ +v^2 = \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2 +\] +und daraus folgt: +\[ +\frac{d(v^2)}{dt} + = 2\left( \frac{dx}{dt} · \frac{d^2x}{dt^2} + + \frac{dy}{dt} · \frac{d^2y}{dt^2} + + \frac{dz}{dt} · \frac{d^2z}{dt^2} \right), +\] +und die entsprechenden Gleichungen müssen auch für die Geschwindigkeiten +aller übrigen Puncte gelten. Durch Anwendung dieser +Gleichungen geht~(7) über in: +\[ +\tag{8} +\frac{1}{2} \sum m\, \frac{d(v^2)}{dt}\, dt + = \sum \left( X\, \frac{dx}{dt} + Y\, \frac{dy}{dt} + Z\, \frac{dz}{dt} \right) dt. +\] +Der hier auf der linken Seite stehende Ausdruck lässt sich sofort +integriren, und wir wollen dieses von irgend einer Anfangszeit~$t_0$ +bis zur Zeit~$t$ ausführen, wobei wir die zur Anfangszeit stattfindenden +Geschwindigkeiten der Puncte mit $v_0$,~$(v_1)_0$, $(v_2)_0$~etc.\ bezeichnen. +Auf der rechten Seite können wir die Integration vorläufig +nur andeuten. Es kommt also: +\[ +\tag{9} +\frac{1}{2} \sum mv^2 - \frac{1}{2} \sum mv_0^2 + = \int_{t_0}^{t} \left(X\, \frac{dx}{dt} + Y\, \frac{dy}{dt} + Z\, \frac{dz}{dt} \right) dt. +\] + +Diese Gleichung enthält den gesuchten Satz, und es kommt +nur noch darauf an, die Bedeutung der auf beiden Seiten befindlichen +Ausdrücke näher anzugeben. Wenn eine Masse~$m$ sich mit +der Geschwindigkeit~$v$ bewegt, so nennen wir $\frac{1}{2} mv^2$ die lebendige +%% -----File: 163.png---Folio 149------- +Kraft der Masse\footnotemark; + \footnotetext{Etwas abweichend von der früher üblichen Benennungsweise, nach + welcher $mv^2$ die lebendige Kraft genannt wurde.} +demnach ist $\dfrac{1}{2}\sum mv^2$ die lebendige Kraft des +ganzen Systemes von Massen, und die linke Seite der Gleichung +bedeutet die Zunahme der lebendigen Kraft, welche während der +Zeit von $t_0$ bis~$t$ in dem Systeme stattgefunden hat. Was ferner +die rechte Seite anbetrifft, so ergiebt sich aus dem, was in §~55 +gesagt ist, dass der Ausdruck: +\[ +\left(X\, \frac{dx}{dt} + Y\, \frac{dy}{dt} + Z\, \frac{dz}{dt}\right) dt, +\] +wenn man von unendlich kleinen Grössen höherer Ordnung absieht, +die Arbeit bedeutet, welche die auf den ersten Punct wirkende +Kraft während der Zeit~$dt$ thut; und dementsprechend stellt die +rechte Seite der vorigen Gleichung die von allen in dem Systeme +wirksamen Kräften während der Zeit von $t_0$ bis~$t$ gethane Arbeit +dar. Folglich lässt sich die Bedeutung der Gleichung so aussprechen: +\Emphasis{die während irgend einer Zeit in dem Systeme +entstehende Vermehrung der lebendigen Kraft ist gleich +der während derselben Zeit von den wirksamen Kräften +gethanen Arbeit}. + + +\Section{58.}{Unterschied in Bezug auf die Ausführbarkeit des die +Arbeit darstellenden Integrals und Einführung +des Ergals.} + +Wir sind sowohl beim Gleichgewichte als auch bei der Bewegung +zu Gleichungen gelangt, welche die \Emphasis{mechanische Arbeit} +enthalten, und müssen nun den Ausdruck, welcher die letztere darstellt, +etwas näher betrachten. + +Bezeichnen wir die von $t_0$ bis~$t$ in dem Systeme gethane Arbeit +mit~$L$, so ist: +\[ +\tag{10} +L = \int_{t_0}^{t} \sum + \left(X\, \frac{dx}{dt} + Y\, \frac{dy}{dt} + Z\, \frac{dz}{dt}\right) dt. +\] +%% -----File: 164.png---Folio 150------- +Hierin sind die Kraftcomponenten $X$,~$Y$ und~$Z$ erstens von den +Coordinaten der beweglichen Puncte abhängig, denn die auf einen +Punct wirkende Kraft kann an verschiedenen Stellen des Raumes +verschieden sein; ferner können sie direct von der Zeit abhängen, +indem die wirksamen Kräfte mit der Zeit veränderlich sein können; +ausserdem können sie von dem augenblicklichen Bewegungszustande +des Systems abhängen, wie es \zB\ bei der vom Luftwiderstande +herrührenden Kraft der Fall ist, welche von der Geschwindigkeit +des bewegten Körpers abhängt. Da nun aber die Coordinaten der +Puncte und alle mit der Bewegung zusammenhängenden Grössen, +welche in den Kraftcomponenten vorkommen können, als Functionen +der Zeit anzusehen sind, so kann man auch die Kraftcomponenten +selbst als Functionen dieser einen Veränderlichen betrachten, und +daraus folgt weiter, dass der ganze zu integrirende Ausdruck +sich ebenfalls als Function der Zeit allein darstellen lassen muss. +Demnach ist die in unserer Gleichung vorgeschriebene Integration +immer möglich, sobald die Bewegung hinlänglich bekannt ist, um +die Zurückführung des Ausdruckes auf eine Function der Zeit wirklich +bewerkstelligen zu können, indem es sich dann nur noch darum +handelt, eine Function von Einer Veränderlichen nach dieser Veränderlichen +zu integriren. + +Es giebt aber auch Fälle, wo diese Zurückführung nicht nothwendig +ist, sondern wo man das Integral in der Form +\[ +%[** TN: \textstyle \sum in original] +\int \sum (X\, dx + Y\, dy + Z\, dz) +\] +schreiben und die Coordinaten als von einander unabhängige Veränderliche +betrachten kann, und die Integration doch ausführbar +bleibt. Dazu ist erforderlich, dass der unter dem Integralzeichen +stehende Ausdruck das vollständige Differential einer Function der +Coordinaten der Puncte ist. Die Bezeichnung dieser Function wollen +wir, wie es auch früher schon bei der Einführung des Zeichens~$U$ +geschehen ist, so wählen, dass wir nicht die Function selbst, sondern +ihren negativen Werth durch einen Buchstaben darstellen, +welcher $\Omega$ sein mag. Dann können wir setzen: +\[ +\tag{11} +\sum (X\, dx + Y\, dy + Z\, dz) = -d\Omega. +\] +Dadurch geht die Gleichung~(10) über in: +%% -----File: 165.png---Folio 151------- +\[ +\tag{12} +L = -\int d\Omega = \Omega_0 - \Omega, +\] +worin $\Omega_0$ den Anfangswerth von $\Omega$ bedeuten soll. + +Da nun die Grössen~$\Omega_0$ und~$\Omega$ nur Functionen der anfänglichen +und schliesslichen Coordinaten der Puncte sind, so folgt +daraus, dass in diesem Falle die bei irgend einer Bewegung gethane +Arbeit nur von der Anfangs- und Endlage der Puncte abhängt, +nicht aber von den Zwischenlagen des Systems und von der +Form der Wege, welche die einzelnen Puncte zurückgelegt haben, +was natürlich eine grosse Vereinfachung ist. + +Die Grösse~$\Omega$, welche in so einfacher Weise zur Bestimmung +der Arbeit dient, möge nach dem griechischen Worte \textgreek{>'ergon} (Werk, +Arbeit) das \Emphasis{Ergal} genannt werden. Dann kann man die Bedeutung +der vorstehenden Gleichung so aussprechen: \Emphasis{Die bei irgend +einer Bewegung von allen dabei wirksamen Kräften gethane +Arbeit ist gleich der Abnahme des Ergals.} + + +\Section{59.}{Veränderter Ausdruck der Gleichgewichtsbedingung.} + +Mit Hülfe des Ergals kann man dem in §~55 ausgesprochenen +Gleichgewichtssatze eine einfachere Form geben. + +Es wurde dort gesagt, es sei für das Gleichgewicht nothwendig +und hinreichend, dass für jedes System von virtuellen Bewegungen +die Summe der von allen Kräften gethanen Arbeitsgrössen +entweder ein unendlich Kleines von höherer als erster +Ordnung in Bezug auf die Weglängen, oder negativ sei. Wenn +nun die in dem Systeme wirkenden Kräfte von der Art sind, dass +sie ein Ergal haben, so wird die Arbeit, jenachdem sie positiv oder +negativ ist, durch eine negative oder positive Aenderung, \dh\ eine +Ab- oder Zunahme des Ergals dargestellt. Demgemäss lautet dann +die Gleichgewichtsbedingung: \Emphasis{für jedes System von virtuellen +Bewegungen muss die Veränderung des Ergals entweder +ein unendlich Kleines von höherer Ordnung oder positiv +sein}. + +Wenn alle virtuellen Bewegungen umkehrbar sind, so gilt nur +das Erstere, dass die Veränderung des Ergals ein unendlich Kleines +von höherer Ordnung sein muss, und daraus, dass diese sowohl +%% -----File: 166.png---Folio 152------- +positiv, als auch negativ sein kann, entsteht der Unterschied des +stabilen und labilen Gleichgewichtes. Wenn für alle Systeme von +virtuellen Bewegungen nur positive Veränderungen des Ergals möglich +sind, so ist der Werth des Ergals ein Minimum; wenn nur +negative Aenderungen vorkommen, so ist er ein Maximum; wenn +endlich bei einigen Systemen von virtuellen Bewegungen die Veränderungen +positiv und bei anderen negativ sind, so ist der Werth +des Ergals weder allgemein ein Minimum, noch allgemein ein Maximum. +Daran schliesst sich nun der beim Gleichgewichte vorkommende +Unterschied in folgender Weise an. Der Fall, wo das Ergal +ein \Emphasis{Minimum} ist, entspricht dem \Emphasis{stabilen}, der Fall, wo das Ergal +ein \Emphasis{Maximum} ist, dem \Emphasis{labilen} Gleichgewichte, während in +solchen Fällen, wo das Ergal weder allgemein ein Minimum, noch +allgemein ein Maximum ist, auch das Gleichgewicht weder vollständig +stabil, noch vollständig labil ist. + + +\clearpage%[** TN: Otherwise, underfull page gets incorrect running head] +\Section{60.}{Die Energie.} + +Wir kehren nun zu der Gleichung~(9) zurück, und setzen darin +für den an der rechten Seite stehenden Ausdruck der Arbeit die +in~(12) gegebene Differenz. Zugleich wollen wir auch für die lebendige +Kraft ein besonderes Zeichen einführen, indem wir setzen: +\[ +\tag{13} +T = \frac{1}{2} \sum mv^2. +\] +Dann lautet die Gleichung: +\[ +T - T_0 = \Omega_0 - \Omega, +\] +oder anders geschrieben: +\[ +\tag{14} +T + \Omega = T_0 + \Omega_0. +\] +Diese Gleichung drückt aus, dass die Summe aus lebendiger Kraft +und Ergal zu Ende der Bewegung denselben Werth hat, wie zu +Anfang, und da man die betrachtete Bewegung beliebig abgrenzen +und somit während ihres ganzen Verlaufes jeden Zeitpunct als Endpunct +wählen kann, so kann man allgemeiner sagen: \Emphasis{die Summe +aus lebendiger Kraft und Ergal ist während der Bewegung +constant}. +%% -----File: 167.png---Folio 153------- + +Für diese Summe, welche natürlich bei der Behandlung der +Bewegungserscheinungen eine wichtige Rolle spielt, hat man einen +besonderen Namen eingeführt, indem man sie die \Emphasis{Energie} des +Systems genannt hat, wodurch der vorige Satz folgenden noch +kürzeren Ausdruck gewinnt: \Emphasis{die Energie bleibt bei der Bewegung +constant. Diesen Satz nennt man den Satz von der +Erhaltung der Energie}. + + +\Section{61.}{Ein Fall, in welchem die Kräfte ein Ergal haben.} + +Zu den Fällen, wo ein Ergal existirt, gehört zunächst der +schon früher in §~5 behandelte Fall, \Emphasis{wo die Kräfte, welche +auf einen beweglichen Punct wirken, sich zerlegen lassen +in anziehende und abstossende Kräfte, welche von +festen Puncten des Raumes ausgehen und ihrer Stärke +nach irgend welche Functionen der Entfernung sind}. + +Es seien $p'$,~$p'_1$, $p'_2$~etc.\ solche feste Puncte mit den Coordinaten +$x'$,~$y'$,~$z'$; $x'_1$,~$y'_1$, $z'_1$~etc.\ und von den beweglichen Puncten +sei vorläufig nur Einer~$p$ mit den Coordinaten $x$,~$y$,~$z$ zur Betrachtung +ausgewählt. Die Entfernung zwischen $p$~und~$p'$ heisse~$r'$, so +dass man hat: +\[ +\tag{15} +r' = \sqrt{(x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2}, +\] +und die Kraft, mit welcher $p'$ auf $p$ wirkt, werden durch $f(r')$ +dargestellt, und sei abstossend oder anziehend, jenachdem diese +Function positiv oder negativ ist. Ebenso sei der Abstand zwischen +$p$~und~$p'_1$ mit $r'_1$ und die von $p'_1$ ausgehende Kraft mit $f_1(r'_1)$ +bezeichnet u.~s.~f. Wenn man dann folgende neue Functionen +bildet: +\begin{align*} +F(r') &= -\int f(r')\, dr' \\ +F_1(r'_1) &= -\int f_1(r'_1)\, dr'_1, \\ +\text{etc.}\ & +\end{align*} +und darauf setzt: +\[ +\tag{16} +%[** TN: \textstyle \sum in original here, below] +U = F(r') + F_1(r'_1) + \text{etc.} = \sum F(r'), +\] +%% -----File: 168.png---Folio 154------- +so ist $U$ die Kraftfunction für den Punct~$p$, und man hat: +\[ +X = -\frac{\partial U}{\partial x},\quad +Y = -\frac{\partial U}{\partial y},\quad +Z = -\frac{\partial U}{\partial z}. +\] +In Folge dieser Gleichung kann man schreiben: +\[ +X\, dx + Y\, dy + Z\, dz + = -\left(\frac{\partial U}{\partial x}\, dx + + \frac{\partial U}{\partial y}\, dy + + \frac{\partial U}{\partial z}\, dz \right), +\] +und da $U$ eine Grösse ist, welche nur die Coordinaten $x$,~$y$,~$z$ als +Veränderliche enthält, so ist der hier rechts in Klammer stehende +Ausdruck ihr vollständiges Differential, welches kurz mit $dU$ bezeichnet +werden kann, und somit ist die geforderte Integration ohne +Weiteres ausführbar, indem man erhält: +\[ +\tag{17} +\int (X\, dx + Y\, dy + Z\, dz) = -\int dU = -U + \text{Const.} +\] + +Hat die Bewegung des Punctes~$p$ von einem gegebenen Anfangspuncte +aus stattgefunden, dessen Coordinaten $x_0$,~$y_0$,~$z_0$ heissen +mögen, und nennen wir den Werth, welchen die Function~$U$ +an dieser Stelle hat,~$U_0$, so gilt für die Arbeit, welche bei der +Bewegung von dort aus bis zu dem Puncte $x$,~$y$,~$z$ von den wirksamen +Kräften gethan ist, die Gleichung: +\[ +\tag{18} +L = U_0 - U. +\] +Daraus folgt, dass bei dieser Art von Kräften das oben Gesagte +gilt, dass nämlich, wenn der Anfangs- und Endpunct der Bewegung +gegeben sind, die Arbeit vollständig bestimmt ist, ohne dass man +den Weg, auf welchem der Punct von der einen Stelle zur anderen +gelangt ist, zu kennen braucht. Ja man kann noch mehr sagen: +es brauchen nur die beiden Niveauflächen, in welchen der Anfangs- +und Endpunct liegen, und welche bekanntlich bestimmten Werthen +der Function~$U$ entsprechen, gegeben zu sein, um die Arbeit vollständig +bestimmen zu können. + +Die vorstehenden Betrachtungen können wir nun leicht auf +den Fall ausdehnen, wo nicht blos Ein beweglicher Punct~$p$, sondern +ein ganzes System beweglicher Puncte $p$,~$p_1$, $p_2$~etc.\ gegeben +ist, während die Kräfte, welche auf sie wirken, wie vorher, von +den festen Puncten $p'$,~$p'_1$, $p'_2$~etc.\ ausgehen. In diesem Falle +giebt es für jeden der beweglichen Puncte eine Kraftfunction der +%% -----File: 169.png---Folio 155------- +vorher besprochenen Art, und wenn man diese der Reihe nach mit +$U$,~$U_1$, $U_2$,~etc.\ bezeichnet, so kann man schreiben: +\begin{align*} +\sum (X\, dx + Y\, dy + Z\, dz) + &= -dU - dU_1 - dU_2 - \text{etc.} \\ + &= -d(U + U_1 + U_2 + \text{etc.}). +\end{align*} +Die hier auf der rechten Seite in Klammer stehende Summe kann +man auch in folgender Weise bezeichnen: +\[ +\tag{19} +U + U_1 + U_2 + \text{etc.} = \sum F(r'), +\] +worin aber das Summenzeichen eine weitere Bedeutung hat, als in +der Gleichung~(16), indem es nicht blos so viele Glieder umfasst, +als feste Puncte vorhanden sind, sondern so viele, als es Combinationen +von je einem beweglichen mit einem festen Puncte giebt. +Die obige Gleichung lautet demnach: +\[ +\tag{20} +\sum (X\, dx + Y\, dy + Z\, dz) = -d\sum F(r'). +\] +Der zu integrirende Ausdruck ist also auch für beliebig viele bewegliche +Puncte auf die Form eines vollständigen Differentials zurückgeführt +und die durch $\sum F(r')$ dargestellte Grösse ist somit das +Ergal. + + +\Section{62.}{Ein anderer Fall, in welchem die Kräfte ein Ergal +haben.} + +Ein anderer Fall, welchen wir zu betrachten haben, ist der, \Emphasis{wo +die beweglichen Puncte unter einander selbst anziehende +oder abstossende Kräfte ausüben, welche ihrer Stärke +nach irgend welche Functionen der Entfernung sind}. + +Der Abstand der beiden Puncte $p$~und~$p_1$, deren Coordinaten +$x$,~$y$,~$z$ und $x_1$,~$y_1$,~$z_1$ sind, heisse~$r$, so dass man hat: +\[ +\tag{21} +r = \sqrt{(x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 + (z-z_1)^2}, +\] +und die Kraft, welche sie auf einander ausüben, sei durch $\varphi(r)$ bezeichnet. +Diese Kraft wirkt auf beide Puncte mit gleicher Stärke +und in entgegengesetzter Richtung, und sie kommt daher in der +Formel für die Gesammtarbeit zweimal vor, erstens am Puncte~$p$, +wo ihre Componenten sind: +%% -----File: 170.png---Folio 156------- +\[ +\varphi(r)\, \frac{x-x_1}{r};\quad +\varphi(r)\, \frac{y-y_1}{r};\quad +\varphi(r)\, \frac{z-z_1}{r}, +\] +und zweitens am Puncte~$p_1$, wo ihre Componenten sind: +\[ +\varphi(r)\, \frac{x_1-x}{r};\quad +\varphi(r)\, \frac{y_1-y}{r};\quad +\varphi(r)\, \frac{z_1-z}{r}. +\] +Nun hat man in Folge von~(21): +\[ +\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x-x_1}{r} \text{ und } +\frac{\partial r}{\partial x_1} = \frac{x_1-x}{r} +\] +und man kann daher, wenn man noch die Function~$\Phi(r)$ mit der +Bedeutung: +\[ +\Phi(r) = -\int\varphi(r)\, dr +\] +einführt, schreiben: +\begin{align*} +\varphi(r)\, \frac{x-x_1}{r} + &= \varphi(r)\, \frac{\partial r}{\partial x} + = - \frac{\partial \Phi(r)}{\partial x} \\ +\varphi(r)\, \frac{x_1-x}{r} + &= \varphi(r)\, \frac{\partial r}{\partial x_1} + = -\frac{\partial \Phi(r)}{\partial x_1}. +\end{align*} +Entsprechende Gleichungen gelten auch für die Componenten nach +der $y$-~und $z$-Richtung, und die sechs Componenten der beiden +entgegengesetzten Kräfte werden daher durch folgende Differentialcoefficienten +dargestellt: +\begin{align*} +&- \frac{\partial \Phi(r)}{\partial x};\quad + - \frac{\partial \Phi(r)}{\partial y};\quad + - \frac{\partial \Phi(r)}{\partial z}; \\ +&- \frac{\partial \Phi(r)}{\partial x_1};\quad + - \frac{\partial \Phi(r)}{\partial y_1};\quad + - \frac{\partial \Phi(r)}{\partial z_1}. +\end{align*} + +Nimmt man nun aus der ganzen Summe: +\[ +\sum (X\, dx + Y\, dy + Z\, dz) +\] +den Theil heraus, welcher sich auf diese beiden entgegengesetzten +Kräfte bezieht, so lautet derselbe: +\begin{align*} +&- \left(\frac{\partial \Phi(r)}{\partial x}\, dx + + \frac{\partial \Phi(r)}{\partial y}\, dy + + \frac{\partial \Phi(r)}{\partial z}\, dz \right. \\ +&+ \left.\frac{\partial \Phi(r)}{\partial x_1}\, dx_1 + + \frac{\partial \Phi(r)}{\partial y_1}\, dy_1 + + \frac{\partial \Phi(r)}{\partial z_1}\, dz_1 \right), +\end{align*} +%% -----File: 171.png---Folio 157------- +und der hier in Klammer stehende Ausdruck ist, da $r$ nur von +den sechs Grössen $x$,~$y$,~$z$, $x_1$,~$y_1$,~$z_1$ abhängt, und daher auch +$\Phi(r)$ als eine Function dieser sechs Grössen zu betrachten ist, ein +vollständiges Differential, wofür man einfach $d\Phi(r)$ schreiben +kann. + +Ebenso giebt jede zwischen zwei beweglichen Puncten wirkende +Kraft sechs Glieder, welche zusammen ein vollständiges +Differential bilden. Man kann daher, wenn nur solche Kräfte vorkommen, +welche die beweglichen Puncte unter einander ausüben, +schreiben: +\begin{align*} +\tag{22} +\sum(X\, dx + Y\, dy + Z\, dz) + &= -d\Phi(r) - d\Phi_1(r_1) - \text{etc.} \\ + &= -d[\Phi(r) + \Phi_1(r_1) + \text{etc.}] \\ + &= -d\sum \Phi(r), +\end{align*} +worin die an der rechten Seite angedeutete Summe so viele Glieder +enthält, als sich aus den beweglichen Puncten Combinationen zu +je zweien bilden lassen. Es existirt somit auch für diesen Fall ein +Ergal, welches durch $\sum\Phi(r)$ dargestellt wird. + +Nimmt man nun endlich den Fall an, dass die beiden betrachteten +Arten von Kräften gleichzeitig wirken, dass also \Emphasis{die beweglichen +Puncte Anziehungs- und Abstossungskräfte +sowohl von festen Centren aus erleiden, als auch unter +einander selbst ausüben}, so braucht man nur die beiden vorher +gewonnenen Resultate zu vereinigen. Man erhält dann: +\begin{align*} +\tag{23} +\sum(X\, dx + Y\, dy + Z\, dz) + &= -d\sum F(r') - d\sum \Phi(r)\\ + &= -d\left[ \sum F(r') + \sum \Phi(r) \right], +\end{align*} +worin sich auf der rechten Seite die erste Summe auf alle Combinationen +je eines beweglichen Punctes mit einem festen Puncte, +und die zweite Summe auf alle Combinationen der beweglichen +Puncte unter einander zu je zweien bezieht. Der in der eckigen +Klammer stehende Ausdruck ist also das Ergal, so dass wir setzen +können: +\[ +\tag{24} +\Omega = \sum F(r') + \sum \Phi(r). +\] +%% -----File: 172.png---Folio 158------- + + +\Section{63.}{Potential eines entweder in einzelnen Puncten concentrirten +oder durch einen Raum stetig verbreiteten +Agens auf ein anderes.} + +Wir wollen nun die vorher gemachten Annahmen in derselben +Weise weiter specialisiren, wie wir es in §~6~und~7 gethan haben, +um von der allgemeinen Kraftfunction zur Potentialfunction zu +gelangen. Es soll nämlich angenommen werden, \Emphasis{dass sich in den +Puncten, welche auf einander wirken, gewisse Mengen +von Agentien befinden, welche die Wirkung ausüben und +erleiden, und dass ferner die Kräfte dem Quadrate der +Entfernung umgekehrt proportional seien}. + +Die in den beweglichen Puncten $p$,~$p_1$, $p_2$~etc.\ befindlichen +Mengen seien $q$,~$q_1$, $q_2$~etc.,\footnote + {Für die in den Puncten befindlichen Mengen der wirksamen Agentien + sind andere Zeichen gewählt, als für die in denselben Puncten befindlichen + materiellen Massen, welche mit $m$,~$m_1$, $m_2$~etc.\ bezeichnet wurden, weil nämlich + die Agentien, welche die Kräfte ausüben, von den Massen, welche dadurch + in Bewegung gesetzt werden, verschieden sein können. Denkt man + sich \zB\ ein ponderables Molecül, welches mit Electricität geladen ist, so + kann man sich vorstellen, dass durch die Kraft, welche die Electricität erleidet, + nicht nur diese selbst, sondern auch das Molecül, an welchem sie haftet, + in Bewegung gesetzt wird.} +und die in den festen Puncten $p'$,~$p'_1$, +$p'_2$~etc.\ befindlichen Mengen $q'$,~$q'_1$, $q'_2$~etc.\ Die Kraft, welche +die Mengen $q$~und~$q'$, welche um die Strecke~$r'$ von einander entfernt +sind, auf einander ausüben, wird durch +\[ +e\, \frac{qq'}{r'^2} +\] +dargestellt, worin $e$ ein Factor ist, welcher von der Natur der +Agentien und von den gewählten Einheiten abhängt. Nehmen wir +an, dass alle auf einander wirkenden Agentien von gleicher Natur +seien, und dass zwischen ihnen nur solche Unterschiede vorkommen, +die sich dadurch ausdrücken lassen, dass man die Mengen theils +positiv, theils negativ in Rechnung bringt, so ist jener Factor für +alle vorkommenden Combinationen von zwei Mengen gleich, und +wir haben ihn oben für diesen Fall zum Unterschiede mit $\epsilon$ bezeichnet. +%% -----File: 173.png---Folio 159------- + +Wir erhalten demnach für die Function, welche die Kraft +zwischen zwei Mengen ausdrückt, die Form: +\[ +f(r') = \epsilon\, \frac{qq'}{r'^2} +\] +und daraus folgt: +\[ +F(r') = -\int f(r')\, dr' = \epsilon\, \frac{qq'}{r'}. +\] +Bilden wir nun die in den Gleichungen (19)~und~(20) vorkommende +Summe~$\sum F(r')$, für welche wir in diesem Falle ein besonderes Zeichen~$W'$ +einführen wollen, so erhalten wir: +\[ +\tag{25} +W' = \epsilon \sum \frac{qq'}{r'}, +\] +worin das Summenzeichen alle Combinationen je einer der Mengen~$q$ +mit einer der Mengen~$q'$ umfasst, und~$r'$ der zu jeder Combination +gehörige Abstand ist. + +Diese Grösse $W'$ ist \Emphasis{das Potential des Systemes der $q'$ +auf das System der $q$}. Da in ihr die Mengen $q$~und~$q'$ in ganz +gleicher Weise vorkommen, so kann man sie auch \Emphasis{das Potential +des Systemes der~$q$ auf das System der~$q'$, oder auch das +Potential der beiden Systeme auf einander} nennen. + +Man kann die vorige Summe in der Weise zerlegen, dass man +immer die Glieder, welche eine und dieselbe Menge des Systemes +der $q$~enthalten, zusammenfasst und daraus Partialsummen bildet, +welche man dann noch addiren muss, um die Gesammtsumme zu +erhalten. Diese Partialsummen lauten, wenn man jedesmal die +allen Gliedern gemeinsame Menge vor das Summenzeichen setzt: +\[ +\epsilon q \sum \frac{q'}{r'};\quad +\epsilon q_1 \sum \frac{q'}{r_1'};\quad +\epsilon q_2 \sum \frac{q'}{r_2'} \text{ etc.} +\] +worin die verschiedene Bezeichnung der Abstände $r'$,~$r'_1$, $r'_2$~etc. +andeuten soll, dass in jeder Summe die Abstände von dem Puncte +aus gerechnet werden müssen, wo sich die vor dem Summenzeichen +stehende Menge befindet. Nun sind aber die Grössen: +\[ +\epsilon \sum\frac{q'}{r'};\quad +\epsilon \sum\frac{q'}{r_1'};\quad +\epsilon \sum\frac{q'}{r_2'} \text{ etc.}, +\] +%% -----File: 174.png---Folio 160------- +die Werthe der \Emphasis{Potentialfunction} des Systemes der $q'$ an den +Puncten, wo sich die Mengen $q$,~$q_1$, $q_2$~etc.\ befinden, und wir wollen +diese Werthe dem Früheren entsprechend mit $V'$,~$V'_1$, $V'_2$~etc.\ bezeichnen, +dann lauten jene Partialsummen: +\[ +qV';\quad q_1V'_1;\quad q_2V'_2 \text{ etc.} +\] +und dadurch geht der Ausdruck für das Potential über in: +\[ +\tag{26} +W' = \sum q V'. +\] +Man kann statt dieses Ausdruckes auch den ihm analogen schreiben, +welcher entsteht, wenn man die beiden Systeme unter einander +vertauscht. Sei nämlich~$V$ die Potentialfunction des Systemes der~$q$ +an der Stelle, wo sich eine der Mengen~$q'$ befindet, so ist: +\[ +\tag{26a.} +W' = \sum q' V. +\] + +Wenn die Agentien, welche auf einander wirken, nicht in einzelnen +Puncten concentrirt sind, sondern Räume stetig ausfüllen, +so muss man sie in Elemente zerlegen, und statt der Summenzeichen +Integralzeichen einführen. Dadurch erhält man an Stelle +der Gleichung~(25): +\[ +\tag{27} +W' = \epsilon \iint \frac{dq\,dq'}{r'}, +\] +worin sich die eine Integration über das ganze Agens~$q$ und die +andere über das ganze Agens~$q'$ erstreckt. Durch Einführung der +Potentialfunction des einen oder des anderen Agens erhält man: +\[ +\tag{28} +W' = \int V'\, dq = \int V\, dq'. +\] + + +\Section{64.}{Potential eines Systemes von Puncten, welche mit +Agens versehen sind, oder eines durch einen Raum stetig +verbreiteten Agens auf sich selbst.} + +Wir betrachten nun in derselben Weise \Emphasis{die Kräfte, welche +die Bestandtheile des beweglichen Systemes auf einander +ausüben}. Gehen wir zuerst wieder von dem Falle aus, wo endliche +Mengen $q$,~$q_1$, $q_2$~etc.\ des Agens in Puncten concentrirt sind, +%% -----File: 175.png---Folio 161------- +so ist ohne Weiteres klar, dass die in~(22) vorkommende Summe +$\sum \Phi(r)$, welche wir für unseren jetzigen Fall mit~$W$ bezeichnen +wollen, folgende Form annimmt: +\[ +\tag{29} +W = \epsilon \sum \frac{qq_1}{r}, +\] +worin das Summenzeichen sich auf alle Combinationen der Mengen +$q$ zu je zweien bezieht, und $r$~die betreffenden Abstände bedeutet. +Diese Grösse ist \Emphasis{das Potential des mit den Mengen $q$,~$q_1$, +$q_2$}~etc.\ \Emphasis{versehenen Systemes von Puncten auf sich selbst}. + +Für den Fall, dass das Agens einen Raum stetig ausfüllt, muss +man setzen: +\[ +\tag{30} +W = \frac{1}{2} \,\epsilon \iint \frac{dq\,dq_1}{r}, +\] +worin die Integration zweimal über dasselbe Agens auszuführen ist. +Bedeutet $V$ die Potentialfunction des betrachteten Agens an der +Stelle, wo sich eins seiner eigenen Elemente~$dq$ befindet, so geht +der vorige Ausdruck über in: +\[ +\tag{31} +W = \frac{1}{2} \int V\, dq. +\] + +Der Factor $\dfrac{1}{2}$, welcher in diesen Ausdrücken enthalten ist, +obwohl er sich in den entsprechenden Ausdrücken (27)~und~(28) +nicht findet, musste in diesem Falle deshalb hinzugefügt werden, +weil in den Integralen jedes Product aus zwei Elementen $dq_m$~und~$dq_n$ +doppelt vorkommt, einmal in der Anordnung $dq_m\, dq_n$ und das +andere Mal in der Anordnung $dq_n\, dq_m$, während es in dem Potentiale +nur einmal vorkommen darf. + +Ausser diesem Umstande ist bei den Formeln für~$W$ noch ein +anderer Umstand zur Sprache zu bringen. Unter den unendlich +vielen Combinationen von je zwei Elementen, welche jene Integrale +in sich begreifen, kommen auch solche vor, welche nicht zwei verschiedene +Elemente, sondern zweimal dasselbe Element enthalten. +Der einer solchen Combination entsprechende Theil des Gesammtintegrales +ist aber nicht in dem Sinne aufzufassen, dass man in +dem Ausdrucke $\dfrac{dq\, dq}{r}$ den Nenner~$r$ \Emphasis{absolut gleich Null} zu setzen +hat, sondern man kann sich das Element~$dq$ wieder in unendlich +%% -----File: 176.png---Folio 162------- +viele Theile zerlegt denken, deren jeder ein unendlich Kleines von +höherer Ordnung ist, und kann nun durch entsprechende Combination +dieser Theile unter einander ebenso das Potential der unendlich +kleinen Menge~$dq$ auf sich selbst bilden, wie in dem Ausdrucke~(30) +das Potential einer endlichen Menge auf sich selbst gebildet +ist. In diesem Potentiale des Elementes~$dq$ auf sich selbst kommen +dann wieder Glieder vor, in denen je einer der in höherer Ordnung +unendlich kleinen Theile mit sich selbst combinirt ist. Mit +einem solchen Gliede kann man dann wieder ebenso verfahren, wie +vorher mit dem Gliede $\dfrac{dq\,dq}{r}$, und kann so beliebig weiter fortfahren. + +Es fragt sich nun, ob dieser Umstand, dass in dem Integrale +auch die Potentiale der einzelnen Elemente auf sich selbst enthalten +sind, wegen des darin vorkommenden unendlich kleinen Nenners +der bestimmten Ausführung der Integration hinderlich ist, und, +wenn dieses nicht der Fall sein sollte, ob diese Potentiale der +einzelnen Elemente auf sich selbst einen solchen Einfluss auf den +Werth des Gesammtpotentials haben, dass sie bei der Ausführung +der Integration irgendwie besonders berücksichtigt werden müssen. + +Beide Fragen lassen sich am leichtesten beantworten, wenn +wir die in~(31) gegebene zweite Formel von $W$ betrachten, weil +wir die darin vorkommende Function~$V$ schon oben vollständig behandelt +haben, und daher die Transformationen, welche bei der in~(30) +gegebenen ersten Formel nöthig wären, nicht mehr auszuführen +brauchen. Dabei versteht es sich dann von selbst, dass, +was für die zweite Formel gilt, auch für die erste gelten muss, +da jene in vereinfachter Form ganz dasselbe ausdrückt wie diese. + +Wir wissen aus dem Früheren, dass die Potentialfunction auch +im Innern des von dem Agens stetig erfüllten Raumes überall einen +endlichen Werth behält, und demnach muss auch das Integral $\ds\int V \,dq$ +einen vollständig bestimmten endlichen Werth haben, wodurch die +erste Frage entschieden ist. Was ferner die zweite Frage anbetrifft, +so haben wir in §~11 unter~(25) die Potentialfunction in +folgender Form dargestellt: +\[ +V = \epsilon \iint k'r\, dr\, d\sigma, +\] +worin $d\sigma$ das Element des körperlichen Winkels ist. In dieser +%% -----File: 177.png---Folio 163------- +Form ist der Abstand~$r$ nicht nur aus dem Nenner verschwunden, +sondern er kommt sogar als Factor vor. Daraus folgt, dass, wenn +man sich um den Punct, auf welchen sich die Potentialfunction +bezieht, und welcher in dieser Formel zugleich der Mittelpunct der +Polarcoordinaten ist, einen unendlich kleinen Raum abgegrenzt +denkt, es auf den Werth von $V$ nur einen unendlich kleinen Einfluss +haben kann, ob man bei seiner Berechnung die in diesem +kleinen Raume enthaltene Menge des Agens berücksichtigt oder +nicht. Demnach können wir auch bei dem Integral $\ds\int V\, dq$ sagen, +es macht nur einen unendlich kleinen Unterschied, ob bei der Bestimmung +von $V$ die kleine Menge~$dq$ mitgerechnet oder fortgelassen +ist, und wenn man annimmt, dass das letztere geschehen +sei, \dh\ dass in den verschiedenen Gliedern $V\, dq$, $V_1\, dq_1$~\ldots\ldots +$V_n\, dq_n$, welche in dem Integrale vorkommen, die Werthe von~$V$, +$V_1$~\ldots\ldots $V_n$ immer so bestimmt seien, dass dasjenige Element, +mit welchem die Potentialfunction multiplicirt ist, in ihr selbst +nicht vorkommt, so fallen dadurch aus dem Integrale die Combinationen, +welche zweimal dasselbe Element enthalten, fort. Da somit +der Unterschied, welcher in dem Gesammtintegrale dadurch +entsteht, dass man die Potentiale der einzelnen Elemente auf sich +selbst entweder miteinbegreift, oder fortlässt, nur ein unendlich +kleiner ist, so folgt daraus, dass es durchaus nicht erforderlich ist, +diese Potentiale in irgend einer Weise speciell in Betracht zu ziehen. + +Ganz anders verhält es sich in dem zu Anfang dieses~§ betrachteten +Falle, wo wir uns endliche Mengen des Agens in einzelnen +Puncten concentrirt dachten. In diesem Falle würde es +einen wesentlichen Unterschied machen, wenn man das betreffende +Potential so verstehen wollte, dass darin nicht nur die Potentiale +der verschiedenen Mengen auf einander, sondern auch die Potentiale +der einzelnen, in Puncten concentrirten Mengen auf sich selbst +enthalten sein müssten. Bei der letzteren Auffassung würde man +zu einem Potentiale von unendlicher Grösse gelangen, und man +muss daher, wenn man einen endlichen Werth behalten will, die +Potentiale der einzelnen Mengen auf sich selbst fortlassen. Daraus +folgt dann aber, dass die erhaltene Grösse, welche oben »das Potential +des mit den Mengen $q$,~$q_1$, $q_2$~etc.\ versehenen Systemes von +Puncten auf sich selbst« genannt wurde, nicht als gleichbedeutend +mit dem Potentiale des gesammten in den Puncten befindlichen +Agens auf sich selbst zu betrachten ist. +%% -----File: 178.png---Folio 164------- + +Uebrigens ist der Fall, wo endliche Mengen eines Agens in +mathematischen Puncten concentrirt sind, nur ein fingirter, der in +der Wirklichkeit nicht vorkommen kann. Es kommt daher bei +Betrachtung wirklich vorkommender Fälle die zuletzt erwähnte Unterscheidung +gar nicht zur Sprache. + +\Section{65.}{Anwendung der Potentiale zur Bestimmung der Arbeit.} + +Mit Hülfe der in den vorigen~§§ definirten Potentiale lassen +sich nun die Arbeitsgrössen ebenso darstellen, wie es schon oben +beim Ergal auseinandergesetzt wurde, da das Potential ja nur ein +specieller Fall des Ergals ist. Indessen möge es wegen der vielfachen +Anwendungen des Potentials hier noch einmal kurz angeführt +werden. + +Wenn ein Agens, dessen Theile beweglich sind, seien diese +Theile nun in einzelnen Puncten concentrirt, oder durch einen +Raum stetig verbreitet, sich unter dem Einflusse eines festen Agens +bewegt, so wird die Arbeit, welche dabei von den Kräften des letzteren +gethan wird, dargestellt durch die Abnahme des Potentials +des festen Agens auf das bewegliche. Bezeichnen wir also dieses +Potential, wie oben, mit~$W'$, und seinen Anfangswerth mit~$W'_0$, +so ist die Arbeit: +\[ +W'_0 - W'. +\] + +Ebenso wird die Arbeit derjenigen Kräfte, welche die Theile +des beweglichen Agens auf einander ausüben, dargestellt durch die +Abnahme des Potentials des beweglichen Agens auf sich selbst, +welches oben mit $W$ bezeichnet wurde, und der Ausdruck für diese +Arbeit ist daher: +\[ +W_0 - W. +\] + +Wenn man endlich beide Arten von Kräften berücksichtigen +will, so muss man auch beide Potentiale anwenden, und erhält als +Ausdruck der Arbeit: +\[ +(W + W')_0 - (W + w'). +\] +In diesem Falle kann man die Sache aber auch noch anders ausdrücken. +Denkt man sich nämlich noch das Potential des festen +Agens auf sich selbst gebildet, welches $W''$ heissen möge, so ist die +Summe $W + W' + W''$ das Potential des gesammten Agens, des +%% -----File: 179.png---Folio 165------- +festen und beweglichen zusammen, auf sich selbst. Bei der Bewegung +des beweglichen Agens bleibt nun das Potential~$W''$ des +festen Agens auf sich selbst unverändert, und der Ausdruck für die +Arbeit ändert daher seinen Werth nicht, wenn man dieses Potential +darin mit aufnimmt, und schreibt: +\[ +(W + W' + W'')_0 - (W + W' + W''). +\] +Wenn man also das feste und bewegliche Agens zusammen als ein +Ganzes betrachtet, und dessen Potential auf sich selbst bildet, so +stellt die Abnahme dieses Potentials die Arbeit aller wirksamen +Kräfte dar. + +Ebenso wie bei der Bestimmung der Arbeit gilt natürlich auch +bei der Formulirung der Gleichgewichtsbedingung und bei der Bestimmung +der Energie Alles, was oben allgemein vom Ergal gesagt +ist, in dem speciellen Falle, wo nur Anziehungs- und Abstossungskräfte +vorkommen, welche dem Quadrate der Entfernung umgekehrt +proportional sind, vom Potential. + +\ctb +%% -----File: 180.png---Folio 166------- + + +\Appendix{Zusatz I.}{Ableitung der in §~17 erwähnten Form der Potentialfunction +eines homogenen Körpers.} + +In den ersten Auflagen dieses Buches habe ich eine eigenthümliche +Form der Potentialfunction eines homogenen Körpers +entwickelt, welche sich durch ihre Einfachheit und die Leichtigkeit, +mit welcher sich aus ihr gewisse Schlüsse ziehen lassen, auszeichnet. +Diese Form habe ich in der dritten und ebenso auch in der +vorliegenden Auflage im Texte fortgelassen, um dort die Uebersichtlichkeit +nicht durch zu grosse Breite zu stören. Indessen scheint +sie mir doch ein hinlängliches Interesse darzubieten, um sie hier +in einem Zusatze mitzutheilen. + +Wenn man in dem in §~7 unter~(Ia.)\ gegebenen Ausdrucke +der Potentialfunction, nämlich +\[ +V = \epsilon \int \frac{dq'}{r}, +\] +das Mengenelement~$dq'$ durch das Product~$k\, d\tau$ ersetzt, worin $d\tau$ +das Raumelement und $k$ die als constant vorausgesetzte Dichtigkeit +bedeutet, so kommt: +\[ +V = \epsilon k \int \frac{d\tau}{r}, +\] +und wenn man hierin ferner, wie in §~11, für $d\tau$ das Product +$r^2\, dr\, d\sigma$ einführt, worin $d\sigma$ das Element des körperlichen Winkels +darstellt, so lautet die Gleichung: +\[ +V = \epsilon k \iint r\, dr\, d\sigma +\] +oder anders geschrieben: +%% -----File: 181.png---Folio 167------- +\[ +\tag{1} +V = \epsilon k\int d\sigma \int r\, dr. +\] +Verfährt man mit diesem Ausdrucke so, wie es in §~22 mit dem +unter~(77) gegebenen Ausdrucke von $X$ geschehen ist, so erhält +man zunächst durch Integration nach~$r$ +\[ +\tag{2} +V = \frac {\epsilon k}{2} \int(± {R_1}^2 \mp {R_2}^2 ± \text{etc.})\, d\sigma. +\] +Setzt man hierin ferner, wie es dort geschehen ist: +\[ +\tag{3} +d\sigma = ± \frac{i}{R^2}\, d\omega, +\] +worin $d\omega$ das Oberflächenelement bedeutet, welches dem Elemente +des körperlichen Winkels~$d\sigma$ entspricht, und $i$ den Cosinus des +Winkels darstellt, welchen die auf $d\omega$ nach Aussen hin errichtete +Normale mit dem von $p$ nach $d\omega$ gezogenen und darüber hinaus +verlängerten Leitstrahle bildet, und wählt man dabei die Vorzeichen +in der dort erläuterten Weise, so erhält man: +\[ +\tag{A} +V = \frac{\epsilon k}{2} \int i\, d\omega, +\] +worin das Integral sich einfach über die ganze Oberfläche des gegebenen +Körpers zu erstrecken hat. Dieses ist der erwähnte neue +Ausdruck der Potentialfunction eines homogenen Körpers, welcher +sowohl für Puncte innerhalb des Körpers, als auch für Puncte +ausserhalb desselben gültig ist. + +Mit Hülfe dieses Ausdruckes lässt sich der Werth von $\Delta V$ für +innerhalb und ausserhalb des Körpers gelegene Puncte leicht bestimmen. +Es ist nämlich: +\[ +\tag{4} +\Delta V = \frac{\epsilon k}{2} + \int \left(\frac{\partial^2 i}{\partial x^2} + + \frac{\partial^2 i}{\partial y^2} + + \frac{\partial^2 i}{\partial z^2}\right) d\omega. +\] +Um die hierin angedeuteten Differentiationen auszuführen, müssen +wir $i$ ausdrücken. Die Cosinus der Winkel, welche der nach $d\omega$ +gezogene Leitstrahl mit den Coordinatenaxen bildet, mögen mit $a$,~$b$,~$c$ +und die Cosinus der Winkel der auf $d\omega$ errichteten Normale +mit den Coordinatenaxen mit $\alpha$,~$\beta$,~$\gamma$ bezeichnet werden; dann ist: +%% -----File: 182.png---Folio 168------- +\[ +\tag{5} +i = a \alpha + b \beta + c \gamma. +\] +Ferner ist, wenn $\xi$,~$\eta$,~$\zeta$ die Coordinaten des Elementes~$d \omega$ sind: +\[ +\tag{6} +a = \frac{\xi - x}{R};\quad +b = \frac{\eta - y}{R};\quad +c = \frac{\zeta - z}{R}. +\] +Dadurch geht die vorige Gleichung über in: +\[ +\tag{7} +i = \frac{(\xi - x)\alpha + (\eta - y)\beta + (\zeta - z)\gamma}{r} +\] +und zugleich ist: +\[ +\tag{8} +R = \sqrt{(\xi - x)^2 + (\eta - y)^2 + (\zeta - z)^2}. +\] +Hiernach können wir die Differentialcoefficienten von $i$ bilden, und +bekommen: +\begin{align*} +\tag{9} +&\left\{ +\begin{aligned} +\frac{\partial i}{\partial x} &= \frac{\xi - x}{R^2}\, i - \frac{\alpha}{R}\\ +\frac{\partial i}{\partial y} &= \frac{\eta - y}{R^2}\, i - \frac{\beta}{R}\\ +\frac{\partial i}{\partial z} &= \frac{\zeta - z}{R^2}\, i - \frac{\gamma}{R} +\end{aligned} +\right. \\[2ex] +\tag{10} +&\left\{ +\begin{aligned} +\frac{\partial^2 i}{\partial x^2} + &= \frac{3(\xi - x)^2 - R^2}{R^4}\, i - 2\frac{\xi - x}{R^3}\, \alpha\\ % bis hier ok, aber... +% +\frac{\partial^2 i}{\partial y^2} + &= \frac{3(\eta - y)^2 - R^2}{R^4}\, i - 2\frac{\eta - y}{R^3}\, \beta\\ +% +\frac{\partial^2 i}{\partial z^2} + &= \frac{3(\zeta - z)^2 - R^2}{R^4}\, i - 2\frac{\zeta - z}{R^3}\, \gamma. +\end{aligned} +\right. +\end{align*} + +Wenn man diese drei Gleichungen addirt, so heben sich die +ersten Glieder an der rechten Seite auf, und es bleibt: +\begin{align*} +\tag{11} +\frac{\partial^2 i}{\partial x^2} + +\frac{\partial^2 i}{\partial y^2} + +\frac{\partial^2 i}{\partial z^2} + &= -2\, \frac{(\xi - x)\alpha + (\eta - y)\beta + (\zeta - z)\gamma}{R^3}\\ + &= -2\, \frac{i}{R^2}, +\end{align*} +und dadurch geht die Gleichung~(4) über in: +\[ +\tag{12} +\Delta V = -\epsilon k \int\frac{i}{R^2}\, d\omega. +\] +%% -----File: 183.png---Folio 169------- + +Hierin kann man nun gemäss~(3) wieder $d\sigma$ für $d\omega$ einführen, +Dabei ist, wie es in §~22 auseinandergesetzt wurde, in solchen +Fällen, wo ein Leitstrahl die Oberfläche mehrmals schneidet, dasselbe +Element~$d\sigma$ mehrmals mit verschiedenen Vorzeichen zu setzen, +und man erhält dadurch, jenachdem der Punct~$p$ innerhalb oder +ausserhalb des Körpers liegt, eine der beiden Gleichungen: +\[ +\tag{13} +\left\{ +\begin{aligned} +\Delta V &= - \epsilon k \int (1 - 1 + 1 - \text{etc.})\, d\sigma\\ +\Delta V &= - \epsilon k \int (-1 + 1 - \text{etc.})\, d\sigma,\\ +\end{aligned} +\right. +\] +von denen die erstere in der Klammer eine ungerade und die letztere +eine gerade Anzahl von Gliedern hat. In der ersteren Gleichung +heben sich die in der Klammer stehenden Glieder, mit Ausnahme +des ersten, gegenseitig auf, und es bleibt: +\[ +\Delta V = - \epsilon k \int d\sigma, +\] +worin die Integration über den ganzen körperlichen Winkelraum +auszuführen ist, so dass man endlich erhält: +\[ +\tag{14} +\Delta V = - 4 \pi \epsilon k. +\] +In der zweiten Gleichung heben sich alle in der Klammer stehenden +Glieder gegenseitig auf, und es kommt: +\[ +\tag{15} +\Delta V = 0, +\] +welches die beiden zu beweisenden Gleichungen sind. + +In Bezug auf die ersten Ableitungen des unter~(\DPtypo{$A$}{A}) gegebenen +Ausdruckes von $V$ stellt sich ein eigenthümliches Verhalten heraus. +Indem man die Gleichung~(A) nach $x$ differentiirt, erhält man: +\[ +\tag{16} +\frac{\partial V}{\partial x} + = \frac{\epsilon k}{2} \int \frac{\partial i}{\partial x}\, d \omega + = \frac{\epsilon k}{2} \left( \frac{\xi - x}{R^2}\, i - \frac{\alpha}{R} \right) d\omega. +\] +Wenn man hierin für den Bruch $\dfrac{\xi - x}{R}$, welcher den Cosinus des +Winkels bedeutet, den der vom Puncte~$p$ nach dem Flächenelemente +%% -----File: 184.png---Folio 170------- +$d\omega$ gezogene Leitstrahl mit der $x$-Axe bildet, den oben eingeführten +Buchstaben~$a$ setzt, so lautet die Gleichung: +\[ +\tag{17} +\frac{\partial V}{\partial x} + = \frac{\epsilon k}{2} \int \left( \frac{ai}{R} - \frac{\alpha}{R} \right) d\omega. +\] +Vergleicht man hiermit den in §~20 unter~(56) gegebenen Ausdruck +von~$X$, nämlich: +\[ +\tag{18} +X = -\epsilon k \int \frac{ai}{R}\, d\omega, +\] +so scheint es auf den ersten Blick, als ob die aus der Bedeutung +der Potentialfunction hervorgehende Gleichung +\[ +\tag{19} +X = - \frac{\partial V}{\partial x} +\] +nicht erfüllt wäre. Es lässt sich aber durch eine geometrische +Betrachtung nachweisen, dass der Ausdruck, um welche die linke +und rechte Seite dieser letzten Gleichung scheinbar von einander +verschieden sind, sich auf Null reducirt. + +Wir wollen diesen Nachweis dadurch führen, dass wir zeigen, +dass man aus derselben Gleichung, aus welcher der oben unter~(18) +gegebene Ausdruck von $X$ abgeleitet ist, auch einen anderen Ausdruck +ableiten kann. Der Allgemeinheit wegen wollen wir dabei +statt der speciell nach der $x$-Richtung gehenden Kraftcomponente, +die in die Richtung einer beliebigen durch $p$ gezogenen Geraden~$l$ +fallende Kraftcomponente~$L$ betrachten. Die zur Bestimmung +dieser Kraftcomponente dienende Gleichung lautet, wenn wir den +Winkel, welchen der Leitstrahl mit der Geraden~$l$ bildet, mit $\vartheta$ +bezeichnen, und demgemäss in der in §~22 unter~(77) gegebenen +Gleichung~$\cos{\vartheta}$ an die Stelle von $a$ setzen, folgendermaassen: +\[ +\tag{20} +L = -\epsilon k \int d\sigma \cos\vartheta \int dr +\] +und hieraus erhält man durch Integration: +\[ +\tag{21} +L = - \epsilon k \int (± R_1 \mp R_2 ± \text{etc.}) \cos{\vartheta}\, d\sigma, +\] +welche Gleichung den beiden in §~22 unter (78)~und~(78a.)\ gegebenen +Gleichungen entspricht. $R_1$,~$R_2$~etc.\ bezeichnen wie dort +%% -----File: 185.png---Folio 171------- +die Längen, welche der von $p$ ausgehende Leitstrahl bis zu den +Puncten hat, wo er die Oberfläche schneidet. Von den beiden Vorzeichen, +welche vor jedem $R$ stehen, ist das obere zu nehmen, wenn +der Leitstrahl, indem er wächst, die Oberfläche von innen nach +aussen durchschneidet, und das untere, wenn er die Oberfläche von +aussen nach innen durchschneidet. Das Integral ist, wenn $p$ innerhalb +des Körpers liegt, über den ganzen körperlichen Winkelraum~$4\pi$ +zu nehmen, und wenn $p$ ausserhalb des Körpers liegt, über den +Theil des körperlichen Winkelraumes, innerhalb dessen die von $p$ +ausgehenden Leitstrahlen die Oberfläche des Körpers treffen. + +Wir führen nun, um das Element~$d\sigma$ auszudrücken, Polarcoordinaten +um den Punct~$p$ ein, indem wir die durch $p$ gehende +Gerade~$l$ als Axe nehmen, und dann unter~$\vartheta$, wie vorher, den +Winkel des Leitstrahles mit der Axe verstehen, und mit $\varphi$ den +Winkel bezeichnen, welchen die durch die Axe und den Leitstrahl +gelegte Ebene mit einer anderen durch die Axe gehenden festen +Ebene bildet. Dadurch geht die Gleichung~(21) über in: +\[ +\tag{22} +L = - \epsilon k \iint (± R_1 \mp R_2 ± \text{etc.}) + \cos\vartheta \sin\vartheta\, d\vartheta\, d\varphi. +\] +Hierin wollen wir unsere Aufmerksamkeit zunächst nur auf das +Integral nach $\vartheta$ richten, welches wir der Kürze wegen durch einen +einfachen Buchstaben bezeichnen wollen, indem wir setzen: +\[ +\tag{23} +J = \int (± R_1 \mp R_2 ± \text{etc.}) \cos\vartheta \sin\vartheta\, d\vartheta. +\] + +Dieses Integral bezieht sich auf die Curve, in welcher eine +durch die Axe gelegte und nach der durch den Winkel~$\varphi$ bestimmten +Richtung gehende Ebene die Oberfläche des Körpers schneidet, und +es ist für unseren Zweck vortheilhaft, das Bogenelement~$ds$ dieser +Curve statt des Winkelelementes~$d\vartheta$ anzuwenden. Wenn an der +Stelle, von wo aus wir die Länge~$s$ des Bogens rechnen wollen, +der Leitstrahl die Oberfläche in der Richtung \Emphasis{von innen nach +aussen} durchschneidet, so nehmen wir $s$ nach der Seite hin als +wachsend an, wohin $\vartheta$ wächst, im anderen Falle umgekehrt, so +dass $\dfrac{d\vartheta}{ds}$ im ersteren Falle positiv, im letzteren negativ ist. Wenn +dann die Curve in ihrem weiteren Verlaufe sich so biegt, dass die +%% -----File: 186.png---Folio 172------- +Durchschnittsrichtung des Leitstrahles sich umkehrt, so macht es +sich von selbst, dass an derselben Stelle auch $\dfrac{d\vartheta}{ds}$ sein Vorzeichen +ändert. Demnach hat $\dfrac{d\vartheta}{ds}$ immer dasselbe Vorzeichen, mit welchem +der zu diesem Bogenelemente gehörige Leitstrahl~$R$ in der vorigen +Gleichung zu nehmen ist, und man kann daher statt $± R\, d\vartheta$ schreiben +$R\, \dfrac{d\vartheta}{ds}\, ds$. Da ferner zu jedem Elementarwinkel~$d\vartheta$ gerade so +viele Bogenelemente~$ds$ gehören, als die vorige Gleichung verschiedene +Werthe von $R$ enthält, so geht die Gleichung über in: +\[ +\tag{24} +J = \int R \cos\vartheta \sin\vartheta\, \frac{d\vartheta}{ds}\, ds, +\] +worin $R$~und~$\vartheta$, da der Winkel~$\varphi$ bei der Integration constant ist, +als Functionen von $s$ zu betrachten sind. + +Wir wollen nun den zu integrirenden Ausdruck in zwei Factoren +zerlegen, welche in der folgenden Gleichung durch einen +Punct von einander getrennt sind: +\[ +J = \int R \sin\vartheta \mathbin{.} \cos\vartheta\, \frac{d\vartheta}{ds}\, ds, +\] +und auf dieses Product wollen wir die Methode der theilweisen +Integration anwenden. Da das Integral von $\cos\vartheta\, \dfrac{d\vartheta}{ds}\, ds$ einfach +$\sin\vartheta$ ist, so erhalten wir, wenn wir die Grenzwerthe von $R$ und~$\vartheta$ +mit $R'$,~$\vartheta'$ und $R''$,~$\vartheta''$ bezeichnen: +\[ +\tag{25} +J = R'' \sin^2 \vartheta'' - R' \sin^2 \vartheta' + - \int \sin\vartheta\, \frac{d(R \sin{\vartheta})}{ds}\, ds. +\] +Die beiden ersten Glieder dieses Ausdruckes sind entweder gleich +Null, oder, wenn sie angebbare Werthe haben, so heben sie sich +gegenseitig auf. Da nämlich unsere Integration von der geschlossenen +Durchschnittscurve, welche die Ebene mit der Körperoberfläche +bildet, nur den Theil umfassen soll, welcher an der einen Seite der +Axe liegt (denn die nach der entgegengesetzten Seite der Axe +gehende andere Hälfte derselben Ebene entspricht einem anderen +Werthe von~$\varphi$, der um $180°$ von dem hier angenommenen verschieden +ist), so sind in Bezug auf die Grenzen der Integration zwei +%% -----File: 187.png---Folio 173------- +Fälle möglich. 1)~Wenn von der Curve nur ein Stück an der +einen Seite der Axe liegt, so liegen die beiden Endpuncte dieses +Stückes in der Axe selbst, und die Grenzwerthe $\vartheta'$~und~$\vartheta''$ des +Winkels~$\vartheta$ sind daher entweder $0$ oder~$\pi$, woraus folgt, dass $\sin\vartheta'$ +und~$\sin\vartheta''$, und mit ihnen jene beiden Glieder einzeln gleich Null +werden. 2)~Wenn die ganze geschlossene Curve an der einen Seite +der Axe liegt, so fällt ihr Endpunct mit dem Anfangspuncte zusammen. +Die beiden Grenzwerthe sowohl von $R$ als auch von $\vartheta$ +sind also unter einander gleich, und jene beiden Glieder heben sich +gegenseitig auf. Es kann auch vorkommen, dass die beiden erwähnten +Fälle zugleich stattfinden oder einer von ihnen sich mehrmals +wiederholt, da die Durchschnittscurve einer Ebene mit der +Körperoberfläche aus mehreren in sich geschlossenen Theilen bestehen +kann; aber dadurch wird an dem Resultate, dass die beiden +ersten Glieder des vorigen Ausdruckes fortfallen, nichts geändert. +Es bleibt also nur das letzte Glied zu betrachten, und wenn wir +dieses noch dadurch abändern, dass wir unter dem Integralzeichen +mit $R$ multipliciren und dividiren, so kommt: +\[ +\tag{26} +J = -\int \frac{R \sin\vartheta\, \dfrac{d(R \sin{\vartheta})}{ds}\, ds}{R}. +\] + +Dieser Ausdruck muss nun noch, um den vollständigen Ausdruck +von $L$ zu erhalten, gemäss der Gleichung~(22), mit $d\varphi$ multiplicirt +und mit dem zweiten Integralzeichen und dem Factor~$-\epsilon k$ +versehen werden. Es kommt also: +\[ +\tag{27} +L = \epsilon k \iint \frac{R \sin\vartheta\, \dfrac{d(R \sin{\vartheta})}{ds}\, ds\, d\varphi}{R}. +\] +Der Zähler des Bruches, welcher hier unter dem Integralzeichen +steht, hat eine einfache geometrische Bedeutung. Das Product +$R \sin\vartheta$ ist die Projection des Leitstrahles~$R$ auf eine auf der Axe +senkrechte Ebene, und demnach ist, wie man leicht sieht, der ganze +Zähler seinem absoluten Werthe nach die auf dieselbe Ebene bezogene +Projection desjenigen Elementes der Oberfläche, welches den +Elementen $ds$~und~$d\varphi$ entspricht, welche Projection, abgesehen vom +Vorzeichen, durch $\cos\nu \mathbin{.} d\omega$ dargestellt wird, wenn $d\omega$ das Oberflächenelement, +%% -----File: 188.png---Folio 174------- +und $\nu$ den Winkel zwischen der darauf errichteten +Normale und der Axe bedeutet. Was die Vorzeichen anbetrifft, so +kann man sich durch eine nähere Betrachtung des Gegenstandes +leicht davon überzeugen, dass in Folge dessen, was über den Sinn, +in welchem $s$ als wachsend angenommen wird, gesagt ist, die Grösse +$\dfrac{d(R \sin \vartheta)}{ds}$, welche allein in jenem Zähler ihr Vorzeichen ändern +kann, immer dasselbe Vorzeichen hat, wie $\cos\nu$, wobei ich daran +erinnern will, dass die Normale, auf welche sich der Winkel~$\nu$ bezieht, +immer in der Richtung vom Körper nach aussen hin betrachtet +wird. Man kann also schreiben: +\[ +R \sin \vartheta\, \frac{ d(R \sin\vartheta)}{ds}\, ds\, d\phi + = \cos\nu \mathbin{.} d\omega, +\] +und dadurch geht die vorige Gleichung über in: +\[ +\tag{28} +L = \epsilon k \int \frac{\cos\nu}{R}\, d\omega. +\] +Diese Gleichung enthält an der rechten Seite den gesuchten Ausdruck +der in die $l$-Richtung fallenden Kraftcomponente~$L$. + +Um hieraus den Ausdruck der in die $x$-Richtung fallenden +Kraftcomponente~$X$ zu erhalten, brauchen wir nur für $\cos\nu$ das +Zeichen~$\alpha$ zu setzen, welches wir oben für den Cosinus des Winkels, +welchen die auf $d\omega$ errichtete Normale mit der $x$-Richtung +bildet, angewandt haben. Es kommt also: +\[ +\tag{29} +X = \epsilon k \int \frac{\alpha}{R}\, d\omega. +\] +Aus der Vergleichung dieses hier gewonnenen Ausdruckes von $X$ +mit dem früher gewonnenen und oben unter~(18) angeführten ergiebt +sich die Gleichung: +\[ +\tag{30} +\int \left(\frac{ai}{R} + \frac{\alpha}{R}\right) d\omega = 0, +\] +mit Hülfe deren sich die Gleichungen (17)~und~(18) mit~(19) in +Uebereinstimmung bringen lassen. + +Da es übrigens nach der Potentialtheorie als selbstverständlich +%% -----File: 189.png---Folio 175------- +anzusehen ist, dass die Kraftcomponente~$X$ gleich $-\dfrac{\partial V}{\partial x}$ sein muss, +so könnte man auch die Schlussweise umkehren, und die in (17)~und~(18) +an der rechten Seite stehenden Ausdrücke, nach Abänderung +des Vorzeichens eines derselben, ohne Weiteres einander +gleich setzen, also: +\[ +\frac{\epsilon k }{2} \int \left(\frac{ai}{R} - \frac{\alpha}{R}\right) d\omega + = \epsilon k \int \frac{ai}{R}\, d\omega, +\] +wodurch man sofort, ohne die vorher angestellten etwas weitläufigen +Betrachtungen, zu der geometrisch interessanten, für jede geschlossene +Fläche geltenden Gleichung~(30) gelangen würde. + +\begin{center} +\tb +\end{center} + +% [** TN: Title heading in orig. reads "Beweis des in § 29, S. 74..."] +\Appendix{Zusatz II.}{Beweis des in § 29 angeführten Satzes.} + +Es sei in einer Ebene eine geschlossene Curve gegeben. Die +Ebene möge als $xy$-Ebene eines rechtwinkligen Raumcoordinaten-Systemes +genommen werden. Es sei ferner ein beliebiger Punct~$p$ +im Raum mit den Coordinaten $x$,~$y$,~$z$ gegeben, und von diesem +ein Perpendikel auf die Ebene gefällt. Betrachten wir nun irgend +einen Punct der Curve, dessen Coordinaten $\xi'$~und~$\eta'$ heissen mögen, +so soll sein Abstand vom Puncte~$p$ mit~$R$, und der in der Ebene +vom Fusspuncte des Perpendikels aus nach ihm gezogene Leitstrahl +mit $U$ bezeichnet werden. Errichtet man an diesem Puncte auf +der Curve eine in der Ebene liegende, nach auswärts gehende Normale, +so soll der Cosinus des Winkels, welchen diese Normale mit +der $x$-Axe bildet, mit~$\alpha'$, und der Cosinus des Winkels, welchen +sie mit der Verlängerung des Leitstrahles~$U$ bildet, mit $i'$ bezeichnet +werden. Nennt man dann noch ein an dem betreffenden Puncte +genommenes Bogenelement der Curve~$ds$, so soll bewiesen werden, +dass folgende Gleichung stattfindet: +\[ +\tag{1} +\int \left[ \frac{(R^2 + z^2)(\xi' - x)}{RU^3}\, i' + - \frac{z^2}{RU^2}\, \alpha' \right] ds = 0, +\] +worin das Integral über die ganze geschlossene Curve zu nehmen ist. +%% -----File: 190.png---Folio 176------- + +Setzen wir zur Abkürzung: +\[ +\tag{2} +\left\{ +\begin{aligned} +P &= \frac{(R^2 + z^2)(\xi' - x)}{RU^3}\, i'\\ +Q &= \frac{z^2}{RU^2}\, \alpha', +\end{aligned} +\right. +\] +so lautet die zu beweisende Gleichung: +\[ +\tag{3} +\int (P - Q)\, ds = 0. +\] + +Es möge nun der Winkel, welchen der Leitstrahl~$U$ mit der +$x$-Axe bildet, mit~$\varphi$, und das dem Bogenelemente~$ds$ entsprechende +Element dieses Winkels mit $d\varphi$ bezeichnet werden; dann ist, wie +man leicht sieht, und wie es auch schon in der Gleichung~(98) §~28 +ausgedrückt wurde: +\[ +i'\, ds = ± U\, d\varphi. +\] +Hierin ist, wenn $ds$~und~$d\varphi$ beide als positiv betrachtet werden, +das obere oder untere Vorzeichen anzuwenden, jenachdem $i'$ positiv +oder negativ ist, \dh\ jenachdem der Leitstrahl~$U$, indem er wächst, +den Umfang in der Richtung von innen nach aussen oder von +aussen nach innen durchschneidet. Nimmt man aber an, dass, +während man von irgend einem Anfangspuncte aus in einem gewissen +Sinne in der Curve herumgeht, der Bogen~$s$ immer wachsen +soll, und betrachtet dabei zugleich den Winkel~$\varphi$ als Function von~$s$, +so kann der Differentialcoefficient $\dfrac{d\varphi}{ds}$ sowohl positiv, als negativ +sein, und zwar ändert er an denselben Stellen der Curve sein Vorzeichen, +wo der mit $i'$ bezeichnete Cosinus sein Vorzeichen ändert. +Lässt man also $s$ in dem Sinne wachsen, dass der Differentialcoefficient +$\dfrac{d\varphi}{ds}$ an irgend einer Stelle der Curve gleiches Vorzeichen +mit $i'$ hat, so haben diese beiden Grössen auch überall gleiche Vorzeichen, +und man kann daher in der vorigen Gleichung von den +beiden äusserlich hinzugefügten Vorzeichen ein für alle Mal das +obere anwenden, und somit folgende Gleichung bilden: +\[ +\tag{4} +i' = U\, \frac{d\varphi}{ds}. +\] + +Ferner ist $\alpha'\, ds$, abgesehen vom Vorzeichen, die Veränderung, +%% -----File: 191.png---Folio 177------- +welche die Coordinate~$\eta'$ eines in der Curve beweglichen Punctes +erleidet, während dieser das Bogenelement~$ds$ durchläuft. Da nun +die Gleichung +\[ +\eta' - y = U \sin\varphi +\] +gilt, worin $y$ dem Obigen nach eine durch die Lage des Punctes~$p$ +im Voraus gegebene Grösse ist, so hat man: +\[ +d\eta' = d(U \sin\varphi) +\] +und demnach kann man schreiben: +\[ +\alpha'\, ds = ± d(U \sin\varphi). +\] +Was das Vorzeichen anbetrifft, so überzeugt man sich leicht durch +einfache geometrische Betrachtungen, dass auch in dieser Gleichung, +wenn man den Bogen~$s$ in dem vorher festgesetzten Sinne als +wachsend annimmt, überall das obere Vorzeichen anzuwenden ist, +und man kann daher folgende Gleichung bilden: +\[ +\tag{5} +\alpha' = \frac{d(U \sin\varphi)}{ds}. +\] + +Setzen wir die in (4)~und~(5) gegebenen Werthe von $i'$ und~$\alpha'$ +in den Gleichungen~(2) ein, und schreiben zugleich für die +Differenz $\xi' - x$ ihren Werth~$U \cos\varphi$, so erhalten wir: +\begin{align*} %[** TN: Aligning on = signs] +P &= \frac{R^2 + z^2}{RU} \cos\varphi\, \frac{d\varphi}{ds} \\ +Q &= \frac{z^2}{RU^2} · \frac{d(U \sin\varphi)}{ds} \\ + &= \frac{z^2}{RU^2} \sin\varphi\, \frac{dU}{ds} + + \frac{z^2}{RU} \cos\varphi\, \frac{d\varphi}{ds}, +\end{align*} +und demnach: +\[ +\tag{6} +P - Q = \frac{R}{U} \cos\varphi\, \frac{d\varphi}{ds} + - \frac{z^2}{RU^2} \sin\varphi\, \frac{dU}{ds}. +\] +Hierin lassen sich die beiden Glieder an der rechten Seite in der +Weise umgestalten, dass sie in einen Differentialcoefficienten zusammengezogen +werden können. Bedenkt man, dass +\[ +R = \sqrt{U^2 + z^2}, +\] +worin $z$ von $s$ unabhängig ist, und daher +\[ +\frac{dR}{ds} = \frac{U}{R} · \frac{dU}{ds}, +\] +%% -----File: 192.png---Folio 178------- +so erhält man: +\begin{align*} +\frac{d\left(\dfrac{R}{U}\right)}{ds} + &= \frac{1}{R} · \frac{dU}{ds} - \frac{R}{U^2} · \frac{dU}{ds} \\ + &= \frac{U^2 - R^2}{RU^2} · \frac{dU}{ds} \\ + &= - \frac{z^2}{RU^2} · \frac{dU}{ds}. +\end{align*} +Wendet man diese Gleichung auf das zweite an der rechten Seite +stehende Glied der Gleichung~(6) an, und setzt zugleich im ersten +Gliede: +\[ +\cos\varphi\, \frac{d\varphi}{ds} = \frac{d\sin\varphi}{ds}, +\] +so kommt: +\[ +P - Q = \frac{R}{U} · \frac{d\sin\varphi}{ds} + + \sin\varphi\, \frac{d\left(\dfrac{R}{U}\right)}{ds}, +\] +oder zusammengezogen: +\[ +\tag{7} +P - Q = \frac{d\left(\dfrac{R}{U} \sin\varphi\right)}{ds}. +\] + +Demnach nimmt das in den Gleichungen (3)~und~(1) enthaltene +Integral folgende einfache Gestalt an: +\[ +\int \frac{d\left(\dfrac{R}{U} \sin\varphi\right)}{ds}\, ds. +\] +Hierin lässt sich die Integration ohne Weiteres ausführen, und giebt, +wenn wir die Grenzwerthe des Integrales durch die Indices $0$~und~$1$ +andeuten: +\[ +\left(\frac{R}{U} \sin\varphi\right)_1 - \left(\frac{R}{U} \sin\varphi\right)_0. +\] +Für eine geschlossene Curve, bei welcher der Anfang und das Ende +des Bogens in einen und denselben Punct zusammenfallen, sind +beide Grenzwerthe gleich und heben sich auf, und die zu beweisende +Gleichung~(1) ist somit erfüllt. + +\ctb +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% GUTENBERG LICENSE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\cleardoublepage + +\pagenumbering{Alph} +\pdfbookmark[0]{PG Lizenz}{Lizenz} +\fancyhead[C]{\textsc{LIZENZ}} + +\begin{PGtext} +End of the Project Gutenberg EBook of Die Potentialfunction und das Potential, by +Rudolf Clausius + +*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK DIE POTENTIALFUNCTION *** + +***** This file should be named 32634-pdf.pdf or 32634-pdf.zip ***** +This and all associated files of various formats will be found in: + http://www.gutenberg.org/3/2/6/3/32634/ + +Produced by Andrew D. Hwang, R. Stephan, Joshua Hutchinson +and the Online Distributed Proofreading Team at +http://www.pgdp.net (This file was produced from images +from the Cornell University Library: Historical Mathematics +Monographs collection.) + + +Updated editions will replace the previous one--the old editions +will be renamed. + +Creating the works from public domain print editions means that no +one owns a United States copyright in these works, so the Foundation +(and you!) can copy and distribute it in the United States without +permission and without paying copyright royalties. Special rules, +set forth in the General Terms of Use part of this license, apply to +copying and distributing Project Gutenberg-tm electronic works to +protect the PROJECT GUTENBERG-tm concept and trademark. Project +Gutenberg is a registered trademark, and may not be used if you +charge for the eBooks, unless you receive specific permission. 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There are a few +things that you can do with most Project Gutenberg-tm electronic works +even without complying with the full terms of this agreement. See +paragraph 1.C below. There are a lot of things you can do with Project +Gutenberg-tm electronic works if you follow the terms of this agreement +and help preserve free future access to Project Gutenberg-tm electronic +works. See paragraph 1.E below. + +1.C. The Project Gutenberg Literary Archive Foundation ("the Foundation" +or PGLAF), owns a compilation copyright in the collection of Project +Gutenberg-tm electronic works. Nearly all the individual works in the +collection are in the public domain in the United States. If an +individual work is in the public domain in the United States and you are +located in the United States, we do not claim a right to prevent you from +copying, distributing, performing, displaying or creating derivative +works based on the work as long as all references to Project Gutenberg +are removed. Of course, we hope that you will support the Project +Gutenberg-tm mission of promoting free access to electronic works by +freely sharing Project Gutenberg-tm works in compliance with the terms of +this agreement for keeping the Project Gutenberg-tm name associated with +the work. You can easily comply with the terms of this agreement by +keeping this work in the same format with its attached full Project +Gutenberg-tm License when you share it without charge with others. + +1.D. The copyright laws of the place where you are located also govern +what you can do with this work. Copyright laws in most countries are in +a constant state of change. If you are outside the United States, check +the laws of your country in addition to the terms of this agreement +before downloading, copying, displaying, performing, distributing or +creating derivative works based on this work or any other Project +Gutenberg-tm work. The Foundation makes no representations concerning +the copyright status of any work in any country outside the United +States. + +1.E. Unless you have removed all references to Project Gutenberg: + +1.E.1. The following sentence, with active links to, or other immediate +access to, the full Project Gutenberg-tm License must appear prominently +whenever any copy of a Project Gutenberg-tm work (any work on which the +phrase "Project Gutenberg" appears, or with which the phrase "Project +Gutenberg" is associated) is accessed, displayed, performed, viewed, +copied or distributed: + +This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with +almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or +re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included +with this eBook or online at www.gutenberg.org + +1.E.2. If an individual Project Gutenberg-tm electronic work is derived +from the public domain (does not contain a notice indicating that it is +posted with permission of the copyright holder), the work can be copied +and distributed to anyone in the United States without paying any fees +or charges. If you are redistributing or providing access to a work +with the phrase "Project Gutenberg" associated with or appearing on the +work, you must comply either with the requirements of paragraphs 1.E.1 +through 1.E.7 or obtain permission for the use of the work and the +Project Gutenberg-tm trademark as set forth in paragraphs 1.E.8 or +1.E.9. + +1.E.3. If an individual Project Gutenberg-tm electronic work is posted +with the permission of the copyright holder, your use and distribution +must comply with both paragraphs 1.E.1 through 1.E.7 and any additional +terms imposed by the copyright holder. Additional terms will be linked +to the Project Gutenberg-tm License for all works posted with the +permission of the copyright holder found at the beginning of this work. + +1.E.4. Do not unlink or detach or remove the full Project Gutenberg-tm +License terms from this work, or any files containing a part of this +work or any other work associated with Project Gutenberg-tm. + +1.E.5. Do not copy, display, perform, distribute or redistribute this +electronic work, or any part of this electronic work, without +prominently displaying the sentence set forth in paragraph 1.E.1 with +active links or immediate access to the full terms of the Project +Gutenberg-tm License. + +1.E.6. You may convert to and distribute this work in any binary, +compressed, marked up, nonproprietary or proprietary form, including any +word processing or hypertext form. However, if you provide access to or +distribute copies of a Project Gutenberg-tm work in a format other than +"Plain Vanilla ASCII" or other format used in the official version +posted on the official Project Gutenberg-tm web site (www.gutenberg.org), +you must, at no additional cost, fee or expense to the user, provide a +copy, a means of exporting a copy, or a means of obtaining a copy upon +request, of the work in its original "Plain Vanilla ASCII" or other +form. Any alternate format must include the full Project Gutenberg-tm +License as specified in paragraph 1.E.1. + +1.E.7. Do not charge a fee for access to, viewing, displaying, +performing, copying or distributing any Project Gutenberg-tm works +unless you comply with paragraph 1.E.8 or 1.E.9. + +1.E.8. 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Royalty payments should be clearly marked as such and + sent to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation at the + address specified in Section 4, "Information about donations to + the Project Gutenberg Literary Archive Foundation." + +- You provide a full refund of any money paid by a user who notifies + you in writing (or by e-mail) within 30 days of receipt that s/he + does not agree to the terms of the full Project Gutenberg-tm + License. You must require such a user to return or + destroy all copies of the works possessed in a physical medium + and discontinue all use of and all access to other copies of + Project Gutenberg-tm works. + +- You provide, in accordance with paragraph 1.F.3, a full refund of any + money paid for a work or a replacement copy, if a defect in the + electronic work is discovered and reported to you within 90 days + of receipt of the work. + +- You comply with all other terms of this agreement for free + distribution of Project Gutenberg-tm works. + +1.E.9. If you wish to charge a fee or distribute a Project Gutenberg-tm +electronic work or group of works on different terms than are set +forth in this agreement, you must obtain permission in writing from +both the Project Gutenberg Literary Archive Foundation and Michael +Hart, the owner of the Project Gutenberg-tm trademark. Contact the +Foundation as set forth in Section 3 below. + +1.F. + +1.F.1. Project Gutenberg volunteers and employees expend considerable +effort to identify, do copyright research on, transcribe and proofread +public domain works in creating the Project Gutenberg-tm +collection. Despite these efforts, Project Gutenberg-tm electronic +works, and the medium on which they may be stored, may contain +"Defects," such as, but not limited to, incomplete, inaccurate or +corrupt data, transcription errors, a copyright or other intellectual +property infringement, a defective or damaged disk or other medium, a +computer virus, or computer codes that damage or cannot be read by +your equipment. + +1.F.2. LIMITED WARRANTY, DISCLAIMER OF DAMAGES - Except for the "Right +of Replacement or Refund" described in paragraph 1.F.3, the Project +Gutenberg Literary Archive Foundation, the owner of the Project +Gutenberg-tm trademark, and any other party distributing a Project +Gutenberg-tm electronic work under this agreement, disclaim all +liability to you for damages, costs and expenses, including legal +fees. YOU AGREE THAT YOU HAVE NO REMEDIES FOR NEGLIGENCE, STRICT +LIABILITY, BREACH OF WARRANTY OR BREACH OF CONTRACT EXCEPT THOSE +PROVIDED IN PARAGRAPH F3. YOU AGREE THAT THE FOUNDATION, THE +TRADEMARK OWNER, AND ANY DISTRIBUTOR UNDER THIS AGREEMENT WILL NOT BE +LIABLE TO YOU FOR ACTUAL, DIRECT, INDIRECT, CONSEQUENTIAL, PUNITIVE OR +INCIDENTAL DAMAGES EVEN IF YOU GIVE NOTICE OF THE POSSIBILITY OF SUCH +DAMAGE. + +1.F.3. LIMITED RIGHT OF REPLACEMENT OR REFUND - If you discover a +defect in this electronic work within 90 days of receiving it, you can +receive a refund of the money (if any) you paid for it by sending a +written explanation to the person you received the work from. If you +received the work on a physical medium, you must return the medium with +your written explanation. The person or entity that provided you with +the defective work may elect to provide a replacement copy in lieu of a +refund. If you received the work electronically, the person or entity +providing it to you may choose to give you a second opportunity to +receive the work electronically in lieu of a refund. If the second copy +is also defective, you may demand a refund in writing without further +opportunities to fix the problem. + +1.F.4. Except for the limited right of replacement or refund set forth +in paragraph 1.F.3, this work is provided to you 'AS-IS' WITH NO OTHER +WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO +WARRANTIES OF MERCHANTIBILITY OR FITNESS FOR ANY PURPOSE. + +1.F.5. Some states do not allow disclaimers of certain implied +warranties or the exclusion or limitation of certain types of damages. +If any disclaimer or limitation set forth in this agreement violates the +law of the state applicable to this agreement, the agreement shall be +interpreted to make the maximum disclaimer or limitation permitted by +the applicable state law. The invalidity or unenforceability of any +provision of this agreement shall not void the remaining provisions. + +1.F.6. INDEMNITY - You agree to indemnify and hold the Foundation, the +trademark owner, any agent or employee of the Foundation, anyone +providing copies of Project Gutenberg-tm electronic works in accordance +with this agreement, and any volunteers associated with the production, +promotion and distribution of Project Gutenberg-tm electronic works, +harmless from all liability, costs and expenses, including legal fees, +that arise directly or indirectly from any of the following which you do +or cause to occur: (a) distribution of this or any Project Gutenberg-tm +work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any +Project Gutenberg-tm work, and (c) any Defect you cause. + + +Section 2. Information about the Mission of Project Gutenberg-tm + +Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of +electronic works in formats readable by the widest variety of computers +including obsolete, old, middle-aged and new computers. It exists +because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from +people in all walks of life. + +Volunteers and financial support to provide volunteers with the +assistance they need, are critical to reaching Project Gutenberg-tm's +goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will +remain freely available for generations to come. In 2001, the Project +Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure +and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations. +To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation +and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4 +and the Foundation web page at http://www.pglaf.org. + + +Section 3. Information about the Project Gutenberg Literary Archive +Foundation + +The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit +501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the +state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal +Revenue Service. The Foundation's EIN or federal tax identification +number is 64-6221541. Its 501(c)(3) letter is posted at +http://pglaf.org/fundraising. Contributions to the Project Gutenberg +Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent +permitted by U.S. federal laws and your state's laws. + +The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S. +Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered +throughout numerous locations. Its business office is located at +809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email +business@pglaf.org. Email contact links and up to date contact +information can be found at the Foundation's web site and official +page at http://pglaf.org + +For additional contact information: + Dr. Gregory B. Newby + Chief Executive and Director + gbnewby@pglaf.org + + +Section 4. Information about Donations to the Project Gutenberg +Literary Archive Foundation + +Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide +spread public support and donations to carry out its mission of +increasing the number of public domain and licensed works that can be +freely distributed in machine readable form accessible by the widest +array of equipment including outdated equipment. Many small donations +($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt +status with the IRS. + +The Foundation is committed to complying with the laws regulating +charities and charitable donations in all 50 states of the United +States. Compliance requirements are not uniform and it takes a +considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up +with these requirements. We do not solicit donations in locations +where we have not received written confirmation of compliance. To +SEND DONATIONS or determine the status of compliance for any +particular state visit http://pglaf.org + +While we cannot and do not solicit contributions from states where we +have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition +against accepting unsolicited donations from donors in such states who +approach us with offers to donate. + +International donations are gratefully accepted, but we cannot make +any statements concerning tax treatment of donations received from +outside the United States. U.S. laws alone swamp our small staff. + +Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation +methods and addresses. Donations are accepted in a number of other +ways including checks, online payments and credit card donations. +To donate, please visit: http://pglaf.org/donate + + +Section 5. General Information About Project Gutenberg-tm electronic +works. + +Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm +concept of a library of electronic works that could be freely shared +with anyone. For thirty years, he produced and distributed Project +Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support. + + +Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed +editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S. +unless a copyright notice is included. Thus, we do not necessarily +keep eBooks in compliance with any particular paper edition. + + +Most people start at our Web site which has the main PG search facility: + + http://www.gutenberg.org + +This Web site includes information about Project Gutenberg-tm, +including how to make donations to the Project Gutenberg Literary +Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to +subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks. +\end{PGtext} + +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % +% % +% End of the Project Gutenberg EBook of Die Potentialfunction und das Potential, by +% Rudolf Clausius % +% % +% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK DIE POTENTIALFUNCTION *** % +% % +% ***** This file should be named 32634-t.tex or 32634-t.zip ***** % +% This and all associated files of various formats will be found in: % +% http://www.gutenberg.org/3/2/6/3/32634/ % +% % +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % + +\end{document} + +### +@ControlwordReplace = ( + ['\\dh', 'd.h.'], + ['\\zB', 'z.B.'], + ['\\TableofContents', ''] + ); + +@ControlwordArguments = ( + ['\\Chapter', 1, 1, '', ''], + ['\\Section', 1, 1, '', ' ', 1, 1, '', ''], + ['\\SubSection', 1, 1, '', '. 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+(/usr/share/texmf-texlive/tex/xelatex/xetexconfig/geometry.cfg)) (/usr/share/te +xmf-texlive/tex/latex/hyperref/hyperref.sty +Package: hyperref 2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX +\@linkdim=\dimen122 +\Hy@linkcounter=\count110 +\Hy@pagecounter=\count111 +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/pd1enc.def +File: pd1enc.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO) +) (/etc/texmf/tex/latex/config/hyperref.cfg +File: hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/kvoptions.sty +Package: kvoptions 2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options ( +HO) +) +Package hyperref Info: Option `hyperfootnotes' set `false' on input line 2238. +Package hyperref Info: Option `bookmarks' set `true' on input line 2238. +Package hyperref Info: Option `linktocpage' set `false' on input line 2238. +Package hyperref Info: Option `pdfdisplaydoctitle' set `true' on input line 223 +8. +Package hyperref 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hyperref Info: Link nesting OFF on input line 3107. +Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 3110. +Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 3117. +Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 3120. +\Hy@abspage=\count113 +\c@Item=\count114 +) +*hyperref using driver hpdftex* +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hpdftex.def +File: hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX +\Fld@listcount=\count115 +) +\c@Chapter=\count116 +\TmpLen=\skip58 +(./32634-t.aux) +\openout1 = `32634-t.aux'. + +LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 410. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 410. +LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 410. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 410. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 410. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 410. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 410. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 410. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 410. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 410. +LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 410. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 410. +LaTeX Font Info: Checking defaults for LGR/cmr/m/n on input line 410. +LaTeX Font Info: Try loading font information for LGR+cmr on input line 410. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/lgrcmr.fd +File: lgrcmr.fd 2001/01/30 v2.2e Greek Computer Modern +) +LaTeX Font Info: ... okay on input line 410. +LaTeX Font Info: Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 410. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 410. +(/usr/share/texmf/tex/context/base/supp-pdf.tex +[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).] +\scratchcounter=\count117 +\scratchdimen=\dimen125 +\scratchbox=\box28 +\nofMPsegments=\count118 +\nofMParguments=\count119 +\everyMPshowfont=\toks26 +\MPscratchCnt=\count120 +\MPscratchDim=\dimen126 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+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/color.sty +Package: color 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC) +(/etc/texmf/tex/latex/config/color.cfg +File: color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive +) +Package color Info: Driver file: pdftex.def on input line 130. +) +Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 410. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/nameref.sty +Package: nameref 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/refcount.sty +Package: refcount 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO) +) +\c@section@level=\count122 +) +LaTeX Info: Redefining \ref on input line 410. +LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 410. +(./32634-t.out) (./32634-t.out) +\@outlinefile=\write3 +\openout3 = `32634-t.out'. + +LaTeX Font Info: Try loading font information for T1+cmtt on input line 422. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1cmtt.fd +File: t1cmtt.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msa on input line 444. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd +File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msb on input line 444. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd +File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions +) [1 + +{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2 + +] [1 + + +] <./images/pubmark.pdf, id=65, 469.755pt x 280.04625pt> +File: ./images/pubmark.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/pubmark.pdf> [2 + + <./images/pubmark.pdf>] [3] [4 + + +] [5] (./32634-t.toc [6 + + +] [7] [8]) +\tf@toc=\write4 +\openout4 = `32634-t.toc'. + +[9] [1 + + + +] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] +[19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] +[35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] +[51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] +[67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] +[83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] +[99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [1 +12] [113] +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+euf on input line 5528. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/ueuf.fd +File: ueuf.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions +) [114] [115] [116] [117] [118] +Overfull \hbox (2.51262pt too wide) in paragraph at lines 5745--5748 +\T1/cmr/m/n/12 Diese drei Glei-chun-gen (142), (143) und (144) drücken den \T1/ +cmr/m/sc/12 Green\T1/cmr/m/n/12 'schen + [] + +[119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [ +132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [1 +45] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153 + + +] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] +[167] [168] [169] [170 + +] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] +[184] [185 + + +] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] +[199] +Overfull \hbox (21.28157pt too wide) in paragraph at lines 8934--8934 +[]\T1/cmtt/m/n/9 End of the Project Gutenberg EBook of Die Potentialfunction un +d das Potential, by[] + [] + +[1 + +] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]pdfTeX warning (ext4): destination with the same i +dentifier (name{page.I}) has been already used, duplicate ignored +<to be read again> + \relax +l.9316 \end{document} + [9] (./32634-t.aux) + + *File List* + book.cls 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class + leqno.clo 1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers) + bk12.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option) +inputenc.sty 2006/05/05 v1.1b Input encoding file + latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file + fontenc.sty + t1enc.def 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file + ifthen.sty 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC) + babel.sty 2005/11/23 v3.8h The Babel package + greek.ldf 2005/03/30 v1.3l Greek support from the babel system + lgrenc.def 2001/01/30 v2.2e Greek Encoding + germanb.ldf 2004/02/19 v2.6k German support from the babel system + amsmath.sty 2000/07/18 v2.13 AMS math features + amstext.sty 2000/06/29 v2.01 + amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 + amsbsy.sty 1999/11/29 v1.2d + amsopn.sty 1999/12/14 v2.01 operator names + amssymb.sty 2002/01/22 v2.2d +amsfonts.sty 2001/10/25 v2.2f + alltt.sty 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment + calc.sty 2005/08/06 v4.2 Infix arithmetic (KKT,FJ) +indentfirst.sty 1995/11/23 v1.03 Indent first paragraph (DPC) +footmisc.sty 2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities +graphicx.sty 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR) + keyval.sty 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC) +graphics.sty 2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR) + trig.sty 1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC) +graphics.cfg 2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive + pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX +fancyhdr.sty +geometry.sty 2002/07/08 v3.2 Page Geometry +geometry.cfg +hyperref.sty 2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX + pd1enc.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO) +hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive +kvoptions.sty 2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (HO +) + url.sty 2005/06/27 ver 3.2 Verb mode for urls, etc. + hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX + lgrcmr.fd 2001/01/30 v2.2e Greek Computer Modern +supp-pdf.tex + color.sty 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC) + color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive + nameref.sty 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section +refcount.sty 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO) + 32634-t.out + 32634-t.out + t1cmtt.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions + umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions + umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions +./images/pubmark.pdf + ueuf.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions + *********** + + ) +Here is how much of TeX's memory you used: + 5971 strings out of 94074 + 75315 string characters out of 1165154 + 150180 words of memory out of 1500000 + 8547 multiletter control sequences out of 10000+50000 + 32745 words of font info for 81 fonts, out of 1200000 for 2000 + 648 hyphenation exceptions out of 8191 + 27i,19n,45p,317b,505s stack positions out of 5000i,500n,6000p,200000b,5000s + </home/widger/.texmf-var/fonts/pk/ljfour/public/cb/grmn1200.600pk>{/usr/shar +e/texmf/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc}</usr/share/texmf-texlive/font +s/type1/bluesky/cm/cmex10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/ +cmmi10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi12.pfb></usr/sh 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